O documento apresenta resoluções de exercícios de vetores e álgebra linear. A resolução do exercício 3.19 obtém a expressão do produto vetorial de três vetores no formato de determinante e prova que o valor do triplo produto é igual ao volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. As resoluções subsequentes provam propriedades geométricas e algébricas envolvendo produtos vetoriais, vetores recíprocos e distâncias.
A partícula se move em uma trajetória circular com raio r=1 metro. Sua velocidade é dada por v=ωrθ̂ e sua aceleração é dada por a=-ω2rθ̂, onde ω=1 rad/s. O raio de curvatura no ponto t=0 é r=1 metro.
O documento discute o período de oscilação de um pêndulo em um elevador acelerado. No caso de aceleração para baixo, o período é maior do que o período natural, enquanto no caso de aceleração para cima, o período é menor do que o período natural. Isso ocorre devido à força inercial de Einstein no referencial do elevador.
O documento descreve como calcular a magnitude do vetor |⃗ ⃗ | em função de θ. Considerando um sistema de coordenadas polares com r=1, o documento mostra que a magnitude pode ser expressa como |⃗ ⃗ | = √((cosθ)2 + (sinθ)2) = 1.
Um cabo de massa ρ por unidade de comprimento é puxado por uma força constante F ao longo de uma superfície horizontal com trechos lisos e rugosos. O cabo inicia em repouso no trecho rugoso. A velocidade v do cabo é calculada quando x=L.
Quando o elevador acelera para cima, a pessoa sente um aumento aparente de peso devido à força inercial para baixo. Quando o elevador acelera para baixo, a pessoa sente uma diminuição aparente de peso devido à força inercial para cima. Em ambos os casos, a aceleração do elevador causa uma força inercial na pessoa que afeta seu peso aparente.
Este documento descreve dois casos de um observador analisando as forças que atuam em um pêndulo em movimento. No primeiro caso, o observador está no referencial do carro em movimento e deve aplicar a força inercial de Einstein. No segundo caso, o observador está na Terra e considera apenas as forças gravitacional e tensional. Ambos os casos chegam à mesma conclusão de que a força tensional no pêndulo é de 22,66 N.
O documento descreve o cálculo da força normal exercida no carrinho no ponto C. Ele fornece as equações de movimento do sistema de massas e calcula os valores de θ, ρ e a força normal, que é igual a 80N.
1) Um avião tenta voar a velocidade constante v contra o vento w.
2) O piloto aponta o avião em direção ao ponto de origem, mas na verdade segue uma trajetória afetada pelo vento.
3) A trajetória seguida pelo avião é dada pela equação y = a(e^(wx/v) - 1), onde a é a distância inicial do avião e w é a velocidade do vento.
A partícula se move em uma trajetória circular com raio r=1 metro. Sua velocidade é dada por v=ωrθ̂ e sua aceleração é dada por a=-ω2rθ̂, onde ω=1 rad/s. O raio de curvatura no ponto t=0 é r=1 metro.
O documento discute o período de oscilação de um pêndulo em um elevador acelerado. No caso de aceleração para baixo, o período é maior do que o período natural, enquanto no caso de aceleração para cima, o período é menor do que o período natural. Isso ocorre devido à força inercial de Einstein no referencial do elevador.
O documento descreve como calcular a magnitude do vetor |⃗ ⃗ | em função de θ. Considerando um sistema de coordenadas polares com r=1, o documento mostra que a magnitude pode ser expressa como |⃗ ⃗ | = √((cosθ)2 + (sinθ)2) = 1.
Um cabo de massa ρ por unidade de comprimento é puxado por uma força constante F ao longo de uma superfície horizontal com trechos lisos e rugosos. O cabo inicia em repouso no trecho rugoso. A velocidade v do cabo é calculada quando x=L.
Quando o elevador acelera para cima, a pessoa sente um aumento aparente de peso devido à força inercial para baixo. Quando o elevador acelera para baixo, a pessoa sente uma diminuição aparente de peso devido à força inercial para cima. Em ambos os casos, a aceleração do elevador causa uma força inercial na pessoa que afeta seu peso aparente.
Este documento descreve dois casos de um observador analisando as forças que atuam em um pêndulo em movimento. No primeiro caso, o observador está no referencial do carro em movimento e deve aplicar a força inercial de Einstein. No segundo caso, o observador está na Terra e considera apenas as forças gravitacional e tensional. Ambos os casos chegam à mesma conclusão de que a força tensional no pêndulo é de 22,66 N.
O documento descreve o cálculo da força normal exercida no carrinho no ponto C. Ele fornece as equações de movimento do sistema de massas e calcula os valores de θ, ρ e a força normal, que é igual a 80N.
1) Um avião tenta voar a velocidade constante v contra o vento w.
2) O piloto aponta o avião em direção ao ponto de origem, mas na verdade segue uma trajetória afetada pelo vento.
3) A trajetória seguida pelo avião é dada pela equação y = a(e^(wx/v) - 1), onde a é a distância inicial do avião e w é a velocidade do vento.
O documento descreve um sistema com dois blocos de massa igual puxados por um carrinho. A aceleração mínima é quando a força de atrito estática entre os blocos e o carrinho é igual à força centrípeta, e a máxima é quando a força centrípeta é igual à soma das forças de atrito estático e peso.
Questão 03 quest o do colar percorrendo o anelDiogo de Lucena
Um colar desliza sobre uma barra circular com atrito dinâmico de 0,2. Sua velocidade inicial é de 4m/s. O resumo calcula a distância percorrida até parar usando equações de movimento circular uniforme com atrito, encontrando o valor de 2 metros.
Dois blocos deslizam juntos por uma prancha conectados por uma corda. A tensão na corda é dada por (μ1-μ2)mg. A aceleração do sistema é [(μ1-μ2)g]/m. O sistema atinge velocidade constante quando μ1=μ2, onde os coeficientes de atrito são iguais.
Este resumo trata da dinâmica de uma bola em um cilindro em rotação constante visto em dois referenciais. No referencial inercial, a bola adquire uma velocidade angular devido a uma força normal horizontal que faz com que ganhe energia cinética de rotação. Já no referencial não-inercial, a bola apenas cai verticalmente sem rodar, não havendo essa força.
O documento descreve um esquema de um pêndulo em um referencial em movimento dentro de um carro. Ele analisa as forças que atuam no pêndulo no referencial em movimento e deriva uma equação para a aceleração A necessária para manter o pêndulo em equilíbrio. A solução encontrada é A=5,66 m/s2.
Este problema será resolvido em coordenadas esféricas para calcular a aceleração de uma bola oscilando ao longo de uma haste giratória. A aceleração depende da posição, velocidade e frequência da bola, que variam com o tempo. A aceleração é máxima quando a velocidade ao longo da haste também é máxima. Resolvendo as equações de movimento, a aceleração nesse instante é igual a ( ) √ m.s-2.
O documento explica como a força de Coriolis afeta objetos em movimento no hemisfério sul. Ele descreve que objetos se movendo para o norte ou sul experimentam uma aceleração para o oeste no referencial do observador, fazendo com que desviem para a esquerda.
O documento descreve um experimento com um balde cilíndrico girando com líquido em seu interior. Explica que a superfície do líquido adota uma forma parabólica dada por y = x2/2R devido às forças centrífugas e centrípetas que atuam sobre um elemento de massa na superfície quando o balde gira. Deriva essa equação parabólica analisando o equilíbrio das forças no referencial em rotação com o balde.
O documento analisa a força centrífuga no hemisfério sul da Terra. Explica que a aceleração centrífuga no hemisfério sul tem uma componente na direção norte que tende a deslocar objetos levemente para o norte, e reduz a gravidade aparente nessa região fazendo-a menor que a gravidade real.
1) O documento aplica a segunda lei de Newton para calcular a aceleração de uma bola em movimento circular uniforme presa a um eixo por uma corda.
2) Ele deriva uma equação para a aceleração da bola em termos da velocidade angular, raio e distância da bola ao eixo.
3) O documento então resolve a equação para casos específicos de distância da bola ao eixo para encontrar a aceleração nas direções x', y' e z'.
O documento relaciona o desvio máximo de um lançamento vertical com a velocidade inicial de lançamento. Ele mostra que o desvio máximo é proporcional ao quadrado da velocidade inicial e ocorre no tempo em que a altura máxima é atingida. Ele também fornece tabelas mostrando o desvio máximo para diferentes velocidades iniciais e ângulos de lançamento.
No referencial do vagão em movimento acelerado, a lâmpada experimenta forças fictícias e seu movimento é uniformemente acelerado tanto na direção horizontal quanto na vertical. A distância percorrida na horizontal é dada pela equação do movimento uniformemente acelerado aplicada ao tempo calculado para a lâmpada atingir a altura h no movimento vertical.
O documento demonstra que o rotacional de uma força conservativa é nulo. Ele faz isso calculando o rotacional ao longo de caminhos fechados em diferentes planos utilizando a aproximação de Taylor e a noção de sentidos dos eixos, mostrando que cada integral se anula.
1) A força de Coriolis é afetada pela velocidade angular da rotação da Terra e pela velocidade linear do corpo. Ela aponta para oeste no hemisfério norte.
2) A margem mais alta do rio fica na direção da força de Coriolis, que é para o oeste.
3) O módulo da força de Coriolis depende da latitude, da velocidade do corpo e da velocidade angular da Terra.
O documento descreve a análise do movimento de um foguete impulsionado por gases emitidos a uma taxa constante. Ele calcula expressões para a velocidade do foguete em função do tempo usando a segunda lei de Newton e integra essas expressões para obter a posição em função do tempo. Gráficos da velocidade e posição em função do tempo são plotados considerando valores numéricos específicos.
1) O documento descreve como localizar a posição do centro de massa de um meio cone homogêneo.
2) Ele conclui que o centro de massa está no plano xy, ou seja, z=0.
3) Através de integrais, ele calcula a posição do centro de massa como (0,h/3,0).
O documento descreve o período de oscilação do plano do pêndulo de Foucault. Primeiro, discute o movimento do pêndulo sem considerar a rotação da Terra. Em seguida, leva em conta a aceleração de Coriolis devido à rotação terrestre, chegando à conclusão de que o período de oscilação depende da latitude, sendo aproximadamente igual a um dia sidereal.
1. The document lists rules for differentiation of trigonometric, inverse trigonometric, hyperbolic, inverse hyperbolic, exponential, logarithmic, and other functions.
2. There are 36 rules in total that show how to take the derivative of various functions including sine, cosine, tangent, inverse tangent, hyperbolic sine, hyperbolic tangent, exponentials, logarithms, and more.
3. The rules are presented with the function written on the left side of the equal sign and its derivative written on the right side.
O documento descreve o movimento de um foguete em função da emissão de gás a uma taxa constante. Ele calcula expressões para a velocidade do foguete e sua posição em função do tempo, considerando a força exercida pelo gás emitido e a gravidade. Gráficos mostram a velocidade aumentando linearmente e a posição crescendo como o quadrado do tempo.
O documento descreve o movimento de um foguete em relação a um referencial inercial. Ele calcula expressões para a velocidade do foguete e do gás em ejeção, considerando a massa do gás e a taxa de emissão constante. Com esses cálculos, gera gráficos da velocidade em função do tempo e da posição em função do tempo para o foguete.
O documento descreve um sistema com dois blocos de massa igual puxados por um carrinho. A aceleração mínima é quando a força de atrito estática entre os blocos e o carrinho é igual à força centrípeta, e a máxima é quando a força centrípeta é igual à soma das forças de atrito estático e peso.
Questão 03 quest o do colar percorrendo o anelDiogo de Lucena
Um colar desliza sobre uma barra circular com atrito dinâmico de 0,2. Sua velocidade inicial é de 4m/s. O resumo calcula a distância percorrida até parar usando equações de movimento circular uniforme com atrito, encontrando o valor de 2 metros.
Dois blocos deslizam juntos por uma prancha conectados por uma corda. A tensão na corda é dada por (μ1-μ2)mg. A aceleração do sistema é [(μ1-μ2)g]/m. O sistema atinge velocidade constante quando μ1=μ2, onde os coeficientes de atrito são iguais.
Este resumo trata da dinâmica de uma bola em um cilindro em rotação constante visto em dois referenciais. No referencial inercial, a bola adquire uma velocidade angular devido a uma força normal horizontal que faz com que ganhe energia cinética de rotação. Já no referencial não-inercial, a bola apenas cai verticalmente sem rodar, não havendo essa força.
O documento descreve um esquema de um pêndulo em um referencial em movimento dentro de um carro. Ele analisa as forças que atuam no pêndulo no referencial em movimento e deriva uma equação para a aceleração A necessária para manter o pêndulo em equilíbrio. A solução encontrada é A=5,66 m/s2.
Este problema será resolvido em coordenadas esféricas para calcular a aceleração de uma bola oscilando ao longo de uma haste giratória. A aceleração depende da posição, velocidade e frequência da bola, que variam com o tempo. A aceleração é máxima quando a velocidade ao longo da haste também é máxima. Resolvendo as equações de movimento, a aceleração nesse instante é igual a ( ) √ m.s-2.
O documento explica como a força de Coriolis afeta objetos em movimento no hemisfério sul. Ele descreve que objetos se movendo para o norte ou sul experimentam uma aceleração para o oeste no referencial do observador, fazendo com que desviem para a esquerda.
O documento descreve um experimento com um balde cilíndrico girando com líquido em seu interior. Explica que a superfície do líquido adota uma forma parabólica dada por y = x2/2R devido às forças centrífugas e centrípetas que atuam sobre um elemento de massa na superfície quando o balde gira. Deriva essa equação parabólica analisando o equilíbrio das forças no referencial em rotação com o balde.
O documento analisa a força centrífuga no hemisfério sul da Terra. Explica que a aceleração centrífuga no hemisfério sul tem uma componente na direção norte que tende a deslocar objetos levemente para o norte, e reduz a gravidade aparente nessa região fazendo-a menor que a gravidade real.
1) O documento aplica a segunda lei de Newton para calcular a aceleração de uma bola em movimento circular uniforme presa a um eixo por uma corda.
2) Ele deriva uma equação para a aceleração da bola em termos da velocidade angular, raio e distância da bola ao eixo.
3) O documento então resolve a equação para casos específicos de distância da bola ao eixo para encontrar a aceleração nas direções x', y' e z'.
O documento relaciona o desvio máximo de um lançamento vertical com a velocidade inicial de lançamento. Ele mostra que o desvio máximo é proporcional ao quadrado da velocidade inicial e ocorre no tempo em que a altura máxima é atingida. Ele também fornece tabelas mostrando o desvio máximo para diferentes velocidades iniciais e ângulos de lançamento.
No referencial do vagão em movimento acelerado, a lâmpada experimenta forças fictícias e seu movimento é uniformemente acelerado tanto na direção horizontal quanto na vertical. A distância percorrida na horizontal é dada pela equação do movimento uniformemente acelerado aplicada ao tempo calculado para a lâmpada atingir a altura h no movimento vertical.
O documento demonstra que o rotacional de uma força conservativa é nulo. Ele faz isso calculando o rotacional ao longo de caminhos fechados em diferentes planos utilizando a aproximação de Taylor e a noção de sentidos dos eixos, mostrando que cada integral se anula.
1) A força de Coriolis é afetada pela velocidade angular da rotação da Terra e pela velocidade linear do corpo. Ela aponta para oeste no hemisfério norte.
2) A margem mais alta do rio fica na direção da força de Coriolis, que é para o oeste.
3) O módulo da força de Coriolis depende da latitude, da velocidade do corpo e da velocidade angular da Terra.
O documento descreve a análise do movimento de um foguete impulsionado por gases emitidos a uma taxa constante. Ele calcula expressões para a velocidade do foguete em função do tempo usando a segunda lei de Newton e integra essas expressões para obter a posição em função do tempo. Gráficos da velocidade e posição em função do tempo são plotados considerando valores numéricos específicos.
1) O documento descreve como localizar a posição do centro de massa de um meio cone homogêneo.
2) Ele conclui que o centro de massa está no plano xy, ou seja, z=0.
3) Através de integrais, ele calcula a posição do centro de massa como (0,h/3,0).
O documento descreve o período de oscilação do plano do pêndulo de Foucault. Primeiro, discute o movimento do pêndulo sem considerar a rotação da Terra. Em seguida, leva em conta a aceleração de Coriolis devido à rotação terrestre, chegando à conclusão de que o período de oscilação depende da latitude, sendo aproximadamente igual a um dia sidereal.
1. The document lists rules for differentiation of trigonometric, inverse trigonometric, hyperbolic, inverse hyperbolic, exponential, logarithmic, and other functions.
2. There are 36 rules in total that show how to take the derivative of various functions including sine, cosine, tangent, inverse tangent, hyperbolic sine, hyperbolic tangent, exponentials, logarithms, and more.
3. The rules are presented with the function written on the left side of the equal sign and its derivative written on the right side.
O documento descreve o movimento de um foguete em função da emissão de gás a uma taxa constante. Ele calcula expressões para a velocidade do foguete e sua posição em função do tempo, considerando a força exercida pelo gás emitido e a gravidade. Gráficos mostram a velocidade aumentando linearmente e a posição crescendo como o quadrado do tempo.
O documento descreve o movimento de um foguete em relação a um referencial inercial. Ele calcula expressões para a velocidade do foguete e do gás em ejeção, considerando a massa do gás e a taxa de emissão constante. Com esses cálculos, gera gráficos da velocidade em função do tempo e da posição em função do tempo para o foguete.
O KERS é um sistema de recuperação de energia cinética que armazena a energia gerada pela frenagem de carros e a utiliza posteriormente para aceleração, aumentando a potência. Na Fórmula 1, o KERS permite até 60kW de potência extra por até 6,67 segundos por volta. Fora da Fórmula 1, a mesma tecnologia é usada em trens e veículos elétricos/híbridos para economizar energia e custos.
O Brasil obtém quase 50% de sua energia de fontes renováveis como biomassa, etanol, hidrelétrica, eólica e solar, devido aos seus abundantes recursos naturais. A França depende principalmente da energia nuclear para 42% de sua produção, apesar de considerar abandonar essa fonte.
O KERS é um sistema de recuperação de energia cinética que permite armazenar a energia gerada na frenagem de um carro e reutilizá-la para aceleração, normalmente em ultrapassagens. A energia pode ser armazenada em baterias, hidraulicamente ou em um dispositivo mecânico rotativo chamado flywheel. O KERS foi introduzido na Fórmula 1 em 2009 e é opcional desde 2011, permitindo até 60kW de potência extra por até 6,67 segundos por volta.
O Brasil possui uma das matrizes energéticas mais limpas do mundo, com quase 50% da energia proveniente de fontes renováveis como biomassa, etanol, energia hidrelétrica, eólica e solar. A França depende principalmente da energia nuclear, responsável por cerca de 42% de sua produção, apesar de considerar abandonar esta fonte no futuro.
O documento demonstra que o rotacional de uma força conservativa é nulo através de cálculos de integrais de linha. Ele calcula as integrais de linha ao redor de dois caminhos fechados diferentes para mostrar que o resultado é sempre zero, indicando que o rotacional é nulo para forças conservativas.
1) O documento discute a relação entre a velocidade inicial de lançamento e o desvio máximo de um projétil lançado verticalmente, desprezando a resistência do ar.
2) É mostrado que o desvio máximo é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade inicial.
3) Valores numéricos são calculados para diferentes ângulos de lançamento considerando a gravidade constante.
O documento analisa a força centrífuga no hemisfério sul da Terra. Ele deriva uma expressão para a aceleração centrífuga em relação à Terra e mostra que, devido à rotação do planeta, a força centrífuga tende a deslocar levemente objetos no hemisfério sul em direção ao hemisfério norte.
O documento descreve o período de oscilação do pêndulo de Foucault. Ele considera a situação com e sem a rotação da Terra e deriva as equações do movimento em cada caso. O período de oscilação depende da latitude e é aproximadamente igual a um dia sidereal, ou seja, o tempo que leva a Terra para completar uma rotação.
O documento descreve um problema sobre o cálculo da velocidade de carros em um brinquedo de parque de diversões. Os carros giram em torno de um eixo central com velocidade angular constante w. Quando θ=π/4, a velocidade do carro é dada pelo vetor ⃗=√ √, com R sendo o comprimento do braço do carro e w a velocidade angular.
O objeto desce uma rampa parabólica com velocidade inicial v0. Sua velocidade é dada por v = v0√(1-x/a), a força normal é N = mg√(1-x/a) e a aceleração tangencial é at = -g√(1-x/a), onde a é o comprimento da rampa.
1. Resolução dos exercícios - segunda semana
3.19)Obtenha a expressão de ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ na forma de determinante. Deduza, a partir
dela, as seguintes propriedades de simetria:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
Prove que o valor do triplo produto é igual ao volume do paralelepípedo formado pelos
três vetores.
Resolução:
Sejam:
⃗ ̂ ̂ ̂
⃗ ̂ ̂ ̂
⃗ ̂ ̂ ̂
Temos então que:
̂ ̂ ̂
⃗ ⃗ ⃗ ( ̂ ̂ ̂ ) | |
̂ ̂ ̂ [( )̂ ̂ ( )̂ ]
( )
| | | | | |.
Pelo teorema de Laplace, temos que a expressão acima é o resultado do seguinte
determinante:
| |
Logo:
⃗ ⃗ ⃗ | |
Das propriedades de determinante: quando trocamos a posição de duas filas de uma
matriz o valor do determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da
matriz anterior.
2. Temos então:
⃗ ⃗ ⃗ | | | | | | ⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗ | | | | | | ⃗ ⃗ ⃗
Logo:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Agora vamo provar que o triplo produto é igual ao volume do paralelepípedo formado
pelos 3 vetores. Para isso, considere a disposição dos 3 vetores como na figura que
segue:
⃗𝑉 𝑥𝑉
⃗
∙ ⃗𝑉
⃗𝑉
θ
⃗𝑉
O volume do parelalepípedo é dado pelo produto entre a área da base e a sua altura.
Seja volume, a área da base e a altura do parelalepípedo.
Temos:
|| ⃗ ⃗ ||
|| ⃗ ||
|| ⃗ ⃗ || || ⃗ || , em que , é o menor
ângulo entre os vetores ⃗ ⃗ e⃗ .
como:
⃗ ⃗ ⃗
|| ⃗ ⃗ || || ⃗ ||
Temos que:
⃗ ⃗ ⃗
|| ⃗ ⃗ || || ⃗ || ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
|| ⃗ ⃗ || || ⃗ ||
4. 3.22)Determine a distância do ponto P(4,5,-7) à reta que passa por Q(-3,6,12)
e paralela ao vetor ⃗ ̂ ̂ ̂ . Calcule também a distância do
ponto P ao plano perpendicular a ⃗ que passa por Q.
Resolução:
⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂
Seja um ponto sobre a reta, tal que:
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂
Seja o triângulo com lado sobre a reta dada e área . Temos que:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Seja a distância entre e a reta. Temos que:
⃗⃗⃗⃗⃗
Igualando as duas equações temos que:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
̂ ̂ ̂
||⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ || ‖ ‖ ̂ ̂ ̂ √
⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂ √
Logo:
√
Como o plano é perpendicular ao vetor ⃗ podemos escrever uma equação do plano da
seguinte forma:
Como pertence ao plano podemos substituir suas coordenadas na equação anterior e
achar
5. Logo, uma equação do plano é:
Então, usando a fórmula de distância de ponto temos:
√ √
3.29)Dados três vetores não coplanares ⃗ ⃗ e ⃗ , os vetores
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗ , ⃗ , ⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
São chamados de vetores recíprocos. Prove que e onde
i e j assumem os valores 1, 2 e 3. Discuta a disposição geométrica dos vetores
recíprocos ⃗ ⃗ ⃗ em relação a ⃗ ⃗ ⃗ .
Resolução:
Sejam:
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
vetores não complanares.
Da questão 3.19 temos que
Fazendo , onde α é um escalar, temos:
⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Logo
Do exercício 3.19, temos também que: | |.
Temos, então:
| |
6. Das propriedades de determinantes temos que se duas filas de uma matriz quadrada são
iguais, então seu determinante é zero.
Logo:
Usando o mesmo processo provamos que , onde e assumem os valores 1,
2e3e .
Como , onde e assumem os valores 1, 2 e 3 e . Temos que é
perpendicular a e , é perpendicular a e e é perpendicular a e .
3.32)Prove que
⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗
Resolução:
Sejam
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗
, ⃗ ⃗ ⃗
, ⃗ ⃗ ⃗
Denominando:
, um escalar, temos:
[ ] [ ]
Porém:
Logo:
[ ] [ ]