Exercicios extras combinatoria

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Exercicios extras combinatoria

  1. 1. EXERCÍCIOS EXTRAS RESOLVIDOS – PROF. THIAGO INSTRUÇÃO: Leia atentamente cada  um dos exercícios e suas respectivas resoluções.  Se  achar conveniente, tente resolver alguns desses antes de conferir a resposta. Divirta­se!  PARTE 1 – Questão ENEM 1. (ENEM­2004) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é: a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. RESOLUÇÃO  Devemos escolher uma cor para o fundo, a casa e a palmeira. Apresentamos todas as possibilidades: Fundo Casa Palmeira Fundo Casa Palmeira Azul Azul Cinza Cinza Azul Cinza Verde Verde Verde Cinza Verde Cinza Verde Verde Amarela Cinza Amarela Cinza Verde Verde
  2. 2. Das 12 possibilidades apresentadas, não podemos escolher aquelas em que o fundo e a casa são azuis – ou seja, 2 opções – nem aquelas em que o fundo é cinza e a palmeira também é cinza – ou seja, 3 opções. Logo, sobraram 12 – 5 = 7 possibilidades de escolha. Resposta: Alternativa B. PARTE 2 – Questões VESTIBULARES 1. (UF/PE-2004) O mapa abaixo representa a divisão do Brasil em suas regiões. O mapa deve ser colorido de maneira que regiões com uma fronteira em comum sejam coloridas com cores distintas. O número de maneiras de se colorir o mapa, usando­se 5 cores diferentes, é de a) 320. b) 540. c) 120. d) 1125. e) 360. RESOLUÇÃO Note que cada região faz ‘fronteira’ com outras duas; assim, para colorir o mapa, devemos escolher uma cor para as regiões Norte, Nordeste, Centro­Oeste, Sudeste e Sul. Assim: Norte (NO) (qualquer cor) Nordeste (NE) (todas menos NO) Centro Oeste (CO) (todas menos NO e NE) Sudeste (SE) (todas menos NE e CO) Sul (todas menos CO e SE) 5 . 4 . 3 . 3 . 3 = 540 Resposta: Alternativa B. 2. (Mack/SP) Cinco nadadores disputam uma prova. Calcule o número de resultados possíveis para 1º, 2º e 3º colocados. RESOLUÇÃO Devemos escolher um nadador para cada posição no pódio. Logo: 1º colocado (qualquer um) 2º colocado (todos menos o 1º) 3º colocado (todos menos o 1º e o 2º) 5 . 4 . 3 = 60 Resposta: 60 resultados.
  3. 3. 3. (AFA/RJ) Usando­se 5 dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, sem repeti­los, determine a quantidade de números naturais pares que se pode formar. RESOLUÇÃO Para um número ser par, o algarismo das unidades deverá ser par. Como esse último algarismo tem uma restrição, então ele tem ‘prioridade’ na escolha. Assim: Dez. Milhar (todos menos UM,C,D,U) Unid. Milhar (UM) (todas menos C,D,U) Centena (C) (todos menos U,D) Dezena (D) (todos menos U) Unidade (U) (2, 4 ou 6) 3 . 4 . 5 . 6 . 3 = 1080 Resposta: 1080 números. 4. (UNIMEP/SP) Usando somente os algarismos pares, sem os repetir, calcule quantos números teremos entre 2000 e 5000. RESOLUÇÃO Usando os algarismos {0,2,4,6,8}, o algarismo da unidade de milhar tem uma restrição, por isso será priorizado. Assim: Unid. Milhar (UM) (2 ou 4) Centena (C) (todos menos UM) Dezena (D) (todos menos UM e C) Unidade (U) (todos menos UM,C e D) 2 . 4 . 3 . 2 = 48 Resposta: 48 números. 5. (FATEC/SP) A abertura de um certo tipo de mala depende de dois cadeados. Para abrir o primeiro, é preciso digitar sua senha, que consiste num número de três algarismos distintos escolhidos de 1 a 9. Aberto o primeiro cadeado, deve­se abrir o segundo, cuja senha obedece às mesmas condições da primeira. Nessas condições, determine o número máximo de tentativas necessárias para abrir a mala. RESOLUÇÃO Para abrir o 1º cadeado, temos 9.8.7 = 504 possibilidades. Aberto o 1º, para abrir o 2º cadeado, teremos as mesmas 504 possibilidades, ou seja, é como se o problema começasse novamente. Assim, teremos um total de 504 + 504 = 1008 possibilidades. Resposta: 1008 possibilidades.
  4. 4. 6. (UE/MT­1999) As crianças de uma escola fizeram um trabalho sobre a coleta e distribuição do lixo. Para organizar a coleta, as crianças deverão alinhar em fila indiana 5 sacos de lixos de cores diferentes. De quantos modos diferentes poderão dispor os 5 sacos de lixo? RESOLUÇÃO Devemos escolher, dentre os 5 sacos de lixo, um saco para cada uma das posições na fila. Logo: 1ª posição (qualquer um) 2ª posição (todos menos o 1) 3ª posição (todos menos o 1,2) 4ª posição (todos menos o 1,2,3) 5ª posição (todos menos o 1,2,3,4) 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 Resposta: 120 possibilidades. 7. (FEI/SP) Considerando­se todos os número naturais que podem ser descritos em 3 algarismos distintos, quantos são múltiplos de 5 ? RESOLUÇÃO Para ser múltiplo de 5, o número tem que terminar em 0 ou 5. Temos dois casos: Centena (C) (todos menos 0) Dezena (D) (todos menos C e U) Unidade (U) (0) 9 . 8 . 1 = 72 ou Centena (C) (todos menos 0 e 5) Dezena (D) (todos menos C e U) Unidade (U) (5) 8 . 8 . 1 = 64 Assim, teremos um total de 72 + 64 = 136 números. Resposta: 136 números. 8. (PUC/BA) Pretende­se pintar as quatro faixas horizontais de uma bandeira usando­se no máximo quatro cores: azul, branca, verde e amarela. Se duas faixas consecutivas não podem ser pintadas de uma mesma cor, então determine o número de bandeiras distintas que poderão ser pintadas. RESOLUÇÃO Usando as cores {Azul,Branco,Verde,Amarelo}, temos as possibilidades: 1ª faixa (qualquer cor) 2ª faixa (todos menos a 1ª) 3ª faixa (todos menos a 2ª) 4ª faixa (todos menos a 3ª) 4 . 3 . 3 . 3 = 108 Resposta: 108 bandeiras.
  5. 5. 9. (FGV/SP) Com os algarismos 6, 7, 8 e 9, quantos números naturais de três algarismos podemos formar de modo que haja pelo menos dois algarismos iguais? RESOLUÇÃO Para formar números com pelo menos dois algarismos iguais, podemos calcular todos os números com 3 algarismos escolhidos entre {6,7,8,9} e depois subtrair todos os casos onde são todos distintos. Assim: Total – todos distintos = 4.4.4 – 4.3.2 = 64 – 24 = 40 Resposta: 40 números. 10. (INSPER/SP) Para identificar os canais de um sistema de televisão a cabo, usam­se as siglas de 3 letras, escolhidas no conjunto {A, B, C, R, T, V}, podendo cada sigla ter, no máximo, 2 letras iguais. Assim, por exemplo, TVB, TVT, CBB são siglas possíveis. Qual é o número de siglas diferentes que podemos formar? RESOLUÇÃO Para formar siglas com no máximo duas letras iguais, podemos calcular todas as siglas com 3 letras entre {A,B,C,R,T,V} e depois subtrair todos as siglas que possuem as três letras iguais. Assim: Total – todas iguais = 6.6.6 – 6.1.1 = 216 – 6 = 210 Resposta: 210 siglas. Obs #1: Os exercícios 9 e 10 foram retirados da GV e INSPER (ex­IBMEC), respectivamente, mas mostram que algumas palavras dão a idéia do que tem que ser feito no exercício. As palavras pelo menos¸ no mínimo, no máximo são exemplos de palavras de enunciado de exercícios cujas resoluções aparecem o cálculo do complementar. Obs #2: O exercício 10 poderia ser feito também pelo método direto, mas seria um pouco mais trabalhoso: Para formar siglas com, no máximo, 2 letras iguais, podemos pensar em siglas com três letras distintas ou siglas com duas letras iguais e uma terceira distinta. Assim: Siglas com letras distintas : 6.5.4 = 120 Siglas com 2 letras iguais : Siglas do tipo XXY : 6.1.5 = 30 Siglas do tipo XYX : 6.5.1 = 30 Siglas do tipo YXX : 6.5.1 = 30 Total de siglas : 120 + 30 + 30 + 30 = 210. Quaisquer dúvidas, entre em contato por e­mail : thiago.dutra.araujo@usp.br
  6. 6. ��������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������

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