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7 Trabalho e Energia Cin´etica
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(A resposta na traduc¸˜ao do livro est´a incorreta...
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Cap07

  1. 1. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 21 de Novembro de 2013, `as 22:55 Exerc´ıcios Resolvidos de F´ısica B´asica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal da Para´ıba (Jo˜ao Pessoa, Brasil) Departamento de F´ısica Baseados na SEXTA edic¸˜ao do “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Contents 7 Trabalho e Energia Cin´etica 2 7.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7.2.1 Trabalho: movimento 1D com forc¸a constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7.2.2 Trabalho executado por forc¸a vari´avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7.2.3 Trabalho realizado por uma mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7.2.4 Energia Cin´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7.2.5 Potˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7.2.6 Energia Cin´etica a Velocidades Elevadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jasongallas @ yahoo.com (sem “br” no final...) (listaq3.tex) http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas P´agina 1 de 7
  2. 2. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 21 de Novembro de 2013, `as 22:55 7 Trabalho e Energia Cin´etica 7.1 Quest˜oes Q 7-13 As molas A e B s˜ao idˆenticas, exceto pelo fato de que A ´e mais r´ıgida do que B, isto ´e kA > kB. Qual das duas molas realiza um trabalho maior (a) quando elas sofrem o mesmo deslocamento e (b) quando elas s˜ao distendi- das por forc¸as iguais. (a) Temos WA = kAx2 /2 e WB = kBx2 /2, onde x representa o deslocamento comum a ambas molas. Por- tanto, WA WB = kA kB > 1, ou seja, WA > WB. (b) Agora temos WA = kAx2 A/2 e WB = kBx2 B/2, onde xA e xB representam os delocamentos provocados pela forc¸a idˆentica que atua sobre ambas as molas e que implica ter-se, em magnitude, F = kAxA = kBxB, donte tiramos xB = kAxA/kB. Portanto WA WB = kAx2 A kB(kAxA/kB)2 = kB kA < 1, ou seja, WA < WB. 7.2 Problemas e Exerc´ıcios 7.2.1 Trabalho: movimento 1D com forc¸a con- stante E 7-2 (7-7/6a edic¸˜ao) Para empurrar um caixote de 50 kg num piso sem atrito, um oper´ario aplica uma forc¸a de 210 N, dirigida 20o acima da horizontal. Se o caixote se desloca de 3 m, qual o trabalho executado sobre o caixote (a) pelo oper´ario, (b) pelo peso do caixote e (c) pela forc¸a normal exer- cida pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o trabalho total executado sobre o caixote? (a) A forc¸a aplicada ´e constante e o trabalho feito por ela ´e WF = F · d = Fd cos φ, onde F ´e a forc¸a, d ´e o deslocamento do caixote, e φ ´e o ˆangulo entre a forc¸a F e o deslocamento d. Portanto, WF = (210)(3) cos 20o = 590 J. (b) A forc¸a da gravidade aponta para baixo, perpendic- ular ao deslocamento do caixote. O ˆangulo entre esta forc¸a e o deslocamento ´e 90o e, como cos 90o = 0, o trabalho feito pela forc¸a gravitacional ´e ZERO. (c) A forc¸a normal exercida pelo piso tamb´em atua per- pendicularmente ao deslocamento, de modo que o tra- balho por ela realizado tamb´em ´e ZERO. (d) As trˆes forc¸as acima mencionadas s˜ao as ´unicas que atuam no caixote. Portanto o trabalho total ´e dado pela soma dos trabalhos individuais realizados por cada uma das trˆes forc¸as, ou seja, o trabalho total ´e 590 J. P 7-9 (???/6a ) A Fig. 7-27 mostra um conjunto de polias usado para facilitar o levantamento de um peso L. Suponha que o atrito seja desprez´ıvel e que as duas polias de baixo, `as quais est´a presa a carga, pesem juntas 20 N. Uma carga de 840 N deve ser levantada 12 m. (a) Qual a forc¸a m´ınima F necess´aria para levantar a carga? (b) Qual o trabalho executado para levantar a carga de 12 m? (c) Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? (d) Qual o trabalho executado pela forc¸a F para realizar esta tarefa? (a) Supondo que o peso da corda ´e desprez´ıvel (isto ´e, que a massa da corda seja nula), a tens˜ao nela ´e a mesma ao longo de todo seu comprimento. Considerando as duas polias m´oveis (as duas que est˜ao ligadas ao peso L) vemos que tais polias puxam o peso para cima com uma forc¸a F aplicada em quatro pontos, de modo que a forc¸a total para cima aplicada nas polias m´oveis ´e 4F. Se F for a forc¸a m´ınima para levantar a carga (com ve- locidade constante, i.e. sem acelera-la), ent˜ao a segunda lei de Newton nos diz que devemos ter 4F − Mg = 0, onde Mg representa o peso total da carga mais polias m´oveis, ou seja, Mg = (840 + 20) N. Assim, encon- tramos que F = 860 4 = 215 N. (b) O trabalho feito pela corda ´e W = 4Fd = Mgd, onde d ´e a distˆancia de levantamento da carga. Portanto, o trabalho feito pela corda ´e W = (860)(12) = 10320 J. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas P´agina 2 de 7
  3. 3. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 21 de Novembro de 2013, `as 22:55 (A resposta na traduc¸˜ao do livro est´a incorreta.) (c) A cada metro que a carga sobe, cada segmento da corda entre o conjunto superior e inferior de polias diminui de um metro. Ou seja, a extremidade livre da corda abaixo de 4 metros. Portanto, no total a extremi- dade livre da corda move-se (4)(12) = 48 m para baixo. (d) O trabalho feito pela pessoa que puxa a corda pela extremidade livre ´e W = Fd = Mgd/4, onde d ´e a distˆancia que a extremidade livre se move. Portanto, W = (860) 48 4 = 10320 J. Observe que os valores encontrados nos itens (b) e (d) devem coincidir, o que n˜ao ocorre com as respostas fornecidas no livro. P 7-12 (???/6a ) Um bloco de 3.75 kg ´e puxado com velocidade con- stante por uma distˆancia de 4.06 m em um piso hori- zontal por uma corda que exerce uma forc¸a de 7.68 N fazendo um ˆangulo de 15o acima da horizontal. Calcule (a) o trabalho executado pela corda sobre o bloco e (b) o coeficiente de atrito dinˆamico entre o bloco e o piso. (a) A forc¸a na corda ´e constante, de modo que o tra- balho ´e dado por W = F · d = Fd cos φ, onde F ´e a forc¸a exercida pela corda, d ´e a distˆancia do desloca- mento, e φ ´e o ˆangulo entre a forc¸a e o deslocamento. Portanto W = (7.68)(4.06) cos 15o = 30.1 J. (b) A resposta pode ser obtida facilmente fazendo-se um diagrama de corpo livre onde constem todas as (quatro) forc¸as aplicadas. Desenhe um ponto P representando o bloco. Em P, de- senhe a forc¸a normal N apontando para cima, a forc¸a peso mg apontando para baixo. Apontando horizontal- mente para a esquerda desenhe a forc¸a f de atrito. De- senhe a forc¸a F que puxa o bloco apontando para a dire- ita e para cima, fazendo um ˆangulo φ com a horizontal, Com isto tudo, a segundo lei de Newton nos diz que para que o bloco se mova sem acelerar devemos ter equil´ıbrio tanto na horizontal quanto na vertical, o que nos fornece as equac¸˜oes, respectivamente, F cos φ − f = 0, N + F sen φ − mg = 0. A magnitude da forc¸a de atrito ´e dada por f = µk N = µk(mg − F sen φ), onde o valor de N foi obtido da segunda equac¸˜ao acima. Substituindo o valor de f na primeira das equac¸˜oes acima e resolvendo-a para µk encontramos sem prob- lemas que µk = F cos φ mg − F sen φ = (7.68) cos 15o (3.57)(9.8) − (7.68) sen 15o = 0.22. 7.2.2 Trabalho executado por forc¸a vari´avel P 7-16 (???/6a ) A forc¸a exercida num objeto ´e F(x) = F0(x/x0 − 1). Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de x = 0 at´e x = 2x0 (a) fazendo um gr´afico de F(x) e determinando a ´area sob a curva e (b) calculando a inte- gral analiticamente. (a) A express˜ao de F(x) diz-nos que a forc¸a varia linearmente com x. Supondo x0 > 0, escolhemos dois pontos convenientes para, atrav´es deles, desenhar uma linha reta. Para x = 0 temos F = −F0 enquanto que para x = 2x0 temos F = F0, ou seja devemos desenhar uma linha reta que passe pelos pontos (0, −F0) e (2x0, F0). Fac¸a a figura! Olhando para a figura vemos que o trabalho total ´e dado pela soma da ´area de dois triˆangulos: um que vai de x = 0 at´e x = x0, o outro indo de x = x0 at´e x = 2x0. Como os dois triˆangulos tem a mesma ´area, sendo uma positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total ´e ZERO. (b) Analiticamente, a integral nos diz que W = 2x0 0 F0 x xo − 1 dx = F0 x2 2x0 − x 2x0 0 = 0. 7.2.3 Trabalho realizado por uma mola E 7-18 (7-21/6a ) Uma mola com uma constante de mola de 15 N/cm est´a presa a uma gaiola, como na Fig. 7-31. (a) Qual o tra- balho executado pela mola sobre a gaiola se a mola ´e distendida de 7.6 mm em relac¸˜ao ao seu estado relax- ado? (b) Qual o trabalho adicional executado pela mola se ela ´e distendida por mais 7.6 mm? http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas P´agina 3 de 7
  4. 4. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 21 de Novembro de 2013, `as 22:55 (a) Quando a gaiola move-se de x = x1 para x = x2 o trabalho feito pela mola ´e dado por W = x2 x1 (−kx) dx = − 1 2 kx2 x2 x1 = − 1 2 k(x2 2 − x2 1), onde k ´e a constante de forc¸a da mola. Substituindo x1 = 0 m e x2 = 7.6 × 10−3 m encontramos W = − 1 2 (1500)(7.6 × 10−3 )2 = −0.043 J. (b) Agora basta substituir-se x1 = 7.6 × 10−3 m e x2 = 15.2 × 10−3 m na express˜ao para o trabalho: W = − 1 2 (1500) (15.2)2 − (7.6)2 × (10−3 )2 = −0.13 J. Perceba que durante o segundo intervalo o trabalho re- alizado ´e mais do que o dobro do trabalho feito no primeiro intervalo. Embora o deslocamento tenha sido idˆentico em ambos intervalos, a forc¸a ´e maior durante o segundo intervalo. 7.2.4 Energia Cin´etica E 7-21 (7-???/6a ) Se um foguete Saturno V com uma espac¸onave Apolo acoplada tem uma massa total de 2.9 × 105 kg e atinge uma velocidade de 11.2 km/s, qual a sua energia cin´etica neste instante? Usando a definic¸˜ao de energia cin´etica temos que K = 1 2 mv2 = 1 2 (2.9 × 105 )(11.2 × 103 )2 = 1.75 × 1013 J. E 7-22 (7-1/6a ) Um el´etron de conduc¸˜ao (massa m = 9.11 × 10−31 kg) do cobre, numa temperatura pr´oxima do zero absoluto, tem uma energia cin´etica de 6.7 × 10−19 J. Qual a ve- locidade do el´etron? A energia cin´etica ´e dada por K = mv2 /2, onde m ´e a massa do el´etron e v a sua velocidade. Portanto v = 2K m = 2(6.7 × 10−19) 9.11 × 10−31 = 1.2 × 106 m/s. E 7-29 (???/6a ) Um carro de 1000 kg est´a viajando a 60 km/h numa estrada plana. Os freios s˜ao aplicados por um tempo suficiente para reduzir a energia cin´etica do carro de 50 kJ. (a) Qual a velocidade final do carro? (b) Qual a reduc¸˜ao adicional de energia cin´etica necess´aria para fazˆe-lo parar? (a) A energia cin´etica inicial do carro ´e Ki = mv2 i /2, onde m ´e a massa do carro e vi = 60 km/h = 60 × 103 3600 = 16.7 m/s ´e a sua velocidade inicial. Isto nos fornece Ki = (1000)(16.7)2 /2 = 1.39 × 105 J. Ap´os reduzir em 50 kJ a energia cin´etica teremos Kf = 1.39 × 105 − 50 × 103 = 8.9 × 104 J. Com isto, a velocidade final do carro ser´a vf = 2Kf m = 2(8.9 × 104) 1000 = 13.3 m/s = 47.8 km/h. (b) Como ao parar a energia cin´etica final do carro ser´a ZERO, teremos que ainda remover 8.9×104 J para faze- lo parar. P 7-35 (7-17/6a ) Um helic´optero levanta verticalmente um astronauta de 72 kg at´e 15 m de altura acima do oceano com o aux´ılio de um cabo. A acelerac¸˜ao do astronauta ´e g/10. Qual o trabalho realizado sobre o astronauta (a) pelo helic´optero e (b) pelo seu pr´oprio peso? Quais s˜ao (c) a energia cin´etica e (d) a velocidade do astronauta no momento em que chega ao helic´optero? (a) Chame de F a magnitude da forc¸a exercida pelo cabo no astronauta. A forc¸a do cabo aponta para cima e o peso mg do astronauta aponta para baixo. Al´em disto, a acelerac¸˜ao do astronauta ´e g/10, para cima. De acordo com a segunda lei de Newton, F − mg = mg/10, de modo que F = 11mg/10. Como a forc¸a F e o deslo- camento d est˜ao na mesma direc¸˜ao, o trabalho feito pela forc¸a F ´e WF = Fd = 11mg 10 d = 11(72)(9.8)(15) 10 http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas P´agina 4 de 7
  5. 5. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 21 de Novembro de 2013, `as 22:55 = 1.16 × 104 J. (b) O peso tem magnitude mg e aponta na direc¸˜ao oposta do deslocamento. Ele executa um trabalho Wg = −mgd = −(72)(9.8)(15) = −1.06 × 104 J. (c) O trabalho total feito ´e WT = 11600 − 10600 = 1000 J. Como o astronauta partiu do repouso, o teorema do Trabalho-Energia diz-nos que sua energia cin´etica final dever´a ser igual a WT (d) Como K = mv2 /2, a velocidade final do astronauta ser´a v = 2K m = 2(1000) 72 = 5.27 m/s = 18.9 km/h. P 7-36 (7-19/6a ) Uma corda ´e usada para fazer descer verticalmente um bloco, inicialmente em repouso, de massa M com uma acelerac¸˜ao constante g/4. Depois que o bloco desceu uma distˆancia d, calcule (a) o trabalho realizado pela corda sobre o bloco, (b) o trabalho realizado sobre o bloco pelo seu peso, (c) a energia cin´etica do bloco e (d) a velocidade do bloco. (a) Chame de F a magnitude da forc¸a da corda so- bre o bloco. A forc¸a F aponta para cima, enquanto que a forc¸a da gravidade, de magnitude Mg, aponta para baixo. A acelerac¸˜ao ´e g/4, para baixo. Considere o sentido para baixo como sendo o sentido positivo. A se- gunda lei de Newton diz-nos que Mg − F = Mg/4, de modo que F = 3Mg/4. A forc¸a est´a direcionada no sentido oposto ao deslocamento de modo que o trabalho que ela faz ´e WF = −Fd = − 3 4 Mgd. (b) A forc¸a da gravidade aponta no mesmo sentido que o deslocamento de modo que ela faz um trabalho Wg = Mgd. (c) O trabalho total feito sobre o bloco ´e WT = − 3 4 Mgd + Mgd = 1 4 Mgd. Como o bloco parte do repouso, o valor acima coincide com sua energia cin´etica K ap´os haver baixado uma distˆancia d. (d) A velocidade ap´os haver baixado uma distˆancia d ´e v = 2K M = gd 2 . 7.2.5 Potˆencia P 7-43 (???/6a ) Um bloco de granito de 1400 kg ´e puxado por um guin- daste a vapor ao longo de uma rampa com velocidade constante de 1.34 m/s (Fig. 7-38). O coeficiente de atrito dinˆamico entre o bloco e a rampa ´e 0.4. Qual a potˆencia do guindaste? Para determinar a magnitude F da forc¸a com que o guindaste puxa o granito usaremos um diagrama de corpo livre. Chamemos de f a forc¸a de atrito, no sentido oposto ao de F. A normal N aponta perpendicularmente `a rampa, enquanto que a magnitude mg da forc¸a da gravidade aponta verticalmente para baixo. Da figura dada vemos que ˆangulo θ do plano inclinado vale θ = tan−1 30 40 = 37o . Tomemos o eixo x na direc¸˜ao do plano inclinado, apon- tando para cima e o eixo y apontando no mesmo sentido da normal N. Como a acelerac¸˜ao ´e zero, as componentes x e y da se- gunda lei de Newton s˜ao, respectivamente, F − f − mg sen θ = 0, N − mg cos θ = 0. Da segunda equac¸˜ao obtemos que N = mg cos θ, de modo que f = µkN = µkmg cos θ. Substiutindo este resultado na primeira equac¸˜ao e resolvendo-a para F obtemos F = mg sen θ + µk cos θ . A forc¸a do guindaste aponta no mesmo sentido que a ve- locidade do bloco, de modo que a potˆencia do guindaste ´e P = Fv = mgv sen θ + µk cos θ = (1400)(9.8)(1.34) sen 37o + 0.4 cos 37o = 17 kW. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas P´agina 5 de 7
  6. 6. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 21 de Novembro de 2013, `as 22:55 P 7-47 (???/6a ) Uma forc¸a de 5 N age sobre um corpo de 1.5 kg inicial- mente em repouso. Determine (a) o trabalho executado pela forc¸a no primeiro, segundo e terceiro segundos e (b) a potˆencia instantˆanea aplicada pela forc¸a no final do terceiro segundo. (a) A potˆencia ´e dada por P = Fv e o trabalho feito por F entre o instante t1 e t2 ´e W = t2 t1 P dt = t2 t1 Fv dt. Como F ´e a forc¸a total, a magnitude da acelerac¸˜ao ´e a = f/m e a velocidade em func¸˜ao do tempo ´e dada por v = at = Ft/m. Portanto W = t2 t1 F2 t m dt = 1 2 F2 m t2 2 − t2 1 . Para t1 = 0s e t2 = 1s temos W1 = 1 2 52 15 [(1)2 − (0)2 ] = 0.83 J. Para t1 = 1s e t2 = 2s temos W2 = 1 2 52 15 [(2)2 − (1)2 ] = 2.5 J. Para t1 = 2s e t2 = 3s temos W3 = 1 2 52 15 [(3)2 − (2)2 ] = 4.2 J. (b) Substitua v = Ft/m em P = Fv obtendo ent˜ao P = F2 t/m para a potˆencia num instante t qualquer. Ao final do terceiro segundo temos P = (5)2 (3) 15 = 5 W. P 7-48 (7-35/6a ) Um elevador de carga totalmente cheio tem uma massa total de 1200 kg e deve subir 54 m em 3 min. O con- trapeso do elevador tem uma massa de 950 kg. Cal- cule a potˆencia (em cavalos-vapor) que o motor do el- evador deve desenvolver. Ignore o trabalho necess´ario para colocar o elevador em movimento e para fre´a-lo, isto ´e, suponha que se mova o tempo todo com veloci- dade constante. O trabalho total ´e a soma dos trabalhos feitos pela gravidade sobre o elevador, o trabalho feito pela gravi- dade no contrapeso, e o trabalho feito pelo motor sobre o sistema: WT = We + Wc + Wm. Como o elevador move-se com velocidade constante, sua energia cin´etica n˜ao muda e, de acordo com o teorema do Trabalho- Energia, o trabalho total feito ´e zero. Isto significa que We + Wc + Wm = 0. O elevador move-se 54 m para cima, de modo que o tra- balho feito pela gravidade sobre ele ´e We = −megd = −(1200)(9.8)(54) = −6.35 × 105 J. O contrapeso move-se para baixo pela mesma distˆancia, de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele ´e Wc = mcgd = (950)(9.8)(54) = 5.03 × 105 J. Como WT = 0, o trabalho feito pelo motor ´e Wm = −We − Wc = (6.35 − 5.03) × 105 = 1.32 × 105 J. Este trabalho ´e feito num intervalo de tempo ∆t = 3 min = 180 s e, portanto, a potˆencia fornecida pelo motor para levantar o elevador ´e P = Wm ∆t = 1.32 × 105 180 = 735 W. Este valor corresponde a 735 W 746 W/hp = 0.99 hp. P 7-49 (???/6a ) A forc¸a (mas n˜ao a potˆencia) necess´aria para rebocar um barco com velocidade constante ´e proporcional `a veloci- dade. Se s˜ao necess´arios 10 hp para manter uma veloci- dade de 4 km/h, quantos cavalos-vapor s˜ao necess´arios para manter uma velocidade de 12 km/h? Como o problema afirma que a forc¸a ´e proporcional `a velocidade, podemos escrever que a forc¸a ´e dada por F = αv, onde v ´e a velocidade e α ´e uma constante de proporcionalidade. A potˆencia necess´aria ´e P = Fv = αv2 . Esta f´ormula nos diz que a potˆencia associada a uma velocidade v1 ´e P1 = αv2 1 e a uma velocidade v2 ´e P2 = αv2 2. Portanto, dividindo-se P2 por P1 podemos nos livrar da constante α desconhecida, obtendo que P2 = v2 v1 2 P1. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas P´agina 6 de 7
  7. 7. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 21 de Novembro de 2013, `as 22:55 Para P1 = 10 hp e v2 = 3v1, vemos sem problemas que P2 = 12 4 2 (10) = (3)2 (10) = 90 hp. Observe que ´e poss´ıvel determinar-se explicitamente o valor de α a partir dos dados do problema. Por´em, tal soluc¸˜ao ´e menos elegante que a acima apresentada, onde determinamos α implicitamente, chegando ao resultado final mais rapidamente. 7.2.6 Energia Cin´etica a Velocidades Elevadas E 7-50 (???/6a ) Um el´etron se desloca de 5.1 cm em 0.25 ns. (a) Qual ´e a relac¸˜ao entre a velocidade do el´etron e a velocidade da luz? (b) Qual ´e a energia do el´etron em el´etrons-volt? (c) Qual o erro percentual que vocˆe cometeria se usasse a f´ormula cl´assica para calcular a energia cin´etica do el´etron? (a) A velocidade do el´etron ´e v = d t = 5.1 × 10−2 0.25 × 10−9 = 2.04 × 108 m/s. Como a velocidade da luz ´e c = 2.998×108 m/s, temos v = 2.04 2.998 c = 0.68 c. (b) Como a velocidade do el´etron ´e pr´oxima da veloci- dade da luz,devemos usar express˜ao relativ´ıstica para a energia cin´etica: K = mc2 1 1 − v2/c2 − 1 = (9.11 × 1031 )(2.998 × 108 )× 1 1 − (0.68)2 − 1 = 3.0 × 10−14 J. Este valor ´e equivalente a K = 3.0 × 10−14 1.60 × 10−19 = 1.90 × 105 = 190 keV. (c) Classicamente a energia cin´etica ´e dada por K = 1 2 mv2 = 1 2 (9.11 × 10−31 )(2.04 × 108 )2 = 1.90 × 10−14 J. Portanto, o erro percentual ´e, simplificando j´a a potˆencia comum 10−14 que aparece no numerador e denomi- nador, erro percentual = 3.0 − 1.9 3.0 = 0.37, ou seja, 37%. Perceba que n˜ao usar a f´ormula rela- tiv´ıstica produz um grande erro!! http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas P´agina 7 de 7

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