Conteúdos Metodologias no Ensino da Matemática

1. Conteúdos e
Metodologias no
Ensino de Matemática
Saberes Necessários à Construção
do Conhecimento Matemático

2. Desenvolvimento do material
Maria Elena Roman
1ª Edição
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Sumário
Saberes Necessários à Construção
do Conhecimento Matemático
Para início de conversa... ................................................................................. 3
Objetivos .......................................................................................................... 3
1. Raciocínio Lógico e a Aprendizagem Matemática ............................. 4
1.1. Os Tipos de Conhecimento na Perspectiva de Jean Piaget ..... 5
1.2 A Construção do Conhecimento Lógico-Matemático
na Perspectiva Piagetiana ................................................................... 7
2. Desenvolvimento do Raciocínio Lógico ............................................ 8
2.1. As Etapas do Desenvolvimento Descritas por Piaget ............... 9
Referências .......................................................................................................... 12

3. Para início de conversa...
O ensino da Matemática, em contextos escolares, teve início com o
traçado mecânico dos números e a recitação dos seus nomes.Acreditava-
se que esses procedimentos eram necessários para que a criança, pela
primeira vez, tivesse contato com conteúdos matemáticos. Acreditava-
se, também, que a aprendizagem matemática ocorria somente na escola,
quando, intencionalmente, os conteúdos matemáticos começassem a ser
abordados pelo professor.
A difusão das ideias dos teóricos interacionistas que apresentavam a
aprendizagem como decorrente da interação do sujeito com os objetos
de conhecimento disponíveis no meio determinou a revisão das práticas
educativas e a valorização dos conhecimentos manifestados pelos
sujeitos, frutos da construção em contextos variados.
Inseridos em uma sociedade na qual há diferentes informações
numéricas disponibilizadas em contextos variados e na qual saberes
matemáticos são demandados em situações reais (compra, venda, troco,
registro de quantidades, entre outras), a escola precisa identificar os
saberes construídos pelos educandos em outros contextos e oportunizar
avanços no processo de construção de novos conhecimentos.
Neste capítulo, vamos compreender a natureza do conhecimento
lógico-matemático e refletir sobre o que é necessário para que ele seja
construído.
Objetivos
▪ Reconhecer a importância dos aspectos relacionados ao raciocínio
lógico para a aprendizagem da Matemática.
▪ Identificar as várias etapas do desenvolvimento cognitivo e suas
inter-relações com o desenvolvimento do raciocínio lógico.
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4. 1.Raciocínio Lógico e a Aprendizagem
Matemática
Diferentes concepções de aprendizagem determinam distintos arranjos
nas práticas de ensino. Historicamente, a concepção ambientalista da
aprendizagem foi a que mais influenciou as práticas educativas, por ter
embasado, teoricamente, as práticas do ensino tradicional.
Para os teóricos ambientalistas, as características humanas têm sua
origem determinada pelas condições do meio no qual os indivíduos
estão inseridos. O ambiente tem um papel mais importante
do que os aspectos biológicos do desenvolvimento,
uma vez que são os estímulos oferecidos por
ele que determinarão o surgimento de certos
comportamentos (ALMEIDA; VALEIRÃO, 2015).
Figura 1: Aprendizagem matemática.
Fonte: Dreamstime.
Para os ambientalistas, os indivíduos, ao nascer, são tábulas rasas, e todo
o conhecimento necessário será transmitido pelos mais experientes da
espécie. Nas práticas escolares, essa ideia traz como implicações a visão
do aluno–desprovida de qualquer tipo de conhecimento–e do professor
– o detentor absoluto do saber, cabendo a ele a transmissão. O papel do
aluno é, então, receber os conhecimentos transmitidos, passivamente, e
reproduzi-los tal qual foram ensinados (ALMEIDA; VALEIRÃO, 2015).
Nos anos 1980, começaram a ser difundidas, no Brasil, as ideias dos
teóricos interacionistas da aprendizagem. Eles demonstraram, por meio
de suas pesquisas, que a aprendizagem humana não se dá como fruto
da transmissão por outras pessoas; trata-se de uma consequência da
interação dos sujeitos da aprendizagem com os objetos de conhecimento
disponíveis onde eles estão inseridos (DAVIS; OLIVEIRA, 1990).
Na perspectiva interacionista, os fatores biológicos determinam
possibilidades de desenvolvimento que se concretizarão, ou não,
dependendo das oportunidades oferecidas pelo meio de inserção. Sendo
assim, o organismo e o meio exercem uma ação recíproca, na qual um
influencia o outro, gerando mudanças no comportamento dos indivíduos
(DAVIS; OLIVEIRA, 1990).
A difusão das ideias interacionistas demandou a revisão das práticas
tradicionais de ensino adotadas até então: se a aprendizagem é
fruto da interação dos sujeitos com os objetos de conhecimento, ela
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5. não ocorre apenas na escola, e a participação ativa dos sujeitos nos
processos de construção de conhecimentos se faz extremamente
necessária. O reconhecimento de que a aprendizagem ocorre em
contextos não escolares demandou o reconhecimento e a valorização
dos conhecimentos prévios com os quais os educandos chegam à escola.
Figura 2: Conhecimentos prévios. Fonte: Dreamstime.
A revisão das práticas educativas levou a uma nova abordagem de ensino
intitulada “construtivismo”, que foi embasada, sobretudo, nas ideias de
Jean Piaget.
A concepção construtivista afirma que é o aluno que constrói suas
próprias aprendizagens, contando com o auxílio de outros fatores
intervenientes, como o professor e os materiais curriculares. Nessa
perspectiva, a proposição de estratégias adequadas para o atendimento
das necessidades e para o respeito às especificidades dos educandos é
fundamental (HUETE; BRAVO, 2007).
1.1.Os Tipos de Conhecimento na Perspectiva de Jean Piaget
Jean Piaget foi um epistemólogo suíço que se dedicou à elucidação
dos processos pelos quais se dá o
desenvolvimento cognitivo dos
indivíduos da espécie humana.
Um dos processos
investigados por ele foi a
construção de conhecimentos
lógico-matemáticos. Piaget
identificou três tipos de
conhecimentos, de acordo com suas
principais fontes e seus modos
de estruturação:
Figura 3: Os tipos de conhecimento na perspectiva
de Jean Piaget. Fonte: Elaborada pela autora.
Conhecimento
físico
Conhecimento
social
(convencional)
Conhecimento
lógico-matemático
1
2
3
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6. O conhecimento físico é aquele que se refere aos objetos do mundo
exterior.Os conhecimentos da cor ou do peso de um objeto são exemplos
de conhecimentos físicos. A principal fonte desse tipo de conhecimento
está nos próprios objetos, e ele pode ser adquirido empiricamente, por
meio da experiência e da observação (KAMII, 2005).
O conhecimento social faz referência às convenções criadas pelas
pessoas. São exemplos de conhecimentos sociais:
▪ unidades padronizadas de medida;
▪ regras sociais;
▪ nomes dados aos números.
Esse tipo de conhecimento tem como principal fonte as convenções
criadas pelas pessoas e,para que as crianças se apropriem dele,demanda
a transmissão social (KAMII, 2005).
O conhecimento lógico-matemático, nosso principal objeto de estudo
neste capítulo, consiste no estabelecimento de relações mentais e tem
como principal fonte a mente de cada indivíduo.
‘‘ Quando, por exemplo, vemos uma ficha vermelha e uma ficha azul,
podemos pensar nelas como sendo diferentes, semelhantes ou duas. Se nos
concentrarmos nas cores, as fichas serão diferentes; se ignorarmos as cores,
as fichas passarão a ser similares; se pensarmos nelas numericamente, serão
duas. (KAMII, 2005, p.13)
’’
Assumir que o conhecimento lógico-matemático tem como fonte principal
o funcionamento cognitivo de cada indivíduo significa reconhecer a
importância da participação ativa dos educandos na construção desse tipo
de conhecimento. Significa, também, romper com atividades mecânicas e
desprovidas de significado.
As crianças constroem os conhecimentos lógico-matemáticos
sujeitando relações já existentes a novas relações. Como exemplo,
Kamii (2005) cita a coordenação de relações de “mesmo” e “diferente”,
que são criadas inicialmente pelas crianças, entre dois objetos; a partir
de então, elas passam a produzir classes e subclasses que lhes permite
deduzir, logicamente, que há mais animais, em geral, no mundo, do
que há cachorros, sem ter que contar empiricamente todos os animais
do mundo.
A descrição dos diferentes tipos de conhecimento explicitou o
reconhecimento, por Piaget, das fontes externas e internas que os
originam. O conhecimento físico e o conhecimento social têm origens
externas; já o conhecimento lógico-matemático tem sua origem interna,
o que significa que, para que seja construído, é necessária a ação
cognitiva dos sujeitos (KAMII, 2005).
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7. Para Piaget (HUETE; BRAVO, 2007), quando o educando começa o
processo de construção de noções matemáticas, o faz tornando-as
coesas com as situações concretas em que se apresentam. Sendo assim,
a apresentação formal dos conteúdos matemáticos deve ser feita a
partir do próprio ambiente no qual os educandos estão inseridos, e não
a partir de situações abstratas e descontextualizadas.
A natureza do conhecimento lógico-matemático leva à reflexão sobre
a inadequação de atividades propostas com frequência no ensino da
Matemática, sobretudo na Educação Infantil, nas quais os números
são abordados como sendo conhecimentos de natureza social. Nessas
atividades, as crianças são levadas a repetir o nome do número ou o seu
traçado, como se fossem convenções sociais.
1.2 A Construção do Conhecimento Lógico-Matemático na
Perspectiva Piagetiana
Para Piaget, a construção do conhecimento lógico-matemático requer o
estabelecimento de relações mentais, uma vez que não é diretamente
ensinável, se desenvolve na direção de uma coerência cada vez maior
e, uma vez construído, nunca mais é esquecido (MARTÍNEZ; ROMERO;
MARTÍNEZ, 2002).
[…] a criança progride na construção do conhecimento lógico-matemático pela
coordenação das relações simples que anteriormente ela criou entre os objetos. O
conhecimento lógico-matemático consiste na coordenação das relações.Por exemplo,
ao coordenar as relações de igual, diferente e mais, a criança se torna apta a deduzir
que há mais contas no mundo que contas vermelhas e que há mais animais do que
vacas (...). A fonte do conhecimento físico (assim como a do conhecimento social) é
parcialmente externa ao indivíduo. A fonte do conhecimento lógico-matemático, ao
contrário, é interna. (KAMII, 1989, p.15-16)
Posto isso, fica evidente a inadequação das propostas educativas que
abordam o conhecimento lógico-matemático da mesma maneira que
abordam os conhecimentos físico ou social. A adoção dessas práticas
leva à mecanização de procedimentos e à memorização, sem que haja,
efetivamente, a aprendizagem.
Cabe à escola oportunizar situações nas quais as relações necessárias
à construção do conhecimento lógico-matemático possam ser
estabelecidas, assim como as conexões entre o que o aluno já sabe e os
novos conhecimentos.
Figura 4: Conhecimento
lógico-matemático.
Fonte: Dreamstime.
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8. De acordo com Kamii (1995), é necessário que os educandos reinventem
a aritmética, ao invés de recebê-la pronta, transmitida pelo professor.
A reinvenção da aritmética possibilita a mobilização das capacidades
cognitivas dos educandos e, consequentemente, uma aprendizagem
mais significativa.
‘‘Se encorajarmos as crianças a desenvolverem seus próprios meios de raciocínio
em vez de obrigá-las a memorizar regras que não fazem sentido, elas terão
melhores fundamentos cognitivos e maior confiança.Crianças confiantes,a longo
prazo,aprenderão mais que aquelas que foram ensinadas de tal maneira que não
confiam em seu próprio raciocínio. (KAMII, 1995, p.32)
’’
2.Desenvolvimento do Raciocínio Lógico
De modo geral, o que Jean Piaget chamou
de Epistemologia Genética é o estudo do
conhecimento estabelecido na relação
entre o indivíduo e o objeto, por meio
da interação entre ambos, bem como o
estudo do conhecimento científico, da sua
origem e seu desenvolvimento (FERRAZ;
TASSINARI, 2015).
Figura 5: Epistemologia genética.
Fonte: Dreamstime.
Na perspectiva piagetiana, a sua origem e o seu desenvolvimento
acontecem por meio de estruturas que são necessárias para que o sujeito
se desenvolva e venha a conhecer. Elas são descritas por ele como sendo
construídas mediante a interação que o sujeito realiza, por meio de sua
ação sobre o objeto, de diferentes maneiras (FERRAZ; TASSINARI, 2015).
‘‘ Uma estrutura é um sistema de transformações que comporta leis enquanto
sistema (...) e que conserva ou se enriquece pelo próprio jogo de suas
transformações, sem que estas conduzam para fora de suas fronteiras ou
façam apelo a elementos exteriores. Em resumo, uma estrutura compreende os
caracteres de totalidade, de transformação e de autorregulação. (PIAGET, 1979,
p.6 apud FERRAZ; TASSINARI, 2015, p.47)
’’
Na perspectiva piagetiana, a estrutura mental, denominada estrutura
epistêmico-psicológica, é a responsável pela capacidade humana
de estabelecimento de relações, condição essencial à construção de
conhecimentos. Essas estruturas surgem da organização das atividades
do sujeito na interação com o objeto de conhecimento em um contexto
de experiência (FERRAZ; TASSINARI, 2015).
Em sua epistemologia genética, Jean Piaget elencou diferentes etapas
do desenvolvimento humano, organizadas a partir da descrição das
formas pelas quais o sujeito, em desenvolvimento, conquista as
estruturas necessárias para a construção dos conhecimentos, desde o
seu nascimento.
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9. 2.1.As Etapas do Desenvolvimento Descritas por Piaget
No processo descrito por Piaget, estruturas mais simples são substituídas
por estruturas mais complexas, na interação do indivíduo com o meio,
quando o transforma e é transformado por ele (FERRAZ; TASSINARI,2015).
Período Sensório Motor
(0-2 anos)
Período Operatório Formal
(12 anos em diante)
Período Pré-Operatório
(2-7 anos)
Período Operatório Concreto
(7-12 anos)
Estágios de
desenvolvimento
Figura 6: Estágios do desenvolvimento, segundo Piaget. Fonte: Elaborada pela autora.
O período sensório-motor é o primeiro descrito por Piaget; ele começa
no nascimento e se estende até os dois anos de idade. Nesse período, o
desenvolvimento permite a diferenciação entre os reflexos inatos (de
caráter biológico) e os atos da inteligência prática, que se constituirão
como base para as conquistas posteriores (OLIVEIRA; TEIXEIRA, 2002).
Esse período se refere a uma estruturação do mundo real, por meio de
ações e esquemas de ações motoras, sendo anterior a qualquer forma
de representação, inclusive a linguagem. O pensamento consiste na
coordenação de ações sobre as bases de uma inteligência prática
(FERRAZ; TASSINARI, 2015).
Na medida em que o sujeito epistêmico constitui seu esquema de ação
no período sensório-motor, é possível afirmar que, em sua estruturação,
há uma forma matemática inconsciente para o sujeito, demandando um
longo caminho até que a tomada de consciência das formas matemáticas
se faça possível.
O período sensório-motor chega ao fim aos dois anos,com o aparecimento
da linguagem, dando lugar ao período pré-operatório, que se estende
até os sete anos de idade. O aparecimento da linguagem constitui-se
como um grande diferencial no percurso de desenvolvimento, na medida
em que determinada o aparecimento da função semiótica, permitindo
a passagem de uma inteligência prática para uma inteligência
representativa (OLIVEIRA; TEIXEIRA, 2002).
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10. A função semiótica consiste na capacidade de representação de uma
coisa (um “significado” qualquer: objeto, um acontecimento, um esquema
conceitual, dentre outros) por meio de um “significante” diferenciado e
que só serve para essa representação (a linguagem, uma imagem mental,
um gesto simbólico, dentre outros) (FERRAZ; TASSINARI, 2015).
Os raciocínios característicos desse período são formas intermediárias
entre o pensamento simbólico inicial e o período das operações
concretas, fazendo com que as crianças ora apresentem respostas
corretas ora respostas incorretas diante de situações que demandam a
mobilização do pensamento lógico (FERRAZ; TASSINARI, 2015).
O próximo estágio de desenvolvimento é o período operatório concreto,
que vai dos sete aos doze anos de idade. Esse período é caracterizado
pelas ações ainda baseadas na realidade concreta na qual as crianças
estão inseridas, constituindo as bases para a abstração característica do
período seguinte (OLIVEIRA; TEIXEIRA, 2002).
Esse é um período de transição entre o pensamento pré-operacional e
o pensamento formal. Durante esse estágio, a criança atinge o uso de
operações completamente lógicas pela primeira vez, tornando-se capaz
de resolver problemas existentes em sua experiência.
Figura 7: Ativação dos pensamentos pré-operacional e formal. Fonte: Dreamstime.
Um exemplo de resolução de problemas característico dessa etapa é a
seriação. No início do período operatório concreto, quando a criança se
depara com a tarefa de ordenar uma dezena de varetas pouco diferentes
entre si, de maneira a ter que comparar duas a duas, ela tende a proceder
por pares (uma pequena e uma grande) ou por trios (uma pequena, uma
média e uma grande), mas sem conseguir, em seguida, coordená-las em
uma série única. Mais para o final desse mesmo período, as crianças
conseguem chegar à seriação correta, por tentativa e erro. Em geral,
fazem isso por um processo exaustivo, em que buscam a menor vareta
de todas, depois a menor dentre as que restaram e assim por diante.
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11. O último período descrito por Piaget é o período operatório formal, que
se caracteriza pela capacidade de pensar abstratamente, de formular
hipóteses e testá-las, mesmo em discordância com a realidade factual
(OLIVEIRA; TEIXEIRA, 2002). Nesse estágio, as operações lógico-
matemáticas do sujeito são, finalmente, interiorizadas.
O desconhecimento da natureza do conhecimento lógico-matemático
leva a ações educativas que abordam conteúdos matemáticos como se
a aprendizagem demandasse a transmissão pelo professor e a recepção
passiva pelos alunos.
Neste capítulo, vimos que o epistemólogo suíço Jean Piaget,
responsável pela elaboração da Epistemologia Genética,
teoria que descreveu os processos cognitivos
envolvidos na aprendizagem humana, enfatizou
a necessidade de que o conhecimento lógico-
matemático seja construído pelo sujeito da
aprendizagem, a partir de suas ações sobre
os objetos de conhecimento.
Além disso, Piaget demonstrou que essa
construção, assim como a dos outros
tipos de conhecimentos que demandam
a ação cognitiva dos sujeitos, passa por
diferentes etapas ao longo do percurso
de desenvolvimento.
Ao final, destacamos que a compreensão da natureza do conhecimento
lógico-matemático, bem como das etapas do desenvolvimento humano,
permite ao professor a proposição de atividades que possam permitir ao
educando a efetiva compreensão dos conteúdos matemáticos.
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12. Referências
ALMEIDA, A. L.; VALEIRÃO, K. (orgs.). Elementos de fundamentos
psicológicos da educação. Pelotas: NEPFIL online, 2015. Disponível em:
https://wp.ufpel.edu.br/nepfil/files/2019/02/3-fundamentos-psicologicos-
da-educacao.pdf.Acesso em: 29 set. 2021.
DAVIS, C.; OLIVEIRA, Z. Psicologia na educação. São Paulo: Cortez, 1990.
FERRAZ, A. A.; TASSINARI, R. P. Como é possível o conhecimento
matemático? As estruturas lógico-matemáticas a partir da epistemologia
genética. São Paulo: Cultura Acadêmica, 2015.
HUETE,J.C.S.; BRAVO,J.A.O ensino da matemática: fundamentos teóricos
e bases psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 2007.
KAMII, C. A criança e o número. Campinas: Papirus, 2012.
KAMII, C. Aritmética: novas perspectivas: implicações da teoria de Piaget.
Campinas: Papirus, 1995.
KAMII, C. Crianças pequenas continuam reinventando a aritmética (séries
iniciais): implicações da Teoria de Piaget. Porto Alegre: Artmed, 2005.
MARTÍNEZ, E. C.; ROMERO, M. A. O.; MARTÍNEZ, E. C. Desarollo del
Pensamiento Matemático Infantil. Andalucía: Universidad de Granada,2002.
OLIVEIRA, M. K.; TEIXEIRA, E. A questão da periodização do
desenvolvimento psicológico. In: OLIVEIRA, M. K.; SOUZA, D. T. R.; REGO,
T. C. (orgs.). Psicologia, educação e as temáticas da vida contemporânea.
São Paulo: Moderna, 2002.
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