1. O documento descreve o conteúdo programático de um curso introdutório à atuária. Ele inclui tópicos como a história da atuária, probabilidades, esperança matemática, tábuas de mortalidade e prêmios únicos e puros. 2. O programa também aborda conceitos como risco de sobrevivência, risco de morte, tábua de comutação e diagrama de Lexis. 3. A bibliografia inclui livros e artigos sobre matemática atuarial, seguros de

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS - FCE
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E ATUARIAIS - DCCA
POLÍGRAFO DE AULA
INTRODUÇÃO À ATUÁRIA
ECO 03020
Professor: SÉRGIO RANGEL GUIMARÃES
PORTO ALEGRE, AGOSTO DE 2007

2. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1. Ciência Atuarial - bases históricas, necessidade de previsão científica,
evolução e estado atual da atuária;
2. Atividade profissional do atuário - conceito, regulamentação da profissão no
Brasil, mercado de trabalho e perspectivas;
3. Quadro Institucional Brasileiro - estrutura privada do mercado de seguros e
previdência no Brasil, órgãos governamentais fiscalizadores, Seguro Privado,
Previdência Privada Aberta e Fechada, Capitalização, IRB-Brasil Re.;
4. Esperança Matemática - casos de apostas, rifas e sorteios em geral; métodos
de agregação de sobrecargas / carregamentos;
5. Tábua de Mortalidade - conceito, estrutura, principais funções biométricas,
símbolos e propriedades, Tábuas utilizadas no mercado de seguros e
previdência no Brasil;
6. Probabilidades - cálculo com o uso da Tábua de Mortalidade, probabilidades
de morte e sobrevivência considerando uma e mais de uma cabeça, para um
e mais de um ano;
7. Funções biométricas básicas - taxa de mortalidade e sobrevivência, taxa
central de mortalidade, taxa instantânea de mortalidade, vida provável, taxa
de existência, expectativa média de vida e outras;
8. Tábua de Comutação - conceito e utilidade, técnicas de construção, símbolos
e propriedades, influência da taxa de juros e da tábua nos valores de
comutação;
9. Prêmios Únicos e Puros:
a) - Risco de Sobrevivência: modelos atuariais para financiamento de
renda aleatórias ou contingentes para uma cabeça, na configuração de
vitalícias / temporárias, imediatas / diferidas, antecipadas /
postecipadas; anuidade tontineira e seguros sobrevivência capital,
equação atuarial de equilíbrio e fluxo financeiro;
b) - Risco de Morte e Mistos: modelos atuariais para financiamento de
seguros contra morte, vitalícios / temporários, imediatos / diferidos,
carência, equação atuarial de equilíbrio e fluxo financeiro, seguros
dotais;
c) - Relações existentes entre as funções biométricas e os prêmios únicos
e puros;
10. Diagrama de Lexis - conceito, estrutura e operacionalidade; cálculo de
probabilidades, relações com a tábua de mortalidade.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
ADAM, Joseph. Elementos da teoria matemática de seguros. Rio de Janeiro:
Edições Mapfre do Brasil, 1987.
ALBA, Ubaldo Nieto; ASENSIO, Jesús Vegas. Matemática actuarial. Madrid: Editorial
Mapfre, 1993.
BRASIL, Gilberto. O ABC da matemática atuarial e princípios básicos de seguros.
Porto Alegre: Editora Sulina, 1985.

3. FANA, J.A.G.; MARTÍNEZ, A.H.; ZANÓN, J.L.V. Matemática de los seguros de vida.
Madrid: Editorial Mapfre, 1999.
FERREIRA, Paulo Perreira. Modelos de precificação e ruína para seguros de curto
prazo. Rio de Janeiro: Funenseg, 2002.
FERREIRA, Weber José. Coleção introdução à ciência atuarial. Rio de Janeiro: IRB,
4v., 1985.
GALÉ, Jose Gonzalez. Elementos de cálculo actuarial. Buenos Aires: Ediciones
Macchi, 5ª Edição, 1977.
GUIMARÃES, Sérgio Rangel. Fundamentação atuarial dos seguros de vida: um
estudo comparativo entre os seguros de vida individual e em grupo. Rio de Janeiro:
Funenseg (Teses), 2003.
GUIMARÃES, Sérgio Rangel. Seguros de vida: particularidades e mecanismos
utilizados pelas seguradoras para minimizar os riscos operacionais. Porto Alegre:
Revista ConTexto n°3 - UFRGS, p. 91- 107, setembro de 2002.
GUIMARÃES, Sérgio Rangel. As três faces da mortalidade. Rio de Janeiro:
Funenseg, Cadernos de Seguros nº 94, p. 65-72, abril de 1999.
HUEBNER, S.S.; BLACK, Kenneth Jr. El seguro de vida. Madrid: Editorial MAPFRE,
1976.
LÓPEZ, M.; LÓPEZ, J. Estatística para actuarios. Madrid: Editorial Mapfre, 1996.
MENDES, João José de Souza. Bases técnicas do seguro. São Paulo: Editora
Manuais Técnicos de Seguros Ltda, 1977.
ORTEGA, Antonio. Tablas de mortalidad. San José: CELADE, 1987.
PALACIOS, Hugo. Introducción al cálculo actuarial. Madrid: Editorial Mapfre, 1996.
PÓVOAS, Manuel Soares. Na rota das instituições do bem-estar: seguro e
previdência. São Paulo: Green Forest do Brasil, 2000.
TÜRLER, Heinrich. Actuaria la matematica del seguro. Bogotá: Intergráficas, 1977.
VILANOVA, Wilson. Matemática atuarial. São Paulo: Livraria Pioneira Editora -
Editora da Universidade Federal de São Paulo, 1969.
BIBLIOTECA DE SEGUROS E PREVIDÊNCIA:
Biblioteca da Funenseg: Av. Otávio Rocha 115 / 1º andar - Fone: 3224.1965

4. 1 ORIGENS HISTÓRICAS E DESENVOLVIMENTO DO SEGURO DE VIDA .............................. 6
1.1 O Risco............................................................................................................. 6
1.2 Origens do Seguro no Mundo ........................................................................ 7
1.3 Origens do Seguro no Brasil........................................................................ 10
1.4 Quadro Institucional Privado Brasileiro ...................................................... 24
1.5 O Atuário ........................................................................................................ 26
2 TEORIA DAS PROBABILIDADES ............................................................................... 29
2.1 A Expressão da Probabilidade ..................................................................... 29
2.2 Abordagens sobre Probabilidade ................................................................ 31
3 ESPERANÇA MATEMÁTICA ..................................................................................... 37
3.1 Preço Puro ou de Custo................................................................................ 37
3.2 Preço de Venda ou Comercial ...................................................................... 39
4 RUDIMENTOS DE DEMOGRAFIA E ATUÁRIA APLICÁVEIS AO SEGURO DE VIDA............. 46
4.1 Tábua de Mortalidade.................................................................................... 46
5 PRÊMIOS ÚNICOS E PUROS .................................................................................... 58
5.1 Tábua de Comutação .................................................................................... 58
5.2 Princípio da Equivalência Atuarial............................................................... 59
5.3 Classificação dos Prêmios ........................................................................... 60
6 RISCO DE SOBREVIVÊNCIA ..................................................................................... 63
6.1 Sobrevivência Capital ................................................................................... 63
6.2 Rendas Aleatórias ......................................................................................... 64
6.3 Anuidade Tontineira...................................................................................... 72
7 RISCO DE MORTE .................................................................................................. 73
7.1 Seguro Contra Morte Imediato e Vitalício.................................................... 73
7.2 Seguro Contra Morte Diferido e Vitalício..................................................... 74
7.3 Seguro Contra Morte Imediato e Temporário.............................................. 75
7.4 Seguro Contra Morte Diferido e Temporário............................................... 76

5. 7.5 Seguro Dotal ou Dote Puro........................................................................... 77
7.6 Relações......................................................................................................... 78
8 DIAGRAMA DE LEXIS.............................................................................................. 79

6. 6
1 ORIGENS HISTÓRICAS E DESENVOLVIMENTO DO SEGURO
1.1 O Risco
Como dominar o risco? Conforme Bernstein (1997), a idéia revolucionária que define a
fronteira entre os tempos modernos e o passado se baseia no domínio do risco, na noção de
que o futuro é mais do que um capricho dos deuses e de que os homens não são passivos
perante a natureza. “Até os seres humanos descobrirem como transpor essa fronteira, o
futuro era um espelho do passado ou o domínio obscuro de oráculos e adivinhos que
detinham o monopólio sobre os eventos previstos”.
A gestão do risco tornou-se uma importante ferramenta para a ampla gama de tomada de
decisões: da alocação de riquezas à salvaguarda dos regimes previdenciários, do
planejamento familiar ao cultivo de uma determinada cultura, do lançamento de um satélite à
contratação de um seguro vida. “O risco acompanha o homem e é inerente à sua natureza”
(LARRAMENDI, 1982, p.9).
Mendes (1977) considera evento aleatório todo evento capaz de, em determinada
experiência ou observação, ocorrer ou não ocorrer. Um evento aleatório cuja ocorrência
implica prejuízos econômicos é denominado risco. Já Simonsen (1994) identifica o risco
como sendo uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade é conhecida. Incerteza
seria lidar com outra variável cuja distribuição de probabilidade é desconhecida.
A necessidade de proteção contra o perigo, a insegurança diante do desconhecido, a
incerteza do futuro e o medo em relação à imprevisibilidade dos acontecimentos estiveram
sempre presentes na vida do homem. Tais sentimentos o levaram a criar formas de
proteção para si e para o seu patrimônio. Assim nasceu a idéia do seguro, fruto da
imaginação do homem, que encontrou, desta forma, um mecanismo para a sua proteção.
Certos acontecimentos, como a morte de uma pessoa ou a destruição de bens ou coisas,
trouxeram ao homem a preocupação de buscar uma forma de reparação por intermédio de

7. 7
uma instituição. O seguro é um organismo que progressivamente se aperfeiçoa para
restabelecer, de alguma forma, o equilíbrio perturbado pela materialização do risco.
1.2 Origens do Seguro no Mundo
Ferreira (1985) aponta algumas controvérsias quanto à data do nascimento da instituição do
seguro. Entretanto, existem registros indicando que os cameleiros da Babilônia, 23 séculos
antes do nascimento de Cristo, atravessavam o deserto em caravanas para comercializar
seus animais nas cidades vizinhas. Sentindo as dificuldades e os perigos da travessia, como
a morte ou desaparecimento dos animais, os cameleiros estabeleceram um acordo: cada
membro do grupo que perdia um camelo tinha a garantia de receber um outro animal pago
pelos demais cameleiros. Da mesma forma, o Código de Hammurabi também promovia, na
época, a criação de uma associação que se encarregava de fornecer um novo barco aos
que o perdiam por causa de tempestades.
Na Grécia clássica, tiveram impulso diversas formas de associação, desde as religiosas e
políticas até as comerciais. Foram os gregos que criaram as primeiras sociedades de
socorro mútuo, que continuaram a existir durante o Império Romano sob o nome de collegia.
As sociedades não tinham fins lucrativos e reuniam indivíduos pertencentes às classes mais
humildes com o propósito de cobrir, por ocasião da morte de um associado, as despesas
funerárias que permitissem uma sepultura honrosa.
Também coube aos romanos, no tempo de Júlio César, congregarem-se para formar
sociedades, com intuito de protegerem-se mutuamente contra prejuízos monetários
advindos de dias chuvosos, pragas e casos de morte. O imperador Cláudio (10 a.C. - 54
d.C.), interessado em estimular o plantio e comércio de grãos, criou um seguro gratuito para
todos os agricultores e mercadores romanos ao tomar para si a responsabilidade sobre
qualquer perda do cereal decorrente do mau tempo.
No século XII, um novo impulso de comércio provocou o reflorescimento de um sistema de
cobertura de riscos que já era conhecido desde a Antigüidade: o Contrato de Dinheiro a
Risco Marítimo. Essa operação consistia num empréstimo em dinheiro concedido por um
capitalista ao navegador que empreendia uma viagem. O navegador não pagava nenhum
prêmio, mas deixava em garantia uma hipoteca sobre o seu navio e o valor da carga a ser
transportada. Se a embarcação e a carga fossem perdidas na viagem, o empréstimo não
era restituído. Caso a viagem fosse bem-sucedida, o navegador pagaria o que havia
recebido como empréstimo, acrescido de juros elevados como compensação pelos riscos
assumidos.

8. 8
Em 1310 surgiu em Bruges, na Bélgica, uma Câmara de Seguros que efetuava o registro de
todos os contratos de seguro negociados e arbitrava entre as partes em caso de litígio. A
maior parte dos contratos era de seguros mútuos realizados por corporações e sindicatos de
navegação em benefício dos seus associados, cobrindo não só os riscos materiais, mas
também prevendo auxílio em caso de doença ou morte.
A primeira apólice de seguro de que se tem conhecimento foi emitida em 18 de junho de
1583, na cidade de Londres. Coube também a essa cidade a primazia de ter abrigado a
primeira Companhia de Seguros de Vida, conhecida pelo nome de “The Society of Insurance
for Widows and Orphans” (FERREIRA, 1985).
No século XVII surgiram algumas instituições conhecidas como “Tontinas”, nome originado
do seu idealizador, o banqueiro de nacionalidade italiana Lourenço Tonti. As Tontinas
tinham por objetivo inicial facilitar ao Estado o levantamento de empréstimos públicos. Na
sua concepção, a operacionalidade de tais instituições baseava-se no princípio da reunião
de pessoas que colocavam em comum certa quantia em dinheiro para constituir um fundo
destinado a ser repartido em determinada época entre os sobreviventes do grupo
(FERREIRA, 1985). As Tontinas tornaram-se a antítese do seguro de vida e, como
conseqüência, trouxeram muitas práticas amorais e anti-sociais, como fraudes, seqüestros e
assassinatos. Entretanto, no estudo do desenvolvimento científico e prático do seguro de
vida, as Tontinas não deixaram de ser uma semente lançada, embora mal concebida e com
finalidade nebulosa. Como era de se esperar, o desaparecimento de tais instituições veio a
ocorrer no século seguinte.
Bernstein (1997) relata que, com o aparecimento de John Graunt (1620-1674), o seguro
começou a tomar um maior impulso como instituição calcada em bases científicas. Graunt
realizou seu trabalho em uma época em que a sociedade, essencialmente agrícola da
Inglaterra, estava se tornando cada vez mais sofisticada, com possessões e
empreendimentos comerciais ultramarinos. Foi Graunt quem projetou os primeiros raios de
luz sobre o obscuro ramo e fez despertar o mundo científico com as suas especulações
sobre as vicissitudes da vida, iniciando assim a era do moderno seguro de vida.
As observações de John Graunt, publicadas em 1662 no seu livro Natural and Political
Observations made upon the Bills of Mortality (ORTEGA, 1987), constituíram o primeiro
exemplo de método estatístico aplicado. Foi ao longo deste período que se observou um
grande esforço para a obtenção de dados referentes à mortalidade de pessoas. Mesmo
percebendo que as estatísticas disponíveis representavam uma mera fração de todos os
nascimentos e mortes já ocorridos em Londres, Graunt não se absteve de elaborar amplas
conclusões sobre os dados disponíveis. Sua linha de análise é conhecida atualmente como

9. 9
inferência estatística. A partir da inferência de uma estimativa global de uma amostra de
dados, os estatísticos subseqüentes descobriram como calcular o erro provável entre a
estimativa e os valores reais. Com o seu esforço inovador, Graunt transformou o processo
simples de coleta de informações em um instrumento poderoso e complexo de interpretação
do mundo.
No século XVII, surgiram novos tipos de seguro por influência do grande incêndio de
Londres de 1666, que destruiu 25% da cidade e obrigou a reforma dos sistemas de seguro
de incêndio (LARRAMENDI, 1982). Foram destruídas 13.200 casas e 89 igrejas, deixando
20 mil pessoas desabrigadas. Essa tragédia despertou a atenção das pessoas para os
riscos de incêndio e estimulou a criação das primeiras Companhias de Seguros destinadas
à sua cobertura: a Fire Office, em 1680; a Friendly Society, em 1684; e a Hand in Hand, em
1696. O advento dessas empresas marcou o início de uma nova etapa na evolução dos
seguros, que passaram a interessar-se, também, pelos riscos terrestres.
Despertado o interesse pelo assunto, um grande número de matemáticos de renome, de
diferentes países, começou a prestar o seu apoio à causa, colaboração que foi de valor
inestimável para o desenvolvimento de uma ciência que surgia. Em 1693, Edmund Halley
elaborou um estudo pelo qual apresentava uma tábua de mortalidade conhecida por
Breslaw Table (BERNSTEIN, 1997). Esta tábua de mortalidade foi a primeira construída
sobre princípios realmente científicos (PÓVOAS, 2000). Embora Halley fosse inglês, os
dados que usou provieram da cidade silesiana de Breslaw (atualmente com o nome de
Wroclaw, na Polônia). Os dados recebidos por Halley sobre idades e sexo de todas as
pessoas mortas e o número de nascimentos a cada ano eram apurados com toda a exatidão
e fidelidade possível. Segundo Bernstein (1997), Breslaw localizava-se geograficamente
longe do mar, de modo que a confluência dos estrangeiros seria pequena. Os nascimentos
excediam os funerais por apenas uma pequena margem, e a população era muito mais
estável que a londrina quando dos primeiros estudos de John Graunt.
A matemática atuarial aprimorou-se profundamente durante o século XVII, principalmente
devido ao desenvolvimento do cálculo de probabilidades e dos avanços da matéria
efetuados por Pascal, Fermat, Galileo, Paccioli, Bayes, Laplace, Markov e Kolmogorov,
entre outros autores (MERINO, MARCH e LOZANO, 2002).
Segundo Merino, March e Lozano (2002), coube a Abraham De Moivre, em 1725, o
privilégio de calcular os prêmios dos seguros de vida com bases efetivamente científicas.
Cinqüenta anos depois, ficou a cargo de James Dodson, não só calcular os prêmios para
distintos seguros de vida, mas também os valores das reservas matemáticas decorrentes.
Estabelecia-se, pela primeira vez, um modelo aplicável à sistematização de uma Companhia

10. 10
de Seguros de Vida, que viria a garantir a sua existência e estabilidade num futuro próximo.
Wolthuis (2002) enaltece os trabalhos de Zillmer, Meikle, Woolhouse e Lexis pelo
desenvolvimento das questões técnicas, mais precisamente na área probabilística e
demográfica, importantes à fundamentação da ciência atuarial. No século XIX, os estudos
sobre a mortalidade efetuados pelos eminentes atuários Benjamin Gompertz e William
Makeham foram de vital importância para a estruturação do seguro moderno.
1.3 Origens do Seguro no Brasil
No Brasil, com a vinda da Família Real em 1808 e a conseqüente instalação de fábricas
propiciando a abertura econômica do país, foi possível a instalação de uma Companhia de
Seguros no território nacional. A Companhia de Seguros Boa Fé (PÓVOAS, 2000), cujas
normas se regulavam pela Casa de Seguros de Lisboa, foi a primeira a se instalar. Mesmo
depois de consumada a independência do Brasil em 1822, as regras de seguro continuaram
baseadas na legislação portuguesa, que se sujeitava às normas comerciais da Europa. A
legislação interna sobre o seguro, assim, continuou precária até 1850, quando foi
promulgado o Código Comercial que, embora tratasse apenas do seguro marítimo,
estabeleceu com clareza os direitos e deveres entre as partes contratantes, tornando-se
uma medida legislativa de significativo alcance para o desenvolvimento do setor como um
todo. O advento do Código Comercial foi de fundamental importância para o
desenvolvimento do seguro no Brasil, incentivando o aparecimento de inúmeras
Companhias de Seguros, que passaram a operar não só com o seguro marítimo,
expressamente previsto na legislação, mas também com o seguro terrestre.
Ferreira (1985) relata que o seguro de vida teve a sua prática protelada no Brasil por ter sido
considerado, durante longo tempo, como uma especulação imoral. O Código Comercial
brasileiro de 1850, tratando das coisas que podem ser objeto de seguro marítimo, assim
determinava: “Art. 686 - É proibido o seguro (...) 2) - Sobre a vida de alguma pessoa livre".
Proibindo-o, a referida lei fulminava de nulidade absoluta qualquer contrato de tal espécie.
Porém, permitia a realização de seguros sobre a vida de escravos por considerá-los como
"coisas" e não "pessoas". Somente após alguns anos, este ramo começou a se desenvolver,
quando em 1855 surgiu a Companhia de Seguros Tranqüilidade, primeira sociedade
fundada no Brasil para operar em seguros sobre a vida de pessoas livres.
A partir de 1862 começaram a surgir as primeiras sociedades estrangeiras, como a
Companhia de Garantia do Porto, a Royal Insurance, a Liverpool & London & Globe, entre
outras. Estas sucursais transferiam para suas matrizes os recursos financeiros obtidos pelos
prêmios cobrados, provocando uma significativa evasão de divisas. Assim, visando proteger

11. 11
os interesses econômicos do país, foi promulgada, em 5 de setembro de 1895, a Lei n°294,
dispondo exclusivamente sobre as companhias estrangeiras de seguros, determinando que
suas reservas técnicas fossem constituídas e tivessem seus recursos aplicados no Brasil,
para fazer frente aos riscos aqui assumidos. Algumas empresas estrangeiras, divergindo
sobre as disposições contidas no referido diploma legal, fecharam suas sucursais no país.
Segundo a SUSEP (1997), o Decreto n.° 4.270, de 10 de dezembro de 1901, e seu
regulamento direcionavam o funcionamento das Companhias de Seguros de Vida,
marítimos e terrestres, nacionais e estrangeiras, já existentes ou que viessem a se organizar
no território nacional. Além de estender as normas de fiscalização a todos os seguradores
que operavam no país, tais dispositivos legais criaram a Superintendência Geral de
Seguros, subordinada diretamente ao Ministério da Fazenda. Com a criação da
Superintendência, foram concentradas, numa única repartição especializada, todas as
questões atinentes à fiscalização de seguros, antes distribuídas entre diferentes órgãos. Sua
jurisdição alcançava todo o território nacional cuja competência incluía as fiscalizações
preventivas, exercidas por ocasião do exame da documentação da sociedade que requeria
autorização para funcionar, e as repressivas, sob a forma de inspeção direta e periódica das
sociedades.
Em 1916, com a promulgação do Código Civil Brasileiro, foram previstos e regulamentados
todos os ramos de seguros, inclusive o de vida. A atividade de seguros passava a ter, desta
feita, uma estrutura legal, sólida e de caráter duradouro, deixando de se basear em normas
de decretos e regulamentos. Mais tarde, em julho de 1934, foi criado no Ministério do
Trabalho, Indústria e Comércio o Departamento Nacional de Seguros Privados e
Capitalização (DNSPC), cujo objetivo era atender às seguintes finalidades: fiscalizar as
operações de seguros privados em geral, amparar, nos limites de suas atribuições
administrativas, os interesses e direitos do público relativos às operações de seguros e,
ainda, promover o desenvolvimento das operações técnicas (PÓVOAS, 2000).
Segundo Ferreira (1985), a primeira Companhia de Seguros no Brasil a emitir uma apólice
de Seguro de Vida em Grupo foi a Sul América - Companhia Nacional de Seguros de Vida,
no ano de 1929. Tratava-se de uma nova modalidade de seguro que se instalava no país,
diferente, em vários aspectos, do Seguro de Vida Individual clássico.
Em 1939, o presidente Getúlio Vargas deu o maior passo para o progresso do seguro no
país, criando o Instituto de Resseguros do Brasil (IRB). Esta instituição foi fundada com o
objetivo de regular o resseguro no país e desenvolver as operações de seguros em geral.
As Companhias de Seguros ficaram obrigadas, desde então, a ressegurar no IRB as
responsabilidades que excedessem sua capacidade de retenção. Com esta medida, o

12. 12
Governo Federal procurou evitar que grande parte das divisas nacionais fosse consumida
com a remessa de prêmios ao exterior.
Em 1966, através do Decreto-lei n.°73/66, foram re guladas todas as operações de seguros
e resseguros. Além disso, também foi instituído o Sistema Nacional de Seguros Privados,
assim constituído:
Conselho Nacional de Seguros Privados – CNSP;
Superintendência de Seguros Privados – SUSEP;
Instituto de Resseguros do Brasil – IRB (atualmente IRB-Brasil Re);
Sociedades autorizadas a operar em Seguros Privados;
Corretores habilitados.
Na década de 60, reaviva o surgimento de várias instituições privadas, genericamente
conhecidas por Montepios. Na década de 70, em decorrência de uma necessidade
previdenciária complementar ao serviço prestado pelo Estado, já haviam surgido as
instituições fechadas de previdência, congregando empregados de uma única empresa. Sob
o modelo da PETROS, implantada pela Petrobrás, de maior envergadura técnica, este
período fica marcado pelo início da grande expansão dos atuais Fundos de Pensões.
É consolidada, em 1977, a legislação de Previdência Privada, que se desdobra em dois
segmentos básicos: Aberto e o Fechado.
A Superintendência de Seguros Privados – SUSEP sucede o DNSPC. Como uma autarquia
dotada de personalidade jurídica de Direito Público, com autonomia administrativa e
financeira, a SUSEP ficou vinculada ao Ministério da Indústria e do Comércio até o ano de
1979, quando passou a estar vinculada ao Ministério da Fazenda.
1.3.1 Previdência Social
O reconhecimento universal do direito de qualquer pessoa a um nível de vida digno,
principalmente quando, por circunstâncias independentes de sua vontade, perde seus meios
de subsistência, fez desenvolver-se no mundo inteiro os sistemas de previdência.
O Brasil tem uma longa história previdenciária que começa ainda nos tempos coloniais, com
a concessão de auxílio às viúvas e aos órfãos dos oficiais da Marinha. Essa tênue medida
começa a ser enriquecida no Império: de um lado, por iniciativa do governo, protegendo

13. 13
algumas classes mais sujeitas a riscos, como a dos ferroviários e marítimos, ou as elites do
funcionalismo público, os artífices provenientes da antiga metrópole; de outro, por iniciativa
particular, no seio das forças armadas e mesmo do funcionalismo civil ainda não
contemplado. O exemplo é seguido por outras classes. No final do século passado e no
início do presente, surgem várias instituições previdenciárias entre comerciantes e viajantes
autônomos.
A previdência oficial começa a ganhar corpo e voltar-se para os trabalhadores privados a
partir de 1919, com a Lei de Acidentes Pessoais, e em 1923, com a Lei Eloy Chaves,
introdutora das caixas e considerada, historicamente, como o marco inicial da socialização
da previdência. Os últimos 50 anos marcaram definitivamente, numa quase vertiginosa
hierarquia de fatos, a evolução da previdência estatal, chegando-se ao instituto único para
os trabalhadores do setor privado, o regime especial para os servidores públicos e os
dispositivos de reciprocidade. A Previdência Social consiste em uma forma de assegurar ao
trabalhador, com base no princípio da solidariedade, benefícios ou serviços quando seja
atingido por alguma contingência social ( morte , doença , invalidez , velhice , maternidade ,
desemprego etc ). O sistema é baseado na solidariedade humana, em que a população
ativa deve sustentar a inativa, os aposentados. O sistema brasileiro de Previdência Social é
um modelo de repartição simples, em que existe uma solidariedade entre pessoas na
cotização do sistema para a concessão do futuro benefício, sendo que é a massa
arrecadada por todos que paga os benefícios aos trabalhadores.
1.3.2 Previdência Privada
O desenvolvimento da previdência em nível estatal, cercada de grande expectativa, não
chegou a inibir a evolução da Previdência Privada. Não abrangendo, de início, todas as
categorias ocupacionais, a Previdência Social deixou a descoberto os autônomos, os
profissionais liberais, os empregadores e os trabalhadores rurais. Surge, então, a
necessidade deles se organizarem em sociedades mutuárias que lhes dessem cobertura.
Proliferam, assim, as Caixas de Pecúlios e as Sociedades de Mútuo Socorro (sociedades,
que admitiam sócios mediante pagamento de módica taxa de inscrição e sob o
compromisso de se cotizarem entre si no caso de falecimento de um deles). Obtido um certo
número de sócios, a sociedade passaria a oferecer esses benefícios nos moldes do
mutualismo.
Mais adiante, com a universalização da Previdência Social, agora abrangendo praticamente
todas as categorias, a Previdência Privada ganha outra significado, de não mais o de levar

14. 14
a proteção inicial, básica e única, mas a de complementar a ação da previdência oficial. A
década de 60 reaviva o surgimento de muitas instituições privadas, genericamente
conhecidas sob a denominação de montepios. Outras, já existentes, mas restritas a uma
classe, abrem-se à participação geral. Com este mesmo sentido complementar, já haviam
surgido as instituições fechadas de previdência, congregando empregados de uma única
empresa, mais notadamente entre as organizações bancárias Sob o modelo da Petros,
implantada na Petrobrás, de maior envergadura técnica, a década de 70 marca o início da
grande expansão das entidades fechadas. Essas raízes históricas conduziram a previdência
brasileira a um modelo nacional, baseado no binômio social-privado:
i) a seguridade básica, campo da Previdência Social, compulsória e gerida pelo
Estado, voltada para a garantia dos direitos mínimos de preservação de qualidade de
vida; de modo condizente com a justiça social, é de objetivos médios e módicos e, por
conseguinte, insuficiente do ponto de vista individual, já que ao Estado compete a
preservação de padrões mínimos, não sacrificando a grande massa contribuinte com a
sustentação obrigatória de padrões mais elevados;
ii) a seguridade supletiva, facultativa, desenvolvida pela iniciativa privada para atender
aos anseios individuais de preservação do modo de vida. Através dela é possível ao
trabalhador, seja assalariado ou autônomo, integralizar a renda familiar na inatividade
quando, por doença, idade ou morte, a família não disporia mais do que os proventos
da Previdência Social, insuficientes para a manutenção dos mesmos padrões.
A Previdência Privada institucionalizou-se em duas classes distintas de entidades:
i) o segmento fechado, constituído pelas instituições que operam no seio de uma
empresa ou grupo de empresas, com planos de formulação grupal, absolutamente
mutualistas, para a prestação de benefícios complementares e assemelhados aos da
Previdência Social;
ii) o segmento aberto, constituído pelas instituições abertas à participação pública,
para a prestação de benefícios opcionais, de caráter mais individual.
Os ativos das Entidades Abertas de Previdência Privada constituem-se num dos mais
expressivos mecanismos de formação de poupança interna, assim como o segmento das
Entidades Fechadas que acumulam patrimônios significativos. A Previdência Privada é hoje
o maior investidor institucional no Brasil. Seus ativos financeiros estão a serviço da
economia nacional, fortalecendo as atividades produtivas e servindo à política econômica,
direcionadas que são suas aplicações pelos órgãos governamentais.

15. 15
1.3.3 Capitalização
Na acepção econômico-financeira, capitalização é o processo de aplicação a juros
compostos e de crescimento desse principal por força da incorporação desses mesmos
juros. As Sociedades de Capitalização, formadas como sociedades anônimas, objetivam a
operacionalização de "Títulos de Capitalização". Estes papéis que caracterizam
investimentos, são representados por cautelas (nominativas ou ao portador) contendo um
contrato de adesão denominado Condições Gerais. Se tratando de um Título de
Capitalização a primeira constatação que se impõe é de que o prêmio pago pelo mesmo não
é um depósito, mas uma importância ou uma parcela contributiva que se divide em três
partes distintas, a saber:
uma parte destinada a cobrir os custos do sorteio, denominada "Provisão para
Sorteio";
uma parte destinada a cobrir as despesas operacionais da empresa, denominada
"Carregamento" ou "Sobrecarga";
uma parte destinada a constituir um plano de poupança programada, que se
convencionou denominar "Provisão Matemática".
Objetivando proporcionar auxílio financeiro aos sócios através de suas próprias poupanças,
Paul Viget, diretor de uma cooperativa de minérios da França, idealizou, em 1850, a
Capitalização. O sistema era baseado em contribuições mensais, visando à constituição de
um capital garantido, pago no final de prazo previamente estipulado ou, antecipadamente,
através de sorteio. No início do século XX, a Capitalização tomou um grande impulso na
França e de lá se difundiu através dos países de origem latina.
As atividades no setor de Capitalização surgiram no Brasil em 1929, tomando grande
impulso na década de 30. Em 1947, o número de companhias de Capitalização operando no
país já ascendia a dezesseis, sediadas no Rio de Janeiro, São Paulo, Porto Alegre e
Salvador. Na década de 50, entretanto, o processo inflacionário acelerou-se de tal forma,
que o sistema de Capitalização se tornou desinteressante para a clientela, pois o Capital
inicialmente contratado era corroído pela incessante desvalorização da moeda. Com a
instituição da correção monetária em 1964, criaram-se as premissas básicas para o
ressurgimento da Capitalização, embora esse processo só tenha deslanchado mesmo dez
anos depois, quando surgiram no Brasil muitas novas empresas.
Capitalização é, portanto, uma combinação de economia programada e sorteio, sendo que o
conceito financeiro acima exposto aplica-se apenas ao componente "economia

16. 16
programada", cabendo ao componente lotérico o papel de poder antecipar, a qualquer
tempo, o recebimento da quantia que se pretende economizar ou de um múltiplo dela de
conformidade com o plano. Para a venda de um título de Capitalização é necessário uma
série de formalidades, que objetivam a garantia do consumidor. A Sociedade de
Capitalização deve submeter o seu plano ao órgão fiscalizador do Sistema Nacional de
Capitalização – SUSEP.
1.3.4 Seguro Privado (Companhias de Seguros)
Sob o aspecto jurídico, segundo o art. 757 do Código Civil Brasileiro, “pelo contrato de
seguro, o segurador se obriga, mediante o pagamento do prêmio, a garantir interesse
legítimo do segurado, relativo a pessoa ou a coisa, contra riscos predeterminados”. Assim, o
contrato de seguro é um acordo pelo qual o segurado, mediante pagamento de um prêmio
ao segurador, garante para si ou para seus beneficiários, indenizações de prejuízos que
venha a sofrer em conseqüência da realização de um dos eventos previstos no contrato.
São dois os principais elementos do contrato de seguro – proposta e apólice –
indispensáveis ao estabelecimento do compromisso entre as partes.
A proposta é o instrumento através do qual o proponente manifesta à Companhia de
Seguros o desejo de realizar o contrato. De fato, para que exista um contrato de seguro tem
que haver, em primeiro lugar, este pedido do proponente ao segurador que é livre para
aceitá-lo ou recusá-lo. Esta exigência é inclusive corroborada por lei, já que, segundo o art.
759 do Código Civil Brasileiro, “a emissão da apólice deverá ser precedida de proposta
escrita com a declaração dos elementos essenciais do interesse a ser garantido e do risco.”
Assim, uma vez que esta oferta seja definitivamente aceita, é emitida a apólice de seguro,
documento que determina e regula as relações entre o segurado e o segurador. Segundo o
art. 758 do Código Civil Brasileiro, “o contrato de seguro prova-se com a exibição da apólice
ou do bilhete do seguro, e, na falta deles, por documento comprobatório do pagamento do
respectivo prêmio.”
De forma geral, em todo contrato de seguro existe uma prestação e uma contraprestação
em que está, de um lado, o segurado que paga o prêmio pela cobertura do risco e, de outro,
a Companhia de Seguros que toma o encargo das perdas que este risco ocasione.
O Decreto Lei 73/66 regulamentou no Brasil a toda a atividade econômica relacionada com
o Seguro Privado. Conforme a referida norma o Seguro é um contrato bilateral e oneroso,
através do qual uma das partes (segurador), recebendo uma remuneração (prêmio), obriga-

17. 17
se com a outra (segurado) a indeniza-la, ou a terceiros, por ela indicados (beneficiários ou
prejudicados), no caso da realização de um determinado risco (sinistro). O Decreto Lei 73/66
divide o seguro em três categorias: a) Seguros de Pessoas; b) Seguros de Bens; e c)
Seguros de Responsabilidade;
Nos seguros de pessoas encontramos as seguintes modalidades: vida, acidentes pessoais,
saúde e outros. Nos seguros de bens enquadram-se: incêndio, cascos, transportes, lucros
cessantes, automóvel, roubo, vidros, riscos diversos, etc. Finalmente, nos seguros de
responsabilidade podemos destacar: crédito, fidelidade, responsabilidade civil, etc.
As Sociedades de Seguro Privado (Companhias Seguradoras) e as Sociedades de
Capitalização, em virtude da promulgação do referido Decreto-Lei, ficam subordinadas ao
Mistério da Fazenda, via o Conselho Nacional de Seguros Privados (C.N.S.P.) e a
Superintendência de Seguros Privados (S.U.S.E.P.).
Dentro deste contexto, ao Banco Central do Brasil (B.C) delegou-se a responsabilidade pela
normatização e fiscalização das aplicações dos recursos oriundos dos planos de seguros e
títulos de capitalização operados pelas Sociedades, segundo as diretrizes estabelecidas
pelo Conselho Monetário Nacional (C.M.N.).
São elementos essenciais do Seguro - Segurador, Segurado, Prêmio e o Risco.
Segurador (Seguradora): é a empresa legalmente constituída para assumir e gerir
coletivamente os riscos, obedecidos os critérios técnicos e administrativos
específicos; Segurador é, portanto, a pessoa jurídica que assume a
responsabilidade de determinados riscos e paga a "INDENIZAÇÃO" ao Segurado
ou aos seus beneficiários, no caso da ocorrência do "Sinistro"; nesse contexto a
efetivação do evento fica caracterizado como o "Sinistro", e a possibilidade de
materialização do evento é o "Risco".
Segurado: é a pessoa física ou jurídica em nome de que se faz o seguro; é
comum a pessoa do segurado apresentar, também, características de Estipulante
e de Beneficiário:
Prêmio: é o valor devido pelo Segurado ao Segurador, para que este assuma os
riscos previstos no contrato de seguro; a cobrança do Prêmio deverá ser feita,
obrigatoriamente, pela rede bancária.
Risco: é um acontecimento possível, porém futuro e incerto, quer quanto a sua
ocorrência, quer quanto ao momento em que se deverá produzir,
independentemente da vontade do Segurado e do Segurador. Risco pode ser

18. 18
avaliado por três prismas diferentes: crescentes (risco de morte, em função da
idade); decrescentes (risco de sobrevivência, em função da idade) e estacionários
(incêndio). Riscos Excluídos são os riscos não cobertos pelo seguro, como por
exemplo os riscos decorrentes de atos ilícitos do segurado; vale observar que nas
Condições Gerais de cada Apólice de seguro são especificados os riscos que, por
suas características, do ramo ou do próprio risco, são considerados como não
cobertos.
A finalidade específica do seguro é restabelecer um equilíbrio econômico perturbado, sendo
vedada, por lei, a possibilidade de se revestir do aspecto de jogo ou dar lucro ao segurado;
considerando esta finalidade, definem-se as características básicas do seguro ficam
estabelecidas na tríade "Previdência, Incerteza e Mutualismo".
1.3.5 Principais Ramos de Seguros
Automóvel - cobre danos materiais provenientes de colisão, incêndio e roubo do veículo
segurado; existem dois tipos de franquia: obrigatória e facultativa (dedutíveis); a Perda Total
(Indenização Integral) é caracterizada por danos superiores à 75% do valor de reposição do
veículo; a seguradora após o pagamento da indenização fica sub-rogada, até o limite da
indenização paga, em todos os direitos e ações contra aqueles que tenham causado os
prejuízos indenizados pela seguradora.
Responsabilidade Civil Facultativo de Veículos - cobre o reembolso das indenizações ou
reparações pecuniárias de responsabilidade do segurado, em virtude dos prejuízos
causados a terceiros, em conseqüência de acidentes com o veículo segurado (danos
materiais e pessoais).
Acidentes Pessoais - tem por objetivo garantir uma indenização ao próprio segurado ou a
seus beneficiários, em caso de acidente pessoal ocorrido com o mesmo; as cláusulas
acessórias são as seguintes: Invalidez Permanente Total ou Parcial por Acidente (IPA),
Diárias de Incapacidade Temporária (DIT) e Despesas Médicas Hospitalares (DMH).
Vida em Grupo - tem por objetivo garantir uma indenização aos beneficiários do segurado,
em caso de sua morte, qualquer que for a causa. O Seguro de Vida em Grupo é um contrato
temporário, com prazo de um ano, renovável a critério do estipulante ou da seguradora,
através do qual são garantidas várias pessoas unidas entre si por interesses comuns. A
figura do estipulante é obrigatória na contratação deste seguro. Existem ainda as cobertura

19. 19
adicionais de invalidez permanente total por doença (IPD) e parcial ou total por acidente
(IPA), bem como a indenização especial para casos de morte acidental.
Incêndio - O seguro contra incêndio garante ao segurado o reembolso dos prejuízos
materiais que venha a sofrer em virtude da ação do fogo e suas conseqüências sobre
objetos de sua propriedade ou pelos quais seja responsável. Este ramo de seguro oferece
dois tipos de coberturas: básicas e adicionais. As coberturas básicas do Seguro Incêndio
cobrem os prejuízos de perdas e danos materiais diretamente causados por incêndio, raio
ou explosão a gás de aparelhos de uso doméstico ou utilizados em iluminação. Já as
coberturas adicionais são as coberturas de danos materiais conseqüentes de outros
eventos: explosão seca de aparelhos ou substâncias, dano elétrico e queimadas em zona
rural, vendaval, até fumaça e queda de aeronaves. Explosão seca é aquela não seguida
nem precedida de incêndio.
Vidros - cobre prejuízos causados por quebra de vidros, causados por imprudência ou culpa
de terceiros, ou por ato involuntário do segurado, familiares, empregados e prepostos;
resultantes de calor artificial ou chuva de granizo.
Habitacional - cobre os danos físicos causados aos imóveis vinculados ou não aos planos
habitacionais do estipulante; Morte e Invalidez Permanente das pessoas definidas nas
Condições Especiais e Particulares; Responsabilidade Civil do Construtor.
Seguro Obrigatório de Danos Pessoais Causados por Veículos Automotores de Vias
Terrestres (DPVAT) - cobre os danos pessoais causados por veículos automotores de vias
terrestres, ou por sua carga, a pessoas transportadas ou não, inclusive danos pessoais
causados aos proprietários e/ou motoristas dos veículos, seus beneficiários ou
dependentes; garantias básicas do seguro: Morte, Invalidez Permanente e Despesas
Médica e Suplementares.
Seguro Saúde - cobre as despesas médico-hospitalares ocorridas com o segurado ou seus
dependentes, que tenham por origem ou causa alguma patologia ou dano involuntário
adquirido em função de doença ou acidente; principais cláusulas: Garantia Acessória de
Consultas Médicas, Garantia Acessória de Exames Complementares, Tratamentos
Fisioterápicos, Tratamento Dentário, e outras.
Lucros Cessantes - A finalidade do Seguro de Lucros Cessantes é reembolsar o segurado
dos prejuízos financeiros que venha a sofrer pela paralisação ou diminuição do seu
movimento comercial ou industrial, em conseqüência de riscos previstos no contrato de
seguro. Em princípio, esse seguro cobre prejuízos decorrentes de todos os acidentes
danosos. No Brasil, entretanto, este seguro é comumente contratado para cobrir prejuízos

20. 20
decorrentes de incêndios, greves e tumultos, explosão, danos elétricos, quebra de
máquinas, etc. Esses prejuízos são decorrentes da diminuição de lucros líquidos e da
continuidade de despesas fixas que não são compensados pela queda do movimento de
negócios.
Transportes - cobre os danos sofridos pela mercadoria transportada em conseqüência dos
riscos inerentes ao veículo transportador: acidentes causados por naufrágio,
descarrilamento, encalhe, queda de avião, capotagem, tempestade, explosão, incêndio, raio,
etc.; o seguro é desdobrado em transporte nacional e internacional e nas seguintes
modalidades: Marítimo, Fluvial e Lacustre; Terrestre, Ferroviário e Rodoviário; Aéreo.; existe
ainda as seguintes coberturas adicionais: quebra, derrame, amassamento, vazamento,
roubo, extravio, incido em armazéns, guerra e outras; é coberto também o prejuízo
proposital, como na avaria grossa (Marítimo).
Roubo - cobre os prejuízos materiais que o segurado venha a sofrer em seu patrimônio,
resultantes dos riscos cobertos, tais como: Roubo - cometido mediante uso ou ameaça de
uso de violência; Furto Qualificado - quando praticado mediante destruição ou rompimento
de obstáculos, chave falsa ou utilização de meios que deixem vestígios materiais
inequívocos.
Fidelidade - tem por objetivo reembolsar o segurado de prejuízos que venha a sofrer em
conseqüência de roubo, furto, apropriação indébita ou qualquer outros delitos cometidos
contra seu patrimônio, por seus empregados.
Responsabilidade Civil Geral (RC) - garante ao segurado o reembolso da indenização que
tenha pago, em conseqüência de lesões corporais ou materiais sofridas por terceiros, desde
que provocadas por atos involuntários do segurado ou de seus prepostos; este seguro
apresenta várias modalidades, as principais são: guarda de veículos de terceiros,
condomínios, obras civis, familiar, construtor, estabelecimentos comerciais e ou industriais,
estabelecimento de ensino e outros.
Riscos Diversos (RD) - este ramo contempla todas as modalidades de seguros que ainda,
em virtude do baixo volume de prêmios, não foram desdobrados para um ramo isolado de
seguro; os principais tipos de seguros são os seguintes: anúncios luminosos,
desmoronamento, deterioração de mercadorias em ambientes frigoríficos, equipamentos
estacionários, equipamentos de operações sobre água, instrumentos musicais, valores,
inundações, terremotos e maremotos; existe também os planos conjugados, que
condensam as diversas coberturas em um só produto (Residencial).

21. 21
Garantia - cobre os prejuízos sofridos pelo segurado, resultantes da inadimplência do
garantido, referente às obrigações abrangidas pelo contrato e expressamente previstas na
apólice, até os limites fixados para as importâncias seguradas.
Fiança Locatícia - cobre os prejuízos decorrentes da incapacidade de pagamento do
locatário, caracterizando-se, como tal, a falta de pagamento dos alugueis ou encargos
devidos.
Tumultos - cobre prejuízos devidamente comprovados e decorrentes de tumultos, greves e
lock-out, despesas com medidas tomadas para reprimi-los; tumultos - é definido como ação
de pessoas, com características de aglomeração, que perturbe a ordem pública através da
prática de atos predatórios; greve - ajuntamento de mais de três pessoas da mesma
categoria ocupacional que se recusam a trabalhar ou a comparecer onde o dever os chama;
lock-out - cessação de atividade por parte ou ato do empregador.
De acordo com Circular SUSEP 226, de 07 de fevereiro de 2003, os ramos de seguros
seguirão, a partir de Janeiro de 2003, as definições conforme tabela que segue:
Grupo Nome do Grupo Ramo Nome do Ramo
1 Patrimonial 11 Incêndio Tradicional
1 Patrimonial 15 Roubo
1 Patrimonial 41 Lucros Cessantes
1 Patrimonial 67 Riscos de Engenharia
1 Patrimonial 71 Riscos Diversos
1 Patrimonial 73 Global de Bancos
1 Patrimonial 14 Compreensivo Residencial
1 Patrimonial 16 Compreensivo Condomínio
1 Patrimonial 18 Compreensivo Empresarial
1 Patrimonial 96 Riscos Nomeados e Operacionais
2 Riscos Especiais 34 Riscos de Petróleo
2 Riscos Especiais 72 Riscos Nucleares
2 Riscos Especiais 74 Satélites
3 Responsabilidades 51 R.C Geral
3 Responsabilidades 78 R. C. Profissional
3 Responsabilidades 10 R.C. de Admin. e Diretores (D&O)
4 Cascos 33 Marítimos
4 Cascos 35 Aeronáuticos
4 Cascos 37 Responsabilidade Civil Hangar
4 Cascos 57 DPEM

22. 22
5 Automóvel 31 Automóvel
5 Automóvel 44 R.C.Transp.em Viag.Internacional-
Pessoas transportaveis ou não
5 Automóvel 53 Responsabilidade Civil Facultativa
5 Automóvel 88 DPVAT (Cat. 1, 2, 9 e 10)
5 Automóvel 89 DPVAT (Cat. 3 e 4)
5 Automóvel 20 Acidentes Pessoais de Passageiros
5 Automóvel 23 Resp. C.T. Rodoviário Interestadual e
Internacional
5 Automóvel 24 Garantia Estendida / Garantia
Mecânica
5 Automóvel 25 Carta Verde
6 Transportes 21 Transporte Nacional
6 Transportes 22 Transporte Internacional
6 Transportes 52 Resp. Civil do Transportador Aéreo
Carga
6 Transportes 54 Resp. Civil do Transportador
Rodoviário Carga
6 Transportes 55 Resp. Civil do Transportador Desvio
de Carga
6 Transportes 56 Resp. Civil Armador
6 Transportes 58 Resp. Civil do Operador do
Transporte Multimodal
6 Transportes 27 Resp. Civil do Transportador
Intermodal
6 Transportes 32 Resp. Civil do Transportador em
Viagem Internacional Carga
6 Transportes 38 Resp. Civil do Transportador
Ferroviário Carga
7 Riscos Financeiros 46 Fiança Locatícia
7 Riscos Financeiros 39 Garantia Financeira
7 Riscos Financeiros 40 Garantia de Obrigações Privadas
7 Riscos Financeiros 45 Garantia de Obrigações Públicas
7 Riscos Financeiros 47 Garantia de Concessões Públicas
7 Riscos Financeiros 50 Garantia Judicial
8 Crédito 19 Crédito à Exportação Risco Comercial
8 Crédito 59 Crédito à Exportação Risco Político
8 Crédito 60 Crédito Doméstico Risco Comercial
8 Crédito 70 Crédito Doméstico Risco Pessoa
Física
9 Pessoas 36 Perda do Certificado de Habilitação
de Vôo (PCHV)

23. 23
9 Pessoas 69 Turístico
9 Pessoas 90 Renda de Eventos Aleatórios
9 Pessoas 91 Vida Individual
9 Pessoas 93 Vida em Grupo
9 Pessoas 82 Acidentes Pessoais Coletivo
9 Pessoas 81 Acidentes Pessoais Individual
9 Pessoas 80 Seguro Educacional
9 Pessoas 92 VGBL/VAGP/VRGP individual
9 Pessoas 94 VGBL/VAGP/VRGP coletivo
9 Pessoas 77 Prestamista
10 Habitacional 66 Seguro Habitacional do Sistema
Financeiro da Habitação
10 Habitacional 68 Seguro Habitacional Fora do Sistema
Financeiro da Habitação
11 Rural 30 Seguro Benfeitorias e Produtos
Agropecuários
11 Rural 62 Penhor Rural - Instituições
Financeiras Privadas
11 Rural 63 Penhor Rural - Instituições
Financeiras Públicas
11 Rural 64 Seguros Animais
11 Rural 1 Seguro Agrícola sem cobertura do
FESR
11 Rural 2 Seguro Agrícola com cobertura do
FESR
11 Rural 3 Seguro Pecuário sem cobertura do
FESR
11 Rural 4 Seguro Pecuário com cobertura do
FESR
11 Rural 5 Seguro Aquícola sem cobertura do
FESR
11 Rural 6 Seguro Aquícola com cobertura do
FESR
11 Rural 7 Seguro Florestas sem cobertura do
FESR
11 Rural 8 Seguro Florestas com cobertura do
FESR
11 Rural 9 Seguro da Cédula do Produto Rural
12 Outros 79 Seguros no Exterior
12 Outros 99 Sucursais no Exterior

24. 24
1.3.6 Operadoras de Planos de Saúde
São consideradas (Lei 9.656/98) “Operadoras de Planos de Saúde” as Seguradoras que
operam exclusivamente no ramo Saúde, as Medicinas de Grupo, as Cooperativas e as
empresas de Autogestão.
Seguradoras: seguro saúde (individuais e coletivos);
Medicinas de Grupo: empresas médicas; planos voltados para empresas
(coletivos);
Cooperativas Médicas: os médicos são, ao mesmo tempo, sócios e prestadores
dos serviços (planos individuais e coletivos); e
Autogestão: Representam os planos de saúde em que as empresas ou
administram ou contratam terceiros para administrá-los (co-gestão ou planos de
administração).
1.4 Quadro Institucional Privado Brasileiro
No tocante à Seguridade Básica Social, compulsória e gerida pelo Estado, fica assegurado
aos segurados os benefícios mínimos destinados à garantia dos direitos relativos à saúde, à
previdência e à assistência social. Essas atividades são, no Brasil, operadas pelo Estado:
Sistema Nacional de Previdência Social - SINPAS - e incluem assistência médica,
aposentadoria, pensão, acidentes do trabalho e outros benefícios.
No que tange à esfera Privada, desenvolvida pela iniciativa privada, as operações de
Seguro, Previdência, Capitalização das Operadoras de Planos de Saúde no Brasil estão
dispostas dentro de um quadro Institucional bastante amplo. As esferas de ação das
Instituições Privadas ficam subordinadas ao crivo e normatização Estatal, por intermédio de
Superintendências, Secretarias e Agências fiscalizadoras.
Atualmente a estrutura do sistema se encontra disposta em conformidade com o quadro que
segue:

25. 25
Quadro Institucional Brasileiro (Privado)
M inistério daM inistério da
FazendaFazenda
Conselho
M onetário Nacional
(CM N)
Conselho Nacional
de Seguros Privados
(CNSP)
Banco Central do
Brasil (BACEN)
www.bcb.gov.br
Superintendência de
Seguros Privados (SUSEP)
www.susep.gov.br
Previdência Complementar
Privada Aberta (EAPP)
Lei Compl. nº 109/01
Previdência Complementar
Privada Aberta (EAPP)
Lei Compl. nº 109/01
Seguro Privado
Dec. Lei nº 73/66
Seguro Privado
Dec. Lei nº 73/66
Capitalização
Dec. Lei nº 261/77
Capitalização
Dec. Lei nº 261/77
Com Fins Lucrativos (S.A.)
Sem Fins Lucrativos
(só as existentes)
Instituto de Resseguros do
Brasil (IRB Brasil RE)
M inistério daM inistério da
Previdência SocialPrevidência Social
Conselho de Gestão da
Previdência Com plem entar
(CGPC)
Secretaria de Previdência
Complementar (SPC)
www.mpas.gov.br
Previdência
Complementar
Privada Fechada
(EFPP)
Leis Compl. nº 109
Previdência
Complementar
Privada Fechada
(EFPP)
Leis Compl. nº 109
Sem Fins Lucrativos
Anapp
www.anapp.com.br
Anapp
www.anapp.com.br
Abrapp
www.abrapp.org.br
Abrapp
www.abrapp.org.br
M inistérioM inistério
da Saúdeda Saúde
Agência Nacional de
Saúde Supl. (ANS)
www.ans.gov.br
Operadoras de
Planos de Saúde
Lei nº 9.656/98
Operadoras de
Planos de Saúde
Lei nº 9.656/98
Abram ge
www.abramge.com.brAbram ge
www.abramge.com.br
Fenaseg
www.fenaseg.org.brFenaseg
www.fenaseg.org.br
Conselho de
Saúde Suplem entar
(CONSU)

26. 26
1.5 O Atuário
A palavra atuário, ao longo do tempo, adquiriu significados diversos até chegar no atual
estágio. O termo é bastante antigo; vem da grafia "Actuarius" na língua Latina, assim temos:
"Actuarius" - escriba antigo, encarregado de preparar processos verbais das seções do
Senado, de redigir os documentos e fatos que deveriam figurar no Álbum. É possível
encontrar, também, outra definição para o termo naquela época, “Actuarius" - o funcionário
que registrava os "acta" ou atos do Senado Romano, taquígrafo incumbido de estenografar
os discursos.
Ao final do século XVI a palavra "Actuário" começou a ser empregada na Inglaterra,
inicialmente, com o significado de funcionário de contabilidade e elemento responsável por
elaboração de cálculos financeiros. Com o nascimento da "Ciência Estatística", mais
precisamente na segunda metade do século XVII e, da mesma forma, da "Aritmética
Política", hoje denominada "Demografia", o vocábulo passou a ser utilizado com um
significado bem mais amplo e ligado a área securitária e previdenciária.
Não obstante a conceituação oficial descrita no próprio Decreto Lei 806, atualmente, o
Atuário é o profissional que se ocupa da aplicação do instrumental matemático probabilístico
para a análise dos fenômenos financeiros aleatórios; muito ampla, a classe desses
fenômenos abrange a generalidade dos fatos econômicos, nos quais raramente deixam de
coexistir o dinheiro e o risco. A incerteza que caracteriza a vida humana em termos de
espaço e tempo, estabelece a razão de ser do Atuário e, em conseqüência, da matemática
atuarial, que se iniciou, conforme vimos, com o estudo dos fenômenos da mortalidade.
O Atuário, em suma, é o técnico que mede o acaso e o tempo. Acaso - equivalência de
aleatoriedade. Tempo - medida de duração para os processos financeiros. Para atingir os
seus objetivos, o atuário é obrigado a incursionar em vários campos do conhecimento
humano, tais como Matemática, Estatística, Contabilidade, Economia, Direito e Medicina. O
aglomerado, formado por fatias destes conhecimentos extraídos de tais células, se constitui
na conhecida "Ciências Atuariais", cuja histórica evolução acompanha a própria evolução da
palavra "Atuário".
Dentro deste contexto histórico, a "Ciência Atuarial" visa, por intermédio de fatias diversas
de conhecimento humano, estabelecer em bases técnicas sólidas e solventes, as atividades
de Seguros Privados em geral, dos Seguros Sociais, da Previdência Privada e
Capitalização.

27. 27
O Decreto-Lei n° 806, de 04/09/1969, dispõe sobre a profissão de Atuário e da outras
providências, regulamentando a profissão.
Art. 5o - Compete, privativamente, ao Atuário:
a) a elaboração dos planos técnicos e a avaliação das reservas matemáticas das empresas
privadas de seguros e de capitalização, das instituições de Previdência Social, das
Associações ou Caixas Mutuárias de pecúlios ou sorteios e dos órgãos oficiais de seguros e
resseguros;
b) a determinação e tarifação dos prêmios de seguros de todos os ramos, e dos prêmios de
capitalização, bem como dos prêmios especiais ou extraprêmios relativos a riscos especiais;
c) a análise atuarial dos lucros dos seguros e das formas de sua distribuição entre os
segurados e entre portadores dos títulos de capitalização;
d) a assinatura, como responsável técnico, dos balanços das empresas de seguros e de
capitalização, das carteiras dessas especialidades mantidas por instituições de previdência
social e outros órgãos oficiais de seguros e resseguros e dos balanços técnicos das caixas
mutuárias de pecúlio ou sorteios, quando publicados;
e) o desempenho de cargo técnico-atuarial no Serviço Atuarial do Ministério do Trabalho e
Previdência Social e de outros órgãos oficiais semelhantes, encarregados de orientar e
fiscalizar atividades atuariais;
f) a peritagem e a emissão de pareceres sobre assuntos envolvendo problemas de
competência exclusivamente do atuário.
Art. 6o - Haverá assessoria obrigatória do atuário:
a) na direção, gerência e administração das empresas de seguros, de financiamento e de
capitalização, das instituições de previdência social e de outros órgãos oficiais de seguros,
resseguros e investimentos;
b) na fiscalização e orientação das atividades técnicas dessas organizações e na
elaboração de normas técnicas e ordens de serviço destinados a esses fins;
c) na estruturação, análise, racionalização e mecanização dos serviços dessas
organizações;
d) na elaboração de planos de financiamentos, empréstimos e semelhantes;

28. 28
e) na elaboração ou perícia de balanço geral e atuarial das empresas de seguro,
capitalização, instituições de previdência social e outros órgãos oficiais de seguros e
resseguros;
f) nas investigações das leis de mortalidade, invalidez, doença, fecundidade e natalidade e
de outros fenômenos biológicos e demográficos em geral, bem como das probabilidades de
ocorrências necessárias aos estabelecimentos de planos de seguros e de cálculo de
reservas;
g) na elaboração das cláusulas e condições gerais das apólices de todos os ramos, seus
aditivos e anexos, dos títulos de capitalização; dos planos técnicos de seguros e resseguros;
das formas de participação dos segurados nos lucros; da cobertura ou exclusão de riscos
especiais;
h) na seleção e aceitação dos riscos, do ponto de vista médico-atuarial.
Parágrafo único. Haverá a participação do atuário em qualquer perícia ou parecer que se
relacione com as atividades que lhes são atribuídas nesse artigo.

29. 29
2 TEORIA DAS PROBABILIDADES
Os modelos matemáticos consistem em uma simplificação da realidade. A atuária também é
sustentada por modelos matemáticos aplicados que envolvem a gestão dos seguros em
geral. Os modelos matemáticos são uma idealização das características do fenômeno
observado, que podem ser:
a) Determinísticos: quando dadas as condições de experimentação pode-se determinar ou
predizer o resultado final do experimento.
b) Estocásticos: quando não é possível predizer, com certeza, o resultado final do
experimento, por exemplo: a soma dos pontos de dois dados, a quantidade de falecimentos
em uma determinada população, a investigação do efeito de um remédio em pacientes etc.
2.1 A Expressão da Probabilidade
O símbolo P é usado para designar a probabilidade de um evento. Então P(A) denota a
probabilidade do evento A ocorrer em um só experimento aleatório.
O menor valor que um enunciado de probabilidade pode ter é Zero (indicando que o evento
é impossível). E o maior valor é 1 (indicando que o evento é certo, ou seja, certamente irá
ocorrer).
Então, temos que:
0 ≤ P(A) ≤ 1
Em dado experimento aleatório, um evento pode ocorrer ou não ocorrer. A probabilidade de
ocorrência [ P(A) ] mais a probabilidade de não ocorrência [ P( A ) ] será, sempre, igual 1.
Assim temos:
1)AP(P(A) =+

30. 30
2.1.1 Experimento Aleatório
De uma forma geral, a Teoria das Probabilidades busca definir um modelo matemático
estocástico que seja conveniente à descrição e a interpretação de fenômenos aleatórios. Os
fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios são aqueles onde os processos de
experimentação estão sujeitos a influências de fatores e conduzem a resultados incertos.
ε = experimento aleatório
2.1.2 Espaço-Amostra
Para cada experimento aleatório ε definimos um espaço-amostra que consiste no conjunto
de todos os resultados possíveis de ε.
S = espaço-amostra
Exemplos:
ε1
= Lançamento de uma moeda e observar a face voltada para cima Coroa}{Cara,S =⇒ ;
ε2
= Lançamento de um dado e observar o lado voltado para cima },6{1,2,3,4,5S =⇒ ;
2.1.3 Eventos
Dado um espaço amostral S, associado a um experimento ε, definimos como evento
qualquer subconjunto desse espaço-amostra.
Ao realizarmos um experimento podemos estar interessados em observar informações
diferentes, por exemplo:
Experimento Aleatório⇒ ε: lançar um dado e observar o lado voltado para cima;
Espaço-amostra ,6}{1,2,3,4,5S =⇒ , com respeito ao resultado que ocorrerá, poderá
ser um número maior ou igual a 3, um número par, o número 3, etc.
Definição de outros eventos para o mesmo experimento aleatório (jogar 2 dados
simultaneamente e verificar a soma dos 2 lados que ficaram voltados para cima):
A: sair o n° 3 {3}A =⇒ . O evento que tem apenas um elemento chamamos de
evento simples ou elementar.

31. 31
B: sair o n°10 ==⇒ }{B φ. O conjunto correspondente ap conjunto vazio chamamos
de evento impossível.
C: sair um n°menor ou igual a 6 =⇒ C espaço-amostra. O conjunto que se identifica
com o espaço-amostra chamamos de evento certo.
:A não sair o n° 3 }{1,2,4,5,6A =⇒ . A esse conjunto damos o nome de evento
complementar de A.
2.1.4 Eventos Mutuamente Exclusivos
Dois eventos são mutuamente exclusivos ou mutuamente excludentes se os mesmos
não podem ocorrer simultaneamente. Isto é, a ocorrência de um evento automaticamente
impede a ocorrência do outro evento. A intersecção entre os dois eventos é o conjunto
vazio.
Como exemplos de eventos mutuamente excludentes, temos: o evento “ás” e “rei” com
relação a uma carta retirada de um baralho (estes dois eventos são mutuamente exclusivos
porque qualquer carta não pode ser ao mesmo tempo um “ás” e um “rei”); os eventos
masculino ou feminino; os eventos vivo ou morto ao final de um ano são mutuamente
exclusivos, pois uma pessoa chega com vida ao final do ano ou morre ao longo do referido
ano.
2.2 Abordagens sobre Probabilidade
Existem, em linhas gerais, três diferentes abordagens para definir probabilidade: o enfoque
clássico (ou a priori), o da freqüência (ou a posteriori) e o subjetivo (baseado no grau de
crença do indivíduo).
2.2.1 Enfoque Clássico (a priori)
O enfoque clássico parte do princípio que os resultados são igualmente verossímeis.
Permite a determinação dos valores da probabilidade antes de ser observada qualquer
amostra de eventos.
Sabe-se que ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1

32. 32
EXEMPLO
a) Considerando o lançamento de um dado, calcule a probabilidade dos seguintes eventos:
i) Sair o número 3;
ii) Sair um número par;
iii) Sair um número menor ou igual a 6.
Sabe-se que ,6}{1,2,3,4,5S =⇒ , assim temos,
i) P(1) = P(2) = P(3) = ... = P(6) = 1/6
ii) A = {2;4;6} ⇒ P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 3/6 = ½
iii) B = {1;2;3;4;5;6} ⇒ S = P(B) = 1 (evento certo)
b) Consideremos, agora, o seguinte evento:
A = sair um número par = {2,4,6}
Como o espaço-amostra é equiprovável, existem três chances em seis de ocorrer o
evento A. Assim, a probabilidade de ocorrer o evento A, denotado por P(A), é igual a
3/6.
Estas considerações motivam a definição de probabilidade de um evento A, associado
a uma espaço-amostra equiprovável, da seguinte forma:
S
A
PossíveisCasosden
FavoráveisCasosden
SdeElementosden
AEventodoElementosden
P(A) =
°
°
=
°
°
=
c) Algumas Propriedades e Regras
P(S) = 1
P(φ) = Zero
Regra da Multiplicação: utilizada quando desejamos determinar a probabilidade de
ocorrência conjunta de A e B (intersecção). Existem duas variações, para eventos
independentes e eventos dependentes:
i) Para eventos independentes (quando a ocorrência ou não-ocorrência de um evento não
tem efeito na probabilidade de ocorrência do outro evento):

33. 33
P(A ∩ B)= P(A)*P(B)
ii) Para eventos dependentes (quando a ocorrência ou não-ocorrência de um evento afeta a
probabilidade de ocorrência de outro evento):
A probabilidade condicional de B dado A. Significa a probabilidade de B (após A ter ocorrido)
é a proporção do total de eventos elementares remanescentes que inclui B, a fórmula
algébrica para determinar a probabilidade de B dado A é:
)A(P
)BA(P
)A/B(P
∩
=
Se A é o evento complementar de A, então P(A)=1-P( A )
Se A e B são dois eventos qualquer, então:
P(B-A)= P(B)-P(A ∩ B)
Existe alguma confusão com respeito à distinção entre eventos mutuamente exclusivos e
eventos independentes. A exclusão mútua indica que dois eventos não podem ocorrem
conjuntamente, enquanto independência indica que a probabilidade de ocorrência de um
evento não é afetada.
Regra da adição: utilizada quando desejamos determinar a probabilidade de ocorrer um
vento ou outro (ou ambos) em um só experimento / observação. Existem variações da regra
de adição, dependendo de serem os dois eventos mutuamente exclusivos ou não.
BA
BA A

34. 34
i) Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, então:
)B(P)A(P)BA(P +=∪
ii) Se Se A e B não são dois eventos mutuamente exclusivos, então devemos subtrair da
soma a probabilidade de ocorrência conjunta dos dois eventos [ P(A∩ B) ]. Então temos:
)BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪
EXEMPLO
Uma urna contém quatro bolas azuis, três vermelhas e duas brancas. Se retirarmos uma
bola ao acaso, calcule a probabilidade de:
a) ser uma bola vermelha;
b) não ser uma bola vermelha;
c) ser uma bola vermelha ou branca;
d) ser uma bola azul.
Sabendo que:
V = sair bola vermelha; A = sair bola azul; B = sair bola branca.
Respostas:
a) ser uma bola vermelha
P(V) =
9
3
BolasdeTotaln
VermelhasBolasden
PossíveisCasosn
FavoráveisCasosn
=
°
°
=
°
°
b) não ser uma bola vermelha
P(V ) = 1 – P(V) =
9
6
9
3
1 =−
c) ser uma bola vermelha ou branca
P(V∪ B) = P(V) + P(B) =
9
5
9
2
9
3
=+
d) ser uma bola azul
P(A) =
9
4

35. 35
2.2.2 Enfoque da Freqüência Relativa (a posteriori)
Por este enfoque a probabilidade é determinada com base na proporção de vezes que
ocorre um resultado favorável em certo número de observações ou experimentos. Uma vez
que a determinação dos valores da probabilidade está baseada na observação e na coleta
de dados, este enforque é também chamando de enfoque a posteriori.
EXEMPLO
Em uma certa carteira segurada de veículos observou-se que, durante um ano, o número de
veículos roubados foi de 200. A carteira de seguros era composta de 10.000 veículos
segurados. A probabilidade anual de roubo é, portanto:
02,0
000.10
200
)A(P == ou 2%
Regularidade Estatística e “Lei dos Grandes Números”
O enfoque da freqüência relativa tem como característica o conceito de regularidade
estatística, quando repetido o experimento em um grande número de vezes. Em seguros
esta regularidade é conhecida como “Lei dos Grandes Números”. Como exemplo
elucidativo, pode-se citar o seguinte experimento aleatório:
ε = lançamento de uma moeda }Coroa,Cara{S =⇒
A = evento sair Cara }Cara{A =⇒
n = 20 ⇒ ou seja, o experimento lançar a moeda será repetido 20 vezes seguidas
nA= n°de vezes que ocorreu o evento A nas n repetiçõ es de E.
fA
= freqüência relativa do evento A nas n repetições de E.
O resultado dos 20 lançamentos (experimentos) da moeda está estampado na tabela e no
gráfico que seguem:

36. 36
n na fa
1 1 1/01
2 1 1/02
3 2 2/03
4 3 3/04
5 3 3/05
6 3 3/06
7 3 3/07
8 4 4/08
9 5 5/09
10 5 5/10
11 6 6/11
12 7 7/12
13 7 7/13
14 8 8/14
15 8 8/15
16 8 8/16
17 8 8/17
18 8 8/18
19 9 9/19
20 9 9/20
Pode-se observar que a medida que aumenta o número de lances da moeda a freqüência
relativa de caras se aproxima de 0,5.
A freqüência relativa do evento A, denotada por fA
, é definida pela divisão do número de
vezes que ocorreu o evento A pelo número de repetições do experimento:
n
nA
A =f
N°de Ocorrências da Face "Cara"
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n (n°de experimentos / tentativas)
FreqRelativa

37. 37
3 ESPERANÇA MATEMÁTICA
Esperança matemática é o que produz o jogo honesto na acepção do jogo equilibrado.
3.1 Preço Puro ou de Custo
É igual ao ganho esperado, multiplicado pela probabilidade desse ganho e ainda
multiplicado pelo fator de desconto (vn) correspondente ao período que medeia entre a
aposta e o sorteio.
vpQE n
××=
Onde,
E = Esperança matemática ou preço de custo
Q = Ganho esperado;
p = Probabilidade de ganho, ou seja:
possíveiscasosden
favoráveiscasosden
p
°
°
=
v = Fator de desconto;
n = Prazo.
EXEMPLO
1. Se um jogador espera ganhar a importância de $ 2.000,00, e se a probabilidade de
ganhar é de 1/5, a respectiva esperança matemática será, desconsiderando-se o prazo
(n=0), de:
E = $ 2.000 x 0,20
E = $ 400,00 (peço de custo)

38. 38
3.1.1 Fator de desconto
O fator de desconto é determinado em função de uma taxa de juros e do prazo (pré-
estabelecidos). Tem por objetivo apurar, na data atual, o valor de certo montante financeiro
que será exigido daqui a n períodos.
Assim temos,
S = Montante
P = Principal
i = Taxa de juros
n = número de períodos
EXEMPLO DE FLUXO DE CAIXA:
i = 6% ao mês
$10,00 $10,60 $11,236 $11,910 $12,625
| ----------------- | ------------------|-------------------- |------------------|
0 1 2 3 4
CAPITALIZAÇÃO ------------------------------------------------------------->
DESCAPITALIZAÇÃO < ------------------------------------------------------------
Desta forma temos, em um ambiente de juros compostos,
S = P (1 + i)n
S = 10 (1,06)4 = 12,625
Onde,
S = P (r)n
r = ( 1 + i ) ------> FATOR DE CAPITALIZAÇÃO
E, por consequência:
v = 1 / r ---------> FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO
v = 1 / ( 1 + i )
Ou,
v = ( 1 + i )-1

39. 39
EXEMPLO
1. Uma sociedade beneficente está rifando um automóvel no valor $ 24.000,00. Serão
vendidos 10.000 rifas (bilhetes). Qual será a esperança matemática, considerando que
todas as rifas (bilhetes) sejam vendidas. Desprezar o fator de desconto (n=0).
Resposta:
E = ?
Q = $ 24.000,00
p = 1 / 10.000
E = $ 24.000,00 x 1 / 10.000
E = $ 2,40 ( preço matemático ou de custo do bilhete )
2. No caso anterior, calcular a esperança matemática sabendo que a venda das rifas será
feita hoje e o sorteio / entrega do veículo ocorrerá daqui há três meses (utilizar uma taxa
de juros de 3% a.m.).
Resposta:
E = $ 24.000,00 x (1 / 10.000) x (1 / (1,03) )3
E = $ 2,196334 ( preço matemático ou de custo do bilhete )
Fluxo de Caixa:
$ 21.963,34 $ 22.622,30 $ 23.300,71 $ 24.000,00
|-------------------------------|-----------------------------------| ------------------------------|
0 + 3% 1 + 3% 2 + 3% 3
3.2 Preço de Venda ou Comercial
O preço de venda ou comercial de uma operação de esperança matemática poderá ser
apurado mediante a agregação do “carregamento ou sobrecarga" ao preço matemático. O
carregamento tem por objetivo financiar as despesas decorrentes (agenciamento,
corretagem, lançamento, administrativas, impostos e o lucro da operação). Pode-se
encontrar o preço de venda ou comercial por intermédio dos seguintes métodos:
3.2.1 Método de Incidência do Carregamento sobre Preço de Custo
Sabe-se que,

40. 40
E = Esperança matemática ou preço de custo
π = Preço Comercial
C = Carregamento, expresso em $
β = Carregamento, expresso em %
Assim temos
π = E + C
Onde,
C = E x β (incidente sobre o preço de custo)
Substituindo na equação,
π = E + ( E x β )
E finalmente,
π = E x ( 1 + β )
3.2.2 Método de Incidência do Carregamento sobre Preço de Venda
Sabe-se que,
π = E + C
Onde,
C = π x β (incidente sobre o preço de venda)
Substituindo na equação,
π = E + ( π x β )
E = π - ( π x β )
E = π ( 1 - β )
Assim temos,
π = E / ( 1 - β )

41. 41
EXEMPLO
1. O preço de custo (esperança matemática) de um bilhete lotérico da extração Federal é
de $ 100,00. Qual o preço comercial do bilhete, se adotarmos o carregamento de 30%,
incidente sobre o seu preço de custo.
Resposta:
π = E ( 1 + β )
onde,
π = ?
E = $ 100,00
β = 30%
Assim temos,
π = $ 100,00 x ( 1 + 0,30 )
π = $ 130,00 (preço comercial do bilhete, com o carregamento incidente sobre o preço
de custo)
2. Considerando o exemplo 1, qual o preço comercial do bilhete, se adotarmos o
carregamento de 30%, incidente sobre o seu preço de venda.
Resposta:
π = E / ( 1 - β )
onde,
π = ?
E = $ 100,00
β = 30%
Assim temos,
π = $ 100,00 / ( 1 - 0,30 )
π = $ 142,86 (preço comercial do bilhete, com o carregamento incidente sobre o
preço de venda)
3. Uma rifa que levará 4 meses para o seu sorteio apresenta como premiação um
caminhão valor de $ 29.000,00. O instituidor da rifa deseja obter um lucro de 10%.
Calcular o valor de venda de cada bilhete, utilizando os métodos de agregação do
carregamento. Utilize uma taxa mensal de juros equivalente a 8% a.a. para o cálculo do
valor do bilhete. Serão comercializados 7.000 bilhetes.
Resposta:
Primeiro passo - calcular a taxa de juros mensal equivalente a 8% a.a.

42. 42
( 1 + ia )
1
= ( 1 + im )
12
onde,
ia = taxa de juros anual;
im = taxa de juros mensal;
assim,
( 1 + 0,08 )
1
= ( 1 + im )
12
im = ( 1,08 ) 1/12 - 1
im = 1,006434 - 1
im = 0,6434% a.m. (taxa mensal equivalente à 8% a.a.)
Segundo passo - calcular o preço matemático do bilhete
E = Q x p x v
n
E = $ 29.000 x ( 1 / 7.000 ) x v
4
E = $ 4,04
Terceiro passo - calcular os preços de venda
Pelo método incidente sobre o preço de custo,
π = $ 4,04 x ( 1 + 0,10 )
π = $ 4,44
Pelo método incidente sobre o preço de venda,
π = $ 4,04 / ( 1 - 0,10 )
π = $ 4,49
EXERCÍCIOS
1. Uma extração lotérica apresenta como premiação:
- Uma premiação de $ 100.000,00
- Dez premiações de $ 50.000,00 cada
- Vinte premiações de $ 20.000,00 cada

43. 43
Sabendo-se que o número de bilhetes é de 15.000 e que o sorteio será realizado
daqui a 3 anos, calcule o preço do bilhete a ser comercializado utilizando um
carregamento de 20% (despesas administrativas e lançamento), devendo o mesmo
incidir sobre o preço de venda ou comercial. Utilizar uma taxa de juros de 6% a.a..
Respostas: E = $ 55,97 ; π = $ 69,97
2. Uma extração lotérica apresenta como premiação:
- Um automóvel no valor de $ 10.000,00;
- Dez televisores no valor de $ 400,00 cada; e
- Vinte rádios no valor de $ 80,00 cada.
A instituição administradora da extração acrescenta ao preço de cada bilhete uma
margem para atender as despesas de lançamento e o lucro, sendo 40% o montante
das despesas e 10% o montante dos lucros. O número de bilhetes a serem
comercializados é de 5.000. O sorteio deverá será daqui a um ano (utilize uma taxa de
juros de 10% a.a.). Pergunta-se:
a) Qual o preço a ser cobrado por bilhete? (aplicado o carregamento sobre o preço de
custo)
b) Qual o preço a ser cobrado por bilhete? (aplicado o carregamento sobre o preço de
venda)
Respostas:
E = $ 2,84
a) Preço comercial do bilhete (carregamento sobre o preço de custo) = $ 4,25
b) Preço comercial do bilhete (carregamento sobre o preço de venda) = $ 5,67
3. A loteria do Estado na extração desta semana oferece as seguintes premiações:
- Uma premiação de $ 5.000,00
- Duas premiações de $ 500,00 cada
- Dez premiações de $100,00 cada
- Cem premiações de $10,00 cada
- Quinhentas premiações de $5,00 cada
O carregamento será desdobrado da seguinte forma:
- Desp. de emissão = $ 50,00
- Desp. com agentes = $ 100,00
- Custos fiscais = $ 50,00
- Lucro = $ 850,00
Calcular o preço que deverá ser comercializado cada bilhete e os percentuais de
carregamento correspondentes, aplicando os dois métodos de incidência do
carregamento estudados. Serão comercializados 5.000 bilhetes. Desprezar a taxa de
juros (n = 0).
Respostas:

44. 44
a) Preço de cada Bilhete
Somatório das premiações = $10.500,00
Somatório das despesas (carregamentos) = $1.050,00
E = $10.500,00 / 5.000 = $2,10
π = ( $10.500,00 + $1.050,00 ) / 5.000 = $2,31
b) Percentuais de Carregamento
β = percentual total de carregamento (?)
Pelo primeiro método - incidência sobre o preço de custo
β = ∑ das despesas / ∑ das premiações
β = $ 1.050,00 / $ 10.500,00
β = 0,10 ou 10%
Pelo segundo método - incidência sobre o preço de venda
β = ∑ das despesas / ( ∑ das premiações + ∑ das despesas )
β = $ 1.050 / $ 11.550
β = 0,0909 ou 9,09%
4. Uma nova raspadinha será lançada. No total serão comercializados, na primeira série,
50.000 raspadinhas (bilhetes). A premiação prevista será a seguinte:
- Dois veículos da linha GM no valor de $ 30.000 cada
- Cinco motocicletas da linha HONDA no valor de $ 7.000 cada
- Setenta televisores da linha SHARP no valor de $ 1.000 cada
As premiações serão entregues daqui a três meses (utilizar uma taxa de juros mensal
equivalente a 12% a.a.). A Entidade instituidora adicionará uma margem de 30% sobre
o valor comercial de cada raspadinha para atender as despesas e o lucro. Calcule o
valor comercial de venda de uma raspadinha.
Respostas: E = $ 3,21; π = $ 4,58
5. Uma raspadinha oferece as seguintes premiações em uma determinada série: 1 carro no
valor de $ 100.000,00; 10 motocicletas no valor de $ 5.000,00 cada e 5.000 rádios no

45. 45
valor de $ 50,00 cada. Sabe-se que a administradora da raspadinha pretende
comercializar cada bilhete ao preço de $ 10,00. O número de bilhetes comercializados
será de 80.000.
a) Calcule o percentual de carregamento, aplicado sobre o preço de venda de cada
raspadinha, utilizado pela administradora para a série (desprezar o prazo, ou seja,
n=0).
b) Qual seria o preço de venda da cada raspadinha, na eventualidade da
administradora aplicar um carregamento de 35% sobre o preço de custo?
Respostas: a) β= 50%; b) $ 6,75
6. Uma raspadinha oferece os seguintes premiações em uma determinada série - 1 (um)
carro no valor de $ 50.000,00 , 10 (dez) televisores no valor de $ 1.000,00 cada e 1.000
(um mil) canetas no valor de $ 10,00 cada. Sabe-se que a administradora da raspadinha
pretende comercializar, na série, 7.000 bilhetes. Sabe-se, também, que o sorteio será
efetuado 1 ano após a venda das raspadinhas.
Pergunta-se:
a) Qual seria o preço unitário de venda da raspadinha, na eventualidade da
administradora aplicar uma sobrecarga ou carregamento de 30% sobre o preço de
venda e trabalhar com uma taxa de juros de 12% ao ano?
b) Qual seria o preço unitário de venda da raspadinha, na eventualidade da
administradora aplicar uma sobrecarga ou carregamento de 50% sobre o preço de
custo e trabalhar com uma taxa de juros de 6% ao ano?
Respostas: a) $ 12,76 ; b) $ 14,15
7. Uma extração lotérica oferece como premiação o valor de $ 20.000,00. Serão colocados
à venda 1.000 bilhetes. Considere:
- Uma taxa de juros de 4% ao mês;
- Serão comercializados, na data zero, todos os bilhetes colocados à venda;
- Os bilhetes são numerados seqüencialmente, sem a repetição de números;
- Somente um bilhete será sorteado, com direito à premiação de $ 20.000,00;
- O sorteio e a entrega da premiação ocorrerá daqui a 3 meses;
- A lotérica utiliza um carregamento de 30% para cobrir seus gastos administrativos e
impostos;
- O carregamento deve incidir sobre o preço de venda de cada bilhete.
Calcule o preço que deverá ser comercializado cada bilhete.
Resposta: $ 25,40

46. 46
4 RUDIMENTOS DE DEMOGRAFIA E ATUÁRIA APLICÁVEIS AO SEGURO DE
VIDA
4.1 Tábua de Mortalidade
A tábua de mortalidade, também chamada de tábua de vida, é um instrumento ou esquema
teórico que permite calcular as probabilidades de vida e morte de uma população, em
função da sua idade (ORTEGA, 1987). Este instrumento promove a descrição estatística da
mortalidade e constitui a base de um modelo de população estacionária, sendo comumente
utilizado por demógrafos, atuários e outros investigadores em uma grande variedade de
problemas e questões relacionadas com a durabilidade da vida humana.
Normalmente, é apresentada em forma de tabela, na qual se registra a cada ano, partindo-
se de um grupo inicial de pessoas com mesma idade (coorte), o número daquelas que vão
atingindo as diferentes idades, até a extinção total do grupo inicial observado. Para que uma
tábua apresente dados confiáveis, os indivíduos observados devem conviver em um mesmo
espaço geográfico e possuir as mesmas condições de vida, durante a sua elaboração. Tais
premissas devem ser consideradas, uma vez que não tem sentido comparar probabilidades
de sobrevivência entre indivíduos que não apresentam as mesmas condições de
sobrevivência.
Ressalta-se que o cenário proposto por uma tábua é estacionário, ou seja, não se registram
nascimentos nem outras formas de entrada de novos indivíduos. Assim, são registrados
apenas os óbitos de indivíduos pertencentes ao grupo inicial (coorte). Este grupo inicial
reflete um contingente de indivíduos, todos nascidos vivos dentro de um mesmo espaço
geográfico, num mesmo intervalo de tempo, fechado a migrações, que tem a sua trajetória
de vida analisada por intermédio de indicadores demográficos, até que o mais longevo
venha a falecer (CAPELO, 1986).
A primeira tábua de mortalidade construída sobre princípios realmente científicos foi,
conforme já citado, a Breslaw Table, elaborada por Edmund Halley em 1693. Entretanto,

47. 47
somente no ano de 1815, Milne conseguiu elaborar uma tábua de mortalidade por meio de
técnicas estatísticas e demográficas muito similares às atuais, tomando-se em conta a
informação populacional de expostos ao risco de morte observados na cidade inglesa de
Carlisle (ORTEGA, 1987). A referida tábua registrou uma esperança de vida ao nascer de
38,7 anos para os sexos combinados. Desde então, um grande número de tábuas foi
publicado em todo o mundo.
4.1.1 Características
Uma tábua de mortalidade consiste em uma tabela contendo em sua estrutura seis colunas
e que, considerando o ambiente unidecremental (uma variável de eliminação, qual seja, a
morte), apresenta o seguinte formato:
x lx dx qx px ex
0
0 10.000.000,00 40.400,00 0,004040 0,995960 73,18
1 9.959.600,00 15.736,17 0,001580 0,998420 72,47
2 9.943.863,83 8.820,21 0,000887 0,999113 71,59
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
55 8.921.444,67 94.255,06 0,010565 0,98944 22,20
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
109 3,93 3,93 1,000000 0,000000 0,50
Fonte: Superintendência de Seguros Privados – SUSEP/MF/BRASIL (Tábua AT49 Male).
A idade inicial da tábua é identificada tecnicamente como “raiz” da mesma e, por outro lado,
denomina-se ω (ômega) como sendo a idade extrema da tábua. Na tabela anterior, a “raiz”
da tábua é a idade zero (x=0) e a idade ômega é igual a 109 ( 109ω = ). A primeira coluna
da tábua representa, portanto, as respectivas idades dos indivíduos em anos inteiros.
As demais colunas representam distintas funções, conforme se descreve abaixo.
a) Coluna (lx) - Sobreviventes
Indica o número de sobreviventes a cada idade x (simbologia lx provém da língua inglesa
life). Representa, em síntese, o número de indivíduos que atinge com vida uma determinada
idade exata x. Geralmente, a idade inicial de uma tábua, ou seja, a sua raiz, pode estar
situada entre as idades de 0 a 20 anos. O valor de lx para a idade inicial da tábua é uma

48. 48
constante arbitrária. Depois de fixada a raiz, lx dependerá somente da idade x, e a involução
do grupo se dará até a morte do último sobrevivente, que ocorrerá na idade ω. Seu
comportamento é apresentado no gráfico a seguir.
Gráfico lx.
Conforme o Gráfico, a função lx demonstra a redução do grupo inicial (coorte),
progressivamente, ano a ano, pelo efeito da morte, até chegar a um número mínimo de
sobreviventes na idade ω. Os lω sobreviventes estão destinados a morrer na referida idade,
não alcançando a idade ω+1. Os pontos x1 e x2 correspondem às idades em que a função lx
muda de curvatura.
Pode-se, portanto, elaborar as seguintes desigualdades:
0lllllllll 12x1xx321o
>≥≥≥≥≥≥≥≥
−++ ωω
LL
b) Coluna (dx) – Falecimentos
Indica o número de mortes ao longo da idade x (simbologia dx provém da língua inglesa
dead ou death). Representa, em síntese, o número de indivíduos que atingem com vida uma
determinada idade exata x e, ao longo desta mesma idade, morrem.
Vale a relação
1xxx lld
+
−=
Se as mortes são calculadas para um intervalo de idade n anos, pode-se escrever uma
fórmula genérica:
nxx
llxn d
+
−=
Valem as seguintes relações entre as colunas lx e dx:

49. 49
x1xx dll += +
onde,
ω
dddd 2100l ....+++=
ou seja,
∑=
=
ω
0x
x0 dl
sendo,
ω
dddd 2x1xxxl ....+++= ++
E sabendo-se que
ωω dl =
logo,
x
dddddll
n1-nx2x1xxnxx =++++=−
++++ ...
O Gráfico a seguir apresenta o comportamento de dx.
Gráfico dx.
Conforme o Gráfico, os pontos x1 e x2 correspondem às idades em que a função lx muda de
curvatura. A idade x2 é aquela em que se produz o máximo relativo às mortes. Depois da
idade x2 o número de mortes se reduz, não por redução na mortalidade, mas porque o
número de sobreviventes do grupo inicial l0 é cada vez menor.

50. 50
c) Coluna (qx) - Probabilidade de Morte
Representa a probabilidade que tem um indivíduo qualquer, de idade exata x, de vir a morrer
ao longo dessa mesma idade. Trata-se, neste caso, de uma probabilidade anual, que pode
ser calculada com base na relação entre os casos favoráveis e os casos possíveis, em que
os casos favoráveis são parte dos casos possíveis. Esta probabilidade pode ser expressa da
seguinte forma:
x
x1x
l
d
l
l-l
q
x
x
x == +
d) Coluna (px) - Probabilidade de Sobrevivência
Representa a probabilidade de um indivíduo qualquer, de idade exata x, sobreviver a essa
mesma idade. Representa, em síntese, a probabilidade deste mesmo indivíduo chegar com
vida na idade x+1. Esta probabilidade pode ser expressa desta forma:
x
1x
x
l
l
p +
=
Considerando que cada indivíduo componente do grupo lx deverá ou sobreviver à idade x ou
morrer antes de atingir a idade x+1, deverá se verificar que
xx q1p −=
De uma forma geral, dentro de um intervalo de n anos, a probabilidade acima pode ser
ampliada para:
x
nx
xn
l
l
p +
=
e) Coluna ( e
o
x ) - Esperança Completa de Vida
Representa o número de anos que, em média, sobrevive um indivíduo de idade x, até o final
de sua vida. Esta função também é conhecida por “Vida Média”, sendo apurada por
intermédio da seguinte forma:

51. 51
x
xo
x
l
T
e =
Onde Tx significa a quantidade de existência, função que tem por objetivo apurar o tempo
vivido, em anos, pela coorte entre as idades x e ω. A função Tx pode ser apurada com base
na função Lx, considerando, para tanto, uma distribuição uniforme das mortes ao longo do
ano. A equação que segue reflete esta situação:
ωLLLLLT 3x2x1xxx +++++= +++ ...
Onde,
A função xL possui dois significados: o tempo vivido entre as idades x e x+1 e, também, a
quantidade de sobreviventes na metade da idade x, ou seja, na idade x+0,5.
Assim,






−= dx x
2
1
xx lL ; ( )





−−= +1xxxx lllL x
2
1
Finalmente,
2
ll
L 1xx
x
++
=
Desta forma xT pode ser definida em função de xl , conforme segue:
ωLLLLLT 3x2x1xxx +++++= +++ ...
( ) ( ) ( ) ωK+



++



++



+= +++++ llllll xx
x
xx
x
xx
x
32211
2
1
2
1
2
1
xT
Chega-se, então, a formulação simplificada de xT :
ωlllllT 3x2x1xxx +++++= +++ ...
2
1
4.1.2 Probabilidades Fundamentais Envolvendo uma Cabeça
Existem outras probabilidades fundamentais que também estão baseadas no princípio de
uma cabeça em risco e que são utilizadas na arquitetura dos seguros de vida. A seguir
estão relacionadas somente as que serão abordadas, de uma forma ou outra, ao longo da
presente disciplina.

52. 52
a) Probabilidade de um indivíduo qualquer com idade exata x, sobreviver até alcançar com
vida a idade x+n e, nessa mesma idade x+n, vir a morrer. A equação que segue reflete
esta situação:
x
nx
l
d
xn /q
+
=
b) Probabilidade de um indivíduo qualquer com idade exata x, vir a morrer antes de
alcançar a idade x+n. A equação que segue reflete esta situação:
x
nxx
x
l
ll
Q/
n
+−
=
c) Probabilidade de um indivíduo qualquer com idade exata x, vir a morrer entre as idades
x+n e x+n+m. Pode-se utilizar duas equações para o cálculo da referida probabilidade:
x
mnxnx
xmn
l
ll
Q/ +++ −
= ; e
pp mn xn x +−=xmn Q/ (em função de 2 probabilidades de sobrevivência)
d) Taxa central de mortalidade é outra probabilidade importante para a avaliação dos
seguros de vida, pois contempla um critério de apuração dos expostos ao risco de morte
na metade da idade x. A equação que segue reflete esta situação:
xx
x
0,5x
x
x
x
x
q-2
2q
2
d
l
d
l
d
L
d
m xx
=
−
===
+
EXERCÍCIOS
1. Qual a probabilidade de uma pessoa com 50 anos atingir com vida a idade 55. Dados:
108150 .d = ; 156151 .d = ; 207152 .d = ; 261153 .d = ; 316154 .d = ; 375155 .d = ; 5176950 .l =
Resposta: 0,91300

53. 53
2. Qual a probabilidade, pela Tábua CSO-58, de uma pessoa com 25 anos falecer antes de
atingir a idade 70?
Resposta: 0,41602
3. Antônio tem 40 anos. Calcule a probabilidade de Antônio chegar com vida aos 65 anos
(utilizar a Tábua CSO-58).
Resposta: 0,73588
4. Qual a probabilidade de uma pessoa com 35 anos falecer com 36 anos (utilizar a Tábua
CSO-58).?
Resposta: 0,00263
5. Qual a probabilidade de uma pessoa com 50 anos falecer entre as idades 65 e 85
(utilizar a Tábua CSO-58).?
Resposta: 0,62645
6. Uma empresa tem a seguinte distribuição etária do seu quadro de funcionários:
Idade Atual Nº de Empregados
20 1.000
30 2.000
40 1.500
50 500
Total 5.000
Com base na Tábua CSO-58 responda:
a) Quantos funcionários, provavelmente, venham a falecer ao longo deste ano?
Resposta: 15,51
b) Quantos funcionários, provavelmente, venham a estar ainda vivos no próximo ano?
Resposta: 4.986
c) Quantos funcionários, provavelmente, venham a falecer antes dos 55 anos de idade?
Resposta: 553
d) Quantos funcionários, provavelmente, venham a sobreviver 30 anos?
Resposta: 3.589

54. 54
e) Quantos funcionários, provavelmente, venham a chegar com vida aos 65 anos de
idade?
Resposta: 3.631
4.1.3 Probabilidades Fundamentais Envolvendo mais de uma Cabeça
Existem outras probabilidades fundamentais que estão baseadas no princípio de mais de
uma cabeça em risco. A seguir estão relacionadas somente as que serão abordadas, de
uma forma ou outra, ao longo da presente disciplina:
Simbologia Probabilidade de Sobrevivência Probabilidade de Morte
xy Ambos estarem vivos Ao menos 1 estar morto
xy Ao menos 1 estar vivo Ambos estarem mortos
a) Probabilidade de dois indivíduos quaisquer com idades exatas x e y estarem vivos
dentro de n anos:
y
ny
x
nx
ynxnxyn
l
l
l
l
ppp
++
×=×=
b) Probabilidade de ao menos um dos dois indivíduos quaisquer com idades exatas x e y
estar vivo dentro de n anos:
xynynxnxyn pppp −+=
c) Probabilidade de dois indivíduos quaisquer com idades exatas x e y falecerem dentro de
n anos:
xynynxnxyn pQ/Q/Q/ −=×= 1

55. 55
d) Probabilidade de ao menos um do dois indivíduos quaisquer com idades exatas x e y
falecer dentro de n anos:
xynxynynxnxyn pQ/Q/Q/Q/ −=−+= 1
EXERCÍCIOS (UTILIZAR A TÁBUA CSO-58)
1. Antônio tem 40 anos e Maria, 20 anos. Calcule a probabilidade de ambos estarem vivos
daqui a 40 anos.
Resposta: 0,2264
2. Determinar a probabilidade de sobreviver 20 anos ao menos uma das pessoas de 30 e
35 anos de idade.
Resposta: 0,99157
3. Calcular a probabilidade de duas pessoas de 20 e 25 anos falecerem em 35 anos.
Resposta: 0,02705
4. Determinar a probabilidade de falecer em 30 anos ao menos uma das pessoas de 30 e
40 anos de idade.
Resposta: 0,5086
5. Maria tem 35 anos e José, 83. Determine a probabilidade de ao menos um dos dois
estar vivo depois de 15 anos.
Resposta: 0,93546
6. Andréia tem 30 anos e Jorge, 70. O que é mais provável: Andréia sobreviver mais 40
anos ou Jorge vir a morrer dentro dos próximos 12 anos.
Resposta: Jorge vir a morrer dentro dos próximos 12 anos

56. 56
4.1.4 Função Vida Provável
Denomina-se vida provável para uma idade x o nº de anos que faltam para o grupo inicial lx
ficar reduzido a metade. Representa o número de anos para se alcançar a idade em que a
probabilidade de chegar vivo nesta idade, como a de morrer antes, seja igual a 0,5. O ponto
de vida provável é a idade na qual a número de indivíduos do grupo inical está reduzido a
metade:
2
l
VP x
x =
Sade-se que, pQ xnxn/ −= 1 e Qp xnxn /−= 1
Assim temos,
EXEMPLO
1. Calcular a vida provável e o ponto de vida provável, pela Tábua CSO-58, para a idade x
= 30.
779,401.47
2
l
VP 30
30 == Está entre l72 e l73
Temos que:
l72 = 50.258,5381
Simulação Vida Provável para a Idade x = 30
Tabua CSO 58 Male
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
Idades
Probabilidades
nP30 /nQ30
Vida Provável

57. 57
l72+∆ = 47.401,779
l73 = 47.310,8748
Logo,
∆+−→∆
−→
7272
7372
ll
ll365
E, ∆ = 354 dias.
Então, a vida provável será de 42 anos e 354 dias e o ponto de vida provável é 72
anos e 354 dias.
2. Calcular a vida provável e o ponto de vida provável pelas Tábuas CSO-58 e GKM-95
para a idade x= 65.
Respostas:
CSO-58 VP = 12 anos e 149 dias ; CSO-58 PVP = 77 anos e 149 dias
GKM-95 VP = 15 anos e 171 dias ; GKM-95 VP = 80 anos e 171 dias
4.1.5 Interpretação Determinística
Ao longo desta disciplina, a tábua de mortalidade é abordada considerando a ótica de
interpretação determinística (ou clássica), em que os valores de lx coincidem exatamente
com o número de indivíduos do grupo inicial l0 que alcançam com vida as respectivas idades
x. Segundo esta interpretação, dx representa o número exato de indivíduos do grupo inicial l0
(coorte) que falecem entre as idades x e x+1. Desta forma, qx é interpretado como a
proporção de indivíduos do grupo inicial l0 (coorte) que, tendo alcançado com vida a idade x,
falecem antes de atingir a idade seguinte, ou seja, a idade x+1.
De outra parte, a interpretação estocástica da tábua de mortalidade, que não é abordada
nesta disciplina. A interpretação determinística da tábua permite obter as fórmulas das
probabilidades básicas sem a necessidade de recorrer a diversas ferramentas do cálculo de
probabilidades. Tais probabilidades são calculadas como proporções relativas a uma
população cuja involução, ao longo do tempo, se supõe conhecida. Conforme verificado, é
por intermédio do quociente entre “casos favoráveis” e “casos possíveis” que tais
probabilidades são calculadas.

58. 58
5 PRÊMIOS ÚNICOS E PUROS
5.1 Tábua de Comutação
Os símbolos de comutação representam algumas relações matemáticas que ajudam a
simplificar o cálculo de diversas operações atuariais relacionadas aos seguros de vida, mais
precisamente na avaliação de prêmios, anuidades contingentes e reservas matemáticas.
Segundo Ferreira (1987), coube a Tittens, em 1785, na Alemanha, a ventura de fornecer ao
ramo vida esse melhoramento técnico.
Ressalta-se que os símbolos de comutação são originados a partir de uma determinada
tábua de mortalidade, tomando-se, também, uma taxa real de juros (taxa de juros atuarial)
para a sua confecção.
Os símbolos de comutação utilizados ao longo deste estudo são apresentados a seguir:
a) Símbolos relacionados à função sobreviventes (lx) de uma determinada tábua de
mortalidade, como:
vlD x
xx ×=
onde,
( ) 1
i1v
−
+=
sendo,
v = fator de desconto;
i = taxa real de juros, anual.
Utilizando o sistema Barret de comutação (FERREIRA, 1987), tem-se que:

59. 59
∑=
=
ω
xx
xx DN
Temos ainda:
∑=
=
ω
xx
xx NS
b) Símbolos relacionados à função morte (dx) de uma determinada tábua de mortalidade,
como:
vdC 1x
xx
+
×=
onde v e i já foram explicitados.
Utilizando o sistema Barret de comutação (FERREIRA, 1987), tem-se que:
∑=
=
ω
xx
xx CM
Temos ainda:
∑=
=
ω
xx
xx MR
5.2 Princípio da Equivalência Atuarial
O cálculo do prêmio obedece à lógica elementar de que o valor cobrado deve cobrir os
custos inerentes à operação. Assim, o estudo atuarial para o cálculo do prêmio requer a
aplicação de algum princípio de equivalência entre as obrigações das partes indicadas no
contrato de seguro. Esta disciplina aborda o estudo do chamado “princípio da equivalência
atuarial” (FANA, MARTÍNEZ e ZANÓN, 1999), pela sua simplicidade e efetiva aplicação
prática, muito embora a literatura atuarial faça referência a outros princípios e métodos.
Para estabelecer o princípio da equivalência atuarial é preciso, primeiramente, definir a
variável aleatória “resultado” do seguro, representada pela letra R. Esta variável é uma
resultante da diferença entre o valor atual dos prêmios devidos pelo segurado (VAP) e o
valor atual dos benefícios prometidos pelo segurador (VAB), que são igualmente variáveis
aleatórias. O valor positivo de “R” representa lucro para a Companhia de Seguros e o valor
negativo, conseqüentemente, prejuízo. A equação que segue reflete esta situação:
R = VAP – VAB

60. 60
Entretanto, no momento da determinação do prêmio do seguro, o princípio da equivalência
atuarial estabelece que a variável “R” não deve representar lucro, tampouco prejuízo. Nesse
instante, o volume do(s) prêmio(s) pago(s) pelo segurado deve ser suficiente para anular a
esperança matemática de “R”, da seguinte forma:
E(R) = Zero
VAP = VAB
O princípio da equivalência atuarial também é denominado por alguns autores como
equação fundamental ou equação de equilíbrio atuarial. Além do cálculo dos prêmios, a
dedução dos fluxos e das reservas decorrentes das operações de seguros, objeto de análise
por parte desta disciplina, também é efetuada com base no citado princípio.
A obra clássica de Galé (1977) traz este princípio, em que os compromissos do segurado
são equalizados, na mesma data focal, com os compromissos da Companhia de Seguros.
Este método de avaliação, conforme o mesmo autor, também é denominado como método
EULERIANO. Tem por objeto estabelecer o equilíbrio técnico e econômico da operação
securitária, preservando o “Jogo Honesto” (BRASIL, 1985).
É importante ressaltar que a visão dos respectivos fluxos de caixa é direcionada sob o
prisma do segurador, em que as setas apontadas para cima representam entrada de
recursos (receitas) e, para baixo, saída de recursos (despesas). Outro aspecto importante
está relacionado à data focal do valor do fluxo que, nos casos estudados, sempre estará
situada na data zero, ou seja, na idade x.
5.3 Classificação dos Prêmios
Conforme Fana, Martínez e Zanón (1999), o prêmio é o preço do serviço prestado pelo
segurador. Este preço é fixado de forma antecipada, partindo da perspectiva de se fazer
frente aos custos que derivam das obrigações contratuais, bem como aos correspondentes
da gestão, captação e manutenção do negócio.
Os prêmios podem ser classificados em únicos ou periódicos, em função da forma como os
mesmos serão pagos pelo segurado ao segurador. Os prêmios únicos representam os
prêmios que devem ser pagos à vista, em uma só parcela. Os prêmios periódicos
representam, conseqüentemente, os prêmios que devem ser pagos de forma parcelada.
Tais pagamentos podem ser efetuados em caráter vitalício ou temporário. Se vitalício, o
prêmio será devido até o momento da morte do segurado; se temporário, o prêmio será
devido por um período temporal previamente estabelecido no contrato de seguro.

61. 61
Outra forma de classificação dos prêmios é dada em função da composição dos seus
custos, que podem ser desdobrados em: de risco, puro, comercial e bruto. O prêmio de risco
indica, na sua essência, a esperança matemática dos sinistros futuros. O prêmio puro é uma
resultante do prêmio de risco, onde é agregado uma margem ou carregamento técnico de
segurança para cobrir possíveis flutuações estatísticas do risco (FERREIRA, 2002). O
carregamento técnico de segurança pode ser avaliado de forma explícita ou, em certos
casos, de forma implícita1
. O prêmio comercial traz consigo os demais custos da operação,
ou seja, os carregamentos necessários para fazer frente às despesas administrativas, de
corretagem e de colocação do seguro, bem como o lucro esperado com o negócio. Alguns
autores também fazem referência ao prêmio bruto, que é uma resultante do prêmio
comercial, sendo acrescido a este os impostos que incidem diretamente sobre ele e,
também, o custo da apólice. A figura a seguir apresenta a composição do prêmio do seguro,
considerando a sua classificação em prêmio de risco, puro, comercial e bruto.
1
Mediante a adoção de uma tábua de mortalidade mais forte, considerando o risco de morte.
Prêmio
de
Risco
Carregamento:
segurança
técnica
Prêmio
Puro
Carregamentos:
administração
corretagem
colocação
lucro
Prêmio
Comercial
Impostos e
custo da apólice
Prêmio
Bruto

62. 62
Nesta disciplina será abordado o cálculo dos prêmios únicos e puros para os seguintes
riscos e modalidades:
Risco Modalidade
Sobrevivência Capital Imediata Temporária
Antecipadas
Vitalícias
Postecipadas
Antecipadas
Imediatas
Temporárias
Postecipadas
Antecipadas
Vitalícias
Postecipadas
Antecipadas
Rendas Aleatórias
Diferidas
Temporárias
Postecipadas
Sobrevivência
Anuidade Tontineira Imediata Temporária
Vitalício
Imediatos
Temporário
Vitalício
Morte
Seguros
Diferidos
Temporário
Mistos
Seguro DOTAL Imediatos Temporário

63. 63
6 RISCO DE SOBREVIVÊNCIA
6.1 Sobrevivência Capital
Supondo que um grupo bastante grande, todos com idade x, decida constituir um fundo
através de uma única e igual contribuição nEx de cada participante, capaz de gerar o
pagamento de Q unidades monetárias a cada um dos que estiverem vivos após o período
de n anos. Nenhuma devolução é devida aos que falecerem no intervalo de entre x e x+n.Os
recursos do fundo serão permanentemente aplicados a uma taxa de juros pré-fixada. Qual o
prêmio individual que caberá a cada indivíduo para a constituição do fundo?
Q
D
D
E
x
nx
xn ×= +
Dedução da equação:
VAP = VAB
risco de sobrevivência
x x+1 x+2 idadeωx+nx+n-1
En x
~
1

64. 64
EXEMPLO
Um indivíduo com 25 anos deseja receber $ 10.000,00 quando completar 55 anos de idade.
Calcule o prêmio único e puro para a operação utilizando a tábua CSO-58 a 6%a.a.
85514100010
25
55
2530 ,.$.
D
D
E =×=
EXERCÍCIO
1. José tem 35 anos e Maria, 34 anos. A probabilidade de ambos sobreviverem
conjuntamente mais de 30 anos é igual a 0,540765217. Caso Maria subscrevesse um
plano de sobrevivência capital para um período de 30 anos pagaria um prêmio único e
puro (por unidade de capital segurado) de 0,129779463. Sabe-se que a tábua de
comutação que originou o plano citado prevê uma taxa de juros anual de 6% e que l34
= 964.401,085. Calcule:
a) A probabilidade de José estar vivo após 30 anos.
b) A probabilidade de Maria vir a falecer dentro dos próximos 30 anos.
Respostas: a) 0,72548 ; b) 0,25461
6.2 Rendas Aleatórias
6.2.1 Renda Imediata Vitalícia Antecipada
Sendo R=1, temos
R
D
N
x
x
x ×=ä
Dedução da equação:
VAP = VAB
äx
risco de sobrevivência
x x+1 x+2 idade1−ω ω
~
11
~
1
~
1
~
1

65. 65
EXEMPLO
Um indivíduo de 35 anos deseja receber imediatamente e vitaliciamente no início de cada
ano uma renda no valor de $ 1.000,00. Calcule o prêmio único e puro, utilizando a CSO-58 a
6%a.a., necessário para garantir a operação.
42935140001
35
35
3 ,.$.
D
N
=×=5ä
6.2.2 Renda Imediata Vitalícia Postecipada
Sendo R=1, temos
R
D
N
x
x
x ×= +1
a
Dedução da equação:
VAP = VAB
ax
risco d e so brevivência
x x+ 1 x+ 2 id ad e1−ω ω
~
1
~
1
~
1
~
1

66. 66
EXEMPLO
Um indivíduo de 35 anos deseja receber a partir deste ano e ao final de cada ano uma renda
de $ 1.000,00 enquanto viver. Calcule o prêmio único e puro necessário para o
financiamento desta operação utilizando a CSO-58 a 6%a.a.
42935130001
35
36
3 ,.$.
D
N
=×=5a
6.2.3 Renda Diferida Vitalícia Antecipada
Sendo R=1, temos
R
D
N
x
nx
x ×= +
/än
Dedução da equação:
VAP = VAB
risco de sobrevivência
x x+1 x+2 idadeωx+n+1x+n
~
1
~
1
1−ω
~
1
~
1
ä/n x

67. 67
EXEMPLO
Um indivíduo de 40 anos deseja receber uma renda anual de $ 1.000,00, no início de cada
ano, vitaliciamente, após atingir a idade 65 anos. Calcule o prêmio único e puro utilizando a
CSO-58 a 6%a.a.
9650610001
40
65
40 ,.$.
D
N
25 =×=/ä
6.2.4 Renda Diferida Vitalícia Postecipada
Sendo R=1, temos
R
D
N
x
1nx
x ×= ++
/an
Dedução da equação:
VAP = VAB
risco de sobrevivência
x x+1 x+2 idadeωx+n+1x+n
~
1
1−ω
~
1
~
1
a/n x

68. 68
EXEMPLO
Calcule o prêmio único e puro do exemplo anterior considerando que o indivíduo deseja
receber a renda anual ao final de cada ano.
5033510001
40
66
40 ,.$.
D
N
25 =×=/a
6.2.5 Renda Imediata Temporária Antecipada
Sendo R=1, temos
R
D
NN
x
nxx
x ×
−
= +
ä/ n
Dedução da equação:
VAP = VAB
risco de sobrevivência
x x+1 x+2 idadeω
~
11
~
1
x+n-1 x+n
~
1
/näx
risco de sobrevivência
x x+1 x+2 idadeω
~
11
~
1
x+n-1 x+n
~
1
/näx

69. 69
EXEMPLO
Um indivíduo de 45 anos deseja receber imediatamente e no início de cada ano, durante um
prazo de 15 anos, se vivo estiver, a quantia de $ 1.000,00. Calcule o prêmio único e puro
utilizando a CSO-58 a 6%a.a.
07,827.9000.1
D
NN
/
45
6045
4515 =×
−
=ä
6.2.6 Renda Imediata Temporária Postecipada
Sendo R=1, temos
R
D
NN
x
nxx
x
×
−
= +++ 11
a/ n
Dedução da equação:
VAP = VAB
ris co d e so b re vivê n c ia
x x+ 1 x+ 2 id a d eω
~
1
~
1
x+ n -1 x+ n
~
1
~
1
/n ax

70. 70
EXEMPLO
Um indivíduo de 60 anos deseja receber ao final de cada ano uma renda de $ 1.000,00. A
referida renda será paga pela seguradora a partir deste ano e até quando o segurado
completar 80 anos. Calcule o prêmio único e puro utilizando a CSO-58 a 6%a.a.
1264780001
60
8161
6020
,.$.
D
NN
=×
−
=a/
6.2.7 Renda Diferida Temporária Antecipada
Sendo R=1, temos
R
D
NN
x
mnxnx
xmn ×
−
= +++
ä/
Dedução da equação:
VAP = VAB
x x+1 idadeω
x+n+1x+n x+n+m
risco de sobrevivência
~
1
~
1
~
1
x+n+m -1
ämn x
/

71. 71
EXEMPLO
Um indivíduo de 45 anos deseja receber, após completar 60 anos e até os seus 70 anos,
uma aposentadoria anual, que será recebida no início de cada ano, no valor de $ 10.000,00.
Calcule o prêmio único e puro utilizando a CSO-58 a 6%a.a.
130022500010
45
7060
451015
,.$.$
D
NN
=×
−
=ä/
6.2.8 Renda Diferida Temporária Postecipada
Sendo R=1, temos
R
D
NN
x
mnxnx
x ×
−
= +++++ 11
a/ mn
Dedução da equação:
VAP = VAB
x x+1 idadeω
x+n+1x+n x+n+m
risco de sobrevivência
~
1
~
1
x+n+m-1
amn x
/
~
1

72. 72
6.3 Anuidade Tontineira
É um arranjo atuarial concebido no séc XVII pelo banqueiro Lourenzo Tonti, conforme
abordado anteriormente, que prevê a constituição de um grupo de lx pessoas para
contribuírem, se vivas estiverem, no início dos n próximos anos, para formação de um fundo
que manterá todos os seus recursos permanentemente aplicados a uma taxa de juros i, para
que, ao final do prazo, o total acumulado seja distribuído entre os sobreviventes. Indaga-se,
nesse caso, o quanto caberá a cada um dos sobreviventes e este será o único exemplo,
nesta disciplina, em que o valor presente estará posicionado no instante x+n, e não no
instante x. É importante ressaltar que a anuidade tontineira representa um benefício
individual, não devendo ser confundido, conseqüentemente, com o prêmio a ser cobrado.
P
D
NN
S/
nx
nxx
xn ×
−
=
+
+
&&
Dedução da equação:
VAP = VAB (na data x+n)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )SxrPrPrPrP xnnxnx
xx
x
x
n
x
x
x
n
x
x
x
n
x
/lllll &&K +−++
−
+
−
=++ 12
2
1
1
Multiplicando ambos os lados por v
nx+
, temos
EXEMPLO
Qual o valor a ser recebido após 20 anos de prêmios anuais, feitos no início de cada ano,
por uma pessoa que tem atualmente 40 anos de idade? Sabe-se que os valores dos
prêmios anuais são constantes e fixados no valor de $ 10.000. Utilizar a tábua CSO-58 a
6%a.a
37,476.447000.10
D
NN
S/
60
6040
4020 =×
−
=&&
risco de sobrevivência
x x+1 x+2 idadeω
~
1
~
1
~
1
xn S
..
/
x+nx+n-1
1

73. 73
7 RISCO DE MORTE
Nos seguros que serão vistos a seguir, o risco em questão é a morte, um risco certo, cuja
incerteza decorre da imprevisibilidade do momento de sua ocorrência. No entanto, é a
capacidade da previsão científica, baseada na reunião de grandes grupos, no princípio da lei
dos grandes números e da mutualidade, que torna o comportamento decremental previsível
através das leis de mortalidade, possibilitando o domínio desta incerteza.
7.1 Seguro Contra Morte Imediato e Vitalício
Q×=
x
x
D
M
Ax
Dedução da equação:
VAP = VAB
Ax
risco de morte
x x+1 x+2 idade1−ω ω

74. 74
EXEMPLO
Um indivíduo de 25 anos deseja contratar um seguro contra morte com vigência imediata e
com capital segurado de $ 10.000,00. O capital segurado será pago quando ocorrer a morte
do segurado. Calcular o prêmio único e puro utilizando a CSO-58 a 6%a.a.
5799800010 ,$. =×=
25
25
25
D
M
A
7.2 Seguro Contra Morte Diferido e Vitalício
Q×= +
x
nx
xn
D
/A
M
Dedução da equação:
VAP = VAB
EXEMPLO
Um indivíduo de 40 anos deseja contratar hoje um seguro que lhe garanta uma cobertura
vitalícia, em caso de morte, a partir dos seus 65 anos. O capital segurado desejado é de $
30.000,00. Calcular o prêmio único e puro utilizando a CSO-58 a 6%a.a.
78584200030 ,.$. =×=
40
65
4025
D
M
/A
risco de morte
x x+1 x+2 idadeωx+n+1x+n 1−ω
xn
/A

75. 75
risco de morte
x x+1 x+2 idadeωx+nx+n-1
xn
A/
7.3 Seguro Contra Morte Imediato e Temporário
Q
D
MM
A/
x
nxx
xn ×
−
= +
Dedução da equação:
VAP = VAB
EXEMPLO
Um indivíduo com 48 anos deseja contratar um seguro contra morte no valor de $
10.000,00. Calcular o prêmio único e puro utilizando a CSO-58 a 6%a.a. e sabendo que a
cobertura deve iniciar imediatamente e terminar quando o indivíduo atingir 65 anos.
79,307.1000.10
D
MM
A/
48
6548
4817 =×
−
=

76. 76
7.4 Seguro Contra Morte Diferido e Temporário
Q
D
MM
A/
x
mnxnx
xmn ×
−
= +++
Dedução da equação:
VAP = VAB
EXEMPLO
Um indivíduo de 30 anos deseja contratar um seguro contra morte pagando um prêmio
único e puro hoje, que lhe garanta uma cobertura entre os seus 55 anos e 75 anos de idade.
O capital segurado é de $ 800.000,00. Calcular o prêmio único e puro utilizando a CSO-58 a
6% a.a.
$42.612,51800.000
D
MM
A/
30
7555
302025 =×
−
=
risco de morte
x x+1 idadeωx+n+1x+n
A/mn x
x+n+m

77. 77
7.5 Seguro Dotal ou Dote Puro
Q
D
DMM
x
nxnxx
n:x
×
+−
++
=A
Dedução da equação:
VAP = VAB
EXEMPLO
Um indivíduo com 35 anos contrata um determinado seguro com capital segurado de
$ 100.000. Caso o segurado venha a falecer nos próximos 20 anos, o capital segurado será
pago aos beneficiários. Caso contrário, o segurado receberá em vida o valor do capital
segurado. Calcular o prêmio único e puro utilizando a CSO-58 a 6% a.a.
1920133000100
35
555535
,.$.
D
DMM
2035 :
=×
+−
=A
risco de morte e sobrevivência
x x+1 x+2 idadeωx+nx+n-1
11
n:x
A
~
1

78. 78
7.6 Relações
1. x1x1 EvA −=
2. xxx NdDM *−=
3. xx dA ä*1−=
4.
d
A1 x
x
−
=ä
5. xnxnxn dEA ä*1 −−=
6. xnxn dA ä/*1−=
7. xnnx
dA ä*1:
−=
8.
d
A1 n:x
xn
−
=ä
9. xnnxx E*+= ä/än
10. xnxnxn ES *&&=ä

79. 79
8 DIAGRAMA DE LEXIS
O diagrama de Lexis é utilizado para representar fenômenos demográficos no tempo e
facilitar a interpretação de diversas taxas e outros indicadores demográficos.
O eixo horizontal representa o tempo t dentro da ótica do calendário civil e o eixo vertical, a
idade x desde o nascimento. Cada indivíduo é representado por uma linha que situa-se a
45º de cada um dos eixos, partindo da idade x0 e do instante t0. O diagrama de Lexis é
representado por segmentos e superfícies. Os segmentos indicam o número de pessoas
vivas e as superfícies o número de pessoas mortas.
5 27631 26397 26054 5
27654
23
26411
14
26066
12
26132
4 26435 26081 26144 4
33
26470
35
26107
26
26164
20
25606
3 26142 26191 25626 3
79 43
26195
53
26224
33
25649
23
26416
2 26277 25682 26439 2
191 165 138
26406
129
25775
93
26486
47
24954
1 25904 26579 25002 1
464 559 488 383
26290
386
26861
282
25195
193
26992
0 30181 28861 28429 28214 27482 27980 26090 27670 0
1º/01/1967
ANO (Calendário Civil)
I
D
A
D
E
I
D
A
D
E
DIAGRAMA DE LEXIS
6781441 1321 1400 1287 1192 1119 895
169 191 165 138 129 93 48
88 79 43 53 33 23
41 33 35 27 20
21 24 15 12
1969 19701968 1971 1972 1973 1974 1975

80. 80
EXERCÍCIOS
1. Calcule o valor do prêmio único e puro referente a um seguro imediato vitalício contra
morte contratado por uma pessoa que possui 38 anos de idade. Dados: C38 =
2.884,627031; l38 = 9.299.482,00; N38 = 14.767.881,235061; Q = $ 25.000,00 e d38 =
27.991,00.
Resposta: $ 4.428,42
2. Informa-se que: Nx = 50.941,3753; Nx+7 = 33.587,5395; lx = 9.371,7471; i = 2,5 % a.a.;
/7äx = 6,364558; Com base nas relações estudadas encontrar o valor de “x”.
Resposta: x = 50
3. Determine a “Taxa de Mortalidade” para a idade x=26. Dados: D26 = 5.200,0057; D27 =
5.069,1381; D25 = 5.334,0491 e i = 2 % a.a.
Resposta: q26 = 0,00567
4. Determinar o valor do prêmio único e puro que deverá ser pago por uma pessoa com 31
anos de idade, para a contratação da seguinte modalidade de seguro contra morte:
- Cobertura contra morte, imediata e pelo prazo (vigência) de 20 anos;
- Capital Segurado = $ 50.000,00;
- Parâmetro Biométrico - CSO-58 a 6% a.a.;
- Carências: 1o
ano = cobertura de 30% da I.S.; 2o
ano = cobertura de 50% da I.S.; 3o
ano = cobertura de 75% da I.S.; 4o
o ano em diante, até o final do prazo de vigência =
100% da I.S.
Resposta: $ 1.893,62
5. Responda as questões abaixo utilizando a tábua de Comutação CSO-58 a 6% a.a.:
a) Antônio tem 23 anos de idade e deseja pagar o prêmio anual de $ 10.000 a uma
Seguradora; os prêmios anuais serão pagos por Antônio enquanto ele estiver vivo,
com os recolhimentos feitos no início de cada ano e durante o prazo contratual de 20
anos. Calcule o valor que caberá a Antônio ao final do prazo contratual.
Resposta: $ 403.736,80
b) Luciano tem atualmente 25 anos e deseja contratar um seguro diferido e vitalício
contra morte. Sua intenção é de assegurar a sua família um benefício no valor de $
70.000 caso venha a falecer a partir dos seus 60 anos de idade. Calcule o prêmio
único e puro que deverá ser pago por Luciano.
Resposta: $ 3.142,96

81. 81
c) Marcelo tem 43 anos de idade e deseja receber $ 200.000 de uma Seguradora caso
esteja vivo ao completar os 65 anos de idade; A Seguradora cobrará de Marcelo, no
início de cada ano e durante os próximos 22 anos, um determinado prêmio de seguro;
Qual prêmio anual de seguro que a seguradora deverá cobrar para assumir a
operação?
Resposta: $ 3.459,56
d) Maria tem 45 anos de idade e deseja receber uma renda anual no valor de 80% do
seu salário atual; a referida renda desejada por Maria teria inicio quando completados
os seus 65 anos de idade, com recebimentos no início de cada ano e em caráter
vitalício. Calcule o prêmio único e puro devido sabendo que o salário atual de Maria é
de $ 1.200,00.
Resposta: $ 1.977,14
e) Eduardo tem atualmente 55 anos de idade e possui $ 10.000 de saldo na sua
caderneta de poupança. Caso ele utilize hoje, de forma única e integral o saldo de sua
poupança para comprar uma renda anual vitalícia, a ser recebida no início de cada
ano e a partir dos seus 65 anos de idade, qual será o valor da referida renda anual?
Resposta: $ 2.496,25
6. Calcule o valor do prêmio único e puro de um seguro Dotal para o prazo contratual de 25
anos, sendo que a idade do segurado é de 30 anos e o Capital Segurado é de $ 1,00.
Dados: M30 - M54 = 4.267,53681; C54 = 337,637089; C55 = 357,311723; C56 = 377,933137;
d54 = 1.003,36649; d28 = 193,24464; d29 = 197,60241; l30 = 94.803,5584; l29 =
95.001,1608; l54 = 77.182,03.
Resposta: $ 0,57777
7. Calcule o prêmio único e puro que deverá ser pago por uma pessoa de 30 anos de idade
para receber $ 1.000,00, imediatamente e no início de cada ano, até completar os seus
50 anos de idade. Dados: 20E30 = 0,495069513; /20A30 = 0,073504668; i = 3% a.a.
Resposta: $ 14.812,30
8. Determinar o valor do prêmio único e puro a ser pago por uma pessoa com 40 anos de
idade, para a contratação da seguinte modalidade de seguro contra morte:
- Cobertura - contra morte, imediata e vitalícia;
- Capital Segurado no valor de $ 100.000,00;
- Parâmetro Biométrico - C.S.O 58 a 6% a.a.
- Carências: 1o
ano = cobertura de 10% do C.S.; 2o
ano = não existe cobertura; 3o
ano
= cobertura de 50% da I.S.; 4o
ano = não existe cobertura; 5o
ano em diante =
cobertura de 100% do C.S.
Resposta: $ 18.212,40
9. Calcule a “Taxa de Mortalidade” para a idade x=35. Dados: D34 = 1.880,80004; /1A35 =
0,054; l33 = 9.890,17182; d33 = 9,6725979.

82. 82
Resposta: 0,0567
10. João tem 25 anos de idade e deseja deixar para a sua família, quando falecer, a
Importância de $ 100.000. Calcule o valor do prêmio único e puro que uma determinada
Seguradora deverá cobrar de João para assumir a operação descrita. Dados: M27 =
285,485; l24 = 959.395,946; l25 = 957.563,50; l26 = 955.715,402; l27 = 953.845,20; D27 =
153.502,6584.
Resposta: $ 512,77
11. Calcule o prêmio único e puro que deverá ser pago por uma pessoa de 30 anos de
idade, para receber $ 1.000,00 caso atinja com vida a idade de 50 anos. Dados: 20p30 =
0,4550; /1 A30 = 0,00138889; q30 = 0,0015
Resposta: $ 97,62
12. Calcule o valor atual ou prêmio único e puro decorrente de uma renda unitária, anual,
imediata vitalícia antecipada para uma pessoa com 30 anos. Dados: M30 = 116,17786;
N31 = 9.566,6579; l30 = 987,0777; d30 = 0,991; C30 = 0,39639
Resposta: $ 24,5246
13. A probabilidade de João, que atualmente tem 35 anos de idade, de chegar com vida
aos 45 é de 0,899. Tomando-se i = 8,5 %a.a., calcule o valor do prêmio único e puro a
ser pago por João para a efetivação de um seguro de lhe garanta a quantia de $
100.000,00 caso venha a chegar com vida aos 45 anos. Utilizar somente estas
informações para a resolução do problema.
Resposta: $ 39.761,46
14. Uma pessoa com 50 anos deseja contratar um seguro imediato temporário contra
morte, colocando a disposição dos beneficiários o Capital Segurado de $ 10.000,00,
caso venha a falecer dentro dos próximos 3 anos. Qual o valor do prêmio único e puro?
Dados: C50 = 1.313,66834; l50 = 8.688.153,00; l51 = 8.585.554,00; l52 = 8.474.792,00; l53 =
8.354.442,00; l54 = 8.086.718,00.
Resposta: $ 323,07
15. Calcular o valor do prêmio único e puro referente a um seguro imediato temporário
contra morte, pelo período de 10 anos, para uma pessoa de 50 anos de idade, sabendo
que: 10E50 = 0,490619; N50 = 6.066.253,56; N60 = 2.415.349,80; l50 = 8.993.273,81; l60 =
7.901.710,02 e D60 = 239.535,10.
Resposta: $ 0,08611
16. Desejando uma pessoa com 38 anos fazer um seguro imediato vitalício contra morte,
dispondo de $ 5.000,00 para pagar como prêmio único e puro, qual deverá o valor do
Capital Segurado? Utilizar a Tábua CSO-58 a 6 % a.a.
Resposta: $ 28.226,79

83. 83
17. Calcular o valor do prêmio único e puro decorrente de um seguro sobrevivência capital
referente a uma pessoa com 40 anos de idade que deseja receber $1,00 de benefício
aos 55 anos de idade, se vivo estiver. Dados: 15/ä40 = 7,0741272; a55= 11,781583; a56=
11,36354683.
Resposta: $ 0,55346
18. Uma pessoa com 50 anos deseja receber imediatamente e no início de cada ano uma
renda imediata e vitalícia da seguinte forma: 1o
ano = $ 60.000; 2o
ano = $ 70.000,00; 3o
ano = $ 80.000,00; 4o
ano = seguindo vitalíciamente a progressão dada. Calcular o valor
do prêmio único e puro da referida operação, utilizando a Tábua CSO-58 a 6% a.a.
Dados adicionais: S50= 6.045.163,47 ; S51= 5.454122,97
Resposta: $ 1.892.061,01
19. João tem 25 anos de idade e deseja se aposentar quando chegar aos 65. Sabe-se que
João possui $ 10.000 e deseja comprar, com este recurso, uma aposentadoria anual a
ser recebida a partir dos seus 65 anos (com recebimentos no início de cada ano).
Calcule o valor da aposentadoria anual que deverá ser oferecido para João. Dados: /40
Q25 = 0,2414637; N66 = 551.342,508; D65 = 57.269,275; i = 4% a.a.
Resposta: $ 5.955,78
20. Calcule o prêmio único e puro que deverá ser pago para subscrição da seguinte
modalidade de seguro: Cobertura contra morte, imediata e temporária por 3 anos; Idade
atual do proponente = 35 anos; Capital Segurado de $ 100.000. Dados: l34 = 979.665,40;
q34 = 0,000791; d35 = 775,281; d36 = 776,623; C34 = 140,4846; C37 = 125,9655.
Resposta: $ 218,37
21. Godofredo tem 30 anos de idade e possui $ 1.000,00 para contratar um seguro contra
morte. A cobertura desejada terá início quando Godofredo atingir 50 anos de idade e, a
partir de então, se manterá em caráter vitalício. Tendo em vista estes aspectos,
considerando que o pagamento do prêmio único e puro será feito neste instante, calcule
qual deverá ser o valor do Capital Segurado. Utilizar somente os dados abaixo para a
resolução da questão. Dados: l29 = 959.641,002; q29 = 0,00171; l49 = 902.265,141; d49 =
5.603,067; d50 = 6.016,603; N49 = 2.111.720,58; d = 0,038461538,
Resposta: $ 5.903,84
22. Elaborar a equação de equilíbrio e determinar o valor do Prêmio único e puro a ser
pago, por uma pessoa com 40 anos de idade, para a contratação da seguinte
modalidade de seguro contra morte:
- Cobertura - contra morte, imediata e pelo prazo (vigência) de 10 anos;
- Capital Segurado no valor de $100.000;
- Parâmetro Biométrico - C.S.O 58 a 6% a.a. (em anexo)

84. 84
- Carências: 1o
ano - sem cobertura ; 2o
ano - cobertura de 50% da I.S. ; 3o
ano - sem
cobertura ; 4o
ano - cobertura de 80% da I.S. ; 5o
ano em diante, até o final do prazo
de vigência - 100% da I.S.
Resposta: $ 2.750,36
23. Ricardo tem 30 anos e deseja receber no início de cada ano, após completar 65 anos
de idade, uma aposentadoria vitalícia no valor de $ 10.000. Qual o valor do prêmio único
e puro que Ricardo deverá pagar hoje para ter direito à referida cobertura? Dados: l30 =
98.707,76956; l29 = 98.801,3311; C29 = 24,98093263; N65 - N70 = 19.304,804; N70 =
28.143,143.
Resposta: $ 18.003,41
24. Everaldo tem 25 anos de idade e deseja deixar para a sua família, quando falecer, uma
certa importância em dinheiro. Ele possui $ 1.000,00 para utilizar na compra de um
seguro imediato vitalício contra morte. Qual será o valor da Capital Segurado que uma
determinada Cia Seguradora poderá oferecer a Everaldo para a efetivação do referido
seguro. Dados: M27 = 11.328,679; l24 = 99.207,876; l25 = 99.093,126; q25 = 0,000619; l27 =
98.967,417; D26 = 31.531,96718.
Resposta: $ 2.900,41
25. Eduardo tem 30 anos de idade e pretende se aposentar quando completar 65 anos.
Hoje ele possui $ 10.841,83 e pretende utilizar todo este montante, como prêmio único e
puro, para comprar a referida aposentadoria. Sabe-se que o benefício desejado por
Eduardo é uma renda (aposentadoria) anual, a ser recebida no final de cada ano,
vitaliciamente, após o mesmo atingir com vida 65 anos de idade. Com base nos dados
abaixo calcule o valor da aposentadoria / renda que Eduardo terá direito: a65 = 8,337; l31
= 94.601,627; L30 = 94.702,5925; C30 = 44,497536; l66 = 65.846,126; d65 = 2.159,168; m30
= 0,002132275.
Resposta: $ 10.000,00
26. Maria tem 40 anos e pretende comprar hoje um plano de aposentadoria. Ela gostaria de
receber uma renda anual, ao final de cada ano, a partir dos seus 65 anos de idade. A
aposentadoria, depois de iniciada, seria recebida anualmente e sucessivamente
enquanto Maria estivesse viva (vitalícia). Sabe-se que Maria dispõe, no dia de hoje, de $
100.000,00 para comprar a referida aposentadoria. Calcule o valor da aposentadoria que
uma Entidade de Previdência poderá oferecer para Maria. Dados: l39 = 977.807,003; l65 =
773.626,387; q39 = 0,001872; N65 = 44.656,79; i = 8% a.a.;
Resposta: $ 113.858,46
27. Marcelo possui 30 anos de idade. Ele contratou hoje um “Seguro Contra Morte
Imediato Vitalício”, com um Capital Segurado de $ 10.000,00. O prêmio único e puro
cobrado pela Seguradora foi de $ 1.925,07. Com base nas funções biométricas e de
comutação que seguem, indique qual foi a taxa real de juros (i) utilizada pela Seguradora
para calcular o valor do prêmio único e puro do seguro. Dados: M30 = 5.825,752 ; l31 =
98.045,717 ; d30 = 109,05 ; d31 = 111,87
Resposta: 4%

85. 85
28. Uma pessoa com 30 anos deseja contratar um seguro, a prêmio único e puro, que lhe
garanta uma cobertura de $ 100.000,00 caso chegue com vida aos 60 anos. Qual o
prêmio único e puro que a Cia. Seguradora deverá cobrar para celebrar a referida
operação? Dados: i = 5% a.a. e lx = 20.000 - 2X2
.
Resposta: $ 16.272,70
29. Uma pessoa com 40 anos deseja contratar um seguro temporário contra morte pelo
período de 1 ano. O Capital Segurado desejado é de $ 200.000,00. Qual o valor do
prêmio único e puro? Dados: l40 = 96.784,33 ; l41 = 96.332,49 ; D40 = 20.159,12.
Resposta: $ 897,79
30. Calcule a “Taxa de Mortalidade” para a idade x=50. Dados: M51 = 27.008,6015 ; C50 =
480,92778 ; A50 = 0,33705737 ; i = 5%
Resposta: 0,00619
31. Aos 65 anos de idade Nelson comprou, à vista, uma aposentadoria de $ 12.000,00, a
ser recebida por imediatamente e no início de cada ano, enquanto vivo estiver. A
Entidade gestora cobrou de Nelson o prêmio único e puro de $ 123.510,32. Qual foi a
taxa anual de juros empregada pela Entidade gestora no cálculo atuarial que ensejou no
prêmio único e puro cobrado de Nelson? Dados: N65 = 748.069,613 ; l63 = 719.509,712
; q63 = 0,02657 ; d64 = 20.339,39 ; d65 = 21.591,68
Resposta: 3,5%
32. Carlos Eduardo tem 25 anos de idade e deseja se aposentar quando chegar aos 65
anos. Sabe-se que Carlos Eduardo possui $200.000 e deseja comprar, com a totalidade
deste recurso, uma aposentadoria anual a ser recebida vitalíciamente a partir dos seus
65 anos (com recebimentos no início de cada ano). Calcule o valor da aposentadoria
anual de Carlos Eduardo utilizando as seguintes informações: 40p25 = 0,75853 ; N65 =
551.342,508; D65 = 57.269,275 ; i = 4% a.a.
Resposta: $131.489,48
33. Determinar o valor do prêmio único e puro a ser pago por uma pessoa com 53 anos de
idade, para a contratação da seguinte modalidade de seguro contra morte: Cobertura
imediata e pelo prazo (vigência) de 15 anos; Capital Segurado (C.S.): $ 500.000 ;
Carências: 1o ano = sem cobertura ; 2o ano = 50 % de cobertura do C.S. ; 3o ano =
80% de cobertura do C.S. ; 4º ano em diante (até o final do prazo de vigência) = 100%
do C.S. ; Informações para a resolução da questão: D53 = 4.247,29 ; C53 = 28,557 ;
C54 = 29,297 ; C55 = 29,928 ; C56 = 30,475 ; C57 = 30,832 ; M57 = 1.084,409 ; M68
= 706,725
Resposta: $52.592,35
34. Assinale Falso ou Verdadeiro:
a) Ax = NX /Dx .................................................................................................. ( )
b) lx < lx+n ................................................................................................................... ( )
c) äx+3 > ax+3 .............................................................................................................. ( )

86. 86
d) äx < n/ äx , sendo {w-x > n > 0} ............................................................ ( )
e) Ax > n/ Ax , sendo { w-x > n > 0} .......................................................... ( )
f) nEx+1 = ( lx+n+1 / lx+1) * vx+n+1
....................................................................... ( )
g) Nx – Nx+n = Cx + Cx+1 + ... + Cx+n .................................................................. ( )
h) d = ( 1 – i ) ........……………………….……..……….....……………………............. ( )
35. Calcule a “Taxa Central de Mortalidade” para a idade x=21. Dados: T20 = 105.340.300 ;
T22 = 98.322.400 ; L20 = 3.810.300 ; d21 = 6.525 ;
Resposta: 0,002034
36. Responda com base no Diagrama de LEXIS:
a) Qual o número de crianças, das nascidas ao longo de 1970, que morrem no ano de 1974
com 4 anos completos de idade?
Resposta: 12
b) Com referência a população nascida em 1968, indique os valores de l4 e d3.
Resposta: 26.435 e 68
c) Com referência a população nascida em 1969, calcule a probabilidade de uma criança
com 1 ano atingir com vida a idade de 4 anos.
Resposta: 0,98267
d) Com referência a população nascida em 1970, calcule a probabilidade de uma criança
com 1 ano falecer dentro dos próximos 3 anos.
Resposta: 0,01507
e) Com referência a população nascida em 1969, calcule a probabilidade de uma criança
com 1 ano atingir com vida a idade de 4 anos e falecer nesta mesma idade.
Resposta: 0,001017

87. 87
f) Calcular a Taxa Central de Mortalidade para idade x=3 utilizando a população nascida
em 1968.
Resposta: 0,00257
g) Calcular a probabilidade de uma criança nascida em 1968 vir a falecer entre as idades
de 3 e 4 anos.
Resposta: 0,00236

88. 88
TÁBUA DE SERVIÇO CSO – 58 A 6% a.a.
Idade qx lx dx
o
xe Dx Nx Cx Mx
0 0,007080 1.000.000,000 7.080,000 68,30 1.000.000,000 16.855.391,137 6.679,245 45.921,256
1 0,001760 992.920,000 1.747,539 67,78 936.716,981 15.855.391,137 1.555,304 39.242,011
2 0,001520 991.172,461 1.506,582 66,90 882.139,962 14.918.674,156 1.264,955 37.686,707
3 0,001460 989.665,879 1.444,912 66,00 830.942,555 14.036.534,194 1.144,506 36.421,752
4 0,001400 988.220,966 1.383,509 65,10 782.763,565 13.205.591,639 1.033,839 35.277,246
5 0,001350 986.837,457 1.332,231 64,19 737.422,355 12.422.828,074 939,170 34.243,408
6 0,001300 985.505,227 1.281,157 63,27 694.742,297 11.685.405,718 852,042 33.304,238
7 0,001260 984.224,070 1.240,122 62,35 654.565,219 10.990.663,421 778,068 32.452,195
8 0,001230 982.983,947 1.209,070 61,43 616.736,289 10.336.098,202 715,647 31.674,127
9 0,001210 981.774,877 1.187,948 60,51 581.111,041 9.719.361,913 663,344 30.958,480
10 0,001210 980.586,930 1.186,510 59,58 547.554,620 9.138.250,872 625,039 30.295,136
11 0,001230 979.400,419 1.204,663 58,65 515.935,923 8.590.696,252 598,680 29.670,098
12 0,001260 978.195,757 1.232,527 57,72 486.133,323 8.074.760,328 577,857 29.071,417
13 0,001320 976.963,230 1.289,591 56,80 458.038,486 7.588.627,006 570,388 28.493,561
14 0,001390 975.673,639 1.356,186 55,87 431.541,391 7.130.588,520 565,889 27.923,173
15 0,001460 974.317,452 1.422,503 54,95 406.548,631 6.699.047,129 559,963 27.357,284
16 0,001540 972.894,949 1.498,258 54,03 382.976,481 6.292.498,498 556,400 26.797,321
17 0,001620 971.396,691 1.573,663 53,11 360.742,167 5.909.522,017 551,323 26.240,921
18 0,001690 969.823,028 1.639,001 52,19 339.771,476 5.548.779,849 541,711 25.689,598
19 0,001740 968.184,027 1.684,640 51,28 319.997,418 5.209.008,373 525,279 25.147,887
20 0,001790 966.499,387 1.730,034 50,37 301.359,077 4.889.010,956 508,899 24.622,608
21 0,001830 964.769,353 1.765,528 49,46 283.792,118 4.587.651,878 489,943 24.113,709
22 0,001860 963.003,825 1.791,187 48,55 267.238,470 4.303.859,761 468,928 23.623,766
23 0,001890 961.212,638 1.816,692 47,64 251.642,836 4.036.621,291 448,684 23.154,839
24 0,001910 959.395,946 1.832,446 46,73 236.950,218 3.784.978,455 426,957 22.706,155
25 0,001930 957.563,500 1.848,098 45,82 223.110,984 3.548.028,237 406,230 22.279,197
26 0,001960 955.715,402 1.873,202 44,90 210.075,830 3.324.917,253 388,442 21.872,967
27 0,001990 953.842,200 1.898,146 43,99 197.796,303 3.114.841,422 371,335 21.484,525
28 0,002030 951.944,054 1.932,446 43,08 186.228,952 2.917.045,119 356,646 21.113,190
29 0,002080 950.011,608 1.976,024 42,16 175.331,044 2.730.816,168 344,046 20.756,544
30 0,002130 948.035,584 2.019,316 41,25 165.062,600 2.555.485,124 331,682 20.412,498
31 0,002190 946.016,268 2.071,776 40,34 155.387,751 2.390.422,524 321,037 20.080,816
32 0,002250 943.944,492 2.123,875 39,43 146.271,181 2.235.034,773 310,481 19.759,779
33 0,002320 941.820,617 2.185,024 38,51 137.681,199 2.088.763,592 301,340 19.449,298
34 0,002400 939.635,593 2.255,125 37,60 129.586,584 1.951.082,393 293,404 19.147,958
35 0,002510 937.380,468 2.352,825 36,69 121.958,090 1.821.495,809 288,788 18.854,554
36 0,002640 935.027,643 2.468,473 35,78 114.766,015 1.699.537,719 285,832 18.565,766
37 0,002800 932.559,170 2.611,166 34,88 107.983,993 1.584.771,704 285,241 18.279,934
38 0,003010 929.948,004 2.799,143 33,97 101.586,451 1.476.787,711 288,467 17.994,693

89. 89
Idade qx lx dx o
xe Dx Nx Cx Mx
39 0,003250 927.148,861 3.013,234 33,07 95.547,807 1.375.201,261 292,953 17.706,226
40 0,003530 924.135,627 3.262,199 32,18 89.846,487 1.279.653,454 299,206 17.413,273
41 0,003840 920.873,428 3.536,154 31,29 84.461,631 1.189.806,966 305,974 17.114,067
42 0,004170 917.337,274 3.825,296 30,41 79.374,810 1.105.345,335 312,258 16.808,093
43 0,004530 913.511,978 4.138,209 29,54 74.569,639 1.025.970,525 318,680 16.495,836
44 0,004920 909.373,768 4.474,119 28,67 70.030,036 951.400,886 325,045 16.177,156
45 0,005350 904.899,650 4.841,213 27,81 65.741,027 881.370,850 331,806 15.852,111
46 0,005830 900.058,436 5.247,341 26,95 61.688,030 815.629,823 339,284 15.520,305
47 0,006360 894.811,096 5.690,999 26,11 57.856,971 753.941,792 347,142 15.181,021
48 0,006950 889.120,097 6.179,385 25,27 54.234,906 696.084,821 355,597 14.833,879
49 0,007600 882.940,712 6.710,349 24,45 50.809,409 641.849,915 364,294 14.478,282
50 0,008320 876.230,363 7.290,237 23,63 47.569,111 591.040,506 373,373 14.113,988
51 0,009110 868.940,126 7.916,045 22,82 44.503,147 543.471,395 382,475 13.740,615
52 0,009960 861.024,082 8.575,800 22,03 41.601,626 498.968,248 390,898 13.358,140
53 0,010890 852.448,282 9.283,162 21,25 38.855,919 457.366,622 399,190 12.967,242
54 0,011900 843.165,120 10.033,665 20,47 36.257,337 418.510,703 407,040 12.568,052
55 0,013000 833.131,455 10.830,709 19,71 33.797,995 382.253,366 414,504 12.161,012
56 0,014210 822.300,746 11.684,894 18,97 31.470,398 348.455,370 421,881 11.746,509
57 0,015540 810.615,853 12.596,970 18,23 29.267,173 316.984,973 429,068 11.324,627
58 0,017000 798.018,882 13.566,321 17,51 27.181,473 287.717,800 435,929 10.895,559
59 0,018590 784.452,561 14.582,973 16,81 25.206,969 260.536,327 442,073 10.459,630
60 0,020340 769.869,588 15.659,147 16,12 23.338,087 235.329,358 447,827 10.017,557
61 0,022240 754.210,441 16.773,640 15,44 21.569,236 211.991,271 452,547 9.569,730
62 0,024310 737.436,801 17.927,089 14,78 19.895,789 190.422,035 456,289 9.117,183
63 0,026570 719.509,712 19.117,373 14,14 18.313,323 170.526,247 459,042 8.660,894
64 0,029040 700.392,339 20.339,394 13,51 16.817,677 152.212,924 460,741 8.201,851
65 0,031750 680.052,945 21.591,681 12,90 15.404,992 135.395,247 461,423 7.741,110
66 0,034740 658.461,264 22.874,944 12,31 14.071,588 119.990,255 461,176 7.279,687
67 0,038040 635.586,320 24.177,704 11,73 12.813,907 105.918,666 459,850 6.818,511
68 0,041680 611.408,617 25.483,511 11,17 11.628,742 93.104,759 457,251 6.358,661
69 0,045610 585.925,105 26.724,044 10,64 10.513,260 81.476,018 452,368 5.901,410
70 0,049790 559.201,061 27.842,621 10,12 9.465,802 70.962,758 444,625 5.449,042
71 0,054150 531.358,440 28.773,060 9,63 8.485,377 61.496,956 433,475 5.004,417
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74 0,068120 443.179,889 30.189,414 8,24 5.942,183 38.715,901 381,869 3.750,717
75 0,073370 412.990,475 30.301,111 7,81 5.223,964 32.773,718 361,587 3.368,847
76 0,079180 382.689,364 30.301,344 7,39 4.566,681 27.549,755 341,122 3.007,260
77 0,085700 352.388,020 30.199,653 6,98 3.967,067 22.983,074 320,734 2.666,138
78 0,093060 322.188,367 29.982,849 6,59 3.421,782 19.016,007 300,407 2.345,404
79 0,101190 292.205,517 29.568,276 6,21 2.927,690 15.594,225 279,484 2.044,998

90. 90
Idade qx lx dx o
xe Dx Nx Cx Mx
80 0,109980 262.637,241 28.884,844 5,85 2.482,488 12.666,535 257,570 1.765,514
81 0,119350 233.752,397 27.898,349 5,51 2.084,400 10.184,048 234,692 1.507,944
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83 0,139380 179.263,881 24.985,800 4,89 1.422,676 6.367,925 187,068 1.062,227
84 0,150010 154.278,081 23.143,255 4,60 1.155,079 4.945,249 163,465 875,159
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90 0,228140 46.817,420 10.680,926 3,06 247,104 786,623 53,183 202,578
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96 0,400560 6.303,685 2.525,004 1,51 23,455 45,124 8,863 20,901
97 0,488420 3.778,681 1.845,583 1,18 13,264 21,669 6,112 12,037
98 0,668150 1.933,098 1.291,599 0,83 6,401 8,406 4,035 5,926
99 1,000000 641,498 641,498 0,50 2,004 2,004 1,891 1,891

91. 91
TÁBUA DE SERVIÇO GKM – 95 A 6% a.a.
Idade qx lx dx
o
xe Dx Nx Cx Mx
15 0,001579 1.000.000,00 1.579,00 60,24 417.265,06074 6.991.682,48935 621,56748 21.509,44813
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18 0,001595 995.232,60 1.587,40 57,52 348.673,56075 5.811.206,06917 524,65503 19.737,36816
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22 0,001464 989.043,79 1.447,96 53,87 274.464,69376 4.533.413,52657 379,07199 17.856,38094
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27 0,001314 982.173,28 1.290,58 49,23 203.671,26121 3.311.189,72721 252,47551 16.245,42759
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31 0,001310 977.063,21 1.279,95 45,48 160.487,36182 2.564.497,38543 198,33815 15.327,13246
32 0,001330 975.783,26 1.297,79 44,54 151.204,83337 2.404.010,02360 189,71927 15.128,79430
33 0,001359 974.485,47 1.324,33 43,59 142.456,34995 2.252.805,19023 182,63979 14.939,07503
34 0,001397 973.161,14 1.359,51 42,65 134.210,14318 2.110.348,84028 176,87884 14.756,43524
35 0,001445 971.801,63 1.404,25 41,71 126.436,46378 1.976.138,69710 172,35914 14.579,55640
36 0,001505 970.397,38 1.460,45 40,77 119.107,32367 1.849.702,23332 169,10993 14.407,19726
37 0,001575 968.936,93 1.526,08 39,83 112.196,28976 1.730.594,90965 166,70675 14.238,08733
38 0,001659 967.410,86 1.604,93 38,89 105.678,84963 1.618.398,61988 165,39737 14.071,38058
39 0,001757 965.805,92 1.696,92 37,96 99.531,63058 1.512.719,77025 164,97837 13.905,98321
40 0,001869 964.109,00 1.801,92 37,02 93.732,78633 1.413.188,13967 165,27036 13.741,00484
41 0,001998 962.307,08 1.922,69 36,09 88.261,88656 1.319.455,35334 166,36533 13.575,73448
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43 0,002310 958.324,37 2.213,73 34,24 78.227,65737 1.148.093,90140 170,47725 13.241,21013
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49 0,003906 941.907,35 3.679,09 28,78 54.202,68325 742.783,44717 199,73177 12.158,33719
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51 0,004761 934.185,43 4.447,66 27,01 47.844,71386 637.645,88885 214,89498 11.751,55034
52 0,005266 929.737,77 4.896,00 26,13 44.921,62752 589.801,17499 223,16726 11.536,65536
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92. 92
Idade qx lx dx o
xe Dx Nx Cx Mx
54 0,006447 919.452,72 5.927,71 24,42 39.537,81624 502.723,82083 240,47198 11.081,75091
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60 0,011552 874.215,77 10.098,94 19,51 26.501,27217 300.150,15811 288,81386 9.511,64058
61 0,012657 864.116,83 10.937,13 18,73 24.712,38629 273.648,88595 295,07988 9.222,82671
62 0,013842 853.179,71 11.809,71 17,97 23.018,49209 248.936,49965 300,58676 8.927,74683
63 0,015108 841.369,99 12.711,42 17,21 21.414,97182 225.918,00756 305,22396 8.627,16007
64 0,016460 828.658,57 13.639,72 16,47 19.897,57965 204.503,03574 308,97562 8.321,93611
65 0,018071 815.018,85 14.728,21 15,73 18.462,32593 184.605,45609 314,74782 8.012,96049
66 0,020031 800.290,65 16.030,62 15,02 17.102,54079 166.143,13017 323,18962 7.698,21267
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71 0,035081 703.832,20 24.691,14 11,71 11.239,64773 92.932,75386 371,97932 5.979,30317
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87 0,142000 191.061,67 27.130,76 5,00 1.201,05607 5.433,72546 160,89619 893,48671
88 0,151656 163.930,91 24.861,11 4,75 972,17558 4.232,66939 139,09081 732,59052
89 0,161661 139.069,80 22.482,16 4,51 778,05596 3.260,49381 118,66161 593,49970
90 0,172016 116.587,64 20.054,94 4,28 615,35345 2.482,43786 99,85909 474,83810
91 0,182721 96.532,70 17.638,55 4,07 480,66303 1.867,08441 82,85588 374,97900
92 0,193775 78.894,15 15.287,71 3,87 370,59981 1.386,42138 67,74809 292,12313
93 0,205180 63.606,44 13.050,77 3,67 281,87437 1.015,82157 54,56130 224,37504

93. 93
Idade qx lx dx
o
xe Dx Nx Cx Mx
94 0,216934 50.555,67 10.967,24 3,49 211,35791 733,94720 43,25539 169,81373
95 0,229038 39.588,42 9.067,25 3,32 156,13886 522,58929 33,73748 126,55834
96 0,241491 30.521,17 7.370,59 3,16 113,56333 366,45043 25,87219 92,82085
97 0,254295 23.150,58 5.887,08 3,01 81,26303 252,88710 19,49508 66,94866
98 0,267448 17.263,51 4.617,09 2,86 57,16816 171,62407 14,42406 47,45359
99 0,280951 12.646,42 3.553,02 2,73 39,50816 114,45592 10,47156 33,02952
100 0,294803 9.093,39 2.680,76 2,60 26,80028 74,94776 7,45359 22,55796
101 0,309006 6.412,63 1.981,54 2,48 17,82970 48,14748 5,19763 15,10437
102 0,323558 4.431,09 1.433,71 2,36 11,62284 30,31778 3,54780 9,90674
103 0,338460 2.997,38 1.014,49 2,25 7,41715 18,69493 2,36831 6,35895
104 0,353712 1.982,88 701,37 2,15 4,62900 11,27778 1,54465 3,99064
105 0,369313 1.281,51 473,28 2,05 2,82233 6,64878 0,98332 2,44598
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108 0,418216 297,33 124,35 1,78 0,54981 1,17334 0,21692 0,48339
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115 0,544565 3,39 1,85 1,27 0,00417 0,00710 0,00214 0,00377
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119 1,000000 0,11 0,11 0,50 0,00011 0,00011 0,00010 0,00010

94. 94
TÁBUA DE MORTALIDADE / COMUTAÇÃO / AT-2000 MALE
TÁBUA DE MORTALIDADE AT-2000-MALE
TÁBUA DE COMUTAÇÃO AT-2000-MALE,
a 6% a.a.
TÁBUA DE COMUTAÇÃO AT-2000-MALE,
a 5% a.a.
TÁBUA DE COMUTAÇÃO AT-2000-MALE,
a 0% a.a.x
lx dx qx px ex
O
Dx Nx Mx Dx Nx Mx Dx Nx Mx
x
0 1.000.000,000 2.311,000 0,00231 0,99769 80,07 1.000.000,000 17.305.955,664 20.417,604 1.000.000,000 20.317.674,536 32.491,689 1.000.000,000 80.569.109,113 1.000.000,000 0
1 997.689,000 903,906 0,00091 0,99909 79,25 941.216,038 16.305.955,664 18.237,415 950.180,000 19.317.674,536 30.290,736 997.689,000 79.569.109,113 997.689,000 1
2 996.785,094 502,380 0,00050 0,99950 78,32 887.135,185 15.364.739,626 17.432,942 904.113,464 18.367.494,536 29.470,867 996.785,094 78.571.420,113 996.785,094 2
3 996.282,714 406,483 0,00041 0,99959 77,36 836.498,178 14.477.604,441 17.011,134 860.626,467 17.463.381,072 29.036,892 996.282,714 77.574.635,019 996.282,714 3
4 995.876,231 355,528 0,00036 0,99964 76,40 788.827,252 13.641.106,263 16.689,161 819.309,840 16.602.754,605 28.702,477 995.876,231 76.578.352,305 995.876,231 4
5 995.520,703 322,549 0,00032 0,99968 75,42 743.910,982 12.852.279,011 16.423,490 780.016,520 15.783.444,765 28.423,912 995.520,703 75.582.476,075 995.520,703 5
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7 994.898,600 284,541 0,00029 0,99971 73,47 661.664,391 11.406.792,601 15.996,885 707.055,860 14.260.796,060 27.970,333 994.898,600 73.591.757,217 994.898,600 7
8 994.614,059 326,233 0,00033 0,99967 72,49 624.033,165 10.745.128,210 15.818,361 673.193,945 13.553.740,200 27.777,745 994.614,059 72.596.858,618 994.614,059 8
9 994.287,825 359,932 0,00036 0,99964 71,51 588.517,436 10.121.095,045 15.625,264 640.926,797 12.880.546,255 27.567,452 994.287,825 71.602.244,559 994.287,825 9
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16 991.338,542 476,834 0,00048 0,99952 64,72 390.236,733 6.642.493,696 14.246,524 454.143,608 8.990.835,315 26.008,593 991.338,542 64.650.592,926 991.338,542 16
17 990.861,708 490,477 0,00050 0,99951 63,75 367.970,782 6.252.256,963 14.069,445 432.309,681 8.536.691,707 25.800,552 990.861,708 63.659.254,384 990.861,708 17
18 990.371,232 505,089 0,00051 0,99949 62,78 346.970,412 5.884.286,181 13.897,609 411.519,703 8.104.382,026 25.596,749 990.371,232 62.668.392,676 990.371,232 18
19 989.866,142 522,649 0,00053 0,99947 61,81 327.163,639 5.537.315,769 13.730,671 391.723,645 7.692.862,323 25.396,868 989.866,142 61.678.021,444 989.866,142 19
20 989.343,493 543,150 0,00055 0,99945 60,84 308.481,978 5.210.152,131 13.567,706 372.873,157 7.301.138,678 25.199,887 989.343,493 60.688.155,302 989.343,493 20
21 988.800,343 566,583 0,00057 0,99943 59,88 290.860,963 4.901.670,153 13.407,936 354.922,333 6.928.265,520 25.004,928 988.800,343 59.698.811,809 988.800,343 21
22 988.233,761 591,952 0,00060 0,99940 58,91 274.239,906 4.610.809,190 13.250,706 337.827,584 6.573.343,187 24.811,241 988.233,761 58.710.011,465 988.233,761 22
23 987.641,809 619,251 0,00063 0,99937 57,94 258.561,921 4.336.569,284 13.095,735 321.547,833 6.235.515,603 24.618,519 987.641,809 57.721.777,705 987.641,809 23
24 987.022,557 648,474 0,00066 0,99934 56,98 243.773,398 4.078.007,364 12.942,793 306.044,022 5.913.967,770 24.426,509 987.022,557 56.734.135,896 987.022,557 24
25 986.374,084 676,653 0,00069 0,99931 56,02 229.823,811 3.834.233,965 12.791,699 291.279,001 5.607.923,748 24.235,013 986.374,084 55.747.113,339 986.374,084 25
26 985.697,431 703,788 0,00071 0,99929 55,06 216.666,181 3.604.410,155 12.642,964 277.218,270 5.316.644,747 24.044,711 985.697,431 54.760.739,255 985.697,431 26
27 984.993,643 726,925 0,00074 0,99926 54,09 204.256,114 3.387.743,974 12.497,021 263.828,891 5.039.426,477 23.856,202 984.993,643 53.775.041,824 984.993,643 27
28 984.266,718 746,074 0,00076 0,99924 53,13 192.552,239 3.183.487,860 12.354,813 251.080,177 4.775.597,586 23.670,768 984.266,718 52.790.048,181 984.266,718 28
29 983.520,644 761,245 0,00077 0,99923 52,17 181.515,362 2.990.935,621 12.217,120 238.942,722 4.524.517,409 23.489,512 983.520,643 51.805.781,463 983.520,643 29
30 982.759,399 770,483 0,00078 0,99922 51,21 171.108,368 2.809.420,258 12.084,579 227.388,362 4.285.574,687 23.313,377 982.759,399 50.822.260,820 982.759,399 30

95. 95
TÁBUA DE MORTALIDADE AT-2000-MALE
TÁBUA DE COMUTAÇÃO AT-2000-MALE,
a 6% a.a.
TÁBUA DE COMUTAÇÃO AT-2000-MALE,
a 5% a.a.
TÁBUA DE COMUTAÇÃO AT-2000-MALE,
a 0% a.a.x
lx dx qx px ex
O
Dx Nx Mx Dx Nx Mx Dx Nx Mx
x
31 981.988,915 774,789 0,00079 0,99921 50,25 161.296,433 2.638.311,891 11.958,024 216.390,562 4.058.186,325 23.143,594 981.988,915 49.839.501,421 981.988,915 31
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33 980.439,948 774,548 0,00079 0,99921 48,33 143.326,813 2.324.969,072 11.724,790 195.963,022 3.635.872,116 22.826,255 980.439,948 47.876.298,380 980.439,948 33
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36 978.115,204 776,624 0,00079 0,99921 45,44 120.054,615 1.919.176,343 11.421,992 168.878,842 3.075.961,747 22.404,473 978.115,204 44.937.302,547 978.115,204 36
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96. 96
TÁBUA DE MORTALIDADE AT-2000-MALE
TÁBUA DE COMUTAÇÃO AT-2000-MALE,
a 6% a.a.
TÁBUA DE COMUTAÇÃO AT-2000-MALE,
a 5% a.a.
TÁBUA DE COMUTAÇÃO AT-2000-MALE,
a 0% a.a.x
lx dx qx px ex
O
Dx Nx Mx Dx Nx Mx Dx Nx Mx
x
64 881.044,534 8.782,252 0,00997 0,99003 20,35 21.155,461 245.223,025 7.274,912 38.804,556 488.036,673 15.564,715 881.044,534 18.366.107,305 881.044,534 64
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66 862.673,503 10.514,265 0,01219 0,98781 18,76 18.435,688 204.308,524 6.871,055 34.462,971 412.643,782 14.813,268 862.673,502 16.612.800,490 862.673,502 66
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97. 97
TÁBUA DE MORTALIDADE AT-2000-MALE
TÁBUA DE COMUTAÇÃO AT-2000-MALE,
a 6% a.a.
TÁBUA DE COMUTAÇÃO AT-2000-MALE,
a 5% a.a.
TÁBUA DE COMUTAÇÃO AT-2000-MALE,
a 0% a.a.x
lx dx qx px ex
O
Dx Nx Mx Dx Nx Mx Dx Nx Mx
x
97 77.311,173 15.866,495 0,20523 0,79477 3,52 271,377 953,542 217,403 680,582 2.441,534 564,318 77.311,173 311.077,437 77.311,173 97
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