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Transformada discreta de_fourier
- 1.
- 2. Serie de fourier f(t)= 1 2 𝑎0+ 𝑘=1 ∞ 𝑎 𝑘 cos 2𝜋𝑘𝑡 + 𝑏 𝑘 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑘𝑡
- 3. Serie de fourier f(t)= 1 2 𝑎0+ 𝑘=1 ∞ 𝑎 𝑘 cos 2𝜋𝑘𝑡 + 𝑏 𝑘 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑘𝑡 Função periodica
- 4. Serie de fourier f(t)= 1 2 𝑎0+ 𝑘=1 ∞ 𝑎 𝑘 cos 2𝜋𝑘𝑡 + 𝑏 𝑘 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑘𝑡
- 5. Serie de fourier f(t)= 1 2 𝑎0+ 𝑘=1 ∞ 𝑎 𝑘 cos 2𝜋𝑘𝑡 + 𝑏 𝑘 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑘𝑡
- 6. Serie de fourier f(t)= 1 2 𝑎0+ 𝑘=1 ∞ 𝑎 𝑘 cos 2𝜋𝑘𝑡 + 𝑏 𝑘 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑘𝑡 Frequência
- 7. Serie de fourier f(t)= 1 2 𝑎0+ 𝑘=1 ∞ 𝑎 𝑘 cos 2𝜋𝑘𝑡 + 𝑏 𝑘 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑘𝑡 Frequência
- 8. Serie de fourier f(t)= 1 2 𝑎0+ 𝑘=1 ∞ 𝑎 𝑘 cos 2𝜋𝑘𝑡 + 𝑏 𝑘 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑘𝑡 Coeficientes
- 9. Transformada de fourier X(F)=−∞ ∞ 𝑥(𝑡) 𝑒−𝑖 2 𝜋 𝐹 𝑡 𝑑𝑡 função Função analisadora: senoides
- 10. Transformada de fourier X(F)=−∞ ∞ 𝑥(𝑡) 𝑒−𝑖 2 𝜋 𝐹 𝑡 𝑑𝑡 função Função analisadora: senoides
- 11. X(F)= −∞ ∞ 𝑥(𝑡) 𝑒−𝑖2 𝜋 𝐹 𝑡 𝑑𝑡 função Função analisadora: senoides Resultado:Um coeficiente complexo por frequencia Xa(F)= −∞ ∞ 𝑥(𝑡) cos 2𝜋𝐹𝑡 𝑑𝑡 Xb(F)= −∞ ∞ 𝑥(𝑡) 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝐹𝑡 𝑑𝑡 Resultado:dois coeficientes reais por frequencia X(F)= Xa(F)+ 𝑖 Xb(F)
- 12. X(F)= −∞ ∞ 𝑥(𝑡) 𝑒−𝑖2 𝜋 𝐹 𝑡 𝑑𝑡 tempo amplitude T1 Tn To Tn-1
- 13. Transformada de fourier X(F)=−∞ ∞ 𝑥(𝑡) 𝑒−𝑖 2 𝜋 𝐹 𝑡 𝑑𝑡 Xk= 𝑛=0 𝑁−1 𝑥 𝑛 𝑒− 𝑖 2𝜋𝑘𝑛 𝑁 continuo discreto Soma de n-1 amostras K-esima frequencia
- 14. Transformada de fourier X(F)=−∞ ∞ 𝑥(𝑡) 𝑒−𝑖 2 𝜋 𝐹 𝑡 𝑑𝑡 Xk= 𝑛=0 𝑁−1 𝑥 𝑛 𝑒− 𝑖 2𝜋𝑘𝑛 𝑁 continuo discreto 𝑘 𝑁 - > f 𝑛 - > t
- 15. Transformada de fourier Xk= 𝑛=0 𝑁−1 𝑥𝑛 𝑒− 𝑖 2𝜋𝑘𝑛 𝑁discreto amplitude tempo frequencia tempo
- 16. Xk= 𝑛=0 𝑁−1 𝑥 𝑛 𝑒− 𝑖2𝜋𝑘𝑛 𝑁 Xk= 𝑥0 𝑒−𝑖𝑏0 + 𝑥1 𝑒−𝑖𝑏1+....+ 𝑥 𝑛 𝑒−𝑖𝑏 𝑛 𝑒−𝑖𝑏0 = cos 𝑏0 + 𝑖 sen 𝑏0 euler 𝑏 𝑛
- 17. Imaginario (i) Real (𝐴 𝑘,,𝐵𝑛) 𝐴 𝑛 𝐵𝑛
- 18. Imaginario (i) Real (𝐴 𝑘,,𝐵𝑛) 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 𝐴 𝑘² + 𝐵 𝑛² 𝜃 𝜃 = tg−1 𝑥 𝑦 𝐹𝑎𝑠𝑒
- 19. 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 𝐴𝑘² + 𝐵𝑛²𝜃 = tg−1 𝑥 𝑦 𝐹𝑎𝑠𝑒 amplitude tempo
- 20. 𝑂𝑛𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜 1ℎ𝑧,𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 1 Frequencia de amostragem:8hz Amostras N=8 1 segundo 1 metro amplitude tempo
- 21. 𝑂𝑛𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜 1ℎ𝑧,𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 1 Frequencia de amostragem:8hz Amostras N=8 1 segundo 1 metro amplitude tempo
- 22. 𝑂𝑛𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜 1ℎ𝑧,𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 1 Frequencia de amostragem:8hz Amostras N=8amplitude tempo 0 0,707 1 0,707 0 -1 -0,707 -0,707
- 23. 𝑂𝑛𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜 1ℎ𝑧,𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 1 Frequencia de amostragem:8hz Amostras N=8 0 0,707 1 0,707 0 -1 -0,707 -0,707 𝑥0= 𝑥1= 𝑥2= 𝑥3= 𝑥4= 𝑥6= 𝑥5= 𝑥7= Xk= 𝑛=0 𝑁−1 𝑥 𝑛 𝑒− 𝑖 2𝜋𝑘𝑛 𝑁 X0, X1, X2, X3, X4, X5 , X6 , X7 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 X0 X0 = 𝑛=0 7 𝑥 𝑛 𝑒− 𝑖 2𝜋0𝑛 𝑁 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0 amplitude
- 24. 𝑂𝑛𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜 1ℎ𝑧,𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 1 Frequencia de amostragem:8hz Amostras N=8 0 0,707 0,707 0 -1 -0,707 -0,707 𝑥0= 𝑥1= 𝑥3= 𝑥4= 𝑥6= 𝑥5= 𝑥7= Xk= 𝑛=0 𝑁−1 𝑥 𝑛 𝑒− 𝑖 2𝜋𝑘𝑛 𝑁 X0, X1, X2, X3, X4, X5 , X6 , X7 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 X1 X1 = 𝑛=0 7 𝑥 𝑛 𝑒− 𝑖 2𝜋1𝑛 7 frequenciaamplitude X0=0
- 25. 𝑂𝑛𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜 1ℎ𝑧,𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 1 Frequencia de amostragem:8hz Amostras N=8 Xk= 𝑛=0 𝑁−1 𝑥 𝑛 𝑒− 𝑖 2𝜋𝑘𝑛 𝑁 X0, X1, X2, X3, X4, X5 , X6 , X7 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 X2 X2 = 𝑛=0 7 𝑥 𝑛 𝑒− 𝑖 2𝜋2𝑛 7 frequenciaamplitude X0=0 X1 =-4i 𝑥0= 𝑥1= 𝑥3= 𝑥4= 𝑥6= 𝑥5= 𝑥7= 0 0,707 0,707 0 -1 -0,707 -0,707
- 26. 𝑂𝑛𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜 1ℎ𝑧,𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 1 Frequencia de amostragem:8hz Amostras N=8 Coeficientes de fourier X0=0 X1 = 0-4i X2 = 0 X3 =0 X4 = 0 X5 = 0 X6 = 0 X7 = 4𝑖 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒|𝑋1| = 02 + 42 = 4 Frequencia(hz) (0hz) (1hz) (2hz) (3hz) (4hz) (5hz) (6hz) (7hz) (8hz) 4 𝑁𝑦𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡: 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚/2
- 27. 𝑂𝑛𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜 1ℎ𝑧,𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 1 Frequencia de amostragem:8hz Amostras N=8 Coeficientes de fourier X0=0 X1 = 0-4i X2 = 0 X3 =0 X4 = 0 X5 = 0 X6 = 0 X7 = 4𝑖 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒|𝑋1| = 02 + 82 =8 Frequencia(hz) (0hz) (1hz) (2hz) (3hz) (4hz) (5hz) (6hz) (7hz) (8hz) 8
- 28. 𝑂𝑛𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜 1ℎ𝑧,𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 1 Frequencia de amostragem:8hz Amostras N=8 Coeficientes de fourier X0=0 X1 = 0-4i X2 = 0 X3 =0 X4 = 0 X5 = 0 X6 = 0 X7 = 4𝑖 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒|𝑋1| = 02 + 42 = 4 Frequencia(hz) (0hz) (1hz) (2hz) (3hz) (4hz) (5hz) (6hz) (7hz) (8hz) 1 Amplitude=8 /8=1
- 29. Imaginario (i) Real 𝜃=3𝜋/2X0=0 X1 =-i X2= 0 X3 =0 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒=1
- 30.
- 31.
- 32.
- 33. Exemplo x= u+v y=u-v 11 1 -1 1 1 1 -1 D=-2 |D|=|-2|=2 Logo jacobiano=2