Material integrante do curso "Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos" - Prof. Pedro Ferreira Filho e Profa. Estela Maris P. Bereta - UFSCar

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO E ANÁLISE
ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
CAPÍTULO # 4
IDÉIAS BÁSICAS DE PLANEJAMENTO E
ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
PROF . P E DRO FERR EIR A FIL HO
PROFª ESTELA MARIS BERETA

2. Capítulo 4 – Idéias Básicas do Planejamento e Análise Estatística de Experimentos
4. IDÉIAS BÁSICAS DE PLANEJAMENTO E ANÁLISE ESTATÍSTICA
DE EXPERIMENTOS
4.1. INTRODUÇÃO
Experimentos são urna parte natural dos processos de tomada de decisão em engenharia e
em ciência. Suponha, por exemplo, que um engenheiro civil esteja investigando os efeitos de
diferentes métodos de cura sobre a resistência compressiva do concreto. O experimento poderia
consistir em fabricar vários corpos de prova de concreto usando cada um dos métodos propostos
de cura e então testar a resistência compressiva de cada espécime. Os dados desse experimento
poderiam ser usados para determinar qual método de cura deveria ser usado para fornecer a
máxima resistência compressiva media.
Se houver somente dois métodos de cura que sejam de interesse, esse experimento
poderia ser planejado e analisado usando os métodos de hipóteses estatísticas para duas
amostras, introduzido no capítulo anterior. O experimentalista tem um único fator de interesse -
métodos de cura - e há somente dois níveis do fator, podendo ser usado o teste t para decidir se
as duas médias diferem.
Muitos experimentos com um único fator requerem que mais de dois níveis do fator sejam
considerados. Por exemplo, o engenheiro civil pode querer investigar cinco métodos diferentes de
cura. Neste capitulo, mostraremos como a análise de variância (ANOVA) poderá ser usada para
comparar medias quando houver mais de dois níveis de um único fator. Técnicas de planejamento
de experimentos, baseadas estatisticamente, são particularmente úteis no mundo de engenharia,
a fim de melhorar o desempenho de um processo de fabricação. Elas têm também aplicação
extensiva no desenvolvimento de novos processos. A maioria dos processos pode ser descrita em
termos de muitas variáveis controláveis, tais como temperatura, pressão e taxa de alimentação.
Usando o planejamento de experimentos, os engenheiros podem determinar qual subconjunto das
variáveis de processos tem a maior influência no desempenho do processo.
Os resultados de tal experimento podem conduzir a:
1. Melhor rendimento do processo;
2. Redução na variabilidade do processo e uma melhor obediência aos requerimentos
nominais ou alvos;
3. Redução nos tempos de projeto e desenvolvimento;
4. Redução nos custos de operação.
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Os métodos de planejamento de experimentos também são úteis em atividades de projetos
de engenharia, onde novos produtos são desenvolvidos e produtos já existentes são
melhorados. Algumas aplicações típicas de experimentos planejados estatisticamente em
projetos de engenharia incluem:
1. Avaliação e comparação das configurações básicas de projeto;
2. Avaliação de diferentes materiais;
3. Seleção dos parâmetros do projeto, de modo que o produto trabalhe bem, sob uma ampla
variedade de condições de campo (ou de modo que o projeto seja robusto);
4. Determinação dos parâmetros de projeto, dos produtos chaves que causem impacto no
desempenho do produto.
O uso do planejamento de experimentos nos projetos de engenharia pode resultar em
produtos que sejam mais fáceis de fabricar, que tenham melhores desempenhos no campo (e
melhor confiabilidade do que seus competidores), e em produtos que possam ser projetados,
desenvolvidos e produzidos em menos tempo.
Experimentos planejados são geralmente empregados seqüencialmente. Isto é, o primeiro
experimento, com um sistema complexo (talvez um processo de fabricação), que tenha muitas
variáveis controláveis, e freqüentemente um experimento exploratório (screening experiment),
projetado para determinar que variáveis são mais importantes. Experimentos subseqüentes são
usados para refinar essa informação e determinar quais ajustes são requeridos nessas variáveis
criticas, de modo a melhorar o processo. Finalmente, o objetivo do experimentalista é a otimiza-
ção, ou seja, determinar quais são os níveis resultantes das variáveis críticas no melhor
desempenho do processo.
Cada experimento envolve uma seqüência de atividades:
1. Conjectura - a hipótese original que motiva o experimento;
2. Experimento - o teste feito para investigar a conjectura;
3. Analise - a analise estatística dos dados do experimento;
4. Conclusão - o que se aprendeu acerca da conjectura original do experimento.
Freqüentemente, o experimento conduzirá a uma conjectura revisada e a um novo
experimento, e assim por diante.
Um dos problemas mais comuns para quem faz experimentos é conseguir determinar a
influência de uma ou mais variáveis sobre uma outra variável de interesse. Por exemplo, ao se
estudar certa reação química, o objetivo é saber como o rendimento seria afetado por diferentes
temperaturas ou diferentes catalisadores. No linguajar estatístico, dizemos que ele está
interessado em descobrir como a resposta (o rendimento da reação) depende dos fatores
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temperatura e catalisador. Podemos abordar esse problema como um caso particular da situação
mostrada esquematicamente na Figura 4.1. Certo número de fatores, F1, F2,...,Fk, atuando sobre o
sistema em estudo, produz as respostas R1, R2,...Rj. O sistema atua como uma função
(desconhecida, em principio, senão não precisaríamos de experimentos), que opera sobre as
variáveis de entrada (os fatores) e produz como saída, as respostas observadas. O objetivo da
pessoa que realiza os experimentos é descobrir essa função, ou pelo menos obter uma
aproximação satisfatória para ela. Com esse conhecimento, ela poderá entender melhor a natureza
da reação em estudo e assim escolher as melhores condições de operação do sistema.
Figura 4.1. Um sistema pode ser representado por uma função (usualmente desconhecida)
ligando os fatores (variáveis de entrada) às respostas (variáveis de saída).
No planejamento de qualquer experimento, a primeira coisa que devemos fazer é decidir
quais são os fatores e as respostas de interesse. Os fatores, em geral, são as variáveis que o
experimentador tem condições de controlar, podem ser qualitativos, como o tipo de catalisador, ou
quantitativos, como a temperatura. Às vezes, num determinado experimento, sabemos que
existem fatores que podem afetar as respostas, mas que não temos condições de controlar. Um
exemplo é a procedência do vinagre, na comparação entre Arrhenius e Berzelius. Precisamos
tomar muito cuidado com fatores desse tipo, para que o seu efeito não seja confundido com os
efeitos de interesse. Uma das técnicas que podemos usar para evitar essa possível confusão é a
blocagem.
As respostas são as variáveis de saída do sistema, nas quais estamos interessados, e as
quais serão (ou não) afetadas por modificações provocadas nos fatores (as tais manipulações).
Elas também podem ser classificadas como qualitativas ou quantitativas. Dependendo do
problema, podemos ter várias respostas de interesse, que talvez devam ser consideradas
simultaneamente.
Tendo identificado todos os fatores e respostas, o nosso próximo passo é definir, com o
máximo de clareza, o objetivo ao qual pretendemos alcançar com os experimentos, para que só
então possamos escolher o planejamento mais apropriado. Por exemplo: O nosso químico pode
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somente estar interessado em saber se o fato de trocar o catalisador por um outro mais barato
não vai diminuir o rendimento da reação. Ou então, pode querer descobrir que temperatura deve
ser usada para se obter o rendimento máximo. Ou ainda, até quando ele pode variar os fatores
sem alterar o rendimento ou a qualidade do produto final, e assim por diante. O planejamento dos
experimentos, isto é, a especificação detalhada de todas as operações experimentais que devem
ser realizadas, vai depender do objetivo particular que ele quiser atingir. Objetivos diferentes
necessitarão de planejamentos diferentes.
4.2. DEFINIÇÕES
A caracterização de um plano experimental é definida a partir de alguns elementos
estabelecidos a partir dos objetivos do estudo bem como condições experimentais existentes para
a sua realização. Dentre os aspectos que definem um plano experimental podemos destacar:
4.2.1. FONTES DE VARIAÇÃO
Variáveis que são controladas no experimento.
4.2.1.1. EXPERIMENTOS COM UMA ÚNICA FONTE DE VARIAÇÃO
Os tratamentos a serem estudados no experimento são provenientes de uma única fonte
de variação.
Exemplo: Verificar o rendimento de uma dada reação considerando 4 diferentes
catalisadores.
Fonte de Variação: Diferentes Catalisadores.
Tratamentos: Catalisadores A, B, C, D.
4.2.1.2. EXPERIMENTOS COM DUAS OU MAIS FONTES DE VARIAÇÃO
Neste caso, temos os chamados “experimentos fatoriais”, ou seja, experimentos onde
duas ou mais variáveis são controladas. Os tratamentos, neste caso, são resultados da combinação
dos níveis de duas ou mais fontes de variação.
Exemplo: Estudo para verificar o rendimento de uma reação considerando diferentes
temperaturas e diferentes catalisadores.
Fontes de Variação: A – Temperatura: A1, A2, A3.
B – Catalisadores: B1, B2.
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6. Capítulo 4 – Idéias Básicas do Planejamento e Análise Estatística de Experimentos
Considerando “fatores cruzados” – Definição logo a seguir.
Neste Caso:
Dois Fatores: Fator A, com 3 níveis e Fator B, com 2 níveis.
 Fatores Cruzados = 6 tratamentos.
Tratamentos: A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2.
4.2.2. ALEATORIZAÇÃO
Forma de atribuição dos tratamentos às unidades experimentais.
4.2.2.1 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS
Neste caso, os tratamentos são atribuídos aleatoriamente às unidades experimentais, ou
seja, cada unidade experimental tem igual probabilidade de receber cada um dos tratamentos.
Não existe restrição na aleatorização.
A eficiência deste tipo de experimento está associada ao grau de homogeneidade das
unidades experimentais.
4.2.2.2. EXPERIMENTOS COM RESTRIÇÃO NA ALEATORIZAÇÃO:
Neste caso, as unidades experimentais apresentam uma ou mais fontes de variabilidade
que podem influenciar nos resultados do experimento e que, portanto, devem ser controladas na
sua execução.
Assim, as unidades experimentais homogêneas devem ser agrupadas em subconjuntos
(blocos) e o processo de aleatorização é realizado dentro dos mesmos.
Objetivo: Grande variabilidade entre blocos e uma pequena variabilidade dentro dos
blocos. Os blocos podem ser:
a) Completos: todos os tratamentos estão presentes nos blocos.
BLOCO 1 BLOCO 2
A1B1 A3B1 A2B1 A1B1
A2B2 A1B2 A3B2 A2B2
A3B2 A2B1 A3B1 A1B2
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7. Capítulo 4 – Idéias Básicas do Planejamento e Análise Estatística de Experimentos
b) Incompletos: nem todos os tratamentos são utilizados no bloco.
BLOCO 1 BLOCO 2
A1B1 A3B1 A2B1
A2B2 A1B2 A3B2 A2B2
A2B1 A3B1 A1B2
Causas:
 Perda de Informação (unidade experimental perdida);
 Insuficiente número de unidades experimentais por bloco.
Experimentos segundo o número de fontes de variabilidade:
a) Uma fonte de variabilidade: aleatorizado em blocos.
b) Duas fontes de variabilidade: quadrado latino.
c) Três fontes de variabilidade: quadrado greco-latino.
Observação:
Outros tipos de restrição na aleatorização:
 Medidas repetidas/crossover;
 Dados longitudinais.
4.2.3. ESTRUTURA DOS FATORES
Como são “combinados os níveis dos fatores”, no caso de experimentos com dois ou mais
fatores.
4.2.3.1. FATORES CRUZADOS
Todos os níveis dos diferentes fatores podem ser combinados gerando diferentes
tratamentos.
Fator A A1 A2 A3
Fator B B1 B2
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8. Capítulo 4 – Idéias Básicas do Planejamento e Análise Estatística de Experimentos
Exemplo: Caso anterior
4.2.3.2. FATORES HIERÁRQUICOS
Existem níveis de um fator que são específicos dos níveis de outro fator, isto é, nem todos
os níveis dos fatores se combinam.
A1 A2 A3
Fator A
Fator B B3 B4 B5 B6
B1 B2
4.2.3.3. FATORES MISTOS
No caso de experimentos com a presença de três ou mais fatores podemos ter fatores que
são cruzados e outros que são hierárquicos. Por exemplo: Três fatores: A, B, C onde A e B são
cruzados e B é hierárquico a C.
Fator A A1 A2
B1 B2
Fator B
C2 C3 C4
Fator C C1
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9. Capítulo 4 – Idéias Básicas do Planejamento e Análise Estatística de Experimentos
4.2.4. TIPOS DE EFEITOS
As conclusões dos experimentos devem estar limitadas (ou não) aos tratamentos utilizados
no estudo.
4.2.4.1. EFEITOS FIXOS:
As inferências a serem feitas são restritas aos tratamentos utilizados no experimento.
4.2.4.2. EFEITOS ALEATÓRIOS:
A inferência a ser feita é sobre a “população” de tratamentos da qual uma amostra foi
utilizada no experimento. É chamado “modelo de componentes de variância”.
4.3. CURSO
Neste curso ficaremos restritos a situação de experimentos completamente aleatorizados
ou aleatorizados em blocos completos, com fatores cruzados e efeitos fixos.
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