I. O documento descreve as bases educacionais do Exame Nacional para Certificação de Competências de Jovens e Adultos (ENCCEJA), incluindo: 1) A ampliação da escolaridade no Brasil segundo dados do Censo 2000 contudo, cerca de 1/3 da população ainda não completou o ensino fundamental. 2) Projetos do governo federal para oferecer educação a jovens e adultos que não completaram os estudos, como o Projeto Alvorada e o Programa Recomeço. 3) A importância de reconhecer os

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ENCCEJA Livro do Professor / Ensino Fundamental e Médio Matemática / Matemática e suas Tecnologias
1
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2. República Federativa do Brasil
Luiz Inácio Lula da Silva
Ministério da Educação – MEC
Cristovam Buarque
Secretaria Executiva do MEC
Rubem Fonseca Filho
Instituto Nacional de Estudos e
Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP
Otaviano Augusto Marcondes Helene
Diretoria de Avaliação para Certificação de Competências
Dirce Gomes
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3. Matemática
Matemática e suas Tecnologias
Livro do Professor
Ensino Fundamental e Médio
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5. Matemática
Matemática e suas Tecnologias
Livro do Professor
Ensino Fundamental e Médio
Brasília
MEC/INEP
2003
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6. © O MEC/INEP cede os direitos de reprodução deste material às Secretarias de Educação, que poderão reproduzi-lo respeitando a
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Equipe Técnica
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Alessandra Regina Ferreira Abadio
M425 Matemática : matemática e suas tecnologias : livro do professor : ensino
fundamental e médio / Coordenação Zuleika de Felice Murrie . - Brasília :
MEC : INEP, 2002.
150p. ; 28cm.
ISBN 85-296-0033-9.
1. Matemática (Ensino fundamental). I. Murrie, Zuleika de Felice.
CDD 372.73
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7. SUMÁRIO
I. AS BASES EDUCACIONAIS DO ENCCEJA .................................................................... 9
A. A PROPOSTA DO ENCCEJA PARA CERTIFICAÇÃO
DO ENSINO FUNDAMENTAL ....................................................................................... 14
B. A PROPOSTA DO ENCCEJA PARA CERTIFICAÇÃO
DO ENSINO MÉDIO ....................................................................................................... 18
II. EIXOS CONCEITUAIS QUE ESTRUTURAM O ENCCEJA ................................... 23
A. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ..................................................................................... 24
B. AS ORIGENS DO TERMO COMPETÊNCIA .................................................................. 27
C. AS COMPETÊNCIAS DO ENEM NA PERSPECTIVA DAS
AÇÕES OU OPERAÇÕES DO SUJEITO ......................................................................... 31
III. AS ÁREAS DO CONHECIMENTO CONTEMPLADAS NO ENCCEJA .............. 39
MATEMÁTICA - Ensino Fundamental ........................................................................ 39
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Ensino Médio ......................................... 51
IV. AS MATRIZES QUE ESTRUTURAM AS AVALIAÇÕES ................................... 63
MATEMÁTICA - Ensino Fundamental ........................................................................ 64
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Ensino Médio ......................................... 70
V. ORIENTAÇÃO PARA O TRABALHO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA - Ensino Fundamental ............................................................................. 76
MATEMÁTICA - Ensino Médio ................................................................................... 117
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11. I. As bases educacionais do ENCCEJA
Os brasileiros têm ampliado sua envolveram, de alguma forma, em
escolaridade. É o que demonstra o Censo práticas sociais da língua. É desse modo
2000, em recente divulgação feita pelo que se pode entender que o analfabeto
Instituto Brasileiro de Geografia e possui um certo conhecimento das
Estatística (IBGE). O principal fato a linguagens, ao assistir a um telejornal
comemorar é a ampla freqüência às (que usa, em geral, a linguagem escrita,
escolas do nível fundamental que, no oralizada pelos locutores), ao ditar uma
ano 2000, acolhiam 94,9% das crianças carta, ao apoiar-se numa lista mental de
entre 7 e 14 anos. Pode-se afirmar, produtos a serem comprados ou ao
portanto, que o Ensino Fundamental, no reconhecer placas e outros sinais urbanos.
Brasil, é quase universal para a faixa Evidencia-se, assim, a importância de
etária prevista e correspondente. Além reconhecer, como ponto de partida, que o
disso, comparando-se dados de 1991 e estilo de vida nas sociedades urbanas
2000, há crescimento na freqüência modernas não permite grau zero de
escolar em todos os grupos de idade. letramento.
Persiste, entretanto, um contingente Há uma possibilidade de “leitura do
populacional jovem e adulto que carece da mundo” em todas as pessoas, até para
formação fundamental. Segundo o referido aquelas sem nenhuma escolarização.
Censo, 31,2% da população brasileira com O Censo Escolar realizado pelo Inep
mais de 10 anos de idade tem apenas até 3 indica um total de 3.410.830 matrículas
anos de estudo; logo, cerca de um terço em cursos de Educação de Jovens e
dos brasileiros (mais de 50 milhões de Adultos (EJA), em 1999. Desse total,
pessoas) não concluiu nem a primeira mais ou menos 1.430.000 freqüentam
parte do Ensino Fundamental. Esses cursos correspondentes ao segundo
cidadãos que não tiveram possibilidades segmento do ensino fundamental, de 5ª a
de completar seu processo regular de 8ª série. Nesses cursos, encontra-se um
escolarização, em sua maioria, já são público variado e heterogêneo, uma
adultos, inseridos ou não no mundo do importante característica da EJA. Entre
trabalho, e têm constituído diferentes eles, há uma parcela dos jovens de 15 a
saberes, por esforço próprio, em resposta 17 anos de idade freqüentando a escola
às necessidades da vida. Nesse sentido, e que, segundo o IBGE, representa quase
assinala-se, nos termos da Lei, o direito a 79% da população dessa faixa. Os demais
cursos com identidade pedagógica própria 21%, por diversos motivos, mas
àqueles que não puderam completar a principalmente por pressões ou
alfabetização, mas que, ao pertencerem a contingências socioeconômicas,
um mundo impregnado de escrita, se deixaram precocemente o ambiente
escolar.
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12. Livro do Professor
Sendo dever dos poderes públicos e da físicas interessadas em colaborar.
sociedade em geral oferecer condições Os objetivos desses programas ou
para a retomada dos estudos em salas projetos são oferecer vagas e subsidiar
de aula, destinadas especificamente a professores que trabalham com os
jovens e adultos, diversos projetos têm cidadãos que não puderam iniciar ou
sido desenvolvidos no âmbito do concluir seus estudos em idade própria
governo federal. Para atender os ou não tiveram acesso à escola. Em
municípios do Norte e Nordeste com conjunto com diversas outras iniciativas
1
baixo IDH , o Ministério da Educação de organizações não governamentais
2
(MEC) é parceiro no Projeto Alvorada , (ONGs), universidades ou outras formas
organizando o repasse de verbas a de associação civil respondem ao enorme
Estados e Municípios. Em apoio ao desafio de minimizar os efeitos da
projeto, a Coordenadoria de Educação exclusão do Ensino Fundamental,
de Jovens e Adultos (COEJA), da fenômeno histórico em nosso país que
Secretaria do Ensino Fundamental (SEF– hoje está sendo superado na faixa etária
MEC), tendo como parceira a Ação correspondente. Contudo, mais do que
Educativa, organização não em razão do número de alunos em salas
governamental de reconhecida de aula (ainda pequeno, considerando-se
experiência no campo de formação de o enorme contingente de jovens e
jovens e adultos, apresentou Proposta adultos não-escolarizados), tais ações do
Curricular para Educação de Jovens e governo e da sociedade civil têm
Adultos, 1º Segmento, que visa ao oferecido educação aos cidadãos mais
programa Recomeço – Supletivo de afastados da cultura letrada, por viverem
Qualidade. Além disso, em resposta às em lugares quase isolados do nosso país-
demandas dos sistemas públicos continente ou por estarem desenraizados
(estaduais e municipais) que aderiram de sua cultura de origem, habitando as
aos Parâmetros Curriculares Nacionais periferias das grandes cidades.
(PCN) em ação, a mesma COEJA
Já nos primeiros artigos da Lei de
promoveu a formulação e vem
Diretrizes e Bases da Educação Nacional
divulgando uma Proposta Curricular
(LDB), de 1996, valorizam-se a
para a EJA de 5ª a 8ª série,
experiência extra-escolar e o vínculo
fundamentada nos Parâmetros
entre a educação escolar, o mundo do
Curriculares Nacionais desse segmento.
trabalho e a prática social.
O Programa Alfabetização Solidária, por
sua vez, foi lançado em 1997 e relata a Esse fato sinaliza o rumo que a
alfabetização de 2,4 milhões de jovens educação brasileira já vem tomando e
em 2001. Em 2002, encontra-se em marca posição quanto ao valor do
2.010 municípios. Caracteriza-se por ser conhecimento escolar, voltado para o
um trabalho de ação conjunta entre pleno desenvolvimento do educando,
diferentes parceiros, coordenados por seu preparo para o exercício da
organização não governamental, e que cidadania, e sua qualificação para o
inclui universidades, estados, trabalho (Artigo 2). Essas orientações
municípios, empresas e até pessoas são reiteradas em muitas outras partes
da mesma Lei, como nas diretrizes para
1 Índice de Desenvolvimento Humano, indicador estabelecido pelo Programa de Desenvolvimento Humano da
UNESCO, que considera a esperança de vida ao nascer, o nível educacional e o PIB per capita.
2 Programa do governo federal de gerenciamento intensivo de ações e programas federais de infra-estrutura
10 social, de combate à exclusão social e à pobreza e de redução das desigualdades regionais pela melhoria das
condições de vida nas áreas mais carentes do Brasil.
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13. I. As bases educacionais do ENCCEJA
os conteúdos curriculares da educação propósitos e conceitos centrais: a
básica, anunciadas no seu Artigo 27, difusão dos valores de justiça social e
destacando-se a primeira delas, que dos pressupostos da democracia, o
preconiza a difusão de valores respeito à pluralidade, o crédito à
fundamentais ao interesse social, aos capacidade de cada cidadão de ler e
direitos e deveres dos cidadãos, de interpretar a realidade, conforme sua
respeito ao bem comum e à ordem própria experiência.
democrática. Respondem por um paradigma, com
Ainda outros documentos do Ministério lastro nos legados de Jean Piaget e
da Educação, como os Parâmetros Paulo Freire, verificando-se, com eles,
Curriculares Nacionais, para os níveis que é necessário disseminar as
Fundamental e Médio, a Proposta pedagogias que buscam promover o
Curricular da EJA (5ª a 8ª série) e a desenvolvimento da inteligência e a
Matriz de Competências e Habilidades consciência crítica de todos os
do Exame Nacional do Ensino Médio envolvidos no processo educativo,
(ENEM), abordam o currículo escolar, tendo, na interação social e no diálogo
integrado por competências e autêntico, o mais importante
habilidades dos estudantes, ou norteado instrumento de construção do
por objetivos de ensino/aprendizagem, conhecimento. Um paradigma com
em que os conteúdos escolares são denominações variadas, pois usufrui de
plurais e só têm sentido e significado se diferentes vertentes teóricas, mas com
mobilizados pelo sujeito do algo em comum: a crítica à tradição do
conhecimento: o estudante. Pode-se currículo enciclopédico, centrado em
reconhecer, no conjunto desses conhecimentos sem vínculo com a
documentos e em cada um deles, experiência de vida da comunidade
esforços coletivos por um melhor e escolar e na crença de que a aquisição
maior comprometimento da do conhecimento dispensa o exercício
comunidade escolar brasileira com um da crítica e da criação por parte de
novo paradigma pedagógico. Um quem aprende. Mas é essa tendência
paradigma multifacetado, como que ainda orienta a maioria dos
costuma acontecer com as tendências currículos praticados e,
sociais em construção, diverso em suas conseqüentemente, os exames de
nomenclaturas e que se vale de acesso a um nível escolar ou para
numerosas pesquisas, em diferentes certificação.
campos científicos, muitas ainda em Os exames de certificação para os
fase de produção e consolidação. jovens e adultos não constituem
Esse rico cenário acadêmico precisa exceção, uma vez que, na sua maioria,
ainda ser mais eficazmente disseminado submetem os alunos a provas massivas,
no ambiente complexo e plural da sem o correspondente cuidado com a
educação brasileira. Mesmo assim, o qualidade do ensino e o respeito com o
conjunto dos documentos que educando, como se encontra assinalado
estruturam e orientam a Educação nas Diretrizes Curriculares Nacionais da
Básica no Brasil é coeso em seus Educação de Jovens e Adultos
11
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14. Livro do Professor
(DCNEJA). Por outro lado, recomenda- Embora que não seja possível, em âmbito
se que o estudante da EJA, com a nacional, prever a enorme gama de
maturidade correspondente, deva conhecimentos específicos estruturados
encontrar, nos cursos e nos exames em meio à vivência de situações
dessa modalidade, oportunidades para cotidianas, procurou-se levar em
reconhecer e validar conhecimentos e consideração que o processo de
competências que já possui. A mesma estruturação das vivências possibilita
Diretriz prevê a importância da aquisições lógicas de pensamento que são
avaliação na universalização da universais para os jovens e adultos e que
qualidade de ensino e certificação de se, de um lado, devem ser tomadas como
aprendizagem, ao apontar que os ponto de partida nas diversas
exames da EJA devem primar pela modalidades de ofertas de ensino para
qualidade, pelo rigor e pela adequação. essa população, de outro, devem
A proposta do Exame Nacional de participar do processo de avaliação para
Certificação de Competências de Jovens certificação.
e Adultos (ENCCEJA) busca satisfazer Desse modo, objetivou-se superar a
esses fundamentos político-pedagógicos, concepção de estruturação de provas
expressos de forma mais abrangente na fundamentadas no ensino enciclopedista,
Lei maior da educação brasileira, e, de centradas em conteúdos fragmentados e
modo mais detalhado ou com ênfases descontextualizados, quase sempre
especiais, nas Diretrizes, Parâmetros e associados ao privilégio da memória sobre
outros referenciais que a contemplam, o estabelecimento de relações entre
inclusive, o Documento Base do Exame idéias. Ainda que se reconheça o
Nacional do Ensino Médio (ENEM). inequívoco papel da memória para o
Com base na experiência dos conhecimento de fenômenos, das etapas
especialistas e nesses documentos, dos processos, ou mesmo, de teorias, é
buscou-se identificar conteúdos e preciso considerar, nas referências de
métodos para a construção de um provas, bem como na oferta de ensino, as
quadro de referências atualizado e múltiplas capacidades de operar com
adequado ao Encceja. Um dos informações dadas. Ou seja, está-se
resultados do processo são as Matrizes valorizando a autonomia do estudante em
de Competências e Habilidades, em ler informações e estabelecer relações a
nível de Ensino Fundamental e em nível partir de certos contextos e situações. E,
de Ensino Médio. assim, o exame sinaliza e valoriza um
cidadão mais apto a viver num mundo em
As Matrizes de Competências e
constantes transformações, onde é
Habilidades constituem referencial de
importante possuir estratégias pessoais e
exames mais significativos para o
coletivas para a solução de problemas,
participante jovem ou adulto, mais
fundamentadas em conhecimentos
adequados às suas possibilidades de ler
básicos de todas as disciplinas ou áreas da
e de interagir com os problemas
educação básica.
cotidianos, com o apoio do
conhecimento escolar.
12
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15. I. As bases educacionais do ENCCEJA
O processo de elaboração das Matrizes cognitivo das competências do sujeito
de Competências e Habilidades do do conhecimento e permitiram a
ENCCEJA, Fundamental e Médio, teve definição de habilidades específicas, que
como meta principal garantir uma estabelecem as ações ou operações que
proposta de continuidade e coerência descrevem desempenhos a serem
entre o que se estabeleceria para os avaliados nas provas. Nessa concepção,
exames em nível de Ensino Médio ou as referências de cada área descrevem as
Fundamental. Dessas etapas resultaram interações mais abrangentes ou
a definição das quatro áreas dos exames complexas (nas competências) e as mais
e um conjunto de proposições para cada específicas (nas habilidades) entre as
uma delas, que foram também ações dos participantes, que são os
reconsideradas à luz das Diretrizes sujeitos do conhecimento, com os
Curriculares Nacionais da EJA conteúdos disciplinares, selecionados e
(DCNEJA), das políticas educacionais organizados a partir dos referenciais
vigentes em âmbito federal e nas adotados.
propostas estaduais, a fim de organizar Para a elaboração das competências do
os quadros de referência dos exames. Ensino Médio, foram consideradas as
As Matrizes de referência para a prova de competências por área, definida pelas
cada área ou disciplina foram organizadas Diretrizes do Ensino Médio. Constituiu-
em torno de nove competências amplas, se um importante desafio à elaboração
por sua vez desdobradas em habilidades das matrizes do ENCCEJA para o Ensino
mais específicas, resultantes da Fundamental, especificamente no que
associação desses conteúdos gerais às diz respeito à definição das
cinco competências do ENEM. As competências gerais das áreas. Isso
competências já definidas para o ENEM porque, para o Ensino Fundamental, os
correspondem aos eixos cognitivos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN)
básicos, a ações e operações mentais que e as Diretrizes Curriculares Nacionais
todos os jovens e adultos devem trazem outra abordagem, não tendo
desenvolver como recursos mínimos que incorporado a discussão mais recente,
os habilitam a enfrentar melhor o mundo que visa à determinação de
que os cerca, com todas as suas competências e habilidades de
responsabilidades e desafios. aprendizagem como produto da
Nas Matrizes do ENCCEJA, os conteúdos escolarização, ainda que preservem e
tradicionais das ciências, da arte e da ampliem consideravelmente outros
filosofia são denominados competências elementos didático-pedagógicos do
de área, à semelhança dos conceitos já mesmo paradigma.
consagrados na reforma do ensino Os documentos legais permitiram
médio, porque já demonstram aglutinar construir matrizes semelhantes para o
articulações de sentido e significação, ENCCEJA - Ensino Fundamental, apesar
superando o mero elenco de conceitos e de oferecerem contribuições distintas
teorias. Essas competências, em cada para a configuração das competências e
área, foram submetidas ao tratamento habilidades a serem avaliadas.
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16. Livro do Professor
A. A PROPOSTA DO ENCCEJA pertence um número maior de
PARA A CERTIFICAÇÃO DO brasileiros. Esses jovens e adultos, já
ENSINO FUNDAMENTAL trabalhadores com experiência
profissional, leitores, participantes de
Considerando-se a população que não vias informais da educação, com
completou seus estudos do nível expectativa de melhor posicionamento
fundamental, é possível aventar a no mercado de trabalho e/ou da
existência de significativo número de retomada dos estudos em nível médio,
pessoas desejosas de recuperar o precisam ter reconhecidos e validados
reconhecimento social da condição os seus conhecimentos. Para eles, foi
letrada, obtendo certificação de elaborado o Encceja, correspondente ao
conhecimentos por meio de Exame nível fundamental.
Supletivo do Ensino Fundamental. Tendo a LDB diminuído a idade mínima
Essas pessoas, tendo-se afastado da para a certificação por meio de exames
escola há bastante tempo ou mesmo supletivos, instalou-se uma questão
tendo retomado estudos parciais de contraditória na educação nacional, pois
forma esporádica, continuaram é supostamente desejável a
aprendendo pela prática de leitura e permanência dos jovens de 15 anos na
análise de textos escritos, de cálculos e escola, a fim de desenvolver suas
outros estudos em situações específicas capacidades e compartilhar
de seu interesse. Participam de meios conhecimentos, com o apoio e a
informais, eventuais, ou mesmo, mediação da comunidade escolar.
incidentais de educação com diferentes Entretanto, alguns precisaram
propósitos. Por exemplo, em cursos interromper os estudos por motivos
oferecidos por empresas para capacitação contingenciais e financeiros, por
de pessoal, em grupos de estudo mudança de domicílio ou para ajudar a
comunitários, ou mesmo através de família, entre outros motivos. Além
programas educativos na TV, no rádio disso, como já apontado nas Diretrizes
ou outras mídias. Assim, são capazes de Curriculares Nacionais para Educação de
leitura autônoma para efeito de lazer, Jovens e Adultos (DCNEJA), há aqueles
demandas do exercício da cidadania ou que, mesmo tendo condições
do trabalho. Desse modo, lêem revistas financeiras, não lograram êxito nos
esportivas e folhetos de instrução estudos, por razões de caráter
técnica, programas de candidatos a sociocultural. Para esses jovens, a
cargos eletivos e publicações vendidas certificação do Ensino Fundamental por
em banca de jornal que dão instruções meio do ENCCEJA significa a
para a realização de muitas atividades. possibilidade de retomar os estudos no
Além disso, calculam para fins de mesmo nível que seus coetâneos, não
compra e venda, analisam situações de sofrendo outras penalidades além
qualidade de vida (ou sua carência). daquelas já impostas por suas condições
de vida até então.
Logo, já são leitores do mundo,
superaram um estágio de decifração de As Diretrizes do Ensino Fundamental
códigos da língua materna, ao qual contribuem diretamente para a seleção de
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17. I. As bases educacionais do ENCCEJA
conteúdos a serem avaliados pelo linguagens. Ressalte-se que esses
ENCCEJA de, pelo menos, duas maneiras. aspectos guardam evidente proximidade
Primeiramente, ao esclarecer a natureza com os Temas Transversais,
dos conteúdos mínimos referentes às desenvolvidos no PCN do Ensino
noções e conceitos essenciais sobre Fundamental: Ética, Meio Ambiente,
fenômenos, processos, sistemas e Saúde, Orientação Sexual, Trabalho e
operações que contribuem para a Consumo, e Pluralidade Cultural.
constituição de saberes, conhecimentos, Com os mesmos propósitos, estudaram-se
valores e práticas sociais indispensáveis também os textos da V Conferência
ao exercício de uma vida de cidadania Internacional sobre Educação de
plena, e, depois, ao recomendar: ao Adultos, com uma orientação temática
utilizar os conteúdos mínimos, já de mesma natureza que os PCN e DCN
divulgados inicialmente pelos Parâmetros do Ensino Fundamental. Isso pode ser
Curriculares Nacionais, a serem ensinados exemplificado pela menção especial dos
em cada área de conhecimento, é temas I, IV e VI.
indispensável considerar, para cada I- Educação de adultos e democracia: o
segmento (Educação Infantil, 1ª a 4ª e 5ª a desafio do século XXI. Alguns
8ª séries), ou ciclo, que aspectos serão compromissos desse tema: desenvolver
contemplados na intercessão entre as participação comunitária, favorecendo
áreas e aspectos relevantes da cidadania, cidadania ativa; sensibilizar com relação
tomando-se em conta a identidade da aos preconceitos e à discriminação no
escola e de seus alunos, professores e seio da sociedade; promover uma cultura
outros profissionais que aí trabalham. da paz, o diálogo intercultural e os
Decorre que também a EJA do direitos humanos;
Fundamental deve considerar os aspectos
IV- A educação de adultos, igualdade e
próprios da identidade do jovem e adulto
eqüidade nas relações entre homem e
que retoma a escolarização, tanto para
mulher e a maior autonomia da
efeito de cursos, como para exames. Por
mulher. Esse tema tem como um dos
outro lado, corrobora a referência aos
compromissos promover a capacitação
conteúdos (conceitos, procedimentos,
e autonomia das mulheres e a igualdade
valores e atitudes) debatidos nos PCN de
dos gêneros pela educação de adultos,
5ª a 8ª série (subsidiários à Proposta
entre outros.
Curricular da EJA), na escolha dos
conteúdos do Encceja do Ensino VI- A educação de adultos em relação
Fundamental. ao meio ambiente, à saúde e à
população. Esse tema tem como
A segunda linha de contribuições reside
compromissos promover a capacidade e
no levantamento do rol de aspectos da
a participação da sociedade civil em
vida cidadã que devem estar articulados
responder e buscar soluções para os
à base nacional comum, quais sejam: a
problemas de meio ambiente e de
saúde, a sexualidade, a vida familiar e
desenvolvimento, estimular o
social, o meio ambiente, o trabalho, a
aprendizado dos adultos em matéria de
ciência e a tecnologia, a cultura e as
população e de vida familiar, reconhecer
15
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18. Livro do Professor
o papel decisivo da educação sanitária na comparação entre idéias expressas por
preservação e melhoria da saúde pública escrito, considerando valores e direitos
e individual, assegurar a oferta de humanos. Tais ações ou operações do
programas de educação adaptados à participante estão representadas na matriz
cultura local e às necessidades do Encceja, nas diferentes habilidades.
específicas, no que se refere à atividade Não se deve supor, contudo, que uma
sexual. prova organizada a partir de habilidades
Todas essas recomendações foram (articulações entre operações lógicas com
consideradas para a seleção de valores e conteúdos relevantes) negligencie as
conceitos integrados às competências e exigências básicas de conteúdos mínimos
habilidades organizadoras do Encceja do e a capacidade de ler e escrever.
Ensino Fundamental. Já para a definição Para o participante da prova, é
do escopo e redação das competências imprescindível a prática autônoma da
das áreas e disciplinas, consideraram-se leitura, que possibilita a percepção de
especialmente os objetivos gerais para possíveis significados e a construção de
ensino e aprendizagem delineados na opiniões e conhecimentos ao ler um texto,
Proposta Curricular da EJA (5ª a 8ª série) um esquema ou outro tipo de figura.
de Matemática, Língua Portuguesa,
Espera-se, de fato, que o jovem e o
Ciências Naturais, História e Geografia,
adulto, ao certificarem-se com a
e os objetivos gerais de todo o Ensino
escolaridade fundamental pelo Encceja,
Fundamental dos PCN e dos Temas
já estejam lendo autonomamente, com
Transversais.
certa fluência, a partir de sua experiência
Assim, foram constituídas as referências com textos diversos, em situações em
para as provas de: que faça sentido ler e escrever. Cabe a
1- Língua Portuguesa, Artes, Língua eles construir os sentidos de um texto,
Estrangeira e Educação Física, sendo as ao colocar em diálogo seus próprios
três últimas áreas de conhecimento conhecimentos de mundo e de língua,
consideradas sob a ótica da constituição como usuários dela, e as pistas do texto,
das linguagens e códigos, não como oferecidas pelo gênero, pela situação de
conteúdos conceituais isolados para comunicação e pelas escolhas do autor:
avaliação;
Nessa perspectiva, entende-se que ler não é
2- Matemática;
extrair informação, decodificando letra por
3- História e Geografia;
letra, palavra por palavra. Trata-se de uma
4- Ciências Naturais. atividade que implica estratégias de seleção,
A Matriz para o Encceja concorre para a antecipação, inferência e verificação, sem as
promoção de provas que dêem quais não é possível proficiência. É o uso desses
oportunidade para jovens e adultos procedimentos que possibilita controlar o que
aproveitarem o que aprenderam na vida vai sendo lido, permitindo tomar decisões
prática, trabalhando com aspectos básicos diante de dificuldades de compreensão,
da vida cidadã, como a tomada de avançar na busca de esclarecimentos, validar
decisões e a identificação e resolução de no texto suposições feitas.
problemas, a descrição de propostas e a (Brasil, c2000, v. 2, p. 69, 7º parágrafo)
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19. I. As bases educacionais do ENCCEJA
Devem-se considerar, entretanto, problematizando-os para que, por meio
diferentes níveis de proficiência na da reflexão própria, ele reconheça o que
leitura dos códigos e linguagens que já sabe e estabeleça conexões com o
constituem as informações da realidade. conhecimento novo apresentado. Assim,
A meio termo da formação básica, na para enfrentar situações-problema, são
conclusão do Ensino Fundamental, os mobilizados elementos lógicos
textos lidos ou formulados pelo pertinentes ao raciocínio científico e
estudante da EJA já evidenciam uma também ao cotidiano, podendo explorar
visão de mundo um tanto complexa, interações entre fatos e/ou idéias, para
ainda que expressa em discurso mais entre eles estabelecer relações causais,
sintético, mais direto, com muitos espaço-temporais, de forma e função, ou
nomes do cotidiano preservados e seqüenciando grandezas.
elementos do senso comum, se Não se pode perder de vista, tampouco, o
comparados com produções do exercício simplificado da metacognição
estudante em nível de Ensino Médio. por parte daqueles que pouco
É a partir dessas concepções de leitura freqüentaram a escola. Não é de se esperar
que as provas são elaboradas, como que possam raciocinar com desenvoltura
possibilidades de abordagem pedagógica sobre a estrutura do conhecimento em si,
das competências e habilidades do uma qualidade intelectual daqueles que
Encceja na avaliação para certificação. freqüentaram a escola (Oliveira, 1999).
Para tanto, os textos oferecidos em Respeitar essa característica representa
questões de prova são rigorosos do ponto uma exigência para a formulação de uma
de vista conceitual, ao observarem os prova em que se reconhecem as
marcos teóricos de referência em cada possibilidades intelectuais dos cidadãos
área de conhecimento. Contudo, procura- que não tiveram oportunidade de exercitar
se delimitar cuidadosamente a diversidade a compreensão dos objetos de
do vocabulário utilizado, além da conhecimento descontextualizada de suas
magnitude da rede conceitual empregada ligações com a vida imediata.
e das operações lógicas exigidas. Isso Portanto, sem perder de vista a
pluralidade das realidades brasileiras e a
porque o participante precisa de situações
diversidade daqueles que buscam a
adequadas para estabelecer relações mais
certificação nesse nível de ensino,
abrangentes e mais próximas das teorias
propõe-se uma prova que apresenta uma
científicas. Não se pode perder de vista
temática atualizada, em nível pertinente
que, em nível fundamental, ele necessita
aos jovens e adultos que, para realizá-la,
de orientação clara e concisa, além de um
se inscrevem. Deve representar um
tempo maior para a observação das
desafio consistente, mas possível,
representações de fenômenos, para as
exeqüível e motivador, para que os
comparações, as análises, a produção de
participantes exercitem suas
sínteses ou outros procedimentos. potencialidades lógicas e sua capacidade
Com esses cuidados, é desejável propor crítica em questões de cidadania,
aos jovens e adultos uma variedade de reconhecendo e formulando valores
questões, envolvendo temas das áreas de essenciais à cultura brasileira, ao convívio
conhecimento, sempre explicitando democrático e ao desenvolvimento
conceitos mais complexos e pessoal.
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20. Livro do Professor
B. A PROPOSTA DO ENCCEJA Desse modo, a função reparadora da EJA,
PARA CERTIFICAÇÃO no limite, significa não só a entrada no
circuito dos direitos civis pela restauração
DO ENSINO MÉDIO
de um direito negado: o direito a uma
Pode-se afirmar que são múltiplos e escola de qualidade, mas também o
diversos os fatores que estimulam a reconhecimento daquela igualdade
busca de certificação do ensino médio na ontológica de todo e qualquer ser humano.
Educação de Jovens e Adultos. Desta negação, evidente na história
brasileira, resulta uma perda: o acesso a
Dentre eles, destaca-se a exigência do
um bem real, social e simbolicamente
mundo do trabalho, pois, atualmente, a
importante. Logo, não se deve confundir a
necessidade da certificação no ensino
noção de reparação com a de suprimento.
médio se faz presente em diferentes
atividades e setores profissionais.
Ressaltam-se, também, os fatores É muito provável que, com as elevadas
pessoais da busca do cidadão pela taxas de repetência e evasão nas últimas
certificação: a vontade de continuar os décadas do século XX, muitos alunos
estudos e a vontade política de obter o que não tiveram sucesso no sistema
direito da cidadania plena. Esses educacional regular optem por essa
aspectos são mais significativos do modalidade de ensino. Soma-se a esse
ponto de vista daqueles que discutem a fato o difícil acesso à escola básica por
Educação de Jovens e Adultos para motivos socioeconômicos diversos.
certificação no ensino médio. Ela é Segundo o IBGE, em 1999, havia cerca
direcionada para jovens e adultos com de 13,3% de analfabetos acima de 15
mais de dezenove anos que, por motivos anos. Em 2000, a distorção idade/série,
diversos, não puderam freqüentar a no ensino médio, de acordo com dados
escola no seu tempo regular. do MEC/INEP, é da ordem de 50,4%. No
Tal fato é previsto na LDB 9.394/96 mesmo ano, os dados registram,
quando considera o ensino médio como aproximadamente, 3 milhões de alunos
etapa final da educação básica e a EJA matriculados em cursos da EJA. A oferta
como uma das modalidades de da Educação de Jovens e Adultos para o
escolarização. O direito político ensino médio (EM) está principalmente
subjetivo do cidadão de completar essa a cargo dos sistemas estaduais, em
etapa e, por sua vez, o dever de oferta parceria, muitas vezes, com redes
educacional pública que permita superar privadas.
as diferenças e aponte para uma Nesse sentido, as Secretarias de
eqüidade possível são princípios que Educação têm-se mobilizado para criar
não podem ser relegados, como afirma uma rede de atendimento e uma
o Parecer da Câmara de Educação proposta de escola média coerente com
Básica do Conselho Nacional de as necessidades previstas para essa
Educação - Parecer CNE/CEB 11/2000, população, diversificando o
Diretrizes Curriculares Nacionais para a atendimento no País.
Educação de Jovens e Adultos: Deve ser também ressaltada a
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21. I. As bases educacionais do ENCCEJA
importância da avaliação e certificação Por sua vez, o Art. 4º da Resolução
nessa modalidade de ensino. De acordo CNE/CEB 1/2000 diz que as Diretrizes
com o Art. 10 da Resolução CNE/CEB 1/ Curriculares Nacionais (DCN),
2000, que estabelece as diretrizes estabelecidas na Resolução CNE/CEB 3/98
curriculares nacionais para a Educação e vigentes a partir da sua publicação, se
de Jovens e Adultos: no caso de cursos estendem para a modalidade da
semi-presenciais e a distância, os alunos Educação de Jovens e Adultos no
só poderão ser avaliados, para fins de ensino médio, sua organização e
certificados de conclusão, em exames processos de avaliação.
supletivos presenciais oferecidos por A direção curricular proposta pelas
instituições especificamente autorizadas, DCN-EM destaca o desenvolvimento de
credenciadas e avaliadas pelo poder competências e habilidades distribuídas
público, dentro das competências dos em áreas de conhecimento: Linguagens,
respectivos sistemas... Códigos e suas Tecnologias, Ciências
O Exame Nacional de Certificação de Humanas e suas Tecnologias, Ciências da
Competências de Jovens e Adultos do Natureza e Matemática e suas
Ensino Médio (ENCCEJA/EM) está Tecnologias. O caráter interdisciplinar
articulado tanto para atender a essa das áreas está relacionado ao contexto
prerrogativa quanto para responder à de vida social e de ação solidária,
demanda, em sintonia com a lógica da visando à cidadania e ao trabalho.
avaliação nacional. Nesse sentido, o Vale a pena lembrar que a LDB é a base
Encceja/EM constitui uma possibilidade das DCNEM. No Art. 36, a LDB destaca
de avaliação que, ao mesmo tempo, que o currículo do ensino médio deve
respeita a diversidade e estabelece uma observar as seguintes diretrizes: a
unidade nacional, ao apontar o que é educação tecnológica básica; a
basicamente requerido para a compreensão do significado da ciência,
certificação no ensino médio que faz das letras e das artes; o processo
parte atualmente da educação básica. histórico de transformação da sociedade
A Constituição de 1988, no Inciso II do e da cultura; a língua portuguesa como
Art. 208, já apontava para a garantia da instrumento de comunicação, acesso ao
institucionalização dessa etapa de conhecimento e exercício da cidadania.
escolarização como direito de todo Além disso, dois aspectos merecem
cidadão. A LDB estabeleceu, por sua vez, menção especial, pois marcam a
a condição em norma legal, quando diferença em relação à organização
atribuiu ao EM o estatuto de educação curricular do ensino médio: o eixo da
básica (Art. 21), definindo suas tecnologia e dos processos cognitivos
finalidades, ou seja, desenvolver o de compreensão do conhecimento.
educando, assegurar-lhe a formação
Assim, a caracterização das áreas procura
comum para o exercício da cidadania e
ser uma forma de estabelecer relações
fornecer-lhe meios para progredir no
internas e externas entre os
trabalho e em estudos posteriores. (Art.
conhecimentos, de abordá-los sob o
22)
ângulo das correspondências próprias à
sua divulgação para o público que
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22. Livro do Professor
necessita dos saberes escolares para a como ator no contexto de preservação e
vida social, o trabalho, a continuidade transformação social.
dos estudos e o desenvolvimento pessoal. A noção de desenvolvimento e
A definição na LDB do que é próprio aos avaliação de competências pode
ensinos fundamental e médio não é permitir alguma compreensão desse
colocada como forma de ruptura, mas sim processo de diversidade e unidade.
de aprofundamento (compreensão) e O foco sobre a noção de competência,
contexto (produção e tecnologia). Se, no nos documentos oficiais referentes à
ensino fundamental, o caráter básico dos educação básica e no discurso
saberes sociais públicos foi desenvolvido, acadêmico educacional, principalmente
cabe, no ensino médio, aprofundá-los ou, a partir de 1990, instaura um eixo para
então, desenvolvê-los. Essa consideração, reestruturação dos conteúdos escolares
para EJA/EM, se deve ao fato de que a e de suas formas de transmissão e
certificação no ensino médio não está, por avaliação, ou seja, é uma proposta de
lei, atrelada à certificação no ensino mudança que procura aproximar a
fundamental, havendo, no entanto, uma educação escolar da vida social
continuidade entre as duas etapas da contemporânea. Nessa proposta,
educação básica. De qualquer forma, ao destaca-se a perspectiva da
término do EM, espera-se que o cidadão flexibilização da organização da
tenha desenvolvido competências educação escolar, em respeito à
cognitivas e sociais inseridas em um diversidade e identidade dos sujeitos da
determinado sistema de valores e juízos, aprendizagem. Quais são as
ou seja, aquele referente à ética e ao competências comuns que devem ser
mundo do trabalho. socializadas para todos? A resposta a
No caso do público participante da EJA/ essa pergunta fundamenta a educação
EM, isso se torna mais evidente. A básica. Em seqüência, há outra questão
idade, a participação no mundo do não menos relevante: como avaliá-las?
trabalho, as responsabilidades sociais e O respeito à diversidade não deve ser
civis são outras, diferentes daquelas dos identificado com o caos. Daí, a
alunos da escola regular que se necessidade da responsabilização
preparam para a vida. O público da EJA/ política e institucional em traçar um fio
EM está na vida atuando como condutor que delimite os saberes e as
trabalhador, pai de família, provedor. competências gerais com os quais todo
Entretanto, se o ponto de partida é e qualquer processo deve comprometer-
diferente, o ponto de chegada não o é. se, principalmente o de avaliação.
Ao final do EM, espera-se que esse As diretrizes legais para a organização
público possa dar continuidade aos da educação básica estão expressas em
estudos com qualificação, disputar uma um conjunto de princípios que indica a
posição no mercado de trabalho e transição de um ensino centrado em
participar plenamente da cidadania, conteúdos disciplinares (didáticos)
compartilhando os princípios éticos, seriados e sem contexto para um ensino
políticos e estéticos da unidade e da voltado ao desenvolvimento de
diversidade nacionais, colocando-se competências verificáveis em situações
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23. I. As bases educacionais do ENCCEJA
específicas. A avaliação assume um uma educação de qualidade para todos.
papel fundamental nessa perspectiva, Educação básica e avaliação, portanto,
definindo o sentido da escolarização. têm por objetivo promover a eqüidade na
A ação prevista pelos sujeitos envolvidos participação social.
na educação básica extrapola A proposta do ENCCEJA para certificação
determinados padrões de pensamento até do Ensino Médio assume parte desse
então valorizados pela escolarização papel institucional, procurando, por meio
acrítica (identificar, reproduzir, de uma prova escrita, aferir, em condições
memorizar, repetir) e aponta para a observáveis e com exigências definidas,
necessidade de a escola sistematicamente as competências previstas para a
realizar, em situações de aprendizagem, o educação básica.
desenvolvimento de movimentos de O foco do ENCCEJA é a situação-
pensamento mais complexos (analisar, problema para cuja resolução o
comparar, confrontar, sintetizar). Tal participante deve mobilizar saberes
proposição, amparada pelos estudos da cognitivos e conceituais (competências).
Psicologia Cognitiva, Sociologia, A aprendizagem é destacada como
Lingüística, Antropologia, exerce um referência à autonomia intelectual do
efeito de reestruturação na Didática. O sujeito ao final da educação básica,
saber, que por si só já é ação do sujeito, mediada pelos princípios da cidadania e
ganha o status de uma intenção racional e do trabalho, na atualidade. As
intelectual situada socialmente. O sujeito competências para a participação social
desse saber é compreendido como um ser incluem a criatividade, a capacidade de
único no contexto social. O saber fazer solucionar problemas, o senso crítico, a
envolve o conhecimento do contexto, das informação, ou seja, o aprender a
ideologias e de sua superação, em prol de conhecer, a fazer, a conviver e a ser.
uma democracia desejada, para que o
A Matriz de Competências indicada para
homem possa conquistar de fato seus
a avaliação do ENCCEJA/EM é um
direitos.
produto de discussão coletiva de
O poder público e a administração inúmeros profissionais da educação,
central assumem a responsabilidade de buscando contemplar os princípios
indicar a formação requerida para os legais que regem a educação básica
sujeitos na educação básica, na (Brasil,1999a; Brasil,1996; CNE, 1998;
modalidade de EJA/EM, e mais, CNE, 2000).
propõem formas de avaliação das O ENCCEJA/EM está estruturado com
aprendizagens. base em Matrizes de referência que
A avaliação é assumida como diálogo consideram a associação de cinco
com a sociedade, garantindo o direito competências do sujeito com nove
democrático da população interessada em competências previstas na Base
saber o que de fato deve ser aprendido (e Nacional Comum para as áreas de
aquilo que deveria ter sido aprendido), conhecimento (Linguagens, Códigos e
para que possa compreender a função do suas Tecnologias; Ciências Humanas e
processo educativo e exigir os direitos de suas Tecnologias; Ciências da Natureza
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24. Livro do Professor
e Matemática e suas Tecnologias), cujos da aprendizagem que se apropriam dos
cruzamentos definem as habilidades a conhecimentos e os transpõem para a
serem avaliadas. As competências vida pessoal e social. No elenco das
cognitivas básicas a serem avaliadas habilidades de cada área, estão
são: o domínio das linguagens, a valorizadas as experiências extra-
compreensão dos fenômenos, a seleção escolares e os vínculos entre a educação,
e organização de fatos, dados e o mundo do trabalho e outras práticas
conceitos para resolver problemas, a sociais, de tal maneira que o exame,
argumentação e a proposição. estruturado a partir das matrizes, não
Essas competências cognitivas são perca de vista a pluralidade de realidades
articuladas com os conhecimentos e brasileiras e não deixe de considerar a
competências sociais construídos e diversidade de experiências dos jovens e
requeridos nas diferentes áreas, tendo adultos que a ele se submetem.
por referência os sujeitos/interlocutores
BIBLIOGRAFIA
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promulgada em 5 de outubro de 1988: atualizada até a Emenda Constitucional nº 20,
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Documenta,
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Documenta,
OLIVEIRA, M. K. de. Vygotsky: aprendizado e desenvolvimento, um processo sócio-
histórico. 4. ed. São Paulo: Scipione, 1999. 111p. (Pensamento e ação no magistério).
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25. II. Eixos conceituais que
estruturam o ENCCEJA
O ENCCEJA se vincula a um conceito constata é que alguns pressupostos
mais estrutural e abrangente do aceitos no passado tornaram-se
desenvolvimento da inteligência e gradativamente questionáveis e, até
construção do conhecimento. Essa mesmo, abandonados diante de
concepção, de inspiração fortemente investigações mais cuidadosas.
construtivista, acha-se já amplamente Em que pese os processos avaliativos
contemplada nos textos legais que escolares no Brasil caracterizarem-se,
estruturam a educação básica no Brasil. ainda, por uma excessiva valorização da
Tal concepção privilegia a noção de que memória e dos conteúdos em si, aos
há um processo dinâmico de poucos essas práticas sustentadas pela
desenvolvimento cognitivo mediado pela psicometria clássica vêm sendo
interação do sujeito com o mundo que o substituídas por concepções mais
cerca. A inteligência é encarada não como dinâmicas que, de um modo geral, levam
uma faculdade mental ou como expressão em consideração os processos de
de capacidades inatas, mas como uma construção do conhecimento, o
estrutura de possibilidades crescentes de processamento de informações, as
construção de estratégias básicas de ações experiências e os contextos socioculturais
e operações mentais com as quais se nos quais o indivíduo se encontra.
constroem os conhecimentos. A teoria de desenvolvimento cognitivo,
Nesse contexto, o foco da avaliação proposta e desenvolvida por Jean Piaget
recai sobre a aferição de competências e com cuidadosa fundamentação em dados
habilidades com as quais transformamos empíricos, empresta contribuições das
informações, produzimos novos mais relevantes para a compreensão da
conhecimentos, reorganizando-os em avaliação que se estrutura com o Encceja.
arranjos cognitivamente inéditos que Para Piaget (1936), a inteligência é um
permitem enfrentar e resolver novos “termo genérico designando as formas
problemas. superiores de organização ou de
Estudos mais avançados sobre a avaliação equilíbrio das estruturas cognitivas (…) a
da inteligência, no sentido da estrutura inteligência é essencialmente um
que permite aprender, ainda são pouco sistema de operações vivas e atuantes”.
praticados na educação brasileira. Envolve uma construção permanente do
Ressalte-se, também, que a própria sujeito em sua interação com o meio
definição de inteligência e a maneira físico e social. Sua avaliação consiste na
como tem sido investigada constituem investigação das estruturas do
pontos dos mais controvertidos nas áreas conhecimento, que são as competências
da Psicologia e da Educação. O que se cognitivas.
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26. Livro do Professor
Para Piaget, as operações cognitivas mental e sistematicamente testem cada
possuem continuidade do ponto de uma delas para determinar qual é a
vista biológico e podem ser divididas combinação que os levará a um
em estágios ou períodos que possuem resultado desejado.
características estruturais próprias, as Em muitos dos seus trabalhos, Piaget
quais condicionam e qualificam as enfatizou o caráter de generalidade das
interações com o meio físico e social. operações formais. Enquanto as
Deve-se ressaltar que o estágio de operações concretas se aplicavam a
desenvolvimento cognitivo que contextos específicos, as operações
corresponde ao término da escolaridade formais, uma vez atingidas, seriam gerais
básica no Brasil denomina-se período das e utilizadas na compreensão de qualquer
operações formais, marcado pelo fenômeno, em qualquer contexto.
advento do raciocínio hipotético- As competências gerais que são
dedutivo. avaliadas no ENCCEJA estão
É nesse período que o pensamento estruturadas com base nas
científico torna-se possível, competências descritas nas operações
manifestando-se pelo controle de formais da Teoria de Piaget, tais como a
variáveis, teste de hipóteses, verificação capacidade de considerar todas as
sistemática e consideração de todas as possibilidades para resolver um
possibilidades na análise de um problema; a capacidade de formular
fenômeno. hipóteses; de combinar todas as
Para Piaget, ao atingir esse período, os possibilidades e separar variáveis para
jovens passam a considerar o real como testar a influência de diferentes fatores;
uma ocorrência entre múltiplas e o uso do raciocínio hipotético-dedutivo,
exaustivas possibilidades. O raciocínio da interpretação, análise, comparação e
pode agora ser exercido sobre enunciados argumentação, e a generalização dessas
puramente verbais ou sobre proposições. operações a diversos conteúdos.
O ENCCEJA foi desenvolvido com base
Outra característica desse período de
nessas concepções, e procura avaliar para
desenvolvimento, segundo Piaget,
certificar competências que expressam
consiste no fato de as operações formais
um saber constituinte, ou seja, as
serem operações à segunda potência, ou
possibilidades e habilidades cognitivas
seja, enquanto a criança precisa operar
por meio das quais as pessoas conseguem
diretamente sobre os objetos,
se expressar simbolicamente,
estabelecendo relações entre elementos
compreender fenômenos, enfrentar e
visíveis, no período das operações
resolver problemas, argumentar e elaborar
formais, o jovem torna-se capaz de
propostas em favor de sua luta por uma
estabelecer relações entre relações.
sobrevivência mais justa e digna.
As operações formais constituem,
também, uma combinatória que permite A. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
que os jovens considerem todas as
possibilidades de combinação de Desde o princípio de sua existência, o
elementos de uma dada operação homem enfrentou situações-problema
para poder sobreviver e, ainda, em seu
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27. II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA
estado mais primitivo, desprovido de conhecimentos que haviam sido
qualquer recurso tecnológico, já buscava construídos e adquiridos no passado, à
conhecer a natureza e compreender seus medida que ele podia contar com a
fenômenos para dominá-la e, assim, tradição ditada pelos hábitos e
garantir sua sobrevivência como espécie. costumes da sociedade de sua época,
No entanto, à medida que, em seu com aquilo que sua cultura já
processo histórico, foi alcançando formas determinava como certo. As
mais evoluídas de organização social, características culturais, sociais, morais
seus problemas de sobrevivência imediata e religiosas, entre outras, serviam-lhe
foram sendo substituídos por outros. A como referências, indicando-lhe
cada novo passo de evolução, o homem caminhos ou respostas.
superou certos problemas abrindo novas Dessa maneira, ele orientava seu
possibilidades de melhor qualidade de presente pelo passado, tendo neste
vida, mas, ao mesmo tempo, abriu as passado o organizador de suas novas
portas para novos desafios, importantes ações. Como resultado, ele podia
para sua continuidade e sobrevivência. planejar seu futuro como se este já
A história do homem registra o estivesse escrito e determinado em
enfrentamento de contínuos desafios e função de suas ações presentes.
situações-problema, sempre superados O avanço tecnológico dos dias atuais
em nome de novas formas de desencadeou uma nova ordem de
organização social, política, econômica transformações sociais, culturais, políticas
e científica, cada vez mais evoluídas e e econômicas, imprimindo ao mundo
complexas. Pode-se dizer que o novas relações numa velocidade tal, que
enfrentamento de situações-problema traz para o homem, neste século, uma
constitui uma condição que acompanha outra necessidade: a de se pautar não só
a vida humana desde sempre. nas referências que o passado oferece
Cada vez mais tecnológica e globalizada, como garantias ou tradições, mas,
a sociedade que atravessou os portais do também, naquilo que diz respeito ao
século XXI convida o homem à resolução futuro.
de grandes problemas em virtude das Quanto mais as sociedades
contínuas transformações em todas as contemporâneas avançam em seus
áreas do conhecimento. Exige, ainda, conhecimentos tecnológicos e
constantes atualizações, seja no mundo científicos, mais distanciado parece estar
do trabalho ou da escola, seja no ritmo e o homem de sua humanidade. Quanto
nas atribuições de enfrentamento do mais conforto e comodidade a vida
cotidiano da vida, como, também, uma moderna pode oferecer, mais se
outra qualidade de respostas, à proporção acentuam as diferenças sociais, culturais
que assume características bem e econômicas, criando verdadeiros
diferenciadas daquelas que, abismos entre os povos e entre as
anteriormente, percorreram a história. populações de um mesmo país. Quanto
Durante muitos séculos, o homem, para mais se conhece e se aprende, mais fica
resolver problemas, contou com a distanciada uma boa parte da população
possibilidade de se orientar a partir dos mundial do acesso à escolaridade, de
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28. Livro do Professor
modo que, muito antes de se erradicar o da sociedade contemporânea, uma
analfabetismo da face da Terra, já há a sociedade que, em termos de
preocupação com a exclusão digital. conhecimento, está aberta para todos os
Quanto mais se vivencia a globalização, possíveis, para todas as possibilidades.
mais complicadas ficam as possibilidades O homem do século XXI, portanto, está
de entendimento e comunicação, pois os diante de quatro grandes situações-
ideais e valores – que preconizam a problema que implicam necessidades de
liberdade do homem, a solidariedade resolução: aprender a conhecer,
entre os povos, a convivência entre as aprender a ser, aprender a fazer e
pessoas e o exercício de uma verdadeira aprender a conviver. Como conhecer ou
cidadania – não correspondem a ações adquirir novos conhecimentos? Como
concretas e efetivas. Dessa forma, o aprender a interpretar a realidade em
mundo se debate entre guerras, um contexto de contínuas
terrorismo, drogas, doenças, ignorância e transformações científicas, culturais,
miséria. Essa é a natureza das situações- políticas, sociais e econômicas? Como
problema que o homem contemporâneo aprender a ser, resgatando a sua
enfrenta. Então, como preparar as humanidade e construindo-se como
crianças e jovens com condições para pessoa? Como realizar ações em uma
que possam aprender a enfrentar e prática que seja orientada
solucionar tais problemas, superando-os simultaneamente pelas tradições do
em nome de um futuro melhor? passado e pelo futuro que ainda não é?
Como conviver em um contexto de
Pensando na educação dessas crianças e
tantas diversidades, singularidades e
jovens, tal realidade traz sérias
diferenças e em que o respeito e o amor
implicações e a necessidade de
estejam presentes?
profundas modificações no âmbito
escolar. Cada vez mais é preciso que os Em uma perspectiva psicológica, e,
alunos saibam como aprender, como portanto, do desenvolvimento,
conhecer e ser são duas formas de
compreender fatos e fenômenos, como
compreensão, à medida que se
estabelecer suas relações interpessoais,
expressam como maneiras de interpretar
como analisar, refletir e agir sobre essa
ou atribuir significados a algo, de saber
nova ordem de coisas. Hoje, por
as razões de algo, do ponto de vista do
exemplo, um conhecimento científico,
raciocínio e do pensamento, exigindo
uma tecnologia ensinada na escola é
do ser humano a construção de
rapidamente substituída por outra mais
ferramentas adequadas a uma leitura
moderna, mais sofisticada e atualizada,
compreensiva da realidade. Fazer e
às vezes, antes mesmo que os alunos
conviver são formas de realizaçâo, pois
tenham percorrido um único ciclo de se expressam como procedimentos,
escolaridade. Dessa maneira, vivem-se como ações que visam a um certo
tempos nos quais os mais diferentes objetivo. Por sua vez, realizar e
países revisam seus modelos conviver implicam que o ser humano
educacionais, discutem e implementam saiba escrever o mundo, construindo
reformas curriculares que sejam mais modos adequados de proceder em suas
apropriadas para atender às demandas ações. Por isso, é preciso que
26
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29. II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA
preparemos as crianças e jovens para aptidão, idoneidade.
um mundo profissional e social que os Recentemente, competência tornou-se
coloque continuamente em situações de uma palavra difundida, com freqüência,
desafio, às quais requerem cada vez nos discursos sociais e científicos.
mais saberes de valor universal que os Entretanto, Isambert-Jamati (1997)
preparem para serem leitores de um afirma que não se trata simplesmente de
mundo em permanente transformação. modismo porque o caráter
É preciso, ainda, que os preparemos relativamente duradouro do uso dessa
como escritores de um mundo que pede noção e a existência de uma certa
a participação efetiva de todos os seus congruência em relação ao seu
cidadãos na construção de novos significado, em esferas como as da
projetos sociais, políticos e econômicos. educação e do trabalho, podem ser
Portanto, do ponto de vista reveladores de mudanças na sociedade e
educacional, tais necessidades implicam na forma como um grupo social partilha
o compromisso com uma revisão certos significados. Nesse sentido, o
curricular e pedagógica que supere o termo competência não é só revelador
modelo da simples memorização de de certas mudanças como também pode
conteúdos escolares que hoje se mostra contribuir para modelá-las, ou seja,
insuficiente para o enfrentamento da comparece no lugar de certas noções,
realidade contemporânea. Os novos ao mesmo tempo em que modifica seus
tempos exigem um outro modelo significados. Pode-se dizer que, no
educacional, voltado para o geral, o termo competência vem
desenvolvimento de um conjunto de substituindo a idéia de qualificação no
competências e de habilidades essenciais, domínio do trabalho, e as idéias de
a fim de que crianças e jovens possam saberes e conhecimento no campo da
efetivamente compreender e refletir educação.
sobre a realidade, participando e agindo As razões da invasão do termo
no contexto de uma sociedade competência, segundo Tanguy (1997),
comprometida com o futuro. nas diferentes esferas da atividade
social, são difíceis de precisar, embora,
B. AS ORIGENS DO TERMO no caso da educação e do trabalho,
COMPETÊNCIA possam estar associadas a uma série de
movimentos geradores de concepções
O sentido original da palavra nesses dois campos, bem como das
competência é de natureza jurídica, ou inter-relações entre eles. Dentre tais
seja, diz respeito ao poder que tem uma concepções ou crenças, podemos
certa jurisdição de conhecer e decidir destacar: necessidade de superar o
sobre uma causa. Gradativamente, o aspecto da instrução pelo da educação;
significado estendeu-se, passando o reconhecimento da importância do
termo a designar a capacidade de poder do conhecimento por todos os
alguém para se pronunciar sobre meios sociais e de que a transmissão do
determinado assunto, fazer determinada conhecimento não é tarefa exclusiva da
coisa ou ter capacidade, habilidade, escola; institucionalização e
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30. Livro do Professor
sistematização de princípios sobre de leitura, ou a condução de um
formação contínua fora do âmbito automóvel. Mesmo tendo consciência
escolar; exigência de superar a dessa série, não conseguiremos encontrar
qualificação profissional precária e algo que possa traduzir a totalidade
mecânica; necessidade de rever o ensino desses atos.
disciplinar e o saber academicista ou Por outro lado, do ponto de vista
descontextualizado; preocupação de externo, quando observamos os outros,
colocar o aluno no centro do processo conseguimos, com relativa facilidade,
educativo, como sujeito ativo. concluir sobre a existência desta ou
A intervenção desses elementos sobre a daquela competência. Ao fazê-lo, no
problemática da formação e entanto, ultrapassamos a mera descrição
aprendizagens profissionais, além da dos atos, significando que aquela série
necessidade de novas adaptações ao de ações é interpretada na sua
mundo do trabalho e da escola, totalidade ou no conjunto que a traduz.
acabaram por proporcionar uma Supõe-se, portanto, que há algo interno
apropriação geral da noção de que articula e rege as ações,
competência em vários países, possibilitando que sejam eficazes e
provavelmente na expectativa de adequadas à situação, conforme
atribuir novos significados às noções descreve Rey (1998).
que ela pretende substituir nas Ao observarmos um bom patinador no
atividades pedagógicas. Mais gelo, diz o autor, bastam alguns
especificamente, no entanto, esse minutos para concluirmos se ele sabe
referencial sobre a noção de patinar, ou seja, se ele é competente.
competência tem-se imposto nas Em outras palavras, interpretamos que a
escolas, inicialmente, por meio da sucessão de seus movimentos não é
avaliação. Essas inter-relações meramente uma série qualquer, mas que
produziram uma contaminação de ela é coordenada por um princípio
significados, e o termo competência dominado pelo sujeito, residindo aí sua
passou a ser usado com freqüência no competência. Ao atribuirmos esse poder
sistema educativo, no qual ganhou ao patinador, assumimos a idéia de que
outras conotações. seus futuros movimentos serão
Dado esse caráter polissêmico da noção previsíveis, no sentido de que serão
de competência, trata-se de precisar em adequados e eficazes.
que sentido pretendemos utilizá-la. O que o autor quer mostrar é que a
A NOÇÃO DE COMPETÊNCIA: A QUE SE APLICA? competência revela um poder interno e se
Embora o uso do termo competência seja define pela anterioridade, ou seja, a
comum, é difícil precisar o seu possibilidade de enfrentar uma situação
significado. Se tentarmos descrever uma problema está, de certa forma, dada pelas
das nossas competências, condições anteriores do sujeito. Ao
conseguiremos, no máximo, elencar uma mesmo tempo, essa previsibilidade dá-nos
série de ações que realizamos para a impressão de continuidade. A
enfrentar uma situação-problema, tais competência não é algo passageiro, é algo
como uma análise de fenômeno, um ato que parece decorrer natural e
espontaneamente.
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31. II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA
Em síntese, a idéia de competência mais restrito, competência é tida como
retrata dois aspectos antagônicos mas comportamento objetivo e observável e
solidários, que podem ser traduzidos de que se realiza como resposta a uma
várias maneiras: interno e externo, situação. Essa forma de entender
implícito e explícito, o da visibilidade competência se manifesta no campo da
social e o da organização interna, o que formação profissional quando pressupõe
na ação é observável e mais que a cada posto de trabalho
estandardizado e o que é mais ligado ao corresponda uma lista de tarefas
sujeito, portanto, singular e obscuro. específicas. No campo da educação, essa
Esses aspectos podem ser encontrados noção de competência comparece
nas teorias que fundamentam a noção associada à pedagogia por objetivos
de competência, as quais abordam essa (Bloom,1972 e Mager, 1975), cuja idéia
questão em dois pólos opostos. No central é a de que, para ensinar, é preciso
primeiro pólo, estão as teorias que usam traçar objetivos claros e específicos, sem
o termo competência como referência a ambigüidades, de tal forma que o
atos observáveis ou comportamentos professor possa prever que seus alunos
específicos, empregados, sobretudo, na serão capazes de alcançá-los. Para tanto,
formação profissional e na concepção as competências devem-se confundir
da aprendizagem por objetivos. No com o comportamento observável. Tal
segundo pólo encontram-se, autores concepção está, portanto, diretamente
que analisam as capacidades do sujeito associada às idéias de performance e
resultantes de organização interna e eficácia (Ropé e Tanguy, 1997), bem
não-observáveis diretamente: como acaba por fomentar a elaboração
de listagens de comportamentos
Assim, tanto a competência é concebida exigíveis em diferentes níveis dos
como uma potencialidade invisível, programas de ensino. Na medida em que
interna, pessoal, susceptível de engendrar a competência se reduz ao
uma infinidade de “performances”, tanto comportamento observável, elimina-se
ela se define por componentes do mesmo o seu caráter implícito.
observáveis, exteriores, impessoais. Esse mesmo modelo, no sentido mais
(Rey, 1998, p. 26) amplo, toma uma outra forma: a da ação
funcional, ou seja, ser competente não é
Esses dois sentidos do termo apenas responder a um estímulo e realizar
competência são usados e convivem uma série de comportamentos, mas,
alternadamente, tanto no mundo do sobretudo, ser capaz de, voluntariamente,
trabalho como no mundo da escola. selecionar as informações necessárias para
regular sua ação ou mesmo inibir as
A concepção de competência como
reações inadequadas. Na realidade, essa
comportamento é a manifestação de um
concepção pretende superar a falta de
modelo teórico que guarda parentesco
sentido produzida na consecução de
com o behaviorismo, o qual tem
objetivos. Ao introduzir a idéia de
embasado o uso da noção de
finalidade ao comportamento, fato que a
competência de duas formas. No sentido
pedagogia por objetivos desconsiderou,
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32. Livro do Professor
acentua-se que, subjacente a um conhecimento é possível sem haver uma
comportamento observável, consciente ou organização interna.
automaticamente, existe uma organização Para Chomsky (1983), a competência
realizada pelo sujeito, da qual se depreende lingüística não se confunde com
a existência de um equipamento cognitivo comportamento. Ela deriva de um poder
que organiza, seleciona e hierarquiza seus interno (núcleo fixo inato), expresso por
movimentos em função dos objetivos a um conjunto de regras do qual o sujeito
alcançar. Em outras palavras, a não tem consciência, que possibilita a
competência não é redutível aos produção de comportamentos lingüísticos.
comportamentos estritamente objetivos, Na abordagem piagetiana, a idéia de
mas está vinculada sempre a uma atividade competência está atrelada à organização
humana que, ligada à escola ou ao interna e complexa das ações humanas,
trabalho, caracteriza-se por sua relação mas, diferentemente de Chomsky,
funcional a tais atividades definidas Piaget (1983) discorda do caráter inato
socialmente. dessa organização e enfatiza a sua
Em síntese, embora existam essas dimensão adaptativa. Sustenta que a
variações no sentido de competência progressividade do desenvolvimento
como comportamento, em ambos ela é mental se apóia em um processo de
vista no seu caráter específico e construção, no qual interferem o
determinado: no primeiro caso, é limitada mínimo de “pré-formações” e o máximo
pelos estímulos que a provocam; no de auto-organização. A competência,
segundo, pela função que apresenta na nesse sentido, diz respeito à construção
situação ou contexto que a exige. endógena das estruturas lógicas do
Como já dissemos, um outro pólo da pensamento que, à medida que se
análise teórica sobre competência não a estabelecem, modificam o padrão da
identifica com comportamento; ela é ação ou adaptação ao meio e que
considerada como uma capacidade geral Malglaive (1995) denomina de estrutura
que torna o indivíduo apto a das capacidades.
desenvolver uma variedade de ações A abordagem piagetiana, como
que respondem a diferentes situações. sabemos, teve como preocupação
Competência, nesse caso, refere-se ao mostrar as estruturas lógicas como
funcionamento cognitivo interno do universais. Mesmo afirmando que todo
sujeito. Essa concepção de competência conhecimento se dá em um contexto
foi formulada em contraposição à idéia social e descrevendo o papel da
de competências como comportamentos interação entre os pares como
específicos, a partir das teorias de fundamental para o desenvolvimento do
competência lingüística, proposta por raciocínio lógico, essa investigação não
Chomsky (1983) e da auto-regulação do privilegiou a forma de atuação do
desenvolvimento cognitivo, proposta contexto social ou das situações no
por Piaget (1976). Embora divergindo a desenvolvimento das competências
respeito da origem das competências cognitivas. A partir de contribuições da
cognitivas, esses autores têm em sociologia e da antropologia, vários
comum a crença de que nenhum estudos têm sido realizados no sentido
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33. II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA
de mostrar as relações entre contextos mentais permite colocar a aprendizagem
culturais e cognição, conforme descrito no contexto das operações e não apenas
por Dias (2002). Nesse sentido, vale no do conhecimento ou do
ressaltar as reflexões de Bordieu (1994), comportamento.
quando afirma que a compreensão não é
só o reconhecimento de um sentido C. AS COMPETÊNCIAS DO ENEM
invariante, mas a apreensão da NA PERSPECTIVA DAS AÇÕES OU
singularidade de uma forma que só OPERAÇÕES DO SUJEITO
existe em um contexto particular.
COMPETÊNCIAS COMO MODALIDADES Considerando as características do
ESTRUTURAIS DA INTELIGÊNCIA mundo de hoje, quais os recursos
A ressignificação da noção competência cognitivos que um jovem, concluinte da
– nos meios educacionais e acadêmicos – educação básica, deve ter construído ao
está muito provavelmente atrelada à longo desse período? A matriz de
necessidade de encontrar um termo que competências do ENEM expressa uma
substituísse os conceitos usados para hipótese sobre isso, ou seja, assume o
pressuposto de que os conhecimentos
descrever a inteligência, os quais se
adquiridos ao longo da escolarização
mostraram inadequados, quer pela
deveriam possibilitar ao jovem domínio
abrangência, quer pela limitação. No
de linguagens, compreensão de
primeiro caso, sabemos das dificuldades
fenômenos, enfrentamento de
de trabalhar com termos como
situações-problema, construção de
capacidade para expressar aquilo que argumentações e elaboração de
deve ser objeto de desenvolvimento, até propostas. De fato, tais competências
mesmo porque essa idéia carrega parecem sintetizar os principais
conotações de aptidão, difíceis de aspectos que habilitariam um jovem a
precisar. No segundo caso, a vinculação enfrentar melhor o mundo, com todas
da inteligência à aquisição de as suas responsabilidades e desafios.
comportamentos produziu uma visão Quais são as ações e operações
pontual e molecular que reduz o valorizadas na proposição das
desenvolvimento a uma listagem de competências da matriz? Como analisar
saberes a serem adquiridos. Como esses instrumentos cognitivos em sua
contraponto, a noção de competência função estruturante, ou seja,
surgiu no discurso dos profissionais da organizadora e sistematizadora de um
educação como uma forma de pensar ou um agir com sentido
circunscrever o termo capacidade e individual e coletivo? Em outras
alargar a idéia de saber específico. palavras, o que significam dominar e
Nesse sentido, o construtivismo fazer uso (competência I); construir,
contribuiu, de forma significativa, para aplicar e compreender (competência II);
pensar a inteligência humana como selecionar, organizar, relacionar,
interpretar, tomar decisões, enfrentar
resultado de um processo de adaptações
(competência III); relacionar, construir
progressivas, portanto não polarizado
argumentações (competência IV);
no meio ou nas estruturas genéticas. Por
recorrer, elaborar, respeitar e considerar
outro lado, o conceito de operações
(competência V)?
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34. Livro do Professor
DOMINAR E FAZER USO domínio lingüístico para outro. Assim,
A competência I tem como propósito tal competência requer do sujeito, por
avaliar se o estudante demonstra exemplo, a capacidade de transitar da
“dominar a norma culta da Língua
dominar linguagem matemática para a linguagem
Portuguesa e fazer uso da linguagem da história ou da geografia, e dessas,
matemática, artística e científica”. para a linguagem artística ou para a
linguagem científica. Significa ainda ser
Dominar, segundo o dicionário, significa
competente para reconhecer diferentes
“exercer domínio sobre; ter autoridade
tipos de discurso, sabendo usá-los de
ou poder em ou sobre; ter autoridade,
acordo com cada contexto.
ascendência ou influência total sobre;
prevalecer; ocupar inteiramente”. Fazer O domínio de linguagens implica um
uso, pois, é sinônimo de dominar, já que sujeito competente como leitor do
expressa ou confirma seu exercício na mundo, ou seja, capaz de realizar
prática. leituras compreensivas de textos que se
expressam por diferentes estilos de
Dominar a norma culta tem significados
comunicação, ou que combinem
diferentes nas tarefas de escrita ou
conteúdos escritos com imagens,
leitura avaliadas. No primeiro caso, o
charges, figuras, desenhos, gráficos, etc.
domínio da norma culta pode ser
Da mesma forma, essa leitura
inferido, por exemplo, pela correção da
compreensiva implica atribuir
escrita, coerência e consistência textual,
significados às formas de linguagem que
manejo dos argumentos em favor das
são apropriadas a cada domínio de
idéias que o aluno quer defender ou
conhecimento, interpretando seus
criticar. Quanto às tarefas de leitura, tal
conteúdos. Ler e interpretar significa
domínio pode ser inferido pela
atribuir significado a algo, apropriar-se
compreensão do problema e
de um texto, estabelecendo relações
aproveitamento das informações
entre suas partes e tratando-as como
presentes nos enunciados das questões.
elementos de um mesmo sistema.
Além disso, sabemos hoje que o mundo
Dominar linguagens implica ainda um
contemporâneo se caracteriza por uma
sujeito competente como escritor da
pluralidade de linguagens que se
realidade que o cerca, um sujeito que
entrelaçam cada vez mais. Vivemos na
saiba fazer uso dessa multiplicidade de
era da informação, da comunicação, da
linguagens para produzir diferentes
informática. Basicamente, todas as
textos que comuniquem uma proposta,
nossas interações com o mundo social,
uma reflexão, uma linha de
com o mundo do trabalho, com as
argumentação clara e coerente.
outras pessoas, enfim, dependem dessa
multiplicidade de linguagens para que Por isso, dominar linguagens implica
possamos nos beneficiar das tecnologias trabalhar com seus conteúdos na
modernas e dos progressos científicos, dimensão de conjecturas, proposições e
realizar coisas, aprender a conviver, etc. símbolos. Nesse sentido, a linguagem
constitui o instrumento mais poderoso
Dominar linguagens significa, portanto,
de nosso pensamento, à medida que ela
saber atravessar as fronteiras de um
lhe serve de suporte.
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35. II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA
Por exemplo, pensar a realidade como Hoje, a compreensão de fenômenos,
um possível, como é próprio do naturais ou não, tornou-se
raciocínio formal (Inhelder e Piaget, imprescindível ao ser humano que se
1955), seria impraticável sem a quer participante ativo de um mundo
linguagem, pois é ela que nos permite complexo, onde coabitam diferentes
transitar do presente para o futuro, povos e nações, marcados por uma
antecipando situações, formulando enorme diversidade cultural, científica,
proposições. Não seria possível também política e econômica e, ao mesmo tempo,
fazer o contrário, transitar do presente desafiados para uma vida em comum,
para o passado, que só existe como uma interdependente ou globalizada.
lembrança ou como uma imagem. Da Compreender fenômenos significa ser
mesma maneira, raciocinar de uma competente para formular hipóteses ou
forma hipotético-dedutiva também idéias sobre as relações causais que os
depende da linguagem, pois sem ela não determinam. Ou seja, é preciso saber que
teríamos como elaborar hipóteses, idéias um dado procedimento ou ação provoca
e suposições que existem apenas em um uma certa conseqüência. Assim, se o
plano puramente representacional e desmatamento desenfreado ocorre em
virtual. todo o planeta, é possível supor que esse
CONSTRUIR, APLICAR E COMPREENDER evento, em pouco tempo, causará
desastres climáticos e ecológicos, por
O objetivo da competência II é avaliar se o
exemplo.
estudante sabe “construir e aplicar
construir
conceitos das várias áreas do Além disso, a compreensão de
conhecimento para a compreensão de fenômenos requer competência para
fenômenos naturais, de processos formular idéias sobre a explicação causal
histórico-geográficos, da produção de um certo fenômeno, atribuindo
tecnológica e das manifestações sentido às suas conseqüências. Voltando
artísticas”. ao exemplo anterior, não basta ao sujeito
construir e aplicar seus conhecimentos
Construir é uma forma de domínio que,
para saber que as conseqüências do
no caso das questões das provas, pode
desmatamento serão os desastres
implicar o exercício ou uso de muitas
climáticos ou ecológicos, mas é preciso
habilidades: estimar, calcular,
também que ele compreenda as razões
relacionar, interpretar, comparar, medir,
que esse fato implica, ou seja, que
observar etc. Em quaisquer delas, o
estabeleça significados para ele.
desafio é realizar operações que
possibilitem ultrapassar uma dada Para isso, é necessário determinar
situação ou problema, alcançando relações entre as coisas, inferir sobre
aquilo que significa ou indica sua elementos que não estão presentes em
conclusão. Construir, portanto, é uma situação, mas que podem ser
articular um tema com o que qualifica deduzidos por aquelas que ali estão,
sua melhor resposta ou solução, tendo trabalhar com fórmulas e conceitos.
que, para isso, realizar procedimentos Nesse sentido, também fazemos uso da
ou dominar os meios requeridos, linguagem, à medida que formulamos
considerando as informações hipóteses para compreender um
disponíveis na questão. fenômeno ou fato, ou elaboramos
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36. Livro do Professor
conjecturas, idéias e suposições em um problema ou questão, seja encontrar
relação a ele. Nesse jogo de elaborações ou produzir sua solução, a ação ou
e suposições, trabalhamos, do ponto de operação que se quer destacar é a de
vista operatório, com a lógica da saber enfrentar, sendo o resolver, por
combinatória (Inhelder e Piaget, 1955), a certo, seu melhor desfecho, mas não o
partir da qual é preciso considerar, ao único. Ou seja, o enfrentamento de
mesmo tempo, todos os elementos situações-problema relaciona-se à
presentes em uma dada situação. capacidade de o sujeito aceitar desafios
que lhe são colocados, percorrendo um
SELECIONAR, ORGANIZAR, RELACIONAR,
processo no qual ele terá que vencer
INTERPRETAR, TOMAR DECISÕES E ENFRENTAR
obstáculos, tendo em vista um certo
SITUAÇÕES-PROBLEMA
objetivo. Quando bem sucedido nesse
O objetivo da Competência III é avaliar enfrentamento, pode-se afirmar que o
se o aluno sabe “selecionar organizar
selecionar organizar,
selecionar, sujeito chegou à resolução de uma
relacionar interpretar dados e
relacionar,
situação-problema. Produzir resultados
informações representados de diferentes com êxito no contexto de uma situação-
formas, para tomar decisões e enfrentar problema pressupõe o enfrentamento da
situações-problema”.
situações-problema mesma. Pressupõe encarar dificuldades e
Talvez a melhor forma de analisarmos as obstáculos, operando nosso raciocínio
ações ou operações avaliadas nessa dentro dos limites que a situação nos
competência seja fazermos a leitura em coloca. Tal como em um jogo de
sua ordem oposta: enfrentar uma tabuleiro, enfrentar uma partida
situação-problema implica selecionar, pressupõe o jogar dentro das regras – o
organizar, relacionar e interpretar dados jogar certo –, sendo as regras aquilo que
para tomar uma decisão. De fato, assim nos fornecem as coordenadas e os
é. Tomar uma decisão implica fazer um limites para nossas ações, a fim de
recorte significativo de uma realidade, às percorrermos um certo caminho durante
vezes, complexa, ou seja, que pode ser a realização da partida. No entanto, nem
analisada de muitos modos e que pode sempre o jogar certo é o suficiente para
conter fatores concorrentes, no sentido que joguemos bem, isto é, para que
de que nem sempre é possível dar vençamos a partida, seja porque nosso
prioridade a todos eles ao mesmo adversário é mais forte, seja porque não
tempo. Selecionar é, pois, recortar algo soubemos, ao longo do caminho,
destacando o que se considera colocar em prática as melhores
significativo, tendo em vista um certo estratégias para vencer. (Macedo, Petty
critério, objetivo ou valor. Além disso, e Passos, 2000)
tomar decisão significa organizar ou Da mesma maneira, uma situação –
reorganizar os aspectos destacados, problema traz um conjunto de
relacionando-os e interpretando-os em
informações que, por analogia, funcionam
favor do problema enfrentado. como as regras de um jogo, as quais, de
Reparem que enfrentar uma situação- maneira explícita, impõem certos limites
problema não é o mesmo que resolvê- ao jogador. É a partir desse dado real – as
la. Ainda que nossa intenção, diante de regras – que o jogador enfrentará o jogo,
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37. II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA
mobilizando seus recursos, selecionando Consideremos que convencer significa
certos procedimentos, organizando suas vencer junto, ou seja, implica aceitar
ações e interpretando informações para que o melhor argumento pode vir de
tomar decisões que considere as melhores muitas fontes e que nossas idéias de
naquele momento. partida podem ser confirmadas ou
Tendo em vista esses aspectos, o que a reformuladas total ou parcialmente no
competência III busca valorizar é a jogo das argumentações. Assim, saber
possibilidade de o sujeito, ao enfrentar argumentar é convencer o outro ou a si
situações-problema, considerar o real mesmo sobre uma determinada idéia.
como parte do possível (Inhelder e Convencer o outro porque, quando
Piaget, 1955). Se, para ele, as adotamos diferentes pontos de vista
informações contidas no problema forem sobre algo, é preciso elaborar a melhor
consideradas como um real dado que justificativa para que o outro apóie
delimita a situação, pode transformá-lo nossa proposição. Convencer a si
em uma abertura para todos os possíveis. mesmo porque, ao tentarmos resolver
um determinado problema,
RELACIONAR E ARGUMENTAR
necessitamos relacionar informações,
O objetivo da competência IV é verificar conjugar diversos elementos presentes
relacionar
se o aluno sabe “relacionar informações, em uma determinada situação,
representadas em diferentes formas, e estabelecendo uma linha de
conhecimentos disponíveis em situações argumentação mental sem a qual se
concretas, para construir torna impossível uma solução
argumentação consistente”. satisfatória. Nesse sentido, construir
Relacionar refere-se às ações ou argumentação significa utilizar a melhor
operações por intermédio das quais estratégia para apresentar e defender
pensamos ou realizamos uma coisa em uma idéia; significa coordenar meios e
função de outra. Ou seja, trata-se de fins, ou seja, utilizar procedimentos que
coordenar pontos de vista em favor de apresentem os aspectos positivos da
uma meta, por exemplo, defender ou idéia defendida.
criticar uma hipótese ou afirmação. Para Por isso, a competência IV é muito
isso, é importante sabermos descentrar, valorizada no mundo atual, tendo em
ou seja, considerar uma mesma coisa vista que vivemos tempos nos quais as
segundo suas diferentes perspectivas ou sociedades humanas, cada vez mais
focos. Dessa forma, a conclusão ou abertas, perseguem ideais de democracia
solução resultante da prática relacional e de igualdade. Em certo sentido, a vida
expressa a qualidade do que foi analisado. pede o exercício dessa competência, pois
Saber construir uma argumentação hoje a maioria das situações que
consistente significa, pois, saber mobilizar enfrentamos requerem que saibamos
conhecimentos, informações, experiências considerar diversos ângulos de uma
de vida, cálculos, etc. que possibilitem mesma questão, compartilhando
defender uma idéia que convence alguém diferentes pontos de vista, respeitando as
(a própria pessoa ou outra com quem diferenças presentes no raciocínio de
sediscute) sobre alguma coisa. cada pessoa. De certa forma, essa
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38. Livro do Professor
competência implica o exercício da articular meios e fins, pensar e atuar
cidadania, pois argumentar hoje se refere coletivamente.
a uma prática social cada vez mais A sociedade contemporânea diferencia-
necessária, à medida que temos que se de outras épocas por suas
estabelecer diálogos constantes, transformações contínuas em todos os
defender idéias, respeitar e compartilhar setores. Dessa maneira, as mudanças
diferenças. sociais, políticas, econômicas, científicas
RECORRER, ELABORAR, RESPEITAR E CONSIDERAR e tecnológicas de hoje se fazem com
uma rapidez enorme, exigindo do
O objetivo da competência V é valorizar a
homem atualizações constantes. Não
possibilidade de o aluno “recorrer aos
recorrer
mais é possível que solucionemos os
conhecimentos desenvolvidos na escola
problemas apenas recorrendo aos
para elaboração de propostas de
conhecimentos e à sabedoria que a
intervenção solidária na realidade,
humanidade acumulou ao longo dos
respeitando os valores humanos e
tempos, pois estes muitas vezes se
considerando a diversidade
mostram obsoletos. A realidade nos
sociocultural”.
impõe hoje a necessidade de criar novas
Recorrer significa levar em conta as
soluções a cada situação que
situações anteriores para definir ou enfrentamos, sem que nos pautemos
calcular as seguintes até chegar a algo apenas por esses saberes tradicionais.
que tem valor de ordem geral. Uma das
Por essas razões, elaborar propostas é
conseqüências, portanto, da recorrência é
uma competência essencial, à medida
sua extrapolação, ou seja, podermos
que ela implica criar o novo, o atual.
aplicá-la a outras situações ou encontrar
Mas, para criar o novo, é preciso que o
uma fórmula ou procedimento que
sujeito saiba criticar a realidade,
sintetiza todo o processo. Elaborar
compreender seus fenômenos,
propostas, nesse sentido, é uma forma de
comprometer e envolver-se ativamente
extrapolação de uma recorrência. Propor
com projetos de natureza coletiva. Vale
supõe tomar uma posição, traduzir uma
dizer que tal competência exige a
crítica em uma sugestão, arriscar-se a
capacidade do sujeito exercer
sair de um papel passivo. Por extensão,
verdadeiramente sua cidadania, agindo
acarreta a mobilização de novas
sobre a realidade de maneira solidária,
recorrências, tornando-se solidário, isso
envolvendo-se criticamente com os
é, agindo em comum com outras pessoas
problemas da sua comunidade, propondo
ou instituições. Este agir em comum
novos projetos e participando das
implica aprender a respeitar, ou seja,
decisões comuns.
considerar o ponto de vista do outro,
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41. III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
A Matemática no Ensino Fundamental
Célia Maria Carolino Pires
Este texto tem a finalidade de cada vez mais do conhecimento
contribuir para o trabalho de tecnológico. Explicitar essa necessidade
professores e especialistas em é uma das contribuições deste material.
Educação de Jovens e Adultos. Ele A proposta de construção autônoma de
está organizado em duas partes. conhecimentos por estudantes, com ou sem
Inicialmente apresentamos alguns a interferência da escola, nos remete ao que
elementos sobre o conhecimento Dowbor (1994) aponta como
matemático e seu papel na formação do transformações significativas em termos do
cidadão do novo milênio, para, em chamado “espaço do conhecimento” que
seguida, relacionar essa reflexão à caracteriza sociedades contemporâneas:
formulação das diferentes competências • é necessário repensar de forma mais
que devem ser constituídas por um dinâmica a questão do universo de
jovem ou adulto ao final do Ensino conhecimentos a trabalhar;
Fundamental.
• neste universo de conhecimentos,
Como aprender Matemática é um direito assumem maior importância relativa às
básico desses jovens e adultos, a linha metodologias, reduzindo-se ainda mais
orientadora deste trabalho evidencia o a dimensão “estoque” de conhecimentos
papel dessa área de conhecimento na a transmitir;
formação de todas as pessoas, atendendo
• aprofunda-se a transformação da
a suas necessidades individuais e sociais.
cronologia do conhecimento: a visão de
Sabemos que a falta de recursos para homem que primeiro estuda, depois
obter e interpretar informações impede a trabalha e depois se aposenta, torna-se
participação efetiva e a tomada de cada vez mais anacrônica e a
decisões em relação aos problemas complexidade das diversas cronologias
sociais e dificulta o acesso às posições de aumenta;
trabalho numa sociedade que depende
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42. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• modifica-se profundamente a função do compatível com os saberes que
educando, em particular do adulto, como construíram ao longo de sua vivência.
sujeito da própria formação diante da Assim, a Matemática a ser ensinada e
diferenciação da riqueza dos espaços de avaliada deve ter, por um lado, um
conhecimento nos quais deverá participar; caráter prático, na medida em que ajuda
• a luta pelo acesso aos espaços de a resolver problemas do cotidiano das
conhecimento vincula-se ainda mais pessoas, não só permite que não sejam
profundamente ao resgate da cidadania , enganadas, mas também possibilita o
em particular para a maioria pobre da exercício de sua cidadania. Por outro
população, como parte integrante das lado, também deve contribuir para o
condições de vida e de trabalho; desenvolvimento do raciocínio, da
• finalmente, longe de tentar ignorar as lógica, da coerência, o que transcende
transformações, ou de atuar de forma os aspectos práticos.
defensiva, precisamos penetrar nas Quanto maiores forem a gama e a
novas dinâmicas para entender sob que diversidade de conhecimentos trabalhados
forma os seus efeitos podem ser por jovens e adultos, maior poderá ser a
invertidos, levando a um processo sua compreensão da Matemática. Desse
reequilibrador da sociedade, ao passo modo, diferentes campos da Matemática
que hoje apenas reforçam as devem integrar, de forma articulada, as
polarizações e desigualdades atividades e experiências matemáticas em
(Dowbor, p.119). qualquer projeto educativo. Não apenas as
questões aritméticas e algébricas devem
MATEMÁTICA, OS JOVENS E OS ADULTOS merecer atenção, mas também são
fundamentais os trabalhos geométricos e
As pessoas e os grupos sociais têm o métricos e os trabalhos que envolvem o
direito de serem iguais quando a raciocínio combinatório, o probabilístico e
diferença os inferioriza e o direito de as análises estatísticas.
serem diferentes quando a igualdade os Essa população deve compreender a
descaracteriza. atividade matemática como inserida no
(Santos, 1988) mundo contemporâneo ao trabalhar com
estimativa tanto quanto com cálculos
Quando se discute a educação exatos, ao fazer bom uso dos
matemática e sua apropriação por jovens equipamentos tecnológicos (como por
e adultos com pouca escolarização, a exemplo, a calculadora), ao explorar o
afirmação acima é bastante cálculo mental e dominar procedimentos
esclarecedora, pois: para a validação de resultados etc. Isso
• jovens e adultos têm direito de se pressupõe superar formas de trabalho
apropriar de conhecimentos empobrecedoras em que se manipulam
matemáticos para não serem resultados, fórmulas, regras, na resolução
discriminados, inferiorizados; mecânica de exercícios padronizados.
• jovens e adultos têm o direito de se Aspectos importantes, especialmente
apropriar de conhecimentos para jovens e adultos que não
matemáticos, de forma coerente e concluíram o ensino fundamental, são a
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43. III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
seleção e a organização de informações problemas e para a aprendizagem/
relevantes. Num mundo em que há uma construção de novos conceitos.
grande massa de informações, algumas Perrenoud explicita essa idéia.
contraditórias, outras pouco relevantes, é A supremacia do conhecimento
necessário que o cidadão consiga fazer fragmentado de acordo com as
uma triagem e uma avaliação constantes. disciplinas impede freqüentemente que
Outro aspecto fundamental é o uso da se opere o vínculo entre as partes e a
língua materna e de suas relações com a totalidade, e deve ser substituída por um
linguagem e as representações modo de conhecer capaz de apreender os
matemáticas. Os textos matemáticos objetos em seu contexto, sua
são, geralmente, os grandes ausentes complexidade, seu conjunto.
nos estudos dessa disciplina. Assim, é Para dimensionar o papel da Matemática
importante que esses jovens e adultos na formação de um jovem ou de um
possam ler e escrever pequenos textos
adulto é importante que se discuta, de
relatando suas conclusões, justificando
um lado, a natureza desse conhecimento,
as hipóteses que levantam - não
suas características principais e seus
importa se de forma correta ou não.
métodos particulares; de outro, é
Também o auto-conceito que cada fundamental discutir suas articulações
pessoa faz de sua “capacidade com outras áreas de conhecimento e
matemática” é um dos fatores suas efetivas contribuições para a
relevantes do sucesso ou do fracasso de formação da cidadania e para a
sua aprendizagem. Por esse motivo, é constituição de sujeitos da
necessário que os estudantes percebam aprendizagem.
que são capazes de resolver problemas,
de raciocinar, como fazem, MATEMÁTICA: A NATUREZA DE
cotidianamente, na sua luta pela UM CONHECIMENTO MILENAR
sobrevivência, e que relacionem suas A Matemática compõe-se de um
estratégias de solução com as propostas conjunto de conceitos e procedimentos
pelas formas canônicas da matemática. que engloba métodos de investigação e
Finalmente, o significado da raciocínio, formas de representação e
Matemática para um jovem ou um comunicação. Compõem-na tanto os
adulto deve ser ampliado para que ele seus modos próprios de compreender,
compreenda que o mesmo resulta de atuar, organizar e indagar o mundo,
conexões entre os diferentes temas construídos historicamente, como o
matemáticos e as demais áreas do conhecimento gerado nesses processos
conhecimento e as situações do de interação do homem com os
cotidiano. contextos naturais, sociais e culturais.
Assim, o estabelecimento de relações é A Matemática tem sido considerada
fundamental para que o estudante muitas vezes como um corpo de
compreenda efetivamente os conteúdos conhecimento imutável e verdadeiro, que
matemáticos, pois, abordados de forma deve ser assimilado pelo sujeito. No
isolada, eles não se tornam uma entanto, ela é uma ciência viva, tanto no
ferramenta eficaz para resolver cotidiano dos cidadãos, como nos
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44. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
centros de pesquisa ou de produção de independente da mente que as
novos conhecimentos, os quais têm-se contempla. No entanto, a qualquer
constituído instrumentos úteis na tempo, os matemáticos têm somente
solução de problemas científicos e uma visão incompleta e fragmentária
tecnológicos, em diferentes áreas do deste mundo das idéias (ibid, p. 360).
conhecimento. Jovens e adultos precisam Já para o Formalismo, não há objetos
de informações adequadas que lhes matemáticos. A Matemática consiste
permitam conceber a Matemática dessa somente de axiomas, definições e
forma, para encará-la sem medo e sem os teoremas, em outras palavras, fórmulas.
preconceitos tão comuns. Eles podem Em uma visão extrema, existem regras
construir uma relação mais rica com o por meio das quais se deduz uma
conhecimento matemático na medida em fórmula da outra, mas as fórmulas não
que descobrirem que a Matemática se se referem à coisa alguma, eles são
aplica às mais variadas atividades somente cadeias de símbolos.
humanas – das mais simples utilizações
Se por um lado, formalistas e platonistas
na vida cotidiana às mais complexas
estão em extremos opostos do problema
elaborações de outras ciências.
da existência e da realidade, por outro,
É interessante observar que, mesmo entre ambos não discutem por que os
matemáticos, nem sempre há consenso princípios de raciocínio deveriam ser
quanto à natureza do conhecimento da admissíveis na prática matemática.
área. A esse respeito, podemos destacar o Opostos a ambos estão os construtivistas
que Davis & Hersh (1986) apresentam que consideram matemática genuína
sobre os dogmas-padrão presentes em somente o que pode ser obtido por uma
qualquer discussão sobre os fundamentos construção finita.
da matemática, ou seja, o Platonismo, o
Há, portanto, maneiras diferentes e
Formalismo e o Construtivismo.
controversas no que diz respeito ao que
Segundo o Platonismo, os objetos vêm a ser a matemática e o pensamento
matemáticos são reais. Sua existência é matemático. Evidentemente, também não
fato objetivo, totalmente independente há concordância absoluta quando se
de nosso conhecimento sobre eles. Estes discutem propostas para o ensino e a
objetos não são, naturalmente, físicos ou aprendizagem dessa disciplina.
materiais. Existem fora do espaço e do
A ATIVIDADE MATEMÁTICA COMO CRIAÇÃO,
tempo da experiência física. São
PRODUÇÃO, FABRICAÇÃO
imutáveis - não foram criados e não
mudarão ou desaparecerão. Citando Em parte significativa da produção
Thom (1971), adepto entusiasta do didática para o ensino de Matemática,
platonismo, aqueles autores destacam a podem-se perceber alguns consensos.
seguinte afirmação: Em primeiro lugar, a atividade
Levando tudo em conta, os matemáticos matemática da sala de aula passa a ser
deveriam ter a coragem de suas vista não mais como o olhar e o
convicções mais profundas ao afirmar desvelar, mas como a criação, a
assim que as formas matemáticas têm, produção, a fabricação.
com efeito, uma existência que é
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45. III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
Em segundo lugar, os conceitos processos pelos quais os conceitos
matemáticos não são mais entendidos matemáticos se formam e se
como sendo transmitidos hereditariamente, desenvolvem, fornecendo o quadro das
como dom, ou socialmente, como capital características próprias da atividade
cultural, mas, sim, como o resultado de um matemática na história. De outro lado,
trabalho do pensamento – o dos buscam a compreensão dos processos
matemáticos, no curso da história, e o do gerais do pensamento presentes na
aluno, no curso de sua aprendizagem. construção do conhecimento
Um outro aspecto que agrega um grande matemático de cada indivíduo.
número de adeptos refere-se ao Desse modo, quer na explicitação da
compromisso com a democratização do formação histórica dos conceitos e
ensino dessa disciplina, o que supõe o processos matemáticos, de suas
rompimento com uma concepção elitista contradições, rupturas, reestruturações,
de um universo matemático que existiria do desenvolvimento e interrelações dos
em si mas que só seria acessível a vários campos da matemática, quer na
algumas pessoas. Hoje se pensa a explicação da formação dos conceitos
atividade matemática como um trabalho pelos indivíduos, a presença da
acessível a todos, desde que se atendam Epistemologia no campo da Didática da
certas orientações pedagógicas. Matemática fica patente e mostra que
Há, atualmente, uma grande preocupação são dois campos inseparáveis em
no sentido de desfazer dois mitos: o qualquer reflexão sobre o ensino.
primeiro, do tipo biológico/genético, Ainda sobre essa questão, Charlot
segundo o qual “Matemática é algo para (1987) considera que as concepções
quem tem dom”, para quem é tradicionais de aprendizagem da
geneticamente dotado de certas qualidades; Matemática baseavam-se em um
outro, do tipo sociológico, segundo o qual é conjunto de crenças que resume da
preciso ter um capital cultural para atingir o seguinte forma:
universo matemático. O matemático revela as verdades e o
Contrapor o “trabalho” à dupla “dom/ professor deve dirigir o ‘olhar da alma’
capital” é um desafio a que se responde do estudante para essas verdades. Em
pela idéia de que fazer matemática é conseqüência, o que o professor retira
fundamental. Isso significa não mais da atividade do matemático não é mais
receber coisas prontas para memorizar, e a atividade, ela mesma, que muito mais
sim desenvolver um trabalho em que o freqüentemente ele próprio ignora, ou
pensamento constrói conceitos. Ao quando não silencia, mas são os
resolver problemas partindo de conceitos resultados dessa atividade, os teoremas,
já construídos, levantando hipóteses, as demonstrações, as definições, os
testando-as, fazendo transferências, é que axiomas. O professor é também levado a
os conceitos matemáticos se constroem. supervalorizar a forma na qual esses
Nesse contexto, as investigações resultados são apresentados.
predominantes hoje são as que buscam, De acordo com as tendências mais
de um lado, explicações sobre os recentes, o rigor de pensamento e a
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46. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
correção do vocabulário não se colocam desenvolver nos alunos a capacidade de se
como exigências impostas ao estudante. posicionar diante das estatísticas, das
Eles continuam sendo um dos objetivos pesquisas, dos índices, das tabelas, dos
essenciais da aprendizagem matemática, gráficos, da utilização da argumentação
mas adquirem novos contornos: o rigor, matemática nos discursos sociais e
em si mesmo não faz sentido, ou seja, políticos, fazendo com que não sejam
espera-se que o estudante possa usar a levados a conceber a Matemática como
linguagem matemática não de forma um universo muito particular e inacessível.
arbitrária mas como uma necessidade de É, enfim, a aprendizagem matemática
quem deseja comunicar os resultados de repousando sobre uma concepção de
sua atividade e também defendê-los homem e de suas relações diante do saber,
diante das contestações. da cultura, da história e dos outros
Outro aspecto relevante e homens. Como afirma Santos (1988):
constantemente reforçado é o de que o Todo conhecimento é autoconhecimento:
ponto de partida da atividade a ciência moderna consagrou o homem
matemática não é a definição, mas o enquanto sujeito epistêmico mas
problema. Esse problema não é expulsou-o, tal como a Deus, enquanto
certamente um exercício em que o aluno sujeito empírico. Um conhecimento
deve aplicar, de forma quase mecânica, objetivo, factual e rigoroso não tolerava a
uma fórmula ou um procedimento. interferência dos valores humanos ou
Espera-se que o aluno possa enfrentar o religiosos. Foi nessa base que se construiu
problema interpretando-o e estruturando a distinção dicotômica sujeito/objeto.
a situação em que é apresentado. Além Hoje o objeto é a continuação do sujeito,
disso, é preciso que ele não só encontre por outros meios (...). No futuro não se
respostas para uma questão mas também tratará tanto de sobreviver como de saber
e, principalmente, saiba formular a viver. Para isso, é necessária uma outra
questão pertinente quando se encontra forma de conhecimento, um
diante de uma situação problemática. conhecimento compreensivo e íntimo que
A recompensa de um problema resolvido não nos separe e antes nos una
não é apenas a sua solução, mas a pessoalmente ao que estudamos.
satisfação do indivíduo em resolvê-lo
por seus próprios meios, é a imagem COMPETÊNCIAS E HABILIDADES
que ele pode ter de si mesmo, como MATEMÁTICAS EM DISCUSSÃO
alguém capaz de resolver problemas, de
fazer matemática, de aprender. As reflexões sobre o conhecimento
Portanto, importa também que o aluno matemático, sua natureza, seu papel na
forme uma imagem positiva de si diante sociedade hoje, sua construção
da Matemática, do saber escolar, do individual e coletiva trazem para a
mundo adulto, do futuro. educação de jovens e adultos o desafio
Desse modo, destacam-se além dos de refletir a respeito da colaboração que
aspectos psicológicos e culturais, o a Matemática tem a oferecer com vistas
enfoque social e político, na medida em à formação da cidadania. Ou seja, sua
que se ressalta a importância de contribuição para a constituição de
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47. III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
condições humanas de sobrevivência, constituídos, como também relacioná-
para a inserção das pessoas no mundo los à utilização em outros contextos
do trabalho, das relações sociais e da internos da própria matemática e em
cultura, com o desenvolvimento de problemas históricos.
posicionamento crítico e propositivo O reconhecimento desses saberes é
diante das questões sociais. fundamental para compor a malha de
Nesse sentido, é fundamental que significados de muitos conteúdos a serem
jovens e adultos sejam estimulados a estudados, embora seja importante
construir competências como as que considerar que esses significados também
serão destacadas e comentadas a seguir. devem ser explorados em outros
1. Compreender a matemática como contextos, como por exemplo, nas
construção humana, relacionando o seu questões internas da própria Matemática e
desenvolvimento com a transformação em problemas históricos.
da sociedade. 2. Ampliar formas de raciocínio e
A importância da constituição desta processos mentais por meio de intuição,
competência tem como justificativa a dedução, analogia e estimativa, utilizando
necessidade de que o conhecimento conceitos e procedimentos matemáticos.
matemático seja percebido pelo estudante No geral, acredita-se que a Matemática é
como historicamente construído. No a ciência do certo ou errado, em que
entanto, não basta o estudante aquilo que conta é saber antecipadamente
compreender os fatos históricos. É como resolver um dado problema. Ao
também necessário que ele faça ligações e valorizar a prática dos processos
tome como referência os conceitos heurísticos de pensamento, pretende-se
decorrentes das vivências pessoais e que o estudante desenvolva a autonomia
interações sociais. Jovens e adultos têm para pensar e resolver problemas.
conhecimentos bastante diversificados e Nas situações gerais de aprendizagem,
podem enriquecer a abordagem escolar mas principalmente na EJA, o
formulando questionamentos, desenvolvimento dessa competência
confrontando possibilidades, propondo depende do envolvimento do estudante
alternativas a serem consideradas. em processos de raciocínio e
No que se refere à Matemática, muitos argumentação lógica que permitem criar
jovens e adultos, mesmo com pouca uma cultura positiva em relação à
escolarização, dominam noções matemática, muito diferente daquela em
matemáticas que foram aprendidas de que se valorizam apenas procedimentos
maneira informal ou intuitiva nas suas algorítmicos e respostas rápidas e certas.
vivências práticas. Espera-se que 3. Construir significados e ampliar os já
possam ressignificar essas noções, existentes para os números naturais,
utilizando representações simbólicas inteiros e racionais.
convencionais, e construindo relações
O pensamento numérico é sem dúvida
mais amplas.
uma das importantes balizas do
Os estudantes devem reconhecer a conhecimento matemático. Desse
relevância dos saberes assim modo, é necessário que o sujeito não
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48. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
apenas amplie mas também construa A percepção dos aspectos estéticos da
novos significados para os números geometria e a sua relação com contextos
naturais, inteiros e racionais. ricos e estimulantes, como os da natureza,
Essa ampliação se verifica tanto quando da arte e da arquitetura, devem
o estudante realiza a exploração de possibilitar o estabelecimento de vínculos
situações presentes no contexto social, positivos entre o aluno e matemática.
como pela análise de alguns problemas 5. Construir e ampliar noções de grandezas
históricos que motivaram sua e medidas para a compreensão da realidade
construção. Espera-se que o aluno e a solução de problemas do cotidiano.
construa significados numéricos Talvez um dos mais férteis assuntos
mediante resolução de situações- para o estabelecimento de conexões
problema (articuladas ao cotidiano) que seja o estudo de grandezas e medidas.
envolvem números naturais, inteiros, Por um lado os estudantes devem, com
racionais, ampliando suas formas de base em contextos práticos que
raciocínio. Essa competência refere-se envolvam a atividade matemática, usar
também à possibilidade que tem o aluno estratégias de estimativa, de julgamento
de identificar, interpretar e utilizar as sobre o grau de exatidão, utilização
diferentes representações dos números adequada de instrumentos específicos
naturais, racionais e inteiros indicados (como balanças, relógios, escalímetro,
por diferentes noções. transferidor, esquadro, trenas,
4. Utilizar o conhecimento geométrico cronômetros) e seleção de instrumentos
para realizar a leitura, a representação e de unidades de medida adequadas à
da realidade e agir sobre ela. exatidão desejada. Por outro lado
A constituição de um pensamento devem estabelecer articulações com
geométrico a partir de contextos que outros temas matemáticos, sejam eles
envolvam a leitura de guias, plantas e geométricos, algébricos, numéricos,
mapas e a exploração de conceitos e estatísticos etc.
procedimentos (tais como direção e 6. Construir e ampliar noções de
sentido, ângulo, paralelismo e variação de grandezas para a
perpendicularismo, figuras geométricas, compreensão da realidade e a solução
relações entre figuras espaciais e suas de problemas do cotidiano.
representações planas, decomposição e A idéia de proporcionalidade, ao lado de
composição de figuras, transformação outras idéias, como, por exemplo, a de
de figuras, ampliação e redução de equivalência e a de igualdade,
figuras) é de enorme importância para o constituem verdadeiros eixos
exercício da cidadania. vertebradores do conhecimento
O estudo do espaço e das formas deve matemático. A proporcionalidade
levar o estudante à observação, à aparece na resolução de problemas
compreensão de relações e à utilização multiplicativos, nos estudos de
das noções geométricas para resolver porcentagem, de semelhança de figuras,
problemas e não à simples memorização na matemática financeira, na análise de
de fatos e de um vocabulário específico. tabelas, gráficos e funções.
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49. III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
Desenvolver a capacidade de analisar a pensamento algébrico pelo estudante é
natureza da interdependência de duas primordial.
grandezas em situações-problema em 8. Interpretar informações de natureza
que elas sejam diretamente científica e social obtidas da leitura de
proporcionais, inversamente gráficos e tabelas, realizando previsão
proporcionais, ou não proporcionais é de tendência, extrapolação,
uma competência fundamental para interpolação e interpretação.
resolver problemas diversos. Além disso,
No mundo atual, é fundamental que os
é também importante saber explorar
estudantes compreendam as informações
esses problemas e expressar sua variação
estatísticas representadas de diferentes
por meio de uma sentença algébrica,
formas e possam interpretar
evidenciando uma das importantes
adequadamente seus significados,
funções da álgebra.
permitindo tomar decisões diante de
7. Construir e utilizar conceitos algébricos questões políticas e sociais que dependem
para modelar e resolver problemas. da leitura crítica e interpretação de índices
A abordagem de determinados conceitos divulgados pelos meios de comunicação.
fundamentais na construção/aquisição de 9. Compreender conceitos e estratégias
conhecimentos matemáticos é muitas e situações matemáticas numéricas para
vezes suprimida ou excessivamente aplicá-los a situações diversas no
abreviada sob a alegação de que “não contexto das ciências e da tecnologia e
fazem parte da realidade dos alunos ou da atividade cotidiana.
não têm uma aplicação prática imediata”.
Saber Matemática, hoje, é cada vez mais
Tal alegação muitas vezes se baseia numa
necessário, pois ela se faz presente tanto
visão estereotipada da “realidade”, do
na quantificação do real – contagem,
potencial de jovens e adultos, e numa
medição de grandezas – como criando
concepção reducionista da própria
sistemas abstratos que organizam, inter-
Matemática, cuja importância parece ficar
relacionam e revelam fenômenos do
restrita à sua “utilidade prática”.
espaço, do movimento, das formas e dos
É importante que o conhecimento números associados quase sempre a
matemático construído ao longo da vida fenômenos do mundo físico.
de cada pessoa não fique vinculado apenas
Com o advento das calculadoras e
a um contexto concreto e único, mas que
computadores que permitem maior
possa ser generalizado e transferido a
rapidez na realização dos cálculos
outros contextos. Um conhecimento só é
numéricos ou algébricos, torna-se cada
pleno se for mobilizado em situações
vez mais ampla a gama de problemas
diferentes daquelas que serviram para lhe
que podem ser resolvidos por meio do
dar origem, sendo transferível para novas
conhecimento matemático.
situações, em outras palavras, os
estudantes devem perceber que os A educação matemática para a cidadania
conhecimentos podem ser supõe tornar os indivíduos capazes de
descontextualizados, e novamente usar metodologias que enfatizem a
contextualizados em outras situações. Para construção de estratégias, a comprovação
tanto, o desenvolvimento de um e justificativa de resultados, a
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50. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
criatividade, a iniciativa pessoal, o Da mesma forma, educadores matemáticos
trabalho coletivo e a autonomia advinda devem estar atentos ao fato de que, no
da confiança na própria capacidade para ensino dessa disciplina, as prioridades
enfrentar desafios. também mudam. Inovar os currículos, as
práticas, as formas de abordar os
ALGUMAS CONCLUSÕES
conteúdos pode evitar o risco de que
Matemáticos em todo o mundo têm jovens e adultos vejam a Matemática
chamado atenção para o fato de que há como conhecimento alienado e
uma mudança de suas prioridades na
desinteressante.
medida em que o mundo passa por
transformações e as sociedades tomam
outros rumos passando a requerer do
sujeito novas competências.
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51. III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
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52. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
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53. III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
A Matemática no Ensino Médio
Maria Silvia B. Sentelhas
A Matemática é uma criação cultural da documentos oficiais como entre
humanidade ligada à necessidade de o educadores matemáticos brasileiros.
homem resolver problemas cotidianos, Passou-se do que ensinar ao como
problemas advindos do ensinar, bem como ao porquê ensinar
desenvolvimento cultural e tecnológico em uma perspectiva sociocultural
e problemas internos à própria visando à formação da cidadania:
Matemática. É uma ciência que possui
um vasto corpo de práticas e conceitos Defende-se a necessidade de
que se mantêm em construção. contextualizar o conhecimento
Como criação cultural, a Matemática é, matemático a ser transmitido, buscar suas
em essência, resultado da reflexão do origens, acompanhar sua evolução,
homem sobre a realidade que permite explicitar sua finalidade ou seu papel na
melhor compreender essa realidade. Daí, realidade do aluno. É claro que não se
considerar-se como elementos quer negar a compreensão, nem tampouco
predominantes no conhecimento desprezar a aquisição de técnicas, mas
matemático, a ser desenvolvido no ampliar a repercussão que o aprendizado
Ensino Médio, uma maior reflexão sobre daquele conhecimento possa ter na vida
fatos reais e a realização de abstrações social daquele que o aprende.
decorrentes dessas reflexões, de modo a (Fonseca,1995, p. 53)
garantir a funcionalidade desse
conhecimento. A contextualização evoca os elementos
A posição de que o ensino de presentes na vida pessoal, social e
Matemática tem como função preparar cultural mobilizando conhecimentos
cidadãos para agir de maneira crítica e disponíveis, possibilitando o
consciente em uma sociedade altamente desenvolvimento de competências. A
complexa é a que prevalece tanto nos necessidade da contextualização do
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54. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
conhecimento matemático coloca em OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O
evidência o fato de que muitas das ENSINO MÉDIO EXPLICITAM A NECESSIDADE DO
questões originárias da Matemática TRATAMENTO INTEGRADO DAS DISCIPLINAS DA ÁREA:
surgiram de questões não matemáticas e
que parte importante de sua produção Os objetivos do Ensino Médio em cada
tem utilização em todos os ramos do área do conhecimento devem envolver,
conhecimento. de forma combinada, o desenvolvimento
Destaca-se a importância de, no ensino de conhecimentos práticos,
e na avaliação, não tratar a Matemática contextualizados, que respondam às
de modo isolado e desvinculado das necessidades da vida contemporânea, e o
exigências de ação do sujeito fora da desenvolvimento de conhecimentos mais
escola. Tanto assim que a Lei 9394/96, amplos e abstratos, que correspondam a
que estabelece as diretrizes e bases da uma cultura geral e a uma visão de
Educação Nacional (LDB), ao apresentar mundo. Para a área das Ciências da
as diretrizes específicas para os Natureza, Matemática e Tecnologias, isto
currículos do ensino médio (Art.36, é particularmente verdadeiro, pois a
incisos e parágrafos), estabelece a crescente valorização do conhecimento e
inserção da Matemática na área de da capacidade de inovar demanda
Ciências da Natureza. cidadãos capazes de aprender
continuamente, para o que é essencial
O PARECER CEB 15/98 QUE ESTABELECE AS
uma formação geral e não apenas um
DIRETRIZES CURRICULARES NACIONAIS PARA O
treinamento específico. (MEC, 1998, p. 6)
ENSINO MÉDIO EXPLICA ESSA INSERÇÃO:
A contextualização do conhecimento
matemático e o tratamento
O agrupamento das ciências da natureza
interdisciplinar proposto para seu ensino e
tem ainda o objetivo de contribuir para a
aprendizagem são imprescindíveis quando
compreensão do significado da ciência e
se tem por objetivo o desenvolvimento de
da tecnologia na vida humana e social de
competências humanas relacionadas a
modo a gerar protagonismo diante das
esse conhecimento, tal como proposto
inúmeras questões políticas e sociais para
pela LDB/96.
cujo entendimento e solução as ciências
da natureza são uma referência relevante. A ÁREA MATEMÁTICA NO ENCCEJA
A presença da Matemática nessa área se As discussões realizadas pelos
justifica pelo que de ciência tem a proponentes do ENCCEJA quanto à
matemática, pela sua afinidade com as realização de uma prova, com questões de
ciências da natureza, conhecimentos múltipla escolha, visando a avaliar as
destas últimas, e finalmente pela competências relativas às áreas de
importância de integrar a matemática conhecimento ou disciplinas que
com os conhecimentos que lhe são mais compõem a educação básica, sempre
afins. (p. 59) esbarravam na dificuldade – pelo número
excessivo de questões – de se considerar
nessa avaliação a área de Ciências da
Natureza, Matemática e suas Tecnologias.
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55. III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
A especificidade própria da Educação de assegurem aos seus estudantes
Jovens e Adultos (EJA) e os princípios identidade formativa comum aos demais
que norteiam o Exame Nacional de participantes da escolarização básica.
Certificação de Competências de Jovens Esta separação se dá apenas do ponto
e Adultos – (ENCCEJA) levaram à de vista prático para viabilizar a
constituição da área Matemática, Encceja realização das provas pelos alunos. O
– Ensino Médio separada da área das tratamento dado à área Matemática
Ciências da Natureza. O parágrafo único nesse projeto respeita e mantém as
do artigo 5º da Resolução CNE/CBE 1/ características propostas nos
2000, que estabelece as Diretrizes documentos oficiais referentes ao
Curriculares Nacionais da EJA, Ensino Médio.
fundamenta essa alteração:
O tratamento de caráter interdisciplinar
Parágrafo único: como modalidade dado neste trabalho procura estimular a
destas etapas da Educação Básica, a percepção da contribuição da
identidade própria da Educação de Matemática para a compreensão da
Jovens e Adultos considerará as problemática ambiental e para o
situações, os perfis dos estudantes, as desenvolvimento de uma visão
faixas etárias e se pautará pelos articulada do ser humano em seu meio
princípios de eqüidade, diferença e natural como construtor e
proporcionalidade na apropriação e transformador deste meio. Desse modo,
contextualização das diretrizes há uma estreita relação entre as áreas de
curriculares nacionais e na proposição Ciências da Natureza, Ciências Humanas
de um modelo pedagógico próprio, de e Linguagens e Códigos e a visão de
modo a assegurar: formação integral do sujeito. O
I - quanto à eqüidade, a distribuição desenvolvimento de competências e
específica dos componentes curriculares habilidades é um meio de proporcionar
a fim de propiciar um patamar essa formação integral.
igualitário de formação e restabelecer a Ao defender a aprendizagem de
igualdade de direitos e de oportunidades conteúdos de Matemática articulada com
face ao direito à educação; o desenvolvimento de competências,
II - quanto à diferença, a identificação e o assumimos que trabalhar para o
reconhecimento da alteridade própria e desenvolvimento de competências não se
inseparável dos jovens e dos adultos em limita a torná-las desejáveis propondo
seu processo formativo, da valorização do uma imagem convincente de seu
mérito de cada qual e do desenvolvimento possível uso, nem ensinando a teoria,
de seus conhecimentos e valores; deixando entrever sua colocação em
III - quanto à proporcionalidade, a prática. Trata-se de “aprender, fazendo, o
disposição e alocação adequadas dos que não se sabe fazer”. (Perrenoud,
componentes curriculares face às 1999, p. 55)
necessidades próprias da Educação de Consideramos que a resolução de
Jovens e Adultos com espaços e tempos problemas é a abordagem metodológica
nos quais as práticas pedagógicas que pode potencializar o
desenvolvimento de competências:
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56. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
No campo da educação escolar, praticar Os jovens e adultos envolvidos nesse
mais e mais não é o suficiente. Até no processo trazem uma carga de
campo das artes, dos esportes ou dos experiências e de expectativas de
ofícios, em que o exercício constante é inserção ou de ascensão no mercado de
indispensável, é preciso confrontar-se trabalho que devem ser consideradas, ao
com dificuldades específicas, bem se pensar a contextualização dos
dosadas, para aprender a superá-las. No problemas. Predomina neste trabalho o
campo dos aprendizados gerais, um contexto de vivência cotidiana da
estudante será levado a construir maioria das pessoas. Aproveitamos o que
competências de alto nível somente aprenderam no convívio da família, nos
confrontando-se, regular e intensamente, agrupamentos sociais, com a televisão e
com problemas numerosos que mobilizem com outros meios de comunicação para
diversos recursos cognitivos. colocar em relevo as ações de cunho
(Parrenoud, 1999, p. 57) matemático que ocorrem no cotidiano
das pessoas. Da valorização desses
É preciso, no entanto, evitar confusões saberes partimos para uma proposta em
sobre a noção de problema. Nessa que são possibilitadas ao sujeito
proposta, é considerado problema uma melhores condições de decodificar,
situação que coloca o aprendiz diante de analisar o que os meios de comunicação
uma série de decisões a serem tomadas e as demais instâncias ensinam.
para alcançar um objetivo proposto, Colocamos em relevo a relação
devendo oferecer uma resistência pragmática com o saber, seu uso
suficiente de modo que o sujeito invista imediato prevalece sobre a organização
não só seus conhecimentos disponíveis metódica dos conhecimentos.
como também suas representações. Entendemos que esse é um modo da
Os problemas também podem ser Matemática contribuir para a inserção do
situações de aprendizagem organizadas jovem ou adulto na sociedade que o
de modo a possibilitar a aquisição de marginalizou porque, para essa
novos conhecimentos. Deve ser um sociedade, não dispunha de
problema imerso em uma situação que competências para participar de seu
lhe dê sentido, não um problema processo produtivo.
artificial e descontextualizado: Nessa ótica, procuramos evidenciar a
importância de se desenvolver o
Os problemas escolares tendem a ser
conhecimento matemático, ligando-o a
apresentados, efetivamente, como
uma verdadeira necessidade de sua
enunciados perfeitamente elaborados cujos
utilização para responder a questões ou
textos costumam esconder a problemática
para realizar tarefas exigidas pela
que lhes deu origem. Isso acontece a tal
sociedade complexa na qual estamos
ponto que poderíamos falar de um autêntico
inseridos.
“desaparecimento” das questões ou das É preciso mudar radicalmente o ponto
tarefas reais que originaram as obras de vista: sair da 3ª série do 2º grau
matemáticas estudadas na escola. (especialmente do interesse real ou
(Chevallard, Bosch e Gascon, 2001, p. 130) presumido dos alunos que vão fazer um
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57. III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
curso técnico ou, então cursos recurso matemático utilizado pelo
superiores de “exatas”) para se pôr no homem, ao longo da história, para
lugar dos alunos que deixam a escola, enfrentar e resolver problemas.
por uma razão ou por outra, antes de A contribuição da Matemática no
chegar até lá, coisa que ocorre com 88% desenvolvimento de outras áreas do
dos que ingressam juntos na escola a conhecimento, sempre que a
cada ano. Para essa imensa maioria, é humanidade tem seu interesse voltado
necessário que a Matemática tenha para o estudo dos fenômenos que
aplicação prática e que esta seja tão observa ocorrerem ao seu redor, também
imediata e diretamente percebida deve ser avaliada, bem como questões
quanto possível, como, aliás, o que surgiram dentro da própria
aprendizado da leitura e da escrita. Matemática que impulsionaram seu
(Cunha, 1993, p. 181) desenvolvimento e de outras áreas,
No entanto, ressaltamos que o ensino e permitindo ao estudante reconhecer a
a aprendizagem de Matemática, na contribuição da Matemática na
Educação de Jovens e Adultos do Ensino compreensão e análise de fenômenos
Médio, mesmo que envolvidos com a naturais, e da produção tecnológica ao
realidade, não devem prescindir de longo da história.
reflexões, abstrações e definições. Situações-problema em que se valoriza a
utilização de conteúdos matemáticos
COMPETÊNCIAS DA ÁREA como recurso para a argumentação e
viabilização de intervenção na
As nove competências de área indicam comunidade permitem que se identifique
os conhecimentos matemáticos a serem a Matemática como importante recurso
avaliados nas provas do ENCCEJA. para a construção de argumentação e
1. Compreender a Matemática como que se reconheça, a partir da leitura de
construção humana, relacionando seu textos apropriados, a importância da
desenvolvimento com a transformação Matemática na elaboração de proposta
da sociedade. de intervenção solidária na realidade.
O reconhecimento da evolução dos 2. Ampliar formas de raciocínio e
registros e conhecimentos matemáticos processos mentais por meio de indução,
usados nas soluções de problemas que o dedução, analogia e estimativa, utilizando
homem enfrentou em seu cotidiano desde conceitos e procedimentos matemáticos.
o início de sua história e a identificação A importância dessa competência na
do conteúdo matemático que permitiu sua atividade matemática reside na habilidade
solução e como esse conteúdo é aplicado de formular hipóteses e conjecturas para
nas situações cotidianas de nosso tempo, depois examinar sua validade e, se
é um modo de avaliar essa competência. necessário, reformulá-las. Trata-se de
Em situações propostas o estudante deve raciocinar com o provável para
saber identificar e interpretar, a partir da desenvolver o pensamento matemático
leitura de textos apropriados, diferentes plausível. Este complementa o raciocínio
registros do conhecimento matemático ao dedutivo que utiliza leis lógicas para
longo do tempo, e, também, identificar o demonstrar resultados matemáticos.
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58. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
Para avaliar essa competência algumas naturais, inteiros, racionais e reais.
situações são apresentadas com o O conhecimento que as pessoas
objetivo de verificar se o estudante adquirem ao resolverem os problemas
utiliza procedimentos matemáticos em que se apresentam em diferentes
diferentes circunstâncias, de modo a situações da atividade humana deve ser
identificar e interpretar conceitos e ampliado. Situações nas quais a
procedimentos matemáticos expressos compreensão dos conceitos e das
em diferentes formas. relações envolvidas e a identificação de
Outras situações são propostas para regularidades possibilitam construir e
permitir ao estudante utilizar conceitos e aplicar conceitos de números naturais,
procedimentos matemáticos para inteiros, racionais e reais, para explicar
explicar fenômenos ou fatos do fenômenos de qualquer natureza, são
cotidiano. adequadas para verificar essa ampliação.
O emprego de procedimentos Da análise de experiências práticas
matemáticos na construção de emergem noções intuitivas dos números
raciocínios pode ser avaliado pela e suas operações. A familiaridade do
habilidade do estudante em utilizar estudante com diferentes representações
conceitos e procedimentos matemáticos dos números pode levá-lo a perceber
para construir formas de raciocínio que qual é mais adequada para expressar um
permitam aplicar estratégias para a resultado, evitando-se desenvolver um
resolução de problemas. tratamento exclusivamente formal. No
Destacando-se a diferença entre as entanto, a verificação da irracionalidade
conclusões obtidas de modo formal em de um dado número só é possível no
Matemática e as conclusões e decisões âmbito da própria Matemática. Nenhuma
do cotidiano que são aceitáveis, verificação empírica, nenhuma medição
possibilita-se a avaliação da habilidade de grandezas, por mais precisa que seja,
de identificar e utilizar conceitos e provará que uma medida tem valor
procedimentos matemáticos na irracional. Porém, para o número p, uma
construção de argumentação consistente. discussão sobre a razão entre o
comprimento de uma circunferência e
Situações-problema de realidade
seu diâmetro é uma possibilidade de
cotidiana permitem aferir a habilidade
conduzir o leitor na interpretação desse
do estudante em reconhecer a adequação
resultado. Com essa abordagem o que se
da proposta de ação solidária, utilizando
busca verificar é se o aluno sabe
conceitos e procedimentos matemáticos.
interpretar informações e operar com
3. Construir significados e ampliar os já números naturais, inteiros, racionais e
existentes para os números naturais, reais, para tomar decisões e enfrentar
inteiros, racionais e reais. situações-problema.
O uso cotidiano dos números deve ser Situações de estimativa ou de
avaliado na forma como são expressos enquadramento de resultados são uma
nas situações socioculturais. O objetivo forma de desenvolver e avaliar a
é verificar se o aluno sabe identificar, habilidade de utilizar os números
interpretar e representar os números
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59. III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
naturais, inteiros, racionais e reais, na O reconhecimento de semelhanças entre
construção de argumentos sobre objetos do mundo real com os entes
afirmações quantitativas de qualquer geométricos, a percepção das relações
natureza. Discussões nas quais as entre representações planas e os objetos
comparações numéricas são destacadas que lhes deram origem e suas
possibilitam a compreensão de expressões propriedades a partir dessas
como “os números falam por si”. representações são essenciais para a
Diversos problemas que a humanidade leitura do mundo. Ações envolvendo
enfrenta hoje são quantificados e essas relações permitem ao estudante
apresentados numericamente. A análise de interpretar informações e aplicar
problemas dessa natureza a partir da estratégias geométricas na solução de
avaliação dos números envolvidos é uma problemas do cotidiano. Além disso, o
forma de se indicar ao estudante qual pode conhecimento de propriedades dos entes
ser sua ação no sentido de contribuir para geométricos fornece segurança nas
a alteração da situação estudada. Desse justificativas das soluções. As
modo, propõe-se a verificação do justificativas são o ponto chave das
desenvolvimento da habilidade: recorrer à discussões realizadas sobre as soluções
compreensão numérica para avaliar dos problemas propostos. Essa é uma
propostas de intervenção frente a forma de se aquilatar se o estudante
problemas da realidade. utiliza conceitos geométricos na seleção
de argumentos propostos como solução
4. Utilizar o conhecimento geométrico
de problemas do cotidiano.
para realizar a leitura e a representação
da realidade, e agir sobre ela. Outro objetivo dessa competência é o
de indicar como a geometria pode ser
A quarta competência da área refere-se
útil na solução de problemas do
ao uso de formas e propriedades
cotidiano das pessoas, não importando
geométricas na representação e
a comunidade a que pertençam. Seu
visualização de partes do mundo em que
estudo pode fornecer os elementos
estamos inseridos. Também se refere à
necessários para uma intervenção na
compreensão e ampliação da percepção
realidade de modo a melhorar as
das relações existentes entre situações
condições de vida das pessoas e, assim,
que rotineiramente vivemos e a
poder recorrer a conceitos geométricos
geometria, cujos argumentos justificam
para avaliar propostas de intervenção
alguns usos e costumes adquiridos. A
sobre problemas do cotidiano.
construção de modelos é um dos
recursos que se tem para interpretar 5. Construir e ampliar noções de
questões e visualizar soluções. O objetivo grandezas e medidas para a
é avaliar se o estudante sabe identificar compreensão da realidade e a solução
e interpretar fenômenos de qualquer de problemas do cotidiano.
natureza expressos em linguagem Nesta competência valoriza-se o fato de
geométrica e construir e identificar que as medidas quantificam grandezas
conceitos geométricos no contexto da do mundo físico, e que conhecê-las e
atividade cotidiana. saber tratar por meio delas as situações
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60. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
abundantes em nossa sociedade é de referentes a estimativas ou outras
fundamental importância. formas de mensuração de fenômenos de
Para utilizar bem as medidas é qualquer natureza com a construção de
necessário que a pessoa saiba recorrer a argumentação que possibilitem sua
registros das diversas unidades que compreensão.
podem ser úteis no cotidiano, de modo a Outro aspecto fundamental no trabalho
identificar e interpretar registros de tal com medidas é o de colocar o estudante
modo que a notação convencional de em situação na qual com o emprego de
medidas possa ser desenvolvida. medidas e estimativas delas decorrentes
As possibilidades de integração da ele possa vislumbrar possibilidades de
Matemática com outras áreas do ensino interferir na realidade para modificá-la,
são muitas quando se trata do assunto ou seja, reconhecer propostas
grandezas e medidas. As grandezas de adequadas de ação sobre a realidade,
fenômenos físicos ou sociais como utilizando medidas e estimativas.
densidade, velocidade, energia elétrica, 6. Construir e ampliar noções de
densidade demográfica, escalas de mapas variação de grandeza para a
e guias são exemplos dessas compreensão da realidade e a solução
possibilidades. Resolver situações- de problemas do cotidiano.
problema dessa natureza permite Comparações de grandezas como os
estabelecer relações adequadas entre os preços no supermercado, os ingredientes
diversos sistemas de medida. A de uma receita, a velocidade média e o
representação de fenômenos naturais e tempo são muito comuns em nosso dia-
do cotidiano são fundamentais para a a-dia. Situações-problema desse tipo são
sua interpretação. apresentadas de modo a permitir ao
Situações em que o sujeito escolhe a estudante estabelecer comparações e
unidade de medida mais adequada para perceber que existem formas de se prever
cada grandeza considerada, em que a variação de uma das grandezas se
tenha de estabelecer relações entre as conhecermos o comportamento de outra.
medidas fornecidas e operar com essas Outras situações são propostas para uso
medidas são as que possibilitam avaliar de porcentagens. Essas situações
se ele sabe selecionar, compatibilizar e permitem verificar se o estudante
operar com informações métricas de identifica grandezas direta e
diferentes sistemas ou unidades de inversamente proporcionais, interpreta a
medida na resolução de problemas do notação usual de porcentagem, identifica
cotidiano. e avalia variações de grandezas para
A exploração dos significados e usos explicar fenômenos naturais, processos
adequados de diferentes formas de socioeconômicos e da produção
mensuração, inclusive as não tecnológica.
padronizadas, em situações de tomada Problemas de contexto variado
de decisão e justificativas de escolha, envolvendo grandezas de diversas
permitem verificar a habilidade de naturezas, direta ou inversamente
selecionar e relacionar informações proporcionais, têm o objetivo de
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61. III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
ampliar a percepção do estudante sobre estudante reconhece diferentes funções
as diferentes situações nas quais esses da álgebra e sabe, assim, modelar e
conceitos são aplicados e, com isso, resolver problemas utilizando equações e
avaliar o desenvolvimento da habilidade inequações com uma ou mais variáveis.
de resolver problemas envolvendo A percepção da possibilidade de
grandezas direta e inversamente representar fenômenos na forma algébrica
proporcionais e porcentagem. e na forma gráfica é colocada em
Para compreender, avaliar e decidir destaque. O uso de representações
sobre algumas situações da vida gráficas em problemas de localização é
cotidiana, tais como qual a melhor explorado como um conhecimento já
forma de pagar uma compra ou de adquirido para se partir para as
escolher um financiamento, é necessário representações analíticas em Matemática.
conhecimento de juros simples e A partir de discussões sobre a leitura
compostos. Problemas com esses dessas representações é possível avaliar se
contextos devem ser apresentados com o o estudante é capaz de identificar e
objetivo de verificar se o aluno sabe interpretar representações analíticas de
utilizar esses conhecimentos para agir processos naturais ou da produção
com segurança em situações semelhantes tecnológica e de figuras geométricas
que venha a viver. Esses problemas como pontos, retas e circunferências, o
possibilitam ainda avaliar se ele sabe que constitui uma habilidade fundamental
identificar e interpretar variações não só para a Matemática como também
percentuais de variável socioeconômica para as áreas de Ciências Humanas e de
ou técnico-científica como importante Ciências da Natureza.
recurso para a construção de Com situações-problema bastante
argumentação consistente. diversificadas o estudante pode
O conhecimento de cálculos com desenvolver a capacidade de integrar os
porcentagem e de relações entre grandezas conhecimentos relativos às tabelas,
é um recurso bastante poderoso em nossa expressões algébricas e representações
sociedade. Para avaliar isso pode ser analíticas e, por esse meio, indicar se
interessante apresentar ao aluno situações compreende o significado e sabe realizar
em que deve analisar dados e informações operações com o uso dessas ferramentas.
reais, verificando se percebe sua Problemas nos quais o estudante possa
importância como elemento participativo expressar-se de forma gráfica ou escrita,
da comunidade. nos quais valoriza a precisão da
7. Aplicar expressões analíticas para linguagem matemática e o
modelar e resolver problemas, reconhecimento de representações
envolvendo variáveis socioeconômicas equivalentes de um mesmo conceito,
ou técnico-científicas. relacionando procedimentos associados
Partindo de situações vividas pela às diferentes representações, são um
maioria das pessoas, busca-se dar modo de avaliar a utilização da
significado à linguagem e às idéias modelagem analítica como recurso
matemáticas. Situações-problema importante na elaboração de
variadas vão permitir observar se o argumentação consistente.
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62. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
Situações nas quais o estudante A análise de dados de situações reais
necessita interpretar informações apresentados em gráficos e tabelas com
utilizando-se de ferramentas analíticas o intuito de interpretar, criticar e prever
para formar uma opinião própria que lhe resultados, além de ser um modo de
permita expressar-se criticamente sobre aplicar conhecimentos e métodos
problemas da atualidade permitem aferir matemáticos em situações reais,
o desenvolvimento da habilidade de possibilita o desenvolvimento da
avaliar, com auxílio de ferramentas habilidade de analisar o comportamento
analíticas, a adequação de propostas de de variável, expresso em gráficos ou
intervenção na realidade. tabelas, como importante recurso para a
8. Interpretar informações de natureza construção de argumentação
científica e social obtidas da leitura de consistente. Essa análise crítica e a
gráficos e tabelas, realizando previsão capacidade de inferir e prever resultados
de tendência, extrapolação, também possibilitam ao estudante
interpolação e interpretação. avaliar, com auxílio de dados
apresentados em gráficos ou tabelas, a
Situações-problema cujo contexto está
adequação de propostas de intervenção
em estreita relação com o todo social e
na realidade.
cultural da maioria das pessoas são
usadas para situar a linguagem das 9. Compreender o caráter aleatório e não
tabelas e gráficos apresentados como determinista dos fenômenos naturais e
instrumentos de expressão e raciocínio, sociais, e utilizar instrumentos
favorecendo a verificação do adequados para medidas e cálculos de
desenvolvimento das habilidades de probabilidade, para interpretar
reconhecer e interpretar as informações, informações de variáveis apresentadas
de natureza científica ou social, em uma distribuição estatística.
expressas em gráficos ou tabelas. O cidadão comum se vê hoje imerso em
A leitura e interpretação das informações uma enorme quantidade de informações
contidas nas tabelas e gráficos serve como de natureza estatística ou probabilística,
instrumentos de elaboração e compreensão difundidas em grande escala pelos meios
de estimativas e de previsão. Isso de comunicação. Desenvolver habilidades
possibilita que a habilidade de identificar que permitam ao estudante ler, interpretar
ou inferir aspectos relacionados a e saber utilizar-se desses recursos torna-se
fenômenos de natureza científica ou social, imprescindível a uma educação que
a partir de informações expressas em pretende inseri-lo na sociedade como
gráficos ou tabelas, seja avaliada. Também membro atuante. Nessa competência, as
permite observar se o aluno sabe retirar situações-problema propostas valorizam
dos gráficos ou tabelas as informações discussões sobre o caráter aleatório dos
pertinentes ao problema proposto, fenômenos para possibilitar ao aluno
indicando, assim, que sabe selecionar e identificar, interpretar e produzir registros
interpretar informações expressas em de informações sobre fatos ou fenômenos
gráficos ou tabelas para a resolução de de caráter aleatório. Diferentes fenômenos
problemas. devem ser analisados quanto a sua chance
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63. III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
de ocorrência, nas condições propostas, variável, expresso por meio de uma
de modo que o aluno aplique as idéias de distribuição estatística, como
probabilidade e análise combinatória a importante recurso para a construção de
fenômenos naturais e do cotidiano e argumentação consistente. Por outro
possa resolver problemas envolvendo lado, essas técnicas e raciocínios
processos de contagem, medida e cálculo estatísticos são, sem dúvida,
de probabilidades. instrumentos tanto das Ciências da
Situações que envolvam grande Natureza quanto das Ciências Humanas
quantidade de dados exigem do que, cada vez mais, se utilizam, em
estudante inferências e predições. Daí, é questões do mundo real, de dados
importante avaliar se ele sabe apresentados na forma de distribuição
caracterizar ou fazer inferências sobre estatística. O domínio desse
aspectos relacionados a fenômenos de conhecimento é fator imprescindível
natureza científica ou social, a partir de para que um cidadão possa desenvolver
informações expressas por meio de uma a habilidade de avaliar, com auxílio de
distribuição estatística. dados apresentados em distribuições
estatísticas, a adequação de propostas
Técnicas e raciocínios estatísticos são
de intervenção na realidade.
empregados como instrumentos de
análise de distribuição estatística para As competências propostas para essa
realizar inferências e previsões fazendo certificação possibilitam ao jovem ou
uma avaliação crítica dos resultados. adulto atuar na sociedade tendo a
Desse modo, pode-se observar se o Matemática como instrumento de
aluno sabe analisar o comportamento de mediação.
BIBLIOGRAFIA
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Bases da Educação Nacional. Diário Oficial [da] República Federativa do Brasil, ,
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Lei Darcy Ribeiro.
______. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília, DF, 1999. 4 v.
CHEVALLARD, Y.; BOSCH, M.; GASCON, J. Estudar matemáticas: o elo perdido entre o
ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artes Médicas, 2001. Traduçao de Daisy Vaz
de Moraes.
CONSELHO NACIONAL DE EDUCAÇÃO (Brasil). Câmara de Educação Básica. Parecer nº 15,
de junho de 1998. Diretrizes curriculares manuais para o ensino médio. Documenta,
Brasília, DF, n. 441, p. 3-71, jun. 1998.
______. CBE. Resolução nº1 de 2000.
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Matem∙tica 39-75.pmd 61 11/7/2003, 09:21

64. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
CUNHA, L. A. Ensino da matemática na escola pública de 1º e 2º graus: pela
matemática:
mudança de ponto de vista. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3.,
1993, Natal. Anais...
Anais...Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 1993.
FONSECA, M. C. F. R. Por que ensinar Matemática. PRESENÇA PEDAGÓGICA, Belo
Horizonte, v. 11, n. 46-54, 1995.
PERRENOUD, P. Construir as competências desde a escola Porto Alegre: Artes
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Médicas, 1999. Tradução de Bruno Charles Magne; consultoria, superv. e rev. técnica
de Maria Carmen Silveira Barbosa.
62
Matem∙tica 39-75.pmd 62 11/7/2003, 09:21

65. IV. As matrizes que estruturam as avaliações
Matem∙tica 39-75.pmd 63 11/7/2003, 09:21

66. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
CI - Dominar a norma culta CII - Construir e aplicar
da Língua Portuguesa e fazer conceitos das várias áreas do
uso das linguagens conhecimento para a
matemática, artística e compreensão de fenômenos
científica. naturais, de processos
histórico-geográficos, da
produção tecnológica e das
manifestações artísticas.
H1 - Identificar e interpretar, a H2 - Reconhecer a contribuição
M1 - Compreender a
partir da leitura de textos da Matemática na compreensão
Matemática como construção
apropriados, diferentes e análise de fenômenos
humana, relacionando o seu
registros do conhecimento naturais, e da produção
desenvolvimento com a
matemático ao longo do tecnológica, ao longo da
transformação da sociedade.
tempo. história.
M2 - Ampliar formas de
raciocínio e processos
H6 - Identificar e interpretar H7 - Utilizar conceitos e
mentais por meio de
conceitos e procedimentos procedimentos matemáticos
indução, dedução, analogia
matemáticos expressos em para explicar fenômenos ou
e estimativa, utilizando
diferentes formas. fatos do cotidiano.
conceitos e procedimentos
matemáticos.
H12 - Construir e aplicar
M3 - Construir significados
H11 - Identificar, interpretar e conceitos de números naturais,
e ampliar os já existentes
representar os números inteiros e racionais, para
para os números naturais,
naturais, inteiros e racionais. explicar fenômenos de
inteiros e racionais.
qualquer natureza.
64
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67. IV. As matrizes que estruturam as avaliações
CIII - Selecionar, organizar, CIV - Relacionar informações, CV - Recorrer aos
relacionar, interpretar dados e representadas em diferentes conhecimentos desenvolvidos
informações representados de formas, e conhecimentos para elaboração de propostas
diferentes formas, para tomar disponíveis em situações de intervenção solidária na
decisões e enfrentar concretas, para construir realidade, respeitando os
situações-problema. argumentação consistente. valores humanos e
considerando a diversidade
sociocultural.
H5 - Reconhecer, pela leitura
H3 - Identificar o recurso
de textos apropriados, a
matemático utilizado pelo H4 - Identificar a Matemática
importância da Matemática na
homem, ao longo da história, como importante recurso para
elaboração de proposta de
para enfrentar e resolver a construção de argumentação.
intervenção solidária na
problemas.
realidade.
H8 - Utilizar conceitos e
procedimentos matemáticos H9 – Identificar e utilizar H10 - Reconhecer a adequação
para construir formas de conceitos e procedimentos da proposta de ação solidária,
raciocínio que permitam matemáticos na construção de utilizando conceitos e
aplicar estratégias para a argumentação consistente. procedimentos matemáticos.
resolução de problemas.
H13 - Interpretar informações e H14 - Utilizar os números
H15 - Recorrer à compreensão
operar com números naturais, naturais, inteiros e racionais,
numérica para avaliar
inteiros e racionais, para tomar na construção de argumentos
propostas de intervenção frente
decisões e enfrentar situações- sobre afirmações quantitativas
a problemas da realidade.
problema. de qualquer natureza.
65
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68. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
CI - Dominar a norma culta CII - Construir e aplicar
da Língua Portuguesa e fazer conceitos das várias áreas do
uso das linguagens conhecimento para a
matemática, artística e compreensão de fenômenos
científica. naturais, de processos
histórico-geográficos, da
produção tecnológica e das
manifestações artísticas.
M4 - Utilizar o H16 - Identificar e interpretar H17 - Construir e identificar
conhecimento geométrico fenômenos de qualquer conceitos geométricos no
para realizar a leitura e a natureza expressos em contexto da atividade
representação da linguagem geométrica. cotidiana.
realidade, e agir sobre ela.
M5 - Construir e ampliar H22 - Estabelecer relações
noções de grandezas e H21 - Identificar e interpretar adequadas entre os diversos
medidas para a registros, utilizando a notação sistemas de medida e a
compreensão da realidade convencional de medidas. representação de fenômenos
e a solução de problemas naturais e do cotidiano.
do cotidiano.
M6 - Construir e ampliar H27 - Identificar e avaliar a
H26 - Identificar grandezas
noções de variação de variação de grandezas para
direta e inversamente
grandeza para a compreensão explicar fenômenos naturais,
proporcionais, e interpretar a
da realidade e a solução de processos socioeconômicos e
notação usual de porcentagem.
problemas do cotidiano. da produção tecnológica.
66
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69. IV. As matrizes que estruturam as avaliações
CIII - Selecionar, organizar, CIV - Relacionar informações, CV - Recorrer aos
relacionar, interpretar dados e representadas em diferentes conhecimentos desenvolvidos
informações representados de formas, e conhecimentos para elaboração de propostas
diferentes formas, para tomar disponíveis em situações de intervenção solidária na
decisões e enfrentar concretas, para construir realidade, respeitando os
situações-problema. argumentação consistente. valores humanos e
considerando a diversidade
sociocultural.
H19 - Utilizar conceitos
H18 - Interpretar informações e H20 - Recorrer a conceitos
geométricos na seleção de
aplicar estratégias geométricas geométricos para avaliar
argumentos propostos como
na solução de problemas do propostas de intervenção sobre
solução de problemas do
cotidiano. problemas do cotidiano.
cotidiano.
H24 - Selecionar e relacionar
H23 - Selecionar, informações referentes a
compatibilizar e operar estimativas ou outras formas H25 - Reconhecer propostas
informações métricas de de mensuração de fenômenos adequadas de ação sobre a
diferentes sistemas ou unidades de natureza qualquer, com a realidade, utilizando medidas e
de medida na resolução de construção de argumentação estimativas.
problemas do cotidiano. que possibilitem sua
compreensão.
H29 - Identificar e interpretar
H30 - Recorrer a cálculos com
variações percentuais de
H28 - Resolver problemas porcentagem e relações entre
variável socioeconômica ou
envolvendo grandezas direta e grandezas proporcionais para
técnico-científica como
inversamente proporcionais e avaliar a adequação de
importante recurso para a
porcentagem. propostas de intervenção na
construção de argumentação
realidade.
consistente.
67
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70. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
CI - Dominar a norma culta CII - Construir e aplicar
da Língua Portuguesa e fazer conceitos das várias áreas do
uso das linguagens conhecimento para a
matemática, artística e compreensão de fenômenos
científica. naturais, de processos
histórico-geográficos, da
produção tecnológica e das
manifestações artísticas.
H32 - Caracterizar fenômenos
H31 - Identificar, interpretar e naturais e processos da
M7 - Construir e utilizar
utilizar a linguagem algébrica produção tecnológica,
conceitos algébricos para
como uma generalização de utilizando expressões
modelar e resolver
conceitos aritméticos. algébricas e equações de 1° e
problemas.
2° graus.
M8 - Interpretar informações H37 - Identificar ou inferir
de natureza científica e social H36 - Reconhecer e interpretar aspectos relacionados a
obtidas da leitura de gráficos as informações de natureza fenômenos de natureza
e tabelas, realizando previsão científica ou social expressas científica ou social, a partir de
de tendência, extrapolação, em gráficos ou tabelas. informações expressas em
interpolação e interpretação. gráficos ou tabelas.
M9 - Compreender conceitos,
H41 - Identificar e interpretar H42 - Construir e identificar
estratégias e situações
estratégias e situações conceitos matemáticos
matemáticas numéricas para
matemáticas numéricas numéricos na interpretação de
aplicá-los a situações diversas
aplicadas em contextos fenômenos em contextos
no contexto das ciências, da
diversos da ciência e da diversos da ciência e da
tecnologia e da atividade
tecnologia. tecnologia.
cotidiana.
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71. IV. As matrizes que estruturam as avaliações
CIII - Selecionar, organizar, CIV - Relacionar informações, CV - Recorrer aos
relacionar, interpretar dados e representadas em diferentes conhecimentos desenvolvidos
informações representados de formas, e conhecimentos para elaboração de propostas
diferentes formas, para tomar disponíveis em situações de intervenção solidária na
decisões e enfrentar concretas, para construir realidade, respeitando os
situações-problema. argumentação consistente. valores humanos e
considerando a diversidade
sociocultural.
H34 - Analisar o
H33 - Utilizar expressões comportamento de variável, H35 - Avaliar, com auxílio de
algébricas e equações de 1° e 2° utilizando ferramentas ferramentas algébricas, a
graus para modelar e resolver algébricas como importante adequação de propostas de
problemas. recurso para a construção de intervenção na realidade.
argumentação consistente.
H39 - Analisar o
H40 - Avaliar, com auxílio de
H38 - Selecionar e interpretar comportamento de variável
dados apresentados em gráficos
informações expressas em expresso em gráficos ou
ou tabelas, a adequação de
gráficos ou tabelas para a tabelas, como importante
propostas de intervenção na
resolução de problemas. recurso para a construção de
realidade.
argumentação consistente.
H44 - Utilizar conceitos e
H43 - Interpretar informações H45 - Recorrer a conceitos
estratégias matemáticas
e aplicar estratégias matemáticos numéricos para
numéricas na seleção de
matemáticas numéricas na avaliar propostas de
argumentos propostos como
solução de problemas em intervenção sobre problemas de
solução de problemas, em
contextos diversos da ciência e natureza científica e
contextos diversos da ciência e
da tecnologia. tecnológica.
da tecnologia.
69
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72. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
CI - Dominar a norma culta CII - Construir e aplicar
da Língua Portuguesa e fazer conceitos das várias áreas do
uso das linguagens conhecimento para a
matemática, artística e compreensão de fenômenos
científica. naturais, de processos
histórico-geográficos, da
produção tecnológica e das
manifestações artísticas.
M1 - Compreender a H1 - Identificar e interpretar, a H2 - Reconhecer a contribuição
Matemática como partir da leitura de textos da Matemática na compreensão
construção humana, apropriados, diferentes e análise de fenômenos
relacionando o seu registros do conhecimento naturais e da produção
desenvolvimento com a matemático ao longo do tecnológica, ao longo da
transformação da sociedade. tempo. história.
M2 - Ampliar formas de
raciocínio e processos
H6 - Identificar e interpretar H7 - Utilizar conceitos e
mentais por meio de
conceitos e procedimentos procedimentos matemáticos
indução, dedução, analogia
matemáticos expressos em para explicar fenômenos ou
e estimativa, utilizando
diferentes formas. fatos do cotidiano.
conceitos e procedimentos
matemáticos.
H12 - Construir e aplicar
M3 - Construir H11 - Identificar, interpretar e
conceitos de números naturais,
significados e ampliar os representar os números
inteiros, racionais e reais, para
já existentes para os naturais, inteiros, racionais e
explicar fenômenos de
números naturais, inteiros, reais.
qualquer natureza.
racionais e reais.
70
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73. IV. As matrizes que estruturam as avaliações
CIII - Selecionar, organizar, CIV - Relacionar informações, CV - Recorrer aos
relacionar, interpretar dados e representadas em diferentes conhecimentos desenvolvidos
informações representados de formas, e conhecimentos para elaboração de propostas
diferentes formas, para tomar disponíveis em situações de intervenção solidária na
decisões e enfrentar concretas, para construir realidade, respeitando os
situações-problema. argumentação consistente. valores humanos e
considerando a diversidade
sociocultural.
H5 - Reconhecer, pela leitura
H3 - Identificar o recurso
de textos apropriados, a
matemático utilizado pelo H4 - Identificar a Matemática
importância da Matemática na
homem, ao longo da história, como importante recurso para
elaboração de proposta de
para enfrentar e resolver a construção de argumentação.
intervenção solidária na
problemas.
realidade.
H8 - Utilizar conceitos e
procedimentos matemáticos H9 – Identificar e utilizar H10 - Reconhecer a adequação
para construir formas de conceitos e procedimentos da proposta de ação solidária,
raciocínio que permitam matemáticos na construção de utilizando conceitos e
aplicar estratégias para a argumentação consistente. procedimentos matemáticos.
resolução de problemas.
H14 - Utilizar os números
H13 - Interpretar informações
naturais, inteiros, racionais e H15 - Recorrer à compreensão
e operar com números
reais, na construção de numérica para avaliar
naturais, inteiros, racionais e
argumentos sobre afirmações propostas de intervenção frente
reais, para tomar decisões e
quantitativas de qualquer a problemas da realidade.
enfrentar situações-problema.
natureza.
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74. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
CI - Dominar a norma culta CII - Construir e aplicar
da Língua Portuguesa e fazer conceitos das várias áreas do
uso das linguagens conhecimento para a
matemática, artística e compreensão de fenômenos
científica. naturais, de processos
histórico-geográficos, da
produção tecnológica e das
manifestações artísticas.
M4 - Utilizar o
H16 - Identificar e interpretar H17 - Construir e identificar
conhecimento geométrico
fenômenos de qualquer conceitos geométricos no
para realizar a leitura e a
natureza expressos em contexto da atividade
representação da realidade e
linguagem geométrica. cotidiana.
agir sobre ela.
M5 - Construir e ampliar H22 - Estabelecer relações
noções de grandezas e H21 - Identificar e interpretar adequadas entre os diversos
medidas para a registros, utilizando a notação sistemas de medida e a
compreensão da realidade convencional de medidas. representação de fenômenos
e a solução de problemas naturais e do cotidiano.
do cotidiano.
M6 - Construir e ampliar H27 - Identificar e avaliar a
H26 - Identificar grandezas
noções de variação de variação de grandezas para
direta e inversamente
grandeza para a explicar fenômenos naturais,
proporcionais, e interpretar a
compreensão da realidade processos socioeconômicos e
notação usual de porcentagem.
e a solução de problemas da produção tecnológica.
do cotidiano.
72
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75. IV. As matrizes que estruturam as avaliações
CIII - Selecionar, organizar, CIV - Relacionar CV - Recorrer aos
relacionar, interpretar dados e informações representadas conhecimentos desenvolvidos
informações representados de em diferentes formas e para elaboração de propostas
diferentes formas, para tomar conhecimentos disponíveis de intervenção solidária na
decisões e enfrentar em situações concretas, realidade, respeitando os
situações-problema. para construir valores humanos e
argumentação consistente. considerando a diversidade
sociocultural.
H19 - Utilizar conceitos
H18 - Interpretar informações H20 - Recorrer a conceitos
geométricos na seleção de
e aplicar estratégias geométricos para avaliar
argumentos propostos como
geométricas na solução de propostas de intervenção sobre
solução de problemas do
problemas do cotidiano. problemas do cotidiano.
cotidiano.
H24 - Selecionar e relacionar
H23 - Selecionar, informações referentes a
compatibilizar e operar estimativas ou outras formas H25 - Reconhecer propostas
informações métricas de de mensuração de fenômenos adequadas de ação sobre a
diferentes sistemas ou unidades de natureza quaisquer com a realidade, utilizando medidas e
de medida na resolução de construção de argumentação estimativas.
problemas do cotidiano. que possibilitem sua
compreensão.
H29 - Identificar e interpretar H30 - Recorrer a cálculos com
H28 - Resolver problemas variações percentuais de variável porcentagem e relações entre
envolvendo grandezas direta e socioeconômica ou técnico- grandezas proporcionais para
inversamente proporcionais e científica como importante avaliar a adequação de
porcentagem. recurso para a construção de propostas de intervenção na
argumentação consistente. realidade.
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76. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
CI - Dominar a norma culta CII - Construir e aplicar
da Língua Portuguesa e fazer conceitos das várias áreas do
uso das linguagens conhecimento para a
matemática, artística e compreensão de fenômenos
científica. naturais, de processos
histórico-geográficos, da
produção tecnológica e das
manifestações artísticas.
H32 - Interpretar ou aplicar
M7 - Aplicar expressões H31 - Identificar e interpretar modelos analíticos,
analíticas para modelar e representações analíticas de envolvendo equações
resolver problemas, processos naturais ou da algébricas, inequações ou
envolvendo variáveis produção tecnológica e de sistemas lineares, objetivando
socioeconômicas ou figuras geométricas como a compreensão de fenômenos
técnico-científicas. pontos, retas e circunferências. naturais ou processos de
produção tecnológica.
M8 - Interpretar informações H37 - Identificar ou inferir
de natureza científica e social H36 - Reconhecer e interpretar aspectos relacionados a
obtidas da leitura de gráficos as informações de natureza fenômenos de natureza
e tabelas, realizando previsão científica ou social expressas científica ou social, a partir de
de tendência, extrapolação, em gráficos ou tabelas. informações expressas em
interpolação e interpretação. gráficos ou tabelas.
M9 - Compreender o caráter
aleatório e não
H42 - Caracterizar ou inferir
determinístico dos
aspectos relacionados a
fenômenos naturais e sociais, H41 - Identificar, interpretar e
fenômenos de natureza
e utilizar instrumentos produzir registros de
científica ou social, a partir de
adequados para medidas e informações sobre fatos ou
informações expressas por
cálculos de probabilidade, fenômenos de caráter aleatório.
meio de uma distribuição
para interpretar informações
estatística.
de variáveis apresentadas em
uma distribuição estatística.
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77. IV. As matrizes que estruturam as avaliações
CIII - Selecionar, organizar, CIV - Relacionar CV - Recorrer aos
relacionar, interpretar dados e informações representadas conhecimentos desenvolvidos
informações representados de em diferentes formas e para elaboração de propostas
diferentes formas, para tomar conhecimentos disponíveis de intervenção solidária na
decisões e enfrentar em situações concretas, realidade, respeitando os
situações-problema. para construir valores humanos e
argumentação consistente. considerando a diversidade
sociocultural.
H33 - Modelar e resolver H34 - Utilizar modelagem H35 - Avaliar, com auxílio de
problemas utilizando equações analítica como recurso ferramentas analíticas, a
e inequações com uma ou mais importante na elaboração de adequação de propostas de
variáveis. argumentação consistente. intervenção na realidade.
H39 - Analisar o
H40 - Avaliar, com auxílio de
H38 - Selecionar e interpretar comportamento de variável
dados apresentados em
informações expressas em expresso em gráficos ou
gráficos ou tabelas, a
gráficos ou tabelas para a tabelas como importante
adequação de propostas de
resolução de problemas. recurso para a construção de
intervenção na realidade.
argumentação consistente.
H44 - Analisar o
comportamento de variável H45 - Avaliar, com auxílio de
H43 - Resolver problemas
expresso por meio de uma dados apresentados em
envolvendo processos de
distribuição estatística como distribuições estatísticas, a
contagem, medida e cálculo de
importante recurso para a adequação de propostas de
probabilidades.
construção de argumentação intervenção na realidade.
consistente.
75
Matem∙tica 39-75.pmd 75 11/7/2003, 09:21

78. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
76
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79. V. Orientação para o trabalho do professor
Matemática
Ensino Fundamental
Capítulos I ao IX
Neste bloco, são apresentadas sugestões de trabalho
para que o professor possa orientar-se no sentido
de favorecer aos seus alunos o desenvolvimento
das competências e habilidades que estruturam
a avaliação do ENCCEJA –
Fundamental.
Matemática – Ensino Fundamental
Estes textos complementam o material de orientação
de estudos dos estudantes e ambos podem ganhar seu
real significado se incorporados à experiência do
professor e à bibliografia didática já consagrada
nesta área.
77
Matem∙tica 76-150.pmd 77 11/7/2003, 09:21

80. Matem∙tica 76-150.pmd 78 11/7/2003, 09:21

81. COMPREENDER A MATEMÁTICA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA, Matemática - Ensino Fundamental
Capítulo I
RELACIONANDO O SEU DESENVOLVIMENTO COM A
TRANSFORMAÇÃO DA SOCIEDADE.
Matemática: uma
construção humana
Vinício de Macedo Santos
Partimos da suposição de que qualquer educadores, a idéia de que aprender
pessoa tem interesse e curiosidade Matemática, além de incluir o domínio
relativamente à Matemática, não só de certas noções e processos, para se
porque faz parte da natureza humana saber utilizá-los em diferentes
observar, fazer perguntas, resolver contextos, inclui também conhecer
problemas que conduzam ao sobre a Matemática. Isto porque, entre
conhecimento matemático, como as perguntas que qualquer estudante faz
também porque é necessário sobre os conhecimentos que podem
desenvolvermos certas competências auxiliá-lo na resolução de problemas
para enfrentarmos situações-problema matemáticos ou não-matemáticos, há
que envolvam tal conhecimento nas indagações
nossas atividades cotidianas. que dizem respeito à origem e
Apesar disso, percebe-se um desenvolvimento das nossas idéias e
distanciamento e resistência de grande conhecimentos em Matemática, ao
parte das pessoas em relação às tipo de raciocínio e às motivações que
situações de aprendizagem dessa área levaram o homem a inventar
do conhecimento. Esse fato revela-se a Matemática.
contraditório com a importância que a Assim, é necessário proporcionar ao
Matemática passou a ter na vida das estudante a oportunidade de travar
pessoas. Soma-se a isso a compreensão, contato e interagir com situações em que
hoje alcançada, de que estudar e perceba que o conhecimento
aprender fazem parte dos direitos de matemático, do mesmo modo que todo
qualquer cidadão. conhecimento, decorre da atividade do
No que se refere a ensinar e aprender homem empenhado em observar,
Matemática, tem ganhado força, entre compreender e transformar a natureza e
a realidade.
79
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82. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
DESENVOLVENDO A (noções como número, medida etc.).
COMPETÊNCIA • Apresentar diferentes contextos em
No texto “A Matemática: uma que a Matemática está presente (na
construção humana”, procura-se fazer escola, nos jornais, nas profissões etc.)
uma aproximação do estudante com • Caracterizar, de modo rápido e
algumas dessas questões, informando-o compreensível, que a Matemática é
sobre diferentes aspectos da constituída de diferentes campos
Matemática que utilizamos hoje, no (Aritmética, Geometria, Estatística,
nosso dia-a-dia, e que, muitas vezes, Probabilidades etc.)
nem percebemos. Procura-se também • Traduzir e apresentar essas idéias em
informá-lo sobre situações e problemas situações-problema e contextos cuja
cujas soluções no passado permitiram análise e esforço de resolução
ao homem adquirir novos possibilitem o desenvolvimento das
conhecimentos e chegar ao seguintes habilidades:
desenvolvimento científico e . identificar e interpretar diferentes
tecnológico atual. registros matemáticos utilizados
Discutir com o estudante essa dimensão pelo homem ao longo do tempo;
da Matemática, mais especificamente, . reconhecer a contribuição da
significa: Matemática na compreensão e
• Caracterizar esse conhecimento como análise de fenômenos naturais e da
uma construção humana decorrente produção tecnológica no decorrer da
da interação do homem com a história;
natureza, da observação de . identificar a Matemática como
regularidades oferecidas por vários recurso utilizado pelo homem para
fenômenos naturais (o movimento dos enfrentar problemas;
astros, da terra, as fases da lua) e de
. identificar a Matemática como meio
padrões
para a construção de argumentos;
(o fato de termos dez dedos das mãos,
a presença de duas asas nos pássaros . reconhecer a importância da
etc.). Matemática na elaboração de
propostas para a intervenção
• Recuperar alguns registros
solidária na realidade.
matemáticos históricos (números,
diferentes desenhos, figuras e motivos O texto constitui-se como uma
geométricos etc.), procurando traduzir orientação de estudos e, como tal,
o seu significado. contém informações e problematizações
que evidenciam a presença da
• Apresentar alguns dos problemas
Matemática em fenômenos e situações
enfrentados pelo homem e cujo
interpretados pelos estudantes. Tal
processo de resolução levou-o a
orientação tem o propósito de auxiliar o
construir conhecimento matemático
80
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83. V - Orientação para o trabalho do professor
estudante a recuperar, organizar e tipos. Há aquelas que promovem a
aplicar noções matemáticas já busca e aproximação de conhecimentos
adquiridas. A abordagem dos conceitos matemáticos, mediante a realização de
matemáticos e a aplicação dos mesmos pesquisas, a observação e interpretação
pelo estudante são guiadas pelo de situações e fenômenos. Há também
conjunto das habilidades pretendidas, questões objetivas, algumas em forma
definidas no âmbito global do projeto, de testes de múltipla escolha, que
que prevê a abordagem das dimensões requerem do aluno certa agilidade e o
histórica, social e cultural da manejo de conhecimentos matemáticos
Matemática e sua relação com o em contextos bem particulares.
conhecimento científico e tecnológico. O estudante será solicitado, em cada
Pretende-se que as situações-problema situação-problema, a ler um texto e
e as atividades apresentadas cativem o interpretá-lo, a observar e analisar uma
interesse do aluno para estudar e figura, colher informações e registrar
aprender mais Matemática, para se suas idéias e soluções.
sentir sujeito do seu próprio Devido à natureza deste trabalho,
conhecimento ao realizar pesquisas e grande parte das atividades e exercícios
relacionar idéias que lhe permitam do texto são, posteriormente,
compreender certos fenômenos, comentados, indicando-se informações
resolver problemas e tirar conclusões. adicionais e elementos que sirvam de
A abordagem das noções matemáticas referência para o estudante validar suas
no texto leva em conta, portanto, que a conclusões e respostas. Aqueles itens
eficiência dessa orientação depende de que demandam uma resposta objetiva
quanto o estudante for motivado para são contemplados com os resultados ao
seguir a leitura e se envolver nas final do texto.
atividades propostas, já que ele mesmo É necessário que o estudante, a partir do
conduzirá grande parte desse processo. estudo do texto e do incentivo do
Neste caso, o professor tem o professor, compreenda a relação direta
inestimável papel de somar esforços ao que existe entre sua participação e
trabalho pretendido com o texto, envolvimento nas atividades e o seu
criando, potencializando e aproveitamento.
desencadeando o interesse e a
O texto contém, ainda, uma bibliografia
capacidade desse estudante para o
que serviu de apoio à sua elaboração e
estudo da Matemática.
cujos textos principais estão aqui
Como se pretende que o estudante relacionados por se constituírem de
desenvolva competências matemáticas material de suporte ao trabalho do
e se qualifique como estudante do professor. Alguns dos títulos, a critério
Ensino Fundamental, participando de do professor, poderão ser utilizados nos
avaliações com bom aproveitamento em estudos que o estudante fará a partir do
Matemática, as atividades são de dois texto. Porém, as fontes para pesquisas
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84. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
dos estudantes dependem daquilo a que professor pode contribuir apresentando
cada um tem acesso. Nesse sentido, sugestões de livros, materiais e fontes
dada a proximidade com o estudante, o acessíveis a ele.
BIBLIOGRAFIA
ALSINA, C. et al. Invitación a la didactica de la geometria. Madrid: Sintesis, 1995.
BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: E. Blücher, 1998. Tradução de
Elza F. Gomide.
CERQUETTI; ABERKANE, F.; BERDONNEAU, C. O ensino de matemática na educação
infantil. Porto Alegre: Armed, 1997.
DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: F. Alves,
1985.Tradução de João Bosco Pitombeira.
Folha de S. Paulo, 500 receitas. São Paulo: Revista folha, dez. 1994.
IFRAH, G. Os números: história de uma grande invenção. 2. ed. Rio de Janeiro: Globo,
1989. Tradução de Stella M. Freitas Senra.
KOESTLER, A. Os sonâmbulos: história das concepções do homem sobre o universo.
Tradução de Alberto Denis. São Paulo: IBRASA, 1961. (Biblioteca História; v.7).
a
LOPES, A. J. Matemática hoje é feita assim: 6 série. São Paulo: FTD, 2000.
STEWART, I. Os números da natureza: a realidade irreal da imaginação matemática. Rio de
Janeiro: Rocco, 1996. (Ciência Atual e Mestres da Ciência). Tradução de Alexandre Torres.
SOLOMON, C. Matemática. 2. ed. São Paulo: Melhoramentos, 1977. (Prisma, v. 22).
Tradução de Maria Pia Brito de Macedo Charlier e Rene François Joseph Charlier.
TOLEDO, M. Didática de matemática: como dois e dois: a construção da matemática.
São Paulo: FTD, 1997. (Conteúdo e metodologia).
82
Matem∙tica 76-150.pmd 82 11/7/2003, 09:21

85. AMPLIAR FORMAS DE RACIOCÍNIO E PROCESSOS MENTAIS POR Matemática - Ensino Fundamental
Capítulo II
MEIO DE INDUÇÃO, DEDUÇÃO, ANALOGIA E ESTIMATIVA,
UTILIZANDO CONCEITOS E PROCEDIMENTOS MATEMÁTICOS.
A arte de
raciocinar
Célia Maria Carolino Pires
Na Educação de Jovens e Adultos, como formular e testar hipóteses, de
nas demais modalidades de ensino, a generalizar e de inferir dentro de
atividade matemática deve estar determinada lógica.
orientada para integrar, de forma
equilibrada, seu papel formativo de DESENVOLVENDO A
desenvolvimento de capacidades COMPETÊNCIA
intelectuais para a estruturação do
Assim sendo, podemos sintetizar a
pensamento e seu papel funcional de
finalidade deste texto como sendo a de
aplicação na vida prática e de resolução
estimular o aluno a ampliar formas de
de problemas nas diferentes áreas de
raciocínio e processos mentais por meio
conhecimento.
de intuição, dedução, analogia e
Neste texto, além da aplicabilidade dos estimativa, utilizando conceitos e
conhecimentos matemáticos, o papel procedimentos matemáticos. Essa
formativo merece destaque, na medida competência materializa-se em diferentes
em que se pretende que o aluno perceba habilidades:
que pode usar diferentes procedimentos
• Identificar e interpretar conceitos e
de raciocínio, na solução de um
procedimentos matemáticos expressos
problema matemático. A intenção é a de
em diferentes formas.
estimular o aluno a observar
regularidades, a elaborar conjecturas e • Utilizar conceitos e procedimentos
validá-las e a formular argumentos para matemáticos para explicar fenômenos
defender seus pontos de vista. ou fatos do cotidiano.
Pretende-se que ele observe que o • Utilizar conceitos e procedimentos
exercício da indução e da dedução são matemáticos para construir formas de
importantes no desenvolvimento da raciocínio que permitam aplicar
capacidade de resolver problemas, de estratégias para a resolução de
problemas.
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86. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• Utilizar conceitos e procedimentos elaboração de estratégias e na resolução de
matemáticos para identificar a problemas, em que o aluno possa
consistência de uma argumentação. desenvolver processos importantes como
• Reconhecer a adequação da proposta intuição, analogia, indução e dedução, e
de ação solidária, utilizando conceitos não atividades voltadas para a
e procedimentos matemáticos. memorização, desprovidas de
compreensão ou de um trabalho que
No capítulo, os conteúdos conceituais e
privilegie a formalização de conceitos, sem
procedimentais têm papel ilustrativo de
significados.
conteúdos de natureza atitudinal. O que
se pretende é mostrar situações em que As atividades propostas caracterizam-se
o que está em jogo é a capacidade de pela problematização de situações em
investigar, de perseverar na busca de que o aluno precisa identificar e
soluções e, principalmente, de valorizar interpretar alguns conceitos e
o uso de estratégias de verificação e procedimentos matemáticos,
controle de resultados. relacionados a fatos do cotidiano e
também a fenômenos da natureza, das
Analisando diferentes estratégias para
ciências humanas e das ciências sociais.
resolver uma situação-problema e
Elas fazem referência a alguns aspectos
reconhecendo que existem diversas
históricos do conhecimento
formas de resolução que podem ser
matemático, buscando elucidar
empregadas, o aluno poderá ir
estratégias usadas para a resolução de
modificando suas representações sobre
problemas. Destacam ainda alguns
a atividade matemática e sobre o papel
aspectos da lógica matemática, como as
dos conteúdos. À medida que o aluno é
falácias, as implicações que podem ser
capaz de dizer se uma regra matemática
utilizadas pelos alunos para identificar a
se aplica em diversos exemplos e
consistência de uma argumentação e a
contra-exemplos, ele se mostra capaz
adequação de propostas de ação
de utilizar conceitos como instrumentos
solidária, usando ferramentas
de ação, mesmo que ainda não possa
matemáticas.
formulá-los.
Partimos do princípio de que o
A resolução de problemas é a estratégia
pensamento matemático de um aluno
metodológica privilegiada; desse modo, as
avança quando ele é estimulado a utilizar
soluções das situações apresentadas não
seus conhecimentos prévios para
estão disponíveis de início, mas podem ser
resolver outros problemas, o que exige
construídas pelo aluno, ao colocar em ação
transferências, retificações, rupturas,
habilidades de análise e interpretação das
novas informações que possibilitam a
situações e ao buscar estratégias de
constituição de “novos” conhecimentos.
solução, usando diferentes formas de
raciocínio. Para tanto, é fundamental que o aluno
seja estimulado a ler textos, a
As situações de aprendizagem estão
interpretar significados, a pensar de
centradas na construção de significados, na
forma criativa.
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87. V - Orientação para o trabalho do professor
Assim sendo, ao utilizar este texto, esse É fundamental ainda que o trabalho não
processo de lançar mão de se limite aos textos e às propostas de
conhecimentos prévios e ampliá-los atividades apresentadas, mas que este
deve nortear os estudos tanto em texto seja um roteiro de estudo, a ser
situações de trabalho individual, como ampliado pela consulta de outras fontes
em grupo, de modo que o aluno possa bibliográficas.
desenvolver o raciocínio, perceber É interessante que o aluno vá registrando
formas indutivas ou dedutivas de possíveis dúvidas em relação às
organização do pensamento, estabelecer atividades comentadas e também aos
analogias, argumentar, ampliando, exercícios propostos em que são
assim, significativamente, sua fornecidas as respostas. O processo de
capacidade para abstrair elementos auto-avaliação deve ser orientador de
comuns a várias situações, fazer quais conceitos ou procedimentos
conjecturas, generalizações e deduções precisam ser melhor trabalhados com
simples. ajuda do professor.
BIBLIOGRAFIA
D’AMBROSIO, U. Globalização, educação multicultural e etnomatematica. 1997.
Brasília, DF: MEC: SEF. Texto apresentado na: JORNADA DE REFLEXÃO E CAPACITAÇÃO
SOBRE MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA DE JOVENS E ADULTOS, 1997.
______. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e matemática. Campinas,
Unicamp, 1986.
DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. 3. ed. Rio de Janeiro: F. Alves,
1986. Tradução de João B. Pitombeira.
DUVAL, R. Argumenter, démontrer, expliquer: continuité ou rupture cognitive.
Strasbourg: IREM, n. 31, 1993.
FREUDENTHAL, H. Problemas mayores de la educación matematica. Dordrecht: D.
Reidel, 1981. Versão ao espanhol: Alejandro López Yánez.
GARDNER, H. Estruturas da mente: a teoria das inteligências múltiplas. Tradução de
Sandra Costa. Porto Alegre: Artes Médicas, 1994.
JAPIASSU, H. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, 1976.
(Logoteca).
LÉVY, P. As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da
informática. Rio de Janeiro: Ed. 34, 1993. (Trans). Tradução de Carlos Irineu da Costa.
85
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88. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
MACHADO, N. J. Epistemologia e didática: a alegoria como norma e o conhecimento
como rede. São Paulo, 1994. Tese (Livre Docência)- Faculdade de Educação,
Universidade de São Paulo.
PIRES, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São
Paulo: FTD, 2000.
PIRES, C. M. C. et al. Educação matemática. São Paulo: Atual, 2002.
SCHOENFELD, A. H. Mathematical problem solving. New a York: Academic Press,
1985.
86
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89. CONSTRUIR SIGNIFICADOS E AMPLIAR OS JÁ EXISTENTES PARA Matemática - Ensino Fundamental
Capítulo III
OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS E RACIONAIS.
Os números: seus usos e
seus significados
Wanda Silva Rodrigues
Construir significados e ampliar os já • Identificar, interpretar e representar os
existentes para os números naturais, números naturais, inteiros e racionais.
inteiros e racionais, a partir de seus usos • Construir e aplicar conceitos de
e significados e também relacionando- números naturais, inteiros e racionais,
os ao seu desenvolvimento histórico, é para explicar fenômenos de qualquer
uma das competências mais importante natureza.
a ser desenvolvida no Ensino
• Interpretar informações e operar com
Fundamental.
números naturais, inteiros e racionais,
A importância desse tema é bastante para tomar decisões e enfrentar
reconhecida por professores e alunos, situações-problema.
pelo seu uso no cotidiano das pessoas.
• Utilizar os números naturais, inteiros e
Os números estão presentes nas notícias
racionais, na construção de
veiculadas em jornais e revistas, em
argumentos sobre afirmações
textos científicos, históricos,
quantitativas de qualquer natureza.
geográficos, nas compras e vendas, nas
• Recorrer à compreensão numérica
expressões de medidas, nas estatísticas.
para avaliar propostas de intervenção
frente a problemas da realidade.
DESENVOLVENDO A
Os números naturais são explorados nas
COMPETÊNCIA
diferentes situações em que aparecem
O propósito deste texto é, portanto, com a finalidade de representar os
possibilitar ao leitor construir, ampliar resultados de contagens ou de
e/ou reconstruir significados para os ordenações, e também para codificar. É
números naturais, inteiros e racionais, importante que o aluno tenha
por meio de sua inserção em contextos oportunidade de realizar a leitura e
significativos de modo a desenvolver as escrita de números “grandes” e
seguintes habilidades:
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90. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
desenvolver uma compreensão mais vista expressos, cada vez com mais
consistente das regras que caracterizam clareza, permitem ao leitor fazer
o sistema de numeração que utiliza. interpretações de significados,
Já os números inteiros negativos são conjecturas, generalizações e deduções
explorados pela análise de situações em simples. Com isso, desenvolvem-se o
que representam diferença, “falta”, pensamento indutivo e o dedutivo. Essa
apoiando-se em idéias intuitivas que os conexão com a realidade torna possível
alunos já têm sobre esses números por a leitura e a interpretação dos números
vivenciarem situações de perdas e em textos jornalísticos, científicos,
ganhos num jogo, débitos e créditos histórico-geográficos, e em gráficos e
bancários ou outras situações. O estudo tabelas, possibilitando tomadas de
dos números racionais, nas suas decisão e uma intervenção frente a
representações fracionária e decimal, problemas da realidade.
partem da exploração de alguns de seus Parte significativa das atividades
significados, tais como: a relação propostas envolve a leitura e
parte/todo, quociente, razão. interpretação de textos adaptados de
jornais e revistas em que os dados
Ao longo do texto, a resolução de
numéricos desempenham importante
situações - problema com números
papel.
naturais, racionais e inteiros permite a
ampliação do sentido operacional, que se Os textos foram selecionados de modo a
desenvolve simultaneamente à explicitar a relação dos conhecimentos
compreensão dos significados dos matemáticos com temas de interesse
números. social, ligados às questões ambientais, ao
trabalho e ao consumo, ao
Em algumas atividades explora-se a
desenvolvimento tecnológico, entre
compreensão de regras do cálculo com
outros.
naturais, inteiros e racionais pela
observação de regularidades. Outras atividades têm como finalidade
chamar a atenção sobre os aspectos
A resolução de problemas é a estratégia
matemáticos que envolvem os estudos
metodológica privilegiada. Essa opção
dos números, tão importantes quanto os
traz implícita a convicção de que o
que tratam de seus usos e significados
conhecimento matemático ganha
sociais. Dentre essas atividades,
significado quando, diante de situações
destacam-se as que estimulam o aluno a
desafiadoras, são desenvolvidas
perceber regularidades, a estabelecer
estratégias de resolução possibilitando a
semelhanças e diferenças entre escritas
mobilização de conhecimentos e o
numéricas, a analisar definições.
desenvolvimento da capacidade para
generalizar informações e argumentar É fundamental que o estudo não se
sobre elas. limite aos textos e propostas de
atividades apresentadas, mas que este
É na argumentação dos problemas do
capítulo seja um roteiro de estudo, a ser
dia-a-dia que as idéias e os pontos de
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91. V - Orientação para o trabalho do professor
ampliado pela consulta de outras fontes oportunidade para que o aluno confira
bibliográficas. As atividades suas respostas e retome, se for o caso,
apresentadas em forma de teste, com pontos que ainda não foram claramente
respostas ao final, são uma compreendidos.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: matemática: séries iniciais. Brasília, DF, 1997.
______. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática: séries finais. Brasília, DF,
1997.
BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Blücher, 1974. Tradução: Elza F.
Gomide.
FAYOL, M. A criança e o número: da contagem à resolução de problemas. Porto
Alegre: Artes Médicas, 1996. Tradução de Rosana Severino di Leone.
FONSECA, M. da C. F. R. Educação matemática de jovens e adultos: especificidades,
desafios e contribuições. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.
IFRAH, G. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos
números e pelo cálculo. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. Tradução: Alberto
Muñoz e Ana Beatriz Katinsky.
LERNER DE ZUNINO, D. A matemática na escola: aqui e agora. 2. ed. Tradução de Juan
Acuma Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995.
PARRA, C. et al. Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre:
Artes Médicas, 1996. Tradução de Juan Acuna Llorens.
PERRENOUD, P. Construir as competências desde a escola. Porto Alegre: Artmed,
1999. Tradução de Bruno Charles Magne.
PIRES, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São
Paulo: F.T.D., 2000.
RODRIGUES, W. S. Base dez: o grande tesouro matemático e sua aparente
simplicidade. 2001. Dissertação (Mestrado)-Pontifícia Universidade Católica, São Paulo,
2001.
VYGOTSKY, L. S. Pensamento e linguagem. Lisboa: Antídoto, 1979. Tradução de M.
Resende.
89
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92. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
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93. UTILIZAR O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO Matemática - Ensino Fundamental
Capítulo IV
PARA REALIZAR A LEITURA E A REPRESENTAÇÃO
DA REALIDADE E AGIR SOBRE ELA.
Geometria – leitura e
representação da realidade
Norma Kerches de Oliveira Rogeri
O pensamento geométrico é um recurso DESENVOLVENDO A
extremamente importante para COMPETÊNCIA
resolução de muitos problemas da nossa
A finalidade deste texto é possibilitar ao
vida cotidiana. Muitas vezes, no
aluno a utilização do conhecimento
entanto, nos deparamos com
geométrico para realizar a leitura e a
dificuldades na busca da solução desses
representação da realidade e agir sobre
problemas por “ausência” de habilidades
ela. Para isso, o aluno será estimulado a
geométricas que podem ser
construir conceitos geométricos e a
desenvolvidas a partir de situações onde
utilizá-los por meio de atividades que
a percepção, representação, construção
possibilitem os desenvolvimentos das
e concepção estão presentes.
habilidades:
O professor, ao trabalhar com a
• Identificar e interpretar fenômenos de
geometria, precisa estruturar o trabalho
qualquer natureza expressos em
de tal forma que possibilite ao aluno
linguagem geométrica.
desenvolver um tipo especial de
pensamento que lhe permita • Construir e identificar conceitos
compreender, descrever e representar, de geométricos no contexto da atividade
forma organizada, o mundo em que vive. cotidiana.
No capítulo, as atividades valorizam a • Interpretar informações e aplicar
percepção espacial para que o aluno estratégicas geométricas na solução
possa estabelecer conexões entre a de problemas do cotidiano.
Matemática e as outras áreas do • Utilizar conceitos geométricos na
conhecimento, na busca de argumentos seleção de argumentos propostos como
lógicos e de procedimentos de solução de problemas do cotidiano.
generalização. • Recorrer a conceitos geométricos para
avaliar propostas de intervenção sobre
problemas do cotidiano.
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94. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
As idéias e conceitos geométricos são medidas, possibilitando a articulação
abordados neste texto, principalmente, entre os eixos temáticos da matemática.
através de situações do cotidiano onde Neste texto, as atividades foram
aparecem como um poderoso recurso estruturadas de tal forma que
para solucionar as questões propostas. possibilitem ao aluno perceber,
Além disso, a geometria será associada representar, construir e conceber idéias
não apenas a essas dimensões práticas, e formas geométricas e, assim,
mas, também, em suas relações com a desenvolver habilidades de
Arte e a Arquitetura, ou seja, em suas visualização, percepção espacial,
relações com a estética e a harmonia. análise, criatividade, principalmente,
A resolução de problemas é a estratégia para resolver problemas geométricos da
metodológica privilegiada, pois sua vida cotidiana. No entanto, a
possibilita ao aluno a análise e a aprendizagem não decorre das
interpretação de situações e, atividades propostas ao aluno, mas sim,
principalmente, a aplicação das idéias e das relações que ele estabelece a nível
conceitos geométricos na busca de de pensamento entre significados e
soluções dessas situações. conceitos. Assim, o texto deve
As atividades propostas caracterizam-se representar uma estratégia que
pela problematização de situações em possibilite e promova a reflexão do
que o aluno precisa identificar e aluno sobre aspectos importantes de
interpretar conceitos e procedimentos determinados conceitos que estão sendo
geométricos, usando a percepção desenvolvidos e não se limite, apenas,
espacial para compreender e representar aos textos e às propostas de atividades.
os fenômenos da natureza, gerando, Ele deve ser um fio condutor do
com isso, possibilidades de intervenção trabalho, a ser ampliado também pela
na realidade e na busca de melhor consulta de outras fontes bibliográficas.
qualidade de vida. É importante que o aluno registre
dúvidas e questionamentos em relação
Além disso, algumas situações
às atividades do texto e que possa, com
propostas sugerem o uso de conceitos
isso, ter orientação do professor para
geométricos como ferramentas para
garantir sua aprendizagem.
resolver problemas de grandezas e
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95. V - Orientação para o trabalho do professor
BIBLIOGRAFIA
BOYER, C.B. História da Matemática. São Paulo: Blucher, 1974. Tradução de Elza F.
Gomide.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: Matemática.
Brasília, DF, 1998.
IMENES, L. M. Geometria dos mosaicos. São Paulo: Scipione, 1987. (Vivendo a
Matemática).
JAKUBO, I.; LELLIS, M. C. Para que serve matemática?: geometria. 4. ed. São Paulo:
Atual, 1992.
MACHADO, N. J. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. Ilustrações de Rogério
Nunes Borges. 3. ed. São Paulo: Scipione, 1992. (Vivendo a Matemática).
______. Epistemologia e didática: as concepções de conhecimento e inteligência e a
prática docente. 2. ed. São Paulo: Cortez, 1996.
PIRES, C. M. C.; CURI, E. Transformando a prática das aulas de matemática. São
Paulo: Proem, 2001.
Pires, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São
Paulo: Edusp, 1995.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Experiências matemáticas de 5ª a 8ª série. Colaboração de Célia Maria
Carolino Pires et al. São Paulo, 1996. (CENP, v. 446).
93
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96. Matem∙tica 76-150.pmd 94 11/7/2003, 09:21

97. CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE GRANDEZAS E MEDIDAS Matemática - Ensino Fundamental
Capítulo V
PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DO COTIDIANO.
As medidas e a compreensão
da realidade
Dulce Satiko Onaga
Para aprender Matemática com gradativamente a vida nômade e
significado, é importante desenvolver tornaram-se, aos poucos, cada vez mais
competências que permitam estabelecer sedentários.
conexões entre estes temas e as demais Os egípcios antigos, por exemplo,
áreas do conhecimento e entre estes cultivavam as terras nas margens do rio
temas e as situações do cotidiano. Nilo. Elas eram demarcadas de acordo
Muitos dos fatos com os quais com cada grupo de agricultores. As
convivemos ou podemos observar no cheias do rio destruíam essas
dia-a-dia envolvem medidas e demarcações, o que os obrigavam a
grandezas. Elas nos dão informações refazê-las todos os anos.
sobre as distâncias que percorremos, o Para usar essas terras, os agricultores
tamanho da nossa casa, a capacidade da pagavam impostos ao Faraó. Hoje,
nossa caixa d’água, a quantidade de pagamos IPTU (Imposto Predial e
alimentos que necessitamos, o nosso Territorial Urbano), imposto que a
gasto com energia elétrica, a Prefeitura da maioria das grandes
organização do nosso tempo e outras cidades recolhe dos contribuintes que
coisas mais. possuem um imóvel ou terreno no
A necessidade de medir é muito antiga. município.
Depois que os homens foram deixando No início, é possível que as pessoas
de ser apenas caçadores e coletores de apenas comparassem grandezas.
alimentos, foram se fixando no solo, Quando pensaram em construir suas
como agricultores. Deixaram casas, fazer suas plantações, armazenar
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98. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
seus produtos, controlar sua produção, formas de mensuração de fenômenos
elas se depararam com problemas de de natureza qualquer com a
medidas. Para resolver aqueles que construção de argumentação que
envolviam comprimentos, criaram possibilite sua compreensão.
unidades de medidas que, em geral, • Reconhecer propostas adequadas de
eram provenientes do tamanho das ação sobre a realidade, utilizando
partes do corpo do governante de cada medidas e estimativas.
país. Como elas não eram comuns a
No capítulo, as atividades com medidas
todos, foram surgindo dificuldades,
são desenvolvidas estabelecendo
principalmente nas trocas comerciais.
relações com os conceitos geométricos
Começou-se então, a busca por uma
e numéricos, com proporcionalidade e
padronização de unidades, o que
as representações gráficas, pretendendo,
caracterizou melhor o desenvolvimento
assim, vincular Medidas com Números,
da noção de medir.
Geometria e Tratamento da Informação,
de modo que o trabalho com esses
DESENVOLVENDO A quatro temas se dê simultaneamente.
COMPETÊNCIA Os temas abordam situações do
A finalidade do capítulo é auxiliar o cotidiano em que são propostos
leitor no desenvolvimento da problemas que propiciem a reflexão, a
competência de construir e ampliar discussão e a resolução dos mesmos, de
noções de grandezas e medidas para a forma a constituir o ponto de partida
compreensão da realidade e a solução para a construção dos conceitos.
de problemas do cotidiano. No primeiro momento, os alunos são
Esta competência é traduzida por meio convidados a opinarem sobre a situação
das seguintes habilidades: proposta. O professor, se preferir, poderá
• Identificar e interpretar registros pedir pedir-lhes que leiam os textos com
utilizando a notação convencional de antecedência, ou que façam uma leitura
medidas. silenciosa em classe, e depois promover
• Estabelecer relações adequadas entre uma discussão, encerrando com uma
diversos sistemas de medidas e a primeira síntese do tema tratado.
representação de fenômenos naturais Acreditamos que melhorar a capacidade
e do cotidiano. de ler, interpretar e resolver problemas
• Selecionar, compatibilizar e operar faz parte da construção do
informações métricas de diferentes conhecimento matemático. Além disso,
sistemas ou unidades de medidas na explorar assuntos do interesse dos
resolução de problemas do cotidiano. alunos despertará sua curiosidade,
envolvendo-os numa busca de novos
• Selecionar e relacionar informações
conhecimentos e enriquecendo aqueles
referentes a estimativas ou outras
que já possuem.
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99. V - Orientação para o trabalho do professor
As atividades procuram explicitar as para que por meio de uma série de
diferenças da natureza entre medidas de observações sistemáticas, o professor
comprimento, massa, capacidade, possa emitir um juízo valorativo sobre a
tempo, área, volume e energia elétrica e evolução dos alunos e tomar as atitudes
pretendem que os alunos justifiquem a necessárias.
necessidade da unidade padrão. É O procedimento de registro pode ser
importante observar que a necessidade simples, exigindo pouco tempo para
de trabalhar com as unidades anotá-lo e levando em conta:
convencionais está relacionada com um
• as respostas dos estudantes, quando
problema de comunicação. Para efetuar
eles manifestam de forma implícita ou
uma medição escolhemos uma unidade
explícita suas certezas, dúvidas e
de medida de mesma natureza da
erros;
grandeza que queremos medir.
• as observações das ações e discussões
Apresentando as unidades padrão para
efetuadas durante as tarefas
essas grandezas, são propostas situações
individuais, em grupos pequenos ou
que possibilitam aos alunos
com a classe toda;
estabelecerem relações entre unidades
de medidas e utilizarem múltiplos e • análise de provas, tarefas feitas em
casa, diários e trabalhos escritos.
submúltiplos das unidades
fundamentais, com ênfase apenas nas Outras sugestões que poderão auxiliar o
unidades mais comuns no dia-a-dia. Ao professor:
construírem as unidades legais espera-se • Sugerir uma leitura complementada
que eles percebam que certos com pesquisas e discussão em sala de
comprimentos, ou outros tipos de aula ou exposição dos resultados das
medidas, não são mensuráveis com pesquisas realizadas.
apenas uma determinada unidade e que • Organizar palestras, sessões de vídeos,
a partir desta pode-se criar outras visita a exposições e museus.
unidades. Assim, eles começam a
• Promover um trabalho integrado com
adequar as unidades de medida às
outras áreas: Ciências, Geografia,
grandezas que se deseja medir, e a
Educação Artística, explorando
descobrir a equivalência entre as
notícias locais, e também, matérias de
unidades criadas em um mesmo sistema
jornais e revistas.
de medida.
• Utilizar a História da Matemáticas
As habilidades para o uso e a leitura de
pois ela poderá despertar o interesse
instrumentos apropriados para medir
dos alunos. Incentivá-los a
diversas grandezas vão se refinando
pesquisarem outras unidades de
gradativamente.
medida que foram usadas ao longo da
A avaliação precisa ser contínua, História da humanidade.
dinâmica e, com freqüência, informal,
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100. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• Propiciar outras atividades de • Explorar outros instrumentos
medição, utilizando unidades não utilizados na medição de
padronizadas, nas quais os alunos comprimento, massa, capacidade e
poderão perceber medidas diferentes, fazendo-os perceber a adequação de
decorrentes da diferença entre as cada um às situações de medição.
unidades utilizadas.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: Matemática: 1º e 2º ciclos. Brasília, DF, 1997.
______. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais, 3º e 4º ciclos.
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______. Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino
fundamental: Matemática. Brasília, DF, 1998.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
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COLEÇÃO MATEMÁTICA SEM PROBLEMAS. São Paulo: Melhoramentos, 1972.
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Campinas: Unicamp, 1986.
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São Paulo: FDE, 1994. v. 5.
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experimental Brasília, DF: MEC, 1980.
experimental.
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Atual, 1998. Tradução de Higino H. Domingues.
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Higino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1984.
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de Janeiro: Ed. da UFRJ, 1996.
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101. V - Orientação para o trabalho do professor
MACHADO, N. J. Matemática e língua materna: Análise de uma impregnação mútua.
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contemporânea).
______. Medindo comprimentos. 4. ed. São Paulo: Scipione, 1988. (Vivendo a
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MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2000. v. 5,
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REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: Sociedade Brasileira de
Matemática, v. 6, n. 32, 35.
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Matemáticas.
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Matemática
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revista,
99
Matem∙tica 76-150.pmd 99 11/7/2003, 09:21

102. Matem∙tica 76-150.pmd 100 11/7/2003, 09:21

103. CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE VARIAÇÃO DE GRANDEZA Matemática - Ensino Fundamental
Capítulo VI
PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DO COTIDIANO.
Proporcionalidade:
uma idéia fundamental
Ruy César Pietropaolo
A aprendizagem de noções, conceitos e de outras áreas do conhecimento, como
procedimentos matemáticos é Física, Biologia, Psicologia, Geografia
fundamental para a formação do cidadão, etc.
pois permite a aquisição de ferramentas
básicas para que ele possa resolver DESENVOLVENDO A
situações da vida diária, compreender COMPETÊNCIA
melhor o próprio ambiente, comunicar
O capítulo está voltado para o
idéias e mesmo entender assuntos das
desenvolvimento da competência de
diversas áreas do conhecimento. Mas,
construir e ampliar noções de variação
para isso, esse processo não pode limitar-
de grandezas direta e inversamente
se a uma simples memorização de regras
proporcionais para a compreensão da
e técnicas e nem ao conhecimento formal
realidade e a solução dos problemas do
de definições.
cotidiano. Mas, para isto, é fundamental
Entre as diversas noções matemáticas que os jovens e adultos desenvolvam
que devem ser desenvolvidas pelos um conjunto de habilidades que
jovens e adultos, destaca-se a de expressem essa competência. São elas:
proporcionalidade, o tema central deste
• Identificar grandezas direta e
texto. Essa noção é fundamental, pois
inversamente proporcionais e
está presente no dia-a-dia das pessoas
interpretar a notação usual de
em diversas situações, tais como a
porcentagem.
interpretação de um mapa ou da planta
de um edifício, a ampliação de uma foto, • Identificar e avaliar variação de
a receita de uma torta, a leitura de um grandezas para explicar fenômenos
gráfico em jornais, estimativas de preços naturais, processos socioeconômicos e
etc. da produção tecnológica.
Além disso, a noção de • Resolver problemas envolvendo
proporcionalidade é necessária para grandezas direta e inversamente
estudar diversos temas da Matemática e proporcionais e porcentagens.
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104. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• Identificar e interpretar variações raciocínio como intuição, indução,
percentuais de variável dedução e estimativa.
socioeconômica ou técnico-científica Desse modo, a abordagem
como importante recurso para a metodológica deste texto é a resolução
construção de argumentação de problemas em contextos diversos,
convincente. como aqueles do cotidiano, e de outras
• Recorrer a cálculos com porcentagens áreas do conhecimento, como física e
e relações entre grandezas economia.
proporcionais para avaliar a adequação A elaboração deste texto levou em
de propostas de intervenção na conta que, para o desenvolvimento da
realidade. noção de proporcionalidade, é
Assim, procurou-se sugerir ao aluno fundamental a exploração de situações
que, mediante uma situação-problema de aprendizagem que levem o estudante
envolvendo variação de grandezas, faça a observar a variação entre grandezas,
as seguintes perguntas: estabelecer relação entre elas e construir
• Uma grandeza depende da outra? estratégias de solução para resolver
situações que envolvam esta importante
• Se sim, como se dá essa dependência?
noção.
• Por que é importante saber como elas
No texto, é apresentada, de início, uma
se relacionam?
situação cujas grandezas envolvidas não
• É importante identificar o tipo de
variam proporcionalmente. O aluno, por
variação? meio de seus conhecimentos prévios,
• No que isso pode me ajudar a resolver poderá responder à questão proposta.
o problema? Em seguida, é apresentada outra
Para isso, foram propostas situações em situação, mas envolvendo grandezas
que há proporcionalidade direta ou diretamente proporcionais. Depois, é
inversa entre grandezas, além de feita uma breve sistematização do que
situações em que não há foi discutido nessas duas situações:
proporcionalidade. grandezas diretamente proporcionais e
Há um significativo consenso entre os grandezas não proporcionais.
educadores de que a utilização da Ainda na primeira parte, o aluno
situação-problema como ponto de aprenderá a identificar grandezas
partida da atividade matemática é uma inversamente proporcionais e calcular
forma de possibilitar o desenvolvimento porcentagens por meio da
de capacidades fundamentais, como proporcionalidade. Ou seja,
observação, estabelecimento de conhecendo-se quanto é 10% de um
relações, comunicação, argumentação e valor, ele pode calcular qualquer outra
validação de processos. A resolução de porcentagem.
problemas possibilita, assim, o Na segunda parte do texto, procurou-se
desenvolvimento de formas do destacar a representação gráfica de
102
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105. V - Orientação para o trabalho do professor
grandezas diretamente proporcionais e a argumentações, bem como elaborar
representação de grandezas outras.
inversamente proporcionais. Na última parte, os alunos deverão
O destaque da terceira parte do texto é utilizar as noções que foram
para a propriedade fundamental das desenvolvidas para analisar propostas
proporções. Para a resolução das de intervenção na realidade.
diversas situações propostas, A maneira pela qual os conteúdos são
envolvendo tanto as grandezas direta abordados neste capítulo pode
quanto as inversamente proporcionais, favorecer o processo de compreensão
discute-se a utilização da regra de três. do estudante sobre os conceitos e
Na quarta parte do texto, os jovens procedimentos desenvolvidos e
terão oportunidade de analisar um incentivá-lo à aplicação destes em
problema sobre variação de grandezas situações de sua realidade.
envolvendo geometria e medidas. No Sugerimos o uso de calculadoras nas
texto, discute-se que a área do situações em que há muitos cálculos,
quadrado é diretamente proporcional para agilizar os resultados e permitir
não ao seu lado, mas sim, ao quadrado que o aluno se dedique mais tempo às
deste. Os estudantes são convidados a questões relevantes da situação
analisar a validade de algumas proposta.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: temas transversais: 3º e 4º ciclos. Brasília, DF, 1998.
______.Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática: 3º e 4º ciclos. Brasília, DF,
1998.
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Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio: ciências da natureza, matemática
e suas tecnologias. Brasília, DF, MEC, 1999.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino
fundamental para o segmento de jovens e adultos. Brasília, DF, 2002.
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PIRES, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São
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SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Experiências matemáticas. São Paulo, 1994.
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Revista São Paulo. v. 7-12.
Revista.
104
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107. CONSTRUIR E UTILIZAR CONCEITOS ALGÉBRICOS Matemática - Ensino Fundamental
Capítulo VII
PARA MODELAR E RESOLVER PROBLEMAS.
A Álgebra, suas
funções e seus usos
Angélica da Fontoura Garcia Silva
Neste texto, procuraremos enfatizar • resolver problemas difíceis do ponto
diferentes funções da álgebra, para que de vista aritmético.
o aluno da Educação de Jovens e
Adultos, além de ampliar sua visão DESENVOLVENDO A
sobre ela, possa construir um COMPETÊNCIA
pensamento algébrico que, juntamente,
O capítulo tem como finalidade estimular
com o pensamento aritmético e
o aluno a construir e utilizar conceitos
geométrico, lhe permita resolver
algébricos para modelar e resolver
problemas.
problemas. Essa competência concretiza-
A Álgebra será apresentada com as se por meio de diferentes habilidades:
funções de:
• Identificar, interpretar e utilizar a
• generalizar dados aritméticos as
aritméticos: linguagem algébrica como uma
variáveis teriam a função de generalização de conceitos
representar a generalidade de uma aritméticos.
propriedade ou característica que é
• Caracterizar fenômenos naturais e
sempre observada;
processos da produção tecnológica,
• representar a relação entre utilizando expressões algébricas e
grandezas aqui, as variáveis
grandezas: equações do 1º e 2º graus.
modificam-se com a alteração da
• Utilizar expressões algébricas e
quantidade de grandeza;
equações do 1º e 2º graus para
• servir para manipulação modelar e resolver problemas.
simbólica: essa função, muito
• Analisar o comportamento de uma
importante na Matemática, encontra,
variável, utilizando ferramentas
hoje, aplicação prática em diversas
algébricas como importante recurso
áreas, dentre elas a eletricidade e a
para a construção de argumentação
informática;
consistente.
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108. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• Avaliar, com auxílio de ferramentas conhecimentos algébricos em suas
algébricas, a adequação de propostas argumentações, apresentamos uma
de intervenção na realidade. situação-problema: duas opções de
Os conteúdos são abordados tomando preços que serão vantajosas ou não,
como eixo as funções da álgebra e a sua dependendo do número de dias durante
linguagem, até a modelização e a os quais se pretende alugar bicicletas.
solução de problemas. Essa situação, quando tratada na sala de
aula, poderá ser complementada
Essa modelização se dará, num primeiro
também com uma solução gráfica.
momento, com a interpretação de
situações dadas, que devem ser Para a construção de propostas de
traduzidas por uma equação: isso levará intervenção, decidimos tratar de uma
os alunos a compreenderem os situação real, que é a do Imposto de
princípios multiplicativos e aditivos da Renda, onde os valores da parcela a
igualdade e do significado da raiz. deduzir existem para corrigir as
Desse modo, procurou-se não insistir possíveis “distorções” dos impostos
sobre aspectos puramente mecânicos e devidos nos intervalos próximos aos
mnemônicos da álgebra, mas sim, sobre limites das diferentes faixas - para uma
seus significados, a fim de que o situação em que um empregador quer
estudante saiba utilizá-los na resolução dar um aumento escalonado aos seus
de problemas. funcionários.
Evidentemente, todo este trabalho Enfim, a proposta é levar o estudante a
inicial deverá ser enriquecido pelo observar regularidades e identificar a lei
professor, com as discussões que fará de formação de seqüência, padrões,
em sua sala, de onde partirão também, observação de tabelas e propriedades
por exemplo, sugestões de outras aritméticas, utilizando-se de análise de
propriedades numéricas e geométricas situações-problema e comparando
que poderão ser citadas e generalizadas. possibilidades de resolução (aritméticas
As traduções para a linguagem algébrica e algébricas) com as respostas obtidas,
poderão ser trabalhadas utilizando-as construindo argumentações e propostas
em situações de jogos, como o da de intervenção.
memória ou dominó, dentre outros. Dentre as atividades propostas,
A opção por este enfoque leva em conta destacamos algumas situações que
estudos recentes que mostram que podem ser introduzidas com um jogo do
apenas a repetição mecânica de mágico envolvendo a classe toda, onde
procedimentos, prática comum até bem se coloca uma tabela com o número
pouco tempo na escola, contribuiu falado pelo aluno e o respondido pelo
muito pouco para o desenvolvimento professor. Essa regra pode ser simples,
do pensamento algébrico do aluno. inicialmente, e depois chegar a outras
que possam encontrar mais que uma
Para que o estudante utilize
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109. V - Orientação para o trabalho do professor
tradução, como, por exemplo, y = 3x + Evidentemente, esta proposta deverá ser
3 ou Y = 3 ( x+1), ou até mesmo a enriquecida de modo a tornar este texto
tabelas que incluam números racionais plenamente adequado aos alunos. O
ou negativos. O mesmo pode ser feito papel do professor é fundamental,
com a atividade da adivinhação. ampliando ou reduzindo as atividades.
Generalizamos, também, alguns padrões Seu trabalho é crucial no
geométricos e algumas seqüências encaminhamento metodológico
numéricas. Utilizamos a análise proposto, baseado na metodologia da
geométrica da propriedade distributiva resolução de problemas, cujo enfoque
para desenvolver o quadrado da soma. recai, principalmente, sobre o processo
Os fenômenos naturais e processos de e o trabalho em grupo.
produção tecnológica foram Quanto à questão da avaliação, na
caracterizados por expressões perspectiva do trabalho aqui proposto,
algébricas, no exemplo dos satélites e ela ganha outros contornos, já que não
da queda de corpos. Outros exemplos seria possível acontecer numa única
simples, como o da densidade ou prova. É importante que o professor se
velocidade média, poderiam ser utilize de diferentes instrumentos de
analisados pela turma. avaliação, e que procure observar,
Nos problemas do cotidiano, continuamente, o desenvolvimento do
procuramos enfocar situações que seu aluno, nas produções escritas e nas
envolvam equações e cujo principal discussões orais. Embora não tenham o
objetivo é fazer o estudante aplicar os mesmo peso que lhes era conferido
conhecimentos algébricos para resolvê- anteriormente, as avaliações individuais
las. Aqui, as diferentes formas de devem continuar como parte do
resolver os problemas poderão ser um processo geral de avaliação da
atrativo maior para o exercício aprendizagem do aluno, só que
constante da reflexão crítica, acrescida de uma outra fase, em que o
desenvolvendo habilidades de aluno prepara um relatório de análise
raciocínio, tais como investigação, desta avaliação, garantindo um
inferência, reflexão e exploração. momento de reflexão sobre o que foi
avaliado anteriormente.
BIBLIOGRAFIA
BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: Blücher, 1974.Tradução de
Elza F. Gomide.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais, 1997. 10 v.
107
Matem∙tica 76-150.pmd 107 11/7/2003, 09:21

110. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
CAMPOS, T. M. M. (Coord. de); PIRES, C. M. C.; CURI, E. Transformando a prática das
aulas de matemática: textos preliminares 5ª a 8ª série. São Paulo: Proem, 2001.
GUELLI, O. Contando a história da matemática: equação: o idioma da álgebra. 2. ed.
São Paulo: Ática, 1993.
IMENES, JAKUBO, LELLIS . Álgebra e equação do 2º grau. 2. ed. São Paulo: Atual,
1993. (Pra que serve a Matemática).
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Proposta curricular para o ensino de Matemática: 1º grau. 4. ed. São
Paulo, 1992.
SOUZA, E. R. de; DINIZ, M. I. de S. V. Álgebra: das variáveis às equações e funções. 2.
ed. São Paulo: IME-USP, 1994. (Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática;
Caem, v. 5).
108
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111. INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE NATUREZA CIENTÍFICA E Matemática - Ensino Fundamental
Capítulo VIII
SOCIAL OBTIDAS DA LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS,
REALIZANDO PREVISÃO DE TENDÊNCIA, EXTRAPOLAÇÃO,
INTERPOLAÇÃO E INTERPRETAÇÃO.
A Estatística e sua importância
no mundo da informação
Edda Curi
O exercício da cidadania pressupõe que DESENVOLVENDO A
as pessoas desenvolvam sua capacidade COMPETÊNCIA
de aprender, tendo como meios o
O capítulo está voltado para o
domínio da leitura, da escrita e do
desenvolvimento da competência
conhecimento matemático, de tal forma
destacando o estudo de Estatística, que
que lhes seja permitido compreender o
tem especial relevância no mundo de
mundo, o ambiente natural, cultural e
hoje, tendo em vista que conceitos e
político à sua volta, as artes, a
procedimentos estatísticos são de
tecnologia e os valores que
importância fundamental às tomadas de
fundamentam a sociedade, para nela
decisão diante de incertezas.
atuar de forma crítica e participativa.
Espera-se que os jovens e adultos
A Matemática pode contribuir para que
desenvolvam um conjunto de
jovens e adultos tenham melhor
habilidades que traduzam essa
compreensão do mundo em que vivem,
competência:
pois, mesmo excluídos do processo
educacional, jovens e adultos precisam • Reconhecer e interpretar informações
compreender informações muitas vezes de natureza científica ou social
contraditórias, que incluem dados expressas em gráficos ou tabelas.
estatísticos e tomadas de decisões • Identificar ou inferir aspectos
diante de questões políticas e sociais relacionados a fenômenos de natureza
que dependam da leitura crítica e da científica ou social, a partir de
interpretação de índices divulgados informações expressas em gráficos ou
pelos meios de comunicação. tabelas.
• Selecionar e interpretar informações
expressas em gráficos ou tabelas para
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112. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
a resolução de problemas: analisar o abstrato.
comportamento de variável expressa É importante destacar que a resolução de
em gráficos ou tabelas, como problemas vem se tornando um recurso
importante recurso para a construção indispensável no processo de ensino e
de argumentação consistente. aprendizagem. O problema é o ponto de
• Avaliar, com auxílio de dados partida para a atividade matemática, é
apresentados em gráficos ou tabelas, a uma situação que demanda a realização
adequação de propostas de de uma seqüência de ações para se obter
intervenção na realidade. um resultado, ou seja, a solução não está
Em todo o capítulo, foram utilizados disponível, mas é possível construí-la.
textos de jornais e revistas, pois são Outra preocupação foi a de dar
recursos didáticos ricos em informações, significado à atividade matemática,
com uma organização que utiliza estabelecendo conexões entre os
diferentes representações: tipos de letras, diferentes temas matemáticos e,
fotos, tabelas, gráficos etc. Eles foram também, entre esses temas e as demais
utilizados não apenas para a leitura e áreas do conhecimento e as situações
interpretação de gráficos e tabelas, mas do cotidiano. O estabelecimento de
para a leitura e análise de textos. relações é fundamental para que o
Como acontece com outras estudante compreenda, efetivamente, os
aprendizagens, a aquisição de novos conteúdos matemáticos. Abordados de
conhecimentos deve considerar os forma isolada, eles não se tornam uma
conhecimentos prévios dos alunos. No ferramenta eficaz para resolver
caso deste capítulo, foram considerados problemas e para a aprendizagem ou
conceitos decorrentes das vivências dos construção de novos conceitos.
jovens e adultos, de suas interações Na primeira parte do capítulo, discute-
sociais e de sua experiência pessoal, pois se a necessidade de se estudarem
os adultos têm conhecimentos bastante algumas noções de Estatística.
diversificados que enriquecem a Na segunda parte, os jovens têm a
aprendizagem. oportunidade de ler dados (apresentados
O capítulo privilegiou o enfoque de em diferentes tipos de gráficos e de
resolução de problemas na abordagem tabelas simples) e de reconhecer
dos conteúdos. O trabalho com a informações. Além dos problemas
metodologia de resolução de problemas discutidos no texto, têm a oportunidade
favorece o aprendizado, pois engloba a de resolver mais cinco problemas e de
exploração do contexto da situação; a escrever um pequeno texto, no qual
possibilidade de desenvolver atitudes de descrevem suas observações em relação
perseverança, nos jovens e adultos, em a alguns gráficos estudados.
busca de resultados; a capacidade de Na terceira parte, os jovens têm a
comunicar-se matematicamente e de oportunidade de interpretar dados
utilizar processos de pensamento apresentados em tabelas de dupla
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113. V - Orientação para o trabalho do professor
entrada e em diferentes tipos de As atividades propostas podem ser
gráficos, além de fazer inferências, a desenvolvidas com os alunos
partir da interpretação de dados, como organizados em pequenos grupos, pois
no caso do gráfico que apresenta a o trabalho em grupos gera um ambiente
média de filhos por mulher, nos que se caracteriza pela proposição,
últimos anos. Além dos problemas investigação e exploração de diferentes
resolvidos no texto, os jovens têm a idéias por parte dos alunos, bem como
oportunidade de resolver mais oito pela interação entre eles, pela
atividades. Nessa parte do texto, há socialização de procedimentos
indicações para que o jovem aprofunde encontrados para solucionar uma
seus conhecimentos sobre construções questão e pela troca de informações.
de gráficos. As reportagens propostas foram
Na quarta parte do texto, os jovens têm utilizadas com a finalidade de
a oportunidade de resolver problemas desenvolver a leitura e análise de
para os quais precisam interpretar os textos. Considerando-se que jovens e
dados apresentados em tabelas ou adultos com pouca escolarização nem
gráficos. Além dos problemas resolvidos sempre lêem com autonomia, a
no corpo do texto, têm a oportunidade estratégia que pode ser utilizada é a de
de resolver mais sete problemas para discutir previamente o tema, o título do
aprofundamento e de escrever um texto, o significado de algumas palavras
pequeno texto a respeito da distribuição com que eles possam ter menos
de renda no país. familiaridade.
Na quinta parte do texto, os jovens têm Além das atividades propostas, é
a oportunidade de utilizar os dados possível desenvolver outras noções de
apresentados em gráficos e tabelas Estatística, como amostra, população,
como recurso de argumentação. média aritmética, moda e mediana. O
Também nessa parte, além das trabalho com gráficos pode ser
atividades discutidas no texto, há mais aprofundado, com uma discussão de
quatro situações nas quais os jovens situações onde possam ser usados os
podem exercitar sua argumentação. diferentes tipos de gráfico. Outro
Na última parte, a Estatística é usada trabalho que pode ser realizado é o de
para analisar intervenções na realidade. aprofundamento na construção dos tipos
Os jovens são convidados a analisar de gráficos mais comuns. A construção
indicadores sociais no Brasil e em dos gráficos permite o trabalho com
alguns países da América Latina, algumas idéias matemáticas, como
analisando a intervenção de uma ONG. porcentagem e escala. A construção do
Depois têm a oportunidade de propor gráfico de setores permite o trabalho
uma intervenção, partindo da análise do com medidas de ângulos, raio e diâmetro
indicador escolhido. de uma circunferência e alguns
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114. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
conteúdos procedimentais, como a situações da realidade brasileira. A
construção de uma circunferência com sugestão é que o aluno registre suas
compasso, construção de ângulos com dúvidas em relação às atividades do
transferidor. texto e, a partir desses registros,
Ao final do texto, o aluno deverá ser selecione os conceitos/procedimentos
capaz de organizar e analisar que precisam ser melhor trabalhados
informações, construir e interpretar com ajuda do professor.
tabelas e gráficos, formular argumentos A proposta é que este texto seja um
convincentes, tendo por base a análise roteiro de estudo, possível de ser
de dados organizados em ampliado pela consulta de outras fontes
representações matemáticas sobre bibliográficas.
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LOPES, P. A. Probabilidade e estatística. Rio de Janeiro: Reichman & Affonso, 1999.
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Matem∙tica 76-150.pmd 112 11/7/2003, 09:21

115. COMPREENDER CONCEITOS, ESTRATÉGIAS E SITUAÇÕES Matemática - Ensino Fundamental
Capítulo IX
MATEMÁTICAS NUMÉRICAS PARA APLICÁ-LOS A SITUAÇÕES
DIVERSAS NO CONTEXTO DAS CIÊNCIAS, DA TECNOLOGIA E DA
ATIVIDADE COTIDIANA.
Explorando situações
numéricas
Cláudio Saiani
Falar de Matemática na Educação de No capítulo, focalizamos determinadas
Jovens e Adultos é um tanto diferente situações retiradas de contextos
de tratar da mesma disciplina para diversos da ciência e da tecnologia. A
crianças. Permanecem os objetivos de intenção é dupla. Por um lado,
longo alcance, conforme expressos nos instrumentalizar o aluno para a leitura
Parâmetros Curriculares Nacionais: a de textos em que compareçam números
matemática desenvolve o raciocínio que, normalmente, ele não vê em suas
lógico, a capacidade de abstrair, atividades cotidianas. Por outro,
generalizar, transcender o que é propiciar pretextos para que ele
imediatamente sensível (PCN, p. 9). pesquise sobre conceitos científicos, sua
Por outro lado, lidando com medição, aplicação e adequação. Em suma,
contagem e técnicas de cálculo, ela é colaborar para que ele se torne um leitor
uma importante ferramenta para tratar do mundo mais proficiente e
de aspectos práticos da realidade. competente e para que as fronteiras de
seu mundo se ampliem, de modo a
Para uma criança, esses aspectos práticos
ultrapassar os limites de seu dia-a-dia.
podem ser direcionados de modo a
introduzi-la no “mundo dos adultos”.
Certas situações são novidade para ela e, DESENVOLVENDO A
daí, vem seu poder motivador. Ao lidar COMPETÊNCIA
com a Educação de Jovens e Adultos, A competência deste capítulo se
devemos ter em mente que o estudante já materializa nas seguintes habilidades:
traz uma bagagem tácita de • Identificar e interpretar estratégias e
conhecimentos e habilidades, diferentes situações matemáticas numéricas
dos de uma criança e, possivelmente, aplicadas em contextos diversos da
dentro de um trajeto distinto daquele que, ciência, da tecnologia e da vida
em geral é ditado pela educação formal. cotidiana.
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116. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• Construir e identificar conceitos tempo, procurando apresentar assuntos
matemáticos numéricos na potencialmente passíveis de um
interpretação de fenômenos em desenvolvimento mais amplo, a critério
contextos diversos da ciência, da do professor. A escolha recaiu sobre a
tecnologia e da vida cotidiana. notação científica, as porcentagens, o
• Interpretar informações e aplicar Princípio Fundamental da Contagem e
estratégias matemáticas numéricas na as probabilidades.
solução de problemas em contextos Enfatizamos conceitos e habilidades
diversos da ciência, da tecnologia e da numéricas de determinadas situações,
vida cotidiana. de modo que o estudante pudesse lidar
• Utilizar conceitos e estratégias com elas, prescindindo, por exemplo, de
matemáticas numéricas na seleção de conhecimentos algébricos, que são
argumentos propostos como solução objeto de outro capítulo. Dessa forma, a
de problemas em contextos diversos resolução de problemas, que apenas se
da ciência, da tecnologia e da vida anuncia nos itens 1 e 2, é assumida
cotidiana. plenamente a partir do item 3.
Procuramos situações com que o aluno
• Recorrer a conceitos matemáticos
pudesse lidar, utilizando apenas as
numéricos para avaliar propostas de
quatro operações, privilegiando um
intervenção em contextos diversos da
raciocínio aritmético.
ciência, da tecnologia e da vida
cotidiana. As atividades propostas caracterizam-se
pela busca da importância dos números
Quando procuramos matemática nos
em aplicações científicas e tecnológicas.
campos da ciência, da tecnologia e da vida
Dessa forma, procuramos ampliar o
cotidiana, logo nos deparamos com uma
leque de situações, mesmo correndo o
tal variedade de escolhas que a simples
risco de apresentar situações não
opção por um conteúdo específico já é
familiares ao leitor. O que poderia
uma tarefa difícil. Por outro lado, se as
constituir um obstáculo, no entanto,
aplicações da matemática em qualquer
pode servir como instrumento em favor
âmbito já apresentam forte potencial
do crescimento do estudante. O fato de
motivador, muitas vezes os obstáculos
ele conseguir lidar com tais situações,
inerentes à própria matemática somam-se
apenas com seus conhecimentos
as dificuldades próprias da situação
matemáticos, reforça o caráter da
científica ou tecnológica em foco.
matemática como linguagem
Tendo em vista esse fato, procuramos unificadora na descrição de fenômenos.
abordar conteúdos com aplicações em
Por outro lado, cada uma das atividades
vários ramos da ciência (e, também, em
pode servir como pretexto para uma
menor grau, da vida cotidiana), de pesquisa mais aprofundada, sob
modo a revelar a aplicabilidade dos
orientação do professor e quem sabe
conceitos e estratégias, ao mesmo
dentro de um projeto multidisciplinar.
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117. V - Orientação para o trabalho do professor
Uma vez que o conteúdo do presente sobre jogos de dados, baralhos e
texto necessita apenas das quatro loterias. É importante ressaltar que os
operações, pode ser utilizado com jogos comparecem, aqui, apenas como
proveito a qualquer momento do tema de estudos, bem de acordo como
desenvolvimento do curso. Sugere-se seu importante papel na história da
sua utilização para trabalhos em grupo, Matemática.
como instigador de pesquisas Dependendo das possibilidades da
multidisciplinares, em conjunto com as escola e da comunidade, o professor
áreas de Ciências e Geografia, por poderá orientar a amplificação dos
exemplo. Por outro lado, as temas abordados, mediante a utilização
probabilidades podem lançar uma ponte de livros, jornais, revistas de divulgação
para assuntos normalmente abordados científica e Internet. Mais do que isso,
no Ensino Médio, propiciando pode ajudar a desenvolver o hábito de
interessantes temas para pesquisas freqüentar bibliotecas.
BIBLIOGRAFIA
BATSCHELET, E. Introdução à matemática para biocientistas. Rio de Janeiro:
Interferência, 1978. Tradução de Vera Maria Abud Pacífico da Silva e Junia Maria
Penteado de Araújo Quitete.
BELL, E. T. Historia de las matematicas. Mexico, DF: Fondo de Cultura Económica,
1995.
BOLT, B. Matemáquinas: o ponto de encontro da Matemática com a tecnologia.
Lisboa: Gradiva, 1989. Tradução de Leonor Moreira.
BURRELL, B. Guide to everyday math. Springfield: Merriam-Webster, 1998.
CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da matemática. 9. ed. Lisboa: S. Costa,
1989.
COLLINS, W. et al. Mathematics: applications and conections. New York: McGraw Hill,
1998.
COSTA, M. A. As idéias fundamentais da matemática e outros ensaios. 3. ed. São
Paulo: Convívio/Edusp, 1981. (Biblioteca do pensamento brasileiro. Textos, v. 4).
DANTZIG, T. Número: a linguagem da ciência. Rio de Janeiro: Zahar. 1970. Tradução
de Sergio Goes de Paula.
GIOVANNI, J. R. et al. Matemática fundamental: uma nova abordagem. São Paulo:
FTD, 1994.
KARLSON, P. A magia dos números. Porto Alegre: Globo. 1961. il. (Tapete mágico).
115
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118. Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
KLINE, M. Matematicas para los estudiantes de humanidades. Mexico, DF: Fondo de
Cultura Económica, 1998.
LARSON, R. et. al. Passport to algebra and geometry. Boston, Mass: McDougall Littel,
1999.
LIPSCHITZ, S. Teoria e problemas de probabilidade: incluindo 500 problemas
resolvidos. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1974. Tradução de Ruth Ribas Itacarali.
OSSERMAN, R. A magia dos números no universo. São Paulo: Mercuryo, 1997.
STEWART, I. Os números na natureza: a realidade irreal da imaginação matemática.
Rio de Janeiro: Rocco, 1996. (Ciência atual. Mestre da Ciência). Tradução de Alexandre
Torto.
116
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119. V. Orientação para o trabalho do professor
Matemática
e suas Tecnologias
Ensino Médio
Capítulos I ao IX
Neste bloco, são apresentadas sugestões de trabalho
para que o professor possa orientar-se no sentido de
favorecer aos seus alunos o desenvolvimento das
competências e habilidades que estruturam a avaliação
do ENCCEJA – Matemática e suas Tecnologias –
Ensino Médio.
Estes textos complementam o material de orientação de
estudos dos estudantes e ambos podem ganhar seu real
significado se incorporados à experiência do professor e
à bibliografia didática já consagrada nesta área.
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120. Matem∙tica 76-150.pmd 118 11/7/2003, 09:22

121. COMPREENDER A MATEMÁTICA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA, Matemática - Ensino Médio
Capítulo I
RELACIONANDO O SEU DESENVOLVIMENTO COM A
TRANSFORMAÇÃO DA SOCIEDADE.
A Matemática: uma
construção da humanidade
Suzana Candido
O capítulo trata de alguns aspectos que a humanidade enfrenta no decorrer
ligados à construção do conhecimento de sua história, as questões propostas
matemático ao longo da história da pelos outros campos do conhecimento e
humanidade. suas próprias
A escolha desses aspectos está questões internas.
intimamente ligada a certas habilidades Assim, os exemplos referentes à
que os alunos deverão desenvolver ao construção do conhecimento
longo da aprendizagem da Matemática. matemático para resolver problemas do
A idéia central é levá-los a perceber que cotidiano estão, de certa maneira, mais
a Matemática não foi contruída por essa diretamente ligados à realidade do
ou aquela pessoa, mas sim pela aluno. São exemplos: a troca de uma
humanidade como um todo. É claro que, certa quantidade de peixes por outra de
nesse processo, as pessoas desempenham aves ou a busca de um modelo que
papéis diversos como, por exemplo, o descreva a despesa do freguês da
poceiro desejando saber que volume de padaria.
terra vai obter ao escavar um poço de Por outro lado, as situações propostas
“2m de boca” por “5m de fundura” e o para mostrar o desenvolvimento do
matemático construindo um conhecimento matemático a partir de
conhecimento que lhe permita suas questões internas não são de
determinar o volume de qualquer modo algum ligadas à realidade do
cilindro. aluno, ao seu cotidiano. Por exemplo,
Salientamos ainda que o texto tem não há trocas de mercadorias, nem
também a intenção de mostrar que o compras em supermercados que dêem
processo de construção do conta da questão da criação dos
conhecimento matemático se números complexos! Sua criação e
desenvolveu a partir de diferentes aceitação dependem muito mais de
motivações: as questões do dia-a-dia questões filosóficas do que de
matemáticas.
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122. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
Já são um pouco mais concretas as uma resolução descrita no próprio
situações que nos levam aos exemplos texto, enquanto que, para outros,
ligados à construção de conceitos e idéias apresentamos apenas a solução na folha
matemáticas para responder às questões de respostas.
propostas por outros campos do Sempre que possível, também, foram
conhecimento, como a trigonometria escolhidos exemplos ligados ao
dando subsídios à arquitetura ou à interesse dos leitores como, por
geometria fornecendo modelos para a exemplo, as situações ligadas a
química. compras, a segurança, a corrupção, à
Essas três motivações, decorrentes dos participação comunitária.
problemas que aparecem no cotidiano Assim, a sugestão de trabalho com esse
do homem, nos outros campos do capítulo também tem por base a
conhecimento e nas questões internas resolução de problemas.
da própria matemática, levaram a
humanidade à construção do DESENVOLVENDO A
conhecimento matemático; elas
COMPETÊNCIA
constituem tema de boa parte deste
capítulo e estão de certa maneira As habilidades a serem desenvolvidas e
sintetizadas num item final – Usando a o trabalho com este texto levaram em
Matemática para modificar o conta:
mundo –, cuja finalidade é modificar o • o conhecimento sobre a realidade
aluno, levando-o a perceber que ele faz em que os alunos do Ensino de
parte da construção histórica desse Jovens e Adultos possuem.
conhecimento para modificar a • a concepção de ensino e
realidade à sua volta. aprendizagem, que deve estar
A abordagem metodológica utilizada no consubstanciada na proposta deste
capítulo foi desenvolvida numa projeto, que, por sua vez, tem por
perspectiva da resolução de problemas. base as diretrizes dos Parâmetros
Sempre que possível e conveniente, o Curriculares Nacionais para o
aluno é colocado diante de uma Ensino Médio;
situação-problema inicial, para que se • criatividade e a experiência didático-
defronte com o que sabe a respeito do pedagógica do professor;
assunto ou mesmo comece a se • a leitura do texto com o qual o
familiarizar com ele. professor poderá criar novas situações
A seguir, o texto oferece apoio aos de aprendizagem a serem propostas a
problemas apresentados, visando à seus alunos, para que possam
complementação do que o aluno já desenvolver algumas habilidades,
conhece ou à compreensão de conceitos conferindo a estes jovens ou adultos a
e procedimentos desconhecidos e competência maior de compreender
requeridos em sua resolução. a Matemática como construção
Uma grande parte desses problemas têm humana, relacionando o
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123. V - Orientação para o trabalho do professor
desenvolvimento dela com a conveniente levar o aluno a argumentar
sociedade.
tranformação da sociedade antes de generalizar.
As habilidades que, no capítulo, Outra habilidade que poderá ser
pretendemos que o aluno desenvolva desenvolvida, a partir do trabalho com
não são tratadas uma a uma, em uma este capítulo, é a de identificar e
seqüência linear; muitas vezes, elas se interpretar, a partir da leitura de
misturam, mesmo porque a linha textos apropriados, diferentes
divisória entre elas é difusa pela sua registros do conhecimento
própria natureza. matemático ao longo do tempo Otempo.
A habilidade de identificar a próprio texto já se presta a tal
Matemática como importante recurso desenvolvimento.
para a contrução de argumentação, por Contamos, ainda, com os textos dos
exemplo, é desenvolvida em todos os problemas sobre os quais é possível
temas deste texto. Não há como não desenvolver um trabalho de
construir argumentos matemáticos para interpretação, confrontando, por
resolver um problema do cotidiano que exemplo, os vários pontos de vista dos
envolva idéias matemáticas. Só para alunos que lêem o problema. Além disso,
citar dois exemplos: modificar alguma condição ou restrição
• logo no início do texto, a dos enunciados, ou mesmo a pergunta de
argumentação do pescador e do um problema, proporciona ao aluno a
caçador exemplifica a utilização de tal chance de novas interpretações, bem
habilidade; como a oportunidade de se defrontar
com novos problemas.
• do mesmo modo, toda vez que o
leitor é solicitado a justificar suas Há, ainda, os textos que envolvem não só a
respostas para os problemas que lhe linguagem simbólico-algébrica, mas
são propostos, ele também estará também os que envolvem uma “linguagem
construindo ou utilizando essa gráfica”, como o da matemática sobre as
habilidade, como ocorre, por exemplo, demissões por corrupção na polícia civil de
no quebra-cabeça com 1 unidade a São Paulo. Nesse sentido, os jornais e
mais de área; na questão dos gráficos revistas fornecem ao professor um material
sobre as demissões por corrupção; na didático farto, interessante e rico em
análise dos moldes da maquete etc. significados.
Muitas outras situações poderão derivar Ainda é possível desenvolver um
das apresentadas no texto, no sentido trabalho com textos retirados de livros
de levar os alunos a construírem sobre história da Matemática,
argumentações válidas e consistentes. inadequados aos propósitos da
aprendizagem que os alunos estão
Por exemplo, na contrução de processos
desenvolvendo num determinado
de generalização que acabam por
momento.
desembocar na linguagem algébrica
utilizada para descrever funções, é Além das habilidades mencionadas,
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124. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
outras mais podem ser desenvolvidas a e das situações a serem modificadas.
partir do texto: Por outro lado, é conveniente propor
• reconhecer a contribuição da aos alunos atividades que os levem a
Matemática na compreensão e análise reconhecer que ferramentas
de fenômenos naturais e de produção matemáticas o homem tem utilizado
tecnológica ao longo da história; para resolver problemas.
• identificar o recurso matemático Nos exemplos discutidos nestas
utilizado pelo homem ao longo da orientações, bem como nas situações
história, para enfrentar e resolver propostas no capítulo, é possível
problemas; reconhecer que a contribuição da
• reconhecer, a partir de textos Matemática é essencial para a
apropriados, a importância da compreensão e análise de inúmeros
Matemática na elaboração de proposta fenômenos, sejam eles de natureza social,
de intervenção solidária natural ou tecnológica (as técnicas de
na realidade. construção de telhados não nos deixam
As situações no item Usando mentir).
matemática para modificar o Finalizamos, aqui, nossas
mundo exemplificam um tipo de considerações, na certeza de que o
atividade que pode ser feita com os professor desenvolverá um trabalho
alunos para desenvolver essa última significativo com seus alunos, para que
habilidade. A realidade em que eles estão eles possam, antes de mais nada,
inseridos e o momento em que esse adquirir sua própria autonomia
trabalho está sendo desenvolvido são intelectual, pensando e agindo sobre as
aspectos importantes para subsidiá-los questões que enfrentam ao longo de sua
na escolha dos temas a serem estudados vida, seja no âmbito particular, seja no
âmbito profissional.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnologia.
Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio: ciência da natureza, matemática e
suas tecnologias. Brasília, MEC, 1999. v. 3.
BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: E. Blücher, 1996. Tradução de
Elza F. Gomide.
D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: arte ou tecnologia de explicar e conhecer. São
Paulo: Ática, 1990. (Fundamentos, v. 74).
KARLSON, P. A magia dos números. Rio de Janeiro: Globo, 1961. Tradução de
Henrique Carlos Pfeifer et al.
SMOLE, K. S., DINIZ, M. I. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para
aprender Matemática. Porto Alegre: ArtMed, 2001.
122
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125. AMPLIAR FORMAS DE RACIOCÍNIO E PROCESSOS MENTAIS POR Matemática - Ensino Médio
Capítulo II
MEIO DE INDUÇÃO, DEDUÇÃO, ANALOGIA E ESTIMATIVA,
UTILIZANDO CONCEITOS E PROCEDIMENTOS MATEMÁTICOS.
Lógica e argumentação:
da prática à Matemática
Fábio Orfali
Uma das maiores virtudes do ensino da O desenvolvimento desse projeto é feito
Matemática consiste em utilizar de maneira a respeitar o perfil do leitor
conceitos e procedimentos dessa a que se destina o trabalho, procurando-
disciplina para auxiliar o estudante a se, sempre que possível, lidar com
ampliar suas formas de raciocínio e situações que não lhe sejam totalmente
processos mentais, permitindo a ele usar estranhas e evitando-se um exagero na
ferramentas como a dedução e a indução linguagem que possa desmotivar sua
em situações cada vez mais complexas. leitura, sem perder o rigor exigido em
O capítulo sobre o desenvolvimento um texto matemático.
dessa competência tem como objetivo
principal apresentar um possível DESENVOLVENDO A
caminho a ser percorrido pelo leitor para COMPETÊNCIA
atingir esse propósito.
As análises de argumentos procuram
Partindo de fatos da vida cotidiana, sempre partir de fatos do cotidiano, para
como o uso de argumentação que as aproveitar a experiência do leitor e
pessoas fazem diariamente quando se envolvê-lo nas discussões. Assim, outros
relacionam com outras pessoas, chega- exemplos relacionados ao grupo
se à discussão do que significa um específico com que se trabalha podem
argumento válido em Matemática. Com enriquecer bastante a aula.
isso, pretende-se desenvolver Paralelamente, porém, são colocadas
habilidades, tais como elaborar e situações dentro do contexto
verificar conjecturas, justificar fatos e matemático, pois é muito importante que
conceitos matemáticos e do cotidiano, e se faça uma comparação entre o rigor
identificar erros provenientes de usado no dia-a-dia e o exigido na
processos dedutivos não rigorosos. matemática.
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126. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
Diante desse cenário, são trabalhadas, causa-efeito). A inversão de uma
de forma mais intensa, habilidades implicação constitui-se em uma fonte de
relacionadas à construção de erro comum quando da construção de
argumentação consistente e intervenção argumentos. Por isso, as atividades
solidária na realidade. devem ser tratadas com bastante
Na atividade 1, é importante que o leitor cuidado.
perceba que analisar alguns exemplos é Um exemplo que costuma ser bem
primordial em Matemática, pois isso nos ilustrativo, podendo ser utilizado
dá base para formular conjecturas. Essas durante a explicação do tema, é o
conjecturas, porém, precisam ser seguinte:
demonstradas, o que nem sempre ocorre “Se João é paulista, então, João é
nos fatos do cotidiano. Esse aspecto é brasileiro. Podemos afirmar que se João
reforçado nas atividades 2 e 3: a diferença é brasileiro, então, João é paulista? Não,
entre um fato provável e um fato certo pois ele pode ser carioca, baiano etc.
(pode-se aqui fazer uma ligação com o Mas se João NÃO é brasileiro, então,
estudo de probabilidade e estatística). João certamente NÃO é paulista.”
Nas atividades 4 e 5, o foco se localiza na Novamente, nas atividades 9 e 10, a
discussão sobre o que é válido concluir a habilidade mais marcante a ser
partir de uma ou mais informações. Essa trabalhada é a construção de
discussão pode ser estendida a argumentação consistente.
interpretações de textos de jornais e
Na atividade 10 (exercício 2), são
comerciais, incentivando o leitor a
utilizados conceitos geométricos que,
posicionar-se criticamente diante de
dependendo da turma, devem ser
certas argumentações mal
relembrados.
fundamentadas.
A dedução e a indução são analisadas
Os diagramas de Venn são utilizados
com o leitor como importantes
nesse ponto como um método para
ferramentas do processo de pensamento
organização do raciocínio em problemas
matemático e, por extensão, das
envolvendo números de elementos de
ciências em geral. A observação de
diferentes conjuntos. Assim,
determinado comportamento se repete
habilidades, tais como identificação e
nas condições consideradas.
interpretação de conceitos matemáticos
As demonstrações de alguns fatos
em diferentes formas e aplicação de
estratégias para resolução de equações, matemáticos são colocadas de maneira
são utilizadas nos problemas. Portanto, simples, para que o leitor tenha noções
de sua importância dentro da
sugere-se, dependendo da turma, que se
faça uma pequena revisão dos tópicos Matemática. A ênfase do trabalho não
necessários. deve ser, em hipótese alguma,
desenvolver a habilidade de realizar
Trata-se, no capítulo, de um conceito
demonstrações mais complexas
muito importante em argumentações, em
rigorosamente.
geral, que é a implicação (relação de
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127. V - Orientação para o trabalho do professor
Assim, nesta parte do trabalho, as Um trabalho mais sistematizado baseado
habilidades de utilizar conceitos no raciocínio indutivo é feito no item de
matemáticos para explicar fatos do seqüências, no qual novamente são
cotidiano, de construir argumentação desenvolvidas habilidades que utilizam
consistente e de identificar conceitos conceitos matemáticos para explicar fatos
matemáticos em diferentes formas são do cotidiano e identificar conceitos
as mais desenvolvidas. matemáticos em diferentes formas, além
A realização da atividade 12 pode ser de aplicar estratégias para resolver
um bom momento para fazer uma problemas.
retomada de produtos notáveis, assunto O estudo da notação de seqüências (an)
em que os alunos normalmente pode ser uma boa introdução para o
encontram bastante dificuldade. estudo de progressões aritméticas e
Durante a atividade 14, outras geométricas, o que não é feito neste
seqüências de figuras relacionadas com capítulo (apenas informalmente para as
números podem ser utilizadas, como a progressões aritméticas).
seqüência dos números triangulares.
BIBLIOGRAFIA
ARANHA, M. L. A.; MARTINS, M. H. P. Filosofando: introdução à filosofia. São Paulo:
Moderna, 1999. v. 1, 2 e 4.
CARRAHER, D. W. Senso crítico: do dia-a-dia às ciências humanas. São Paulo:
Pioneira, 2000. v. 1, 2, 4 e 5.
CARVALHO, M. C. C. S. Padrões numéricos e seqüências. São Paulo: Moderna, 2000. v.
6 e 7.
MACHADO, N. J. Lógica? é lógico! São Paulo: Scipione, 1997.
SOMINSKI, I. S. Método de indução matemática. São Paulo: Atual, 1996.
125
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129. CONSTRUIR SIGNIFICADOS E AMPLIAR OS JÁ EXISTENTES PARA Matemática - Ensino Médio
Capítulo III
OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E REAIS.
Convivendo com
os números
Elynir Maria Garrafa Borges
No capítulo, utilizando situações- números naturais, inteiros, racionais e
problema, pretendemos envolver o irracionais, na medida em que os
leitor em contextos do cotidiano e problemas estão sendo desenvolvidos.
mostrar sua relação com a Matemática, Por meio da discussão de gráficos,
trabalhando as habilidades propostas pretendemos indicar o uso dos números
para a competência. também nessa forma de linguagem.
Iniciamos com a exploração de um
texto, em que aparecem vários registros DESENVOLVENDO A
numéricos (números naturais, inteiros, COMPETÊNCIA
racionais e irracionais), na intenção de Para permitir o desenvolvimento da
orientar o leitor na observação das habilidade Construir e aplicar conceitos
diferentes escritas relacionadas aos de números naturais inteiros, racionais
diferentes números. e reais, para explicar fenômenos de
Em seguida, propomos situações- qualquer natureza, propusemos
problema utilizando esses números e situações-problema do cotidiano, para
alguns algoritmos necessários para cuja resolução os números naturais não
resolvê-los. Aproveitamos para são suficientes, havendo a necessidade
apresentar, nas diferentes situações, a de se recorrer aos números racionais ou
linguagem matemática, expressa em inteiros, acrescentando-os aos números
textos ou gráficos. naturais, ampliando, assim, o campo
Na seqüência, encaminhamos atividades numérico para os estudantes.
com o objetivo de permitir aos De modo a introduzir os números
estudantes a percepção de alguns irracionais, recorremos à Geometria, com
critérios para a classificação dos o teorema de Pitágoras, para resolver
números. Para isso, propomos que problemas, como o da menor distância
observem as características dos entre dois pontos.
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130. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
Sem explorar toda a estrutura dos natureza, apresentamos problemas que
campos numéricos, trabalhamos com os levam o leitor a buscar soluções, usando
números racionais e irracionais em comparações numéricas, necessitando
situações envolvendo fenômenos de de maior reflexão para poder
ordem socioeconômica, e sua aplicação argumentar e decidir, apoiando-se em
a problemas em que eles representem a dados quantitativos.
solução mais adequada. Para a habilidade Recorrer à
Para a habilidade Interpretar compreensão numérica para avaliar
informações e operar com números propostas de intervenção frente a
naturais inteiros, racionais, irracionais e problemas da realidade, propomos
reais, para tomar decisões e enfrentar situações que encaminham o leitor a
situações–problema, utilizamos a avaliar propostas de solução de
análise de dados de tabelas e de textos problemas da realidade, possibilitando a
extraídos de jornais, e propomos percepção de que desconhecer os
situações-problema para cuja resolução números e suas operações impede a
é necessário operar com os números interpretação correta das informações
naturais e inteiros. numéricas às quais está exposto
Para os números racionais, propomos diariamente, o que dá amplas
situações-problema, ligadas ao possibilidades de ele ser manipulado e
cotidiano, que enfocam a fração como: levado a tomar decisões que, na maior
parte das vezes, não o favorecem.
• quociente de dois números;
A metodologia para desenvolver as
• relação parte – todo;
habilidades é a “resolução de
• razão.
problemas” proposta nos PCN. Essa
Exploramos, ainda, a relação de ordem metodologia não significa que o
no conjunto dos números racionais por estudante deva responder a uma lista de
meio de comparações entre escritas exercícios, usando um modelo, mas sim
numéricas ou de observações de a situações desafiadoras nas quais o
gráficos. professor trabalha com o grupo as
Os irracionais foram explorados com o diferentes estratégias de resolução,
objetivo de que os estudantes aproveitando os conhecimentos prévios
reconheçam a existência desses que o estudante tem sobre o assunto.
números e sua aplicação em problemas Dessa forma, o conhecimento vai sendo
aos quais eles representem a solução construído como resposta a questões
mais adequada. identificadas em situações reais, isto é,
Para a habilidade Utilizar os números o conteúdo deve ser desenvolvido à
naturais inteiros, racionais e reais na medida que for sendo necessário para a
construção de argumentos sobre resolução das situações-problema.
afirmações quantitativas de qualquer
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131. V - Orientação para o trabalho do professor
Segundo a proposta dos PCN, a aluno observe as transferências nos
avaliação acontece em processo, diversos contextos. São fundamentais
considerando vários instrumentos, os diferentes códigos (verbal, gráfico,
através de situações que possibilitem pictórico, numérico), a fim de
avaliar as habilidades desenvolvidas, considerar as diferentes aptidões como
bem como as diferentes capacidades e também as estratégias de resoluções
conteúdos em questão, de modo que o frente aos problemas da realidade.
BIBLIOGRAFIA
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Curriculares Nacionais. Brasília, DF: MEC, 1998.
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TOLEDO, M. Dois e dois. São Paulo: [s.n.], 1997.
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classica.shtml - 20k.
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129
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133. UTILIZAR O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO PARA REALIZAR A Matemática - Ensino Médio
Capítulo IV
LEITURA E A REPRESENTAÇÃO DA REALIDADE, E AGIR SOBRE ELA.
Nossa realidade e as
formas que nos rodeiam
Mariília Barros de A. Toledo
A tarefa de planejar um curso de prévio dos alunos, tema que tem
Geometria para jovens e adultos nos mobilizado educadores, em especial na
leva a procurar um ponto de equilíbrio última década, é particularmente
entre dois extremos: relevante para o aprendizado científico
• realizar um trabalho de cunho e matemático. Os alunos chegam à
axiomático, em que cada novo escola trazendo conceitos próprios para
conceito ou propriedade deve estar as coisas por eles observadas e modelos
relacionado com propriedades e elaborados autonomamente para
teoremas anteriores, dando um explicar a realidade pessoal vivida,
encadeamento lógico que permita a inclusive para os fatos de interesse
construção do “edifício lógico” científico. É importante levarem-se em
representado por esta disciplina; conta tais conhecimentos, no processo
pedagógico, porque: o efetivo diálogo
• trabalhar fatos e conceitos isolados,
pedagógico só se verifica quando há
respeitando o interesse e
uma compreensão verdadeira de visões
conhecimento intuitivo que os alunos
e opiniões; o aprendizado da ciência é
possuem, o que acaba por limitar as
um processo de transição da visão
possibilidades de um aprofundamento
intuitiva, de senso comum ou de auto-
dos conhecimentos e métodos
elaboração, pela visão de caráter
geométricos, cerceando o
científico construída pelo aluno, como
desenvolvimento e crescimento dos
produto do embate de visões.
alunos pela ausência de instrumentos
próprios que lhes permitam enfrentar
situações novas. DESENVOLVENDO A
A proposta para a área de Ciências da COMPETÊNCIA
Natureza, da Matemática e das suas Assim, é fundamental que o aluno tenha
Tecnologias no Ensino Médio (SEMTEC/ oportunidade de exercer sua elaboração
MEC) recomenda que o conhecimento
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134. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
pessoal apoiada nos seus debates com a ter interesse na busca de explicações
colegas e com o professor; nas para essas questões e para as soluções
experimentações, em que ele possa que elas podem ter suscitado. Desse
verificar a veracidade ou não de modo, são apresentados alguns
hipóteses por ele desenvolvidas; na conceitos e propriedades, oferecendo
construção de modelos que lhe uma fundamentação teórica adequada
permitam avaliar e compreender melhor ao nível de conhecimentos esperado
as questões apresentadas; na busca do desse estudante.
melhor encaminhamento para a Procurando aproximar os conceitos
resolução de um problema. escolares das questões do mundo real,
O capítulo não tem a pretensão de pretende-se valorizar esses conceitos
desenvolver um “curso completo” de como produto de uma construção da
Geometria, mas apenas de apontar Humanidade, na tentativa de
alguns caminhos para os jovens e compreender e atuar em sua realidade.
adultos que buscam completar seus Desse modo, a utilização da História da
estudos de nível médio. Matemática é um importante recurso,
Assim, partindo de questões do mostrando, também, como surgiram e se
cotidiano, procurou-se levar o estudante desenvolveram os diversos conceitos
estudados.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: ensino básico. Matemática. Brasília, DF: MEC, 1998. v. 3.
CÂNDIDO, S. L. Formas num mundo de formas. São Paulo: Moderna, 1997.
IMENES, L. M. Descobrindo o teorema de Pitágoras. São Paulo: Scipione. 1987.
(Vivendo Matemática).
TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Como dois e dois: a construção da matemática. São Paulo:
FTD, 1997.
132
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135. CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE GRANDEZAS E MEDIDAS Matemática - Ensino Médio
Capítulo V
PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DO COTIDIANO.
Medidas e seus usos
José Luiz Pastore
Esperamos do estudante de nível médio a 2- Desenvolvendo Competências –
compreensão do conceito de medida, bem Exercícios resolvidos com a devida
como o domínio de habilidades contextualização na teoria. Muitas
relacionadas ao cálculo com medidas. vezes, a teoria é reelaborada, ou
Nesse sentido, o capítulo do estudante mesmo, construída ao longo da
trata, em linhas gerais, dos seguintes resolução de um problema. Algumas
temas: natureza do processo de medida em atividades deixam questões em
uma comparação com determinado padrão aberto, para que o estudante
estabelecido; identificação de alguns complete o raciocínio desenvolvido
atributos mensuráveis de um determinado (o gabarito dessas questões se
objeto; sistemas, processos de medidas; encontra no final do texto para o
unidades de medida, submúltiplos e estudante).
subdivisões; escalas, plantas e mapas, áreas 3- Sua vez de praticar – Esta seção
e volumes. conta com testes de múltipla escolha,
Os assuntos citados acima são apresentados para que o estudante pratique o que
no capítulo do estudante em três aprendeu, simulando uma situação de
momentos: prova. Todas as questões desta
1- Breve apresentação de um atividade têm gabarito disponível ao
determinado assunto – Interessa- final do texto.
nos aqui que o estudante compreenda O texto para o estudante foi concebido de
a natureza de uma medida em tal forma que possa ser consultado com
comparação com um determinado autonomia por parte do leitor. Contudo,
padrão estabelecido, que ele reflita algumas orientações metodológicas podem
sobre dificuldades inerentes à auxiliar o trabalho do professor no dia-a-
utilização de padrões pouco precisos dia com o estudante.
de medidas e que conheça o Sistema
Internacional de Medidas (SI).
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136. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
submúltiplos das principais unidades de
DESENVOLVENDO A
medida é pré-requisito para a resolução
COMPETÊNCIA de muitos exercícios. Nesse contexto, o
É importante que o leitor desenvolva estudante deverá saber, de antemão,
competência na conversão de um que 1 km = 1000 m , 1 dm = 0,1 m, 1
sistema de medidas para outro, mas não cm = 0,01 m, 1 mm = 0,001 m, 1 kg =
é necessário que conheça os fatores de 1000 g, 1 hora = 60 minutos, 1 minuto
conversão. Por exemplo, o estudante = 60 s, 1 litro = 1000 ml.
deverá estar apto a converter metros
Em relação ao trabalho com plantas e
em polegadas (e vice-versa), mas não
mapas, é importante que o professor
precisará decorar que 1 polegada =
insista na discussão sobre a
2,540 cm (esse tipo de informação
compreensão do significado de uma
estará disponível no exercício). O
escala e sua aplicação na resolução de
professor deverá sempre respeitar a
problemas. Em problemas envolvendo
forma particular de o aluno conduzir o
plantas, mapas e outras situações, o
raciocínio em um processo de
professor deverá trabalhar cálculos de
conversões de medidas ou unidades;
comprimentos, áreas e volumes; para
contudo, poderá também sistematizar
tanto, é necessário que motive os
procedimentos junto com o estudante,
estudantes por meio de situações
tais como, regra de três,
práticas, tais como, o cálculo da área
proporcionalidade, princípio
das paredes de uma casa para estimar a
multiplicativo etc.
quantidade de tinta necessária para
Cabe também ao professor orientar os pintá-las; o volume de água que pode
estudantes no sentido de que a conter um poço ou um açude etc.
utilização correta de subdivisões e
BIBLIOGRAFIA
BUSHAW, D. et al. Aplicações da matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais de matemática. Lisboa: Gradiva, 1998.
KENNEDY, E. S. Trigonometria: tópicos de história da matemática para uso em sala de
aula. São Paulo: Atual, 1992.
LIMA, E. L. Medida e forma em geometria: comprimento, área, volume e semelhanças.
Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.
LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (Org.). Aprendendo e ensinando geometria. São
Paulo: Atual, 1994.
MACHADO, N. J. Medindo comprimentos. São Paulo: Scipione, 1993.
134
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137. CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE VARIAÇÃO DE GRANDEZA Matemática - Ensino Médio
Capítulo VI
PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DO COTIDIANO.
A grandeza no
dia-a-dia
Luci M. Loreto Rodrigues
Este capítulo tem como finalidade DESENVOLVENDO A
subsidiar os estudos de um leitor jovem COMPETÊNCIA
ou adulto que não pôde concluir ou
Construir e ampliar noções de variação
freqüentar o processo escolar. Por isso,
de grandeza para compreensão da
as atividades propostas contemplam as
realidade e a solução de problemas do
competências e habilidades e abordam
cotidiano.
as idéias matemáticas sobre variação de
grandezas, porcentagem e juros, por Através da análise de situações-
meio de uma linguagem simples, problema envolvendo grandezas, busca-
motivadora e relacionada à realidade, se aproximar conceitos e realidades,
permitindo que ele possa pensar o seu fazendo com que o leitor perceba que já
cotidiano a partir de diferentes pontos utilizava informalmente esses conceitos
de vista, incentivando-o a raciocinar, matemáticos, e, com isso, construa
buscar conhecimentos adquiridos em conhecimentos com significado e
suas experiências de vida e encontrar amplie as noções de variação de
soluções corretas. grandeza, para que possa usá-las com
mais confiança na solução de problemas
Espera-se que a leitura do capítulo seja
do cotidiano e na compreensão da
agradável e desperte nesse leitor o
realidade.
hábito da leitura, da busca de
informações sobre os fatos. E que essas Para desenvolver a habilidade –
informações, aliadas aos seus Identificar grandezas direta e
conhecimentos, lhe permita construir inversamente proporcionais e
uma argumentação consistente para que interpretar a notação usual de
possa entender, explicar e participar dos porcentagem, apresentam-se situações
diversos processos que vivencia. simples e contextualizadas em que o
leitor deve analisar e identificar as
grandezas e suas variações e também
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138. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
situações que lhe permitam relacionar a-dia sobre juros simples e compostos,
sua linguagem diária com a linguagem e em que se procura mostrar ao leitor os
os símbolos matemáticos, como %. conhecimentos necessários para
• Comparar grandezas é muito comum argumentar, avaliar e decidir com
em nosso dia-a-dia. Por isso, é muito mais segurança sobre a melhor forma
importante saber identificar e avaliar de pagar uma compra, fazer um
as variações das grandezas e efetuar financiamento etc. ou vivenciar e agir
corretamente cálculos matemáticos com confiança em situações
para prever resultados. Esses semelhantes.
procedimentos permitem ao leitor • Analisar situações e avaliar dados e
desenvolver a habilidade Identificar e informações envolvendo porcentagem
avaliar variações de grandezas para e relações entre grandezas
explicar fenômenos naturais, possibilitam ao leitor criar formas de
processos socioeconômicos e da se posicionar criticamente diante de
produção tecnológica e obter mais uma sociedade regida pelo poder
confiança e consistência para socioeconômico, bem como formas e
entender e aplicar esses cálculos em mecanismos de se proteger contra a
situações reais. propaganda enganosa e os
• Resolver problemas envolvendo estratagemas de marketing. Recorrer a
grandezas direta e inversamente cálculos com porcentagem e relações
proporcionais e porcentagem é uma entre grandezas proporcionais para
habilidade vista por meio da avaliar a adequação de propostas de
apresentação de situações-problema, intervenção na realidade é uma
envolvendo grandezas direta e habilidade que ajuda a tornar o leitor
inversamente proporcionais, incluindo um cidadão presente, participativo
as porcentagens. Enfrentar e resolver dentro da comunidade, com condições
problemas conhecidos ou novos sobre de intervir e lutar por uma sociedade
diferentes situações amplia os mais justa e igualitária.
conceitos matemáticos e estabelece Alguns tópicos foram priorizados:
uma ligação entre conceitos e • Razão e proporção
realidade, facilitando sua
Os conceitos da razão e proporção e
compreensão.
suas aplicações são retomados com
• Identificar e interpretar variações uma abordagem voltada para o
percentuais de variável contexto do aluno do ensino médio.
socioeconômica ou técnico-científica Exploram-se o significado e sua
como importante recurso para a aplicação no cotidiano e não as
construção de argumentação definições formais e as propriedades.
consistente é uma habilidade
• Grandezas direta e inversamente
desenvolvida com a apresentação de
proporcionais e Regra de três simples.
situações-problema presentes no dia-
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139. V - Orientação para o trabalho do professor
Com situações presentes no cotidiano, A avaliação deve ser contínua, realizada
analisou-se e interpretou-se a variação a cada instante, fornecendo informações
das grandezas, identificando-as como ao professor sobre os conhecimentos e
grandezas diretamente ou habilidades dos alunos e sobre suas
inversamente proporcionais. E, com dificuldades. Deve também permitir ao
esses conceitos, resolveram-se professor que acompanhe seu trabalho
problemas, utilizando a Regra de três. pedagógico e verifique se os objetivos
• Porcentagem traçados estão sendo alcançados.
A partir da resolução e da Podem ser propostos problemas
interpretação de situações cotidianas contextualizados para avaliar o
que tratam de porcentagem, desenvolvimento das competências e
exploram-se os conceitos habilidades presentes no capítulo. A
matemáticos envolvidos no cálculo de resolução pode ser feita inicialmente de
porcentagem. forma individual e depois em grupo,
para que os alunos discutam e
• Juros simples e composto
comparem os resultados e
A interpretação e resolução de
procedimentos matemáticos utilizados
problemas do dia-a-dia relacionados a na resolução.
atividades comerciais e financeiras
Algumas atividades são resolvidas,
fornecem ao leitor os conhecimentos
comentadas e questionadas com o
matemáticos sobre juros necessários
leitor, que deve refletir sobre o tema, os
para aplicação em situações reais,
conhecimentos matemáticos que possui
como a forma de pagar uma conta e
e o modo utilizado na resolução.
de fazer um financiamento.
As atividades estão divididas em duas
Exploramos os conceitos matemáticos por
categorias:
meio da análise, interpretação e
resolução de problemas e situações 1. Questões fechadas, com respostas no
presentes no cotidiano, pois, quando final do capítulo, que devem ser
conceitos e realidade ficam próximos, o resolvidas pelo leitor como forma de
leitor percebe que já utilizava verificar seu aprendizado e fixar os
informalmente esses conceitos, que conceitos matemáticos.
agora passam a adquirir significado e a 2. Questões abertas, sem resposta, que,
serem usados com mais confiança em de modo geral, levam o leitor à
novas situações. reflexão, à leitura,à busca de idéias e
Os questionamentos e reflexões argumentações consistentes
presentes no capítulo exigem do leitor o permitindo a elaboração de propostas
exercício do pensamento, da busca de concretas e solidárias de intervenção
experiências vividas, com o propósito na realidade.
de servirem de suporte na organização
dos conhecimentos adquiridos e dos
que estão sendo construídos.
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140. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
BIBLIOGRAFIA
ALVAREZ, M. T. S. Seu problema é dinheiro? São Paulo: PEC, 2000.
BIGODE, A. J. L. Matemática: hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000.
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
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KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org.). A resolução de problemas na matemática escolar. São
Paulo: Atual, 1998. Tradução de Higino H. Domingues e Olga Cordo.
MACHADO, S. D. A. (Org.). Educação matemática: uma introdução. São Paulo: Educ -
PUC-SP, 1999.
MACEDO, L. de. Situação-problema: forma e recurso de avaliação, desenvolvimento
de competências e aprendizagem escolar. [s.n.t.].
IMENES, L. M.; JAKUBO, J.; LELLIS, M. Matemática: novas questões para avaliação e
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______. Proporções. Ilustrações de Cecília Iwashita. 11. ed. São Paulo: Atual, 1992.
(Para que serve a Matemática?).
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo. Sociedade Brasileira de
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SMOOTHEY, M. Atividades e jogos com razão e proporção. Ilustrações de Ann Baum.
São Paulo: Scipione, 1998. (Investigação Matemática). Tradução de Antonio Carlos
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ZAMPIROLO, M. J. C. As razões da Matemática. São Paulo: PEC, 2000.
______. Quantos por cento? São Paulo: PEC: Ed. do Brasil, 2000.
______. O que é, o que é. São paulo: PEC: Ed. do Brasil, 2000.
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Sites na Internet: www.desenvolvimento.gov.br/progacoes/PAB
Sites na Internet: www.nib.unicamp.br/svol
Sites na Internet: http://www.educ.fc.ul.pt/
Sites na Internet: http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/matdinhe.html
Sites na Internet: http://www.mat-no-sec.org/criar/propor/proporcionalidade.htm
138
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141. APLICAR EXPRESSÕES ANALÍTICAS PARA MODELAR E Matemática - Ensino Médio
Capítulo VII
RESOLVER PROBLEMAS, ENVOLVENDO VARIÁVEIS
SOCIOECONÔMICAS OU TÉCNICO-CIENTÍFICAS.
A Matemática
por trás dos fatos
Wilson Roberto Rodrigues
A proposta do capítulo para o estudante recebe a cada instante, não se
é, através de textos que explorem fatos restringindo a recebê-las interpretadas
do cotidiano, despertar no leitor a ou manipuladas por terceiros.
curiosidade para descobrir leis O tema central do texto é conduzir o
matemáticas simples que estão por trás leitor a desenvolver a competência de
das pequenas coisas do dia-a-dia e aplicar expressões analíticas para
motivá-lo a conhecê-las para explicar modelar e resolver problemas,
melhor o mundo a seu redor. envolvendo variáveis socioeconômicas
Juntamente com a aplicação dessas leis, ou técnico-científicas.
é preocupação permanente do texto Para atingir esse objetivo, as atividades
mostrar o papel generalizador que têm são graduadas segundo um conjunto de
os procedimentos matemáticos, habilidades que devem ser
preocupando-se, constantemente, em desenvolvidas e constituem as etapas de
fazer analogias para mostrar que que se compõe o trabalho.
problemas de contextos muito
diferentes podem ser resolvidos por DESENVOLVENDO A
ferramentas matemáticas muito
COMPETÊNCIA
parecidas.
O capítulo inicia propondo situações
A busca dessa “lei” ou modelo
muito simples em que o leitor é
matemático que está por trás dos fatos
conduzido a identificar e interpretar
que analisamos no dia-a-dia é a tônica
representações analíticas associadas a
da atividade do capítulo, que tenta
fatos do cotidiano ou a figuras
mostrar ao leitor que seu conhecimento
geométricas, como os pontos e as retas,
o tornará crítico, melhor capacitado a
dentro de situações contextualizadas e a
compreender o mundo à sua volta e a
fazer analogias entre essas
fazer suas próprias análises e
interpretações das informações que
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142. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
representações de modo a perceber o algébricas básicas, os conceitos de
caráter generalizador que a modelagem função linear, função afim, coordenadas
matemática pode conferir à resolução cartesianas no plano e equação da reta,
dos problemas. embora não seja objetivo da obra tratar
Na fase seguinte, convida-se o leitor a esses conteúdos de maneira formal, mas
interpretar ou aplicar os modelos usá-los como elementos que fortaleçam
identificados, associando-os a novos procedimentos mentais que permitam
problemas contextualizados. As associar leis matemáticas a descrições
aplicações envolvem o uso de de fatos, gráficos ou tabelas, sempre na
procedimentos algébricos simples como direção da competência e das
equações algébricas, inequações e habilidades.
sistemas lineares, objetivando a A proposta de trabalho com situações-
compreensão dos fenômenos descritos problema consiste, basicamente, na
nas situações propostas. Espera-se que, criação de uma situação didática que o
ao final desta fase, o estudante esteja aprendiz não pode realizar sem agregar
apto a estabelecer as relações que uma nova aprendizagem, e essa
possibilitem que ele próprio crie os aprendizagem se constitui no
modelos matemáticos. verdadeiro objetivo da atividade.
Vencida essa etapa, novas situações são Ela deve ser vista como um desafio para
apresentadas ao leitor, entregando o aluno que formulará hipóteses e
agora a ele a tarefa de modelar e aplicar conjecturas para sua resolução. A
os modelos obtidos na resolução de necessidade de transpor o obstáculo
equações e inequações. proposto o levará a elaborar ou se
Nas fases seguintes, privilegia-se mais apropriar coletivamente dos
ainda o contexto. As situações- instrumentos intelectuais necessários à
problema propostas encaminham o construção da solução.
leitor a dar mais ênfase à interpretação e É importante que a situação leve o
à utilização dos resultados, procurando aluno a mobilizar seus conhecimentos
motivá-lo a usar os conceitos cognitivos, afetivos e sociais anteriores
trabalhados como ferramentas, e que não seja vista por eles como um
argumentar de maneira segura e desafio intransponível. Os alunos devem
consistente e também de avaliar a se sentir intelectualmente desafiados e
adequação de propostas de intervenção ter consciência de sua capacidade de
na realidade. Em última análise, busca a vencer os desafios. Isso lhes trará a
construção de elementos que o ajudarão motivação e a autoconfiança
a se transformar num indivíduo necessárias para prosseguir nos
autônomo, crítico e mais preparado para trabalhos.
exercer em plenitude sua cidadania. No item “Matemática no café da
As situações-problema trabalhadas manhã” pretende-se que o leitor associe
envolvem a manipulação de ferramentas leis matemáticas a fatos simples e
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143. V - Orientação para o trabalho do professor
perceba que essas leis estão presentes oportunidade de fazer interpolações e
em nosso cotidiano. No item extrapolações para argumentar ou
“Matemática ao sair de casa”, criou-se responder a questões referentes ao
uma situação geométrica que conduz, contexto. O uso da calculadora
de maneira contextualizada, à idéia de permitirá que se construam situações
coordenadas cartesianas, como mais realistas, para vencer o obstáculo
preparação para a busca das leis dos cálculos demorados. Um trabalho
matemáticas em situações geométricas, mais personalizado pode até conduzir à
o que é feito no item “viajando com as construção de uma regra prática para
coordenadas”. obter a equação de uma reta a partir de
Uma vez obtidas essas leis, o item seu gráfico. O desenvolvimento dessas
“tabela, gráfico ou lei matemática” tenta ferramentas adicionais não deve perder
levar ao leitor a idéia de que situações de vista, porém, que esse trabalho só
muito diferentes como a compra do pão tem sentido se direcionado para a
ou a descrição de uma trajetória num construção das habilidades a que o
mapa são descritos por ferramentas texto se propõe.
matemáticas muito parecidas, como Nas atividades de avaliação, o professor
expressões do tipo y=kx ou retas deve estar atento ao fato de que o
passando pela origem, instigando-o a conteúdo, embora presente no trabalho,
fazer uso desse caráter generalizador não deve ser o objeto da avaliação, mas
que têm os procedimentos matemáticos. a ferramenta para o desenvolvimento
As atividades seguintes se valem dessas das habilidades. As provas devem
generalizações para que o aluno continuar proporcionando ao aluno
desenvolva as competências através de oportunidades de aprender, por
problemas que exploram temas como questões bem formuladas e instigantes
economia de energia, propostas de que requeiram análise, compreensão e
emprego, problemas ambientais, crítica tomadas de decisão.
a leituras, educação para o consumo, Embora não seja uma tarefa fácil
dentre outros. elaborar questões com essas
Como proposta ao professor para características, o esforço em investir
aprofundamento do tema, sugerimos a nelas certamente será compensador,
criação de situações que envolvam a pois estaremos criando também, com
exploração de gráficos com essas atividades, mais oportunidades de
comportamento linear extraídos de crescimento.
publicações, em que o aluno tenha a
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144. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
BIBLIOGRAFIA
CÂNDIDO, S. L. Quando a álgebra e a geometria se encontram. São Paulo: Ed. do
Brasil, 2000.
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Educação Matemática.
MACEDO, L. de. Situação-problema: forma e recurso de avaliação, desenvolvimento
de competências e aprendizagem escolar.
MACHADO, S. D. A. (Org.). Educação matemática: uma introdução. São Paulo: Ed.
PUC-SP, 1999.
KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São
Paulo: Atual, 1998.
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: Sociedade Brasileira de
Matemática.
ZAMPIROLLO, M. J. C. Não saia da linha. São Paulo: Ed. do Brasil, 2000.
142
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145. INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE NATUREZA CIENTÍFICA E Matemática - Ensino Médio
Capítulo VIII
SOCIAL OBTIDAS DA LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS,
REALIZANDO PREVISÃO DE TENDÊNCIA, EXTRAPOLAÇÃO,
INTERPOLAÇÃO E INTERPRETAÇÃO.
Gráficos e tabelas do
dia-a-dia
Jayme do Carmo Macedo Leme
Procuramos mostrar para o aluno que os “saber fazer” que levam a um “saber
gráficos e tabelas são encontrados no ser” perpassam pelas atividades, sendo a
cotidiano das pessoas com o intuito de aquisição delas o objetivo das
facilitar atividades rotineiras ou situações-problema propostas.
transmitir informações de forma Discutiremos a seguir as habilidades.
sintetizada.
Como nosso público alvo é de jovens e DESENVOLVENDO A
adultos, acreditamos que atividades COMPETÊNCIA
elaboradas a partir de conhecimentos Utilizamos os primeiros capítulos para
adquiridos no dia a dia serão grandes desenvolver a habilidade, Reconhecer e
aliadas para o envolvimento, interpretar as informações de natureza
participação, compreensão e interesse científica ou social expressas em gráficos
dos leitores. ou tabelas, propondo situações nas
As situações-problema pretendem quais o leitor faz inferências durante a
propiciar o desenvolvimento da leitura e leitura, localizando dados em tabelas e
interpretação de gráficos e tabelas, além gráficos. Trabalhamos com valores
de propiciar a manipulação desses discretos e contínuos, levando o
dados, criar uma argumentação estudante a fazer aproximações e
consistente e intervir na realidade, interpolações. Como as situações
utilizando as informações lidas e propostas podem ser encontradas no
interpretadas de gráficos e tabelas. cotidiano, acreditamos que o estudante
Para o desenvolvimento dessa venha a utilizar um procedimento
competência, é fundamental que os próprio de solução para depois,
estudantes desenvolvam um conjunto apresentarmos nosso modo de
de habilidades. Essas habilidades que resolução, com a sugestão de que
podem ser interpretadas como um compare com o que foi pensado por ele.
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146. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
Para a habilidade, Identificar ou inferir exemplo, a variação em dois momentos.
aspectos relacionados a fenômenos de A construção de argumentação
natureza científica ou social, a partir de consistente é pautada no
informações expressas em gráficos ou reconhecimento e uso dessa variação.
tabelas, a leitura dos gráficos e tabelas As situações-problema propostas para
deixa de ser o objeto de estudo esse fim apresentam gráficos e tabelas
passando a ser uma ferramenta para a sobre os quais discutimos a
interpretação pretendida. É por meio da possibilidade de se medir a variação
organização e reflexão sobre a leitura entre seus dados, propiciando a
que procuramos desenvolver a elaboração de argumentação
interpretação das informações. consistente. A proposta de questões de
As situações-problema apresentadas múltipla escolha visa a colocar o leitor
para esse fim foram as que envolviam a frente a problemas de ordem social,
taxa de natalidade e a leitura de econômica ou política nos quais terá
temperaturas. Nessas atividades, que fazer uma análise crítica dos
apresentamos um texto contendo argumentos apresentados para escolher
informações de caráter socioeconômico ou considerar qual é o mais apropriado
e sobre fenômenos naturais, para que para aquela situação,
fossem comparados com os dados Avaliar, com auxílio de dados
obtidos pela leitura do gráfico e tabela apresentados em gráficos ou tabelas, a
proposto. adequação de propostas de intervenção
Ao selecionar, organizar e relacionar os na realidade.
dados apresentados na forma de tabela O capítulo é todo permeado de situações
ou gráfica para a resolução das retiradas de nossa realidade com o intuito
situações propostas, estamos de sinalizar ao estudante que é possível
possibilitando ao estudante que sua participação e intervenção na
desenvolva a habilidade de selecionar sociedade em que está inserido para
e interpretar informações desfrutar seus direitos ou para lutar por
expressas, em gráficos ou tabelas, eles de modo consciente e consistente,
para resolução de problemas. respaldado por conhecimentos que lhe
Outra habilidade é a de analisar o possibilitem o poder que o domínio da
comportamento de variável informação garante.
expresso em gráficos ou tabelas, A metodologia que propomos é a de
como importante recurso para a resolução de problemas e, dessa forma,
construção de argumentação o professor terá vários papéis nesse
consistente. trabalho, como:
A variação é um quantificador das • Organizar a classe em grupos,
mudanças que ocorrem nos dados de propondo a eles situações-problema,
gráficos e tabelas. Ela mede, por auxiliando-os, caso seja necessário, na
interpretação do enunciado (lembre-se
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147. V - Orientação para o trabalho do professor
de que interpretar o problema é bem O professor, apoiado pelas habilidades e
diferente de resolver o problema). competência apresentadas pelo
• Criar debates partindo das propostas capítulo, poderá avaliar os alunos
de resolução levantadas pelos grupos, propondo, adaptando ou criando
direcionando-as a uma resolução situações semelhantes às apresentadas,
pertinente. que necessitem, para sua resolução, das
habilidades que se buscou desenvolver.
• Formalizar aquele conhecimento
gerado pelas discussões.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica: ensino
médio. Parâmetros curriculares nacionais para o ensino médio. Brasília, DF: Semtec,
1998.
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1989.
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/www. fgv.br. Acesso em: 15 abr. 2002.
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA – IBGE. Disponível em: <http://
www.ibge.gov.br. Acesso em: 27 abr. 2002.
OLIVEIRA, S. S. Planos econômicos brasileiros. Disponível em: <http://
www.zemoleza.com.br. Acesso em: 12 maio 2002.
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1980. v. 1.
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148. Matem∙tica 76-150.pmd 146 11/7/2003, 09:22

149. COMPREENDER O CARÁTER ALEATÓRIO E NÃO DETERMINÍSTICO Matemática - Ensino Médio
Capítulo IX
DOS FENÔMENOS NATURAIS E SOCIAIS, E UTILIZAR INSTRUMENTOS
ADEQUADOS PARA MEDIDAS E CÁLCULOS DE PROBABILIDADE,
PARA INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE VARIÁVEIS APRESENTADAS
EM UMA DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA.
Uma conversa sobre
fatos de nosso dia-a-dia
Helenalda Nazareth
Iniciamos o capítulo discutindo que pode gerar uma amostra viciada.
atividades que incentivam a observação Com exemplos, trabalhamos a validade
e propiciam o desenvolvimento de do resultado de uma pesquisa.
habilidades para a discriminação, A Estatística surge com exemplos
interpretação e produção de registros de simulados de situações do cotidiano e
fenômenos aleatórios e determinísticos. os conceitos abordados anteriormente
É feito o encaminhamento para a vão sendo utilizados gradativamente, de
explicação informal de fenômenos modo que o leitor possa solucionar as
aleatório e determinístico e do conceito questões propostas e adquirir condições
de probabilidade, sendo apresentadas para caracterizar ou inferir aspectos
questões que, depois da reflexão dos relacionados a fenômenos de qualquer
alunos leitores, serão respondidas. Não natureza, a partir de informações
há um aprofundamento deste tema. expressas por meio de uma distribuição
Pretendemos apenas focalizar o estatística.
raciocínio probabilístico, a contagem e
A porcentagem é apresentada como um
o cálculo de probabilidade que
número racional, que pode ser
envolvem a compreensão da
representado, utilizando a escrita
amostragem, na presença do caráter
decimal ou a forma de fração.
aleatório de determinados fenômenos.
Acreditamos que alguns índices
representados por porcentagens
DESENVOLVENDO A poderão ser aprendidos com
COMPETÊNCIA compreensão e poderão ser
Já, no início, abordamos a questão da memorizados, conforme forem sendo
escolha da amostra e da possibilidade utilizados. É o caso, por exemplo, de:
da manipulação de dados que poderá 25% • 1/4 = 25/100 ou 0,25 80% • 4/5
estar camuflada na própria amostragem, = 80/100 ou 0,8
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150. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
20% • 1/5 = 20/100 ou 0,20 75% • 3/4
= 75/100 ou 0,75. Sugerimos que o professor trabalhe com
Ao avaliar o trabalho do aluno, convém reportagens de jornais e revistas da
lembrar que pessoas diferentes poderão época, propondo discussões sobre os
ter raciocínios diferentes para obter a temas abordados e sobre a validade ou
solução do mesmo problema. não dos fatos anunciados em
Procuramos apresentar soluções que manchetes.
julgamos mais fáceis, mas não podemos Vivemos, hoje, em um mundo cercado
deixar de valorizar as soluções de Estatísticas. Os Parâmetros
apresentadas pelos alunos, que, Curriculares Nacionais recomendam a
certamente, serão mais fáceis para eles. Estatística como parte integrante da
Observemos alguns possíveis própria alfabetização, citando-a como
raciocínios: um conhecimento primordial para a
Primeiro Exemplo formação do cidadão que se pretende
O salário mensal de uma pessoa é de formar.
R$800,00. Se houver um aumento de Aqui abordamos a Estatística,
12%, quanto passará a ser este salário? procurando apresentar ao aluno leitor o
A solução mais comum, feita por caminho da elaboração de uma pesquisa,
pessoas que já têm alguma escolaridade, partindo da amostragem, sugerindo uma
é calculando primeiro o aumento que, coleta de dados e sua representação por
depois, será acrescido ao salário atual: meio de tabelas e gráficos. As tabelas e
gráficos são apresentadas de maneira
x = 800 x 12 / 100 • x = 96 reais
informal, sem nos preocuparmos muito
O salário passará a ser de 800 + 96 =
com o rigor da Estatística. Trabalhar sem
896 reais o rigor e sem grande formalização não
É comum que professores ensinem a implica incorrer em erros. Procuramos,
regra de três para a solução de sempre, apresentar tabelas e quadros,
problemas que envolvem porcentagem. gráficos de diferentes tipos, sem
Não foi este o encaminhamento que explicitar a sua relação com os tipos de
demos no capítulo. Mas a solução é variáveis. O histograma só deve ser
válida e deverá ser discutida no grupo, utilizado com variáveis contínuas. Foi
para que possa ser socializada, assim este o tratamento que demos aos salários
como toda solução diferente que surgir. na página 17. Já para variáveis discretas,
Uma solução é viável quando sabemos a representação conveniente deve ser
representar a porcentagem, usando a feita com gráficos de barras ou de
escrita decimal do número, e que colunas. No exemplo sobre a
facilita o uso da calculadora é: escolaridade da população da cidade de
1,12 x 800 = 896 reais São Paulo apresentamos o gráfico de
barras e, no exemplo sobre a preferência
por sabonetes, na mesma página, o
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151. V - Orientação para o trabalho do professor
gráfico de colunas. Não há necessidade que a média seja maior que o salário da
de nos aprofundarmos nestes detalhes maioria dos trabalhadores. Quase
com os alunos jovens e adultos, mas é sempre, os trabalhadores pensam na
essencial que eles tenham oportunidade maioria como sendo a média ou a moda.
de conhecer os diversos tipos de Com o problema apresentado, ou outro
gráficos. do mesmo tipo, o professor poderá
Das medidas de uma distribuição, encaminhar uma discussão sobre os
apresentamos, neste capítulo, apenas as significados de:
de tendência central (média aritmética, • maioria (metade mais um)
mediana e moda). Houve uma • moda (o mais freqüente)
preocupação em diferenciar as três, com
• média ( distribuição eqüitativa).
o auxílio de propostas que visam à
Se o professor tiver acesso aos dados
compreensão de seus conceitos, uma
sobre a distribuição de renda no Brasil,
vez que é comum cometermos erros na
interpretação de afirmações que poderá verificar que ela ocorre mais ou
menos seguindo o padrão da
envolvem estas três medidas. É comum
distribuição dos salários do exemplo
as pessoas entenderem média como
sendo a moda. Na última página, aqui proposto.
propomos um problema que poderá É inquestionável a importância da
gerar uma discussão sobre esse assunto. compreensão de conceitos básicos para
que as pessoas entendam o significado
Segundo Exemplo
de seus cálculos e possam discutir
Quando os funcionários de uma empresa
questões pertinentes a seu dia-a-dia
estavam reivindicando melhores
com argumentos consistentes, podendo
salários, o dono argumentou que a
defender seus direitos, enquanto
média dos salários era de
cidadãos, e intervir na sociedade da
aproximadamente R$1.485,00 Os
qual fazem parte.
funcionários acharam-se enganados
porque, com certeza, estavam pensando Cabe ao professor não apenas ensinar os
na moda, ou então na maioria dos cálculos mas promover movimentos de
discussão e reflexão em sua sala de
salários.
aula.
Em nosso exemplo, a mediana é o 51º
A Matemática (e, em especial, a
salário, que é 500 reais. Logo, a maioria
recebe salários menores ou iguais a 500 Estatística) vai muito além dos cálculos,
reais. Talvez, por esse motivo, os envolvendo o desenvolvimento da
autonomia, na medida em que o
trabalhadores da empresa pensassem
que o dono não dizia a verdade ao indivíduo é capaz de questionar,
afirmar que a média dos salários era de discutir e apresentar soluções ou
perceber quando suas soluções podem
aproximadamente 1.485,00 reais.
ser substituídas por outras apresentadas
Há poucos salários altos que fazem com
por seus interlocutores.
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152. Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
BIBLIOGRAFIA
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BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica: ensino
médio: Matemática. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, DF: MEC, 1996.
NAZARETH, H. R. S. Curso básico de estatística. 12. ed. São Paulo: Ática, 1997.
LIBERMAM, M. et al. Fazendo e compreendendo matemática. São Paulo: Solução,
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