Monografia Jonalto Matemática 2009

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO - CAMPUS VII
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

ANÁLISE DE ERROS COMETIDOS PELOS ALUNOS COM
OS NÚMEROS RACIONAIS: A REALIDADE DO COLÉGIO
MUNICIPAL RÔMULO GALVÃO NO MUNICÍPIO DE
PINDOBAÇU-BA.

JONALTO LOPES GUIRRA

SENHOR DO BONFIM
2009

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CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

PINDOBAÇU-BA.


Monografia apresentada ao
Departamento de Educação, Campus
VII, Colegiado de Matemática, como
parte dos requisitos para obtenção do
grau de Licenciatura em Matemática.

Orientadora: Prof.ª Mª. Celeste de S. Castro.

SENHOR DO BONFIM
2009

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PINDOBAÇU-BA.


Monografia apresentada ao
Departamento de Educação, Campus
VII, Colegiado de Matemática, como
parte dos requisitos para obtenção do
grau de Licenciatura em Matemática.
CONCEITO____________

BANCA EXAMINADORA

________________________________ ________________________________
Prof.° Ivan Souza Costa Prof.° Ricardo José R. Amorim
Avaliador Avaliador

__________________________________________
Prof.ª Mª. Celeste de S. Castro
Orientadora

SENHOR DO BONFIM
2009

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DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho, ao nosso Pai Celestial que é a figura maior do Universo
e que me deu força para realização desta pesquisa, ao meu filho Gian kelvin, a
minha esposa Madalena (Madá) pela compreensão de minha ausência, a minha
família, em especial aos meus genitores: Betinha e Zuquinha (in memória), aos
meus irmãos (Jilmar Guirra e Jilson Guirra), aos meus sobrinhos Ana Paula, Pedro
Henrique e Jennifer aos meus colegas de curso em especial Jônias (in memória).

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AGRADECIMENTOS

Quero agradecer a professora Mª Celeste Castro (Prof.ª Celeste) pela sua
dedicação como orientadora deste trabalho, pela sua paciência e compreensão,
além de ser uma excelente profissional, acima de tudo uma ótima pessoa.

Agradeço aos professores do Curso de Matemática, que passaram por este
Campus VII durante a caminhada universitária e que contribuíram de forma
significativa no desempenho da nossa profissão, em especial aos professores:
Prof.ª Fabíola, Prof.ª Alayde, Prof.º Ivan, Prof.º Geraldo Caetano.

Gostaria de agradecer também a Prof.ª Mirian, pois está sempre disposta, a
ajudar, mesmo aqueles que não são ou foram seus alunos.

Agradeço também as pessoas que trabalha(ram) na biblioteca, em especial
D. Margarida, Luciene, Lucineide, Elias, Maria, Edval, Elane, e todo pessoal que
trabalhou nesta repartição.

Agradeço, ao pessoal da Secretaria Acadêmica, principalmente na pessoa da
Coordenadora Maria Jalva, que com sua paciência está sempre disposta a ajudar
quando necessitávamos de uma documentação urgente.

Gostaria de abraçar todas estas pessoas acima citados em forma de
agradecimento pela forma como atuam nas suas respectivas funções. Desde já se
sintam abraçados.

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“Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilhosa
ciência aplicada, que economiza trabalho e torna a vida
mais fácil? A resposta é simples: porque ainda não
aprendemos a nos servir dela com bom senso.”

ALBERT EINSTEIN (1879-1955)

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RESUMO

O presente trabalho trata-se de uma investigação realizada com professores de
Matemática do ensino fundamental e alunos da 6ª série do Colégio Municipal
Rômulo Galvão no Município de Pindobaçu-Ba. Onde buscamos compreender e
analisar a visão dos professores sobre a importância dos erros como estratégia
didática no processo de ensino/aprendizagem dos Números Racionais; a partir dos
erros e do desenvolvimento e acompanhamento de atividades didáticas. A presente
investigação é caracterizada pela metodologia qualitativa. Os dados, para análise
inicial foram colhidos a partir de uma entrevista com os professores. Utilizou-se
como instrumento um questionário contendo nove perguntas, a fim de conhecermos
o seu posicionamento diante dos erros cometidos com os Números Racionais. Já
para os alunos, foi aplicada uma atividade (estudo piloto) para avaliarmos seus
conhecimentos prévios a respeito dos Números Racionais. Esta atividade (estudo
piloto) serviu para diagnosticarmos as dificuldades dos alunos diante dos Números
Racionais. Na terceira etapa juntamente com o professor das turmas citadas,
diagnosticamos erros operacionais que serviram de cunho para elaboração da etapa
seguinte (estudo principal). Nesta etapa (estudo principal), aplicamos uma atividade
didática contendo apenas três questões, onde foram problematizados os erros
cometidos pelos alunos na etapa anterior (estudo piloto). Como resultado obteve-se
um aumento significativo no índice de acertos, comprovando que análise de erros
deve ser utilizada como metodologia didática.

Palavras chaves: Números Racionais, análise de erros, metodologia qualitativa,
ensino fundamental.

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SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO....................................................................................... 10

1. PROBLEMÁTICA............................................................................................... 12

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.......................................................................... 18

2.1 O erro como estratégia didática de ensino............................................ 18

2.2 Contexto Histórico de Números Racionais............................................ 22

3. METODOLOGIA................................................................................................. 30

3.1 Tipo de pesquisa utilizada...................................................................... 30

3.2 Local e sujeitos da pesquisa.................................................................. 32

3.3 Instrumentos utilizados........................................................................... 33

4. ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE DADOS..................................................... 36

4.1 Entrevista com os professores............................................................. 36
4.2 Aplicação do Estudo Piloto..................................................................... 41
4.3 Avaliação do Estudo Piloto..................................................................... 44
4.4 Estudo Principal...................................................................................... 45
4.5 Comparação de Resultados................................................................... 48
CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................... 49

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................................................................... 51

APÊNDICES........................................................................................................... 53

Apêndice A - Questionário Aplicado ao professor........................................ 53
Apêndice B – Estudo Piloto....................................................................... 54
Apêndice C – Estudo Principal.................................................................... 55

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LISTA DE ABREVIATURAS

ENEM - Exame Nacional do Ensino Médio

IDEB - Índice de Desenvolvimento da Educação Básica

LDB - Lei de Diretrizes e Bases

MEC - Ministério da Educação

MMM - Movimento da Matemática Moderna

PCNs - Parâmetros Curriculares Nacionais

PISA - Programa Internacional de Avaliação

SAEB - Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica

SARESP - Sistema de Avaliação de rendimento Escolar do Estado de São Paulo

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APRESENTAÇÃO

O ensino de Matemática ainda é visto sob a forma de preparar apenas o
aluno para seus estudos posteriores, muitas vezes sem preocupar-se sobre a linha
de raciocínio e abstração de conteúdos produzidos pelos mesmos. Essa não
adequação escolar presente na pratica de ensino de Matemática.

Por isso, o objeto de estudo desse trabalho diz respeito a compreender e
analisar a visão dos professores sobre a importância dos erros como estratégia
didática no processo de ensino/aprendizagem dos Números Racionais, a partir da
identificação dos erros cometidos e do desenvolvimento e acompanhamento de
atividades didáticas, onde apresentamos o seguinte questionamento: o que fazer
para melhorar a aprendizagem dos alunos com os Números Racionais? O que fazer
para saná-los?

No capítulo I, apresentamos alguns estudos de pesquisadores em relação de
como o erro é tratado nas instituições educacionais seja ele de ensino fundamental,
ensino médio ou superior. A partir destes estudos percebemos que várias pesquisas
têm sido realizadas e apontam que alunos têm um péssimo desempenho diante dos
Números Racionais como relata os PCNs e outras pesquisas realizadas na área de
Educação Matemática.

O capítulo II, mostramos o que dizem alguns estudiosos sobre o tema de
como utilizar o erro como estratégia didática de ensino. E foi realizada uma
apresentação do contexto histórico de Números Racionais, mostrando também
como foi o processo educacional no Brasil e no mundo. Tendo como embasamento
teórico pesquisas realizadas por Cury (2006), Canova (2006), Nunes (1997), entre
outros.

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No capítulo III, mostramos como foi realizada a pesquisa, abordando a
metodologia, local e sujeitos de estudos. Analisamos e discutimos os resultados
obtidos através da entrevista feita com professores de Matemática do ensino
fundamental, e de duas atividades didáticos propostas aos alunos da 6ª série do
Colégio Municipal Rômulo Galvão, utilizando-se de metodologias diferenciadas. A
primeira atividade com base na metodologia praticada pelo professor (metodologia
tradicional). Já na segunda atividade problematizamos todos os erros cometidos
pelos alunos na etapa anterior e a transformamos em atividades didáticas. A partir
destas atividades, compararmos os resultados e observamos que os alunos
obtiveram um rendimento superior ao tradicional.

Concluímos que o professor tem em suas mãos uma ferramenta didática de
ensino, antes configurada na forma de punição e ridicularização que eram os erros.
Conclui-se, portanto, que o professor deve a ter uma visão mais positiva, e que
devemos explorar os erros dos alunos com os Números Racionais através do
acompanhamento de atividades.

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PROBLEMÁTICA

Durante formação acadêmica, a Matemática como área do conhecimento,
levou-me a uma compreensão desta ciência que tem em sua história um caráter
evolutivo. Assim podemos buscar nessa história fatos descobertos e revoluções que
nos mostram o caráter criativo do homem quando se dispõe a elaborar e disseminar
a ciência Matemática no seu meio sócio-cultural.

Na perspectiva de compreender a Matemática é importante ter na História da
Matemática juntamente com outros recursos didáticos uma significante contribuição
no processo de ensino aprendizagem em Matemática. Ela possibilita que o aluno a
compreenda como uma criação humana necessária e tenha conhecimento dos
diferentes momentos históricos, dos processos matemáticos (passado-presente)
resgatando assim a própria identidade cultural.

De acordo com os PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais) em muitas
situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer idéias matemáticas
que estão sendo construídas pelos alunos, especialmente para dar respostas a
alguns questionamentos e desse modo, contribuir para a formação de olhares mais
críticos sobre os objetivos do conhecimento.

Ao perguntarmos: por que ensinar Matemática? As respostas podem ser: “A
Matemática é necessária em atividades práticas que envolvem aspectos
quantitativos da realidade, como os que lidam com grandezas, contagens, medidas,
técnicas de cálculos, etc.” e /ou “A Matemática desenvolve o raciocínio lógico, a
capacidade de abstrair, generalizar, projetar, transcendente o que é imediatamente
sensível” (TOLEDO, apud CENP, 1997, p. 10).

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Mas ao perguntarmos a algumas pessoas se estes objetivos foram
alcançados, com certeza, poucos acenariam para uma resposta positiva. A questão
deste insucesso aponta para várias direções, entre elas estão:

 Método de ensino inadequado;

 Falta de uma relação estreita entre a Matemática que se aprende nas
escolas e as necessidades cotidianas;

 Falta de recurso tecnológico.

Então surge a seguinte pergunta, qual o método de ensino que devemos
aplicar?

Sobre qual o método de ensino, Toledo (1997), faz uma abordagem entre o
método dedutivo e o método intuitivo. No método dedutivo os alunos memorizam
procedimentos para chegarem aos resultados exigidos pelo professor. Já no método
intuitivo faz com que a criança descubra propriedades e estabeleça relações entre
elas, construa hipóteses, e determine conceitos.

Essa discussão sobre educação já vem sendo analisada no Brasil, através de
pesquisas, que apontam sérios problemas; o principal deles é o fracasso escolar de
ensino fundamental no que se refere ao processo de ensino-aprendizagem da
Matemática.

Canova (2006) em sua pesquisa aponta este fracasso, onde pode ser
constado em uma análise do desempenho apresentado pelos alunos das 4ª e 5ª
séries do Ensino Fundamental, feita pelo Sistema Nacional de Avaliação Básica
(SAEB, 2001) e pelo Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de
São Paulo (SARESP, 1998), que apontam que era esperado um rendimento melhor
por parte dos alunos. Ele reforça ainda que este baixo desempenho “podem estar

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ligados ao próprio entendimento que os professores tem sobre o conceito de fração.”
(CANOVA, 2006, P.18)

Sabendo que o mundo evoluiu rapidamente, a educação também deve seguir
esta progressão de forma cuidadosa e ordenada buscando novas metodologias de
ensino.

Segundo o PCN (1997, p. 24), “Freqüentemente a Matemática tem sido
apontada como disciplina que contribui significativamente para elevação das taxas
de retenção”. Talvez isto aconteça pelo fato de que a Matemática é vista por uma
grande maioria dos alunos como disciplina difícil.

Sebastiani (1993) reforça este pensamento quando diz:

Sem dúvida, a Matemática é a disciplina que mais é chamada na hora de se
arbitrar para a cidadania. É ela que mais reprova e, portanto, é a grande
responsável pela exclusão da maioria da população de participar da
cidadania. Todo processo seletivo, alguns necessários, outros não, onde se
têm mais competidores do que se necessita ou capacidade de observação,
é a Matemática solicitada a colocar demarcador. (SEBASTIANI, 1993, p.
13).

Diante destas evidências surge a necessidade de refletir sobre os métodos de
ensino que possibilitem a compreensão do conceito de Números Racionais por parte
dos alunos, já que nas pesquisas citadas acima (SAEB, SARESP), levantou-se a
hipótese de que o mau desempenho dos alunos deu-se por falta do domínio do
conceito de fração equivalente.

Na área de Educação Matemática, outras pesquisas indicam esta dificuldade
com relação ao ensino e aprendizagem com os Números Racionais, dentre elas a
realizadas por Nunes (1997), Bezerra (2001), Merlini (2005), Canova (2006) entre
outros.

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No trabalho intitulado Dossiê do (Des)Ensino da Matemática, Nascimento
(2003), faz uma reflexão sobre o surgimento das dificuldades, quais as causas que
elevam as dificuldades em Matemática? Qual a causa do erro em Matemática?
Apresenta alguns motivos, tais como a formação do professor, a maturidade do
aluno, o material didático e até mesmo a má elaboração de quesitos em atividades.

São pontos que nos fazem refletir sobre o aspecto geral do ensino
aprendizagem de Matemática. Mas, nesse estudo pretendemos enfocar o tema:
erros cometidos pelos alunos da 6ª série com os Números Racionais. Alguns
pesquisadores da área de Educação Matemática, como Cury (2007), Correia (2005),
Olimpio (2005), entre outros, nos oferecem um grande referencial sobre o tema.

O erro na escola vem constituindo-se como item coadjuvante do cotidiano no
contexto pedagógico, sobretudo na escola pública, onde tem recebido um
tratamento sentencioso. A escola (alunos, professores, coordenadores, etc.) deveria
promover discussões sobre qual é o papel e a função do erro na construção do
conhecimento.

Os teóricos abaixo nos dão um caminho a refletir;

Para Kistemann Jr.(2004, p.4), “os erros observados não têm sido
problematizados de forma que possam servir ou propiciar uma discussão, um
diálogo em torno da produção do conhecimento matemático”

BERTONI (apud Kistemann Jr, 2004), “a não concretização desse diálogo na
sua plenitude empobrece a utilização didática do erro, prejudicando
significativamente, o desempenho dos alunos”.

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Os autores nos mostram um enfoque muito diferente do que nos foi sempre
apresentado - o erro como deficiência, incompetência e fracasso – mas sim uma
forma de diagnosticar, aprender e principalmente tratá-los como uma estratégia
didática, para construção do conhecimento.

Ao longo da Formação Acadêmica entendi o erro como sentença
classificatória, e na atividade como docente continuei com o mesmo posicionamento.
As leituras e discussões sobre os baixos índices do IDEB no município de
Pindobaçu-Ba, que em 2007 obteve média de 2,9 no ensino fundamental (5ª à 8ª
série), fez surgir o questionamento: o que fazer para melhorar a aprendizagem dos
alunos com os Números Racionais? São os erros? O que fazer para saná-los?
Acreditamos que tal problema é compartilhado por grande parte das escolas
públicas brasileiras.

Nas escolas, o erro como sinônimo de fracasso pode ser uma das causas da
repetência e de baixos índices de aproveitamento em Matemática. O fracasso
prejudica também a aceitação da Matemática por parte dos alunos, pois eles já têm
a mentalidade de que quem erra muito não aprenderá. Os alunos não sabem utilizar
desses erros para ajudar na construção do seu conhecimento. Utilizando os PCNs
como referencial, fala da importância do erro.

Os PCNs (1988) discutem a importância do erro para a aprendizagem e a
necessidade de se ter uma visão do erro como oportunidade de diagnóstico dos
caminhos, para que o aluno possa superar suas dificuldades.

Para De La Torre (1994), o estudo do erro é uma excelente estratégia para
atender a diversidade do processo de aprendizagem e melhorar a qualidade de
ensino, propondo a utilização didática dos erros como suporte para as mudanças e
para a realização do ensino. É com esta compreensão do erro que propomos a

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pesquisa: Análise De Erros Cometidos Pelos Alunos Com Os Números Racionais: A
Realidade Do Colégio Municipal Rômulo Galvão No Município De Pindobaçu-Ba.

É dentro deste contexto que surge o objetivo deste estudo, identificar os
erros, analisar a visão que tem o professor de Matemática sobre os erros como
estratégia didática no Ensino dos Números Racionais.

Começando dessa análise, considerando a importância da Matemática e dos
erros cometidos pelos alunos, seu papel nas relações professor/aluno e seu declínio
no currículo escolar, surge o seguinte questionamento: como utilizar os erros
cometidos pelos alunos na disciplina como uma estratégia didática?

Estas questões norteadoras remetem a estabelecer os seguintes objetivos
para este estudo:

 Compreender e analisar a visão dos professores do Colégio Municipal
Rômulo Galvão no município de Pindobaçu-Ba, sobre a importância
dos erros como estratégia didática no processo de
ensino/aprendizagem dos Números Racionais, a partir da identificação
dos erros e do desenvolvimento e acompanhamento de atividades
didáticas.

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2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 O Erro Como Estratégia Didática De Ensino

Desde muito pequenos somos cobrados por nossa família, pela escola e
pela sociedade de um modo geral, a fazermos o que é certo e não o que é errado.
Mas o que é o “acerto” e o que é “erro? Segundo o Dicionário de Língua Portuguesa
Aurélio (2001, p.154; p.300), a definição de certo “é o que não há erro, exato”, errar
é “incorreção” ou “efeito de errar”.

Na escola o erro é visto como incapacidade, desvio. Em Educação
Matemática há linhas de pesquisa que estudam o erro de outra perspectiva, onde
parte do pressuposto de que a Matemática é efetivamente central na formação dos
indivíduos e sua inserção social. Nesse sentido, um insucesso em Matemática,
significaria um fracasso não apenas na vida escolar, mas na própria condição de
cidadão desses indivíduos.

Quanto ao erro Correia (2005, p.14) diz:

“(...) pode aprender por tentativa e erro, i.e., ao tentar resolver algum
determinado problema e não conseguir o resultado que busca faz mais
tentativas até encontrar a forma de ação adequada, desse modo, pode-se
dizer que o individuo aprende por si mesmo, na sua relação pessoal com o
meio.”

Ele ressalta ainda que o processo de aprender envolva tentativas, hipóteses e
levantamentos de suposições, e que é comum considerar que as pessoas errem por
suas tentativas de aprender e refletindo com os erros acabam aprendendo.

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Os altos níveis de insucesso escolar fizeram com que o “erro” antes encarado
como insucesso, passou a ser visto como fonte de pesquisa e também como
estratégias didáticas. Muitos estudos vêm sendo realizados no intuito de amenizar a
“crise do ensino da Matemática”. Historicamente estes estudos apontam a formação
dos professores, a metodologia utilizada, falta de recursos, inadequação dos livros
didáticos, de conteúdos programáticos.

Para Cury (2006, p.2), os fracos resultados obtido nos exames do Sistema
Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB), do Programa Internacional de
Avaliação de Alunos (PISA) e no Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), refletem
a atual situação do ensino de Matemática no país, podendo ser uma das causas de
evasões e repetências nos cursos superiores, já que de um modo em geral, têm
dificuldades em conteúdos básicos de Matemática.

Os erros são elementos construtivos, eles foram quase sempre tratados como
fracasso, e por causa disso conduzido a alguma espécie de punição. Assim Davis e
Espósito (1991, p.101) afirmam que os erros exigem condutas pedagógicas
diferenciadas, eles chamam de construtivos os erros que indicam possibilidades de
progresso; “trata-se de processos de mudança, da passagem de uma para outra
etapa de desenvolvimento, ou seja, da construção de estruturas cognitivas novas e
superiores às precedentes”. Os chamados não-construtivos diferem dos demais por
estarem relacionados com a construção do conhecimento; quando indicam que o
aluno já possui a estrutura do pensamento necessária à solução da tarefa e já
compreendeu e sabe como chegar à resposta correta, mas erra por distração ou por
falta de fixação de algum procedimento.

Do ponto de vista matemático todo raciocínio é lógico, até mesmo aqueles
que levam ao erro. O erro na verdade são hipóteses equivocadas. Junto com o
acerto, o erro também nos dá indicações sobre o processo de aprendizagem de
cada aluno. Se considerarmos que ensinar Matemática seja desenvolver o raciocínio
lógico, estimular o pensamento independente, desenvolver a criatividade, de

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manejar situações reais e resolver diferentes tipos de problemas com certeza,
teremos que partir em busca de estratégias e recursos alternativos.

Quanto aos erros os PCNs (1997), diz:

Na aprendizagem escolar o erro é inevitável e, muitas vezes, pode ser
interpretado como caminho para buscar o acerto. Quando o aluno ainda não
sabe como acertar, faz tentativas, a sua maneira, construindo uma lógica
própria para encontrar a solução. (PCN – Matemática, 1997, p. 59)

Ainda segundo os PCNs, o professor depois da identificação da causa do
erro, deve planejar uma intervenção para auxiliar e avaliar caminho percorrido,
“nesse sentido a análise de erro pode ser uma pista interessante e eficaz”.

A cultura do erro enquanto fracasso, tem aos poucos cedido espaço para uma
cultura que o admite como um elemento que pode ajudar na construção do
conhecimento, uma cultura mais construtivista, erro que faz parte do processo onde
está sendo construído um conceito, uma noção, erro observável, torná-lo um objeto
no qual a criança seja capaz de refletir sobre ele.

Para Luckesi (2000), o erro existe a partir de um desvio padrão considerado
correto, onde sem padrão não haverá erro. O que pode acontecer é existir uma ação
que não atingiu plenamente seu objetivo, existindo assim esforços de construção do
conhecimento que pode ser bem sucedida ou não, dessa forma pode-se dizer que
não se aprendeu suficientemente para satisfazer uma determinada necessidade.
Então, quais ações podem ser realizadas junto aos alunos da 6ª serie do Colégio
Municipal Rômulo Galvão sobre os erros cometidos com os Números Racionais? O
que pensam professores sobre estas ações? Existe o interesse do professor em
mudar a visão sobre erros?

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A escola tradicional rejeita a resposta não correta e o apaga. O professor é
tido como dono do saber, enquanto que na perspectiva construtivista, deve-se atuar
na raiz desse erro.

As produções feitas pelos alunos desde as mais simples, às mais complexas,
permitem detectar como o aluno pensa e de que forma a aprendizagem formal ou
informal lhes ajudou.

Segundo Cury (2007, p. 13), a análise de produções traz para o professor e
para o aluno a possibilidade de entender como os estudantes se apropria do saber,
e conclui que esta análise deveria ser um componente dos planos pedagógicos e
planos de aula, considerando os objetivos de ensino de cada disciplina.

Ao avaliar os erros não se podem considerar os alunos incapazes, pelo fato
de os terem cometido, e sim, transformar estes erros em estratégias para orientar e
direcionar o processo de ensino-aprendizagem da Matemática. O professor deve
mediar o acesso a esse novo conhecimento da forma mais prazerosa possível,
observando sempre o rigor da veracidade.

É importante ressaltar que este recurso pedagógico venha sendo utilizado
desde as primeiras séries iniciais, e de forma gradativa e subsequentes nos estudos
posteriores.

Segundo os PCN (1997), os alunos sentem dificuldades na representação

com b ≠ 0, não como um único número e sim como dois números separados por uma
barra, ou seja, transferem seu conhecimento de Números Naturais para os Números
Racionais.

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Várias pesquisas apontam estas dificuldades quanto ao ensino e
aprendizagem dos Números Racionais, dentre elas podemos citar Silva (2005) e
Canova (2006).

Silva (2005) em sua pesquisa investigou no contexto do ensino e
aprendizagem de Matemática, como os erros com os Números Racionais são
concebidos pelos professores e por alunos. Esta pesquisa revelou um discurso
construtivista e uma prática conservadora e descontextualizada no tratamento do
erro.

2.2 Contexto Histórico de Números Racionais

”A Matemática originalmente surgiu como parte da vida diária do homem”
(BOYER, 1979, p.2). Assim o homem das sociedades mais primitivas teve
necessidades que precisassem reconhecer e comparar quantidades: quantos
animais tinham em seu rebanho? Quantas luas se haviam passado? Quantas
pessoas moravam em sua tribo?

O conceito de números era primitivo, e estava associado mais a contraste do
que semelhança. Sobre este conceito, Centúrion (2002, p. 10) fala “o conceito de
número é abstrato e seu desenvolvimento deu-se através de um processo bastante
lento e complexo, envolvendo diversas civilizações e muitos milhares de anos”.

E de onde vem a idéia de número? Pelos vários vestígios arqueológicos dos
nossos antepassados leva a crer que foi a partir da experiência com muitos
conjuntos em correspondência biunívoca. Assim, segundo Eves (2004, p. 26) “é
provável que a maneira mais antiga de contar se baseasse em algum método do

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registro simples, empregando o princípio da correspondência biunívoca”. Por
exemplo, quando um pastor levava seu rebanho de ovelhas para pastar, ele
associava uma pequena pedrinha1 para cada ovelha, assim no final do dia ele
saberia se estava faltando alguma ovelha. Essa “correspondência um-para-um foi
um passo muito importante, dado pelo homem [...] que identificaria a quantidade de
elementos de um conjunto” (CENTURIÓN, 2002, p. 14), pois de forma intuitiva
estava se fazendo uma contagem, o que hoje nos referimos a Números Naturais.

Miguel e Miorim (1986, p. 6) afirmam que [...] “o processo de aquisição do
conhecimento de número envolve várias espécies de abstrações que devem ser
trabalhadas simultaneamente com as crianças”. É durante esse trabalho que a
aquisição do conceito de número vai sendo construído.

Por força das circunstâncias, muitas vezes o homem viu-se obrigado a repartir
um peixe ou outra caça com outras pessoas quando só lhe restava uma única
unidade, ou seja, já estavam usando seus conhecimentos espontâneos de frações.

Partindo do pressuposto da divisão em partes iguais, do ponto de vista
prático, o estudo do conceito de fração aperfeiçoa a habilidade de dividir, o que
permite entender e manipular melhor os problemas do mundo real. Já que a “idéia
de um Número Racional é relacionada à divisão entre dois Números Inteiros,
excluindo-se o caso em que o divisor é zero” (PCN, 1997, p. 101).

Segundo Silva (1997), o conceito de Número Racional é considerado entre
muitos conceitos, uma das idéias matemáticas mais complexas que o aluno deve
encontrar isso sob as perspectivas prática, psicológica e matemática.

Várias pesquisas já foram realizadas na área de Educação Matemática, a
exemplo do SAEB (2001). Elas apontam que existem dificuldades em relação ao
1
Aorigem da palavra “Calculo” vem do latim “calculus” que significa pedrinha.

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ensino e aprendizagem dos Números Racionais. Perante as dificuldades, é de suma
importância se construir um método de ensino que possibilite a compreensão do
conceito de fração por parte do aluno, desde aqueles das séries finais do 1º grau e
até mesmo para os do 2º grau, já que eles não se apropriam de alguns conceitos
matemáticos desenvolvidos a partir das primeiras séries do Ensino Fundamental I.
Sobre esta deficiência Toledo (1997, p. 167) afirma, “o motivo dessa deficiência é
simples: eles não construíram, realmente, o conceito de número racional”.

De acordo com o pensamento de Nunes citado por Malaspina (2007), a forma
que a criança é apresentada a fração passa a ligeira impressão que as crianças
saibam muito sobre frações.

“Um método de ensino... simplesmente encorajam os alunos a
empregar um tipo de procedimento de contagem dupla – ou seja,
contar o número total de partes e então as partes pintadas – sem
entender o significado desse novo tipo de número”. (NUNES, 1997,
p. 191)

Ele ressalta que estas dificuldades são apresentadas nas duas formas de
representação dos Números Racionais: a fracionária e a decimal. Essas dificuldades
poderão ser corrigidas se percebermos que um determinado conceito já
apresentado, não tiver sido absorvido completamente, e que futuramente quando
apresentado, for entendido mais facilmente.

A Matemática é a mais antiga das ciências, surgida na antiguidade por
necessidade da vida cotidiana converteu-se num sistema das várias disciplinas,
dentre elas a química e a física. Já sofreu metamorfoses e reformas que
revolucionaram a maneira de como ela era vista.

A Matemática desde o período paleolítico até os dias atuais, quando já dava
seus primeiros passos passou por diversos momentos de transformação. Segundo

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Miorim (1998), o ensino da Matemática começou a acontecer de maneira intencional
no período das antigas civilizações orientais.

Ela já era considerada uma ciência nobre, era desenvolvida separadamente
das “artes técnicas”. Somente os membros de uma classe privilegiada como as dos
escribas, altos funcionários e dirigentes, tinham o direito de estudá-la. Assim como
as demais ciências, ela reflete as leis sociais e serve de poderoso instrumento para
o conhecimento do mundo e o domínio da natureza. Sua origem constitui-se a partir
de uma coleção de regras isoladas decorrentes de experiências e diretamente ligada
com a vida diária.

De acordo com Pitombeira (1994, p. 81 apud BICUDO, 1999) “a educação
Matemática é uma atividade essencialmente pluri e interdisciplinar. Constitui um
grande arco, onde há lugar para pesquisas e trabalhos dos mais diferentes tipos”

Segundo Lima (1983, p.62), a Matemática apesar de estar constantemente na
vida das pessoas, “é algo estranho, a maioria delas que normalmente não a
compreendem, chegam até a temê-las e/ou odiá-las”.

Assim apesar dela estar diretamente ligada à vida das pessoas, nas escolas
não se importa com que o aluno pretende aprender. É certo que entendemos a sua
importância na vida cotidiana, mas não em sua essência. A insatisfação diante dos
resultados negativos nos faz constatar que tanto por parte de quem ensina como por
parte de quem aprende, existem sensações contraditórias.

Segundo Medeiros (apud BICUDO, 1999, p. 34),

Na educação matemática entendida como intersubjetividade o aluno é o
sujeito do ato [...], dessa forma, o ensino da matemática não pode ser visto
como processo e sim como projeto, um lançar-se para o futuro, para que os
resultados desses ensinos não sejam apenas a aprendizagem de
algoritmos, (que é processo), mas sejam compreensão [...].

26

A Matemática exige participação ativa de seus sujeitos, é necessário que
todos a pratiquem. Sendo considerada como instrumento de valor formativo dos
indivíduos, assim considerado inicialmente pelos pitagóricos, apenas para o círculo
fechado dos filósofos e mais tarde aplicada pelos sofistas, que associavam esse
valor às necessidades da retórica.

Sobre isto Morim (1998, p. 2) fala que, todos que quiserem ser bons oradores
– o ideal de formação naquele período – deveriam conhecer ao menos alguns
elementos básicos da Matemática.

O valor formativo da Matemática, para a proposta platônica enfatizava ainda
mais a importância da Matemática por seu “poder” de desenvolver o pensamento
humano, o seu raciocínio, independentemente das visões referente a esta ciência e
sobre os valores formativos. O fato é que sobre a melhor formação, a Matemática
ficou sendo reconhecida por todos como elemento fundamental para o
desenvolvimento do raciocínio.

A esse raciocínio, alguns autores acreditam que no Egito e na Mesopotâmia o
ensino da Matemática através de situações problema muitas vezes absurdo, teria
sido aplicado apenas para treinar os algoritmos ou até mesmo de “desenvolver o
raciocínio”. O que não muda muito no ensino da Matemática que encontramos até
hoje, apesar de que o ensino era destinado apenas para alguns privilegiados, as
antigas civilizações conseguiram desenvolver e compor em várias áreas o que seria
chamado de “Matemática”.

Alguns pensamentos baseados na proposta pedagógica de Platão perduram
até hoje, tal proposta entendia que o estudo da Matemática desenvolveria a “seleção
do melhores”, ou seja, que a Matemática é fundamental para selecionar indivíduos
mais capacitados para qualquer profissão.

27

Em 1960, iniciou-se um movimento chamado de “Matemática Moderna” que
veio com reformas e alterações curriculares nos sistemas educativos de vários
países, incluindo o Brasil.

Segundo Miorim (1998) a proposta do movimento da Matemática Moderna –
MMM estava baseada na forma axiomática desenvolvida pelo grupo Bourbaki, cujos
elementos essenciais eram: os conjuntos, as relações e as estruturas. Essas
propostas eram reforçadas por estudos psicológicos de Jean Piaget.

Pires (2000) ressalta que a preocupação central do MMM era de se ter uma
Matemática útil para a economia moderna, para a ciência e para a técnica. Segundo
Miorim (1998, p. 78), o MMM na verdade podia ser encarado como uma primeira
reação organizada contra o “culto a Euclides”, este movimento propôs um ensino de
Matemática, particularmente para o curso secundário, no qual os princípios eram
opostos aos princípios apresentados pela obra de Euclides.

Alguns desses princípios eram:

 Eliminação da organização excessivamente sistemática e lógica dos
conteúdos da escola;

 Consideração da intuição como elemento inicial importante para futura
sistematização;

 Introdução de conteúdos mais modernos, como funções, cálculo
diferencial e integral, devido à importância deles no desenvolvimento
da Matemática;

28

 Valorização das aplicações da Matemática para a formação de
qualquer estudante de escola de nível médio.

Para Jean Dieudonné (1906 – 1992 apud D’AMBRÓSIO, 2000), defensor do
MMM, para a modernização era preciso “revolucionar o ensino da Matemática no
nível médio, o slogan era “Abaixo Euclides!” Dieudonné convenceu a maioria dos
presentes a tornarem-se porta-vozes, nos respectivos países, da necessidade de
abandonar totalmente o ensino euclideano e substituí-lo por uma Matemática mais
viva e estimulante, ligada à investigação moderna.

Logo no início deste movimento surgiram muitos adeptos, na maioria
professores, e uns poucos opositores. Mas com o passar do tempo, e diante da
ineficácia dessa orientação principalmente para o Ensino Fundamental. O MMM
começou a enfraquecer, pois sua proposta principal limitava-se somente ao Ensino
Médio e deixando “órfão” o restante do sistema organizado de ensino.

Como ressalta o PCN:

Ao aproximar a matemática escolar da matemática pura centrando o ensino
nas estruturas e fazendo uso de uma linguagem unificadora, a reforma
deixou de considerar um ponto básico o que viria se tornar seu maior
problema: o que se propunha estava fora do alcance dos alunos, em
especial daqueles das séries iniciais do ensino fundamental (PCN,
Matemática, 1997, p. 21).

Até mesmo os antigos defensores dessa reforma começaram criticar a
excessiva valorização dos conteúdos em lugar dos métodos, além dos debates
sobre o uso de instrumentos (calculadora, etc.) de ensino começaram a ser feitas, a
fim de corrigir os rumos da educação.

29

Ávila (1993) afirma que: “O ensino da Matemática antes da reforma da
Matemática Moderna dos anos sessenta realmente continha muitas deficiências.
Não levava em conta aspectos importantes da psicologia do aprendizado.”

A reforma como se pretendia não veio, e acabou se traduzindo bem mais por
um jargão impenetrável, por austeras abstrações do que uma pedagogia aberta e
ativa, por simbolismo em excesso. Alguns livros ainda hoje andam carregados de
linguagem de conjuntos e simbolismo que mais atrapalham do que ajudam o aluno
em seu esforço de aprendizagem.

A modernidade da Matemática para Pires (apud WALUSINKI 2000, p. 22),
implicava-se na sua unidade desde o maternal à universidade, pois era possível
ensinar separadamente a Matemática clássica e a moderna.

Atualmente a crise do MMM em outros países já foi superada sendo
considerada coisa do passado. No Brasil, apesar dos avanços, convivemos ainda
com resquícios das idéias dos anos sessenta.

30

3. METODOLOGIA

3.1 Tipo de pesquisa utilizada

O homem desde os primórdios foi impulsionado pela curiosidade. Pesquisar
é, portanto, uma atividade intrínseca em cada um de nós, uma necessidade de
conhecer. A pesquisa é mais que importante, é imprescindível no campo acadêmico.
Genericamente, pode-se dizer que a pesquisa é uma atividade voltada para a
solução de problemas por meio de métodos científicos. Para Lüdke & André (1986,
apud BARALDI, 1999), assinalam que esta pesquisa pode ser abordada de forma
analítica (empírica e quantitativa) ou de forma qualitativa.

Para este estudo adotou-se a metodologia qualitativa por compreender que a
pergunta diretriz que norteou o estudo traz um reflexo de ambiente natural em que
os sujeitos produzem as respostas.

Para Baraldi (1999) a pesquisa qualitativa tem instrumentos e espaços
próprios sendo:

(...) em educação possui, como fonte de dados, o próprio ambiente natural
onde os fenômenos se mostram, ou seja, não necessita da criação de
ambientes experimentais e manipuláveis. Isso se deve principalmente, ao
seu objeto de interrogar o “mundo ao redor”. O principal instrumento nesse
tipo de pesquisa é o próprio pesquisador, sendo necessário, portanto seu
contato “direto” com o contexto dos fenômenos (BARALDI, 1999, p. 17).

A pesquisa qualitativa segundo Trivinõs (1987), ”privilegia a prática e o
propósito transformador do conhecimento que se adquire da realidade que se
procura desvendar em seus aspectos essenciais e acidentais”. Assim tendo uma
visão mais concreta do nosso problema. Remete-nos a seguinte pergunta: qual a

31

visão dos professores sobre a importância dos erros como estratégia didática no
processo de ensino/aprendizagem?

Apesar de ter a pesquisa qualitativa como eixo que norteou a análise de
dados foi utilizado, também aspectos quantitativos, pois, segundo Baraldi (1999),
“não se deve excluí-los, pois dependendo dos dados possam colaborar para a
compreensão do fenômeno”.

Busca-se em uma pesquisa, a essência de um fenômeno pouco explícito e
difuso e vem acompanhado de indagações acerca de sua causa.

Sobre isto MINAYO (apud Kistemann Jr.2004), diz:

A investigação metódica, organizada, da realidade, é utilizada para
descobrir a essência dos seres e dos fenômenos e as leis que os regem
com o fim de aproveitar as propriedades das coisas e dos processos
naturais em benefício do homem.

Relembrando LAKATOS e MARCONI (1982, p. 39-40), quando diz que, “a
característica distintiva do método é a de ajudar a compreender, no sentido mais
amplo, não os resultados da investigação científica, mas o próprio processo de
investigação”.

O objetivo geral é conhecer como as tarefas avaliativas de Matemática, nas
suas mais variadas formas, auxiliam o professor a regular a aprendizagem através
dos erros cometidos e de que forma esses erros constituem-se como agentes na
construção (ou não) do conhecimento matemático, na perspectiva docente.

Portanto, pesquisar não é apenas procurar a verdade, é encontrar respostas
para questões propostas, fazendo o uso de métodos científicos.

32

3.2 Local do estudo e sujeitos da pesquisa.

Integrado ao quadro de docentes da Rede Municipal de Educação, foi
escolhido um dos colégios da sede do município, tornando assim mais fácil
compreender o problema da pesquisa, considerando a aproximação com os sujeitos
envolvidos.

Pensando nisto, este trabalho foi desenvolvido no Colégio Municipal Rômulo
Galvão, situado à Rua Leolino Palmeira, s/n, Bairro Antônio José de Carvalho, na
cidade de Pindobaçu – BA, o qual tem um corpo docente composto de um (01)
Diretor, dois (02) vice diretores e trinta e um (31) professores.

A estrutura física do colégio é composta de 10 salas de aula, 1 biblioteca, 1
secretaria, 1 banheiro para os professores, 1 banheiro masculino e 1 feminino, 1
sala para os professores, 1 sala de coordenação, 1 laboratório de informática, 2
pátios (sendo um coberto), e uma quadra de esportes (não coberto). O colégio
funciona em três turnos, onde atende aproximadamente 1200 alunos do ensino
fundamental (5ª a 8ª série).

Os sujeitos da pesquisa foram os professores de Matemática e os alunos da
6ª série (C e D) turmas do período vespertino, com idades entre 10 e 15 anos a
maioria oriunda da zona rural, uma faixa de 60 alunos. A escolha da turma C e D foi
o baixo desempenho em Matemática demonstrados na I unidade no ano em curso
(2009).

O trabalho foi desenvolvido com duas (02) turmas, Com o objetivo de verificar
e analisar os erros que os alunos têm em utilizar os Números Racionais e propor
uma metodologia de ensino, na qual o erro serve como uma ferramenta na
construção do conhecimento. Além de compreender a visão que o professores tem
do erro como uma ferramenta didática.

33

3.1 Instrumentos utilizados

No intuito de fazer uma análise minuciosa, estabelecemos que a presente
pesquisa seria realizada em (4) etapas, as quais serão descritas a seguir:

(1) Informações sobre os professores através de questionário.

(2) Estudo Piloto.

(3) Avaliação do Estudo Piloto.

(4) Aplicação de questões problematizadas (Estudo Principal).

Afim, de complementar as informações e o perfil dos sujeitos foi aplicado na
1ª etapa um questionário aos professores com o objetivo de perceber/identificar a
postura do professor diante do ensino dos Números Racionais e da compreensão
que ele tem de erros como uma metodologia didática. Segundo (FIORENTINI E
LORENZATO, 2006), “ajudará a conhecer os sujeitos.” Além disto, buscou-se
conhecer o perfil dos professores quanto a sua formação acadêmica e sua
metodologia de ensino.

Na 2ª etapa desta pesquisa, aplicou-se uma atividade (estudo piloto) para os
alunos com o objetivo de se fazer uma sondagem sobre seus conhecimentos ou a
falta deles sobre os Números Racionais, sendo que estas questões foram extraídas
de três livros didáticos da 6ª série mais utilizados pelos professores entrevistados
que foram: Tudo é Matemática (Luiz Roberto Dante), Praticando Matemática (Álvaro
Andrini e Maria J. Vasconcelos) e a Mais Nova Conquista da Matemática (Giovanni,
Castrucci e Giovanni Jr) servindo de apoio para elaboração do referido teste.

Este estudo piloto apresentou questões coerentes com os conteúdos proposto
pelo PCN considerando-se um grau relativo às dificuldades para as questões
propostas. Esta etapa de cunho mais exploratório permitiu-nos colher um maior

34

número de informações sobre as dificuldades dos alunos na compreensão dos
Números Racionais.

Os alunos foram informados do objetivo do estudo piloto e sua relevância.

Segundo Cenci (2002, p. 90), “a ética, nasce amparada no ideal grego da
justa medida, do equilíbrio das ações”. Cenci explica que a justa medida é a busca
do agenciamento do agir humano de tal forma que o mesmo seja bom para todos.

Foi dito aos discentes que os erros cometidos no estudo piloto, não seria visto
como incompetência, mas, como fonte de informações na busca de um método que
o leve a uma construção de aprendizado de qualidade.

Na terceira etapa desta pesquisa, corrigimos o estudo piloto juntamente com
o professor, onde foram comprovadas as dificuldades acima diagnosticadas. A partir
do estudo piloto discutimos com o professor a elaboração de outra atividade (estudo
principal) no intuito de tentar sanar os erros cometidos pelos alunos na etapa
anterior.

È importante que haja um diálogo para que os erros observados sejam
problematizados de forma que venha servir como elo na produção do conhecimento.
Segundo BERTONI (apud Kistemann Jr., p. 4, 2004), “a não concretização desse
diálogo na sua plenitude empobrece a utilização didática do erro, prejudicando
significativamente, o desempenho dos alunos”.

Na elaboração desta atividade (estudo principal), foram considerados como
referência os erros cometidos pelos alunos no estudo piloto. Estas questões foram
problematizadas a partir dos erros encontrados/percebidos no estudo piloto onde os
alunos tiveram o maior índice de erros.

35

Na aplicação do estudo principal, foi dito aos alunos que a primeira atividade
(estudo piloto) feita por eles, serviu de parâmetro para elaboração desta nova
atividade que mostravam erros cometidos por alguns colegas. Sendo que o objetivo
principal era de verificar de fato se as dificuldades (erro) foram superadas ou não.

Percebemos que nesta etapa da pesquisa os alunos mostraram-se mais
receptivos, mais dispostos, mais atenciosos e pensativos na resolução desta
atividade do que na etapa anterior.

36

4. ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE DADOS

4.1 Entrevista com os professores.

O papel do professor de Matemática é fundamental na difusão dos conteúdos,
e tem como meta expor da melhor forma possível. Sendo ele um elo de ligação entre
aluno e conteúdo.

A pesquisa foi desenvolvida através de uma entrevista com os professores de
Matemática que lecionam em turmas do ensino fundamental do colégio citado,
através de um questionário contendo nove (09) perguntas totalizando assim doze
(12) professores, sendo que apenas 75% devolveram o questionário (apêndice A).

A entrevista serviu de recursos metodológicos para obtenção de algumas
informações que possibilitou complementar aspectos relacionados ao tema em
questão.

Dos entrevistados, 45% são graduados em Licenciatura em Matemática, 22%
são Pedagogos e 11% fizeram o curso de Teologia, sendo que os demais 22%
possuem apenas o ensino médio, com a formação em magistério.

Quanto à formação do professor os PCN (1997, p.24) dizem: ”parte dos
problemas referentes ao ensino de Matemática estão relacionados ao processo de
formação do magistério, tanto em relação à formação inicial como a continuada.”

Estes problemas citados pelos PCN demonstram claramente a real situação
educacional no país, podemos comprovar como uma pequena amostra o colégio
citado, que mesmo tendo 67% de professores graduados em licenciatura ainda
enfrenta um baixo desempenho.

37

Quando perguntado como estava à aprendizagem dos seus alunos em
relação à Matemática, 77% dos professores foram unânimes em afirmar que estaria
regular e apenas 23% afirmou que estaria bom.

No entanto, indo de encontro ao que disseram os professores, o baixo índice
de desempenho no IDEB, mostra que algo não está nada bem. E que o professor
não se deu conta disto. Quanto a este fraco desempenho Nascimento (2003), na sua
reflexão sobre as dificuldades dos alunos, aponta a formação do professor e a
maturidade dos seus alunos, da má elaboração de quesitos, além do material
didático.

Perguntado sobre qual dos conteúdos programáticos, exigidos pelo PCN de
Matemática para a 5ª e 6ª série, qual aquele que ele como educador têm maior
dificuldades para transmitir de forma clara e concisa aos seus alunos, 56% dos
professores disseram que se tratavam os Números Racionais (frações e decimais),
sendo que os demais entrevistados, 44% apontaram a potenciação.

Diante destas dificuldades, Cury (2007) fala que uma das maneiras é o
professor analisar as produções dos seus alunos e entender como eles constroem o
saber, esta análise deve ser um componente nos planos pedagógico deste
conteúdo.

Uma das questões apresentadas trazia a contextualização do ensino de
Números Racionais com a realidade. Os professores2 P1, P2 e P3 disseram:

P1: “Alguns fazem porque já se apropriaram do conteúdo. A maioria não
assimila a divisão e por consequência sentem dificuldades na compreensão da
fração.”

2
Os professores foram identificados com o código “P” seguido de algarismos
sucessivos.

38

P2: “Não conseguem associar, para que tal associação ocorra é necessário
que haja uma metodologia adequada que direcionasse o estudo para tal fim, nas
minhas aulas não há.”

P3: “Na maioria das vezes não, (...), a não ser que você enquanto docente vá
fazendo essa ligação escola e vida o tempo todo.”

Nunes e Bryant (apud MALASPINA, 2007, p.15) afirmam, apoiando os
estudos de Mack (1993) que existe uma lacuna com que a criança aprende na
escola com os Números Racionais e sua vida cotidiana e que esta desconexão é
feita em razão da forma na qual a aprendizagem é feita.

Esta desconexão com seu cotidiano se dão na forma que os Números
Racionais foram apresentados, principalmente na forma fracionária, onde eles não
fazem qualquer relação com a divisão. Observamos na fala do professor P2 e P3
certa insignificância para esta relação.

Indagados sobre a experiência como docente, perguntou-se: qual a maior
dificuldade encontrada para o ensino dos Números Racionais? Ouviu-se dos
professores desde o fator tempo para preparação das aulas à falta de material
didático. Mas 90% dos professores disseram que o cálculo envolvendo as adição e
subtração de frações com denominadores diferentes como sendo uma barreira na
transmissão do conhecimento, o professor P4 e P5 disseram o seguinte:

P4: “Ensinar adição e subtração de frações com denominadores diferentes,
pois é muito mecânico, torna-se apenas aplicação de regras.”

P5: “é o fato de que eles não sabem as operações básicas, o que interferem
em todo o processo.”

39

Para Behr (1983, p. 91-126)

A ênfase exagerada nos procedimentos e algoritmos, para operar com os
números racionais tem sido apontado como um dos principais motivos das
dificuldades das crianças em aprender e aplicarem conceitos de Números
Racionais.

Devemos ter um tratamento especial moderado das operações e mais
cuidadoso no aspecto conceitual, principalmente na representação fracionária.

È importante ressaltar que o professor tem que buscar novas metodologias
didáticas, na qual sugerimos a análise dos erros.

Quanto à metodologia aplicada, observamos que ainda há um
conservadorismo entre os professores. Mesmo diante de várias metodologias ainda
continuam com aulas explicativas e expositivas, como afirma o professor P6.

P6: “Infelizmente a metodologia é aula expositiva seguida de exercícios para a
prática.”

Quanto a isto Freire e Shor (apud Alciony, p.78) salientam que

O professor pode: dar uma aula expositiva; encaminhar uma discussão;
organizar pequenos grupos de estudo dentro da sala de aula; supervisionar
pesquisas de campo fora da sala de aula; exibir filmes; ou seja, é importante
que o docente tenha a sua disposição uma gama de opções, e que não
mantenha a aula expositiva como único procedimento pedagógico.

A aula expositiva torna o professor o detentor dos conhecimentos onde alunos
tornam-se meros coadjuvantes, em sala de aula, e para que isto não aconteça,
concordamos com o autor acima que o professor não torne este tipo de metodologia
como rotina.

40

Questionados sobre os principais erros cometidos pelos alunos, no que se
refere a Números Racionais, 67% dos entrevistados apontaram como fator
preponderante as operações (equivalência, comparação, transformação
decimais/fração) com os Números Racionais, 11% apontou a leitura e a escrita como
um dos erros mais comuns, já 11% identifica que a causa erro é a interpretação das
atividades, os outros 11% não souberam identificar.

Para Davis e Espósito (1991), estes erros devem ser considerados como uma
possibilidade de progresso de uma mudança entre etapas de desenvolvimento.
Nesta questão, podemos identificar a compreensão nas quatro operações
envolvendo os Números Racionais, segundo os professores, como o principal
contribuinte para a causa “erro” no Ensino Fundamental do Colégio Municipal
Rômulo Galvão no município de Pindobaçu-Ba.

Sabendo que as dificuldades encontradas pelos alunos com os Números
Racionais consequentemente incide em erro, foi questionado aos professores como
encaravam o erro dos alunos diante dos conteúdos matemáticos. Apenas 22% dos
professores mencionaram o erro como uma metodologia a ser aplicada como
instrumento de apoio na construção do conhecimento. O professor P7 disse:

P7: “encaro de forma natural e que volto a trabalhar em cima dos erros
cometidos.”

Segundo Cury (apud Alciony, 2005, p. 40)

“que boa parte das concepções dos professores sobre a Matemática e
sobre o ensino desta disciplina estavam influenciando sua maneira de
avaliar os erros, e que a conscientização dessas concepções, por parte dos
professores poderia ser um fator de mudança em suas praticas.”

41

Afirmação do professor P7, nos fez acreditar mais ainda que alguns
professores estão realmente preocupados na busca de uma nova metodologia para
construção do conhecimento. Pois ao avaliarmos os erros serve como uma pequena
sinalização do caminho a seguir. E que este fator de mudança na metodologia dos
professores avaliação do erro se faça presente, nas escolas públicas, privadas e nas
instituições educacionais superiores do Brasil.

4.2 Aplicação do Estudo Piloto

A atividade foi aplicada, na 6ª série (C e D) do turno vespertino, onde a
professora foi orientada a deixar que os alunos escolhessem o melhor caminho para
a resolução da atividade.

A atividade continha seis questões referentes a Números Racionais (forma
fracionária e na forma decimal), envolvendo leitura e escrita, resolução de problemas
(parte/todo), comparação, operações (adição, subtração, multiplicação e divisão, de
onde foram retiradas dos livros didáticos citados.

Para analisar tabulamos esta atividade, onde percebemos que algumas
questões foram deixadas sem respostas. O que poderia sinalizar vários motivos
como desinteresse a interpretação. (apêndice B).

A primeira e a segunda questão referiam-se à leitura e escrita de um Número
Racional fracionário.

A primeira questão havia três figuras (a, b e c), na qual o aluno teria que
escrever a fração correspondente à parte pintada para cada figura. O índice de

42

erros foi muito elevado no total de 73%, sendo que 22% acertaram e 5% não
responderam, observamos que os alunos ainda sentem dificuldades na sua
representação, pois se invertiam o numerador pelo denominador na sua
representação.

Já na segunda era composta de dois itens (a e b). Onde o aluno teria que
indicar a frase e traduzi-la para forma fracionária. Obtivemos como resposta corretas
39%, já 46% erraram e 15% não responderam por algum motivo (compreensão,
interesse).

Analisando estas questões percebemos as dificuldades que os alunos têm em
relação à leitura e a escrita na forma fracionária. Para Silva (1997), isto se dá pelo
fato que o conceito de Número Racional é uma das idéias mais complexas. Para
Cury (2007), afirma que é importante esta análise de produção, pois traz a
possibilidade de entender a apropriação dos saberes pelos estudantes.

A terceira questão havia pequeno probleminha também envolvendo número
fracionário, composto por uma figura ao lado, que indicava um marcador de
combustível, perguntava-se: quantos litros há no tanque de combustível? Diante
desta questão, os alunos se mostraram nervosos e agitados na hora de resolver,
tendo 74% de erros, os 26% restante acertaram, sendo que alguns não deixaram os
cálculos. Percebemos neste caso, que os alunos não conseguiram identificar ¼; ½;
¾; como um número fracionário e sim como número inteiro (14; 12; 34), o que faz
crer que os alunos ainda não dominam a simbologia de números fracionários.

Para Pinto (2000), diz que estas dificuldades com os Números Racionais
podem ser apresentadas mais a frente nas séries finais se não forem tratas há
tempo.

Concordamos com Davis e Espósito (1991) quando diz “os erros indicam uma
possibilidade de progresso” e cabe aos professores sinalizarem para este progresso.

43

A quarta questão era composta de dois itens (a e b), envolvia a comparação
de Números Racionais, no item (a) mostrava-se dois números decimais já no item
(b) mostrava-se uma fração comparada a um inteiro. Neste quesito obtivemos um
percentual de acertos de 70% um índice de aproveitamento satisfatório, sendo que
23% erraram e 7% não responderam. Demonstrando que a maioria domina a
comparação de Números Racionais, principalmente na forma decimal.

A quinta questão era composta de quatro itens (a, b, c, d) envolvendo a as
quatro operações com Números Racionais, assim distribuídos:

(a) adição de decimais;
(b) subtração de denominadores iguais;
(c) produto de frações;
(d) quociente de frações.

Estas questões foram aplicadas para comprovar as dificuldades dos alunos
com as operações com Números Racionais, como afirmaram os professores.

Obtivemos como resposta consideradas corretas 38% e 52 % de respostas
consideradas erradas, sendo que 10% se abstiveram de responder. Este resultado
comprovou de forma qualitativa que deveríamos nos abster deste método de
apresentação de atividade em atividades futuras.

Na sexta questão, era composta de dois itens (a e b), no qual se pedia para
escrever na forma decimal a fração de cada item. Tendo como respostas o seguinte
resultado: 28% dos alunos acertaram, sendo que 54% erraram e 18% não
responderam por não entenderem a questão, já que alguns transcreveram isto como
resposta.

Esta ultima questão serviu para afirmar o que diz Pinto (apud Alciony, 2005, p.
40), em relação aos erros conceituais “podem vir a transforma-se em erros

44

Sistemáticos, que serão mais difíceis de serem superados, pois eles ainda estão
presos no conceito de Números Naturais”.

E que é fácil comprovar na fala do aluno3 A1.

A1: “Não dá para dividir 3 por 5”.

4.3 Avaliação do Estudo Piloto.

Juntamente com a professora das turmas, foram feitas as correções da
atividade (estudo piloto). Esta correção serviu para nos dar informações a respeito
da maturidade dos alunos em relação aos Números Racionais, e apontar as
dificuldades que, por conseguinte surgiu na forma de erros.

Observamos que os alunos sentem dificuldades diante dos Números
Racionas, principalmente na forma fracionária. Onde podemos apontar que os
alunos cometeram erros de leitura e escrita, e nas operações com as frações e na
resolução de problemas.

Segundo Piaget (apud Pinto, 2000, p. 39), não interessa o erro, mas a ação
mental: o erro e acertos são detalhes nessa relação mental. Na avaliação de erros
matemáticos, não podemos considerar os alunos como incapazes, mas tornar estes
erros como processo ensino/aprendizagem.

Segundo Pinto (apud Borichello, 2005, p. 3)

“partimos da premissa de que o erro (...) configura-se como uma
oportunidade didática para o professor. Em primeiro lugar, por ser um guia
para um planejamento de ensino mais eficaz, oferecendo indícios
importantes para a identificação dos processos subjacentes à construção
conceitual – condição relevante na organização do ensino. Em segundo
lugar, porque, se observado com mais rigor, poderá oferecer novos
elementos para o professor refletir sobre suas ações didáticas e, com isso,
imprimir novos direcionamentos a suas práticas pedagógicas – o que
certamente incidirá sobre seu desenvolvimento profissional” (Pinto, 2000)

3
Os alunos foram identificados com o código “A” seguidos de algarismos sucessivos.

45

Então embasados no que disse Pinto, os erros cometidos na etapa anterior
serviram de cunho para a elaboração de uma nova atividade (estudo principal), onde
problematizamos os erros de forma que o aluno percebesse o que ele já fizera de
errado no que diz respeito a operações com os Números Racionais.

A professora se mostrou surpresa pela quantidade de erros cometidos,
principalmente na leitura e escrita de frações, quanto às operações, ela tentou
justificar-se que ainda não havia começado a trabalhar o assunto. Sendo que os
PCNs (1987, p.93), esperam que o aluno no segundo ciclo saiba resolver problemas
utilizando Números Naturais e Números Racionais.

Estas dificuldades dos alunos com os Números Racionais e suas operações,
contribuem para que o IDEB do município de Pindobaçu-Ba, esteja abaixo da média
Nacional.

O baixo rendimento dos alunos nesta atividade (estudo piloto) provocou um
descontentamento por parte do professor, no qual passou a tentar evitar a próxima
etapa da pesquisa.

4.4 Estudo Principal

O Estudo Principal foi constituído apenas três questões, baseados na
atividade anterior e em cima dos erros cometidos pelos discentes. Utilizamos apenas
três questões por acharmos que estas questões estariam interligadas ao maior
índice de erros no estudo piloto.

Foi dito aos alunos sobre a importância desta atividade tanto para eles quanto
para a professora poder fazer uma análise de uma nova metodologia na busca para
aprimorar o processo de ensino-aprendizagem. É importante ressaltar que esta

46

atividade foi aplicada num outro horário que não correspondia à aula de Matemática
já que a professora não estaria presente naquele dia.

As duas primeiras questões estavam relacionadas a operações com frações
(adição e subtração, nesta ordem) e na terceira questão usamos a resolução
correta de um aluno na etapa anterior (Estudo Piloto) relativo à terceira questão.
(apêndice C)

Na primeira questão demonstramos como dois alunos fictícios resolveram um
determinado probleminha envolvendo adição de frações com denominadores
diferentes e no final perguntamos: quais das respostas estavam corretas? 25%
deixaram algum tipo de cálculo na atividade. Sendo que no geral 37% dos alunos
responderam corretamente e 63% dos alunos erraram.

Quanto a este desempenho Centeno (apud ALCIONY, 2005,p.42) fala “as
dificuldades, obstáculos e conflitos podem produzir erros. Porém, não devemos
tratar todos da mesma forma, sem buscar as causas de onde procedem”. O
professor deverá passar de mero transmissor de informações e preparar uma
proposta pedagógica, confirmado por Pinto (2000), que diz que “se o professor
compreender o que o aluno erra, poderá planejar um ensino eficaz”.

De modo análogo à primeira, elaboramos outro pequeno probleminha agora
envolvendo a subtração de frações com denominadores iguais, usando também
nomes fictícios para as respostas, onde fora colocado a resolução do de dois alunos
fictícios, sendo que apenas uma estaria correta. Perguntamos quem acertara, e qual
teria sido o erro cometido pelo outro aluno fictício. Obtivemos como resposta
verdadeira 54%, sendo que as demais 46% erraram.

Neste quesito, apesar do índice de erros serem alto ele diminui
consideravelmente, pois percebemos que no item (b) do estudo piloto obteve-se
85% de erros. Isto deixa claro que abordagem de como foi feita melhorou

47

consideravelmente esta compreensão de subtração de frações com mesmo
denominador.

Como havíamos dito antes, utilizamos a terceira questão do estudo piloto com
outra abordagem, onde mostrávamos uma resolução (correta) feita por um dos
alunos (usamos nome fictício) sobre o determinado problema. Perguntamos se eles
aceitariam aquela resposta como verdadeira. Apenas 1% dos alunos se absteve de
responder. Obtivemos os seguintes resultados: 79% dos alunos acertaram e 20%
dos alunos erraram.

Este quesito mostra claramente a oportunidade que o professor deve
aproveitar-se dos erros dos seus alunos como instrumento de formação do
conhecimento. Outro fato que devemos considerar importantíssimo nesta
abordagem metodológica, foi interesse por responder todas as questões propostas,
na qual fez cair substancialmente à porcentagem em abstenções.

Além dos resultados positivos desta metodologia, ainda saboreamos a
felicidade demonstrada através de um sorriso num dado momento do Estudo
Principal, quando o aluno4 A1 comentou:

A1: “Agora já sei por que eu errei!”

4
Os alunos foram identificados com o código “A” seguido de algarismos sucessivos.

48

4.5 COMPARAÇÕES DOS RESULTADOS

Apesar de que esta pesquisa ser de cunho qualitativo, aproveitamos a análise
de dados para mostrar através de um gráfico comparativo do desempenho dos
alunos, mostrando a evolução que obtivemos diante na nova metodologia aplicada.

Partindo-se da categorização dos erros e problematizando-os, damos ao
aluno a oportunidade de observar quais os erros cometidos por ele e por seus
colegas, levando-os a corrigir-los e não mais cometê-los.

Neste gráfico, utilizamos a média de acerto e erros nos dois estudos: estudo
piloto e estudo principal.

Gráfico 1: Mostra a evolução dos alunos diante da nova metodologia.

49

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao término desta pesquisa, observamos que o ensino da Matemática ainda é
um grande desafio para professores de Matemática, sejam eles Graduados ou não.
A julgar pelos resultados obtidos no diálogo com os professores, muitos não tem
interesse de investigação sobre as dificuldades dos alunos diante dos Números
Racionais. Consequente a isto, a prática de ensino desses conteúdos não evolui.

Esta não investigação por parte dos docentes diante do erro pode ser um
reflexo dos cursos de licenciatura em Matemática. Nesse sentido, D’Ambrósio
(2003), observa a necessidade de uma reformulação dos currículos de licenciatura,
onde se constata que a formação de professores de Matemática é um dos grandes
desafios para o futuro.

Observamos que durante o curso de licenciatura em Matemática, fomos
condicionados a lista de exercícios, aula explicativa e expositiva, onde os conteúdos
programáticos são transmitidos de maneira tradicional. Como reflexo o desempenho
do Curso de Matemática, nas avaliações educacionais fica a nível muito abaixo do
esperado. E me perguntamos: por que durante a formação de um futuro professor o
erro não foi tratado como um instrumento que levasse á construção da
aprendizagem? Isto é apenas um reflexo, da rotina que professores de futuros
professores fazem, fazendo com que isto vire uma bola de neve. Para Fürkotter e
Morelatti (2006), os cursos de licenciatura em Matemática têm sido objeto de
pesquisas sobre problemas que devem ser superados no processo de formação.

Foi observado realmente que os alunos possuem dificuldades quando se
deparam com operações envolvendo os Números Racionais, que vão desde sua
representação, leitura e escrita, principalmente na forma fracionária onde os alunos
não dominam este campo conceitual, além disto, têm dificuldades na resolução de
problemas.

50

Ao final deste confronto de métodos pedagógicos e diante dos resultados
obtidos podemos mostrar que é imprescindível que professores deixem de praticar
somente aulas expositivas, e passando buscar novas metodologias.

Esperamos que esta pesquisa sirva de apoio a estudantes e profissionais na
área de educação, na busca de compreender e identificar os erros sejam eles
cometidos em Matemática ou outra disciplina do currículo.

51

BIBLIOGRAFIA

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Matemática. Vol. 3 vols. Brasília: MEC/SEF, 1997.

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operações. São Paulo: Scipione, 2002. (Série Didática - Classes de Magistério).

CORREIA, Carlos Eduardo Félix. (CORREIA, 2005) “Aprender Com Os Erros.”
(Rev. Ped. UNIPINHAL, Esp. Sto. Do Espinhal, SP – vol. 01; n.03, jan/dez (2005).

CURY, Helena Noronha. Análise de erros: o que podemos aprender com as
respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.

D´AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. 10. ed.
Campinas, SP: Papirus, 2003.

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[Livro]. - Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 2001. - 5ª rev. ampliada.

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Abordagem Qualitativa. Dissertação de Mestrado – UFRJ, Rio de Janeiro, 2004.

LIMA, Elon Lages. Matemática e Ensino. São Paulo; 2ª ed, 2002.

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intervenção com alunos de 2ª série do ensino fundamental.” Dissertação de
Mestrado, Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 2007.

52

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PINTO, Neuza Bertoni. O Erro como Estratégia Didática. Campinas, SP: Papirus -
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PIRES, Célia Maria Carolino. Currículos de Matemática: Da Organização Linear À
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TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois. São
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www.somatematica.com.br/numeros. php. (acesso em 25/10/ 2007).

www.matematicahoje.com.br/telas/cultura/historia/educadores (acesso em
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www.sbempaulista.org.br/epem/anais/Comunicacoes (acesso em 21/11/2007).

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http://ideb.inep.gov.br/Site/ (acesso em 25/08/2009).

53

APÊNDICE

APÊNDICE A

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII

QUESTIONÁRIO PARA O PROFESSOR

1º) Quais as séries que você leciona matemática no Ensino Fundamental?

( ) 5ª série ( ) 6ª série ( ) 7ª série ( ) 8ª série

2º)Como esta a aprendizagem dos seus alunos no ensino da matemática?

( ) Bom ( ) Regular ( )Ruim

3º)Você é licenciado em Matemática? (Ou faz o curso de matemática)

( ) Sim ( ) Não

Se não qual seu curso?
_________________________________________________________________________

4º)Qual destes conteúdos você tem mais dificuldade para ensinar? (marque apenas uma)

( ) Decimais ( )Potenciação ( ) Fração ( ) Números Inteiros

5º)Pela sua experiência como docente você percebe que seus alunos associam o estudo
das frações ou os números decimais na vida cotidiana de cada um deles? Por quê?

__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________

6º)Qual a maior dificuldade que você encontra para o ensino dos números racionais?

__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________

7º)Descreva a metodologia utilizada em suas aulas?

__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________

8º)Quanto aos erros. Você identifica os principais erros que os alunos cometem com os
Números Racionais?

__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________

9º)Como você encara o erro dos alunos?

__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________

54

APÊNDICE B


ESTUDO PILOTO

1º) Cada uma das figuras foi dividida em partes iguais. Escreva a fração que
corresponde à parte colorida:

2º)Em cada frase, há uma quantidade que pode ser indicada em forma de fração.
Escreva essa fração com algarismos

a) Dois terços do terreno são de área verde. b) O encanador pediu um cano
de meia polegada.

3º) No tanque de gasolina de um carro cabem 64 litros de
combustível. Veja a indicação no marcador e calcule
quantos litros há no tanque.

4º) Usando os símbolos > ou <, compare os pares de
números racionais:

a) 2,372 _____ 2,273 b)

5º)Efetue as operações com os números racionais.

a) 7,252 + 12,624 b)

c) X d)

6º)Escreva na forma decimal os seguintes frações.

a) b)

APÊNDICE C

55


ESTUDO PRINCIPAL

1°) A professora pediu aos alunos que resolvessem o seguinte problema:

Rui comeu do bolo e Mara comeu deste mesmo bolo. Que fração do
bolo eles comeram?

Alan respondeu assim:

Douglas respondeu desta maneira:

Para você qual destas respostas está correta? E mostre como você faria.

2°) O professor Deda, tirou do seu salário para pagar a prestação do seu carro,
depois teve que pagar ao médico que o examinou, sendo necessário retirar mais
do seu salário. Qual a fração que resta do salário do professor Deda?

Joana respondeu assim: , restou do salário.

Marina respondeu assim: , restou do salário.

Qual deles respondeu corretamente?E diga onde foi o erro feito por um dos alunos.

3°) No tanque de gasolina de um carro cabem 64 litros de combustível. Veja a
indicação no marcador e calcule quantos litros há no tanque.

José resolveu desta maneira:

, então 3 x 16 = 48

No tanque tem 48 litros de combustível.

Você como professor aceitaria esta resposta? Como você resolveria esta questão?

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