Este documento apresenta a resolução de um exercício de equações diferenciais ordinárias sobre a população de mosquitos em uma área. A população cresce exponencialmente na ausência de predadores, mas com a presença deles cresce a uma taxa menor devido aos 20.000 mosquitos consumidos por dia. A solução encontrada é uma equação que descreve a população P(t) em função do tempo t.

1. UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MONTES CLAROS - UNIMONTES
Curso de Licenciatura em Matemática
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias / 2o semestre de 2010
Professor: J. Sérgio
EXERCÍCIO RESOLVIDO
OBSERVAÇÃO:
É SEMPRE RECOMENDADO TENTAR RESOLVER O EXERCÍCIO ANTES DE VER A SOLUÇÃO
PRONTA, MESMO QUE SEJA NECESSÁRIO UTILIZAR UM TEMPO PRECIOSO.
EXERCÍCIO:
A população de mosquitos em determinada área cresce a uma razão proporcional à população atual
e, na ausência de outros fatores, a população dobra a cada semana. Existem, inicialmente, 200.000
mosquitos na área e os predadores (pássaros etc) comem 20.000 mosquitos por dia. Determine a
população de mosquitos na área em qualquer instante t. (Resolução na próxima página)
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2. Sejam P1 (t) e P (t) as população de mosquitos no tempo t sem a presença de predadores e com a pre-
sença de predadores respectivamente. Como na ausência de predadores esta população cresce a uma taxa
proporcional à população atual, podemos escrever
P1 = rP1 (∗).
Porém, os predadores eliminam 20.000 mosquitos por dia, ou seja, a população cresce à taxa rP mas a cada
dia se perde 20.000 mosquitos. Portanto, a equação diferencial que descreve esse processo é
P = rP − 20.000.
Para a equação acima, percebemos que o fator integrante é
µ(t) = e−rt .
Multiplicando a equação diferencial por esse fator obtemos
(P · e−rt ) = −20.000e−rt
=⇒ P · e−rt = −20.000 · e−rt
−rt
=⇒ P · e−rt = −20.000 · − e r +c
20.000
=⇒ P (t) = r + cert .
A população inicial é P (0) = 200.000. Então,
20.000 20.000
c = 200.000 − r =⇒ P (t) = 200.000ert + r · (1 − ert ) (∗∗).
Na ausência de predadores é a equação (*) que rege esse processo. Considerando que P1 (0) = 200.000 sua
solução é
P1 (t) = 200.000ert .
Ainda sem os predadores, sabemos que a população de mosquitos dobra a cada semana,
P1 (7)2 · P0 = 400.000 =⇒ 7r = ln 2 =⇒ r ≈ 0, 09902 por dia.
Substituindo o valor encontrado para r na equação (**), obtemos
P (t) = 200.000e0,09902t + 201.979 · 1 − e0,09902t .
Esta última equação pode ser reescrita da forma abaixo, o que encerra a questão
P (t) = 201.979 − 1979e0,09902t .
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