Vigas de madeira

1. Construções Especiais
Eng. Civil Esp. Antonio Batista
Barras de madeira - Vigas

2. Vigas de madeira
As vigas são elementos estruturais lineares, montados de
forma horizontal ou inclinada, possuindo um ou mais apoios,
geralmente submetidos aos esforços de momento fletor e
esforço cortante, caracterizando a flexão, além de
deformações verticais, chamadas de flechas. Geralmente os
elementos submetidos a esforços de flexão são encontrados
em vigas de piso, vigas de pontes, componentes de estruturas
de coberturas e elementos componentes de fôrmas e
contraventamentos.

3. Vigas de madeira

4. Vigas de madeira
A verificação da segurança dos elementos submetidos à
flexão compreende a verificação dos estados limites últimos
referentes à resistência a tensões normais e tangenciais, além
da instabilidade lateral e os estados limites de serviços
referentes a deformações excessivas (flechas) e a vibrações.
Deve-se ressaltar ainda que, em alguns casos, pode ser
necessária a verificação de efeitos de compressão
perpendicular às fibras ocorrendo na região dos apoios ou
nos locais em que são aplicadas cargas concentradas.

5. Vigas de madeira
De acordo com o elemento e com o sistema estrutural
adotado, as vigas podem estar submetidas à flexão simples
reta ou à oblíqua. Podemos ter ainda a flexão composta, nos
casos em que os esforços de flexão ocorrem simultaneamente
ao esforço normal, como quando as vigas estão submetidas a
esforço axial centrado aliado a cargas transversais ou a
esforço axial excêntrico.

6. Vigas de madeira
Critérios de cálculo de vigas de madeira
Para o dimensionamento das peças fletidas, é preciso
determinar o vão teórico 𝑙 da viga, sendo este:
𝑙 = 𝑚𝑖𝑛 ቐ
𝑙0
𝑙′ + 10
𝑙′ + ℎ

7. Vigas de madeira

8. Vigas de madeira – Flexão simples reta
Na flexão reta, comumente encontrada em vigas dispostas
horizontalmente, como em vigas de piso, a verificação da
segurança quanto ao estado limite último referente às
tensões normais, de acordo com a NBR 7190/1997, se dá pelo
atendimento simultâneo das seguintes condições:
𝜎𝑐1,𝑑 =
𝑀𝑑
𝑊𝑐
≤ 𝑓𝑐𝑑 e 𝜎𝑡2,𝑑 =
𝑀𝑑
𝑊𝑡
≤ 𝑓𝑡𝑑

9. Vigas de madeira – Flexão simples reta
𝑊
𝑐 e 𝑊𝑡 representam os respectivos módulos de resistência
determinados pelas expressões 𝑊
𝑐 =
𝐼
𝑦𝑐1
e 𝑊𝑡 =
𝐼
𝑦𝑡1
, sendo I
o momento de inércia da seção transversal resistente em
relação ao eixo central de inércia perpendicular ao plano de
ação do momento fletor atuante.

10. Vigas de madeira – Flexão simples reta

11. Vigas de madeira – Flexão simples reta
Quanto ao estado limite último relativo às tensões
tangenciais, a NBR 7190/1997 determina que a segurança
deve ser expressa por 𝜏𝑑 ≤ 𝑓𝑣0,𝑑, sendo 𝜏𝑑 a máxima tensão
de cisalhamento atuando no elemento.
Para as seções retangulares, 𝜏𝑑 é dado pela expressão:
𝜏𝑑 =
3𝑉𝑑
2𝑏ℎ
. A norma admite, na falta de determinações
experimentais, a utilização das relações:
Para coníferas: 𝑓𝑣0,𝑑 ≤ 0,12𝑓𝑐0,𝑑;
Para dicotiledôneas: 𝑓𝑣0,𝑑 ≤ 0,10𝑓𝑐0,𝑑.

12. Vigas de madeira – Flexão simples reta
Os valores médios de resistência ao cisalhamento estão
disponíveis na tabela constante do anexo E da
NBR 7190/1997 (pág. 90-92).

13. Vigas de madeira – Flexão simples reta
Na existência de cargas concentradas aplicadas próximas aos
apoios, temos um efeito favorável da compressão normal às
fibras, que leva a madeira a um aumento na resistência ao
cisalhamento. Sendo assim, caso a verificação da segurança
relativa às tensões tangenciais não seja atendida, pode-se
reduzir os esforços cortantes atuantes até uma distância de
duas vezes a altura da viga 𝑎 ≤ 2ℎ, pela expressão:
𝑉𝑟𝑒𝑑,𝑑 = 𝑉𝑑
𝑎
2ℎ

14. Vigas de madeira – Flexão simples reta
Em que a é a distância entre o ponto de aplicação da carga
concentrada e o eixo do apoio.

15. Vigas de madeira – Flexão simples reta
Em vigas entalhadas, quando ocorre variações bruscas da
seção transversal (figura a), a NBR 7190/1997 determina a
multiplicação da tensão de cisalhamento na seção mais fraca,
ℎ1, pelo fator
ℎ
ℎ1
, logo, 𝜏𝑑 =
3𝑉𝑑
2𝑏ℎ
ℎ
ℎ1
, sendo que ℎ1>0,75h.

16. Vigas de madeira – Flexão simples reta
No caso de ℎ1 ≤ 0,75ℎ, a norma recomenda a utilização de
parafusos verticais (figura b), dimensionados à tração axial
para suportar a força cortante total a ser transmitida, ou
ainda, a utilização de mísulas (figura c), variações graduais de
seção, com comprimento maior do que três vezes a altura do
entalhe, sendo que, em todos os casos, deve-se ter
ℎ1 ≥ 0,5ℎ.

17. Vigas de madeira – Flexão simples reta

18. Vigas de madeira – Flexão simples reta
Quanto à verificação da segurança e ao estado limite último
de instabilidade lateral, a NBR 7190/1997 não determina
critérios de verificação, e sim expõe as condições que devem
ser satisfeitas para que essa verificação não seja necessária,
sendo elas:

19. Vigas de madeira – Flexão simples reta
I. Quando os apoios de extremidades das vigas impedem a
rotação de suas seções extremas em relação ao eixo
longitudinal do elemento;
II. Quando existe um conjunto de elementos de travamento
ao longo do comprimento 𝑙 da viga afastados entre si a
uma distância menor ou igual a 𝑙1 , de forma a impedir a
rotação dessas seções transversais em torno do eixo
longitudinal dos elementos;

20. Vigas de madeira – Flexão simples reta
III. Em vigas de seção transversal retangular se
𝑙1
𝑏
≤
𝐸𝑐0,𝑒𝑓
𝛽𝑀∙𝑓𝑐0,𝑑
,
em que 𝛽𝑀 =
1
0,26𝜋
∙
4
𝛾𝑓
∙
ൗ
ℎ
𝑏
1,5
ℎ
𝑏
−0,63
0,5
IV. Em vigas de seção transversal retangular se
𝑙1
𝑏
>
𝐸𝑐0,𝑒𝑓
𝛽𝑀∙𝑓𝑐0,𝑑
,
desde que 𝜎𝑐1,𝑑 =
𝐸𝑐0,𝑒𝑓
𝑙1
𝑏
𝛽𝑀
Se não for possível dispensar a verificação da instabilidade
lateral, ela deve ser verificada experimentalmente.

21. Vigas de madeira – Flexão simples reta
EXERCÍCIO 01: Uma passarela de pedestre de 2m de
comprimento (vão teórico) foi construída em madeira Jatobá,
cuja viga principal é de seção retangular de 12 x 30 cm.
Sabendo que o momento máximo de cálculo atuando na
estrutura é de 30 kN.m e que o esforço cortante máximo de
cálculo é de 10 kN, verifique a segurança da viga.
Considere que os apoios estão engastados, 𝐾𝑚𝑜𝑑 = 0,56,
𝑓𝑐0 = 93,3 𝑀𝑃𝑎 , 𝑓𝑡0 = 157,5 𝑀𝑃𝑎 , 𝛾𝑚 é 1,4 para
compressão e para tração e cisalhamento.

22. Vigas de madeira – Flexão simples reta
As resistências de cálculo são as seguintes:
𝑓𝑐0,𝑑 = 𝐾𝑚𝑜𝑑
0,7𝑓𝑐0
𝛾𝑚
= 0,56
0,7 ∙ 93,3
1,4
= 26,12 𝑀𝑃𝑎 = 2,61 𝑘𝑁/𝑚²
𝑓𝑡0,𝑑 = 𝐾𝑚𝑜𝑑
0,7𝑓𝑡0
𝛾𝑚
= 0,56
0,7 ∙ 157,5
1,8
= 34,30 𝑀𝑃𝑎 = 3,43 𝑘𝑁/𝑚²
𝑓𝑣,𝑑 = 𝐾𝑚𝑜𝑑
0,54𝑓𝑣
𝛾𝑚
= 0,56
0,54 ∙ 15,75
1,8
= 2,65 𝑀𝑃𝑎 = 0,26 𝑘𝑁/𝑚²

23. Vigas de madeira – Flexão simples reta
O momento de inércia, será:
𝐼 =
𝑏ℎ3
12
=
12 ∙ 303
12
= 27000 𝑐𝑚4

24. Vigas de madeira – Flexão simples reta
Como 𝑦𝑐1 = 𝑦𝑡1 = 15 𝑐𝑚 temos:
𝑊
𝑐 = 𝑊𝑡 =
27000
15
= 1800 𝑐𝑚3
Logo:
𝜎𝑐1,𝑑 = 𝜎𝑡2,𝑑=
3000
1800
= 1,67 𝑘𝑁/𝑐𝑚2

25. Vigas de madeira – Flexão simples reta
Quanto à resistência ao cisalhamento temos:
𝜏𝑑 =
3𝑉𝑑
2𝑏ℎ
=
3 ∙ 10
2 ∙ 12 ∙ 30
= 0,04 𝑘𝑁/𝑐𝑚2

26. Vigas de madeira – Flexão simples reta
Como:
𝜎𝑐1,𝑑 = 1,67 𝑘𝑁/𝑐𝑚2
< 𝑓𝑐,𝑑 = 2,61𝑘𝑁/𝑐𝑚2
𝜎𝑡2,𝑑 = 1,67𝑘𝑁/𝑐𝑚2 < 𝑓𝑡,𝑑 = 3,43𝑘𝑁/𝑐𝑚2
𝜏𝑑 = 0,04𝑘𝑁/𝑐𝑚2
< 𝑓𝑣0,𝑑 = 0,26𝑘𝑁/𝑐𝑚2
Portanto a viga é segura.

27. Vigas de madeira – Flexão oblíqua
A flexão oblíqua ocorre
quando existem momentos
fletores atuando fora de
um dos eixos principais de
inércia da seção, como
ocorre, por exemplo, em
terças que são colocadas
no plano inclinado das
tesouras de cobertura.

28. Vigas de madeira – Flexão oblíqua
No caso da flexão oblíqua, a verificação da segurança quanto
ao estado limite último referente às tensões normais, tanto
para tração como para compressão, será dada pela pior das
seguintes condições.
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑤𝑑
+ 𝑘𝑚
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑤𝑑
≤ 1
Ou
𝑘𝑚
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑤𝑑
+
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑤𝑑
≤ 1

29. Vigas de madeira – Flexão oblíqua
Em que 𝜎𝑀𝑥,𝑑 e 𝜎𝑀𝑦,𝑑 representam as máximas tensões das
componentes da flexão que atuam em cada eixo principal da
seção transversal;
𝑓𝑤𝑑 representa a resistência de projeto à tração ou à
compressão e
𝐾𝑚 equivale ao fator de combinação das resistências em
flexão oblíqua, sendo igual a 0,5 para seções retangulares e
1,0 para outras seções.

30. Vigas de madeira – Flexão oblíqua
No caso da verificação da segurança quanto à tensão de
cisalhamento, deve-se verificar as duas direções principais
(x e y), atendendo às seguintes expressões:
𝜏𝑥,𝑑 ≤ 𝑓𝑣0,𝑑
E
𝜏𝑦,𝑑 ≤ 𝑓𝑣0,𝑑

31. Vigas de madeira – Flexão composta
Na flexão composta, a viga está submetida a tensões devido à
atuação do momento fletor, bem como a tensões de tração
(flexo-tração) ou de compressão (flexo-compressão). Desta
forma, a segurança da estrutura deve ser verificada pelas
expressões seguintes.

32. Vigas de madeira – Flexão composta
Na flexo-tração reta ou oblíqua, a segurança é verificada pela
mais rigorosa das seguintes expressões:
𝜎𝑁𝑡,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
+
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
+ 𝑘𝑚
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
≤ 1
Ou
𝜎𝑁𝑡,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
+ 𝑘𝑚
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
+
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
≤ 1

33. Vigas de madeira – Flexão composta
Já na flexo-compressão, a verificação da segurança é dada
pela mais rigorosa das duas expressões a seguir:
𝜎𝑁𝑐,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
2
+
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
+ 𝑘𝑚
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
≤ 1
Ou
𝜎𝑁𝑐,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
2
+ 𝑘𝑚
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
+
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
≤ 1

34. Vigas de madeira
EXERCÍCIO 02: Considerando o pórtico que fará parte do
pergolado que estamos desenvolvendo. Você precisa verificar
a seção transversal da viga de 4 m de comprimento que
compõe o pergolado, considerando que a seção retangular da
viga é de 10 x 15 cm e que a viga está submetida a um
momento fletor máximo de 32,5 kNm e a um esforço
cisalhante máximo de 35,2 kN, além de um esforço de
compressão máximo de 24,2 kN e um esforço de tração
máximo de 5,7 kN.

35. Vigas de madeira
Anteriormente já calculamos:
𝑓𝑡0,𝑑 = 1,807 𝑘𝑁/𝑐𝑚2
e 𝑓𝑐0,𝑡 = 2,610 𝑘𝑁/𝑐𝑚2
Como se trata de uma viga reta, submetida a momento fletor
e esforço axial, devemos utilizar a situação de flexão
composta para verificar a segurança desta viga, sendo os
esforços na direção do eixo y iguais a 0, e o valor de
𝑘𝑀 = 0,5.

36. Vigas de madeira
As informações geométricas são as seguintes:
𝐴 = 𝑏ℎ = 10 ∙ 15 = 150𝑐𝑚2
𝐼 =
𝑏ℎ3
12
=
10 ∙ 153
12
= 2812,5 𝑐𝑚4
𝑊
𝑐 = 𝑊𝑡 =
𝐼
𝑦𝑐1
=
2812,5
7,5
= 375 𝑐𝑚3

37. Vigas de madeira
Assim:
𝜎𝑁𝑐,𝑑 =
𝑁𝑑
𝐴
=
24,2
150
= 0,16 𝑘𝑁/𝑐𝑚2
𝜎𝑁𝑡,𝑑 =
𝑁𝑑
𝐴
=
5,7
150
= 0,04 𝑘𝑁/𝑐𝑚2
𝜎𝑀𝑥,𝑑 =
𝑀𝑑
𝑊
𝑐
=
32,5 ∙ 100
375
= 8,67 𝑘𝑁/𝑐𝑚2

38. Vigas de madeira
Logo, para verificação da flexo-tração temos:
𝜎𝑁𝑡,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
+
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
+ 𝑘𝑚
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
≤ 1
0,04
1,807
+
8,67
1,807
+ 0 = 4,82 ≤ 1
Ou
𝜎𝑁𝑡,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
+ 𝑘𝑚
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
+
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
≤ 1
0,04
1,807
+ 0,5 ∙
8,67
1,807
+ 0 = 4,82 ≤ 1

39. Vigas de madeira
Logo, para verificação da flexo-compressão temos:
𝜎𝑁𝑐,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
2
+
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
+ 𝑘𝑚
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
≤ 1
0,16
2,61
2
+
8,67
2,61
+ 0 = 3,33 ≤ 1
Ou
𝜎𝑁𝑐,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
2
+ 𝑘𝑚
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
+
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
≤ 1
0,16
2,61
2
+ 0,5 ∙
8,67
2,61
+ 0 = 1,67 ≤ 1

40. Vigas de madeira
Sendo assim, a seção adotada não é suficiente para suportar
as solicitações de flexão composta com solicitação de tração e
também não atende aos requisitos de segurança quanto à
solicitação de flexão composta com esforço de compressão.
Neste caso, será necessário aumentar a seção transversal ou
utilizar uma madeira que tenha uma maior resistência à
compressão.

41. Vigas de madeira
Exercício 3: Você está trabalhando no projeto da estrutura de
madeira para uma cobertura em telhas cerâmicas e, ao
analisar o projeto, verificou que, para os elementos que serão
usados como terças, foi especificado um elemento de seção
retangular de 8 cm de largura por 12 cm de altura.
Você não está seguro de que essa seção será suficiente para
garantir a segurança da estrutura, então, terá que verificar a
segurança do elemento.

42. Vigas de madeira
Você sabe que a terça possui 4 m de comprimento entre os
apoios, a inclinação do telhado é de 25°, o momento máximo
de cálculo atuante é de 33,6 kN.cm, sendo esta carga no
sentido vertical (carga de gravidade), e o valor de 𝐾𝑚𝑜𝑑 =
0,56, 𝑓𝑐0 = 6 𝑀𝑃𝑎, 𝛾𝑚 = 1,4 para compressão.

43. Vigas de madeira
Por se tratar de um elemento de terça, a flexão que está
atuando nele é a flexão oblíqua, logo, teremos momento
atuando nos dois sentidos dos eixos principais de inercia.
Sendo assim, deve-se determinar o momento atuando em
cada uma das direções.
𝑀𝑥 = 𝑀 cos 𝜃 = 33,6 cos 250
= 33,6 ∙ 0,9063 = 30,45 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
E
𝑀𝑦 = 𝑀 sen 𝜃 = 33,6 sen 250
= 33,6 ∙ 0,4226 = 14,20 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

44. Vigas de madeira
Temos ainda:
𝑓𝑤,𝑑 = 0,56
6
1,4
= 0,24 𝑘𝑁/𝑐𝑚2
𝐼𝑥 =
𝑏ℎ3
12
=
8∙123
12
= 1152 𝑐𝑚4
 𝑊
𝑐𝑥 =
𝐼𝑥
𝑦𝑐1
=
1152
6
= 192 𝑐𝑚3
𝐼𝑦 =
𝑏ℎ3
12
=
12∙83
12
= 512 𝑐𝑚4
 𝑊
𝑐𝑦 =
𝐼𝑥
𝑦𝑐1
=
512
4
= 128 𝑐𝑚3

45. Vigas de madeira
Assim:
𝜎𝑀𝑥,𝑑 =
𝑀𝑥,𝑑
𝑊
𝑐𝑥
=
30,45
192
= 0,16 𝑘𝑁/𝑐𝑚2
E
𝜎𝑀𝑦,𝑑 =
𝑀𝑦,𝑑
𝑊
𝑐𝑦
=
14,20
128
= 0,11 𝑘𝑁/𝑐𝑚2

46. Vigas de madeira
Logo, para verificação da flexão oblíqua:
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑤,𝑑
+ 𝑘𝑚
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑤,𝑑
≤ 1
0,16
0,24
+ 0,5
0,11
0,24
= 0,90 ≤ 1
Ou
𝑘𝑚
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑤,𝑑
+
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑤,𝑑
≤ 1 0,5
0,16
0,24
+
0,11
0,24
= 0,79 ≤ 1

47. Vigas de madeira
Portanto, a segurança da terça foi verificada e atende aos
requisitos de segurança?
Exercício: verificar a segurança da peça (terça) quanto ao
cisalhamento e a flecha.

48. BOA NOITE!