1. Certa vez, estávamos, eu e meu amigo,
atravessando o deserto. De repente meu
amigo percebeu uma forma intrigante
confundindo-se com o horizonte. Era a
imagem de um homem envolto na areia
arremessada pela tempestade e o som
inquieto do vento entre as dunas. A
princípio achávamos que não passava de
mais uma miragem produzida pelo calor e o
cansaço. No entanto, ao nos aproximarmos
o homem pediu-nos um pouco de água e
comida para que pudesse se
recompor. Aproximei-me de meu camelo e
peguei os cinco pães que lá estavam, por
sua vez, meu amigo trouxe os três pães que
possuía. Decidimos, então, junta-los e
dividi-los em três partes iguais. Ao
decorrer da viajem cada um de nós comeu o
equivalente à do pão que
dispúnhamos. Ao chegarmos a uma
esplêndida cidade, a uns dois dias de
viagem, ficamos encantados com tamanha
beleza. Por sua vez, quando estávamos indo
embora, fomos abordados por um guarda
do palácio que nos disse:
- O príncipe Felipe II deseja vê-los
imediatamente no palácio.
Olhamos-nos, estranhando tal
convite, e fomos imediatamente até o
palácio. Foi então, que descobrimos
que o homem que salvamos da morte
no deserto era na realidade Príncipe
Felipe II. Ele, aproximando-se de nós,
disse:
-Soldado de ao matemático 5 barras
de ouro e ao seu amigo 3.
-Sim, meu príncipe. O guarda
respondeu.
Vendo tal equivoco contestei-o:
-Meus caros amigos estás
- Não, meu senhor, está recompensa é
recompensa que lhes dou é
proporcional ao que tínhamos, e não ao que
proporcional ao que vocês me deram
lhe demos.
de comer no deserto. -É, meu senhor, o matemático tem razão. No
deserto eu tinha 3 pães e comi o que é
quase três.
A história acima nos mostra que o conceito de proporção tem uma importância
muito grande. Mas as ideais de proporção não são utilizadas somente em
matemática, nós frequentemente empregamos proporção em nosso dia-a-dia,

2. embora sem utilizar os símbolos matemáticos. Quando fazemos crítica sobre uma
estátua, dizemos que "ela tem uma cabeça muito grande, se comparado com
o corpo". Por isso, o estudo de proporções é de inestimável valor para nós, já que
vários temas da matemática, a serem desenvolvidos, são baseados nas
proporções. Por isso estudaremos mais a fundo os conceitos que consta na
história que você acabou de ler.
RAZÕES:
Razão do número a para o número b (diferente de zero)
é o quociente de a por b.
Indicamos:
ou a : b (lemos: a para b)
Os números a e b são os termos da razão. O valor de a é chamado de antecedente
e b, consequente da razão.
RAZÕES DE DUAS GRANDEZAS:
Razão de duas grandezas, dadas em
certa ordem, é a razão entre a
medida da primeira grandeza e a
medida da segunda.
Se as grandezas são de mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na
mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro.
PROPORÇÃO:
Dados quatro números (15,3, 20 e4), como razão entre os dois primeiros números
(15 e 3) é igual à razão entre os últimos (20 e 4), isto é:
Dizemos que os números 15, 3, 20 e 4, nesta ordem, formam uma proporção, que
expressamos mediante a igualdade das duas razões:

3. Assim:
Dados, em certa ordem, quatro
números (a, b, c, e d) diferentes de
zero, dizemos que eles formam uma
proporção quando a razão entre os
dois primeiros (a e b) é igual à razão
entre os dois últimos.
Simbolicamente representamos uma proporção como:
E lemos: "a está para b, assim como c está para d".
ELEMENTOS:
a, b, c, d são termos
a e c são antecedentes
b e d são consequentes
a e d são extremos
b e c são meios
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL:
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual
ao produto dos meios.
SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS:
Considere as razões:
Vemos que todas são iguais a 2. Logo, podemos escrever:

4. Essa expressão é denominada série de razões iguais ou proporções múltiplas.
Em símbolos:
NOTA: A proporção é um caso particular em que a série de razões se reduz a duas
razões.
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL:
Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para
a soma dos consequentes, assim como qualquer antecedente está
para o seu respectivo consequente.
Agora temos condições de determinar qual deverão ser as verdadeiras
recompensas do matemático e seu amigo. Vamos lá? Vamos chamar de x a
recompensa do matemático e vamos chamar de y a recompensa de seu amigo.
Como as recompensas são diretamente proporcionais ao que deram de pão ao
príncipe, ou seja:
O matemático tinha 5 pães e comeu , logo deu ao príncipe o equivalente
à:
O amigo do matemático tinha 3 pães e comeu logo deu ao príncipe o
equivalente à:
Sendo assim temos:
Note que
Note que a soma das recompensas deverá ser igual à quantidade de pães
que possuíam, ou seja:
De (1), (2) e (3) obtemos a seguinte divisão proporcional é:

5. Portanto, o matemático receberá 7 barras de ouro, enquanto o amigo do matemático
recebeu 3 barras de ouro.
Obs.: o teorema acima admite recíproca.