Este documento discute métodos para medir impedâncias elétricas, incluindo resistências, capacitâncias e indutâncias. Ele descreve vários circuitos como pontes de Wheatstone, pontes de corrente alternada e o uso de osciloscópios para medir impedâncias desconhecidas em relação a componentes de valor conhecido. Além disso, aborda como fatores como frequência, temperatura e efeito pelicular afetam as medições de impedância.

1. 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
ELECTROTÉCNICA
LICENCIATURA EM ENGENHARIA ELETROTÉCNICA E DE
COMPUTADORES
Instrumentação e
Medidas
Acetatos das aulas teóricas
“Medição de Impedâncias”
ANO LECTIVO 2021/2022

2. 2
Medição de Impedâncias
Resistências
Modelo de uma resistência de filme
de carbono a alta frequência
Modelo de uma resistência de filme
de carbono

3. 3
Efeito pelicular
Para frequências acima de algumas dezenas de kHz, a resistência
dos condutores aumenta com a frequência devido a que quase toda
a corrente passa apenas por uma fina camada perto da superfície do
condutor. Este fenómeno designa-se por efeito pelicular
Medição de Impedâncias
Resistências
A distância dentro do condutor para a qual densidade de corrente vale
1/e do valor na superfície é dada por:
A baixas frequências (esquerda) a corrente passa por toda a secção
transversal do fio condutor, e a altas frequências (direita) passa
apenas por uma camada de espessura
Onde μ é a permeabilidade magnética (para metais não magnéticos
μ = μ0 = 4π×10−7 H/m) e ρ a resistividade do metal a baixa
frequência.
Assim, num fio condutor cilíndrico, a resistência pode ser calculada
através da expressão seguinte, tendo em conta o efeito pelicular:

4. 4
Medição de Impedâncias
Resistências
Efeito da temperatura
A resistividade da maioria dos materiais depende da temperatura. No caso
dos metais, a resistividade aumenta com a elevação de temperatura de
acordo com a seguinte expressão:
Esta dependência,, pode ser descrita com suficiente aproximação por uma
relação linear num intervalo restrito em torno de uma temperatura de
referência T0. Sendo ρ0 a resistividade do material à temperatura de
referência, esta relação linear aproximada é traduzida pela seguinte
expressão:
- Coeficiente de temperatura, dependente do material que
constitui a resistência

5. 5
Medição de Impedâncias
Métodos de medição de resistências
Ohmímetro analógico
( ) gf
0
gf
g
i I
R
I
R
R
R
E =
+
+
=








+
=
0
X
0
gf
X
R
R
R
I
I
1º - Ajusta-se o zero da escala, colocando os terminais AA’ em curto
circuito e regulando R até que ICC = Igf , isto é, o ponteiro avança até ao
zero de escala. Nesta situação temos a seguinte relação:
2º - Sem alterar o valor de E e R, substitui-se o curto circuito pela
resistência a medir, Rx. A corrente tomará o valor Ix tal que:
gf
x
I
I
A leitura do valor da resistência é feita sobre uma escala graduada,
não linear, em que o valor da resistência e a deflexão do ponteiro
estão relacionadas pela expressão anterior
- é o factor de deflexão do ponteiro
sobre a escala graduada
A utilização correcta do ohmímetro analógico, de quadro móvel,
compreende a seguinte sequência de operações:
Circuito eléctrico, do
ohmímetro analógico

6. 6
Medição de Impedâncias
Métodos de medição de resistências
Multímetro digital funcionando como
Ohmímetro
A resistência a medir, RX, é conectada aos terminais V-Ω e COMMON
onde uma corrente constante IX, passa através desta. A tensão
resultante, VS, aplicada ao conversor analógico-digital (A/D) , é
proporcional a RX.
X
3
const
F
S .R
R
I
R
V 






 
=
Diagrama de blocos, simplificado, de um multímetro
digital a funcionar como ohmímetro
const
I
A constante de proporcionalidade, pode
ser alterada através de selectores para
formar várias escalas de medição.

7. 7
Medição de Impedâncias
Métodos de medição de resistências
Método do voltímetro-amperímetro
v
R1
1
R1
v
1
R1
R1
R1
R
V
I
V
I
I
V
I
V
R
−
=
−
=
=
Leitura no voltímetro:
Leitura no amperímetro:
R1
V
1
I
R2
I
1º esquema possível
Valor da resistência:
Valor aproximado
da resistência:
1
R1
'
I
V
R = , Erro de método cometido:
V
'
M1
R
R
R
ε =
R2
R2
A
R2
A
R2
R2
I
I
R
-
V
I
V
-
V
I
V
R

=
=
=
Leitura no voltímetro:
Leitura no amperímetro:
2º esquema possível
Valor da resistência:
Valor aproximado
da resistência:
R2
'
I
V
R = , Erro de método cometido:
A
'
A
M2
R
-
R
R
R
ε =
V

8. 8
Medição de Impedâncias
Métodos de medição de resistências
Ponte de Wheatstone
As pontes de Wheatstone permitem a medição de resistências por
comparação com outras resistências conhecidas
R1, R2, R3 – Resistências de valores conhecidos
RX – Resistência de valor desconhecido
Por ajuste de R3, atingimos o ponto de equilíbrio (ig=0), e uma relação
entre as resistências pode ser obtida, como se mostra a seguir.
3
2
X
1 R
R
R
R =
3
1
2
X R
R
R
R =
ig
0
E
R
R
R
E
R
R
R
0
V
V
0
V
0
i
x
2
x
3
1
3
BD
CD
CB
g =
+
−
+

=
−

=

=



9. 9
Medição de Impedâncias
Métodos de medição de resistências
Análise da ponte de Wheatstone em desequilíbrio
g
th
th
g
R
R
V
i
+
=
E
R
R
R
R
R
R
V
x
2
x
3
1
3
th 







+
−
+
=
x
2
x
2
3
1
3
1
th
R
R
R
R
R
R
R
R
R
+
+
+
=
Com a ponte em desequilíbrio, a corrente no galvanómetro é diferente de
zero e pode ser calculada através do circuito equivalente de thévenin
aplicado ao terminais do galvanómetro.
Através da expressão da tensão de thévenin, podemos constatar que a
sensibilidade da ponte ( razão entre a variação da saída pela
correspondente variação da entrada em mV/Ω) aumenta com a tensão
de alimentação.
Algumas pontes de precisão, permitem variar a tensão de alimentação
de forma a aumentarmos a sensibilidade da ponte quando estamos
muito próximos do ponto de equilíbrio.
Resistência de thévenin
A corrente no galvanómetro, de resistência interna Rg, vem dada
por
ig
Tensão de thévenin

10. 10
Medição de Impedâncias
Bobinas
Modelo série de uma bobina
Modelo paralelo de uma bobina
Modelo de uma bobina para alta frequência
d
Fórmula Válida para
baixas frequências
Bobina de núcleo de
ar, com N espiras,
comprimento d,
área A

11. 11
Medição de Impedâncias
Condensadores
Modelo paralelo de um condensador
Modelo série de um condensador
Modelo de um condensador para alta frequência
Condensador de
cerâmica

12. 12
Medição de Impedâncias
Representação de impedâncias e
admitâncias no plano complexo

13. 13
Medição de Impedâncias
Fórmulas para os modelos de
condensadores e bobinas

14. 14
Medição de Impedâncias
Métodos de medição de impedâncias

15. 15
Medição de Impedâncias
Métodos de medição de impedâncias

16. 16
Medição de Impedâncias
Métodos de medição de impedâncias

17. 17
Pontes de corrente alternada
Em equilíbrio temos
(ICD=0):



+
=
+
=

=
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1




Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
3
2
4
1 Z
Z
Z
Z =
Medição de Impedâncias

18. 18
As pontes de comparação em corrente alternada são pontes simplificadas
que permitem a medição de indutâncias e de Capacitâncias por comparação
com indutâncias ou capacidades conhecidas
Pontes de corrente alternada - Pontes de Comparação
de indutâncias e de Capacitâncias
Pontes de comparação de Capacitância
Devem-se fazer ajustes sucessivos R1,R3,R1,R3
até se atingir a saída nula no detector D (Condição de equilíbrio)
Em equilíbrio temos:
Medição de Impedâncias

19. 19
Pontes de corrente alternada – Ponte
de Maxwell
É utilizada para medir indutâncias em função de uma capacidade
conhecida ( capacidade padrão)
A ponte de Maxwell está limitada à medida de bobines de baixo Q
(1<Q<10). o factor de qualidade da bobine é dado por Q=wL/R
Em equilíbrio temos:
Medição de Impedâncias

20. 20
Pontes de corrente alternada – Ponte
de Hay
É utilizada para medir indutâncias de Q elevado.
Em equilíbrio temos:







+
=
+
=
2
1
2
1
2
1
3
2
x
2
1
2
1
2
2
1
3
2
1
2
x
C
R
1
C
R
R
L
C
R
1
C
R
R
R
R



Medição de Impedâncias

21. 21
Pontes de corrente alternada – Ponte
de Schering
Serve para medir condensadores de baixas perdas
Em equilíbrio temos:
Medição de Impedâncias

22. 22
Pontes de corrente alternada – Ponte
de Wien
A ponte de Wien utiliza-se para:
- medir frequências;
- filtros;
- osciladores;
- medir capacidades.
Em equilíbrio temos:
Medição de Impedâncias

23. 23
Medição de Impedâncias
Este método de medição, esquematizado na figura abaixo, permite
determinar a capacidade de um condensador com razoável exactidão. O
factor de dissipação do condensador, deverá ser muito baixo ( o modelo do
condensador real pode ser representado por um condensador ideal ) para a
frequência de teste.
Medição de Capacitâncias utilizando um voltímetro
(método V-I)
~
g
V
R
V
R
I
Cx
C
V
O condensador de capacidade desconhecida CX, é conectado em série
com uma resistência de valor conhecido R e com uma fonte de tensão
alternada sinusoidal Vg. Depois, mede-se com o voltímetro o valor eficaz
das tensões aos terminais de cada elemento, VR e VC, separadamente.
R
V
I R
=
C
X
V
f
I
C

2
=
O valor eficaz da corrente I, pode agora ser encontrado através da expressão:
E a capacidade do condensador, vem
Onde f é a frequência da tensão alternada sinusoidal imposta pela fonte.

24. 24
Medição de Impedâncias
Medição de Indutâncias utilizando um voltímetro
(método V-I )
~
g
V
R
V
Lx
R
L
V
I
A bobina de indutância desconhecida LX, é conectada em série com
uma resistência variável de valor conhecido R e com uma fonte de
tensão alternada sinusoidal Vg.
Depois, vamos medindo sucessivamente com o voltímetro, o valor
eficaz das tensões aos terminais de cada elemento, VR e V L, e
ajustando o valor da resistência variável até que os valores das
tensões sejam iguais.
A indutância, é então obtida pela seguinte expressão:
f
r
R
LX

2
2
2
−
=
Onde r, é a resistência DC da bobina, que pode ser medida com
um multímetro, ou através de outro processo. Para frequências
elevadas, a resistência r, sofre uma variação apreciável devido a
vários factores, tais como, o efeito pelicular e as perdas no circuito
magnético.

25. 25
Medição de Impedâncias
Medição de Impedâncias utilizando o osciloscópio
(método V-I )
2
V
I
ZX 
I
1
V
12
φ
I
RX 
I
XX 
360º
T
Δt
φ12 
=
Para determinarmos o valor de uma impedância desconhecida, ZX,
começamos por colocar em série com a impedância, uma resistência da
valor conhecido R e um gerador de tensão sinusoidal de frequência bem
determinada. De seguida, analisamos no osciloscópio as ondas de tensão
aos terminais do gerador e da resistência, v1 e v2 respectivamente. Da
análise das ondas representadas, extraímos os seguintes resultados:
máx
1
1p )
(
v v
= máx
2
2p )
(
v v
=
12
1p
1 φ
V
V 
=
2p
2 V
V =
( )









=










=








+
+
=

+









+
+
=

+

+
=

+

=
R
)
sen(
V
V
X
R
1
-
)
cos(
V
V
R
V
R
X
j
R
R
R
)
sen(
jV
)
cos(
V
V
R
X
j
R
R
R
V
V
R
V
jX
R
V
V
I
Z
V
12
2p
1p
X
12
2p
1p
X
2p
X
X
12
1p
12
1p
2
X
X
1
2
2
X
X
1
2
X
1




R
V
I 2
=

26. 26
Medição de Impedâncias
Método dos três voltímetros
O método dos três voltímetros permite
determinar o valor de uma impedância
desconhecida, ZX, através da colocação
em série de uma resistência de valor
conhecido R e um gerador de tensão
sinusoidal de frequência bem determinada.
De seguida medimos as tensões indicadas
nos três voltímetros, V1, V2 e V3.
O valor da impedância pode ser
determinado a partir da análise seguinte:
Esquema de ligações para
determinar o valor de uma
impedância pelo método dos
três voltímetros
2
V
1
V
I
3
V
φ
I
RX 
I
XX 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )









−










=







 −
−
=



















+
+
=









+
=









+
+
=

=

+
=







+
=

=

=
2
X
2
2
2
1
X
2
2
2
2
2
1
2
3
X
2
2
2
X
2
X
2
3
2
2
2
X
2
X
2
1
2
2
X
2
X
2
3
2
2
2
X
2
X
2
1
X
3
2
X
1
R
R
V
V
X
V
V
V
V
2
R
R
R
V
X
R
R
V
R
V
X
R
V
I
X
R
R
V
I
R
V
I
X
R
V
I
)
Z
R
(
V
I
R
V
I
Z
V

27. 27
Medição de Impedâncias
Método dos três Amperímetros
O método dos três Amperímetros permite
determinar o valor de uma admitância
desconhecida, YX, através da colocação
em paralelo de uma condutância de valor
conhecido G e em série com o conjunto,
um gerador de tensão sinusoidal de
frequência bem determinada. De seguida
medimos as correntes indicadas nos três
amperímetros, I1, I2 e I3.
O valor da admitância pode ser
determinado a partir da seguinte análise:
Esquema de ligações para
determinar o valor de uma
Admitância pelo método dos
três amperímetros
2
I
1
I
V
3
I
φ
V
GX 
V
BX 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )









−










=







 −
−
=



















+
+
=









+
=









+
+
=

=

+
=







+
=

=

=
2
X
2
2
2
1
X
2
2
2
2
2
1
2
3
X
2
2
2
X
2
X
2
3
2
2
2
X
2
X
2
1
2
2
X
2
X
2
3
2
2
2
X
2
X
2
1
X
3
2
X
1
G
G
I
I
B
I
I
I
I
2
G
G
G
I
B
G
G
I
G
I
B
G
I
V
B
G
G
I
V
G
I
V
B
G
I
V
)
Y
G
(
I
V
G
I
V
Y
I

28. 28
As seguintes montagens, permitem determinar o valor de uma impedância
desconhecida ZX.
Potencia activa: 1
W
P =
1
1 I
V
S 
=
2
2
P
S
Q −
=
Potencia aparente:
Potencia reactiva:
Factor de Potencia:
S
P
)
cos( =

Impedância: 

=
1
1
X
I
V
Z
O sinal do ângulo de fase φ da impedância, assim como o sinal da
potência reactiva absorvida pela carga, é determinado pelo conhecimento
do carácter capacitivo ou indutivo da carga ZX. É positivo se a carga for
essencialmente indutiva e negativo se for capacitiva.
Para que os erros de método não sejam importantes, devido ao efeito de
carga dos aparelhos de medição, devemos utilizar a montagem a) para
medir impedâncias elevadas e a montagem b) para impedâncias baixas.
a) b)
Desprezando os erros de método associados a cada montagem, temos
sucessivamente os seguintes dados sobre a impedância desconhecida:
Medição de Impedâncias
Método do Voltímetro-Amperímetro-Wattímetro

29. 29
Medição de Impedâncias
Medição de Indutâncias, capacitâncias e resistências
com o medidor RLC (medidor de impedâncias digital)

30. 30
Medição de Impedâncias
Medidor de impedâncias digital