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Tópicos em Processamento de Sinais
Departamento de Engenharia Elétrica
Faculdade de Tecnologia
Universidade de Brasília

MATLAB
1) Introdução
O aplicativo Matlab é uma das ferramentas mais úteis para as áreas de processamento de
sinais, controle, e outras aplicações. O “Mat” do nome Matlab está relacionado com “Matriz”, ou
seja, é um laboratório que permite a manipulação eficiente de matrizes. Pode-se dizer também que o
Matlab permite também a manipulação eficiente de vetores, já que um vetor de tamanho N pode ser
visto como uma matriz de Nx1.
Uma das melhores formas de se familiarizar com o Matlab é através do comando intro, que
provê uma turnê pelas características básicas do programa.

Exercício 1
Use o comando intro e, com atenção, procure entender todos os exemplos fornecidos.
A aplicação predominante no presente curso será o processamento digital se sinais. Para
isto, preparamos algumas técnicas em Matlab que facilitarão o uso do aplicativo para esta tarefa.

2) Geração de Sinais Amostrados
Como primeiro exemplo, geraremos a seguinte função senoidal no Matlab:
f(t)=sin(2*pi*fo*t)
Onde fo=1 Hz.
A função é mostrada na seguinte figura:
Senoide de 1 Hz
1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
f(t)
-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tempo (seg.)

1


Para permitir o processamento de sinais por computador, o sinal analógico deve ser
digitalizado por um conversor analógico para digital (A/D). Neste processo o sinal é amostrado em
vários instantes, em intervalos de tempo constante. O intervalo de tempo é o período de amostragem
(T), e o recíproco de T é a freqüência de amostragem (fs= 1/T). A unidade de tempo do período de
amostragem em geral é segundos, e a de Freqüência é em Hz. 100 Hz significa que 100 amostras do
sinal são tomadas em 1 segundo.
Pode-se simular funções amostradas no Matlab. O exemplo abaixo mostra como se pode
simular a amostragem de uma senóide no Matlab:

Exercício 2
Siga os passos descritos para simular a amostragem de uma onda senoidal no seguinte
exemplo. Digite os comandos na Matlab, e observe os efeitos.

1) Crie o eixo do tempo:
t=0:0.05:1;
O comando acima cria uma variável (vetor) com os elementos 0, 0.05, 0.1, ..., 1. O ponto e
vírgula evita que a variável seja exibida na tela. Tente rodar o comando acima e observe o que
acontece. Caso você tenha errado, e o vetor inteiro comece a aparecer na tela, você pode parar o
processo usando CTRL-C.
O comando size(t) exibe o tamanho da matriz t, e o comando length(t) mostrará o comprimento do
vetor. Experimente estes comandos.

2) Crie a função:
f=sin(2*pi*t);
O comando acima cria um vetor cujas componentes são a função senoidal calculada a cada valor do
vetor t. Assim, no Matlab, você pode calcular o seno de um vetor, ou mesmo de uma matriz.
Execute este comando.

3) Plotar a função:
plot(t,f)
Este comando faz a plotagem do sinal, tendo f no eixo y, e o correspondente t no eixo x.
Execute este comando.

4) Coloque o Titulo e as variáveis dos eixos x e y:
title(‘Funcao Senoidal’)
xlabel(‘Tempo (segundos)’)
ylabel(‘Amplitude (Volts)’)
2


Experimente os comandos acima.
Tente também os seguintes comandos:
plot(f,t)
plot(f)
plot(t)

O que aconteceu no primeiro comando? No segundo comando, a senóide foi plotada, mas o
eixo y mostrou simplesmente o número da amostra, mas não o tempo correspondente a cada abcissa
y. Explique o que acontece no terceiro exemplo.
Tente também as seguintes opções:
plot(t,f,’*’)
plot(t,f,’b*’)
plot(t,f,’.’)
plot(t,f,’c.’)
plot(t,f,’-’)
plot(t,f,’y-’)

Observe as cores e características dos gráficos. Agora digite help plot, e leia
cuidadosamente as descrições da função plot.
Agora digite a seguinte função:
grid
Note o efeito da função, e digite help grid, para ver as características desta função.
Agora gere uma segunda função:
f2=sin(2*pi*2*t)
E plote as funções f e f2 no mesmo gráfico:
plot(t,f,t,f2)
Verifique as cores dos gráficos. Agora digite:
plot(t,f,’b*’,t,f2,’c-.’)
E verifique os efeitos.
Agora tente os seguintes comandos:
stem(t,f)
stem(t,f2)

3


O que estes comandos fazem? Digite help stem, e estude o funcionamento desta função.
Tente mudar as cores dos traçados desta função. Note que a função não é tão flexível quanto a cores
do traçado quanto a função plot.

3) Geração de sinais mais complexos

Digite os seguintes vetores:
A=[0 1 2 3 4 5 6];
B=[0 2 4 6 8 10 12];
Tente multiplicar A*B. Note que o Matlab não realizará tal operação. O fato é que o Matlab
sempre interpretará o vetor como uma matriz, e o programa sempre interpreta uma multiplicação
como uma multiplicação de matrizes. Entretanto, há uma opção que permite ao usuário fazer uma
multiplicação ponto a ponto de dois vetores ou matrizes (isto é o primeiro elemento do resultado é o
produto dos primeiros elementos dos fatores, o segundo elemento do resultado é o produto dos
segundos elementos dos fatores, e assim por diante). Tente digitar:

C=A.*B

Note que o vetor C é o resultado da multiplicação ponto a ponto do dos vetores A e B.

Exercício 3
Queremos plotar a seguinte função no intervalo 0<x<4:
y(x)=(x-1)(x-2)
Para isto, criamos primeiro o vetor representando a variável x, e em seguida a função em
questão:
x=0:0.05:4;
y=(x-1).*(x-2);
plot(x,y)

Note o comando “.*”. Cada expressão entre parênteses é um novo vetor, e os vetores são
multiplicados ponto a ponto, resultando no efeito desejado.
Agora geraremos a função:
y(x)=x3-6x2+11x-6

4


Para isto, criamos primeiro o vetor representando a variável x, e em seguida a função em
questão:

x=0:0.05:4;
y=x.^3-6*x.^2+11*x-6;
plot(x,y)

Note que o operador “.^” é também um operador ponto a ponto, que eleve cada elemento da
matriz à potência desejada. Tente digitar x^2, e veja que este comando não funcionará. Tente
descobrir porque (lembre-se que o Matlab sempre assume operações matriciais).

PROBLEMAS
1) Gere e plot a função f(t)=exp(-t)sin(2*5*pi*t), no intervalo 0<x<6. Use várias escolhas de
intervalo para o eixo x: 0.1 sec., 0.05 sec., etc., e escolha o que tem melhor aparência.
2) Ache graficamente as raízes da função y=x3+2x2-x+1. (Dica: procure, por tentativa e erro o
intervalo, a o período de amostragem do eixo x, realizando sucessivas plotagens das tentativas).
3) Plote a seguinte função: y=sin(x)*cos(2x)/(2+sin(x)). Escolha um eixo x apropriado (Não se esqueça
que as multiplicações e divisões devem ser operações ponto a ponto).
4) Gere a função f(t)=sin(2*pi*10*t), no intervalo 0<x<10. Qual é a freqüência desta senóide? Use
as seguintes escolhas de freqüência de amostragem: 5 Hz, 10 Hz, 20 Hz, 40 Hz, e 200 Hz. Use a
função stem. Observe bem o efeito, pois será analisado na próxima aula.
5) Gere a função f(t)=exp(-t)sin(2*5*pi*t), e depois plote um histograma da mesma. Dica: use a
função intro, e observe o uso da função bar. Em seguida digite help bar, para analisar aquela
função.

5


EXERCÍCIOS COM O MATLAB
Nesta seção, veremos algumas funções extras do Matlab. Primeiramente, consideremos o
seguinte trecho a seguir. Analise atentamente o programa abaixo (consulte o help para as funções
que você não conhece):

% exemplo: geracão de uma forma de onda ruidosa
t=0:0.01:pi; %linha 1
y=2*sin(5*t); %linha 2
figure(GCF) %linha 3
plot(t,y) %linha 4
pause %linha 5
ruido=randn(1,length(t)); %linha 6
plot(t,ruido) %linha 7
pause %linha 8
y_ruido=y+ruido; %linha 9
plot(t,y_ruido); %linha 10

Execute o programa. A linha 1 cria o vetor do tempo de amostragem. A linha 2 cria uma
função senoidal (qual é a freqüência?). A linha três faz com que a janela com o gráfico seja
colocada à frente de todas as outras. A linha 4 plota uma senóide, como mostrado abaixo:
2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

O comando pause, na linha 5, causa uma pausa no programa. Para continuar o programa, o
usuário deve pressionar <Enter>. [Pergunta: o que acontece se este comando for substituído por
pause(2)? Dica: use o comando help].
A linha 6 utiliza o comando randn (utilize o help para aprender sobre este comando). Este
comando gera uma seqüência de números aleatórios com distribuição normal, com uma linha e
tantas colunas quanto for o comprimento do vetor t. O comando lenght(t) fornece o número de
elementos de t. Observe a plotagem do sinal de ruído:

6


3

2

1

0

-1

-2

-3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Em seguida, a linha 9 calcula uma nova variável y_noise, que é o sinal senoidal mais o
ruído. Observe o resultado:
4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Neste exemplo, você aprendeu como gerar um sinal com ruído.
Agora, vejamos outros comandos. Para isto considere o seguinte código:
% Exemplo 2
A=[1 2 3; 4 5 6]
B=[3 4 ; 3 6 ; 7 8]
C=[1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9];
D=[5 6 ; 7 8 ; 9 10];
pause
size(A)
size(B)
pause
7


length(A)
length(B)

Após executar o código acima, realize manualmente, e em seguida usando o Matlab, as
seguintes operações (indique quando a operação não é possível):

A*B=

B*A=

A*C=

A^2=

A.^2=

C^2=

C.^2=

A’=

C*inv(C)=

[B B B]=

[A;A;A]

Veremos agora alguns comandos estatísticos. Considere o seguinte trecho de código:

% exemplo 3

A=[ 1 2 3 4 5 6 7] %linha 1
B=mean(A) %linha 2
C=std(A) %linha 3
Pause %linha 4
RUIDOSO=randn(1,5000); %linha 5
figure(gcf) %linha 6
plot(RUIDOSO) %linha 7
title('sinal ruidoso') %linha 8
pause %linha 9
MEDIA_RUIDOSO=mean(RUIDOSO) %linha 10
DP_RUIDOSO=std(RUIDOSO) %linha 11
Pause %linha 12
MAISRUIDO=5*randn(1,5000); %linha 13
MEDIA=mean(MAISRUIDO) %linha 14
DP=std(MAISRUIDO) %linha 15

8


Use o comando help para estudar os comandos mean, e std. Execute o programa. Tome
cuidado de só incluir o ponto-e-vírgula quando necessário. Estes comandos calculam a média e o
desvio padrão dos vetores em questão (relembre na literatura o que estes termos significam). Na
linha 2, o resultado, B, será a média dos elementos do vetor A Na linha 3, o resultado C será o
desvio padrão dos elementos do vetor A. Calcule A e B manualmente, e cheque os resultados com
os resultados do Matlab.
Na linha 5 um sinal de ruído normal é gerado, e é plotado na linha 6. A média e o desvio
padrão são calculados e mostrados nas linhas 10 e 11. Note que a função randn gera ruído aleatório
com média 0, e desvio padrão 1 (na verdade, próximos de 0 e 1). Para obter um ruído com maior
intensidade (maior desvio padrão), basta multiplicar o ruído pelo desvio padrão desejado, como é
feito nas linhas 13, 14 e 15. Analise com cuidado estas três últimas linhas.

EXERCÍCIOS

1) Usando o comando help, aprenda a lidar com os comandos max, min, mean, median, sort.
2) Usando o comando help, aprenda a usar os comandos fix, floor, ceil, round, mod,
rem, sign.
3) Gere uma senóide com freqüência de 50 Hz e amplitude 3V, amostrada a uma freqüência de
amostragem de 1 kHz. Adicione a esta senóide ruído gaussiano com desvio padrão de 2V. Plote
o sinal resultante. Determine os valores máximo e mínimo deste sinal. Não se esqueça de incluir
título e unidades. Procure plotar o sinal de forma que suas características fiquem claras ao leitor
(deve ficar claro que o sinal é uma senóide com ruído).
4) Usando o comando help square, aprenda como gerar uma onda quadrada. Gere uma onda
quadrada de 10 Hz, amostrada a uma freqüência de 1 KHz.

9


REVISÃO: NÚMEROS COMPLEXOS

1) Representação dos Números Complexos
Números complexos são uma estrutura criada como uma extensão dos números reais. À
primeira vista, esta estrutura parece ser artificial e inútil. Entretanto, na prática suas aplicações são
inúmeras. Este capítulo apresentará uma revisão resumida do tópico, devida à sua importância nas
séries de Fourier.
Um número complexo é um par ordenado de números reais (R,I), e é muito usualmente
representado na seguinte forma:
C=R+iI, ou C=R+jI
Sendo que matemáticos preferem o uso do i, enquanto os engenheiros preferem o j. R é
chamado parte real, e I é chamado parte imaginária do número complexo. Note que se I é zero, o
número se transforma em puramente complexo, e se R é zero, o número é puramente imaginário.
Os números complexos seguem certas regras algébricas, que a princípio parecem estranhas,
mas que permitem a extensão de várias técnicas matemáticas, bem como possibilitam um grande
números de aplicações. É muito comum se representar os números complexos em um plano
ordenado x,y, da forma ilustrada na Figura 1.

imaginario

(x,y)
M cos(α)

M

a=tan-1(y/x)

X=M sin(α) Real

Figura 1 - Representação gráfica de um número complexo

O módulo ou magnitude M de um número complexo é representado geometricamente pela
reta ligando a origem à coordenado do par ordenado, e é definido como:
M=sqrt(x2+y2)
O ângulo ou fase α, do número complexo é o ângulo entre a reta mencionada e o eixo x, e é
definido como:
α=tan-1(I/R)
É fácil mostrar, observando a geometria da Figura 1 que:
10


R=M cos(α)
I=M sin(α)
Muitas vezes o número complexo é representado por seu módulo e sua fase, da seguinte
maneira:
M∠α

Exercício 1:

Considere os seguintes números:
A=1+j2
B=-2+j3
C=4-j1
D=-2-j2
1) Plote manualmente cada um do números, e enumere em que quadrante o número está (1o., 2o.,
3o., ou 4o.) e depois plote os mesmo usando o Matlab (plot(A) plota o número complexo, caso o
mesmo realmente seja complexo).
2) Para cada número, calcule manualmente o módulo M, e depois faça os cálculos com o Matlab
(comando abs(A)). Confira os resultados com os cálculos manuais.
3) Calcule manualmente os ângulos α (atente para os quadrantes) e em seguida repita os cálculos
em Matlab (comando atan(x/y)). Tente também a função atan2(x/y), e observe que a mesma
leva em consideração o quadrante em que o número está.
4) A partir dos valores de M e α calculados, determine x e y. Faça o mesmo em Matlab (Exemplo,
x=M*cos(alfa), y=M*sin(alfa)).
5) Digite A=1+j2, e em seguida, digite:
real(A)
imag(A)
O que acontece? Qual é a função dos comandos acima?1
6) Digite o seguinte código:
A=[ 1+j*2 ; 2+j*3 ; 4-j*1 ; 2-j*2 ]
plot(A)
M=abs(A)
grid
alfa1=atan(real(A)./imag(A))
11


alfa2=atan2(real(A),imag(A))
Areal=M.*cos(alfa2)
Aimag=M.*sin(alfa2)
Tente entender todos os comandos. Note que os exercícios de 1 a 4 foram implementados
nesta linha. Note o caráter matricial (ou vetorial) das variáveis (preste atenção nos pontos do .*, e ./
.
6) Converta os seguintes números para a forma R+jI:
2 π/3
3 60o
4 π/2

2) Álgebra dos Números Complexos
Os números complexos são sujeitos a regras de álgebra, algumas delas semelhantes à
álgebra dos números reais, e algumas diferentes. Quando os números complexos são puramente
reais, a álgebra simplesmente se transforma na álgebra dos números reais.

Suponha os números complexos A e B:
A=Ar+ j Ai
B=Br+ j Bi
Estes números complexos são sujeitos às seguintes regras:
Soma: A+B=(Ar + Br) + j ( Ai + Bi)
Valor de j: j=i=sqrt(-1)
Quadrado de i: i2=-1
Multiplicação: A . B=( Ar+ j Ai).( Br+ j Bi)= Ar Br +j Ai Br+j BrAi+j2AiBi
= (ArBr - AiBi)+j (ArBi+AiBr)
Raiz n-ésima (fórmula de de Moivre):
a+2kp
1/n n
A = |A| ∠ n

Complexo conjugado de R+jI : R-jI
Multiplicação de um número complexo por seu conjugado:
(A+jB)(A-jB)=A2+B2 (note a eliminação da parte complexa)

12


Eliminação de partes complexas no denominador:
A+jB = A+jB C-jD = (AC-BD) + j(AD-BC)
C+jD C+jD C-jD C2+D2

Exercício 2
Suponha:
M= 1+j2
N= 3+j4
Calcule primeiro manualmente, e depois em Matlab. Dê os resultados na forma R+jI :
1) M+N
2) MN
3) M/N
4) M2
5) sqrt(M)
6) M1/3
7) M1/5
8) Determine todas as raízes cúbicas de 8 (Fórmula de de Moivre ou Matlab)
9) Eleve todas as raízes encontradas em na questão 8 ao cubo.

3) Fórmula de Euler:
Duas fórmulas fazem os números complexos muito úteis:
ejω = cos ω + j sin ω
e-jω = cos ω - j sin ω

Ou equivalentemente:
cos ω = ejω + e-jω
2
sin ω = e − e-jω
jω

j2
Note que
cos ω = Re (ejω)
sin ω = Im (ejω)
13


Exercício 3
1) Defina uma variável de tempo com 0<t<5, amostrada em intervalos de 0.01 segundos, e calcule a
função
f(t)=e2jπt
Usando seus conhecimentos, tente prever o comportamento desta função. Note que a função
é formada por uma parte real senoidal, e uma parte imaginária cossenoidal. Plote a parte real e a
parte imaginária na Função no Matlab:
ParteReal=real(f);
ParteImag=imag(f);
subplot(2,1,1)
plot(t,ParteReal)
subplot(2,1,2)
plot(t,ParteImag)

2) A função também pode ser dividida em uma parte função módulo e fase. Tente prever a forma
das funções módulo e fase da função seus conhecimentos. Use o Matlab para plotar estas
funções:
Módulo=abs(f);
Fase=atan2(imag(f),real(f));
subplot(2,1,1)
plot(t,Módulo)
subplot(2,1,2)
plot(t,Fase)
3) Multiplique a função complexa f, calculada no exercício anterior, pelo número complexo 1+j1, e
chame a nova função de f2. Plote as partes reais de f1 e f2 no mesmo gráfico. Observe o efeito da
multiplicação por um número complexo. Por que este efeito ocorre? Preste bastante atenção a
esta questão, pois é central para o entendimento posterior dos conceitos de resposta em
freqüência, e FFT.
4) Gere a função f(t)=sin(2πt). Multiplique esta função por 1+j1, gerando f2. Plote no mesmo
gráfico as partes imaginárias de f e f2. Note os efeitos, e explique-os.
A FFT e a DFT

O Matlab permite o cálculo fácil da DFT e da FFT. Se tivermos um vetor A, de n elementos,
a DFT do mesmo é:
14


FFTdeA=fft(A);
E para a FFT inversa, é usada a seguinte forma:
IFFTdeA=ifft(FFTdeA);
Caso o número de elementos de A seja da forma 2k, o Matlab usa o algoritmo da FFT (mais
rápido). Caso contrário, é usado o algoritmo da DFT. Considere o seguinte exemplo:
t=(0:.01:.99);
f=sin(2*pi*2*t);
F=fft(f);
subplot(2,1,1)
plot(abs(F),'ko')
subplot(2,1,2)
plot(angle(F),'ko')

O resultado é mostrado a seguir:

50

40

30

20

10

0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

4

2

0

-2

-4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Note que foram plotados o ângulo e a fase da FFT. Isto porque o resultado é um vetor com
números complexos. Tente plotar o vetor sem a função abs. Explique a razão para o resultado
aparentemente absurdo.
Neste exemplo, é calculada a DFT de 1 segundo de amostragem de uma senóide com 2 Hz.
15


Note que o resultado da fase foi estranho. A razão é que a fase é o resultado de divisões de
números muito pequenos por números muito pequenos, resultando num valor não significativo.
Substitua agora a primeira linha por
t=(0:.01:1.3);
e execute o programa. O resultado é mostrado a seguir:

50

40

30

20

10

0
0 20 40 60 80 100 120 140

4

2

0

-2

-4
0 20 40 60 80 100 120 140

Nota-se que neste último caso ocorreu o fenômeno do “leakage”. Este fenômeno não
ocorreu no primeiro caso porque as amostras completavam um ciclo completo (a menos de uma
amostra). Para que não ocorra leakage, é necessário que esta precaução seja tomada.
Voltemos agora ao primeiro exemplo. Nota-se que o eixo dos x não corresponde ã
freqüência e sim ao número da amostra. Para que seja mostrada a amostra, é necessário que a
mesma seja calculada. Para tal, suponhamos que a freqüência de amostragem seja fs e que o sinal
contenha N amostras. Neste caso, a primeira amostra corresponderia à freqüência zero, e a amostra
N (que não existe, já que as amostras vão de 0 a N-1) corresponderia à freqüência de amostragem.
Assim, a freqüência de cada amostra, na DFT resultante corresponderia a fs/N. Por exemplo, a

16


primeira amostra corresponderia à freqüência zero, a Segunda a fsN, a terceira a 2fs/N, e a n-ésima a
(n-1)fs/N.
Outra observação importante é com respeito à amplitude. A amplitude da senóide no
exemplo é de 1 V, e a amplitude da DFT foi de 50. Isto se deve ao fato de que o resultado da
FFT é sempre multiplicado pelo número de amostras. Assim, para se Ter uma estimativa
confiável das componentes espectrais, é necessário que se divida o resultado por N.
Tendo essas considerações em mente, execute o seguinte código:

clear % Limpa variáveis
clf % Limpa gráficos
t=(0:.01:.99); % Gera instantes das amostras
fs=100; % Freqüência de amostragem
N=length(t); % Determina o número de amostras
f=1+sin(2*pi*10*t);% Amostra o sinal formado por
% uma cte + senóide
F=fft(f); % Calcula a DFT
Fesc=F/N; % Escalona para o valor correto
freq=(0:N-1)*fs/N; % Calcula eixo das freqüências
plot(freq,abs(Fesc),’ko’) % Plota o módulo da DFT
xlabel(‘Freqüência ’) % Label do eixo x
ylabel(‘Amplitude’) % Label do eixo y

O resultado é mostrado a seguir:

17


1.4

1.2

1

0.8
Amplitude

0.6

0.4

0.2

0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Freqüência

FILTROS DIGITAIS

O Matlab apresenta muitas funções que facilitam a implementação de filtros digitais.
Observe o help da função filter.
FILTER One-dimensional digital filter.
Y = FILTER(B,A,X) filters the data in vector X with the
filter described by vectors A and B to create the filtered
data Y. The filter is a "Direct Form II Transposed"
implementation of the standard difference equation:

a(1)*y(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + ... + b(nb+1)*x(n-nb)
- a(2)*y(n-1) - ... - a(na+1)*y(n-na)

If a(1) is not equal to 1, FILTER normalizes the filter
coefficients by a(1).

When X is a matrix, FILTER operates on the columns of X. When X
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is an N-D array, FILTER operates along the first non-singleton
dimension.

[Y,Zf] = FILTER(B,A,X,Zi) gives access to initial and final
conditions, Zi and Zf, of the delays. Zi is a vector of length
MAX(LENGTH(A),LENGTH(B))-1 or an array of such vectors, one for
each column of X.

FILTER(B,A,X,[],DIM) or FILTER(B,A,X,Zi,DIM) operates along the
dimension DIM.

See also FILTER2, FILTFILT (in the Signal Processing Toolbox).

Assim, a função tem, em geral, três argumentos: os vetores A e B, correspondentes aos
coeficientes dos filtros, e o vetor de entrada. O resultado da função é o vetor de saída.
Antes de fazermos um exemplo com a função filter, vamos observar que o Matlab possui
várias ferramentas que permitem a determinação dos coeficientes A e B. Um exemplo é a função
butter. Observe o help desta função:

BUTTER Butterworth digital and analog filter design.
[B,A] = BUTTER(N,Wn) designs an N'th order lowpass digital
Butterworth filter and returns the filter coefficients in length
N+1 vectors B and A. The cut-off frequency Wn must be
0.0 < Wn < 1.0, with 1.0 corresponding to half the sample rate.

If Wn is a two-element vector, Wn = [W1 W2], BUTTER returns an
order 2N bandpass filter with passband W1 < W < W2.
[B,A] = BUTTER(N,Wn,'high') designs a highpass filter.
[B,A] = BUTTER(N,Wn,'stop') is a bandstop filter if Wn = [W1 W2].

When used with three left-hand arguments, as in
[Z,P,K] = BUTTER(...), the zeros and poles are returned in
length N column vectors Z and P, and the gain in scalar K.

When used with four left-hand arguments, as in
[A,B,C,D] = BUTTER(...), state-space matrices are returned.

BUTTER(N,Wn,'s'), BUTTER(N,Wn,'high','s') and BUTTER(N,Wn,'stop','s')
design analog Butterworth filters. In this case, Wn can be bigger
than 1.0.

See also BUTTORD, BESSELF, CHEBY1, CHEBY2, ELLIP, FREQZ, FILTER.

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Vê-se que esta função determina os coeficientes de um filtro de Butterworth de ordem n, com uma
freqüência de corte fc. A freqüência de corte é indicada de forma que o valor 1 corresponda à
metade da freqüência de amostragem fs. Por exemplo, se fs=100Hz, 0.1 corresponderia a uma
freqüência de corte de 5 Hz.
Como exemplo, será filtrada uma senóide de 15 Hz, amostrada a 100 Hz, por um filtro com
fc=10 Hz.

clear
clf
t=(0:.01:1);
f=sin(2*pi*5*t); % amostragem do sinal
subplot(2,1,1)
plot(t,f) % Sinal de entrada
ª
[B,A]=butter(1,0.1); % Calcula coeficientes do filtro de 2 ordem,
% fs/2=50Hz e fo=5Hz, entao Wn=5/50=0.1
saida=filter(B,A,f); % Filtra o sinal. Resultando no vetor de
% saída.
subplot(2,1,2)
plot(t,saida)

Execute este código, e explique o resultado.

EXERCÍCIOS

1) Gerar um sinal f(x)=1+sin(2100t), amostrado a 1KHz.
2) Passar o sinal por um filtro passa-baixas Butterworth com fc=50 Hz.
3) Passar o sinal por um filtro passa-baixas Butterworth com fc=50 Hz.
4) O Matlab possui a função freqz, que permite plotar a resposta em freqüência de filtros digitais.
Examine o help desta função, e use-a para plotar a resposta em freqüência do filtro do último
exemplo.

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