Este trabalho nos fornece uma compreensão fundamental dos sistemas em engenharia e ciências, destacando a importância de entender as propriedades que governam seu comportamento. A definição de sistema, suas classificações em relação à memória, lineares, discretos e invariáveis no tempo, bem como as respostas ao impulso e as propriedades da convolução, são elementos cruciais para analisar e projetar sistemas em várias aplicações.

1. Curso de engenharia informática e de telecomunicações
Cadeira: Sistemas de comunicação digital
Tema: Sistemas lineares, discreto e invariante no tempo (LIT)
Resposta ao impulso / Convolucão
Propriedades dos sistemas LIT
Discente:
Bruno Da Pideade João Nampuio
Nampula,
Outubro 2023

2. Bruno Da Piedade João Nampuio
Tema: Sistemas lineares, discreto e invariante no tempo (LIT)
Resposta ao impulso / Convolucão
Propriedades dos sistemas LIT
Cadeira: Sistemas de comunicaҫão digital
Nampula, 30 de Outubro de 2023
Presente trabalho é de carácter avaliativo da cadeira
de “Sistema de comunicaҫão digital” 2 ano/ 4
semestre, do curso de engenharia informática e de
telecomunicações.

3. 3
Índice
Introdução ............................................................................................................................4
Objectivos .............................................................................................................................4
Objetivo Geral: ..................................................................................................................4
Objectivos Específicos: ......................................................................................................4
Sistemas lineares, discretos e invariante no tempo..............................................................5
Sistema ..............................................................................................................................5
Sistemas lineares................................................................................................................6
Sistema discreto .................................................................................................................7
Invariante no tempo ...........................................................................................................7
Resposta ao impulso/convolucão ..........................................................................................7
Respostas ao impulso .........................................................................................................7
Respostas a convolucão......................................................................................................8
Propriedades do sistema LIT .............................................................................................12

4. 4
Introdução
Presente trabalho tem por objetivo apresentar os sistemas lineares, discreto e invariantes no tempo (LIT), resposta
ao impulso/convolucão e propriedades dos sistemas LIT. Corretamente está organizado em 16 páginas tendo 1
capitulo, no qual irei abordar sobre sistemas lineares, discreto, invariante no tempo (LIT), resposta ao
impulso/convolucão e propriedades dos sistemas LIT
A metodologia utilizada, foi a revisão de literatura acadêmicas e científicas que sustentaram a pesquisa e a
argumentação apresentadas no trabalho, onde se realizou um levantamento bibliográfico, e quanto a estrutura, o
trabalho apresenta: capa, contra - capa, índice, introdução, desenvolvimento, conclusão e referências
bibliográficas.
Na Engenharia Elétrica, um sistema pode ser definido como uma transformação que é aplicada em um sinal,
chamado de sinal de entrada, para produzir outro sinal, chamado de sinal de saída. Portanto, a utilização de
sistemas tem por objetivo transformar sinais, visando torná-los mais adequados para as aplicações desejadas
(GURJÃO & CARVALHO, 2011)
Um sistema linear satisfaz o teorema da superposição e implica que o sistema tem condições iniciais iguais a zero
e que a equação do sistema envolva apenas operadores lineares. Pode–se utilizar a superposição para um sistema
com condições iniciais distintas de zero, se o sistema for linear. Neste caso, deve-se considerar o sistema como

5. Sistemas lineares, discretos e invariante no tempo
Sistema: é uma entidade em que os sinais de saída são alterados pelos sinais de entrada. Ex: motor elétrico, motor
mecânico, equalizador de áudio, computador, automóvel, ecossistemas (SILVEIRA, 2014)
Figura 1: Representação de um esquema do sistema
Fonte: Silveira (2014)
Para Padilha (2010 – 2011: 17) ele afirma que:
Um sistema pode ser entendido como qualquer processo que resulta na transformação de sinais, podendo
ser caracterizado como dispondo de um sinal de entrada e de um sinal de saída que se relacionam pela
transformação do sistema. As notações usadas para representar as transformações de sistema, sejam eles
discretos, são as que seguem:
x[n]→ y[n]
Figura 2: Formula do sistema Fonte: Paradilha
(2010 – 2011)
Figura 3: Esquema do sistema discreto
Propriedade do sistema
Memória
Um sistema diz-se sem memória se o seu valor de saída, para um dado valor da variável independente (tempo), só
depender do valor da entrada nesse mesmo tempo.
5

6. Um sistema contínuo com a seguinte relação entre a entrada e a saída:
y
(
t
)
= 2 x
(
t
)
+ x3
(
t
). Não tem memória.
Já os sistemas caracterizados pelas seguintes relações entre a entrada e a saída têm memória: y(t)= x(t −1),
(PARADILHA, 2010 - 2011)
Sistemas lineares: Um sistema é dito ser LINEAR se ele obedece ao Princípio da Superposição. Dado um
sistema com entrada x1(t) associada à saída y1(t), entrada x2(t) associada à saída y2(t), e assim por diante até a n-
ésima entrada xN(t) associada à n-ésima saída yN(t), (KAW, 2013)
Figura 4: Esquema do sistema linear
Fonte: Kaw (2013)
Ao discutir sobre sistemas lineares, Marques (2010: 3) afirma que:
Um sistema é linear se for válido o princípio da sobreposição generalizado. A resposta do sistema a uma
combinação linear de duas entradas x1, x2 é uma combinação linear das saídas y1, y2. Assim sendo, um
sistema é linear se, para quaisquer sinais de entrada, por exemplo:
Exemplo 1: x
1
→ y
1
, x
2
→ y
2
⇒ ∀a,b ∈ C, ax
1
+ bx
2
→ ay
1
+ by
2
Figura 5: Alguns exemplos do sistema lineares Fonte:
Marques (2010)
6

7. Sistema discreto: São aqueles nos quais tanto o sinal de entrada quanto o sinal de saida são a tempo discreto
(ESQUEF, 2016)
Um sistema pode ser um filtro, um amplificador, um sistema de controle, onde há uma entrada x[n] que ´e
processada (transformada), produzindo uma saiıda y[n] (HIGUTTI, 2020)
Figura 6: Esquema do sistema de tempo discreto
Fonte: HIGUTTI (2020)
Invariante no tempo: Um sistema é dito ser INVARIANTE NO TEMPO se um retardo, ou avanço, de tempo do
sinal de entrada resultar em um deslocamento de tempo idêntico ao sinal de saída. As características de um
sistema invariante no tempo não se alteram com o tempo (KAW, 2013)
Figura 7: Esquemas do sistema invariante no tempo discreto
Fonte: KAW (2013)
Resposta ao impulso/convolucão Respostas ao
impulso
A resposta ao impulso, h, obtém-se aplicando um impulso unitário à entrada do sistema e observando a saída
(MARQUES, 2010) Figura 8: Esquema da resposta ao impulso
Fonte: Marques (2010) 7

8. A resposta ao impulso caracteriza completamente o SLIT (MARQUES, 2010)
Respostas a convolucão
A saída de um SLIT pode ser calculada através da convolução entre a entrada e a resposta ao impulso unitário h
ou seja (MARQUES, 2010)
Figura 9: Resposta a convolucão
Fonte: Marques (2010)
Ainda o autor, da a entender que nem sempre a soma ou integral de convolucão, se convergem.
Propriedades da resposta de convolução
Para Marques, (2010: 5) ele destaca estas propriedades da respostas de convolucão:
Propriedade comutativa
8

9. 9
Matematicamente, a propriedade comutativa da convolução pode ser expressa da seguinte forma: [f(t) * g(t) =
g(t) * f(t)]
Isso implica que a operação de convolução é simétrica em relação às funções (f(t)) e (g(t)), o que é uma
característica importante em muitos contextos de processamento de sinais e sistemas.
Propriedade associativa
Marques (2010) defende que a propriedade associativa da convolução, é uma propriedade importante das
operações de convolução, tanto no domínio contínuo quanto no domínio discreto. Essa propriedade afirma que a
ordem na qual você convoluciona vários sinais não afeta o resultado final.
No domínio discreto, a propriedade associativa pode ser expressa da seguinte forma para três sinais (f[n]),
(g[n]) e (h[n]): ((f * g) * h = f * (g * h))
Isso significa que se pode primeiro convoluir (f) com (g) e, em seguida, convolver o resultado com (h), ou
pode convolver (g) com (h) primeiro e depois convolver o resultado com (f), e o resultado será o mesmo.
Essa propriedade é útil em muitas aplicações práticas, pois permite simplificar cálculos ao escolher a ordem das
convoluções que seja mais conveniente para resolver um problema específico.

10. 10
2. Convolução de y[n] com h[n]:
z2[n] = y[n] * h[n]
A propriedade distributiva diz que a convolução da soma ponderada de x[n] e y[n] com h[n] é igual à soma
ponderada das convoluções de x[n] e y[n] com h[n]:
3. Convolução da soma ponderada de x[n] e y[n] com h[n]:
z[n] = a * z1[n] + b * z2[n]
Onde "a" e "b" são coeficientes constantes.
Essa propriedade é fundamental para simplificar a análise e cálculo de sistemas LIT quando as entradas são
combinações lineares de outras entradas. Ela permite quebrar a convolução em partes menores e, em seguida,
combinar os resultados ponderados para obter a convolução da soma ponderada das entradas originais.
Propriedade de elemento neutro
Marques (2010) também discute a propriedade de elemento neutro na convolução, referindo-se à relação entre
uma sequência de entrada, uma sequência de resposta ao impulso e a saída da convolução. Essa propriedade
estabelece que o impulso unitário (também conhecido como delta de Kronecker) atua como o elemento neutro na

11. Figura 10: Propriedades da respostas de convolucão
Fonte: Marques (2010)
Exemplo da resposta de convolucão discreta
Pretende-se calcular a resposta de um sistema de resposta impulsiva causal h(n)=a
n
u(n) ,
|a|<1, a uma entrada exponencial x(n)=b
n
u(n) , |b|<1 (MARQUES, 2010)
Figura 11: Exemplo da resposta de convolucão discreta
Fontes: Marques (2010)
11

12. Propriedades do sistema LIT
Ao discutir sobre propriedades do sistema LIT, Esquef (2016: 57) ele destaca estas prioridades que serão
menioncadas a seguir:
Ligação por séries:
Comutativa:
h[n] = h1[n] ∗ h2[n] = h2[n] ∗ h1[n]
y[n] = x[n] ∗ (h1[n] ∗ h2[n]) = x[n] ∗ (h2[n] ∗ h1[n])
x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)
=
Figura 12: Esquema da propriedade do sistema LIT, comutativa
Fonte:Flho, por Bermudez (2013)
Associativa:
y[n] = x[n] ∗ (h1[n] ∗ h2[n]) = (x[n] ∗ h1[n]) ∗ h2[n]
x
y[n
Figura 13: Esquema da prioridade do sistema LIT, na associativa Fonte:
Esquef (2016)
x y[n
x y[n
h1
[n] h2
[n]
h2
[n] h1
[n]
h1
[n] * h2
[n]
y(t)
h(t)
h(t)
12
y(t)

13. x(t) ∗ [h1(t) ∗ h2(t)] = [x(t) ∗ h1(t)] ∗ h2(t) = x(t) ∗ h1(t) ∗ h2(t)
Figura 14: Esquema da prioridade do sistema LIT, associativa
Fonte: Filho, por Bermudez (2013)
Ligação em Paralelo Distributiva:
h[n] = h1[n] + h2[n] e y[n] = x[n] ∗ (h1[n] + h2[n]) = x[n] ∗ h1[n] + x[n] ∗ h2[n]
Figura 15: Esquema da prioridade do sistema LIT, na distributiva
Fonte: Esquef (2016)
x [n] y[n
x [n] y[n
h1
[n] + h2
[n]
h2
[n]
h1
[n]
w(t y(t
)
y(t
v(t) y(t)
13

14. x(t) ∗ [h1(t) + h2(t)] = x(t) ∗ h1(t) + x(t) ∗ h2(t)
Figura 16: Esquema da prioridade do sistema LIT, distributiva
Fonte: Filho, por Bermudez (2013)
14

15. 15
Conclusão
Este trabalho nos fornece uma compreensão fundamental dos sistemas em engenharia e ciências, destacando a
importância de entender as propriedades que governam seu comportamento. A definição de sistema, suas
classificações em relação à memória, lineares, discretos e invariáveis no tempo, bem como as respostas ao
impulso e as propriedades da convolução, são elementos cruciais para analisar e projetar sistemas em várias
aplicações.
A propriedade comutativa e associativa da convolução ressalta a flexibilidade dessa operação matemática e sua
utilidade em muitos contextos. Além disso, a propriedade distributiva simplifica a análise de sistemas lineares e
invariantes no tempo quando as entradas são combinações lineares. E a propriedade de elemento neutro, usando o
impulso unitário, demonstra como identificar o efeito da convolução em sequências de entrada.
Essas propriedades e conceitos são essenciais para a compreensão e modelagem de sistemas em disciplinas como
engenharia elétrica, processamento de sinais e controle, permitindo aos engenheiros e cientistas descrever e
analisar o comportamento de sistemas complexos. Portanto, o estudo desses tópicos é fundamental para a
resolução de problemas práticos.

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Referências Bibliográficas
A.J. PADILHA. Sinais e sistemas continuos discretos. Teoria de sinal. 2010 – 2011
EDMAR CANDEIRA GURJÃO E JOÃO MARQUES DE CARVALHO. Introdução a análise
de sinais e sistemas. CCP/UFPb. Jan. 2011
JORGE. S. MARQUES. Sistemas linares e invariante no tempo. 2010
KAW. Microsoft word – SL Lab 3. 2009. Sistemas lineares invariante no tempo e a operacao de convolucão.
2013
PAULO A. A. ESQUEF. Processamento digital de sinais. Lncc. 2016
PROF. BARTOLOMEU. F. UCHORA FILHO. Teoria de sistemas linares. Por. PROF. BERMUDEZ. Teoria de
sistemas. 2013
PROF. HECTOR BESSA SILVEIRA. Sinais e sistemas lineares I. Das 5112. 2014 PROFESSOR GANDHI
FERRARI. Sistemas lineares e invariantes de tempo discreto. 2018 RICARDO TOKIO HIGUTTI. Sinais e
sistemas de tempo discreto. Feis – UNESP. 2020