I. O documento discute como as crianças pequenas desenvolvem conceitos numéricos de acordo com a teoria de Piaget. II. Piaget acreditava que as crianças constroem esses conceitos por meio de interações com o ambiente, não por simples internalização. III. Experimentos mostraram que as crianças passam por estágios no desenvolvimento da capacidade de conservação numérica e hierarquia de classes.

1. CRIANÇAS PEQUENAS REINVENTAM A
ARITMÉTICA
IMPLICAÇÕES DA TEORIA DE PIAGET
CONSTANCE KAMII
LESLIE BAKER HOUSMAN

2.  Constance Kamii, nascida em Genebra, Suíça, é uma psicóloga nipo-
americana, filha de pai japonês e mãe estadunidense, viveu no Japão
até os 18 anos, transferindo-se depois para os Estados Unidos, onde
em 1955 bacharelou-se em Sociologia.
 Mestra em Educação e Doutora em Educação e Psicologia, pela
Universidade de Michigan / EUA. Foi aluna e colaboradora de Jean
Piaget, tendo feito diversos cursos de Pós-Doutorado nas
universidades de Genebra e de Michigan, relacionados com a
epistemologia genética e com outras áreas educacionais pertinentes
tanto à teoria piagetiana como de outros pesquisadores. Atualmente
é professora da Universidade do Alabama. Publicou diversos livros,
entre os quais “Aritmética: Novas Perspectivas: Implicações da
Teoria de Piaget”, “Conhecimento Físico na Educação O Pré-Escolar”,
“A Criança e o Número”, “Crianças Pequenas Reinventando a
Aritmética”, “Desvendando a Aritmética: Implicações da Teoria de
Piaget”, “Jogos em Grupo na Educação Infantil”, “Piaget para a
Educação Pré-Escolar” e “Reinventando a Aritmética: Implicações da
Teoria de Piaget” entre diversos outros.

4. Questionamento - Como as crianças adquirem
conceitos numéricos?
Teoria de Piaget – Explicação científica
 Conhecimento lógico matemático, número e
aritmética é construído ( criado) por cada
criança de dentro para fora, na interação com
o ambiente...
 O conhecimento lógico matemático não é
adquirido diretamente por internalização mas
pelo contato e o estabelecimento de relações
entre os conhecimentos anteriores e os
construídos cotidianamente.

5. É o estudo da natureza e das origens do
conhecimento.
Empiristas ( Locke, Berkeley e Hume) – o
conhecimento tem sua fonte fora do individuo e
que ele é internalizado através dos sentidos.
Afirmam ainda que o individuo é ao nascer
uma tábula rasa, ( uma folha de papel em
branco) na qual as experiências são escritas à
medida que ele cresce.
Racionalistas (Descartes, Spinoza e kant) -
A razão é mais poderosa que a experiência
sensorial ( matemática disciplina puramente
dedutiva) conceitos são inatos e se desenvolvem
em função do amadurecimento.

6. Piaget via elementos de verdade e inverdade em ambas as teorias. Mas
reconhece a importância da informação sensorial e do raciocínio. Nas suas
pesquisas ele mostra a inadequação do empirismo.
Piaget estabeleceu uma distinção fundamental entre três tipos de conhecimento
considerando suas fontes básicas e seu modo de estruturação;
Físico
Social
Lógico-Matemático

7.  Conhecimento Físico - é o conhecimento de
objetos na realidade externa ( cor e peso de
fichas e objetos);
 Conhecimento Social - tem origem nas
convenções criadas pelas pessoas ( A língua -
A palavra um, dois, três , quatro são exemplos
de conhecimento social. Cada idioma tem seu
conjunto de palavras diferente que serve para
o ato de contar. Contudo, a ideia subjacente
de número pertence ao conhecimento lógico-
matemático, o qual é universal. Portanto,
2+3=5 em qualquer lugar do mundo.
Feriados e o ato de dizer bom dia.

8.  Conhecimento lógico-matemático - consiste de
relações mentais, e a fonte final destas relações
está em cada indivíduo.
Quando notamos a diferença entre duas fichas, uma
vermelha e outra azul, esta diferença é outro
exemplo de pensamento lógico-matemático. A
diferença é uma relação criada mentalmente pelo
indivíduo que relaciona os dois objetos. A diferença
não está nem em uma ficha nem em outra; se a
pessoa não colocasse os objetos dentro desta
relação, para ela não existiria a diferença. A relação
na qual uma pessoa coloca os objetos é uma
decisão sua.
Outras relações poderiam criar: são parecidas, mesmo
peso e duas.
Fichas são observáveis, mas a “dualidade” não.
Número é uma relação criada mentalmente por
cada indivíduo. Números pequenos até quatro ou
cinco são perceptivos.

9.  Piaget reconhecia fontes externas e
internas de conhecimento.
O conhecimento físico e social é
parcialmente externa para o indivíduo. E a
fonte do conhecimento lógico-matemático
é interna.
TAREFA DE CONSERVAÇÃO-DE-NÚMERO
Conservação de número refere-se à nossa
capacidade de deduzir, por meio de
raciocínio lógico-matemático, que a
quantidade de uma coleção permanece a
mesma quando seu arranjo espacial e sua
aparência empírica são alterados.

12. I - Quando as crianças não construíram a lógica
do número elas utilizam o critério de fronteiras
espaciais para julgar a igualdade quantitativa.
II - As crianças usam a correspondência termo a
termo, mas elas não conservam a igualdade.
III - Crianças são conservadoras argumentam:
Há tantas fichas azuis como vermelhas, pois
não tirou e nem acrescentou nenhuma;
 Poderíamos colocar todas as azuis no lugar
que elas estavam antes e terá o mesmo número.
 A carreira azul é mais longa porque há mais
espaço entre elas.

13. Nível intermediário (entre dois e três):
crianças hesitam ou ficam mudando de
ideia. Quando as crianças dão a resposta
correta mas não podem justificá-la
também estão no nível intermediário.
Apenas quando as crianças podem fazer
relações numéricas entre as fichas é que
elas podem deduzir por força da
necessidade lógica que as duas carreiras
têm o mesmo número.

14. A tarefa de conservação é um teste de
conhecimento lógico-matemático de crianças.
As fichas são objetos culturais (conhecimento
social) e saber que elas permanecem sobre a
mesa sem derreter como cubos de gelo é
conhecimento físico. Entretanto, o
conhecimento físico não é suficiente para
deduzir que a quantidade nas duas carreiras
permanece a mesma quando sua aparência
empírica muda. As crianças podem fazer
relações numéricas entre as fichas é que elas
podem deduzir, por força da lógica, que as
duas carreiras têm o mesmo número.

15.  Abstração Empírica - Focaliza-se em uma determinada
propriedade do objeto e ignora as outras. Exemplo –
focalizamos a cor do objeto e ignoramos o peso e do que é
feito o objeto.
 Abstração Construtiva - envolve fazer relações mentais
entre um ou mais objetos, como “o mesmo”, “semelhante”,
“diferente” e “dois”.
A semelhança ou a diferença entre uma ficha e outra é
construída, ou feita mentalmente, por cada indivíduo por
abstração construtiva, conhecida também como reflexiva.
Segundo Piaget, a abstração empírica e construtiva, na
realidade psicológica da criança, uma não pode ocorrer sem
a outra.
Exemplo:
 Como poderíamos construir relação “diferente” se todos os
objetos no mundo fossem idênticos.
 Similarmente, a relação "dois” seria impossível de
construir se as crianças pensassem que os objetos se
comportam como gotas de água ( que podem combinar-se
para tornarem uma gota).

16. A abstração construtiva não ocorre independente
da abstração empírica até aproximadamente os
seis anos de idade, mas se torna possível mais
tarde.
 Uma vez que a criança tenha elaborado o
número (abstração construtiva), ela pode operar
números e fazer 5+5+5 e 4x5 sem abstração
empírica dos objetos.
 Com números maiores ( 999 e 1000) fica claro
que não podem ser aprendidos por abstração
empírica de conjuntos de objetos.
 Os números são aprendidos por abstração
construtiva à medida que a criança constrói
relações. Visto que essas relações são criadas pela
mente – é possível entendermos números como
1000.001 mesmo que nunca tenhamos visto ou
contado 1000.001

17. Piaget para explicar o desenvolvimento de conceitos
numéricos é necessário dois tipos de relações:
Inclusão Hierárquica e Ordem
Inclusão Hierárquica – se pedirmos para uma criança
de quatro anos para contar 8 objetos arranjados em
uma carreira , elas frequentemente os contam
corretamente e anunciam que há oito. Se lhes pedimos
então “mostre-me o oito”, elas com frequência, apontam
para o oitavo objeto.

18.  Para a criança as palavras um, dois, três e
assim por diante são nomes para elementos
individuais em uma série como segunda-
feira...
Para essa criança, a palavra oito representa
o último objeto na série e não o grupo
inteiro.
Para quantificar um conjunto de objetos
numericamente, a criança deve colocá-los
em uma relação hierárquica.

19.  Em crianças pequenas( 4 anos) a tarefa de
inclusão hierárquica de classe é difícil de
criarem uma estrutura hierárquica. Exemplos:
de cachorros e gatos .
 Pensar no todo e partes ao mesmo tempo, as
crianças pequenas não conseguem fazer.
 Aos oito anos o pensamento da criança torna-se
reversível.
 Reversibilidade refere-se à capacidade de
realizar duas ações opostas simultaneamente –
dividir o todo em partes e as partes num todo.
A tarefa de inclusão de classe ilustra a
inadequação do empirismo, pois os animais
permanecem na frente dos olhos da criança ( 4
anos) e mesmo assim elas não enxergam os
animais.

20.  A inclusão de classe é semelhante à
estrutura hierárquica do número, mas
diferente. Cães e gatos são animais, portanto
da mesma classe.
 No número as qualidades são irrelevantes, há
apenas um elemento em cada nível
hierárquico.
Ordem
É comum as crianças contarem objetos
espalhados, contando duas vezes o mesmo
objeto ou deixando de contar algum.
A única certeza de não esquecermos
nenhum ou de não contarmos o mesmo
objeto duas vezes é colocá-los em uma
relação de ordem.

22.  As crianças conservam ou não conservam
fazendo seu próprio raciocínio. A inclusão
hierárquica e ordem pode ser vista em uma
outra tarefa na qual a correspondência
termo a termo é feita empiricamente. Os
professores pode utilizar este tipo de tarefa
para identificar a diferença entre
conhecimento empírico e conhecimento
lógico - matemático.

23.  Uma tarefa envolvendo a queda de fichas.
Experiência – que as crianças de cinco e seis anos
podem ter construídos números pequenos e não
grandes.
A universalidade do conhecimento lógico-
matemático
Com base na pesquisa de Piaget conclui por hipótese
que se as crianças constroem seus próprios
conceitos numéricos, elas deveriam construir
relações numéricas como ser capazes de reinventar
a aritmética para elas mesmas porque todos os
números são criados pela adição repetida de “um”.
A ideia de 5 por exemplo é 1+1+1+1+1 e 5+3 é,
(1+1+1+1+1) + (1+1+1)

24. A Importância de uma Teoria Científica
Explanatória
O associacionismo e o behaviorismo originaram –se
do empirismo- o conhecimento é adquirido por
internalização do ambiente. Ambas provaram que o
exercício e o reforço aumentam a internalização de
conhecimento.
O behaviorismo e o construtivismo são teorias
científicas comprovadas em todo o mundo. Piaget
pode explicar e comprovar a tese do behaviorismo,
mas o behaviorismo não pode explicar a aquisição
de conhecimento em um sentido mais amplo e
profundo. A construção dos conceitos numéricos
pelas crianças só podem ser explicada pelo
construtivismo.

25. Livros didáticos – pressuposição de que as
crianças pequenas passam do “concreto”
( objetos) para o “semiconcreto” (figuras), e
então para o “abstrato” ( numerais escritos).
De acordo com Piaget, figuras e símbolos
matemáticos têm diferentes fontes, e
trabalhar com figuras não é necessariamente
um passo para a criança tornar-se capaz de
lidar com símbolos matemáticos.
Na teoria de Piaget símbolos e figuras guardam
uma semelhança com os objetos
representados e podem ser inventados pelas
crianças.

26. Em outras palavras, a fonte dos símbolos é o pensamento das
crianças.
Exemplo: as crianças podem pensar em oito como se fosse 8 maçãs,
8 dedos....

27. Uma vez que as crianças podem inventar
seus próprios símbolos, as figuras que
aparecem nos livros são desnecessárias.
Se elas necessitam de uma figura para
resolver um problema, elas desenharão
suas próprias figuras.
Os símbolos e sinais, portanto, têm
origens diferentes, e os sinais (como os
numerais escritos) não se desenvolvem a
partir de símbolos ( como as figuras).

28.  Sinais ( + ) as palavras são faladas maçã, oito e o
numeral escrito 8. Os sinais não lembram os
objetos representados e suas fontes são
convenções criadas pelas pessoas.
Abstração e Representação
 Os conservadores conservam, porque eles estão
em um nível mais elevado de abstração
( abstração construtiva).
 Os que não conservam não o fazem porque não
têm conceitos numéricos em suas mentes.

29. Sinclair e Siegrist – entrevista com crianças de quatro e cinco anos
– pré-escola sem nenhuma instrução acadêmica.
Foram colocados sobre a mesa vários objetos e pedido para que
eles desenhassem o que estava sobre mesa( evitando dizer quantos
e números).
Tipos de notação

30. Tipos de notação
Representação Global da Quantidade
Representação do tipo de objeto
Correspondência Termo a Termo
Somente Valor Cardinal
Valor Cardinal e Tipo de Objeto

31. Quando as crianças representam suas ideias
no papel , elas internalizam suas ideias e
seus respectivos níveis de abstração.
Aquelas que pensam em “punhado”
representam essa ideia; aquelas que podem
pensar “oito” representam essa ideia,
primeiro prestando atenção aos objetos
individuais e posteriormente a totalidade.
Nas atividades dadas as crianças como
“problemas”, elas apresentaram uma
variedade gráfica de desenhos - invocando
imagens mentais ou ideias numéricas sem
imagem, que externalizam no papel.

33. Fichas e materiais de contagem têm suas
proprias propriedades físicas que interferem
nas ideias das crianças e provavelmente é
por isto que as crianças pequenas preferem
não usar fichas e materiais de contagem
para resolver problemas.
 O uso de fichas, cartas de baralho e blocos
de base 10 e os próprios dedinhos são
símbolos utilizados a serviço do pensamento
e sendo símbolos, a aritmética do jogo
acontece na cabeça das crianças, através da
abstração construtiva (envolve fazer relações mentais
entre um ou mais objetos, como “o mesmo”, “semelhante”,
“diferente” e “dois”.


34. Conclusão do capítulo
As crianças não passam do “concreto” para o
“semiconcreto” e, então , para o “abstrato”.
As crianças usam objetos ( como fichas ou
materiais de contagem) em um nível de
abstração alto ou baixo. Quando elas
conseguem fazer relações de mais alto nível,
desenham figuras em nível mais elevado e
atribuem significados de mais alto nível e
sinais matemáticos como “ = ”. Quando elas
conseguem fazer apenas relações de baixo
nível, usam objetos, bem como figuras,
palavras escritas a um nível baixo.

35. A não conservação é um exemplo de
egocentrismo de crianças pequenas bem
como de seus pensamentos pré-lógicos.
Quando elas pensam que há mais fichas na
carreira maior, elas estão centradas no
espaço ocupado pelas fichas, porque a lógica
ainda não permite pensar numericamente.
A conservação de número é geralmente
alcançada por volta dos cinco a seis anos de
idade entre as crianças de famílias de classe
média. A conservação do líquido entre as
idades de sete e oito anos.

36. Conservação do líquido e conhecimento
lógico-matemático
Acomodação do líquido em um copo é
conhecimento físico, empírico. Entretanto, a
quantificação de líquido pertence ao
conhecimento lógico-matemático (mesma
quantidade, mais, menos) - relações
criadas na mente.

37. Conservador – nada foi acrescentado ou
removido( continua igual).
Não conservador – ainda não tem esta
lógica e estão convencidos que há mais
suco naquele que representa o nível de
suco do copo mais alto e ou mais largo,
dependendo apenas do seu olhar.
Tendo como base o nível da água que é
visível e empiricamente reconhecível.
Piaget explica a lógica dos conservadores
agrupando três operações lógicas:
Identidade, Compensação e Reversibilidade

38. •Identidade: “Tem a mesma quantidade
porque não tirou nem colocou nada.”
• Reversibilidade: “Porque se voltar a
colocar no mesmo copo , terá a mesma
quantidade de líquido que o outro copo.”
• Compensação: “Este vaso é mais alto,
mas este é mais fino.” “este é mais alto,
porém este é mais baixo.” Ou: “As fichas só
estão mais separadas.”

39. Quando a criança agrupa três relações a
um todo inter relacionado, através da
abstração construtiva, esse agrupamento
lhe permite deduzir conservação com a
força da necessidade lógica.
Interação social e desenvolvimento da
lógica
Quando as crianças trocam seus pontos de
vista com outras, elas não podem continuar
egocêntricas e ilógicas, pois são obrigadas a
comparar as relações que estão fazendo,
aquelas que os outros estão fazendo.

40. Piaget resumiu a importância da interação
social dizendo:
Sem intercâmbio de pensamento e
cooperação com outros, o individuo nunca
agruparia suas operações(lógicas) em um
todo coerente.
o termo cooperação usado por Piaget –
realizar junto- trabalhar junto, trocando
ponto de vistas e negociando soluções.
Cooperação suprime as convicções
espontâneas, como não-conservação, que
caracterizam o egocentrismo.
A discussão e o pensamento crítico
estimulam a construção da lógica.

41. Piaget salientava a importância da interação
social mas nunca conduziu uma pesquisa
empírica para provar sua teoria social.
Mas, explicada através dos experimentos
realizados por Perret-clermont e Doise e
Mugny que estudaram os efeitos do “conflito
sociocognitivo”.
Conclui-se que o conflito sociocognitivo é útil
para estimular a resolução de uma
discordância através da coordenação de
relações feitas egocentricamente.

42. Em outras palavras o construtivismo de Piaget
afirma que a lógica é construída
por abstração construtiva dentro da
criança, na interação com outras pessoas, e não
adquirida de outras pessoas por internalização.
Interação Social na Construção da Ciência
Os cientistas constroem a ciência através de
debate e conflito sociocognitivo, este é um
argumento para dizer que as crianças também
deveriam ser capazes de construir a matemática
através de debate e sociocognitivo. Os relatos de
Perret – Clermont e Doise e Mugny apoiam
amplamente este argumento.

43. Quando as crianças se tornam conservadoras
sólidas , elas não voltam para a não-
conservação.
Concluindo muitos professores acreditam que
as crianças deveriam interagir em grupos
cooperativos e que estes resultam em
beneficio mútuo. No construtivismo
as crianças constroem seu
conhecimento lógico-matemático em vez de
recebê-la.
A cooperação não é simplesmente para
beneficio mútuo, mas para a crítica e o
controle mútuos, porque outras pessoas
obrigam a descentração e a construção de
uma lógica de mais alto nível, por abstração

44. De acordo com Piaget, concordar e discordar
de outros é indispensável não apenas para o
desenvolvimento cognitivo das crianças, mas
também para seu desenvolvimento
sociomoral.

45. Autonomia significa o direito de um individuo ou
grupo de governar a si mesmo.
Para Piaget autonomia significa não o direito,
mas a capacidade de governar a si mesmo, na
esfera moral, bem como intelectual.
Autonomia Moral
Autonomia é o oposto de heterônomas (pessoas
governadas por outra pessoa, na medida em
que são incapazes de fazer julgamentos por si
próprias).
Exemplo: uma criança conta uma mentira e é
privada da sobremesa ou fazer 50 vezes “Não
vou mentir”.

46. A punição leva a três possíveis resultados:
Cáculo de risco – podem aprender a calcular
suas chances de serem apanhadas da próxima vez
e o preço a pagar;
Curiosidade- obediência cega.
 Revolta.
Dizer a criança que não podemos acreditar no
que ela disse e mandá-la para seu quarto, para
pensar sobre isto é uma sanção por
reciprocidade. Sanção e reciprociddae estão
diretamente relacionadas à atitude que queremos
mudar e ao ponto de vista do adulto. Com efeito
de motivar a criança a construir regras de
conduta de dentro para fora, através da
coordenação de pontos de vista.

47. Exemplos de sanção por reciprocidade:
Exclusão do grupo.
Apelo à consequência direta e material do
ato;
Privar a criança da coisa que ela usou mal.
Restituição.
Na medida em que se tem a possibilidade de
coordenar pontos de vista com outros, tem a
possibilidade de tornar mais autonomos e
independentes dos poderes do sistema de
recompensa.

48. Na escola as crianças não são encorajadas
a pensar autonomamente. Os professores
usam a recompensa e a punição na esfera
intelectual para conseguir a que as crianças
deem respostas corretas. Exemplo da folhas
de exercícios quando uma criança escreve
4+4=7.

49. Na intersecção com o círculo autonomia, colocamos coisas que não
esquecemos após cada prova. Nossa capacidade de ler e escrever, de
resolver exercicios de aritmética, de ler mapas e gráficos e de situar eventos
na história são exemplos do que aprendemos na escola e não esquecemos
após estudarmos para as provas. Quando a autonomia moral e intelectual é
o objetivo, os educadores se esforçam para aumentar a àrea de
sobreposição entre os dois círculos.

50. Lista de regras – não é necessário .
 Deixar acontecer e perguntar as
crianças: “O que podemos fazer para
resolver este problema?
 Portanto discutir em classe problemas
comuns são muito melhores do que
imposição de regras prontas. A moral
outônoma pode desenvolver-se apenas de
dentro da criança. Isso leva tempo, e pode
desenvolver-se apenas através de
discussões e descentralização no contexto
de respeito mútuo.

51. Quando ameaçamos crianças com punição,
reforçamos sua heteronomia.
5- A Adição como um Objetivo
A melhor ocasião para que as crianças de
hoje reinventarem a aritmética é no trato com
situações da vida cotidiana, aritmetização lógica
da realidade.
A adição é a ação mental ( abstração
construtiva) de combinar dois totais para criar
um total de ordem superior dos totais
anteriores( duas partes).
À inclusão de classe, as relações de parte-todo
são muito difíceis para crianças pequenas e
quando elas contam é possivel observar dois
fenômenos:

52. Contar para frente – usando os dedos na
soma 3+5 começam a contar a partir do
três;
Na contagem do todo- inicia do um.
Quando a lógica da criança está avançada,
sua resposta pode ser incorreta, mas não
será igual, ou menos que, uma das
parcelas 3+5=7.
A adição origina-se da própria lógica da
criança e não é fato que existe no mundo
exterior. O objetivo de conhecer fatos de
adição, que é frequentemente
defendido pelos educadores, não é
portanto, um objetivo válido.

53. O objetivo na adição que envolve um dígito
é que as crianças envolvam-se na ação
mental de operar números e lembrá-los dos
resultados destas ações. Por isso o objetivo
maior é construir uma rede de relações
numéricas.

55. Memória é uma reconstrução de uma construção
anterior. As crianças leem diferentes fatos da
realidade, porque cada criança interpreta o que é
observável assimilando-o ao conhecimento que ela
traz para cada situação. Um fato é sempre uma
construção de um individuo em seu nível de
desenvolvimento.
A implicação educacional da teoria de memória de
Piaget é que é importante para as crianças
construirem somas através de suas próprias ações
mentais. Relações como 3+3=1+2+3=1+5 são
lembradas facilmente através de suas motivações
intrínsecas(motivação gerada por necessidades e
motivos da pessoa). As crianças constroem uma rede
de relações numéricas que apoiam suas memórias de
somas específicas.

56. Adição com parcelas acima de 10
Livro didático- recomendam que o valor
posicional seja ensinado com feixes de 10
palitos e/ou blocos de base 10. As crianças
ensinadas tradicionalmente, raramente
constroem a ideia de uma dezena. Se as
crianças não construirem a ideia de uma
dezena ( através de abstração construtiva) ,
elas possivelmente não podem representar
essa ideia que não têm.

57. Na pesquisa realizada ficou comprovado que as
crianças que aprendem algoritmo através do
agrupamento não conseguem por exemplo
explicar o que representa o 1 em 16. ( Professora
trabalhou com agrupamento antes da pesquisa com os alunos da 1º
ano).
Como as crianças de 1º ano abordam a adição
de dois dígitos não são ensinadas a usar o
algoritmo convencional.
Classes construtivistas as crianças usam o
seguinte procedimento 29+1=30
30+15=30+10+5

58. Porque a subtração é mais difícil que adição
A subtração envolve dois níveis hierárquicos
e requer “descender”do 9 para uma parte 5
e, simultaneamente asceder de volta para o
total 9 e descender para outra parte, o
número desconhecido. As relações parte-
todo são muito difíceis para as crianças
pequenas ( inclusão de classe).
Características do pensamento pré-
operacional são percepção, ação e
cognição.

59. Se mostrarmos duas pilhas de bloco
contendo 4 e 10 – onde tem mais blocos a
criança responde corretamente, mas se
perguntarmos onde tem menos, elas não
respondem. O “mais” é um termo positivo e
o “menos” expressa a relação negativamente.
Então a dificuldade da subtração é parte da
dificuldade das crianças pequenas em pensar
negativamente sobre objetos e ações.
Problemas matemáticos de subtração
consistem em problemas de “separação” ,
parte-parte-todo, comparação e equalização.

60. Você tem 7 doces. Você me dá 3 deles.
Com quantos doces você ficou?
Há 6 frutas na tigela. Duas são maçãs e o
resto são peras. Quantas peras há na
tigela?

61.  Você tem 7 doces. Eu tenho apenas 3
doces. Quantos doces você tem a mais
que eu?
Eu tenho 3 velinhas. Eu preciso de 7 para
um bolo de aniversário. Quantas mais eu
preciso?

62. As implicações educacionais deste estudo,
parece bom dar problemas de subtração
ocasionalmente, mas não esperar ou exigir o uso
da subtração. É necessário dar às crianças
oportunidades de lógico –matematizar conteúdos
como flores, velas e frutas. As crianças devem
primeiro entender a lógica da pergunta antes de
passarem para a precisão numérica. As crianças
tem dificuldade em realizar problemas
matemáticos de subtração por não entenderem a
pergunta. E geralmente quando entendem a
pergunta elas usam a adição para resolvê-la.
O entendedimento de certas palavras e frases
depende de seu desenvolvimento lógico
abstração construtiva.

63.  Se a lógica das crianças estiver em alto
nível, elas podem entender palavras e frases
usadas na pergunta ( representação). Se a
lógica tiver em baixo nível elas podem
assimilar palavras e frases apenas em sua
lógica de baixo nível.
A única forma que as crianças podem fazer
uma soma que não conhecem por conta
própria é através da contagem. A contagem
é necessária para aprender a somar, mas
não é necessária para aprender subtração.
O professor trabalha com jogos de adição e
poucos de subtração. É necessários
trabalhar com os dois tipos de jogos.

64. A diferença entre pensamento aditivo e
multiplicativo
Para a maioria dos professores a multiplicação
é apenas uma forma mais rápida de fazer
adições repetitivas. Entretanto a multiplicação
envolve o tipo de pensamento hierárquico.
Exemplo: 4x5 envolve a estrutura hierárquica
como “4” em “4x5” refere-se a “4 cinco”.

65. Na estrutura de um problema de adição
repetida como 5+5+5+5 é simples, envolve
apenas unidades em um nivel de abstração.
Nos testes aplicados com as crianças do 1º
ano demostraram que elas não
conseguem pensar multiplicativamente,
mas pensamento aditivo.

66. Os livros didáticos não incluem problemas de
multiplicação e divisão nos níveis de pré-
escola e 1º ano por terem uma visão
tradicional destas operações.Entretanto as
pesquisas realizadas indica que crianças
pequenas são capazes de usar adição para
resolver problemas matemáticos de
multiplicação e divisão. Elas constroem
multiplicação e divisão a partir de adição
repetida e é adequado propor estes tipos de
problemas matemáticos, pois elas resolvem
com facilidade.

68. Característica de abordagem construtivista ao
ensino da matemática ( Piaget) é o uso de
situações fora do horário de matemático.
Situações do dia a dia, relacionadas a
matemática.
 A rotina Matinal- discutir com as crianças e
fazer juntos uma lista de deveres a serem
realizados .

69.  Minha carta diária para a classe – Os alunos
são responsáveis por ler a carta que escreve
para eles todas as manhãs e que é fixada no
quadro.
O objetivo é que todos leiam. Os que não
conseguem perguntam para o colega o
conteúdo da carta.
A carta serve como meio de ensinar estratégias
de leitura, ortografia(omitindo letras em
palavras familiares) e ensinar horas.

70. Comitês, Contagem do almoço e presença –
Ajudante do dia ( por ordem alfabética) –
questionando com os alunos tipos de trabalhos
a serem feitos.
Elege comitês como por exemplo: Comitê de
Limpeza, de Matemática.
Comitê de matemática – responsabilidades:
Contagem para almoço;
Alunos ausentes;
Distribuição de objetos – lanches;
Divisão de objetos – quantidade de doces
ganhos;

71. Coleta de objetos: quantidade de bilhetes
de permissão dos pais para uma excursão;
Manutenção de registros. Quantidade de
livros lidos na sala de aula;
Preenchimento do calendário –
acontecimentos do mês;
Os comitês ajudam as crianças a criarem um
sentimento de comunidade na classe de
modo que o desenvolvimento da autonomia
de cada criança pode ser estimulada através
de um sentimento de responsabilidade
compartilhada e,

72. participar dos comitês da sala de aula, as
crianças tem oportuniddaes de discutir
ideias, para tomar decisões que façam
sentido para elas e de aceitar a
responsabilidade para o bem comum.
Votação – decidir por votação quando há
divergência de opiniões( Quantos a
favor/quantos contra);
Lista de assinaturas;
Vocês gostaram mais?
Luz Som
______________ ______________
Questionamentos?

73. Lidando com dinheiro
Conhecimento social – lista de palavras de
dinheiro;
Conhecimento lógico-matemático –
quantidades de moedas para pagar balas,
livros...
Conclusão da Leslie
Quando ensinava matemática usava
problemas, aritmética mental e jogos.
Supunha que meus alunos estavam
pensando matematicamente nas situações
cotidianas e isso não é algo que precisa
despediçar tempo. A medida que comecei
procurar matemática durante todo o dia

74. fiquei impressionada com diversas coisas.
Primeiramente eu não podia acreditar em
quantas situações levaram naturalmente a
uma discussão. Segundo, descobri que essas
discussões tomavam muito pouco tempo e
fiquei maravilhada ao ver que os alunos
facilmente começaram a reconhecer a
matemática em suas vidas cotidianas.
O objetivo principal ao dar problemas
matemáticos é a lógico-matematização da
realidade pelas crianças, e o calculo origina-se
desta lógico-matematização. Problemas
matemáticos estendem o mundo físico e social

75. das crianças para além do aqui e agora.
A professora apresenta a situação problema
no topo de uma folha em branco:
Quantos pés há em sua casa? Mostre como
você sabe.
A professora lê o problema em voz alta em
seguida elas iniciam o trabalho
individualmente. Se as crianças discutem
possíveis soluções com os colegas eles não
são interrompidos, pois geralmente
necessitam e aprendem mais através da troca
de pontos de vista. Os que terminam
primeiro guardam num arquivo chamado
diário de matemática e escolhem um jogo e

76. um parceiro até a professora dizer que é
hora de discutir sobre o problema.
A professora inicia a conversa pedindo para
que as crianças expliquem o que fizeram.
Ter que explicar o próprio raciocínio é
benefício até para uma criança que produziu
uma resposta correta. Quando damos
explicações sobre nosso próprio
pensamento, nós estamos não apenas
explicitando o pensamento, mas estamos
também em como o ouvinte está
entendendo o que estamos dizendo. E
quanto mais as crianças pensam mais elas
desenvolvem sua lógica.

77. Ao propor problemas para a classe os
professores devem propor problemas
matemáticos que estejam estritamente
relacionados às vidas das crianças e que
envolvam uma variedade de operações,
conteúdos e situações. É necessário dar
problemas que envolvam números grandes, ao
qual haja mais de uma resposta correta.
Problemas matemáticos são, por definição,
dados da linguagem, e as crianças devem
representar para si mesmas suas
interpretações da linguagem. Por exemplo
quando as crianças ouvem ou lêem “Quantos
pés há em sua casa?” As crianças evocam uma
imagem mental das pessoas em suas

78. casas. As crianças preferem não usar
material de contagem, mas sim desenhar no
papel. Elas representam no papel objetos
como pessoas/pernas/pés.

79. A medida que o raciocínio numérico torna-
se mais forte, as crianças de 1º ano
começam a usar numerais como sinais
independentes.
As crianças são capazes de escolher por si
próprias as ferramentas que funcionam
melhor para elas. Assim como elas deixam
de gatinhar quando conseguem caminhar,
elas abandonam figuras e marcas de
contagem quando decidem quais numerais
funcionam melhor para elas.

80. Jogos envolvendo figuras e objetos:
Cartas, memória, animais, formar famílias,
tabuleiro, jogo da velha, quarteto,
pentaminós, Prenda o rei, damas e moinho o
jogo da aranha e o tapatan.
Jogos envolvendo números e/ou numerais
pequenos( sem adição ou subtração)
Cartas, Alinhamento(ou dominó de cartas),
Batalha, Oito maluco e Uno, Eu duvido, O
jogo do relógio, Antes e depois, Velocidade,
Faça o maior número, Olimpíada de
animais, Cinquenta fichas, Pulo do coelho,

81. Prova de corrida, Bingo e Travessia.
Jogos de conhecimento físico
Varetas, Boliche, Bolas de gude, Equilíbrio e
Adivinhe meu número.
Jogos envolvendo apenas adição
Mais um, Batalha dupla e Batalha de moedas,
Dinossauros e outros jogos de trilha, Cubra os
números, Bingo do mais cinco, Ludo de
dobro, Dominó quadrado.

82. Jogos envolvendo mais de duas parcelas:
Faça dez, Ponha e tire, Dom pixote, o Jogo do
sanduíche e Dominó dos pares.
Jogos envolvendo desmembramento ( partição ) de
números:
Cofrinho de Poupança, 10 com nove cartas, encontre
dez, tire 10, dez e dez e vinte, faça 10, bingo da
soma até 10.
Desmembramento ( partição) de vários números:
Punta, faça o total, nickelodeon, Tic Tac Total Caixas
das raposas.
Jogos envolvendo adição e subtração:
Cobra, apenas 7, Saudação, jogo do
24(some/subtraia).

83. Outras atividades para toda aa classe:
As Caixas Equilibristas e Tic Tac Total.
12- Princípios Gerais de Ensino
 De acordo com Piaget as crianças adquirem
conhecimento lógico-matemático, bem como a
moralidade autônoma, construindo-os de dentro para
fora, na interação com o ambiente, e não
internalizando-os diretamente de fora para dentro.
O desenvolvimento da autonomia não pode ser
estimulado apenas durante a hora da matemática ou
uma hora reservada para desenvolvimento moral.
Crianças que são determinadas também podem
jogar jogos sem brigar. Aqueles que têm
consideração pelos outros o tempo todo, também
são atenciosos quando são discutidos formas de
resolver problemas.

84. Autonomia e relacionamento das crianças
com adultos
Autonomia como objetivo da educação é que
as crianças devem aprender a tomar
decisões discutindo fatores relevantes e
tomando decisões por si mesmas.
Devemos reduzir nosso poder de adulto tanto
quanto possível e trocar pontos de vista com
as crianças. Devemos deixar as crianças
tomar o máximo de decisões possíveis e
evitar usar recompensa e punição par impor a
elas as nossas decisões.
Quando as regras devem ser criadas

85. As crianças frequentemente fazem as mesmas
regras que o adulto impõem, mas elas têm
muito mais probabilidade de respeitar as
regras que elas criaram.
Quando um ato de torna excessivo
Quando o barulho( crianças jogando)o ruído
torna-se um problema para a professora da sala
ao lado, a professora incomodada vai até a sala
do barulho e conversa explicando que o ruído a
impede de ser ouvida por seus alunos. ( Ter
consciência de se colocar no lugar do outro). As
crianças constroem regras morais de dentro
para fora, de relacionamentos pessoais,
positivos com pessoas específicas.

86. Quando decisões devem ser tomadas
O sentimento de comunidade nasce à medida
que problemas , decisões e sentimentos são
partilhados pela classe inteira, incluindo o
professor. As escolas muito frequentemente,
reforçam a heteronomia das crianças impondo
regras prontas como “ é proibido fazer guerra de
bolas de neves”.
Respeito e consideração pelos outros
Um sentimento de comunidade se desenvolve
quando as ideias e sentimentos de cada
membro são respeitados, e o grupo se sente
responsável pelo bem estar de seus membros.
Crianças que são ratadas com respeito
costumam tratar os outros respeitosamente.

87. Resolução de conflitos
Quando duas crianças brigam é comum
professores separá-las e dizem “parem com
isso”. Esta solução pode resolver o problema no
momento, mas as crianças não aprendem como
lidar com um conflito da próxima vez. É melhor
pedir-lhes para sair da sala por 5 minutos e
conversar sobre o problema para chegar a um
acordo. O ponto importante que o professor
deve manter em mente é trazer à tona os
sentimentos das crianças honestamente em vez
de tentar varrê-los para debaixo do tapete
“habilmente”. Sair da sala não leva a resolução
do problema amenos que as crianças tenham
tido alguma educação em resolução de
problemas.

88. Autonomia e aprendizagem de aritmética
Para o desenvolvimento da autonomia na
aula de matemática é necessário que o
professor aumentem a motivação intrínseca
das crianças para aprender. Encorajar as
crianças a terem pensamentos próprios, não
mostrando a elas como resolver problemas e
não dizendo que uma resposta está certa ou
errada.
Use motivação intrínseca
Professores usam nas folhas de exercícios
adesivos como carinhas risonhas. Este
dispositivo fazem as crianças se sentirem
bem, mas são formas brandas de suborno

89. que reforçam a heteronomia delas.
Nenhuma destas recompensas é necessária
quando situações cotidianas, problemas
matemáticos e jogos são usados. As
crianças escolhem envolver-se nestas
atividades e tentam tornar-se cada vez
melhores nelas. Quando há motivação
intrínseca as crianças recebem os desafios
dos problemas matemáticos com alegria e
ficam orgulhosos de mostrar suas formas de
resolvê-los.
Não mostre como resolver problemas
Tradicionalmente os professores mostram
as crianças como resolver a adição,

90. subtração, multiplicação e divisão e então
problemas semelhantes para praticar. Ao
contrario disto, damos as crianças problemas
de modo que elas usem o que sabem para
inventar novas formas de resolvê-los. Fica
claro que as crianças constroem
conhecimento lógico-matemático fazendo
relações a partir das relações que elas
criaram antes. As relações que uma criança
criou de dentro para fora não são esquecidas
como as relações absorvidas do ambiente.
Para promover a criação de relações pelas
crianças existem três formas específicas:

91.  Faça perguntas em vez de mostrar o que
fazer;
 Dê problemas no nível apropriado;
 Peça para cada criança resolver problemas
por conta própria;
Todas as crianças realmente inventam
soluções?
As invenções de algumas crianças são
verdadeiramente novas , na medida em que
elas inventam soluções às quais elas nunca
foram expostas. Entretanto, muitas
crianças entende que os argumentos de
seus colegas mais avançados e começam a
imitá-los.

92. Achamos que mesmo assim o grupo está
inventando aritmética pelas seguintes razões :
crianças que não entendem a explicação de
crianças mais avançadas são livres para
rejeitar ideias mais avançadas. Nós nunca
sabemos quando uma crianças inventará uma
lógica de mais alto nível e ficamos encantados
quando uma criança finalmente inventa a
contagem para a frente.
Não diga que uma resposta está certa ou
errada
No ensino tradicional, quando o professor diz
que a resposta está correta, todo o
pensamento pára porque não há necessidade
de pensar mais.

93. se o professor não expressa nenhuma
opinião, as crianças ficam motivadas a
continuar pensando.
Deixe o cálculo originar-se de situações
cotidianas e problemas matemáticos.
Reconheça a superioridade dos jogos sobre
as folhas de exercícios.
A repetição nos jogos é muito melhor que
folhas de exercícios. O feedback é imediato
em jogos, pois as crianças supervisionam
umas as outras. As folhas de exercícios são
geralmente devolvidas no dia seguinte, e as
crianças não podem lembrar e se preocupar
com o que fizeram ontem.

94. Nas folhas de exercícios, a verdade é
decidida pelo professor, e as crianças
recebem a mensagem de que a verdade
pode vir apenas do professor. Em um jogo ,
os jogadores decidem se a resposta está
correta.
Os jogos podem ser jogados em muitos
níveis e de várias formas, enquanto a folha
de exercícios encorajam as crianças darem
respostas mecanicamente.
Ter que escrever respostas interfere na
possibilidade de lembrar somas.
Em um jogo as crianças tem mais
probabilidades de construir uma rede de

95. de relações numéricas.
As crianças escolhem os jogos que elas
querem jogar, mas raramente podem
escolher a folha de exercícios que recebem.
Em último argumento as crianças não se
desenvolvem sociomoralmente sentado-se
sozinhas para preencher folhas de
exercícios. Nos jogos as crianças tem que
interagir com as outras, tomar decisões
juntas e resolver conflitos.
Ao darmos folhas de exercícios estamos
reforçando a heteronomia das crianças e
impedindo o desenvolvimento de sua
autonomia.

96. O papel do professor é crucial para maximizar
o valor dos jogos matemáticos. Se o
professor corrige papeis em sua mesa,
enquanto as crianças estão jogando, fica
claro para as crianças que os jogos não são
importantes. Se o professor joga com as
crianças ou corrige constantemente seus
erros, as crianças são impedidas de
desenvolver confiança e iniciativa.
O que você faz para não perder o controle da
classe?
 Discutir com as crianças, em reuniões para
decidir formas de resolver os problemas.

97.  Fazer uma reunião seguinte par rever e
avaliar o que aconteceu.
 O ponto importante é que o professor
deve evitar a dar sermões e soluções para
as crianças par que elas comecem a
tomar iniciativas de aparecer com as suas
soluções.
 Se as reuniões são frequentes sobre
todos os tipos de problemas que
aparecem no dia a dia, as crianças logo
aprendem também a governar-se
enquanto jogam.
 Quando uma decisão não é considerada
sensata, é hora de uma nova reunião de

98. classe e as crianças têm a probabilidade de
tomar decisão melhor na segunda vez
porque elas levarão em consideração o
resultado da primeira decisão.
Como você escolhe os jogos?
O professor deveria sempre adaptar os
jogos de acordo com os níveis das crianças
por duas razões: cada classe tem uma
variação de níveis de desenvolvimento;
alguns jogos que parecem muito fáceis
podem servir para encorajar o hábito , e a
repetição é necessária para as crianças
lembrarem várias combinações como
3+3=6.

99. O professor deveria experimentar e julgar
como cada grupo de crianças está pensando
e se sentindo.
Como você introduz novos jogos?
O professor poderá utilizar o retroprojetor
para mostrar como se joga;
Mostrar jogando com uma ou duas crianças;
Pode também utilizar grupos onde as
demais crianças observam o jogo para
aprender.
Mas a melhor forma de introduzir um novo
jogo é fazendo as crianças jogarem o novo
jogo.

100. Você determina jogos e parceiros?
Deixar as crianças escolherem os jogos e
os parceiros são parte da autonomia e as
crianças precisam aprender a tomar
decisões sensatas.
Mas as crianças frequentemente não
tomam decisões sensatas e as vezes é
necessário determinar parceiros que
estejam aproximadamente no mesmo
nível.
Na escolha dos jogos usamos um diário
que é um formulário para cada semana
como no exemplo:

102. Você deixa as crianças mudarem as regras do
jogo?
Algumas modificações dos jogos são
introduzidos pelo professor, e outras são
iniciadas pelas crianças.
As regras do jogo pertencem ao conhecimento
social( convencional) e cada convenção pode
ser mudada por concordância entre os
membros do grupo.
O que você faz quando as crianças não
conseguem lembrar como jogar um jogo?
As regras do jogo podem ser escritas e fixadas
no quadro negro ou colocadas em caixas.

103. Como você lida com a competição?
A possibilidade de vencer é um
característica exclusivamente desejável dos
jogos, visto que essa possibilidade serve
para organizar a atividade do grupo
pequeno. Nos jogos, cada grupo pode
funcionar sem o professor porque todos
sabem que há um inicio e um fim, regras
sobre como chegar ao fim. Se não existisse
competição, não haveria necessidade de
regras, e a atividade não permaneceria
organizada.

104. Qual é uma boa forma de guardar jogos?
Um bom sistema de armazenagem facilita a
escolha e devolução de todas as peças a
seus lugares determinados.
Quando peças são perdidas é necessário
fazer reunião de classe e as crianças
pensam juntas para resaolver o problema.
Muitos jogos com o passar do tempo ficam
fáceis demais e por isto necessitam ser
substituídos por outros.

105. O que você faz com crianças que se tornam
“dispersivas”?
 Mesmo com jogos atrativos às vezes
crianças se dispersam e uma das soluções é
tirar a turma do chão e colocar o jogo nas
carteiras.
Mas a melhor solução ainda é reunião de
classe onde todos podem participar com
suas opiniões para resolver o problema.

106. Qual a melhor coisa para o professor fazer
enquanto as crianças estão jogando?
A atividade mais útil é jogar com as
crianças e observar avaliando seus níveis
raciocínio numérico: as crianças estão
contanto para frente? Que somas estão na
sua memória?
Circular pela sala e observar também que
jogos são atualmente populares, quem está
jogando, qual jogo, qual nível.

108.  Os resultados das entrevistas realizadas
com crianças do 1º ano - Problemas
Matemáticos - Livro Didático ( Tradicional )
e o Construtivista.
O grupo construtivista saiu melhor em todos
os problemas matemáticos.
Quando solicitadas a explicar suas resapostas
incorretas , as criançs do grupo
construtivista frequentemente corrigiam
enquanto tentavam justificar seu
pensamento.
O grupo Livro Didático raramente corrigiam-

109. A capacidade de gerar uma melhor resposta
é uma indicação de lógica mais avançada.
Na situação problema: Se você tivesse 4
velinhas e quisesse 7 velinhas para um bolo
de aniversário, quantas mais você precisaria
conseguir? Este tipo de questão é
geralmente respondida por apenas metade
das crianças de um 2º ano – a razão para
esta dificuldade é que este tipo de lógica de
relações parte–todo é difícil para crianças
até sete ou 8 anos de idade. 86% do grupo
do construtivismo do 1º ano acertou e o
grupo do Livro 46% de respostas erradas.

110. Em todas as situações problemas envolvendo
as operações( adição, subtração,
multiplicação e divisão) o grupo Construtivista
provaram ser muito superior ao outro grupo o
do Livro didático.
Concluindo
Com 60 anos de pesquisa científica Piaget e
outros demonstraram que as crianças do
mundo inteiro constroem conhecimento lógico
–matemático de dentro para fora, em
interação com o ambiente, e não o adquirem
por internalização direta do ambiente. O
construtivismo de Piaget nos leva a
conceitualizar metas e objetivos educacionais

111. diferentemente do ensino tradicional. O
objetivo básico é que as crianças tornem-se
capazes de raciocinar logicamente, através
da troca de pontos de vista com outras
crianças. O ensino tradicional o objetivo é
que as crianças tornem–se capazes de
produzir respostas corretas rapidamente. No
entanto, construtivistas desenfatizam
respostas corretas, porque se as crianças
puderem raciocinar, elas obterão a resposta
correta.

112. Crianças de 1º ano e muitas de pré-escola
são perfeitamente capazes de resolver
problemas de multiplicação e divisão com
adição repetida.
O número de educadores que são
suficientemente autônomos para encorajar
as crianças a fazer seu próprio raciocínio
tem, no entanto, crescido regularmente
desde a década de 80. Se serão mais de 150
anos para o construtivismo de Piaget ser
universalmente aceito depende de quão
autônomos os educadores se tornem, moral
e intelectualmente.
Então quando é que ...

114. Bom Excelente prova
Estudo