1. Portfolio sobre Polya
Isabel Almeida
08-06-2012

2. Índice
Introdução ..................................................................................................................................... 2
Em primeiro lugar conjeture, depois prove .................................................................................. 3
Conclusão ...................................................................................................................................... 6
Bibliografia .................................................................................................................................... 7
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3. Introdução
O trabalho tem como objetivo comentar a seguinte frase:
"Em primeiro lugar conjeture; depois prove... A matemática em estado final é
constituída por provas, mas a matemática enquanto está a ser desenvolvida consiste
de conjeturas." [Pólya, 1966]
Os comentários foram essencialmente apoiados no vídeo "Let us teach guessing" de G.
Pólya.
A aprendizagem consiste num conjunto de descobertas, que vêm de adivinhas, às
quais também se pode chamar palpites ou conjeturas. Após testar estes palpites
podemos demonstrar os resultados como verdadeiros, se eles forem confirmados. Mas
se os palpites ou conjeturas não estiverem corretos, temos de voltar ao estado inicial e
voltar a conjeturar até encontrar o caminho correto.
É um processo difícil, pois, no início, nem sempre os palpites são os mais confiáveis ou
os mais corretos, mas, à medida que se vai desenvolvendo essa capacidade, os palpites
passam a ser mais fiáveis - nesta fase a matemática ainda está em desenvolvimento.
Quando os provamos passamos a ter fatos e podemos dizer que temos uma
matemática em estado final.
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4. Em primeiro lugãr conjeture, depois prove
George Pólya, matemático de origem húngara, nasceu a 13 de Dezembro de 1887 e
morreu a 7 de Setembro de 1985. Durante a sua vida, trabalhou numa grande
diversidade de tópicos matemáticos, incluindo séries, teoria dos números,
combinatória e teoria das probabilidades. Escreveu vários livros e no final da sua vida
tentou caracterizar o modo de resolver problemas de matemática e descrever como
deveria ser ensinada a resolução de problemas.
Com efeito, o método de Pólya consiste em atividades matemáticas, as quais possuem
uma componente formal (que envolve axiomas, definições, teoremas e
demonstrações), uma componente algorítmica (composta por procedimentos que
apenas podem ser adquiridas através de um treino sistemático), e inclui também
combinar observações, seguir analogias, recorrer a imagens, formular conjeturas e
“adivinhar” antes de fazer a prova, ou seja, inclui também uma componente intuitiva.
Um enunciado que se pensa ser verdadeiro mas ainda não foi provado é conhecido
como uma conjetura, enquanto a prova matemática é uma demonstração de que,
dados certos axiomas, um determinado enunciado é verdadeiro.
A prova começa na Grécia Antiga, com os matemáticos Thales, Eudoxo, Theaetetus e
Aristóteles. Euclides foi o grande revolucionário, usando a prova com o seu método
axiomático no seu livro Elementos, no qual uma das provas mais notórias é o Teorema
de Pitágoras. Teve a sua evolução na idade média e foi de tal modo apoiada ao longo
dos anos que hoje não se aceita nada por dogmatismo, uma vez que tudo tem de ser
provado.
Pólya recorre muitas vezes à capacidade de adivinhar, de formular conjeturas e de
provar. Um exemplo desta situação encontra-se no vídeo "Let us teach guessing", no
qual Pólya é filmado dar uma aula em que utiliza o problema de determinar o número
de regiões quando se corta 5 planos no espaço. Coloca esta questão à turma e espera
que os seus alunos adivinhem e respondam apontando no quadro as suas respostas,
questionando-os como chegaram aos valores em questão.
Pólya começa por dizer que o problema é difícil e que, em casos deste tipo, temos de
simplificar o problema e pergunta aos seus alunos como simplificar o problema. De
seguida, alguns dos seus alunos respondem que se pode começar por responder ao
número de regiões no espaço que se obtém com 3 planos, outro aluno responde que
era melhor começar pelo número de regiões com 2 planos e ainda outro aluno com o
número de regiões com 1 plano.
Pólya tenta que os alunos façam uma adivinhação mais cuidadosa. Um plano cria duas
regiões, dois planos dão quatro regiões, três planos dão oito regiões, depois os alunos
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5. concordam, por analogia, que de quatro planos deveriam resultar 16 regiões. Esta
resposta ainda é uma suposição, pois é um palpite baseado num padrão observado em
função do corte dos planos anteriores. A maior parte do vídeo é agora gasto a testar
esta hipótese, a contagem do número de regiões formadas por quatro planos. Pólya
acumula a intuição geométrica, fazendo com que os alunos olhem para um corte de
linha por pontos, em seguida, um plano de corte de linhas e, finalmente, corte do
espaço por planos. E, claro, ele leva os alunos a descobrir que quatro planos criam 15
regiões, e não 16.
Ao longo do processo de prova foi criada uma tabela do número de partes de uma
linha, planos, e corte no espaço. Usando o processo indutivo e olhando para os
valores Planos/Espaço, verifica-se que os valores começam a duplicar, e, de seguida, o
valor duplica subtraído de um.
N 0 1 2 3 4 5
Planos/Espaço 1 2 4 8 15
Retas/Plano 1 2 4 7 11
Pontos/Reta 1 2 3 4 5
E a seguir Pólya quer saber em quantas partes se corta o espaço usando 5 planos. O
próximo valor será 29 (dobro do valor anterior menos um)? Cinco planos aleatórios
dividem o espaço em 29 partes?
Pólya sugere que os seus alunos olhem para os relacionamentos dos dados não só em
cada linha de valores, mas para olharem para todos os dados em conjunto.
Existem vários alunos que afirmam que o número de regiões formadas por 5 planos é
igual ao número de regiões formadas por quatro planos no espaço mais o número de
áreas em que um plano é cortado por quatro retas, e que este padrão deve continuar.
Por indução, e observando a tabela, o número de regiões formada por cinco planos
deve ser: 15 + 11 = 26.
N 0 1 2 3 4 5
Planos/Espaço 1 2 4 8 15 26
Retas/Plano 1 2 4 7 11 16
Pontos/Reta 1 2 3 4 5 6
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6. Devemos olhar primeiro para os problemas mais fáceis para criar padrões. Um padrão
é detetado por indução e permite generalizar a fórmula para qualquer n. Resolvemos
problemas análogos e construímos modelos para ajudar a visualizar o problema. Pólya
acaba por não provar para 26 pois o objetivo de Pólya era incentivar a capacidade de
adivinhar e estimular a capacidade de solucionar problemas dos seus alunos.
O vídeo termina com Pólya a realçar a frase “um facto é muito diferente de uma
conjetura ou um palpite”.
O facto é real e já foi testado e provado, e o processo está concluído, isto é, a
comunidade científica assume como verdadeira uma determinada teoria, por outro
lado se a conjetura não for provada, não passa disso mesmo; e enquanto isto
acontecer não podemos usar esse conceito matemático.
Pólya era um defensor acérrimo da capacidade de adivinhar e depois provar. Aliás, no
seu livro Mathematical Discovery, George Pólya sugere que os professores de
matemática utilizem a seguinte checklist:
1. Estar interessado no seu assunto
2. Conheça bem o seu assunto
3. Saber sobre as formas de aprendizagem: A melhor maneira de aprender
alguma coisa é descobri-la por si mesmo
4. Tente ler os rostos dos seus alunos, tente ver as suas expectativas e as
dificuldades, e coloque-se no seu lugar.
5. Dê-lhes não apenas informações, mas também know-how, atitudes mentais, o
hábito de trabalho metódico.
6. Deixe-os aprender adivinhando.
7. Deixe-os aprender provando.
8. Procure pelas características do problema na altura, e como pode ser útil na
resolução dos problemas que virão - tentar revelar o padrão geral que está por
detrás da presente situação concreta.
9. Não dê o seu segredo todo de uma vez - deixe os alunos adivinhar antes de o
dizer. Deixe-os descobrir por si mesmos o quanto é viável.
10. Sugerir, não forçá-lo pela goela abaixo.
Na regra 6, Pólya escreve na página 118, vol. 2: "primeiro dê o palpite, e depois prove
– e deixe-os proceder à descoberta na maioria dos casos, você devia saber isto (a partir
de sua própria experiência, se possível), e você deve saber, também, que o professor
de Matemática tem excelentes oportunidades para mostrar a regra de adivinhar na
descoberta e, portanto, usar isto para imprimir aos seus alunos uma importante
atitude com a mente. Este último ponto não é tão conhecido como deveria ser e,
justamente por essa razão merece atenção especial. Eu queria que você não
descuidasse dos seus alunos a este respeito: Deixe-os aprender adivinhando".
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7. Conclusão
O papel do professor é incentivar os seus alunos a aprender a dar palpites ou adivinhar
e conseguirem depois provar os seus palpites.
Os palpites que o professor quer estimular, naturalmente são os razoáveis e estes
palpites baseiam-se no uso da evidência indutiva da analogia, e englobam todos os
procedimentos do raciocínio plausível que desempenham um papel fundamental no
método científico.
Depois das conjeturas, vêm então as provas e, então podemos verificar se a conjetura
ou o conjunto das conjeturas estão corretas. Em caso afirmativo, ficamos satisfeitos
pois chegamos ao caminho certo da descoberta.
Pólya concebe a Matemática não como uma disciplina formal, mas sim como uma
disciplina dependente da intuição, da imaginação e da descoberta, defendendo que se
deve imaginar a ideia de como provar um teorema antes de prová-lo. Pode-se dessa
maneira perceber que muitas vezes erramos e temos que descobrir outras saídas, e
assim acabamos por melhorar a nossa capacidade de imaginar soluções. Para além
disso, segundo o autor, se erramos nos palpites, isso acaba por ser positivo pois
melhoramos a nossa capacidade de conjeturar ou de adivinhar.
A Matemática é o suporte para as formulações científicas como o caso da Física, da
Biologia e outras ciências. Precisamos dos fatos para construir e verificar afirmações, e
justificarmos os nossos métodos e provar os nossos resultados, e sem estes fatos não
podemos avançar na aprendizagem da Matemática.
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8. Bibliogrãfiã
 Pólya, G. Video "Let us teach guessing"
 Pólya, G. Mathematical Discovery: on understanding, learning, and teaching
problem solving .John Wiley, 1981.
 http://pt.wikipedia.org/wiki/George_P%C3%B3lya
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