Mruv

Tópicos de
cinemática
escalar: MRUV
(movimento retilíneo
uniformemente variado)
Nesta aula será estudado um tipo particular de
movimento: aquele em que a velocidade do móvel
varia de quantidades iguais e em iguais intervalos
de tempo. A ele dá-se o nome de movimento unifor-memente
variado. Se em especial a trajetória é uma
linha reta, tem-se o movimento retilíneo uniforme-mente
variado (MRUV).
Aceleração
escalar instantânea
Já foi visto o conceito de aceleração escalar
média como sendo a = Vt
. Quando consideramos
um intervalo t de tempo muito pequeno, tendendo
a zero, a aceleração escalar média aproxima-se da
aceleração escalar instantânea (a), que representa a
tendência de a velocidade variar com o tempo. Mate-maticamente,
lim V
lim a = t 0
escreve-se: a = t 0
t
; ou
seja, a aceleração escalar instantânea é o limite da
aceleração escalar média quando t tende a zero.
003
FIS_Como a aceleração instantânea é uma acelera-ção
V_média, embora num intervalo de tempo que tende
EM_a zero, sua unidade no SI é também m/s2.
1 Movimentos acelerados
Um movimento variado é dito acelerado quan-do
a velocidade escalar aumenta com o tempo. Isso
impõe a existência de uma ação sobre a unidade de
massa do corpo, tendendo a empurrá-lo no sentido
de seu deslocamento.
Progressivo acelerado
V > 0 e a > 0
Retrógrado acelerado
V < 0 e a < 0
Como se observa nas figuras, velocidade e ace-leração
têm os mesmos sinais.
Movimentos retardados
Um movimento variado é dito retardado quan-do
a velocidade escalar diminui com o tempo. Isso
impõe a existência de uma ação sobre a unidade
de massa do corpo, em sentido contrário ao de seu
deslocamento, tendendo a freá-lo.
Retrógrado retardado
V < 0 e a > 0
Progressivo retardado
V > 0 e a < 0
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2
EM_V_FIS_003
Como se observa na figura, velocidade e acele-ração
têm sinais contrários.
MRUV
Pelo exposto, os movimentos uniformemente
variados (MRUV) podem ser ou movimentos unifor-memente
acelerados (MRUA) ou movimentos unifor-memente
retardados (MRUR).
Equações do MRUV
(Equação da velocidade)
No MRUV, a velocidade varia de quantidades
iguais em iguais intervalos de tempo. Daí, o mesmo
t corresponde sempre ao mesmo v, o que implica
em a aceleração média ser constante. Considerando
que a=
lim a , segue a=a, pois o limite de uma cons-tante
t 0
é ela própria. Assim, conclui-se que a= V
t
=
V – V0
t – t0
Fazendo t0= 0, vem v=v0+at , que é a
conhecida equação da velocidade no MRUV.
Adiantando um pouco o assunto do próximo
tópico, e considerando que essa equação representa
v como função do 1.º grau em t, seu gráfico é uma
reta, como a seguir mostrado:
a > 0 a < 0
Como já se sabe do estudo de MRU, a área sob
um gráfico v X t representa a variação s de posição,
como mostrado na figura a seguir:
ti
V
Vi
A área sob o gráfico v x t = s.
A área do retângulo escurecido é vi . ti = si.
Fazendo t 0, s torna-se infinitamente pequeno
e podemos considerar infinitos outros retângulos,
cuja soma das áreas vale stotal e tende para a área
sob o gráfico v X t.
Equação da posição
(Equação dos espaços)
Considerando a figura anterior, a área s sob o
gráfico é aquela de um trapézio retângulo de bases v e
v0 e altura t=t – t0=t – 0 = t. Daí, podemos escrever:
s= s – s0=(v+v0)
2
. t =(v0+at+v0)
2
. t = v0.t + 1
2
at2
ou
s = s0 +v0t + 1
2
at2
,
que é a conhecida equação da posição no MRU
ou, como preferem alguns autores, “equação dos
espaços”.
Equação de Torricelli
De v = v0+at, temos t = v – v0
a
que, substituído
na equação da posição, nos dá
s = s0 + v0 . v – v0
a
+ 1
2
a
v – v0
a
2
s =
2v0v – 2v0
2 + v2 – 2vv0 +v0
2
2a
=
v2 – v0
2
2a
Ou
v2= v0
2 +2a. s,
que é a conhecida equação de Torricelli.
Gráficos do MRUV
A análise gráfica é de extrema importância no
estudo de variados fenômenos. Veremos neste tópi-co
os gráficos do MRUV e as informações que deles
podem ser obtidas.
Gráfico s X t
Comparemos a equação da posição, vista no
tópico anterior, com a do trinômio do 2.º grau:
s = s0 + v0t +
1
2
at2 (equação da posição)
y = c + bx + ax2 (trinômio do 2.º grau)
Dessa comparação, vê-se com bastante clareza
que a equação da posição representa s como um
trinômio do 2.º grau em t.
Do estudo do trinômio sabe-se que, sendo positi-vo
o coeficiente do termo de 2.o grau, o gráfico corres-pondente
é uma parábola com concavidade para cima
(apresenta mínimo); sendo negativo esse coeficiente,
a representação gráfica é uma parábola com concavi-dade
para baixo (apresenta máximo). O gráfico s X t,
portanto, apresenta o mesmo comportamento:

a>0
F s
t
a<0
s
t t
s
= vt 0 p
tg = lim
t s
Conclusões:
•• Aceleração é positiva: concavidade para
cima.
•• Aceleração é negativa: concavidade para
baixo.
•• A declividade da reta tangente à curva
num ponto P é igual à velocidade do móvel
nesse ponto.
Gráfico v X t
A equação da velocidade no MRUV é uma fun-ção
do 1.º grau em t, conforme já se viu no módulo
anterior, e seu gráfico é uma reta:
tg = v / t = a
a > 0 a < 0
Conclusões:
•• A área sob um gráfico v X t representa Δs.
•• A declividade da reta da velocidade repre-senta
a aceleração do MRUV.
Gráfico a X t
Como já se viu, a aceleração no MRUV é cons-tante.
O gráfico a X t, portanto, representando uma
função que não varia com o tempo, só pode ser para-lelo
ao eixo t, conforme se mostra a seguir:
a > 0
003
FIS_V_a < 0
EM_3 A área S sob o gráfico representa um retângulo
de altura a e base t. Ademais, a aceleração a é
igual à aceleração média a–. A área S pode ser então
escrita:
S = a . t = a– . t= v
t
. t = v
Correspondência entre os gráficos
Na figura acima, nota-se:
•• De t=0 a t=t1, o movimento é retrógrado (v<0
e s diminuindo) e retardado (v<0 e a>0) nos
gráficos à esquerda; no conjunto de gráficos
à direita, é progressivo (v>0 e s aumentando)
e retardado (v>0 e a<0).
•• Para t>t1, o movimento é progressivo (v>0 e
s aumentando) e acelerado (v>0 e a>0) nos
gráficos à esquerda; nos gráficos à direita, o
movimento é retrógrado (v<0 e s diminuindo)
e acelerado (v<0 e a<0).
1. (Unesp) Um veículo está rodando à velocidade de
36km/h numa estrada reta e horizontal, quando o
motorista aciona o freio. Supondo que a velocidade do
veículo se reduz uniformemente à razão de 4m/s em
cada segundo a partir do momento em que o freio foi
acionado, determine:
a) o tempo decorrido entre o instante do acionamento
do freio e o instante em que o veículo para.
b) a distância percorrida pelo veículo nesse intervalo
de tempo.

4
EM_V_FIS_003
`` Solução:
a) Em primeiro lugar, há que expressar a velocidade
em unidades SI: v0 = 36/3,6 =10m/s.
Agora, basta aplicar a equação da velocidade, le-vando
em conta que a velocidade final v é zero (o
veículo é freado até parar) e que a aceleração de
freagem é a = –4m/s2. Daí:
v = vo + at ou 0 = 10 – 4t, donde t = 10/4 = 2,5s.
b) Basta aplicar a equação de Torricelli:
v 2= v2
0 +2a s ou 02=102+2(–4).Δs, donde
8Δs = 100 e, portanto, Δs = 12,5m. Sendo retilínea
a trajetória, a distância percorrida é igual ao deslo-camento
(variação de posição) Δs.
2. (UFPE) Um veículo em movimento sofre uma desacele-ração
uniforme em uma pista reta, até parar. Sabendo-se
que, durante os últimos 9,0m de seu deslocamento,
a sua velocidade diminui 12m/s, calcule o módulo da
desaceleração imposta ao veículo, em m/s2.
`` Solução:
Basta ter atenção ao enunciado da questão. Se nos úl-timos
9,0m de seu deslocamento a velocidade diminui
de 12m/s até parar, então v0 = 12m/s e v = 0. Aplicando
Torricelli com Δs = 9,0m, tem-se:
02 = 122 – 2a.9
18a = 144, donde a = 8,0m/s 2.
3. (Unesp) Um rato, em sua ronda à procura de alimento,
está parado em um ponto P, quando vê uma coruja
espreitando-o. Instintivamente, ele corre em direção à
sua toca T, localizada a 42m dali, em movimento retilíneo
uniforme e com velocidade v = 7m/s. Ao ver o rato, a
coruja dá início à sua caçada, em um mergulho típico,
como o mostrado na figura.
Ela passa pelo ponto P, 4s após a partida do rato e a
uma velocidade de 20m/s.
a) Considerando a hipótese de sucesso do rato, em
quanto tempo ele atinge a sua toca?
b) Qual deve ser a aceleração média da coruja, a partir
do ponto P, para que ela consiga capturar o rato no
momento em que ele atinge a entrada de sua toca?
`` Solução:
a) Considerando ser constante a velocidade do rato,
trata-se de MRU: s = v. t
t = s/v = 42/7,0 = 6,0s
b) Nesse caso, a coruja deverá voar em MRUA com
v0= 20m/s. Ela terá de percorrer uma distância
s = 42m num tempo de 6,0 – 4 = 2s (o rato con-seguirá
chegar à toca em 6,0s e a coruja chegou ao
ponto P 4s após a partida deste). Tem-se:
s = v0t + at2/2
42 = 20(2)+4a/2 ou a = 1m/s2
4. (UERJ)
Uma das atrações típicas do circo é o equilibrista sobre
monociclo.
O raio da roda do monociclo utilizado é igual a 20cm, e
o movimento do equilibrista é retilíneo.
O monociclo começa a se mover a partir do repouso
com aceleração constante de 0,50m/s2.
Calcule a velocidade média do equilibrista no trajeto
percorrido nos primeiros 6,0s.
`` Solução:
Usando a equação da posição com v0 = 0, a = 0,50m/s2
e t = 6,0s, tem-se:
s = 0(6,0)+(0,50) (6,0)2/2 = 9,0m.
A velocidade média vale vm= s/ t = 9,0m/6,0s = 1,5m/s
5. De acordo com o Código de Trânsito Brasileiro, avançar
sinal vermelho de semáforo ou de parada obrigatória é
infração considerada gravíssima, com perda de 7 pontos
na carteira e multa de R$173,00.
O Sr. A. P. Sado conduzia seu automóvel a 144km/h
quando, subitamente, um semáforo, 450m à sua frente,
mudou de verde para amarelo.
Pela especificação do veículo, a velocidade máxima é de
216km/h, a potencialidade de aceleração é de 3,0m/s2
e a de frenagem vale 4,0m/s2.

Considerando que o Sr. A. P. Sado leve 7s para reagir
à inopinada situação, e que o semáforo permaneça 10s
em alerta antes de exibir a luz vermelha, analise se esse
motorista teve chance de evitar o avanço do sinal.
`` Solução:
a) O primeiro aspecto a considerar é o tempo dispo-nível.
Como o semáforo permanece 10s exibindo
alerta amarelo e o motorista leva 7s para reagir, res-taram
apenas 3s para tentar evitar a infração.
b) Durante o tempo de reação do motorista (7s),
o veículo percorreu em MRU uma distância
s0= v. t = (144/3,6).7 = (40).7 = 280m; assim,
findo esse tempo, a distância do automóvel à faixa
em que se situa o semáforo era de s = 450 – 280
= 170m.
c) Uma das opções do motorista seria a de tentar
ultrapassar o sinal antes da luz vermelha, para o
quê deveria percorrer os 170m em MRUA com
v= 144km/h = 40m/s e aceleração a = 3,0m/s2.
0 Daí: s = vt + at2/2
0170 = 40t + 1,5t2 ou 1,5t2 + 40t – 170 = 0
– 40 t =
402 – (4)(1,5)(–170)
(2)(1,5)
t – 40 51, 186
3 – 30,40; 3,729
Como se vê, se o motorista optou por essa linha de ação,
avançou o sinal vermelho, pois seriam necessários 3,72s
para chegar à faixa correspondente.
d) Outra opção seria a de frear o veículo, para o que se
deslocaria em MRUR com v0 =144km/h = 40m/s,
v = 0 e Δs =170m. Daí, aplicando Torricelli:
v2 = (v0)2+2a. s
02 =402+2a(170)
340a = –1 600
a = – 4,71m/s2
Vê-se, portanto, que o motorista somente conseguiria não
avançar o sinal se imprimisse ao veículo uma desacele-ração
de 4,71m/s2, o que ultrapassa a potencialidade de
frenagem do automóvel.
Pelo exposto, o Sr. A. P. Sado não teve chance de evitar
o avanço do sinal.
6. (Unifesp) Em um teste, um automóvel é colocado em
MRUV acelerado a partir do repouso até atingir a ve-locidade
máxima. Um técnico constrói o gráfico onde
se registra a posição x do veículo em função de sua
velocidade v. Através desse gráfico, pode-se afirmar que
a aceleração do veículo é, em m/s2, igual a:
v(m/s)
a) 1,5
b) 2,0
c) 2,5
d) 3,0
e) 3,5
`` Solução: B
Pelo gráfico, vê-se que a velocidade inicial vvale zero,
0 a velocidade final v vale 6m/s e s = x vale 9m. Em
virtude de não aparecer o tempo necessário à variação
de posição s, isto é um indicativo da conveniência de
empregarmos a equação de Torricelli. Daí:
v2 = v2 + 2a . s
0
62 = 02 + 2a . 9 ou 36 = 18a ou a = 2,0m/s2
7. (PUC) O gráfico representa a variação da velocidade,
com o tempo, de um móvel em movimento retilíneo uni-formemente
variado.
A velocidade inicial do móvel e o seu deslocamento
escalar de 0 a 5,0s valem, respectivamente;
a) –4,0m/s e – 5,0m
b) –6,0m/s e – 5,0m
c) 4,0m/s e 25m
d) –4,0m/s e 5,0m
e) –6,0m/s e 25m
`` Solução: B
Os dois triângulos determinados pela reta de velocidade
e o eixo dos tempos são semelhantes. Daí:
5,0 — 3,0
4,0 – 0,0
003
FIS_= 3,0 — 0,0
ou -2v= 12 ou v=-6,0m/s.
V_0,0 – v0 0EM_0
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EM_V_FIS_003
Daí: s = ((40 +20)/2).20 = 600m.
Sendo t = 40s, vem vm = 600/40 = 15m/s
9. (Uerj-adap.)
Tempo (t) em
segundos
Posição em metros
A B
0 -5 15
1 0 0
2 5 -5
3 10 0
4 15 15
Ao realizar um experimento, um físico anotou as posições
de dois móveis A e B, elaborando a tabela acima. O móvel
A estava em MRU; B deslocava-se em MRUV.
Pede-se:
a) a distância, em metros, entre os móveis A e B, no
instante t = 6s;
b) a aceleração do móvel B;
c) o valor da velocidade inicial de B.
`` Solução:
Distância d entre A e B em t = 6 s:
••Pela tabela, vê-se que A se movimentava em MRU
progressivo com velocidade vA = 5,0m/s e que sua
posição em t = 0 era S0 = –5m. Daí, aplicando a
equação das posições no MRU, obtém-se a posição
SA dele no instante t = 6s:
SA= S0+ vA t ou SA = –5 + 5 . 6 = 25m
••Sabe-se que o gráfico das posições do móvel B cor-responde
a uma parábola. Da tabela, vê-se que nos
instantes t = 1s e t = 3s a posição de B valia zero; ou
seja, os zeros da parábola são 1 e 3. Ainda, ela apre-senta
mínimo em (2,–5) e passa pelo ponto (0,15). A
figura abaixo mostra o gráfico dessa parábola:
•• A equação dessa parábola é:
y = at2 + bt + c = a(t2
+ (b/a) t + c/a).
Como -b/a é a soma S e c/a é o produto P dos zeros da
parábola, tem-se:
Sabemos que as áreas dos triângulos entre a reta de velo-cidade
e o eixo dos tempos representam o deslocamento
entre os instantes considerados. Daí:
De t = 0,0 a t = 3,0: s1 = (-6,0).(3,0–0,0)/2 = -9,0m
De t = 3,0 a t = 5,0: s2 = (4,0).(5,0–3,0)/2 = 4,0m
Assim, o deslocamento s de t=0,0 a t=5,0 é tal que
s = s1 s2= -9,0+4,0= –5,0m
8. (Unesp) Um veículo se desloca em trajetória retilínea
e sua velocidade em função do tempo é apresentada
na figura.
a) Identifique o tipo de movimento do veículo nos in-tervalos
de tempo de 0 a 10s, de 10 a 30s e de 30
a 40s, respectivamente.
b) Calcule a velocidade média do veículo no intervalo
de tempo entre 0 e 40s.
`` Solução:
De t = 0 a t = 10s, considerando que o gráfico v x t é
um segmento de reta não-horizontal, trata-se de MRUV;
ainda, por serem positivos os valores de v para valores
de t diferentes de zero, tem-se movimento progressivo
e, porque a intensidade da velocidade aumenta com o
aumento do tempo, o movimento é acelerado. Assim,
tem-se um MRUA progressivo.
De t = 10s a t = 30s, por ser horizontal o gráfico v x t,
trata-se de MRU; ainda, porque a velocidade é positiva,
o movimento é progressivo. Tem-se, então, um MRU
progressivo.
De t = 30s a t = 40s, o gráfico v x t é um segmento de
reta descendente e, portanto, tem-se um MRUV. Ainda,
porque os valores de v são positivos para t ≠ 40s, o mo-vimento
é progressivo e, finalmente, considerando que
a intensidade da velocidade diminui com o aumento do
tempo, o movimento é retardado. No intervalo conside-rado
tem-se, pois, um MRUR e progressivo.
Como já visto, velocidade escalar média é o deslocamen-to
do corpo móvel dividido pelo tempo para isso gasto;
ou seja, Vm = s
t
, onde vm é velocidade média, s o
deslocamento
e t o tempo despendido para realizar
esse deslocamento.
O deslocamento é a área sob o gráfico v x t (área do
trapézio: semissoma das bases x altura).

y = a (t2 – St + P) = a (t2 – 4t + 3) = at2 – 4at + 3a.
Pela equação das posições no MRUV, no entanto, sabe-se
que:
s = (a’/2)t2 + v0t + s0 = (a’/2)t2 + v0t +15, onde a’ é a
aceleração do corpo móvel.
Comparando as duas equações, tira-se que
3a = 15 e a = 5, donde a equação da parábola fica
y = at2 – 4at + 3a = 5t2 — 20t + 15 e a das posições do
móvel B fica sB = 5t2 – 20t + 15. Daí, em t = 6 s, a posição
de B era sB = 5 (62) – 20 . 6 + 15 = 75m.
•• A distância entre A e B em t = 0 era, pois,
d = sB-sA=75 – 25 = 50m.
a) Aceleração a’ do móvel B:
Comparando ainda as duas equações acima, tem-se
a’/2 = 5, donde a’ = 10m/s2.
b) Velocidade inicial v0 de B:
Ainda levando em conta as duas equações do item
a, tira-se por comparação que v0 = –20m/s.
1. (Unificado) Um automóvel partindo do repouso leva
5,0s para percorrer 25m em MUV. A velocidade final
do automóvel é de:
a) 5,0m/s
b) 10m/s
c) 15m/s
d) 20m/s
e) 25m/s
2. (Fuvest) Um veículo parte do repouso em movimento
retilíneo e acelera a 2m/s2. Pode-se dizer que sua velo-cidade
e a distância percorrida, após 3 segundos, valem,
respectivamente:
a) 6m/s e 9m
b) 6m/s e 18m
c) 3m/s e 12m
d) 12m/s e 36m
e) 2m/s e 12m
3. (UEL) Um móvel efetua um movimento retilíneo uni-formemente
variado obedecendo à equação horária
s =10 + 10t – 5,0t2, onde o espaço é medido em metros
e o instante t em segundos. A velocidade do móvel no
instante t = 4,0s, em m/s, vale:
a) 50
b) 20
c) 0
d) – 20
e) – 30
4. (Mackenzie) Um trem de 120m de comprimento se deslo-ca
com velocidade escalar de 20m/s. Esse trem, ao iniciar a
travessia de uma ponte, freia uniformemente, saindo com-pletamente
da mesma 10s após, com velocidade escalar de
10m/s. O comprimento da ponte é de:
a) 150m
b) 120m
c) 90m
d) 60m
e) 30m
5. (UFSC) Um carro parte do repouso com uma aceleração
constante de 4m/s2. Sua velocidade média durante os
três primeiros segundos será de:
a) 12km/h
b) 21,6km/h
c) 17,6km/h
d) 15,2km/h
e) 16km/h
6. (FOA-RJ) Se a velocidade de um móvel passa uni-formemente
de 10m/s para 30m/s em 8,0 segundos,
determine o deslocamento que o móvel realizou.
a) 50,0m
b) 120m
c) 140m
d) 160m
e) 280m
7. (Uerj) Utilize os dados abaixo para responder às questões
a seguir.
Durante um experimento, um pesquisador anotou as
posições de dois móveis A e B, elaborando a tabela
abaixo.
003
O movimento de A é uniforme e o de B é uniformemente
FIS_variado.
V_EM_7 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,

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EM_V_FIS_003
a) A aceleração do móvel B é, em m/s2, igual a:
a) 2,5
b) 5,0
c) 10,0
d) 12,5
b) A distância, em metros, entre os móveis A e B, no
instante t = 6s, é de:
a) 45
b) 50
c) 55
d) 60
8. (UFRJ) Numa competição automobilística, um carro se
aproxima de uma curva em grande velocidade. O piloto,
então, pisa no freio durante 4s e consegue reduzir a
velocidade do carro para 30m/s. Durante a freada o
carro percorre 160m.
Supondo que os freios imprimam ao carro uma aceleração
retardadora constante, calcule a velocidade do carro no
instante em que o piloto pisou no freio.
9. (PUC–Minas) Um foguete partindo do repouso atinge a
velocidade de 6 000m/s em 2 minutos. Determinar:
a) a aceleração média.
b) a velocidade após 0,5 minutos.
c) a distância percorrida nesse tempo.
10. (Unesp) O tempo de reação (intervalo de tempo entre
o instante em que uma pessoa recebe uma informação
e o instante em que reage) de certo motorista é 0,70s;
e os freios podem reduzir a velocidade de seu veículo à
razão máxima de 5m/s em cada segundo.
Supondo que esteja dirigindo à velocidade constante
de 10m/s, determine:
a) o tempo mínimo decorrido entre o instante em que
avista algo inesperado, que o leva a acionar os freios,
até o instante em que o veículo para.
b) a distância percorrida nesse tempo.
11. (UEL) Nos gráficos abaixo, v representa a velocidade e
t o tempo para um movimento.
t
(I) v
(II) v (III) v t (IV) v t
t
A aceleração é positiva apenas nos gráficos:
a) I e III
b) II e III
c) III e IV
d) I, II e III
e) I, II e IV
12. (UFRJ) Um carro acelerado uniformemente a partir do
repouso, atinge uma determinada velocidade, mantida
constante até ser freado uniformemente e parar num
sinal. Considerando os gráficos abaixo, identifique
aquele que melhor representa a posição do carro em
função do tempo.
a)
t
x
b)
t
x
c)
t
x
d)
t
x
e)
t
x
13. (Unesp) O gráfico mostra como varia a velocidade de
um móvel em função do tempo, durante parte do seu
movimento.
t
v
0
O movimento representado pelo gráfico pode ser o de
uma:
a) esfera que desce por um plano inclinado e continua
rolando por um plano horizontal.
b) criança deslizando num escorregador de um par-que
infantil.
c) fruta que cai de uma árvore.
d) composição de metrô, que se aproxima de uma es-tação
e para.
e) bala no interior do cano de uma arma logo após o
disparo.
14. (PUC-Rio) As posições sucessivas de duas bolas, em
intervalos de tempo iguais, estão representadas e nu-meradas
no diagrama abaixo. As bolas se movimentam
para a direita.

1
bola A
2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
bola B
Indique a afirmativa correta.
a) Aceleração da bola A = aceleração da bola B = 0.
b) Aceleração da bola B > aceleração da bola A = 0.
c) Aceleração da bola A > aceleração da bola B > 0.
d) Aceleração da bola A = aceleração da bola B > 0.
e) Aceleração da bola B > aceleração da bola A > 0.
15. (Unificado) A figura abaixo representa o gráfico da
velocidade em função do tempo do movimento de uma
partícula. Qual das equações abaixo pode representar
como varia a posição x, em metros, em função do tempo
t em segundos?
t (s)
v (m/s)
8,0
6,0
4,0
2,0
1,0 2,0 3,0
a) x = 2t2 + t
b) x = t2 + 2t
c) x = t2 + t
d) x = 2t + 2
e) x = t + 2
16. (UFRJ) As ciclistas Paula e Sandra treinavam para uma
competição em uma pista plana e retilínea. No instante em
que Paula começou a se mover, Sandra passou por ela.
O gráfico descreve o movimento das ciclistas.
15
10
5
5 10 15 20 25 30
tempo (s)
velocidade (m/s)
Paula
Sandra
0
Considerando as informações fornecidas, assinale a
opção que indica a distância percorrida por Paula até
alcançar Sandra e em quanto tempo isso ocorreu.
a) 25m; 10s
b) 50m; 10s
c) 50m; 20s
d) 1,0 . 102 m; 10s
e) 1,0 . 102 m; 20s
17. (UFJF-MG) Na figura abaixo, representamos a velocidade,
em cada instante de tempo t , de um carro de Fórmula 1.
Assinale o item que melhor representa o gráfico da
aceleração em função do tempo.
t
v
a)
t
a
b)
t
a
a
c) t
d)
t
a
e)
t
a
18. (Cefet–RJ) No túnel Rebouças, primeira galeria, sentido
Sul-Norte, a velocidade limite é de 90km/h. Um veículo
entra nessa galeria com velocidade escalar de 36km/h e,
durante 10s, mantém uma aceleração escalar constante,
atingindo a velocidade escalar de 90km/h, que perma-nece
a mesma por mais 75s, até a saída da galeria.
Qual das opções a seguir representa o gráfico v x t para o
veículo e o comprimento da galeria, calculado pelo
motorista?
a)
t (s)
v (km/h)
10 85
90
36
0
b)
t (s)
v (km/h)
10 85
90
36
0
c)
90
003
FIS_t (s)
V_EM_9 v (km/h)
10 85
36
0

10
EM_V_FIS_003
d)
t (s)
v (km/h)
10 85
90
36
0
e)
t (s)
v (km/h)
10 85
90
36
0
(Unesp) A figura representa o 19. gráfico velocidade x
tempo do movimento retilíneo de um móvel.
t (s)
v (m/s)
90
0 10 20 30 40 50
a) Qual o deslocamento total desse móvel?
b) Esboce o gráfico posição x tempo correspondente,
supondo que o móvel partiu da origem.
20. (Unicamp) O gráfico (v X t) de um atleta inexperiente
numa corrida de São Silvestre é mostrado na figura:
t (h)
v (km/h)
24,0
I II
0 0,3 0,8
a) Calcule a aceleração do atleta nos trechos I e II.
b) Calcule o espaço percorrido pelo atleta desde que
começou a correr até parar.
1. (AFA) Um corpo movimenta-se sobre uma reta, e sua
posição, em metros, é dada em função do tempo, em
segundos, pela equação s = 7 + 6 t – 2t2. O instante
em que o corpo inverte o sentido do movimento e a sua
velocidade no instante t = 4s são, respectivamente:
a) 0 e 7.
b) – 4 e 1.
c) 1,5 e – 10.
d) 0,6 e – 20.
2. (UFF) A tabela abaixo registra as posições X, em diferen-tes
instantes de tempo t de uma partícula que descreve
um movimento retilíneo uniformemente acelerado:
t(s)
X(m)
0,0
10,0
3,0
-11,0
6,0
-14,0
9,0
1,0
A aceleração da partícula, em m/s2, é:
a) 1,0
b) 1,5
c) 2,0
d) 3,5
e) 7,0
3. (USS) Observe a foto estroboscópica do movimento de
uma esfera de aço num plano horizontal.
movimento
0 5,0cm 20cm 45cm x
Considerando que o movimento é uniformemente
acelerado, o valor correto da posição x é:
a) 60cm
b) 70cm
c) 80cm
d) 90cm
e) 95cm
4. (Unificado) A figura representa a trajetória circular
percorrida por uma partícula em movimento uniforme-mente
acelerado no sentido da seta. A partícula sai do
ponto 1, no instante zero, com velocidade inicial nula.
No instante t ela passa pelo ponto 2, pela primeira vez
desde o início do movimento. No instante 3t, a partícula
estará no ponto:
4 3
5 2
1
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
5. (Uerj) O movimento uniformemente acelerado de
um objeto pode ser representado pela seguinte pro-gressão
aritmética:
7, 11, 15, 19, 23, 27...
Esses números representam os deslocamentos, em
metros, realizados pelo objeto, a cada segundo. Portanto,
a função que descreve a posição desse objeto é:
a) 3t + 4t2

b) 5t + 2t2
c) 1 + 2t + 4t2
d) 2 + 3t + 2t2
6. (ITA) Um passageiro atrasado está correndo a 8,0m/s,
30m atrás do último vagão de um trem no instante em
que este começa a se movimentar com uma aceleração
escalar de 1,0m/s2. Pode-se afirmar que:
a) a velocidade do passageiro é insuficiente para alcan-çar
o trem.
b) o passageiro alcança o trem após 4,3s.
c) o passageiro alcança o trem após 6,0s.
d) o passageiro alcança o trem após 4,0s.
e) o passageiro alcança o trem após 5,0s.
7. (Fuvest) Um ciclista A inicia uma corrida a partir do
repouso, acelerado a 0,50m/s2. Nesse instante passa
por ele outro ciclista B, com velocidade constante de
5,0m/s e no mesmo sentido que o ciclista A.
a) Depois de quanto tempo após a largada o ciclista
A alcança o B?
b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ci-clista
B?
8. (Unicamp) Um automóvel trafega com velocidade
constante de 12m/s por uma avenida e se aproxima de
um cruzamento onde há um semáforo com fiscalização
eletrônica. Quando o automóvel se encontra a uma
distância de 30m do cruzamento, o sinal muda de ver-de
para amarelo. O motorista deve decidir entre parar
o carro antes de chegar ao cruzamento ou acelerar o
carro e passar pelo cruzamento antes do sinal mudar
para vermelho. Esse sinal permanece amarelo por 2,2s.
O tempo de reação do motorista (tempo decorrido entre
o momento em que o motorista vê a mudança de sinal e
o momento em que realiza alguma ação) é 0,5s.
a) Determine a mínima aceleração constante que o
carro deve ter para parar antes de atingir o cruza-mento
e não ser multado.
b) Calcule a menor aceleração constante que o carro
deve ter para passar pelo cruzamento sem ser mul-tado.
Aproxime 1,7 3,0.
9. (Unicamp) Um automóvel e um caminhão, admitidos
como pontos materiais, partem do repouso no mesmo
instante e no mesmo sentido. Inicialmente, o automóvel
está a uma certa distância atrás do caminhão. As acelera-ções
escalares são, em módulo, 1,0m/s2 para o caminhão
e 1,8m/s2 para o automóvel. O automóvel alcança o cami-nhão
após este haver percorrido 50m. Pedem-se:
20m/s
Q R P
003
FIS_a) O tempo que o automóvel leva para alcançar o ca-minhão.
V_EM_11 b) A distância a que estava o automóvel atrás do ca-minhão,
no instante da partida.
c) As velocidades do automóvel e do caminhão quan-do
emparelhados.
10. (UFRJ-Biotec) Um carro está se movendo a 72km/h
(20m/s). No instante em que ele se encontra a 38m de
um cruzamento, acende o sinal amarelo, cuja duração
é 2,0s. Nessa velocidade, o carro tem uma capacidade
máxima de aceleração de 2,0m/s2 e pode frear, no
máximo, à razão de 3,0m/s2. O cruzamento tem 10m de
largura, como mostra a figura.
38m 10m
Considere o carro como uma partícula e a reação do
motorista instantânea.
Verifique se, acelerando ou freando, o motorista consegue
evitar que o carro se encontre no cruzamento com o sinal
fechado. Justifique sua resposta.
11. (FEI) Um móvel parte de um certo ponto com um movi-mento
que obedece à seguinte lei horária: s = 4t2, válida
no SI; s é a abscissa do móvel e t o tempo. Um segundo
depois, parte um outro móvel do mesmo ponto do pri-meiro,
com movimento uniforme e seguindo a mesma
trajetória. Qual a menor velocidade que deverá ter esse
segundo móvel a fim de encontrar o primeiro?
12. (PUC-Rio) Uma pessoa inicialmente no ponto P, no
desenho abaixo, fica parada por algum tempo e então
se move ao longo do eixo para o ponto Q, onde fica
por um momento. Ela, então, corre rapidamente para R,
onde fica por um momento e depois volta lentamente
para o ponto P.
0 1 2 3 4
(m)
Qual dos gráficos abaixo melhor representa a posição
da pessoa em função do tempo?
a)
b)

12
EM_V_FIS_003
c)
d)
e)
13. (UFRJ) O gráfico posição versus tempo do movimento
de uma partícula é representado por arcos de parábola
consecutivos, conforme a figura:
0
S
t
A opção que melhor representa o correspondente
gráfico velocidade-tempo é:
a)
t
v
0
b)
t
v
0
c)
t
v
0
d)
t
v
0
e)
t
v
0
14. (UFJF) A figura abaixo é o gráfico da posição x, em
função do tempo, para um corpo de massa m cons-tante,
movendo-se sobre uma linha reta e partindo do
repouso.
0
x (m)
segmento de
parábola
t1 t2
t (s)
O par de gráficos que pode representar, respectivamente,
a velocidade e a aceleração atuante no corpo, entre 0 e
t2, de maneira inquestionável é:
a)
t (s)
v (m/s)
t1 t2 0
t (s)
a (m/s2)
t1 t2 0
b)
t (s)
v (m/s)
t1 t2 0
t (s)
a (m/s2)
t1 t2 0
c)
t (s)
v (m/s)
t1 t2 0
t (s)
a (m/s2)
t1 t2 0
d)
t (s)
v (m/s)
t1 t2 0
t (s)
a (m/s2)
t1 t2 0
e)
t (s)
v (m/s)
t1 t2 0
t (s)
a (m/s2)
t1 t2 0
15. (UFRS) No gráfico está representada a posição de um
móvel que se desloca ao longo de uma reta, em função
do tempo. A velocidade inicial e a aceleração do móvel
valem, respectivamente:
0
s (m)
4 8
t (s)
10
a) 5m/s e –1,25m/s2
b) 2,5m/s e 1,25m/s2
c) 5m/s e 0,75m/s2
d) 5m/s e –1,5m/s2
e) 2,5m/s e 2m/s2
16. (UFRJ) O gráfico abaixo mostra como variam as velocida-des
de dois carrinhos que se movem sobre trilhos paralelos.
No instante de tempo t = 0s, os dois estavam empare-lhados.
A alternativa que indica o instante em que os
carrinhos voltam a ficar lado a lado é:
0
v (m/s)
2 4
t (s)
1
1 3
3

a) 1s
b) 2s
c) 3s
d) 4s
e) 5s
17. (Fuvest) O gráfico indica a velocidade escalar de um
animal de corrida desde o instante de partida (t = 0)
até a chegada final (t = 100s). As acelerações escalares
nos trechos I e III são iguais. A velocidade escalar no
trecho II é constante (6,0m/s).
6,0
0
v (m/s)
20
t (s)
III
60 80 100
40
I
II
a) Qual é a velocidade escalar no instante de chegada?
b) Qual é a distância total percorrida?
18. (Unesp) No diagrama está representada a posição
em função do tempo (parábola), de um móvel que se
desloca ao longo do eixo x.
10
0
x (m)
2,0
t (s)
4,0 6,0 8,0
Determine:
a) A velocidade escalar inicial e a aceleração escalar.
b) A velocidade escalar no instante t = 6,0s.
c) A função x = f(t).
d) A distância percorrida entre os instantes 0 e 8,0s.
19. (Fuvest) Um metrô parte de uma estação com acele-ração
uniforme, até atingir, após 10s, a velocidade de
90km/h, que é mantida durante 30s. Então, desacelera
uniformemente durante 10s, até parar na estação se-guinte.
a) Represente graficamente a velocidade em função
do tempo.
b) Calcule a distância entre as duas estações.
20. (Uerj) A distância entre duas estações de metrô é igual a
2,52km. Partindo do repouso na primeira estação, um
trem deve chegar à segunda estação em um intervalo
de tempo de três minutos. O trem acelera com uma taxa
constante até atingir sua velocidade máxima no trajeto,
igual a 16m/s. Permanece com essa velocidade por um
certo tempo. Em seguida, desacelera com a mesma taxa
anterior até parar na segunda estação.
a) Calcule a velocidade média do trem, em m/s.
b) Esboce o gráfico da velocidade X tempo e calcule
o tempo gasto para alcançar a velocidade máxima,
em segundos.
21. (UFRJ-Biotec) Duas partículas se deslocam ao longo
de uma mesma trajetória. A figura abaixo representa,
em gráfico cartesiano, como suas velocidades variam
em função do tempo.
4
0
v (m/s)
2
t (s)
Suponha que no instante em que se iniciaram as
observações (t = 0) elas se encontravam na mesma
posição.
a) Determine o instante em que elas voltam a se en-contrar.
b) Calcule a maior distância entre elas, desde o instan-te
em que se iniciaram as observações até o instan-te
em que voltam a se encontrar.
22. (Enem) Um sistema de radar é programado para registrar
automaticamente a velocidade de todos os veículos tra-fegando
por uma avenida, onde passam em média 300
veículos por hora, sendo 55km/h a máxima velocidade
permitida. Um levantamento estatístico dos registros do
radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de
veículos de acordo com sua velocidade aproximada.
5
15
40
30
6
3 1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Velocidade (km/h)
Veículos (%)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
A média das velocidades dos veículos que trafegam
nessa avenida é de:
a) 35km/h
b) 44km/h
c) 55km/h
d) 76km/h
e) 85km/h
23. Um veículo parte do repouso e acelera uniformemente
até percorrer 120m, levando o tempo de 2t nesse trecho.
A seguir segue durante 4t com velocidade constante e
finalmente freia com aceleração escalar constante du-rante
003
FIS_V_3t, até parar. Determine a distância total percorrida
EM_pelo veículo.
13 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,

14
EM_V_FIS_003
1. B
2. A
3. E
4. E
5. B
6. D
7.
a) C
b) B
8. v0=50m/s
9.
a) 50m/s2
b) 1 500m/s
c) Δs = 22 500m
10.
a) 2,7s
b) 17m
11. A
12. C
13. D
14. B
15. B
16. E
17. C
18. 2 050m
19.
a) 2 250m
b)
2 250
1 350
s

20.
a) aI = 80km/h2; aII = –48km/h2
b) 9,6km
1. C
2. C
3. C
4. B
5. B
6. C
7.
a) t = 20s
b) 10m/s
8.
a) – 3,0m/s2
b) 2,4m/s2
9.
a) t = 10s
b) dA = 40m
c) VA = 18m/s; VB = m/s
10. O motorista não consegue evitar passar com o sinal
fechado; nem acelerando, nem freando.
11. v = 16m/s
12. B
13. A
14. B
15. A
16. D
17.
a) 12m/s
b) 600m
18.
a) V0 = 5m/s a = –1,25m/s2
b) –2,5m/s
c) x = 5t –
1,25t2
003
FIS_2
d) 20m
V_EM_15 19.
a)
b) 1 000m ou 1km
20.
a) 14m/s
b) t1 = 22,5s
21.
a) t = 4s
b) 4m
22. B
23. 780m

16
EM_V_FIS_003

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