Cálculo de esforços em treliças planas pelo método dos nós

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Treliças exercícios
Física I (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)
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Baixado por Emanuel Melo (emanuelfisica@hotmail.com)
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TRELIÇAS
São estruturas formadas por barras, ligadas entre si através de nós.
Consideramos para efeito de cálculo os esforços aplicados nos nós.
Existem alguns tipos de calculo para determinação dos esforços nas barras, como o
Método dos Nós, Método Ritter ou Métodos das seções.
Nesta apostila, serão resolvidos apenas exercícios de treliças pelo Método dos Nós.
Para determinar os esforços internos nas barras das treliças plana, devemos verificar a
condição de Isostática da Treliça, sendo o primeiro passo.
Depois calculamos as reações de apoio e os esforços normais axiais nos nós. Tais
esforços serão denominados de N.
1º Condição de Treliça Isostática:
2 . n = b + ѵ Sendo
2º Calcular as Reações de Apoio (Vertical e Horizontal):
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣM = 0 (Momento fletor)
Por convenção usaremos: no sentido horário no sentido anti-horário
+ -
3º Métodos dos Nós
Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós e nos próximos
nós usamos os resultados das forças do nó anterior fazendo a troca de sinais.
Importante lembrar que somente o jogo de sinais deverão ser feitos na equação dos
nós, pois as forças das reações horizontais e verticais devem ser inseridos na equação
considerando-se exclusivamente os sinais que possuem, ou seja, não fazer jogo de
sinais para tais reações.
Calma, nos exercicios verá que é fácil.
Por Convenção os sinais das forças das barras são: + TRAÇÃO
- COMPRESSÃO
 n = nº de nós
 b = quantidade de barras
 ѵ = nº de reações (Verticais e Horizontais)
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Treliça Esquemática
Exercícios
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1º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos
Nós.
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+ν
2.6 = 9+3
12 = 12 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HE = 0 VA+VE = 50+100+50 VA.4-50.4-100.2 = 0
VA+VE = 200 KN VA = 400÷4
100+VE = 200 KN VA = 100 KN
VE = 200-100
VE = 100 KN
3º Passo Método dos Nós
Decomposição das forças
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA+NAB = 0 NAF = 0
100+NAB = 0
NAB = -100 KN
NAB
VA
NAF
NAB
VA
NAF
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Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-50-NBA-NBF.cos45° = 0 NBC+NBF.sen45° = 0
-50-(-100)-NBF.cos45° = 0 NBC+70,7.sen45° = 0
-NBF = -50÷cos45° NBC = - 50 KN
NBF = 70,7 KN
Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-100-NCF = 0 -NCB+NCD = 0
NCF = -100 KN -(-50)+NCD = 0
NCD = - 50 KN
Nó “F” Forças Verticais (V)
Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFC+NFB.sen45°+NFD.sen45° = 0 -NFB.cos45°+NFD.cos45°-NFA+NFE = 0
-100+70,7.sen45°+NFD.sen45° = 0 -70,7.cos45°+70,7.cos45°-0+NFE = 0
NFD = 50÷sen45° NFE = 0 KN
NFD = 70,7 KN
50
NBA
NBC
NBF
NBF NBA NBF
50
NBC
100
NCF
NCD NCD
NCB
NCF
100
NCB
NFD
NFE NFE
NFA
NFA
NFC
NFB
NFB NFC NFD
NFB NFD
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NDF
Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NED+100 = 0 0-HE = 0
NED = -100 KN HE = 0 KN
Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-50-NDF.sen45°-NDE = 0 -NDC-NDF.cos45° = 0
-50-70,7.sen45°+100 = 0 -(-50)-70,7.cos45° = 0
-50-50+100 = 0 50-50 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA
FORÇAS NORMAIS AXIAIS
(KN)
ESFORÇO
NAB -100 COMPRESSÃO
NED -100 COMPRESSÃO
NAF 0 -
NEF 0 -
NBC -50 COMPRESSÃO
NDC -50 COMPRESSÃO
NBF 70,7 TRAÇÃO
NDF 70,7 TRAÇÃO
NCF -100 COMPRESSÃO
VE
HE HE
NEF
VE
NEF
NED
NED
NDC
50 50
NDF
NDF NDE
NDE
NDC
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Nós.
2.n = b+ν
2.5 = 7+3
10 = 10 OK
HA+HB = 40 VB = 20 KN -HA.2+20.4+40.1 = 0
60+HB = 40 -HA.2+120 = 0
HB = 40-60 HA = 120÷2
HB = -20 KN HA = 60 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VB-NBA-NBC.sen26,57° = 0 -HB+NBC.cos26,57° = 0
20-NBA-22,36.sen26,57° = 0 -20+NBC.cos26,57° = 0
NBA = 10 KN NBC = 20÷cos26,57°
NBC = 22,36 KN
VB
NBA
NBC
NBA
NBC
HB
VB
NBC
HB
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ΣFV = 0 ΣFH = 0
NAB+NAC.sen26,57° = 0 HA+NAC.cos26,57°+NAE = 0
10+NAC.sen26,57° = 0 60+(-22,36).cos26,57°+NAE = 0
NAC = -10÷sen26,57° NAE+60-20 = 0
NAC = -22,36 KN NAE = -40 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NEC = 0 -NEA+NED = 0
-(-40)+NED = 0
NED = -40 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NCB.sen26,57°-NCA.sen26,57°-NCE-NCD.sen26,57°=0 -40-NCB.cos26,57°-NCA.cos26,57°+NCD.cos26,57° = 0
22,36.sen26,57°-(-22,36).sen26,57°-0-NCD.sen26,57°=0 -40-22,36.cos26,57°-(-22,36).cos26,57°+44,7.cos26,57°=0
10+10-NCD.sen26,57°=0 -40-20+20+40 = 0
NCD = 20÷sen26,57° 0 = 0
NCD = 44,7 KN
NAB
NAC
NAE
HA
NAB
NAC
HA
NAE
NAC
NEC
NEA
NEC
NED
NEA
NED
NCB
NCD
NCA
40
NCA
40
NCB
NCE
NCD
NCA NCE NCD
NCB
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ΣFV = 0 ΣFH = 0
-20+NDC.sen26,57° = 0 -NDC.cos26,57°-NDE = 0
-20+44,7.sen26,57° = 0 -44,7.cos26,57°-(-40) = 0
-20+20 = 0 -40+40 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA
(KN)
ESFORÇO
NAB 10 TRAÇÃO
NBC 22,36 TRAÇÃO
NAC -22,36 COMPRESSÃO
NAE -40 COMPRESSÃO
NEC 0 -
NED -40 COMPRESSÃO
NCD 44,7 TRAÇÃO
20
NDE
NDC
NDC
NDC
NDE
20
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Nós.
2.n = b+ν
2.8 = 13+3
16 = 16 OK
HA = 0 VA+VB = 2+2+2 -VB.16+2.12+2.8+2.4=0
VA = 6-3 VB = 48÷16
VA = 3 t VB = 3 t
Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N13.sen36,87°+VA = 0 HA+N13.cos36,87°+N12 = 0
N13.sen36,87°+3 = 0 0+(-5).cos36,87°+N12 = 0
N13 = -3÷sen36,87° N12 = 4 t
N13 = -5 t
N13
VA
N12
VA
N12
HA
N13
HA
N13
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ΣFV = 0 ΣFH = 0
N23 = 0 -N21+N24 = 0
-4+N24 = 0
N24 = 4 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2-N34.sen36,87°-N32-N31.sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-N31.cos36,87°+N35.cos36,87° = 0
-2- N34.sen36,87°-0-(-5).sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-(-5).cos36,87°+N35.cos36,87° = 0
-N34.sen36,87°+N35.sen36,87°-2+3 = 0 +N34.cos36,87°+N35.cos36,87°+4 = 0
(-N34+N35).sen36,87° = -1 (+N34+N35).cos36,87° = -4
N34-N35 = 1÷sen36,87° N34+N35 = -4÷cos36,87°
N34-N35 = 1,67 ”1” N34+N35 = -5 ”2”
Sistema de Equações Substituindo na equação “1” ou “2”
“1” N34-N35 = 1,67 N34+N35 = -5
“2” N34+N35 = -5 -1,67+N35 = -5
2N34 = -3,33 N35 = -5+1,67
N34 = -3,33÷2 N35 = -3,33 t
N34 = -1,67 t
N23
N24
N21
N23
N21 N24
N32
N34
N34
N31
N35
N31
N35
2
N35
2
N31 N32 N34
+
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ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2-N53.sen36,87°-N57.sen36,87°-N54 = 0 -N53.cos36,87°+N57.cos36,87° = 0
-2- (-3,33).sen36,87°-(-3,33).sen36,87°-N54 = 0 -(-3,33).cos36,87°+N57.cos36,87° = 0
-2+2+2-N54 = 0 2,66+N57.cos36,87° = 0
N54 = 2 t N57 = -2,66÷cos36,87°
N57 = -3,33 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N43.sen36,87°+N45+N47.sen36,87° = 0 -N42+N46-N43.cos36,87°+N47.cos36,87° = 0
+(-1,67).sen36,87°+2+N47.sen36,87° = 0 -(+4)+N46-(-1,67).cos36,87°+(-1,67).cos36,87° = 0
-1+2+N47.sen36,87° = 0 N46-4+1,34-1,34 = 0
N47 = -1÷sen36,87° N46 = 4 t
N47 = 1,67 t
N54
N57
N53
N53 N57
2 2
N53 N54 N57
N47
N46
N42
N45
N43
N43 N45 N47
N42
N43
N46
N47
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Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as
barras dos nós 7, 6 e 8 são iguais as dos nós 1, 2 e 3, conforme tabela.
BARRA
(t)
ESFORÇO
N13 = N87 -5 COMPRESSÃO
N12 = N86 4 TRAÇÃO
N24 = N64 4 TRAÇÃO
N23 = N67 0 -
N34 = N74 -1,67 COMPRESSÃO
N35 = N75 -3,33 COMPRESSÃO
N54 2 TRAÇÃO
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Nós.
2.n = b+ν
2.7 = 11+3
14 = 14 OK
HA+HB =0 VB = 0 -HA.3+2.6+2.4+2.2=0
HA = -HB HA = 24÷3
HB = -8 t HA = 8 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VB-N51-N56.sen26,57° = 0 -HB+N56.cos26,57° = 0
6-N51-8,94.sen26,57° = 0 -8+N56.cos26,57° = 0
-N51+6-4 = 0 N56 = 8÷cos26,57°
N51 = 2 t N56 = 8,94 t
VB
N56
HB
VB
HB N56
N51 N51 N56
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ΣFV = 0 ΣFH = 0
N15+N16.sen45° = 0 HA+N12+N16.cos45° = 0
2+N16.sen45° = 0 8+N12+(-2,83).cos45° = 0
N16 = -2÷sen45° N12+8-2 = 0
N16 = -2,83 t N12 = - 6 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2+N65.sen26,57°-N61.sen45°-N62-N67.sen26,57°=0 -N65.cos26,57°-N61.cos45°+N67.cos26,57°=0
-2+8,94.sen26,57°-(-2,83).sen45°-N62-6,7.sen26,57°=0 -8,94.cos26,57°-(-2,83).cos45°+N67.cos26,57°=0
-2+4+2-3-N62 = 0 -8+2+N67.cos26,57° = 0
N62 = 1 t N67 = 6÷cos26,57°
N67 = 6,7 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N26+N27.sen26,57° = 0 -N21+N23+N27.cos26,57° = 0
1+N27.sen26,57° = 0 -(-6)+N23+(-2,23).cos26,57° = 0
N27 = -1÷sen26,57° N23+6-2 = 0
N27 = -2,23 t N23 = -4 t
N15
N16
HA HA
N12
N15 N16
N16
N12
N62
N67
N61
N65
N67
2 2
N61 N62 N67
N65
N65
N61
N26
N27
N21 N21
N23
N26 N27
N27
N23
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ΣFV = 0 ΣFH = 0
N37 = 0 -N32+N34 = 0
-(-4)+N34 = 0
N34 = -4 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2+N76.sen26,57°-N72.sen26,57°-N73-N74.sen26,57°=0 -N76.cos26,57°-N72.cos26,57°+N74.cos26,57°=0
-2+6,7.sen26,57°-(-2,23).sen26,57°-0-N74.sen26,57°=0 -6,7.cos26,57°-(-2,23).cos26,57°+4,47.cos26,57°=0
-2+3+1-N74.sen26,57° = 0 -6+2+4 = 0
N74 = 2÷sen26,57° 0 = 0
N74 = 4,47 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2+N47.sen26,57° = 0 -N43-N47.cos26,57° = 0
-2+4,47.sen26,57° = 0 -(-4)-4,47.cos26,57° = 0
-2+2 = 0 +4-4 = 0
0 = 0 0 = 0
N37
N32 N32
N34
N37
N34
N73
N74
N72
N76
N74
2 2
N72 N73 N74
N76
N76
N72
N43
N47
2 2
N47
N47
N43
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BARRA
(t)
ESFORÇO
N51 2 TRAÇÃO
N56 8,94 TRAÇÃO
N16 -2,83 COMPRESSÃO
N12 -6 COMPRESSÃO
N62 1 TRAÇÃO
N67 6,7 TRAÇÃO
N23 -4 COMPRESSÃO
N37 0 -
N34 -4 COMPRESSÃO
N74 4,47 TRAÇÃO
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Nós.
2.n = b+ν
2.5 = 7+3
10 = 10 OK
HA = 0 VA+VB = 10+20 -VB.2,4+20.1,8+10.0,6=0
VA+17,5 = 30 VB = 42÷2,4
VA = 30-17,5 VB = 17,5 KN
VA = 12,5 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA+NAC.sen53,13° = 0 HA+NAE+NAC.cos53,13° = 0
12,5+NAC.sen53,13° = 0 0+NAE+(-15,63).cos53,13° = 0
NAC = -12,5÷sen53,13° NAE = 9,38 KN
NAC = -15,63 KN
VA
NAC
HA HA
NAE
NAC
NAC
NAE
VA
10 10
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ΣFV = 0 ΣFH = 0
-10-NCA.sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -NCA.cos53,13°+NCD+NCE.cos53,13°=0
-10-(-15,63).sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -(-15,63).cos53,13°+NCD+3,13.cos53,13°=0
-10+12,50-NCE.sen53,13° = 0 9,38+NCD+1,88 = 0
NCE = 2,5÷sen53,13° NCD = -11,26 KN
NCE = 3,13 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NEC.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -NEA+NEB+NED.cos53,13°-NEC.cos53,13° = 0
3,13.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -9,38+NEB+(-3,13).cos53,13°-(+3,13).cos53,13° = 0
NED = -2,5÷sen53,13° NEB-9,38-1,88-1,88 = 0
NED = -3,13 KN NEB = 13,14 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-20-NDE.sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -NDE.cos53,13°-NDC+NDB.cos53,13°=0
-20-(-3,13).sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -(-3,13).cos53,13°-(-11,26)+(-21,88).cos53,13°=0
-20+2,50-NDB.sen53,13° = 0 1,88+12,26-13,13 = 0
NDB = -17,50÷sen53,13° 0 = 0
NDB = -21,88 KN
NCE
NCA
NCD
NCA NCE
NCA
NCD
NCE
NED
NEB
NEA
NEC
NEA
NEC
NEB
NED
NEC NED
NDB
NDE
20 20
NDE NDB
NDC
NDC
NDB
NDE
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ΣFV = 0 ΣFH = 0
VB+NBD.sen53,13° = 0 -NBD.cos53,13°-NBE = 0
17,5+(-21,88).sen53,13° = 0 -(-21,88).cos53,13°-13,14 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA
(KN)
ESFORÇO
NAC -15,63 COMPRESSÃO
NAE 9,38 TRAÇÃO
NCE 3,13 TRAÇÃO
NCD -11,26 COMPRESSÃO
NED -3,13 COMPRESSÃO
NEB 13,14 TRAÇÃO
NDB -21,88 COMPRESSÃO
VB
NBE
NBD
NBD
NBD
NBE
VB
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Nós.
2.n = b+ν
2.5 = 7+3
10 = 10 OK
HA+HB = 0 VA = 225 -HB.0,9+75.2,4+150.1,2 = 0
HB = -HA HB = 360÷0,9
HA = - 400 KN HB = 400 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NBA = 0 HB+NBD = 0
400+NBD = 0
NBD = -400 KN
NBA
HB HB
NBD
NBA
NBD
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ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA-NAB-NAD.sen36,87° = 0 -HA+NAC+NAD.cos36,87° = 0
225-0-NAD.sen36,87° = 0 -400+NAC+375.cos36,87 = 0
NAD = 225÷sen36,87° NAC = 100 KN
NAC = 375 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NDA.sen36,87°+NDC = 0 -NDA.cos36,87°-NDB+NDE = 0
375.sen36,87°+NDC = 0 -375.cos36,87°-(-400)+NDE = 0
NDC = -225 KN -300+400+NDE = 0
NDE = -100 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-150-NCD-NCE.sen36,87°=0 -NCA+NCE.cos36,87°=0
-150-(-225)-NCE.sen36,87°=0 -100+125.cos36,87° = 0
-150+225-NCE.sen36,87° = 0 -100+100 = 0
NCE = 75÷sen36,87° 0 = 0
NCE = 125 KN
NAB
NAD
HA HA
NAC
VA
NAC
NAD
NAB
VA
NAD
NDC
NDE
NDB
NDA
NDB
NDA
NDE
NDA NDC
NCE
NCD
150 15
NCD NCE
NCA
NCA
NCE
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ΣFV = 0 ΣFH = 0
-75+NEC.sen36,87° = 0 -NEC.cos36,87°-NED = 0
-75+125.sen36,87° = 0 -125.cos36,87°-(-100) = 0
-75+75 = 0 -100+100 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA
(KN)
ESFORÇO
NBA 0 -
NBD -400 COMPRESSÃO
NAD 375 TRAÇÃO
NAC 100 TRAÇÃO
NDC -225 COMPRESSÃO
NDE -100 COMPRESSÃO
NCE 125 TRAÇÃO
NED
NEC
75 75
NEC
NEC
NED
lOMoARcPSD|6023446

Nós.
2.n = b+ν
2.8 = 13+3
16 = 16 OK
HE = 0 VA+VE = 8 VA.4a-4.3a-4.1a = 0
4+VE = 8 VA.4a-12a-4a = 0
VE = 8-4 VA = 16a÷4a
VE = 4 KN VA = 4 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA+NAB.sen30° = 0 NAB.cos30°+NAF = 0
4+NAB.sen30° = 0 +(-8)cos30°+NAF = 0
NAB = -4÷sen30° NAF = 6,9 KN
NAB = -8 KN
VA
NAB
NAF
NAB
NAB
NAF
VA
lOMoARcPSD|6023446

Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFB-4 = 0 -NFA+NFG = 0
NFB = 4 KN -6,9+NFG = 0
NFG = 6,9 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NBC.sen30°-NBA.sen30°-NBF-NBG.sen30° = 0 -NBA.cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0
NBC.sen30°-(-8).sen30°-4-NBG.sen30° = 0 -(-8).cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0
NBC.sen30°-NBG.sen30°+4-4 = 0 6,9+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0
NBC.sen30°-NBG.sen30° = 0 NBC.cos30°+NBG.cos30° = -6,9
(NBC-NBG).sen30° = 0 (NBC+NBG).cos30° = -6,9
NBC-NBG = 0÷sen30° NBC+NBG = -6,9÷cos30°
NBC-NBG = 0 ”1” NBC+NBG = -8 ”2”
“1” NBC-NBG = 0 NBC-NBG = 0
“2” NBC+NBG= -8 -4 - NBG = 0
2NBC = -8 NBG = -4 KN
NBC = -8÷2
NBC = -4 KN
4
NFA NFA
NFG
NFB
NFG
4
NFB
NBF
NBG
NBG
NBA
NBC
NBA
NBC
NBC
NBA NBF NBG
+
lOMoARcPSD|6023446

ΣFV = 0 ΣFH = 0
-NCB.sen30°-NCD.sen30°-NCG = 0 -NCB.cos30°+NCD.cos30° = 0
-(-4).sen30°-(-4).sen30°-NCG = 0 -(-4).cos30°+NCD.cos30° = 0
2 + 2- NCG = 0 3,5+NCD.cos30° = 0
NCG = 4 KN NCD = -3,5÷cos30°
NCD = -4 KN
Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NGB.sen30°+NGC+NGD.sen30° = 0 -NGB.cos30°+NGD.cos30°-NGF+NGH = 0
-4.sen30°+4+NGD.sen30° = 0 -(-4).cos30°+(-4).cos30°-6,9+NGH = 0
NGD = -2÷sen30 +3,5-3,5-6,9+NGH = 0
NGD = -4 KN NGH = 6,9 KN
NCG
NCD
NCB
NCB NCD
NCB NCG NCD
NGD
NGH
NGF
NGC
NGB
NGB NGC NGD
NGF
NGB
NGH
NGD
lOMoARcPSD|6023446

barras dos nós H, D e E não precisam ser calculadas.
BARRA
(KN)
ESFORÇO
NAB = NED -8 COMPRESSÃO
NAF = NEH 6,9 TRAÇÃO
NFG = NHG 6,9 TRAÇÃO
NFB = NHD 4 TRAÇÃO
NBC = NDC -4 COMPRESSÃO
NBG = NDG -4 COMPRESSÃO
NCG 4 TRAÇÃO
lOMoARcPSD|6023446

Nós.
2.n = b+ν
2.10 = 17+3
20 = 20 OK
HJ = 0 VF+VJ = 2000 VF.4a-400.4a-400.3a-400.2a-400.1a = 0
1000+VJ = 2000 VF = 4000a÷4a
VJ = 2000-1000 VF = 1000 N
VJ = 1000 N
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-400-NAF = 0 NAB = 0
NAF = -400 N
NAF
400
NAB
400
NAB
NAF
lOMoARcPSD|6023446

ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFB.sen45°+NFA+VF = 0 NFB.cos45° + NFG = 0
NFB.sen45°+(-400)+1000 = 0 -848,5.cos45°+NFG = 0
NFB = -600÷sen45° NFG = 600 N
NFB = -848,5 N
Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NGB = 0 -NGF+NGH = 0
-600+NGH = 0
NGH = 600 N
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-400-NBF.sen45°-NBG-NBH.sen45°=0 -NBA+NBC-NBF.cos45°+NBH.cos45° = 0
-400-(-848,5).sen45°-0-NBH.sen45°=0 -0+NBC-(-848,5).cos45°+282,8.cos45°=0
-400+600-NBH.sen45°=0 NBC+600+200 = 0
NBH = 200÷sen45° NBC = -800 N
NBH = 282,8 N
NFA
NFB
NFG
NFA NFB
NFB
NFG
VF
VF
NGH
NGF
NGB NGB
NGF NGH
NBA
NBH
NBF
NBC
NBF
NBC
400
NBG
NBH
NBF NBG NBH
NBA
400
lOMoARcPSD|6023446

ΣFV = 0 ΣFH = 0
-400-NCH=0 -NCB+NCD = 0
NCH = -400 N -(-800)+NCD=0
NCD = -800 N
barras dos nós H, D, I, E e J não precisam ser calculadas.
BARRA
(N)
ESFORÇO
NAB = NED 0 -
NAF = NEJ -400 COMPRESSÃO
NFB = NJD -848,5 COMPRESSÃO
NFG = NJI 600 TRAÇÃO
NGB = NID 0 -
NGH = NIH 600 TRAÇÃO
NBH = NDH 282,8 TRAÇÃO
NBC = NDC -800 COMPRESSÃO
NCH -400 COMPRESSÃO
NCB
NCD
NCB
NCD
400
NCH
NBG
400
lOMoARcPSD|6023446

Nós.
2.n = b+ν
2.6 = 8+4
12 = 12 OK
HE = 18 KN VE+VF = 0 VE.3,6-9.5,4-9.2,7 = 0
HF = 0 VE = -VF VE.3,6-48,6-24,3 = 0
VF = -20,25 KN VE = 72,9÷3,6
VE = 20,25 KN
Por se tratarem de forças de reação horizontal e estarem na mesma linha de ação, bem como
as forças externas de 9 KN serem aplicadas no segmento AE, a reação horizontal HE sofre
sozinha a ação dos 18 KN enquanto a HF não é solicitada.
Os cálculos mostrarão essa teoria.
lOMoARcPSD|6023446

ΣFV = 0 ΣFH = 0
NAC = 0 -9+NAB = 0
NAB = 9 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-NBD-NBC.sen36,87°=0 -NBA-NBC = 0
-NBD-(-11,25).sen36,87°=0 -NBA-NBC.cos36,87°=0
-NBD+6,75=0 -9-NBC.cos36,87° = 0
NBD = 6,75 KN NBC = -9÷cos36,87°
NBC = -11,25 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NCA-NCE+NCB.sen36,87° = 0 -9+NCB.cos36,87°+NCD = 0
0-NCE+(-11,25).sen36,87° = 0 -9+(-11,25).cos36,87°+NCD = 0
NCE = -6,75 KN -9-9+NCD = 0
NCD = 18 KN
NAC
9 NAB NAB
NAC
9
NBA
NBC
NBC
NBD
NBC NBD
NBA
NCA
NCB
NCD
NCA NCB
NCB
NCD
NCE NCE
9 9
lOMoARcPSD|6023446

ΣFV = 0 ΣFH = 0
NDB-NDE.sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-NDC = 0
6,75-(-22,5).sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-18 =0
6,75+13,5-NDF=0 NDE = -18÷cos36,87°
NDF = 20,25 KN NDE = -22,5 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VE+NEC+NED.sen36,87° = 0 HE+NED.cos36,87° = 0
20,25+(-6,75)+(-22,5).sen36,87° = 0 HE+(-22,5).cos36,87° = 0
20,25-6,75-13,5 = 0 HE = 18 KN Ok
0 = 0
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFD-VF = 0 -HF = 0
20,25-20,25 = 0 HF = 0 Ok
0 = 0
NDC
NDE
NDE
NDB
NDF NDE NDF
NDC
NDB
NEC
NED
NEC NED
NED
VE
VE
HE HE
HE confirmada
NFD NFD
HF
VF
VF
HF confirmada
HF
lOMoARcPSD|6023446

BARRA
(KN)
ESFORÇO
NAB 9 TRAÇÃO
NAC 0 -
NCE -6,75 COMPRESSÃO
NCD 18 TRAÇÃO
NBD 6,75 TRAÇÃO
NBC -11,25 COMPRESSÃO
NDF 20,25 TRAÇÃO
NDE -22,5 COMPRESSÃO
lOMoARcPSD|6023446

Nós.
2.n = b+ν
2.6 = 9+3
12 = 12 OK
HC+HF = 0 VC = 100 KN HF.4,5-100.7,2 = 0
HF = -HC HF = 720÷4,5
HC = -160 KN HF = 160 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NDA-100 = 0 NDE = 0
NDA = 100 KN
100
NDA
NDE
NDE
100
NDA
lOMoARcPSD|6023446

ΣFV = 0 ΣFH = 0
NAB.sen22,62°-NAD-NAE.sen22,62° = 0 NAB.cos22,62°+NAE.cos22,62° = 0
NAB.sen22,62°-100-NAE.sen22,62° = 0 (NAB+NAE).cos22,62° = 0
(NAB-NAE).sen22,62° = 100 NAB+NAE = 0÷cos22,62°
NAB-NAE = 100÷sen22,62°
NAB-NAE = 260 ”1” NAB+NAE = 0 ”2”
“1” NAB-NAE = 260 NAB+NAE = 0
“2” NAB+NAE= 0 130+NAE = 0
2NAB = 260 NAE = -130 KN
NAB = 260÷2
NAB = 130 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NEB+NEA.sen22,62° = 0 NEF-NED-NEA.cos22,62° = 0
NEB+(-130).sen22,62° = 0 NEF-0-(-130).cos22,62° = 0
NEB = 50 KN NEF = -120 KN
NAB
NAE
NAB
NAB
NAE
NAD NAD NAE
+
NEB
NEA
NEF
NEA NEB
NEF
NED
NED
NEA
lOMoARcPSD|6023446

ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFC+NFB.sen39,81° = 0 -NFE-HF-NFB.cos39,81° = 0
NFC+(-52).sen39,81° = 0 -(-120)-160-NFB.cos39,81° = 0
NFC = 33,3 KN NFB = -40÷cos39,81°
NFB = -52 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
+NBC.sen22,62°-NBA.sen22,62°-NBE-NBF.sen39,81°=0 -NBA.cos22,62°+NBC.cos22,62°+NBF.cos39,81° = 0
173.sen22,62°-130.sen22,62°-50-(-52).sen39,81°=0 -130.cos22,62°+NBC.cos22,62°+(-52).cos39,81°=0
66,5-50-50+33,5=0 NBC.cos22,62°-120-40 = 0
0=0 NBC = 160÷cos22,62°
NBC = 173 KN
ΣFV= 0 ΣFH = 0
VC-NCF-NCB.sen22,62°=0 -NCB.cos22,62°+HC = 0
100-(+33,3)-(+173).sen22,62°=0 -(+173).c os22,62°+160 = 0
100-33,3-66,7=0 -160+160 = 0
0=0 0 = 0
NFC
NFB
HF
NFB NFC
HF
NFE
NFB
NFE
NBF
NBA
NBC
NBC
NBC
NBE
NBF
NBA NBE NBF
NBA
NCB
HC
HC
VC
NCF NCB NCF
NCB
VC
lOMoARcPSD|6023446

BARRA
(KN)
ESFORÇO
NDA 100 TRAÇÃO
NDE 0 -
NAE -130 COMPRESSÃO
NAB 130 TRAÇÃO
NEB 50 TRAÇÃO
NEF -120 COMPRESSÃO
NFC 33,3 TRAÇÃO
NFB -52 COMPRESSÃO
NBC 173 TRAÇÃO
lOMoARcPSD|6023446

Nós.
2.n = b+ν
2.10 = 17+3
20 = 20 OK
HA = 0 VA+VB = 30 KN -VB.10+15.6+15.3 = 0
VA+13,5 = 30 VB = 135÷10
VA = 30-13,5 VB = 13,5 KN
VA = 16,5 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA+N12.sen45° = 0 HA+N13+N12.cos45° = 0
16,5+N12.sen45° = 0 0+N13+(-23).cos45° = 0
N12 = -16,5÷sen45° N13 = 16,3 kN
N12 = -23 KN
N12
N13
N12
N12
N13
VA
VA
HA HA
lOMoARcPSD|6023446

ΣFV = 0 ΣFH = 0
N32 = 0 -N31+N32.cos71,57°+N34 = 0
-16,3+0.cos.71,57°+N34 = 0
N34 = 16,3 kN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N42 = 0 -N43+N42.cos71,57°+N45 = 0
-16,3+0.cos.71,57°+N45 = 0
N45 = 16,3 kN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-15-N21.sen45°-N23.sen71,57°-N24.sen71,57°-N25.sen45°=0 -N21.cos45°-N23.cos71,57°+N26+N25.cos45°+N24.cos71,57° = 0
-15-(-23).sen45°-0-0-N25.sen45°=0 -(-23).cos45°-0+N26+2,29.cos45°+0=0
N25 = 1,62÷sen45° N26+16,26+1,62 = 0
N25 = 2,29 KN N26 = -17,88 KN
N32
N34
N32
N32
N34
N31
N31
N42
N45
N42
N32
N34
N43
N31
N25
N21
N26
N26
15
N23
N25
N21 N23 N24
N21
15
N24
N25
N24
N23
lOMoARcPSD|6023446

ΣFV = 0 ΣFH = 0
-15-N65 = 0 -N62+N67 = 0
N65 = -15 KN -(-17,88)+N67 = 0
N67 = -17,88 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N52.sen45°+N56+N57.sen45° = 0 -N52.cos45°-N54+N57.cos45°+N58 = 0
2,29.sen45°+(-15)+N57.sen45° = 0 -2,29.cos45°-16,3+18,9.cos45°+N58 = 0
N57.sen45°+1,62-15 = 0 N58-1,62-16,3+13,36 = 0
N57 = 13,38÷sen45° N58 = 4,5 KN
N57 = 18,9 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N87 = 0 -N85+N87.cos71,57°+N89 = 0
-4,5+0.cos.71,57°+N89 = 0
N89 = 4,5 KN
15
N67
15
N67
N65 N65
N62
N62
N57
N58
N54
N56
N52
N52 N56 N57
N54
N52
N58
N57
N87
N89
N87
N87
N89
N85
N85
lOMoARcPSD|6023446

ΣFV = 0 ΣFH = 0
N97.sen71,57°+VB = 0 -N97.cos71,57°-N98+N910 = 0
N97.sen71,57°+13,5 = 0 -(-14,23).cos71,57°-4,5+N910 = 0
N97 = -13,5÷sen71,57° N910 = 0
N97 = -14,23 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N107 = 0 -N107-N109 = 0
-0-N109 = 0
N109 = 0
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-N75.sen45°-N78.sen71,57°-N79.sen71,57°-N710.sen45° = 0 -N76-N75.cos45°-N78.cos71,57°+N79.cos71,57°+N710.cos45° = 0
-18,9.sen45°-0-(-14,23).sen71,57°-0=0 -(-17,88)-(+18,9).cos45°-0+(-14,23).cos71,57°+0=0
-13,5+13,5 = 0 17,88-13,36-4,5 = 0
0 = 0 0 = 0
N97
N910
N97
N910
N98
N97
VB
VB
N98
N107
N107
N109
N109
N107
N710
N76
N78
N710
N75 N78 N79
N75
N79
N710
N79
N78
N75
N76
lOMoARcPSD|6023446

BARRA
(KN)
ESFORÇO
N12 -23 COMPRESSÃO
N13 16,3 TRAÇÃO
N34 16,3 TRAÇÃO
N42 0 -
N32 0 -
N45 16,3 TRAÇÃO
N52 2,29 TRAÇÃO
N65 -15 COMPRESSÃO
N58 4,5 TRAÇÃO
N57 18,9 TRAÇÃO
N87 0 -
N89 4,5 TRAÇÃO
N910 0 -
N107 0 -
Bibliografia
INTRODUÇÃO À ISOSTÁTICA, autor Eloy Ferraz Machado Junior, 2007
Apostila “MECÂNICA DOS MATERIAIS”, autor Ricardo Gaspar, 2005
lOMoARcPSD|6023446

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