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- 1. 1 1 Filtros Electrónica 3 –2005/06 José Machado da Silva Vítor Grade Tavares Electrónica 3 – 2005/06 2 Filtros n Sumário q Introdução q Funções de aproximação de filtros n Transformação de frequências n Aproximações de Butterworth, Chebychev, Bessel, elípticas q Síntese - implementação de filtros TC/AC n Passivos n Activos q Implementação de filtros TD/AC n Filtros de capacidades comutadas
- 2. 2 Electrónica 3 –2005/06 3 Filtros n Exemplo q Determinar, usando um polinómio de Butterworth, a função de transferência de um filtro passa-banda que satisfaça os requisitos de filtragem especificados na figura seguinte. 2MHz 8MHz 0,5MHz 16MHz -3 dB -20 dB f0 Resolução: - Achar frequência central simétricas são não limite s frequência as MHz MHz 5 , 2 4 2 1 ' 2 1 0 0 = = = = c c p p f f f f f f ΩC 1 Ω log -3 dB -20 dB f log - Achar a frequência limite da banda de rejeição (ΩC) fp2 fp1 fc1 fc2 Electrónica 3 – 2005/06 4 Filtros n Resolução (cont.) Passa-baixo normalizado Passa- banda ) (ω s ) ( , . 1 2 2 0 2 2 2 p p pb o pb B s s S ω ω ω ω ω ω − − = Ω + = 2 1 , p p ω ω 1 = Ω pb 2 1, C C ω ω 1 2 1 2 p p c c C ω ω ω ω − − = Ω 3 51 , 2 5 , 2 log 2 1 10 log 2 5 , 2 2 2 25 , 5 2 10 20 2 0 0 2 1 2 0 2 1 0 0 1 1 2 0 1 = ⇒ = − ≥ × = × − − = Ω × = × − − = Ω − − n n f f f f f f f f f f f f f f c c p p c c c p p c π π π π Usar a menor Ω log -3 dB -20 dB ΩC 1 ( )( ) 3 3 3 0 2 2 2 0 0 3 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 ) ( + + + + + + = + + + = + + + = s s B s s B s s B S S S S S S S H b b b b b b b ω ω ω
- 3. 3 Electrónica 3 –2005/06 5 Filtros n Conversão passa-baixo -> passa-banda q No passa-baixo normalizado uma indutância tem como reactância: q e um condensador uma admitância: q Invertendo a normalização, a indutância converte-se num LC s érie: q e a capacidade num LC paralelo λ λ λ b S j X = Ω = λ λ λ ω λ λ x s x s s s x sB s Sb ∆ + ∆ = + ∆ = + = 1 1 1 2 0 2 λ L C γ γ γ γ b S j Y X 1 1 1 = Ω = = γ γ γ γ ω γ γ x s x s s s x sB s Sb ∆ + ∆ = + ∆ = + = 1 1 1 2 0 2 L C Electrónica 3 – 2005/06 6 Filtros n Normalização de componentes passivos q unidade de indutância q unidade de capacidade q valor normalizado da indutância q valor normalizado da capacidade ; 1 ; p c u p c u R C R L ω ω = = ; ; u u C C L L = = γ λ u u u u C L C C L L L L 2 2 1 1 2 2 1 1 ; ; γ γ λ λ = = = =
- 4. 4 Electrónica 3 –2005/06 7 Filtros – circuitos ressonantes 2ªordem n Circuito ressonante LC C L • Pólos D(s)= 0 => estrutura natural corresponde Xi(s)= 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s X s X s D s N s H i o = = Polinómios C L I C L V + - C L V + - I= 0 V= 0 V= 0 Electrónica 3 – 2005/06 8 Filtros – circuitos ressonantes 2ªordem n Circuito ressonante LC C L Zeq ∞ = + − = + = = = ) ( ) ( 2 2 2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω j Z c j s c s s Z eq o j s o eq o LC o 1 = ω Frequência de ressonância C Zin Zo L ∞ = = = + − = = = ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω j Z j Z j Z j Z L j j Z o eq o in o in o o
- 5. 5 Electrónica 3 –2005/06 9 Filtros – circuitos ressonantes 2ªordem n Circuito ressonante RLC C R L RC Q LC Q s s LC RC s s s D o o o ω ω ω ω = = + + = + + = 1 1 1 ) ( 2 0 2 2 A B C • Síntese de filtros PB, PA, PBanda e RB mediante divisores de tensão: 2 1 2 ) ( ) ( ) ( Z Z Z s V s V s H i o + = = Z2 Z1 Vi(jw) Vo(jw) Electrónica 3 – 2005/06 10 Filtros – passivos n Filtro Passa-baixo (PB) sem freq de “notch” implica 2 zeros no infinito. Os zeros são quando . Estes são os únicos zeros. 0 2 1 → ∧ ∞ → Z Z ∞ → s C R L B C Vi(jω) Vo(jω) A Z2 Z1 LC s RC s LC s Q s s H o o o 1 1 1 ) ( 2 2 2 2 + + = + + = ω ω ω XC XL Sugestão: Obter expressão de Q
- 6. 6 Electrónica 3 –2005/06 11 Filtros – passivos n Filtro Passa-alto (PA) sem freq de “notch” implica 2 zeros em zero. 0 2 1 → ∧ ∞ → Z Z 0 → s XC XL C R L B C Vi(jω) Vo(jω) A Z2 Z1 LC s RC s s s Q s s s H o o 1 1 ) ( 2 2 2 2 2 + + = = + + = ω ω Os zeros são quando . Estes são os únicos zeros. Sugestão: Obter expressão de Q Electrónica 3 – 2005/06 12 Filtros – passivos n Filtro Passa-baixo (PB) com freq de “notch” implica 2 zeros finitos no eixo jω. Para o LC paralelo então para o eq Z ω ω = ∞ = ⇒ ; R B C Vi(jω) Vo(jω) A Z2 Z1 2 2 2 2 ' ' ) ( o o n s Q s s C C C s H ω ω ω + + + + = ∞ → 1 Z o n n zero j s ω ω ω > ± = L//C’ C L C’ o n n o C L L C C ω ω ω ω > × = × + = ' ' 1 ) ( 1 0 dB
- 7. 7 Electrónica 3 –2005/06 13 Filtros – passivos n Filtro Passa-alto (PA) com freq de “notch” implica 2 zeros finitos. Para o LC paralelo então para 2 2 2 2 ' ) ( o o n s Q s s L L L s H ω ω ω + + + + = C R L’ B C Vi(jω) Vo(jω) A Z2 Z1 L o eq Z ω ω = ∞ = ⇒ ; ∞ → 1 Z L’//C o n n o C L C L L ω ω ω ω < × = × = ' ' 1 // 1 o n n zero j s ω ω ω < ± = SPICE aborta a simulação 0 dB Electrónica 3 – 2005/06 14 Filtros – passivos n Filtro Passa-banda (P-B) implica 1 zero finito (zero) e outro infinito. Dois zeros impostos por Z2, R B C Vi(jω) Vo(jω) A Z2 Z1 L C C s L s ⇒ ∞ → ⇒ → ; 0 LC s RC s s RC s Q s s Q s H o o o 1 1 1 ) ( 2 2 2 + + = = + + = ω ω ω -3 dB RC Q BW 1 0 = = ω 0 dB
- 8. 8 Electrónica 3 –2005/06 15 Filtros – passivos n Filtro rejeita-banda (RB) implica 2 zeros finitos em ±jωo. C L j s n // ⇒ ± → ω LC s RC s LC s s Q s s s H o o o 1 1 1 ) ( 2 2 2 2 2 2 + + + = = + + + = ω ω ω C R L B C Vi(jω) Vo(jω) Z2 Z1 Dois zeros impostos por Z1, -3 dB RC Q BW 1 0 = = ω 0 dB Electrónica 3 – 2005/06 16 Filtros passivos – síntese n Passa-baixo λ1 Vi(jω) Vo(jω) γ2 γ4 γn λ3 λn-1 Vi(jω) Vo(jω) γ1 γ3 γn-1 λ2 λn Y22 I2 V2 V1 I1 Qualquer que seja a ordem do filtro: ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( 1 ) ( ; 1 ) ( ; 2 1 2 2 22 2 2 2 1 22 1 2 2 22 1 2 2 22 1 2 2 2 2 0 2 2 22 0 2 1 1 1 s sD s D s Y s D s sD s H Y Y V V s H V Y YV V V Y YV I I I V V I Y V I Y V V = + = + − = = + = − ⇒ + = − = − = = = = = ρ C C R R = ρ C C R R = ρ Neste caso fez-se Y=Y12
- 9. 9 Electrónica 3 –2005/06 17 Filtros passivos – síntese n Passa-baixo s s s s s s Y n n n 1 2 3 2 1 22 1 1 ... 1 1 1 λ γ λ γ λ γ + + + + + = − − λ1 γ2 γ4 γn λ3 λn-1 I2 V2 V1 I1 Y22 4 3 2 613 , 2 414 , 3 613 , 2 1 1 ) ( s s s s s H + + + + = s s s s s s s s Y 531 , 1 1 577 , 1 1 082 , 1 1 383 , 0 1 414 , 2 613 , 2 613 , 2 1 383 , 0 2 3 22 + + + = + + + = Electrónica 3 – 2005/06 18 Filtros passivos – síntese n Valores normalizados 0,309 0,894 1,381 1,694 1,546 5 0,383 1,082 1,577 1,531 4 0,5 1,333 1,5 3 0,707 1,4142 2 γ6 /λ6 γ5 /λ5 γ4 /λ4 γ3 /λ3 γ2 /λ2 γ1 /λ1 n λ1 Vi(jω) Vo(jω) γ2 γ4 γn λ3 λn-1 Y22 I2 V2 C C R R = ρ ρ=1 Vi fonte de impedância interna nula 0,8023 2,6131 1,2477 2,7754 1,1955 1,8898 6 2,4565 0,7536 4,366 0,8096 3,4129 5 0,8420 2,7095 1,2336 1,9774 4 2,556 0,7589 3,4345 3 0,9047 2,0941 2 γ6 /λ6 γ5 /λ5 γ4 /λ4 γ3 /λ3 γ2 /λ2 γ1 /λ1 n Chebychev – ripple=0,3dB Butterworth
- 10. 10 Electrónica 3 –2005/06 19 Filtros passivos – síntese n Operações de transformação Rejeição de banda Passa- banda Passa-alto Passa-baixo Passa-baixo normalizado λ γ γ ω 2 0 c BR c BR γ c p R γω 1 c R B γ 1 c R B 1 2 0 ω γ c BR λ 1 2 0 ω λ c BR c R B λ c R B 1 2 0 λω c p R × ω λ c p R 1 1 λω c p R 1 ω γ Electrónica 3 – 2005/06 20 Filtros – passivos n Exemplo q Determinar, os valores dos componentes do filtro passa-banda que satisfaça os requisitos de filtragem especificados na figura seguinte, para uma resistência de carga de 1kΩ. 2MHz 8MHz 0,5MHz 16MHz -3 dB -20 dB f0 f log fp2 fp1 fc1 fc2 λ1=1,5 Vi(jω) Vo(jω) γ2=1,333 C C R R = ρ λ3=0,5 L1 Vi(jω) Vo(jω) C2 Ω = k RC 1 C1 L3 C3 L2
- 11. 11 Electrónica 3 –2005/06 21 Filtros – passivos n L1 Vi(jω) Vo(jω) C2 Ω = k RC 1 C1 L3 C3 L2 ( ) ( ) ( ) = Ω × = = Ω × = = Ω × = = Ω × = = Ω × = = Ω × = pF k MHz MHz C H k MHz L pF k MHz C H k MHz MHz L pF k MHz MHz C H k MHz L 4 , 119 1 1 5 , 0 . 4 2 6 2 3 , 13 1 6 2 5 , 0 4 , 35 1 1 6 2 333 , 1 8 , 44 1 333 , 1 . 4 2 6 2 8 , 39 1 1 5 , 1 . 4 2 6 2 8 , 39 1 6 2 5 , 1 2 3 3 2 2 2 2 1 1 π π µ π π µ π π π π µ π 500kHz 2MHz 8MHz 16MHz Electrónica 3 – 2005/06 22 Filtros passivos – síntese n Perdas nos elementos passivos C L RL GC L L R L Q ω = c L G C Q ω = • Perdas elevadas • Para baixas freq. o tamanho e peso tornam-se bastante elevados. • A não linearidade nos materiais ferromagnéticos origina harm ónicos. • Indutores irradiam e captam ondas electromagnéticas => ruído. 1000 < L Q • Baixas perdas • Melhor comportamento no que respeita aos restantes aspectos. 000 . 10 < C Q Indutâncias Condensadores
- 12. 12 Electrónica 3 –2005/06 23 Filtros activos n Eliminar as indutâncias. n Resultam, em geral, em circuitos de menores dimensões que o equivalente RLC. n Permitem ganho >1 n Soluções: q Substituir as indutâncias de uma malha RLC por um circuito baseado em AmpOp-RC, que apresente uma impedância de entrada indutiva. q Síntese do sistema de equações diferenciais de primeira ordem (variáveis de estado), recorrendo a integradores de Miller. q Síntese de “biquads” recorrendo a um único amplificador com realimentação. São filtros com aplicabilidade em situações onde Q<10. Electrónica 3 – 2005/06 24 Filtros activos 2ª ordem – giradores (gyrators) n O girador n Indutância = − = − = − = = = 1 2 2 1 21 12 22 11 , 0 , 0 AYV I V A Y I A AY Y A Y Y Y Y positiva real admitância - Y positivo real nº Y, A I1 I2 V2 V1 Quadripólo activo para o qual: Y, A I1 I2 V2 V1 indutância ⇒ = − = − = = − = ω ω 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 Y C j V I AY Y A I V CV j I AYV I V A Y I
- 13. 13 Electrónica 3 –2005/06 25 Filtros activos 2ª ordem – giradores n Realização do girador + - I1 V1 I2 V2 R1 R2 R3 R4 ( ) = = − = = = − = = + − = = − + = − + = − = − = 0 ; 1 1 ; 1 1 22 4 21 1 12 1 11 4 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 2 3 1 2 4 2 2 1 3 1 2 4 2 2 3 0 2 4 2 2 2 0 2 1 2 1 1 Y R Y R Y R Y R V I R V R V I V R R R R R R R V V V R R R R V I R V V R V I R V V R V V I 4 2 3 1 R R R R se ; Y, A I1 I2 V2 V1 R1 = = 4 1 4 1 1 R R A R R Y V0 Electrónica 3 – 2005/06 26 Filtros activos 2ª ordem – giradores n Realização do girador + - I1 V1 I2 V2 R1 R0 R0 R1 + - R R R1 Ri=-R1
- 14. 14 Electrónica 3 –2005/06 27 Filtros activos 2ª ordem – giradores n Girador –> Conversor de impedância + - + - Z4 Z3 Z2 Z1 Z5 A Zeq A 4 2 5 3 1 Z Z Z Z Z Zeq = Electrónica 3 – 2005/06 28 Filtros activos 2ª ordem – giradores n + - + - + - + - 4 2 5 3 1 R C R R R L L j Zeq = = ω A B 3 5 1 4 2 2 2 1 1 R C C R R D D D s Z j s eq = − = = = ω ω R1 C2 R3 R4 R5 C1 R2 R3 R4 C5 B A
- 15. 15 Electrónica 3 –2005/06 29 Filtros activos 2ª ordem – giradores n Passa-alto Y, A I1 V2 V1 + - V2 C C R = = = + + = 2 1 2 1 ) ( 2 2 RY m C Y A j jm j A j H c c c c ω ω ω ω ω ω ω ω Electrónica 3 – 2005/06 30 Filtros activos 2ª ordem – giradores n Quando a indutância é flutuante não é adequado usar o conversor de impedâncias n Para se usar o conversor de impedâncias nestas circunstâncias, divide-se cada componente do circuito por s. C s s C L s sL L sR s R R sC 2 1 1 1 1 = → = → = → − Capacidade de valor R-1 Resistência de valor L Elemento D de valor C • Nem todas as topologias se podem implementar usando esta técnica.
- 16. 16 Electrónica 3 –2005/06 31 Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estado n Filtros de variável de estado e biquads (biquadráticos) q baseiam-se no integrador de Miller. q permitem mais do que uma resposta simultaneamente. q são pouco sensíveis às não idealidades dos componentes. q são em geral fáceis de ajustar. Electrónica 3 – 2005/06 32 Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estado n Elementos básicos + - ° Integrador ideal R1 C C R o 1 1 = ω + - Σ ° Somador + - R1 C RC o 1 = ω R sRC R R s A + − = + 1 1 1 0 ω s o ω − ° Integrador com perdas
- 17. 17 Electrónica 3 –2005/06 33 Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estado n Computação analógica – resolução de equações diferenciais com circuitos analógicos ) ( ) ( ) ( 2 2 s D s N s H x cy dt dy b dt y d a = → = + + oPA o o oPA o i oPA i oPA o o V s s V s Q AV V V V s Q s As s H ω ω ω ω ω − − = ⇔ = + + = 1 ) ( 2 2 2 s o ω − Σ oPA o V S ω − oPA o o V s s ω ω oPA V -1 Q 1 A i V (Realização de Kelvin) s o ω − Passa-Banda (VoP-B) Passa-Baixo (VoPB) Passa-Alto (VoPA) Electrónica 3 – 2005/06 34 Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estado n + - R C + - aR C + - R/c R R R oPA o V s ω − oPA o o V s s ω ω oPA V VoPA VoPBanda VoPB + - bR R = = = = = − = = = = + + = + + = + + = b ac Q a c RC A b ac Q a c RC b A b ac Q a c RC c A j Q j j A j H j Q j Q j A j H j Q j A j H c c c c c c PA c c c PBd c c PB ; 1 1 ; 1 1 ; 1 1 1 ) ( ; 1 ) ( ; 1 1 ) ( 2 2 2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω
- 18. 18 Electrónica 3 –2005/06 35 Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estado n Kerwin-Huelsman-Newcomb + - R C + - R C + - R1 Rf R2 R3 − = + = = Q A R R Q R Rf 1 2 ; 1 2 1 ; 1 2 3 1 oPA o V s ω − oPA o o V s s ω ω oPA V VoPA VoPBanda VoPB RC o 1 = ω (Ganho) Electrónica 3 – 2005/06 36 Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estado n Filtro com “notch” + - VoPA VoP-Bd VoPB Vo RB RL RF ( ) ( ) ( ) L H o n o o o L F o B F H F i o R R s Q s R R s R R s R R A V V ω ω ω ω ω ω = + + + − − = 2 2 2 2 / / / RH
- 19. 19 Electrónica 3 –2005/06 37 Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estado n Filtro Biquad Tow-Thomas (ou Filtro Ressonante) + - R’ + - R C + - R R2 R1 oPA o V s ω − oPA V VoP-B VoPB -VoPB C R’ R R Q K R R K R R PBanda PB 2 1 2 1 = = − = RC o 1 = ω ° Ajuste Ortogonal: • Ajustar R para ωo • Ajustar R2 para Q • Ajusta R1 para o ganho do PA ou P-B Electrónica 3 – 2005/06 38 Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estado n Filtro Biquad Tow-Thomas com “notch” + - R’ + - R C + - R R2 R1 oPA o V s ω − oPA V Vo C R’ R3 R4 2 2 3 4 ' 1 1 2 1 ) ( o o o o s Q s CR R R CR s C C s s H ω ω ω ω + + + − + = Vi C1 -VoPB
- 20. 20 Electrónica 3 –2005/06 39 Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estado n Filtro Biquad Tow-Thomas: q Todos os amplificadores em modo inversor: § Mais fácil compensar os offsets. § Não há limitações de modo comum (importante se compensarmos o amplificador em “feedforward” => boa largura de banda). q Com cuidado conseguem-se Qs na ordem das centenas. Electrónica 3 – 2005/06 40 Filtros activos 2ª ordem – um AmpOp n Síntese de “biquads” recorrendo-se a um único amplificador com realimentação. n Usados quando Q<10 + - Q’ Q I’2 I2 V2 V1 21 21 1 2 2 2 22 1 21 2 22 2 21 2 ' ' 0 ' ' ' Y Y V V H I I V V Y V Y I V Y V Y I − = = = = + = + = Seleccionando os quadripólos Q e Q’ é possível sintetizar uma função de transferência V
- 21. 21 Electrónica 3 –2005/06 41 Filtros activos 2ª ordem – um AmpOp n Passa-baixo q Q: q Q’ 1 1 1 0 2 1 2 21 2 1 1 1 1 1 RC j R RC j R R RC j R R V I Y V ω ω ω + − = + + + − = = = R R C1 R C2 R C1 1 2 1 2 1 2 2 2 0 2 1 2 21 2 ) ( 2 1 1 ' RC j C C R j RC j R V I Y V ω ω ω + + + − = = = = 2 1 2 1 0 2 0 0 2 1 ; 1 ; 1 ; 1 C C Q C C R A j Q j A H = = − = + + = ω ω ω ω ω V2 V1 Electrónica 3 – 2005/06 42 Filtros activos 2ª ordem – um AmpOp n Passa-alto q Q’ q Q R1 R2 C 1 2 C R1 C C 1 2 2 1 0 2 0 0 2 0 2 1 ; 1 ; 1 ; 1 R R Q R R C A j Q j j A H = = − = + + = ω ω ω ω ω ω ω
- 22. 22 Electrónica 3 –2005/06 43 Filtros activos 2ª ordem – um AmpOp n Passa-banda q Q’ q Q ( ) C R j R R R C j C R j C j C R j R C j C R j R R V I Y V 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 0 2 1 2 21 2 1 ) ( 2 1 1 1 1 1 ' ω ω ω ω ω ω ω + + + − = + + + − − = = = R1 C 1 2 C C 2R1 R2 ( ) C R j R C R j C j R V I Y V 1 2 2 1 0 2 1 2 21 2 1 1 2 1 ω ω ω + − = + − = = = 1 2 2 1 0 1 2 2 0 0 0 2 1 ; 1 ; 2 ; 1 R R Q R R C R R A j jQ jQ A H = = − = + + = ω ω ω ω ω ω ω V2 V1 Electrónica 3 – 2005/06 44 Filtros activos 2ª ordem – um AmpOp n Rejeita-banda q Q q Q’ R R 2C 1 2 V2 V1 C C R/2 R/2 C 1 2 C 2R ( ) ( ) 1 ; 1 ; 1 1 1 1 1 0 2 0 0 2 0 2 2 = = − = + + + = + + + − = Q RC A j Q j j A RC j RC j RC j H ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) RC j R RC j RC j Y RC j R RC j Y ω ω ω ω ω + + + − = + + − = 1 2 1 ' 1 2 1 2 21 2 21
- 23. 23 Electrónica 3 –2005/06 45 Filtros activos 2ª ordem – um AmpOp n + - a b Circuito RC • Síntese do circuito RC na malha de realimentação por forma a realizar um par de pólos complexos com ωo e Q • Injectar o sinal de entrada num nó para realizar os zeros. ) ( ) ( ) ( ) ( s D s AN A s t A V V s L b a = = = • Ganho da malha: • Equação característica: 0 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 0 ) ( 1 = ⇒ − = ⇔ = + ∞ → s D s N A s D s N s L A • Os pólos do filtro são os zeros de t(s) A Electrónica 3 – 2005/06 46 Filtros activos 2ª ordem – um AmpOp n Ponte em T R2 C3 R1 C4 a b .... 1 1 1 1 ) ( 2 1 4 3 4 2 1 2 R R C C C R R s s V V s t b a + + + = = R4 R3 C2 a b .... 1 1 1 1 ) ( 4 3 2 1 3 2 1 2 R R C C R C C s s V V s t b a + + + = = C1
- 24. 24 Electrónica 3 –2005/06 47 Filtros activos 2ª ordem – um AmpOp n Passa-baixo + - C a b C vo(t) vi(t) R4 0 1 1 2 4 3 2 3 2 = + + R R C R C s s • Equação característica 2 2 2 2 o o o i o Q s s Q s Q V V ω ω ω + + − = Ganho pode ser elevado 4 3 4 3 1 2 1 R R C R R Q o = = ω R3 Electrónica 3 – 2005/06 48 Filtros activos 2ª ordem – um AmpOp n Filtro Passa-Banda com atenuação. + - R4 R3 C2 a b C1 vo(t) vi(t) R5 • Com R5//R4=R’4: Equação característica 2 2 2 4 5 4 2 o o o i o w Q w s s Q w s Q R R R V V + + × + − = 0 ' 1 1 2 4 3 2 3 2 = + + R R C R C s s Ganho atenuado ( ) ( ) 5 4 3 5 4 3 // 1 // 2 1 R R R C w R R R Q o = =