Cap_1 - Análise de Sinais. Espectro de Frequência

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SISTEMAS DE TELECOMUNICAÇÕES - I
INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO PRIVADO DO UÍGE
Criado pelo Decreto Presidencial nº 132/17 de 19 de junho 1ª série nº 98
Uíge, 2023 / 2024
CAPÍTULO I. ANÁLISE DE SINAIS
Eng.º Manuel Mbenza
manueldjuna@gmail.com

1. Série de Fourier
2. Análise Espectrográfica
4. Divisão do Espectro de Frequência
3. Transformadas de Fourier
CONTEÚDO

1. SÉRIE DE FOURIER
A Série de Fourier pode ser apresentada sob a forma
trigonométrica ou sob a forma exponencial.
“Uma função periódica 𝑓 𝑡 pode ser decomposta
em uma somatória de senos e cossenos
equivalentes à função dada.”
Podemos enunciar a Série Trigonométrica de Fourier da
seguinte forma:
A Expressão Matemática da Série Trigonométrica de Fourier é:
𝑓 𝑡 =
𝑎0
2
+
𝑛=1
∞
(𝑎𝑛. cos 𝑛 𝜔0𝑡 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛 𝜔0𝑡)

Onde: 𝑓 𝑡 é a função a ser desenvolvida;
𝑎0
2
é o valor médio de 𝑓 𝑡 ;
𝑎𝑛 e 𝑏𝑛 são os coeficientes da Série de Fourier;
𝜔0 é a velocidade angular da função 𝑓 𝑡 .
𝑓 𝑡 =
𝑎0
2
+
𝑛=1
∞
(𝑎𝑛. cos 𝑛 𝜔0𝑡 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛 𝜔0𝑡)
A Expressão Matemática da Série Trigonométrica de Fourier é:

a) Cálculo de 𝒂𝟎
𝑎0 =
2
𝑇
0
𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
Cálculo dos coeficientes da Série de Fourier
Podemos ainda deduzir:
𝑎0
2
=
1
𝑇
0
𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
que é a equação genérica do
valor médio de uma função
𝑓 𝑡 qualquer.
Aproveitando a definição de valor médio como a relação
entre a área apresentada pela função em um período e o
valor do período, podemos ainda escrever:
𝑎0
2
=
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑡 𝑒𝑚 1 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 1 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜

a) Cálculo de 𝒂𝒏
𝑎𝑛 =
2
𝑇
0
𝑡
𝑓 𝑡 . cos 𝑛 𝜔0 𝑡 𝑑𝑡
Cálculo dos coeficientes da Série de Fourier
a) Cálculo de 𝒃𝒏
𝑏𝑛 =
2
𝑇
0
𝑡
𝑓 𝑡 . sen 𝑛 𝜔0 𝑡 𝑑𝑡

2. ANÁLISE ESPECTROGRÁFICA
Quando analisamos uma grandeza eléctrica como função
do tempo, o gráfico é chamado de “forma de onda”. Mas,
quando analisamos uma grandeza eléctrica como função da
velocidade angular ou da frequência, é chamado de
“ESPECTRO”.
Espectro de Amplitudes
O Espectro de amplitudes apresenta as amplitudes
máximas das componentes da onda.

Nem todas as cossenóides dos harmónicos começam ao
mesmo tempo, ou de uma forma mais correcta, nem todas
têm a mesma FASE.
Espectro de Fase
Lembrando a equação horária fundamental do MHS e
aproximando-a, por exemplo, para uma tensão alternada
cossenoidal, teremos:
Onde: 𝜃 é o ângulo de fase inicial da tensão alternada 𝑉 𝑡
𝑉 𝑡 = 𝑉𝑚á𝑥 . cos(𝜔𝑡 + 𝜃)
Assim, o Espectro de Fase, apresenta os pontos onde
ocorrem a desfasagem de 180º ou ainda 𝜋 rad.

Através da expressão da potência
dissipada em um elemento resistivo,
Espectro de Potências
é possível efectuar um estudo, aplicando ao espectro de
amplitudes, para a obtenção do espectro de potências.
Mas os outros termos, correspondentes aos harmónicos,
são dados em função do valor máximo da cossenóide,
obedecendo a uma relação deduzida pela análise de
circuitos eléctricos, que resulta em:
𝑃 =
𝐸2
𝑅
O termo correspondente à velocidade
angular nula obedece à relação
𝐸2
𝑅
𝑃 =
𝐸𝑚á𝑥
2
2𝑅

Espectro de Potências
A potência média de uma função periódica é dada por:
Considerando-se resistência unitária, pode ser dada por:
𝑃𝑚 =
1
𝑇
0
𝑡
𝑓(𝑡)2 𝑑𝑡
𝑃𝑚 = 𝐸0
2
+
𝑛=1
∞
𝐸𝑛2
2

Exercícios
1. Determinar o desenvolvimento em Série
Trigonométrica de Fourier, para a função da figura
abaixo.
a) A partir dos resultados obtidos, determinar os
espectro de amplitude, fase e potência para 𝒆 𝒕 .

Exercícios
Trigonométrica de Fourier, bem como os espectros de
amplitudes, fases e potências.

3. TRANSFORMADAS DE FOURIER
A Transformada de Fourier de um sinal contínuo 𝑥(𝑡) é
definida pelo integral
Enquanto que a transformada inversa vem dada por
Definição
𝑋(𝑗𝜔) =
−∞
+∞
𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑥(𝑡) =
1
2𝜋 −∞
+∞
𝑋(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔

Designa-se por espectro de frequência de 𝑥(𝑡) a sua
transformada de Fourier, 𝑋(𝑗𝜔).
De um modo geral, 𝑋(𝑗𝜔) é uma função complexa de
variável real 𝜔 (frequência angular), pelo que pode ser
escrita na forma
Definição
𝑋 𝑗𝜔 = |𝑋 𝑗𝜔 |𝑒𝑗𝜃(𝑗𝜔)
em que |𝑋 𝑗𝜔 | representa a característica de amplitude e
θ(j𝜔) = arg 𝑋(𝑗𝜔) a característica da fase.

Transformada de Fourier de funções elementares
Propriedades

1. Linearidade
Propriedades
Se
𝑥1 𝑡 ↔ 𝑋1 𝑗𝜔
então
𝑎𝑥1 𝑡 + 𝑏𝑥2 𝑡 ↔ 𝑎𝑋1 𝑗𝜔 + 𝑏𝑋2(𝑗𝜔)
2. Translação no Tempo
Se
𝑥 𝑡 ↔ 𝑋 𝑗𝜔
então
𝑥 𝑡 − 𝑡0 ↔ 𝑒−𝑗𝜔𝑡0𝑋(𝑗𝜔)

3. Translação na Frequência
Propriedades
Se
então
𝑒𝑗𝜔0𝑡𝑥(𝑡) ↔ 𝑋 𝑗(𝜔 − 𝜔0 )
4. Mudança de Escala
Se
então
𝑥 𝑎𝑡 ↔
1
|𝑎|
𝑋(
𝑗𝜔
𝑎
)

5. Convolução
Propriedades
6. Diferenciação no Domínio do Tempo
Se
então
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
↔ 𝑗𝜔𝑋(𝑗𝜔)
Se
então
𝑥1 𝑡 ∗ 𝑥2 𝑡 ↔ 𝑋1 𝑗𝜔 𝑋2(𝑗𝜔)

7. Diferenciação no Domínio da Frequência
Propriedades
8. Integração no Domínio do Tempo
Se
então
−∞
𝑡
𝑥 𝜏 𝑑𝜏 ↔
1
𝑗𝜔
𝑋 𝑗𝜔 + 𝜋𝑋(𝑗0)𝛿(𝜔)
Se
então
𝑡𝑥 𝑡 ↔ 𝑗
𝑑𝑋(𝑗𝜔)
𝑑𝜔

9. Simetria
Propriedades
10. Dualidade
Se
então
𝑋(𝑗𝑡) ↔ 2𝜋𝑥(−𝜔)
Se 𝑥(𝑡) é uma função real, então
𝑋 −𝑗𝜔 = 𝑋∗ 𝑗𝜔
em que o operador (*) representa o complexo conjugado.

1. Determine a transformada de Fourier de cada uma
das seguintes funções no tempo:
Exercícios
𝐚) 𝑥(𝑡) = 𝛿(3𝑡)
b) 𝑥 𝑡 = 1 + 2𝛿(𝑡)
c) 𝑥 𝑡 = 𝛿 𝑡 − 5 + 𝛿(𝑡 − 2)
d) 𝑥(𝑡) = 𝑒2𝑡
𝑢−1(𝑡)

4. DIVISÃO DO ESPECTRO DE FREQUÊNCIA
O espectro electromagnético representa todas as
frequências nas quais se distribui a energia
electromagnética. Inclui valores muito pequenos, passa
pelas ondas de rádio e televisão, pelas micro-ondas, pelas
frequências de infravermelho, de luz visível e de ultravioleta,
chegando a limites muito elevados, correspondente aos
raios X, raios gama e raios cósmicos.

Após a II Grande Guerra, o aumento na demanda de
serviços e de aplicações exigiu que se normalizassem as
diferentes faixas ou bandas de frequência. Em convenção
de 1956, a Comissão Consultiva Internacional de
Radiocomunicação (CUIR) classificou as faixas de acordo
com a Tabela 4.1. Segundo esse critério, até a faixa N=12
os limites são fixados pelos valores:
0,3 × 10𝑁 ≤ 𝑓 < 3 × 10𝑁

Significados das siglas de identificação das faixas do
espectro electromagnético empregadas em
radiocomunicações
Sigla Definição original Equivalência em Português
ELF Extremely-low frequencies Frequência extremamente baixa
SLF Super-low frequencies Frequências superbaixas
ULF Ultra-low frequencies Fequências ultrabaixas
VLF Very-low frequencies Frequências muito baixas
LF Low frequencies Frequências baixas
MF Medium frequencies Frequências médias
HF High frequencies Frequências altas
VHF Very-high frequencies Frequências muito altas
UHF Ultra-high frequencies Frequências ultra-altas
SHF Super-high frequencies Frequências super-altas
EHF Extremely-high frequencies Frequências extremamente altas

Subfaixas práticas tradicionais de micro-ondas
Nome Limites
(GHz)
Nome Limites
(GHz)
Nome Limites
(GHz)
UHF 0,30 – 3,00 H 7,05 – 10,0 U 40,0 – 60,0
L 1,00 – 1,55 X 8,20 – 12,4 V 40,0 – 80,0
S 1,00 – 3,95 M 10,0 – 15,0 E 60,0 – 90,0
G 3,95 – 5,85 Ku 12,4 – 18,0 W 58,0 – 110
C 3,95 – 8,20 K 18,0 – 26,5 F 90,0 – 140
J 5,30 – 8,20 Ka 26,5 – 40,0 N 80,0 – 170
H 7,05 – 10,0 Q 23,0 – 46,0 D 110 – 170

Alocação das frequências
Diversos serviços estão previstos nas várias faixas de frequências.
A radiodifusão em amplitude modulada, por exemplo, está restrita
а região do espectro entre 300kHz e 30MHz, faixas de ondas
médias e ondas curtas.
Os sistemas de televisão em VHF têm portadoras de 54MHz a
88MHz (canais baixos) e entre 174MHz e 216MHz (canais altos),
segundo o padrão norte-americano. Na padronização europeia, as
frequências para o mesmo tipo de serviço são de 47M Hz a 68MHz
para os canais baixos e de 174MHz a 223MHz para os canais altos.
No intervalo de 88MHz e 108MHz estão as emissoras comerciais
de radiodifusão em frequência modulada (FM). A partir de 470MHz
distribuíam-se os canais de televisão de UHF e acima de 800MHz
as frequências foram destinadas para telefonia móvel celular.

Frequências na faixa de ULF são típicas de sinais gerados
em terremotos e muitas frequências VLF são empregadas
para comunicações submarinas próximas da superficie do
mar.
Destacam-se aplicações especiais de determinadas
regiões do espectro. As faixas de ELF e SLF são para
comunicações com submarinos submersos em grandes
profundidades. Em parte da faixa de SLF, em frequências
típicas de 50Hz e 60Hz, tem-se a distribuição de energia
elétrica em corrente alternada.

Entre 30kHz e 300kHz encontram-se aplicações em
sistemas de radiofarol. evenltualmente conhecidos como
faróis não direcionais (NDB - non-directional beacon). Trata-
se de uma estação radiotransmissora de localização bem
conhecida que emite um sinal de radiofrequência de
codificação especificada. A partir dessa codificação, torna-
se possível identificar a estação.
Para tanto, receptores móveis localizados em aeronaves,
navios e veículos terrestres conseguem receber esse sinal
e processá-lo depois da atuação de um detector automático
de direcção (ADF - automatic detection finding). Com isso,
determina-se a respectiva posição relativa ao local do
transmissor.

Ainda que haja um crescimento muito grande no emprego
de equipamentos auxiliares а navegação por meio de
satélites, os radiofaróis continuam com uso disseminado,
até como instrumentos de auxílio e de referência para os
sinais empregados em sistemas de posicionamento
global (GPS).

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FIM...
Grato pela atenção dispensada!
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