Mat equacoes do 2 grau 003
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I) O documento descreve dois métodos para resolver equações de segundo grau: o método atribuído a Bhaskara que envolve completar o quadrado e o método proposto por François Viète que envolve substituições e manipulações algébricas. II) O método de Bhaskara leva a fórmula geral para as raízes de uma equação de segundo grau x = (-b ± √(b2 - 4ac))/2a. III) O método de Viète também deriva nesta fórmula após substituições
![GUIDG.COM – PG. 1
6/8/2010 – MAT – Matemática.
Obs.: Não utilize esta pesquisa como fonte única de estudos. Correções e adaptações serão feitas regularmente.
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Métodos para resolução da equação de segundo grau
“De onde veio a fórmula de Bhaskara?”
É importante lembrar que por hora não estamos interessados na história e sim no método. Eis a
seguinte pergunta com a qual os matemáticos se depararam:
Para que valores de x , a equação ax² + bx + c = 0 ? Ou seja para que valores de x tornamos a equação
verdadeira?
O Matemático Al-Khowarizmi (Séc. IX) já havia resolvido algumas equações quadráticas, mas suas
justificativas eram geométricas. Foi somente mais tarde com o método atribuído a Bhaskara (Séc. XII),
que consiste de uma solução através de manipulações algébricas, completar o quadrado e isolar a
incógnita. Faremos isso passo à passo numa versão moderna e simplificada, veja a demonstração:
I) Seja a equação:
ax² + bx + c = 0 , com ( a, b, c 2 ℜ e a ≠ 0 ):
II) Subtraindo c nos dois lados da eq. , e multiplicando a eq. por 4a:
ax² + bx = - c
4a²x² + 4abx = - 4ac
III) Adicionando b² na eq.:
4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac
IV) Chega-se no lado esquerdo da eq. há um trinômio quadrado perfeito:
4a²x² + 4abx + b² = (2ax + b) . (2ax + b) = (2ax + b)²
V) Re-escrevendo a eq.:
(2ax + b)² = b² - 4ac
VI) Sabe-se então quewwww dois números tais que elevados ao quadrado são iguais à b² - 4ac:
existem
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2ax + b = F q b @ 4ac
2
VII) Subtraindo b nawwww dividindo todos os membros da eq. por 2a:
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VIII) Que é fórmulawwww raízes da eq. de segundo grau, os valores de x que tornam a eq. verdadeira.
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b F q f @ 4ac
2
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Obs.: Chamando b² - 4ac = ∆ , dizemos que ∆ é o discriminante da equação de segundo grau, pois
(2ax + b)² ≥ 0 , portando a solução da equação de segundo grau no conjunto dos números Reais depende
do sinal de ∆ , do contrário estaremos lidando com números imaginários, que pertencem por definição ao
conjunto dos números Complexos.](https://image.slidesharecdn.com/matequacoesdo2grau003-111208120442-phpapp02/85/Mat-equacoes-do-2-grau-003-1-320.jpg)
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- 1. GUIDG.COM – PG. 1 6/8/2010 – MAT – Matemática. Obs.: Não utilize esta pesquisa como fonte única de estudos. Correções e adaptações serão feitas regularmente. [] Métodos para resolução da equação de segundo grau “De onde veio a fórmula de Bhaskara?” É importante lembrar que por hora não estamos interessados na história e sim no método. Eis a seguinte pergunta com a qual os matemáticos se depararam: Para que valores de x , a equação ax² + bx + c = 0 ? Ou seja para que valores de x tornamos a equação verdadeira? O Matemático Al-Khowarizmi (Séc. IX) já havia resolvido algumas equações quadráticas, mas suas justificativas eram geométricas. Foi somente mais tarde com o método atribuído a Bhaskara (Séc. XII), que consiste de uma solução através de manipulações algébricas, completar o quadrado e isolar a incógnita. Faremos isso passo à passo numa versão moderna e simplificada, veja a demonstração: I) Seja a equação: ax² + bx + c = 0 , com ( a, b, c 2 ℜ e a ≠ 0 ): II) Subtraindo c nos dois lados da eq. , e multiplicando a eq. por 4a: ax² + bx = - c 4a²x² + 4abx = - 4ac III) Adicionando b² na eq.: 4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac IV) Chega-se no lado esquerdo da eq. há um trinômio quadrado perfeito: 4a²x² + 4abx + b² = (2ax + b) . (2ax + b) = (2ax + b)² V) Re-escrevendo a eq.: (2ax + b)² = b² - 4ac VI) Sabe-se então quewwww dois números tais que elevados ao quadrado são iguais à b² - 4ac: existem wwwww wwwww wwwww wwww www w ww ww w www 2ax + b = F q b @ 4ac 2 VII) Subtraindo b nawwww dividindo todos os membros da eq. por 2a: eq. , e ww www wwwww wwwww wwww wwww www w ww ww 2ax = @ b F q b @ 4ac 2 wwwww wwwww wwwww wwwww wwwww wwwww wwwww bf qffff4acff 2 ff fb ff fff f ff f ff@fff f ff ff ff fff f ff fffff x =@ F 2a 2a VIII) Que é fórmulawwww raízes da eq. de segundo grau, os valores de x que tornam a eq. verdadeira. para as wwwww wwwww wwwww wwwww wwwww wwwww w b F q f @ 4ac 2 ffffffb fffffff @fffffffffffff ffffffffffffff fffffffffffff x= 2a Obs.: Chamando b² - 4ac = ∆ , dizemos que ∆ é o discriminante da equação de segundo grau, pois (2ax + b)² ≥ 0 , portando a solução da equação de segundo grau no conjunto dos números Reais depende do sinal de ∆ , do contrário estaremos lidando com números imaginários, que pertencem por definição ao conjunto dos números Complexos.
- 2. GUIDG.COM – PG. 2 A segunda proposição é um método mais recente, proposto pelo matemático francês “François Viète” (1540-1603). Neste caso fazemos apenas algumas substituições e manipulações algébricas, é um pouco mais simples, pois não necessita da técnica de completar quadrados. I) Seja a equação: ax² + bx + c = 0 , com ( a, b, c 2 ℜ e a ≠ 0 ): II) Substituindo x = u + v na eq.: a(u + v)² + b(u + v) + c = 0 III) Expandindo: a(u² + 2uv + v² ) + bu + bv + c = 0 au² + 2auv + av² + bu + bv + c = 0 IV) Re-escrevendo a eq. em termos de v : av² + v(2au + b) + au² + bu + c = 0 V) Igualando 2au + b = 0 e isolando u , u = -b/2a . Substituindo u : H I f g f g2 f g ff bf ff ff bf ff ff ff ff bf ff ff av 2 + vJ2a @ + b K+ a @ +b @ +c =0 2a 2a 2a 2 bff ff ff f av 2 @ +c =0 4a VI) O próximo passo é isolar a incógnita v : 2 2 bff ff ff f bfff4acf fffffff f@fff ff fff fffff av 2 = @c [ av 2 = 4a 4a vwwww wwwww wwwww wwwww wwww wwww wwww wwww wwww uwwww wwwww wwwww wwwww wwwww wwwww wwww q 2 2 u b 2 @ 4ac bfff4acf fffffff f@fff ff fff fffff fffffff ffffff ffffff ffffff fb f@ffff f f 4ac fffffffff ffffffff ffffffff v2 = [ v =Ft =F 4a 2 4a 2 2a VII) Mas x = u + v e u = -b/2a . Substituindo u e v : x =u +v wwwww wwwww wwwww wwww wwww wwww wwww wwww q 2 bf fbfffffff ff f f 4ac ff fffffffff ff ffffffff f f@ffff x =@ F 2a 2a VIII) Que é finalmenteww wwwww wwwww wwwww wwwww wwwww a fórmula para as raízes da eq. de segundo grau: wwwww www q 2 @ffFffffff4acf ffffffb f@ffff fb fffffff ffff fffffffff ffff f f f ffff x= 2a Fontes de pesquisa e mais detalhes sobre os métodos propostos: Carl B. Boyer, História da Matemática, Editora Edgard Blücher (1974). E. T. Bell, The development of Mathematics, Mc Graw-Hill Book Co. (1945). Howard Eves, An Introduction to the history of Mathematics. Holt, Rinehart and Winston. Curso de Matemática, Algacyr Munhoz Maeder, Editora Melhoramentos.