Notas de aula

 Professor:
Edenilson Macedo Meneguel
 E-mail:
edenilson_guns@hotmail.com
 Blog:
professoredenilson.blogspot.com

▬ Notas e médias:
 Profª Edenilson Macedo Meneguel – Notas de aula ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
 Números naturais: É o mais simples entre os conjuntos
Prova iremos estudar. O Peso geral considerado como
que mesmo é  a = é o número de
números para contar. Os números naturais são provas do bimestre.
representados pela letra N. Sendo um conjunto de  b = número de
cardinal infinito. trabalhos do
bimestre.
N = {0, 1, 2, 3, ... } prova
Cada

 Nota histórica: Não se pode precisar a data de seu
surgimento. Sabe-se Nota do aluno
que ele surgiu de forma  E = acertos do
implícita ao ato depor prova Os pastores, por
contar. aluno.
exemplo, guardavam suas ovelhas estabelecendo  Q = número de
uma correspondência biunívoca entre o conjunto de questões da prova.
ovelhas e o conjunto de geral
Trabalho Peso pedrinhas, pois cada  a = é o número de
pedrinha correspondia a uma ovelha. Desde então provas do bimestre.
vários matemáticos estudaram suas características  b = número de
e padrões. trabalhos do
 Subconjuntos: é a divisão do conjunto em outros bimestre.
conjuntos que são Cada trabalho critérios de
definidos por
existência.
 Propriedades: são regras gerais válida para
qualquer número natural; do aluno
Nota  F é o número de
Operação Propriedades trabalhos entregues.
Adição
Média do bimestre Comutativa
1.
2. Associativa
3. Elemento neutro
Média com recuperação operação a – b será possível
Subtração Obs.: A
somente se a > b. Não admitindo as
operações da soma.
Produto 1. Comutativa
Obs.: A recuperação será realizada para todos os alunos da sala.
2. Associativa
3. Elemento neutro
 Planejamento de Trabalho Docente das Aulas de Matemática
4. Distributiva
Divisão Obs.: A operação a / b será possível
somente se a for múltiplo de b.

 Potência: Chama – se de potencia ao produto
sucessivo de um número a (a diferente de zero).
Onde, n é o número de vezes que o fator a deve ser
repetido.
 Em símbolos:

 Propriedades: seja a, b, m e n pertencentes aos
naturais, com a e b diferentes de zero, temos:
Produto
Divisão

Potência da
potência

Potencia da
base distinta
Potência
inversa
Potência nula  Porcentagem: é o valor
Potência obtido ao aplicarmos uma
unitária taxa percentual a outro
determinado valor.
Obs.: 1 - Os números naturais obedecem à  Taxa percentual: é
propriedade do fechamento somente para as representada por i %,
operações de adição e subtração. onde
 Obs.: 2 – Trabalhar com as potências decimais.
 Radiciação: (conteúdo do 7ª ano)
 Em símbolos:
1. Exprima, sob forma de
taxa percentual, cada
 Propriedades: seja a, b, m e n pertencentes aos uma das seguintes razões;
naturais, com a e b diferentes de zero, temos: a.
Produto de b.
radicais
Divisão de c.
radicais 2. Meio representa quantos
Potência de por cento de ·?
radicais
Potência
inversa
Obs.: 2 – Trabalhar com a adição e subtração de radicais.

 Unidade de superfície: é a área tomada como padrão de
medida de outras superfícies;
 A unidade fundamental é o metro quadrado (m²),
que representa a superfície de um quadrado de 1 m
de lado.

Km² hm² dam² m² dm² cm² mm²
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

 Para a medida de superfícies de campos, as
unidades conhecidas são o are, seus submúltiplos e
múltiplos.
 Unidades de Comprimento: A unidade fundamental é o
metro (m), com seus múltiplos e submúltiplos;
Nomes Símbolos Valores
Múltiplo Quilômetro Km 1000 m
Hectômetro hm 100 m
Decâmetro dam 10 m
Unidade Metro m 1m
Decímetro dm 0,1 m

Centímetro cm 0,01 m
Submúltiplo Milímetro mm 0,001 m

 Unidade de massa: A unidade fundamental é o
quilograma (kg). Na prática é utilizada a grama.

Múltiplo Tonelada t 1.000.000g
1.000 kg
Quintal q 100.000 g
100 kg
Quilograma Kg 1.000 g
Hectograma hg 100 g
Decagrama dag 10 g
Unidade Grama g 1g
Decigrama dg 0,1 g
Centigrama cg 0,01 g
Submúltiplo Miligrama mg 0,001 g

 Unidades de tempo: A unidade fundamental é o
segundo (s). O segundo vale aproximadamente
do dia solar médio.

Segundo s 1s
(unidade)
Minuto mim 60 s
Hora h 60 mim
3.600 s
Dia d 24 h
1.440 mim
86.400 s
Ano a 365,24
dias

 Unidades de volume: A unidade fundamental é o metro
cúbico (m³).

(cúbico)
Múltiplo Quilômetro Km³ m³
Hectômetro hm³ m³
Decâmetro dam³ m³
Unidade Metro m m³
Decímetro dm m³
Centímetro cm m³

Submúltiplo Milímetro mm m³
(Onde metro cúbico é igual a mil litros)
 Múltiplo
 Unidades de mesma origem são os múltiplos e
submúltiplos de uma unidade fundamental.  Submúltiplo:
 Obs.: Trabalhar alguns exemplos de
transformação de unidades
 Frações: Define-se como fração ao valor resultante da
divisão de dois números naturais. Abordar números primos e
 Em símbolos: mínimo múltiplo comum
 antes do tópico de frações.
 Nota histórica: Historicamente as frações surgiram
de medições. Pois, ao medir um segmento de reta
com uma unidade u de medida 1 observou-se
que ocorreria as seguintes possibilidades:

1. A unidade u cabe em um número p de
vezes. Vamos supor que u caiba
exatamente p vezes em . Então, a
medida de unidades, em que p é
um número natural.
2. A unidade u não cabe um número exato de
vezes em . Nesse caso, procuramos um A u u u u u B
segmento v de tal forma que v caiba um
número q de vezes em u e um número p de
vezes em , ou seja, teremos que a
medida de e, consequentemente,
. A v v v v v B
Surgindo, assim, os números fracionários e, por
conseguinte, o surgimento do conjunto dos números
racionais absolutos. v v v v
 Classificação das frações: As frações poder ser
classificada como: próprias, impróprias ou
aparentes. As frações denominadas próprias são Os segmentos u e são ditos
as frações cujo numerador é menor que o segmentos comensuráveis de
denominador, ou seja, . As frações unidade v.

impróprias são todas cujo numerador é maior que o
denominador, ou seja, .
Por sua vez, as frações aparentes são todas as
frações que representam uma divisão exata.

 Tipos de fração:
 Frações equivalentes: são as que possuem o ▬ Exemplo ▬▬▬▬▬▬▬
mesmo valor, isto é, representam a mesma Determine a fração que
quantia. representa os números decimais
 Fração geratriz: é a fração que gera uma periódicos abaixo:
dizima periódica simples ou composta. 1) 0, 1515...
 Operação com frações: 2) 1, 15252525...

 Adição de frações: as frações em estudos podem ser
homogêneas ou heterogêneas.
 Se as frações forem homogêneas, isto é, se os
denominadores forem iguais, basta somarmos
os numeradores.
 Se as frações forem heterogêneas, ou seja, se os
denominadores forem diferentes deveremos obter  Sejam a, b, m, n, q e p
uma nova fração que será igual à soma das números naturais não-
mesmas, ou seja, procederemos da seguinte nulos, temos:
forma:  Termo de
Determinamos mmc dos denominadores, racionalização: ,
sendo este o denominador de nossa nova onde p é a diferença
fração; entre n e q.
Para determinarmos os numeradores  Racionalização:
deveremos dividir o mmc pelos
denominadores das frações originais e, logo
após, multiplicá-los pelos seus respectivos
numeradores.
 Produto de frações: Para determinarmos o produto
entre duas frações, independendo se são frações
homogêneas ou não, procedemos da seguinte
maneira:
 Multiplicamos os numeradores.
 Multiplicamos os denominadores. ▬ Exemplo ▬▬▬▬▬▬▬
 Comparação de frações: para compararmos duas Expresse a forma racionalizada
frações deveremos transformá-las em frações
aparentes com mesmo denominador e, logo após de .
compararmos os numeradores.
 Subtração de frações: Seja a e b duas frações bem Pelas propriedades de racionais
definidas. A operação a – b só é possível se, e temos:
somente se, a b para o conjunto dos números
naturais, em caso contrário não haverá restrições.
 Potência de frações: Para determinarmos uma
potencia entre duas ou mais frações procedemos da
forma que para números naturais. Sendo válidas
Além disso, temos: n = 3, q = 15
todas as propriedades vistas.
e m = 3.
 Radiciação de frações: Para determinarmos a
Logo:
radiciação entre duas ou mais frações procedemos
da forma que para números naturais. Sendo
válidas todas as propriedades vistas. Sendo assim:
 Obs.: trabalhar racionalização de denominadores
com radicais.
 Obs.: Ver mmc antes de operações com frações.

 Múltiplos de um número natural: Diz-se que um
número natural a é múltiplo de um natural b se, existir
um natural k de tal forma que . Onde k é a
constante de multiplicidade.

 Um cardinal infinito: O conjunto dos números
naturais é infinito. Assim, existem infinitos
múltiplos de números naturais.
 Representação do conjunto dos múltiplos:
Costuma-se representar os múltiplos de um número
na forma de conjuntos, ou seja,
.
 Tabela dos múltiplos de um número natural:
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81
 Mínimo múltiplo comum (mmc): para
determinarmos o mmc de dois ou mais números
devemos decompô-los em fatores primos até
obtermos o elemento neutro da multiplicação. O
mmc é o produto destes fatores primos.
 Divisores de números naturais: Os divisores de um
número natural é todo número que, ao dividirem o
mesmo, resultará em uma divisão exata.
 Critérios de divisibilidade: são critérios que
possibilitam determinar se o número em estudo é
divisível ou não por aquele número.
 Divisível por 2: se, e somente se, o número em
estudo for par.
 Divisível por 3: Um número em estudo será
divisível por 3 se, e somente se, a soma de seus
algarismos são múltiplos de 3.
divisível por 4 se, e somente se, os dois últimos
algarismos do número for múltiplo de 4.
divisível por 5 se, e somente se, terminar em 5
ou em 0.
divisível por 6 se, e somente se, for divisível
concomitantemente por 3 e por 2.
 Divisível por 7: para determinarmos se um
número em estudo é divisível por 7 procedemos
da seguinte maneira:
Separa-se o último algarismo da direita.
Subtrai-se o dobro deste número do número
formado pelo restante dos algarismos.

Repete-se o procedimento até encontrar, se
existir, um múltiplo de 7. Caso exista este
múltiplo ao efetuar o procedimento dizemos
que o número gerador é múltiplo de 7.
 Divisível por 11: para determinarmos se um
número em estudo é divisível por 11 procedemos
da seguinte maneira:
Separa-se o último algarismo da direita.
Subtrai-o do número formado pelo
restante dos algarismos.
Repete-se o procedimento até encontrar, se
existir, um múltiplo de 11. Caso exista este
múltiplo ao efetuar o procedimento dizemos
que o número gerador é múltiplo de 11.
 Máximo Divisor Comum: O método que iremos
apresentar é conhecido como algoritmo de Euclides e Euclides (c. 330 a. C. - 260 a. C.)
é utilizado para determinar o maior (ou máximo)
divisor comum de dois números. Nasceu na Síria e estudou em
Divisão exata: Para qualquer n, tal que Atenas. Foi um dos primeiros
é não nulo vai existir um natural geômetras e é reconhecido como
tal que: um dos matemáticos mais
importantes da Grécia Clássica
e de todos os tempos.
Muito pouco se sabe da sua
Algoritmo de Euclides: determine o mdc de vida. Sabe-se que foi chamado
125 e 12. para ensinar Matemática na
Dividendo Divisor Resto Quociente escola criada por Ptolomeu
125 12 5 10 Soter (306 a. C. - 283 a. C.), em
12 5 2 2 Alexandria, mais conhecida por
5 2 1 2 "Museu". Aí alcançou grande
2 1 0 2 prestígio pela forma brilhante
como ensinava Geometria e
Obs.:1 : O procedimento deve ser repetido
Álgebra, conseguindo atrair
enquanto o resto não for nulo.
para as suas lições um grande
Obs.: 2 : O mdc é o resto dado pela iteração
número de discípulos. Diz-se
anterior.
que tinha grande capacidade e
Obs.: 3 : Caso o resto anterior for 1, então
habilidade de exposição e
os números em estudo são ditos primos
algumas lendas caracterizam-
entre si.
no como um bondoso velho.
 Quantidade de divisores de um número natural:
seja os índices
de repetição dos fatores primos da decomposição de
um número natural A, temos que a quantidade de
divisores deste número é dada pela formula

 Números primos: Seja P > 1 e A dois números
pertencentes aos naturais e diferentes de zero. Se a
razão existir no conjunto dos números naturais e seu

resultado for 1 ou P dizemos que P é um número primo.

 Crivo de Erastóstenes:
L/C I II III IV V VI VII VIII IX X
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ii 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
iii 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
iv 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
v 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
vi 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
vii 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
viii 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
ix 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
x 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Logo, os números primos compreendidos entre 1 e 100
são:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.
 Teorema fundamental da aritmética: Todo número
natural (diferente de 1) pode ser decomposto como
o produto de números primos.
 Decomposição de um número natural em fatores
primos: Consiste em determinar todos os fatores
primos que são divisores deste número.
 Exemplo: Determine todos os fatores primos de
1380.

1380 2
690 2
345 5
69 3
23 23
1 ▬

Logo, tendo como
fatores primos 2, 3, 5 e 23.

 Geometria: Estudaremos a seguir os postulados que dá
subsídios a existência da geometria.
 Notação de ponto, reta e plano:
 Ponto ▬ letras maiúsculas latinas: A, B, C, D,
E, F, ...
 Reta ▬ letras latinas minúsculas: a, b, c, ...
 Plano ▬ letras gregas minúsculas:

 Postulados da determinação:
 Reta: Por dois pontos distintos determinam
uma e, somente uma reta que passa por estes
dois pontos.
 Plano: Por três pontos distintos e não

colineares pode-se determinar somente um
plano que passa por eles.
 Postulados da existência:
 Numa reta, bem como fora dela, há infinitos
pontos.
 Num plano existem infinitos pontos.
 Postulado da inclusão: Se uma reta tem dois Onde há mais pontos: no
pontos distintos num plano, então esta reta esta segmento , de 2 cm, ou no
contida neste plano. segmento , de 3 cm?
 Conceitos sobre retas:
 Retas concorrentes: Duas retas são ditas - Trace as retas e até
concorrentes se, e somente se, elas têm um único encontrarem o ponto O.
ponto comum.
 Segmento de reta: Sejam dois pontos distintos, a O
reunião do conjunto destes pontos com o conjunto A B
dos pontos internos a eles determinam um segmento P
de reta.
 Semirreta: Dados dois pontos, a reunião do C Q D
segmento de reta com o conjunto de todos os
pontos X tais que B esta entre A e X é uma semir Observe que, qualquer que
reta e é indicada como . passa por O e corta ,
 Obs.: Comentar sobre segmento consecutivo, também encontra em um
colineares e adjacentes. ponto.
Do mesmo modo toda reta que
passa por O e corta ,
também encontra em um
ponto.

(R: Em ambos os segmentos há
infinitos pontos.)
 Triângulos: Seja três pontos distintos e dois não
colineares. Define-se triângulo como sendo a reunião
pelo vértice dos segmentos formados por estes pontos.
 Classificação dos triângulos: Podemos classificar um
triângulo segundo a medida de seu lados ou a medida
de seus ângulos. Podendo também fazer ambas as
análises ao mesmo tempo.
 Classificação segundo os lados ▬ Pode ser
classificada de três formas:
 Equilátero: É todo triângulo cuja medida dos
três lados possui módulos iguais.
 Escaleno: É todo triângulo cuja medida dos três A
lados possui módulos diferentes.
 Isósceles: É todo triângulo que possui as x
medidas de dois de seus lados com módulos O B
iguais e um com módulo diferente.
 Ângulos: Chama-se ângulo a reunião de duas Ângulo completo é dado pela
semirretas de mesma origem. intersecção dos semiplanos e
 Ângulos consecutivos: Dois ângulos são ditos
consecutivos se, e somente se, possuem um lado em

comum.
 Ângulos adjacentes: Dois ângulos são ditos
consecutivos se, e somente se, não possuem pontos
internos em comum.
 Ângulos complementares: A sua soma da 90º.
 Ângulos suplementares: A sua soma da 180º.
 Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
 Medida de um ângulo: A notação para medida de
um ângulo é .
 Ângulo agudo: É todo ângulo cuja medida é
inferior a 90°.
 Ângulo reto: É todo ângulo cuja medida é igual
a 90°.
 Ângulo obtuso: É todo ângulo cuja medida é
superior a 180°.
 Classificação dos triângulos segundo os ângulos ▬
Pode ser classificada de três formas, e para isso,
utilizamos a síntese de Clairault:
 Sejam a, b, c as medidas dos lados de um
triângulo. Logo:

.

Onde a é o lado de maior modulo.
 Obs.: O último item (3) da síntese de Clairault será
estudado detalhadamente nas séries seguintes.
 Teorema dos números simétricos: Sejam x e y dois Demonstração:
números pertencentes aos naturais e diferentes de zero. Vamos supor que , ou
A soma x+y será igual a zero se, e somente, se y = -x, seja, vamos supor que:
onde y é chamado de simétrico de x. –
 Na reta numérica, teremos: Donde temos pelo princípio da
-x -1 0 1 x interpolação numérica:
▬I▬▬▬▬I▬▬▬I▬▬▬I▬▬▬▬I▬▬▬ X

Donde temos o conjunto dos números simétricos De tal forma que:
.

 Números inteiros: É o conjunto formado pela . Absurdo, pois para
união do conjunto dos números naturais com o que devemos ter
conjunto dos números simétricos. . logo, para que x+y = 0,
 Subconjuntos: devemos ter y = - x.
 Subconjunto dos inteiros maiores que zero A recíproca é imediata.
;
 Subconjunto dos inteiros menores que zero
;
 Subconjunto dos inteiros positivos ;
 Subconjunto dos inteiros negativos ;
 Subconjunto dos inteiros diferentes de zero
;
 Operações com números inteiros: são válidas

todas as propriedades dos naturais.
 Existência do número simétrico;
 Fechamento com relação à operação de
subtração;
Produto ▬ Deverá ser verificado os
sinais ao efetuar a operação, pois:

 Equação do 1ª grau: Seja a e b escalares, onde a é
diferente de zero. Seja x um número pertencente ao  Inequações do primeiro
conjunto dos racionais, define-se como sendo uma grau é toda equação do
equação do 1ª grau a toda expressão do tipo . tipo:
 Raiz de uma equação: é o valor que x deve assumir  ou
para que a equação seja válida.  ou
 Método da falsa posição: consiste em supor  ou
um valor qualquer para x e, logo após, 
calcular o valor que o mesmo resulta no lado  Cuja solução será escrito da
direito da equação, obtendo assim um resultado seguinte forma:
falso. Para determinar o valor verdadeiro de x
resolvemos a seguinte proporção:

X5

+ +
Método das operações inversas: consiste em
efetuar todas as operações inversas
apresentadas pela equação, ou seja, -2
suponhamos que queremos determinar para
qual x a equação 2x +1 = 5 é válida, logo Superior P
fazemos: esquerdo
2x +1 -1=5-1 (subtraindo 1 de ambos os Superior 5P
membros, pois a operação inversa da soma direito
é a subtração)
Inferior
2x = 4 (pois -1 e 1 são simétricos, logo sua direito
soma 0 ) Inferior
X = 2 (dividindo ambos os membros da esquerdo
equação por 2, pois a operação inversa do Superior
produto é a divisão).
esquerdo
 Aplicação das equações do 1ª grau:
 Regara de três simples
 Regra de três composta Como o superior esquerdo

éPe temos:

 Proporção: define-se como proporção a igualdade entre No deserto, um matemático e
duas ou mais razões, ou seja: seu amigo socorreram um
viajante que morria de fome. O
matemático têm 5 pães e o
Onde k é dito constante de proporcionalidade. amigo têm 3. Eles juntaram os
 Propriedades: pães, divide em três partes
iguais, e cada um come os até
chegarem a uma cidade. O
viajante era, na verdade, um
rico príncipe. Para recompensar
 Diretamente proporcional seus salvadores, deu 5 barras
 Inversamente proporcional de ouro ao matemático e 3 ao
 Aplicação das proporções: seu amigo, dizendo:
 Regara de três simples ▬ Estas recompensas são
 Regra de três compostas proporcionais ao que voes me
deram.
▬ Então, o senhor se enganou
Dados 1 Dados 2 Dados 3 disse o matemático. Essas
A B C recompensas são proporcionais
D E X ao que tínhamos e não ao que
lhe demos.

Dados 1 Dados 2
Obs.: deve-se verificar se as razões são A B
diretamente ou inversamente proporcionais. C X
Onde temos:
A – Investigue o que é grandezas proporcionais.
B – Resolver, junto com os alunos o problema do
príncipe. E

 Distância: é a medida do afastamento que dois objetos
se encontram um do outro no espaço;
 Distância entre dois pontos.
 Distância entre reta e ponto.
 Distância entre duas retas.
 Retas concorrentes: Duas retas distintas são ditas
concorrentes se, e somente se, possuir um único ponto em
Comum.

 Retas perpendiculares: Duas retas distintas são ditas
perpendiculares se, e somente se, são concorrentes e os
ângulos suplementares forem congruentes, ou seja, sua
medida for 90º.

 Num plano, por um ponto P de uma reta r existe
uma única reta s perpendicular à r.

 Por um ponto dado fora de uma reta dada existe
uma e somente uma perpendicular a reta dada.
 Retas paralelas: Duas retas distintas são ditas
paralelas se, e somente se, não possuem nenhum ponto
em comum.
 Sejam a e b duas retas distintas, paralelas ou não,
e t uma reta concorrente (transversal) com a e b,
temos:
t
 Alternos: 1 e 7, 2 e 8, 3 e 5, 4 e 6
b 1 2
 Correspondentes: 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8
 Colaterais: 1 e 8, 2 e 7, 3 e 6, 4 e 5 4 3
 Se duas retas distintas interceptam uma
transversal, então os ângulos alternos (ou ângulos a 5 6
correspondentes) são congruentes. (vale recíproca) 8 7
 Por um ponto passa uma única reta paralela a
reta dada.
 Produtos notáveis: São operações algébricas que
auxiliam a outros cálculos.
 Quadrado de uma soma: É o quadrado do primeiro
termo mais duas vezes o primeiro pelo segundo
mais o quadrado do segundo termo.
 Quadrado de uma diferença: É o quadrado do
primeiro termo menos duas vezes o primeiro pelo
segundo mais o quadrado do segundo termo.

 O produto da soma pela diferença: É a diferença
entre o quadrado do primeiro pelo segundo.
 Congruência de triângulos: Um triângulo é congruente
( ) a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma
relação entre seus vértices de modo que:
 LAL ▬ Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes dois lados e o ângulo compreendido,
então eles são congruentes.
 ALA ▬ Se dois triângulos têm congruentes um
lado e os dois ângulos adjacentes a ele, então esses
triângulos são congruentes.
 LLL ▬ Se dois triângulos possuem ordenadamente
congruentes seus lados, então esses triângulos são
congruentes.
 LA ▬ Se dois triângulos têm ordenadamente um
lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a este
lado, então esses triângulos são congruentes.
 Caso especial ▬ Se dois triângulos retângulos têm
ordenadamente congruentes um cateto e a
hipotenusa, então esses triângulos são congruentes.
 Teoremas dos triângulos
 Se um triângulo é isósceles, então os ângulos de sua
base são congruentes.
 Um ângulo esterno de um triângulo é maior que
qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.

 Se dois lados de um triângulo não são congruentes,
então os ângulos opostos a eles não são congruentes
e o maior deles opõe-se o maior lado.
 Se dois ângulos de um triângulo não são
congruentes, então os lados opostos a eles não são
congruentes e o maior deles opõe-se o maior ângulo.
 Em todo triângulo um lado é maior que o modulo
da diferença dos outros dois e menor que sua soma.

 Semelhança de triângulos ▬ Dois triângulos são  Propriedade ▬ Se duas
semelhantes se, e somente se, é possível estabelecer uma retas são transversais de um
relação entre seus vértices de modo que: feixe de retas paralelas
 Se dois triângulos possuem dois ângulos distintas e um segmento de
ordenadamente congruentes, então eles são uma delas é dividido em p
semelhantes. partes congruentes entre si e
 Se dois lados de um triângulo são proporcionais pelos pontos de divisão são
aos homólogos de outro triângulo e os ângulos conduzidas retas do feixe,
compreendidos entre eles são congruentes, então os então o seguimento
triângulos são semelhantes. correspondente da outra
 Se dois triângulos têm os lados homólogos transversal será também
proporcionais, então eles são semelhantes dividido em p partes
 Teorema fundamental ▬ Se uma reta é paralela a congruentes e essas partes
um dos lados de um triângulo e intercepta os outros serão congruentes entre si.
dois em pontos distintos, então o triângulo que ela  Teorema de tales (ou
determina é semelhante ao primeiro. teorema da proporção) ▬
Se duas retas são
transversais de um feixe de
paralelas, então a razão
entre dois segmentos
quaisquer será igual à
razão entre seus segmentos
correspondentes.

▬ Desafio ▬▬▬▬▬▬ Peso: 1 ponto MF.
Os lados de um triângulo medem 3 cm 5 cm e 7 cm . Perímetro é a soma das medidas
Calculem as medidas de um triângulo semelhante a este dos lados de uma figura
cujo perímetro é de 42 cm e, classifique-os quanto aos qualquer.
ângulos.
Resolução:
▬ De (2) vem:
▬ Vamos chamar de a, b e cãs
medidas do triângulo que queremos
determinar.
▬ Temos que o perímetro deste
triângulo deve ser 42 cm, ou seja:

▬ Além disso, este triângulo deve ser Os lados do triângulo
semelhante ao triângulo dado de semelhante ao triângulo dado
medidas 3, 5 e 7. Logo: serão , e

▬ Triângulo dado: 49 > 9 +25
Obtusângulo.
▬ triângulo semelhante:
384,16 > 70,56 + 196
Obtusângulo

 Quadriláteros: Sejam quatro pontos distintos, onde três
não colineares. Define-se como quadrilátero a reunião Quadriláteros convexos
pelo vértice dos seguimentos de retas formadas por estes
pontos. Paralelogramo
 Paralelogramo: Um quadrilátero plano convexo é
um paralelogramo se, e somente se, possui os lados
opostos paralelos.
 Em todo paralelogramo dois ângulos opostos
são congruentes. (vale recíproca)
 Em todo paralelogramo dois lados opostos são Retângulo: Quadrado
congruentes. (vale recíproca)
 Em todo paralelogramo as diagonais Losango
interceptam-se nos respectivos pontos médios.
(vale recíproca)
 Retângulo: Um quadrilátero plano convexo é um Trapézio
retângulo se, e somente se, seus ângulos são
congruentes.
 Propriedades do paralelogramo.
 Em todo retângulo as diagonais são
congruentes. (vale recíproca)
 Losango: Um quadrilátero plano convexo é um
losango se, e somente se, possui todos os seus lados
congruentes.
 Todo losango tem diagonais perpendiculares.
(vale recíproca)
 Trapézio: Um quadrilátero plano convexo é um
trapézio se, e somente se, possui apenas dois de
seus lados paralelos.
 Em qualquer trapézio ABCD de base e
temos:

 Os ângulos de cada base de um trapézio
isósceles são congruentes.
 As diagonais de um trapézio isósceles são
congruentes.
 Quadrado: Um quadrilátero plano convexo é um
quadrado se, e somente se, possui os ângulos
congruentes assim como os lados congruentes.
 Todo quadrado é retângulo e é também
losango.

 Área de superfícies planas ▬ Define-se com área de
superfícies planas a um número racional absoluto tal
que:
 As superfícies equivalentes esta associado a áreas
iguais.
 A soma de superfícies esta associada a uma área
que é igual à soma das áreas das superfícies
parcelas.
 Uma superfície esta contida ou é igual à outra se, e
somente se, a área for menor ou igual à área da
superfície que conterá a outra.
 Área das principais figuras panas:
 Área do retângulo ▬ A área de um retângulo é
consequência direta dos seguintes teoremas:
 Se duas superfícies retangulares possuírem
congruentes as bases (ou as alturas), então a
razão entre as areias será igual à razão entre
as alturas (ou bases).
 Se duas superfícies retangulares possuem
medias distintas (ou iguais), então a razão
entre as áreas será igual ao produto das razões
entre as alturas com a razão entre as bases.
 Obs.: Caso base seja igual à altura temos a
área do quadrado
 Área de um triângulo ▬ A área associada à
superfície triangular é igual à metade do produto
entre sua base e sua altura.
 Área de um losango ▬ A área associada a uma
superfície em formato de losango é igual ao
produto entre suas diagonais.
 Área de um trapézio: A área de um trapézio é igual
à metade do produto da sua altura pela soma de
suas diagonais.
 Monômio ▬ É toda expressão matemática constituída
do produto da parte literal pelo coeficiente. Coeficiente do latim coefficere é
 Polinômio ▬ São uma expressão formada pó somas e o fator multiplicativo de um
subtrações de vários monômios. termo.
 Soma (ou subtração) de polinômios ▬ É realizada
quando as partes literais adicionadas são Parte literal constitui no
semelhantes. produto entre variáveis
 Produto de polinômios ▬ É realizado quando as distintas, onde cada variável
partes literais multiplicadas são semelhantes. possui expoentes iguais ou
distintos.
 Sistema de euqações do primeiro grau ▬ É a relação
entre n equações do 1ª grau com n variáveis cada. Onde Em uma divisão temos que o
a solução do mesmo é dada pelos valores quociente é 26 e o resto é 3.
correspondentes a cada variável, de tal forma a tornar Sabendo que a soma do
todas as euqações verdadeiras concomitantemente. dividendo, do divisor, do
 Método da adição quociente e do resto é 86
 Método da substituição determine:
 Método da comparação A – A diferença entre o

dividendo e o divisor.
P Q B – O produto entre o divisor e o
3 26 dividendo.

 Elementos do triângulo retângulo ▬ conscideremos um
triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento A
perpendicular ao lado , com D em
 → hipotenusa (medida a) c h b
m n
 → cateto (medida b) B a=n+m C
 → cateto (medida c)
 → Projeção do cateto sobre a hipotenusa
(medida m)
 → Projeção do cateto sobre a hipotenusa
(medida n)
 →altura relativa à hipotenusa (medida h)
 Relações métricas – Trata-se de uma importante c h b
aplicação de semelhança de triângulos. m n
 Da semelhança segue que: B a=n+m C

 Da semelhança segue que:
Para refletir
Você observou que as relações
(i) e (iii) são as mesmas,
 Da semelhança segue que: apenas mudam do lado
esquerdo para o lado direito do
triângulo ABC? Ambas podem
 Somando (i) e (iii) temos: ser generalizadas como:

+

▬ Teorema de Pitágoras ▬▬
 Seno: É a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a
hipotenusa.
 Cosseno: É a razão entre o cateto adjacente ao
ângulo e a hipotenusa.
 Tangente: É a razão entre o cateto oposto e o cateto ▬ Relações fundamentais ▬▬
adjacente.
 Cotangente: É o inverso da tangente.
 Secante: É o inverso do cosseno.
 Cossecante: É o inverso do seno

 Números irracionais ▬ Como vimos há números
decimais que podem ser escritos na forma fracionária
▬ é um número
com numerador inteiro e denominador inteiro (diferente irracional? ▬▬▬
de zero). Mas há também números decimais que não
admitem essa representação: são os decimais infinitos e Vamos supor que é um
não periódicos . Esses números são chamados de número racional, ou seja, ode
números irracionais. ser escrito como a razão entre
dois números inteiros e vamos

supor que esta fração é
 irredutível, donde teremos:

 Espiral de Teodoro ▬ Utilizando a relação de
pitágoras, podemos representar alguns desses números
em uma reta numérica. . Donde teremos que
é par, logo P é par e pode
ser escrito como , donde
Temos: . Portanto,
será par, logo Q será par. Como P é par e Q será
par, teremos que a razão entre P e Q será redutível o
que é absurdo, pois supomos que era irredutível, logo
é um número irracional.

(obs.: construir com os alunos a espiral. LEITURA ▬
a crise dos irracionais)
 Conjunto dos números reais ▬ Da reunião do conjunto
dos números raconais com o conjunto dos números
irraconais obtemos o conjunto dos números reais.
 São válidas todas as propriedades vistas para os
demais gropos (ou conjuntos) numéricoas.
 O conjunto dos números reais é fehado para todas
as operações, exeto para a radiciação.

▬ Resumo ▬▬▬▬▬▬▬▬▬
O diagrama a seguir relaciona os conjuntos (ou grupos)
numéricos estudados até aqui:

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