Este documento descreve a modelagem e simulação de um controlador centrífugo utilizado para controlar a velocidade de máquinas a vapor no século 18. O documento inclui: 1) a dedução das equações diferenciais que modelam o controlador; 2) a linearização do modelo; 3) simulações do modelo real e linearizado; e 4) a simulação do controlador em um sistema de realimentação para controlar a velocidade de um motor CC.

1. Laborat´orios
de
CONTROLO
(LEE)
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1o
Trabalho
Realimenta¸c˜ao
(Controlador Centr´ıfugo)
Jo˜ao Miguel Raposo Sanches
1o
Semestre 2005/2006
Instituto Superior T´ecnico
(Tagus Park)
1

2. 2
1 Introdu¸c˜ao
Neste trabalho iremos abordar e motivar alguns conceitos importantes na
´area do Controlo, como sejam 1)Modela¸c˜ao de sistemas, 2)Realimenta¸c˜ao, e
3)Controlo. Para exemplificar os v´arios conceitos utilizaremos o controlador
Figura 1: Centrifugal Speed Governor.
centr´ıfugo (Centrifugal Speed Governor - http://en.wikipedia.org/wiki/Centrifugal governor),
inventado por James Watt em 1788 (ver Fig.1).
O controlador centr´ıfugo foi um dos primeiros mecanismos utilizados no
controlo de velocidade de m´aquinas a vapor. O maior ou menor afastamento
das esferas consoante a velocidade de rota¸c˜ao permite controlar a abertura
ou fecho de uma v´alvula de vapor que aumentava ou diminuia o bin´ario do
motor. Desta forma, o controlador tenta manter a velocidade do motor t˜ao
est´avel quanto poss´ıvel.
Neste trabalho iremos deduzir as equa¸c˜oes diferenciais que descrevem o
comportamento dinˆamico do controlador centr´ıfugo de Watt (CCW) e o
correspondente modelo linear (o CCW ´e altamente n˜ao linear como veremos
mais tarde). Estes dois modelos ser˜ao simulados e os resultados comparados.
Finalmente iremos simular o comportamento do CCW quando inserido
numa malha de realimenta¸c˜ao para controlar a velocidade de um motor de
corrente cont´ınua (MDC).

3. 3
Nota:Todos os gr´aficos observados devem ser inclu´ıdos no relat´orio e
comentados.
2 Modela¸c˜ao
A modela¸c˜ao do sistema passa pela dedu¸c˜ao das equa¸c˜oes diferenciais que o
governam. Este sistema ´e n˜ao linear o que torna a sua an´alise dif´ıcil. Para
ultrapassar este problema podemos utilizar modelos lineares cujo comporta-
mento ´e muito semelhante ao modelo real se o sistema se desviar pouco de
um determinado ponto de equil´ıbrio (PE). O modelo linear pode ser obtido
atrav´es do desenvolvimento em s´erie de Taylor ou atrav´es da utiliza¸c˜ao de
vari´aveis incrementais que representam os pequenos desvios em torno do PE.
2.1 Modelo real
De acordo com a Fig.2 deduza a equa¸c˜ao diferencial que descreve, do pondo
de vista da dinˆamica, o CCW. Para isso utilize a equa¸c˜ao fundamental da
dinˆamica, F = M ¨x em que x = Lθ. Admita ainda que existe um bin´ario de
atrito proporcional `a varia¸c˜ao angular de θ, isto ´e, τa = FaL = −b ˙θ ⇒ Fa =
−(b/L) ˙θ. Na Fig.2 as vari´aveis tˆem o seguinte significado:
• ω =velocidade angular
• M =massa de cada esfera
• θ =ˆangulo dos bra¸cos do controlador centrifugo com a horizontal
• b = coeficiente de atrito das articula¸c˜oes, Fb = −b ˙θ/L a horizontal (ver
Fig. 2)
Sugest˜ao:Calcule as for¸cas tangentes `a traject´oria de cada uma das mas-
sas, pois apenas essas for¸cas contribuem para o movimento das mesmas.
Considera-se como sentido positivo aquele que conduz a um aumento do
ˆangulo θ.
2.2 Pontos de equil´ıbrio
Calcule os pontos de equil´ıbrio do CCW, isto ´e, a curva θ = feq(ω). Esta
fun¸c˜ao fornece os valores do ˆangulo de afastamento da horizontal para os

4. 4
Figura 2: Esquema do controlador centr´ıfugo.
diferentes valores da velocidade angular ω em regime estacion´ario. Desenhe
o gr´afico de feq e comente-o.
2.3 Lineariza¸c˜ao
O sistema CCW ´e altamente n˜ao linear como se pode verificar da equa¸c˜ao
diferencial obtida em 2.1. Nesta al´ınea pretende-se obter uma aproxima¸c˜ao
linear em torno de um ponto de equil´ıbrio θ0 para pequenas varia¸c˜oes em
torno da velocidade angular ω0. Para isso dever´a utilizar as seguintes equa¸c˜oes:
ω = ω0 + γ (1)
θ = θ0 + φ (2)
em que (γ, φ) representam pequenos desvios em torno do ponto de equil´ıbrio
(ω0, θ0).
3 Simula¸c˜ao
Nesta sec¸c˜ao iremos utilizar a ferramenta gr´afica de simula¸c˜ao, Simulink, do
MatLab para simular os modelos deduzidos anteriormente. O modelo do

5. 5
sistema real est´a guardado em ficheiro e necessita, para funcionar, que sejam
definidas as vari´aveis globais (workspace), ω0, θ0 e g = 9.8ms−2
.
3.1 Modelo Real
O ficheiro simulink centrifGov.mdl cont´em o modelo real do CCW. Este
modelo foi constru´ıdo admitindo que L = 10cm e M = 100g.
3.1.1 Entrada Constante, ω = 11.7725rads−1
, θinic = 0
Simule o sistema com um valor constante de velocidade angular, ω = 11.7725rad/seg.
Nesta experiˆencia o valor inicial dos integradores ´e nula (θinic = 0) e o coefi-
ciente de atrito b = 0. Fa¸ca a simula¸c˜ao, registe e comente o que observou.
3.1.2 Entrada Constante, ω = 11.7725rads−1
, θinic = π/4
Neste caso o valor inicial do 2o
integrador ´e θinic = π/4. Registe e comente
o que observa. Comente, designadamente, as diferen¸cas em rela¸c˜ao `a al´ınea
anterior.
3.1.3 Entrada Constante, b = 0
Experimente alterar o valor do coeficiente de atrito e observe o resultado(comece
pelo valor b = 10−2
).
3.1.4 Entrada Escal˜ao
Observe a resposta do sistema quando a entrada ´e o seguinte escal˜ao: ω(t) =
12 + 2u(t − 5) durante 10s. Calcule θinic de forma a garantir continuidade
para t = 0. Ajuste o coeficiente de atrito de forma a obter o melhor resultado.
3.2 Modelo Linear
Construa em simulink o modelo linear do sistema obtido em 2.3.
3.2.1 PE
Calcule ω0 de forma a que, no equil´ıbrio, θ0 = π/4. Os valores de L e M
mantˆem-se, isto ´e, L = 10cm e M = 100g.

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3.3 Resposta ao escal˜ao
Observe a resposta do sistema ao escal˜ao ω(t) = 2u(t−2). Compare com o re-
sultado obtido em 3.1.4 sobrepondo os gr´aficos (n˜ao se esque¸ca de considerar
os valores de (ω0, θ0).
Figura 3: Controlador Mecˆanico
4 Realimenta¸c˜ao
Nesta sec¸c˜ao iremos simular a utiliza¸c˜ao do CCW para controlar a velocidade
angular de um motor DC. Os eixos do motor e do CCW encontram-se ligados

7. 7
atrav´es de um dispositivo de desmultiplica¸c˜ao de a : 1 com a > 1, isto ´e, a
velocidade angular do motor ´e maior que a do controlador centrifugo (ver
Fig.3). A maior ou menor abertura dos bra¸cos do CCW permite regular
o valor da resistˆencia do potenci´ometro de forma a controlar a velocidade
angular do motor.
4.1 Parˆametros do motor DC
Admita que o motor DC pode ser aproximado a um sistema de primeira
ordem cuja fun¸c˜ao de transferˆencia ´e:
G(s) =
K0
1 + τs
(3)
e cuja resposta ao escal˜ao est´a representada na Fig.4.
A partir da Fig.4 calcule os parˆametros do motor DC, K0 e τ.
4.2 Factor de desmultiplica¸c˜ao, a
Calcule o valor do factor de desmultiplica¸c˜ao a de forma a que o ˆangulo dos
bra¸cos do CCW seja de π/4 (L = 10cm) quando a velocidade angular do
motor for 1000rpm
4.3 h(φ)
Nesta al´ınea pretende-se relacionar a vari´avel h com o desvio incremental do
ˆangulo θ, isto ´e, φ, tal que θ = θ0 + φ. Admita que o ˆangulo de equil´ıbrio ´e
θ0 = π/4. Utilize as simplifica¸c˜oes: cos(φ) ≈ 1 e sin(φ) ≈ φ.
4.4 Cadeia fechada
Vamos simular a resposta do sistema em cadeia fechada tal como est´a rep-
resentado na Fig.5. A simula¸c˜ao ´e feita aplicando um escal˜ao `a entrada Text
para simular perturba¸c˜oes (bin´arios) exteriores. Comente a forma como o
ganho K condiciona a resposta do sistema `as perturba¸c˜oes exteriores.
4.4.1 CCW - Modelo Real
Simule o sistema em cadeia fechada usando o modelo real obtido em 2.1.

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4.4.2 CCW - Modelo Linear
Simule o sistema em cadeia fechada usando o modelo linearizado obtido em
2.3.
4.5 Coment´arios
Comente e compare os gr´aficos obtidos anteriormente.
Figura 4: Resposta ao escal˜ao do motor de CC.
Figura 5: Sistema em cadeia fechada.