Treliças: Método dos Nós

1
TRELIÇAS
São estruturas formadas por barras, ligadas entre si através de nós.
Consideramos para efeito de cálculo os esforços aplicados nos nós.
Existem alguns tipos de calculo para determinação dos esforços nas
barras, como o Método dos Nós, Método Ritter ou Métodos das seções.
Nesta apostila, serão resolvidos apenas exercícios de treliças pelo
Método dos Nós.
Para determinar os esforços internos nas barras das treliças plana,
devemos verificar a condição de Isostática da Treliça, sendo o primeiro
passo.
Depois calculamos as reações de apoio e os esforços normais axiais nos
nós. Tais esforços serão denominados de N.
1º Condição de Treliça Isostática:
2 . n = b + Sendo
2º Calcular as Reações de Apoio (Vertical e Horizontal):
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣM = 0 (Momento fletor)
Por convenção usaremos: no sentido horário no sentido anti-
horário
+ -
3º Métodos dos Nós
Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós
e nos próximos nós usamos os resultados das forças do nó anterior
fazendo a troca de sinais.
Importante lembrar que somente o jogo de sinais deverão ser feitos na
equação dos nós, pois as forças das reações horizontais e verticais
devem ser inseridos na equação considerando-se exclusivamente os
sinais que possuem, ou seja, não fazer jogo de sinais para tais reações.
Calma, nos exercicios verá que é fácil.
n = nº de nós
b = quantidade de barras
= nº de reações (Verticais e

2
Por Convenção os sinais das forças das barras são: +
TRAÇÃO
- COMPRESSÃO
Treliça Esquemática

3
Exercícios
1º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através
do Método dos Nós.
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+ν
2.6 = 9+3
12 = 12 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HE = 0 VA+VE = 50+100+50 VA.4-50.4-100.2 = 0
VA+VE = 200 KN VA = 400÷4
100+VE = 200 KN VA = 100 KN
VE = 200-100
VE = 100 KN
3º Passo Método dos Nós
Decomposição das forças
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
NAB
VA
NAF
NAB
VA
NAF

4
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA+NAB = 0 NAF = 0
100+NAB = 0
NAB = -100 KN
Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-50-NBA-NBF.cos45° = 0 NBC+NBF.sen45° = 0
-50-(-100)-NBF.cos45° = 0 NBC+70,7.sen45° = 0
-NBF = -50÷cos45° NBC = - 50 KN
NBF = 70,7 KN
Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-100-NCF = 0 -NCB+NCD = 0
NCF = -100 KN -(-50)+NCD = 0
NCD = - 50 KN
Nó “F” Forças Verticais (V)
Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFC+NFB.sen45°+NFD.sen45° = 0 -NFB.cos45°+NFD.cos45°-
NFA+NFE = 0
-100+70,7.sen45°+NFD.sen45° = 0 -70,7.cos45°+70,7.cos45°-0+NFE
= 0
NFD = 50÷sen45° NFE = 0 KN
50
NBA
NBC
NBF
NBF NBA NBF
50
NBC
10
NCF
NC NCNCB
NCF
10
NCB
NFD
NFE NFENFA NFA
NFC
NFB
NFB NFC NFD
NFB NFD

5
NDF
NFD = 70,7 KN
Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NED+100 = 0 0-HE = 0
NED = -100 KN HE = 0 KN
Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-50-NDF.sen45°-NDE = 0 -NDC-NDF.cos45° = 0
-50-70,7.sen45°+100 = 0 -(-50)-70,7.cos45° = 0
-50-50+100 = 0 50-50 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA
FORÇAS NORMAIS
AXIAIS (KN)
ESFORÇO
NAB -100 COMPRESSÃO
NED -100 COMPRESSÃO
NAF 0 -
NEF 0 -
NBC -50 COMPRESSÃO
NDC -50 COMPRESSÃO
NBF 70,7 TRAÇÃO
NDF 70,7 TRAÇÃO
VE
HE HENEF
VE
NEF
NED NED
ND
50 50
ND
ND NDE
NDE
ND

6
NCF -100 COMPRESSÃO
2.n = b+ν
2.5 = 7+3
10 = 10 OK
HA+HB = 40 VB = 20 KN -HA.2+20.4+40.1 = 0
60+HB = 40 -HA.2+120 = 0
HB = 40-60 HA = 120÷2
HB = -20 KN HA = 60 KN

7
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VB-NBA-NBC.sen26,57° = 0 -HB+NBC.cos26,57°
= 0
20-NBA-22,36.sen26,57° = 0 -20+NBC.cos26,57° =
0
NBA = 10 KN NBC = 20÷cos26,57°
NBC = 22,36 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NAB+NAC.sen26,57° = 0
HA+NAC.cos26,57°+NAE = 0
10+NAC.sen26,57° = 0 60+(-
22,36).cos26,57°+NAE = 0
NAC = -10÷sen26,57° NAE+60-20 = 0
NAC = -22,36 KN NAE = -40 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NEC = 0 -NEA+NED =
0
-(-40)+NED = 0
NED = -40 KN
VB
NBA
NBC
NBA
NBCHB
VB
NBC
HB
NAB
NA
NAE
HA
NAB
NA
HANAE
NA
NEC
NEA
NEC
NEDNEANED
NCB
NC
NC
40
NC40
NCB
NC
NCB

8
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NCB.sen26,57°-NCA.sen26,57°-NCE-NCD.sen26,57°=0 -40-NCB.cos26,57°-
NCA.cos26,57°+NCD.cos26,57° = 0
22,36.sen26,57°-(-22,36).sen26,57°-0-NCD.sen26,57°=0 -40-22,36.cos26,57°-(-
22,36).cos26,57°+44,7.cos26,57°=0
10+10-NCD.sen26,57°=0 -40-
20+20+40 = 0
NCD = 20÷sen26,57° 0 = 0
NCD = 44,7 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-20+NDC.sen26,57° = 0 -NDC.cos26,57°-NDE = 0
-20+44,7.sen26,57° = 0 -44,7.cos26,57°-(-40) =
0
-20+20 = 0 -40+40 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA
FORÇAS NORMAIS
AXIAIS (KN)
ESFORÇO
NAB 10 TRAÇÃO
NBC 22,36 TRAÇÃO
NAC -22,36 COMPRESSÃO
NAE -40 COMPRESSÃO
NEC 0 -
NED -40 COMPRESSÃO
NCD 44,7 TRAÇÃO
NCE
NC NCE NC
20
NDE
ND ND
ND
NDE
20

9
2.n = b+ν
2.8 = 13+3
16 = 16 OK

10
HA = 0 VA+VB = 2+2+2 -VB.16+2.12+2.8+2.4=0
VA = 6-3 VB = 48÷16
VA = 3 t VB = 3 t
Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N13.sen36,87°+VA = 0 HA+N13.cos36,87°+N12 = 0
N13.sen36,87°+3 = 0 0+(-
5).cos36,87°+N12 = 0
N13 = -3÷sen36,87° N12 = 4 t
N13 = -5 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N23 = 0 -N21+N24 = 0
-4+N24 = 0
N24 = 4 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2-N34.sen36,87°-N32-N31.sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-
N31.cos36,87°+N35.cos36,87° = 0
N13
VA
N12
VA
N12
HA
N13
HA
N13
N23
N24N21
N23
N21 N24
N32
N34
N34
N31
N35
N31
N35
2
N35
2
N31 N32 N34

11
-2- N34.sen36,87°-0-(-5).sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-(-
5).cos36,87°+N35.cos36,87° = 0
-N34.sen36,87°+N35.sen36,87°-2+3 = 0 +N34.cos36,87°+N35.cos36,87°+4
= 0
(-N34+N35).sen36,87° = -1 (+N34+N35).cos36,87° = -4
N34-N35 = 1÷sen36,87° N34+N35 = -4÷cos36,87°
N34-N35 = 1,67 ”1” N34+N35 = -5
”2”
Sistema de Equações Substituindo na equação
“1” ou “2”
“1” N34-N35 = 1,67 N34+N35 = -5
“2” N34+N35 = -5 -1,67+N35 = -5
2N34 = -3,33 N35 = -5+1,67
N34 = -3,33÷2 N35 = -3,33 t
N34 = -1,67 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2-N53.sen36,87°-N57.sen36,87°-N54 = 0 -
N53.cos36,87°+N57.cos36,87° = 0
-2- (-3,33).sen36,87°-(-3,33).sen36,87°-N54 = 0 -(-
3,33).cos36,87°+N57.cos36,87° = 0
-2+2+2-N54 = 0 2,66+N57.cos36,87°
= 0
+
N54
N57N53
N53 N57
2 2
N53 N54 N57

12
N54 = 2 t N57 = -
2,66÷cos36,87°
N57 = -3,33 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N43.sen36,87°+N45+N47.sen36,87° = 0 -N42+N46-
N43.cos36,87°+N47.cos36,87° = 0
+(-1,67).sen36,87°+2+N47.sen36,87° = 0 -(+4)+N46-(-1,67).cos36,87°+(-
1,67).cos36,87° = 0
-1+2+N47.sen36,87° = 0 N46-4+1,34-1,34 = 0
N47 = -1÷sen36,87° N46 = 4 t
N47 = 1,67 t
Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões,
ângulos), as barras dos nós 7, 6 e 8 são iguais as dos nós 1, 2 e 3, conforme
tabela.
BARRA
FORÇAS NORMAIS
AXIAIS (t)
ESFORÇO
N13 = N87 -5 COMPRESSÃO
N12 = N86 4 TRAÇÃO
N47
N46N42
N45
N43
N43 N45 N47
N42
N43
N46
N47

13
N24 = N64 4 TRAÇÃO
N23 = N67 0 -
N34 = N74 -1,67 COMPRESSÃO
N35 = N75 -3,33 COMPRESSÃO
N54 2 TRAÇÃO

14
2.n = b+ν
2.7 = 11+3
14 = 14 OK
HA+HB =0 VB = 0 -HA.3+2.6+2.4+2.2=0
HA = -HB HA = 24÷3
HB = -8 t HA = 8 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VB-N51-N56.sen26,57° = 0 -HB+N56.cos26,57°
= 0
6-N51-8,94.sen26,57° = 0 -8+N56.cos26,57° =
0
-N51+6-4 = 0 N56 =
8÷cos26,57°
N51 = 2 t N56 = 8,94 t
VB
N56
HB
VB
HB N56
N51 N51 N56

15
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N15+N16.sen45° = 0
HA+N12+N16.cos45° = 0
2+N16.sen45° = 0 8+N12+(-
2,83).cos45° = 0
N16 = -2÷sen45° N12+8-2 = 0
N16 = -2,83 t N12 = - 6 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2+N65.sen26,57°-N61.sen45°-N62-N67.sen26,57°=0 -N65.cos26,57°-
N61.cos45°+N67.cos26,57°=0
-2+8,94.sen26,57°-(-2,83).sen45°-N62-6,7.sen26,57°=0 -8,94.cos26,57°-(-
2,83).cos45°+N67.cos26,57°=0
-2+4+2-3-N62 = 0 -8+2+N67.cos26,57° = 0
N62 = 1 t N67 =
6÷cos26,57°
N67 = 6,7 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N26+N27.sen26,57° = 0 -N21+N23+N27.cos26,57° =
0
1+N27.sen26,57° = 0 -(-6)+N23+(-
2,23).cos26,57° = 0
N15
N16
HA HAN12
N15 N16
N16
N12
N62
N67N61
N65
N67
2 2
N61 N62 N67
N65
N65
N61
N26
N27
N21 N21N23
N26 N27
N27
N23

16
N27 = -1÷sen26,57° N23+6-2 = 0
N27 = -2,23 t N23 = -4 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N37 = 0 -N32+N34 = 0
-(-4)+N34 = 0
N34 = -4 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2+N76.sen26,57°-N72.sen26,57°-N73-N74.sen26,57°=0 -N76.cos26,57°-
N72.cos26,57°+N74.cos26,57°=0
-2+6,7.sen26,57°-(-2,23).sen26,57°-0-N74.sen26,57°=0 -6,7.cos26,57°-(-
2,23).cos26,57°+4,47.cos26,57°=0
-2+3+1-N74.sen26,57° = 0 -6+2+4 = 0
N74 = 2÷sen26,57° 0 = 0
N74 = 4,47 t
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N37
N32 N32N34
N37
N34
N73
N74N72
N76
N74
2 2
N72 N73 N74
N76
N76
N72
N43
N47
2 2
N47
N47
N43

17
-2+N47.sen26,57° = 0 -N43-N47.cos26,57° =
0
-2+4,47.sen26,57° = 0 -(-4)-4,47.cos26,57° = 0
-2+2 = 0 +4-4 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA
FORÇAS NORMAIS
AXIAIS (t)
ESFORÇO
N51 2 TRAÇÃO
N56 8,94 TRAÇÃO
N16 -2,83 COMPRESSÃO
N12 -6 COMPRESSÃO
N62 1 TRAÇÃO
N67 6,7 TRAÇÃO
N23 -4 COMPRESSÃO
N37 0 -
N34 -4 COMPRESSÃO
N74 4,47 TRAÇÃO

18
2.n = b+ν
2.5 = 7+3
10 = 10 OK
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento
fletor)
HA = 0 VA+VB = 10+20 -
VB.2,4+20.1,8+10.0,6=0
VA+17,5 = 30 VB = 42÷2,4
VA = 30-17,5 VB = 17,5 KN
VA = 12,5 KN

19
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA+NAC.sen53,13° = 0
HA+NAE+NAC.cos53,13° = 0
12,5+NAC.sen53,13° = 0 0+NAE+(-
15,63).cos53,13° = 0
NAC = -12,5÷sen53,13° NAE = 9,38 KN
NAC = -15,63 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-10-NCA.sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -
NCA.cos53,13°+NCD+NCE.cos53,13°=0
-10-(-15,63).sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -(-
15,63).cos53,13°+NCD+3,13.cos53,13°=0
-10+12,50-NCE.sen53,13° = 0 9,38+NCD+1,88
= 0
NCE = 2,5÷sen53,13° NCD = -11,26
KN
NCE = 3,13 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NEC.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -NEA+NEB+NED.cos53,13°-
NEC.cos53,13° = 0
VA
NA
HA HANAE
NA
NA
NAE
VA
NCENC
NC
10 10
NC NCE
NCNC
NCE
NED
NEBNEA
NEC
NEA
NEC
NEB
NED
NEC NED

20
3,13.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -9,38+NEB+(-3,13).cos53,13°-
(+3,13).cos53,13° = 0
NED = -2,5÷sen53,13° NEB-9,38-1,88-1,88 =
0
NED = -3,13 KN NEB = 13,14 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-20-NDE.sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -NDE.cos53,13°-
NDC+NDB.cos53,13°=0
-20-(-3,13).sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -(-3,13).cos53,13°-(-11,26)+(-
21,88).cos53,13°=0
-20+2,50-NDB.sen53,13° = 0 1,88+12,26-13,13
= 0
NDB = -17,50÷sen53,13° 0 = 0
NDB = -21,88 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VB+NBD.sen53,13° = 0 -NBD.cos53,13°-NBE = 0
17,5+(-21,88).sen53,13° = 0 -(-21,88).cos53,13°-
13,14 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA
FORÇAS NORMAIS
AXIAIS (KN)
ESFORÇO
NDBNDE
20 20
NDE NDB
NDND
NDB
NDE
VB
NBE
NBD NBD
NBD
NBE
VB

21
NAC -15,63 COMPRESSÃO
NAE 9,38 TRAÇÃO
NCE 3,13 TRAÇÃO
NCD -11,26 COMPRESSÃO
NED -3,13 COMPRESSÃO
NEB 13,14 TRAÇÃO
NDB -21,88 COMPRESSÃO

22
2.n = b+ν
2.5 = 7+3
10 = 10 OK
fletor)
HA+HB = 0 VA = 225 -HB.0,9+75.2,4+150.1,2 = 0
HB = -HA HB = 360÷0,9
HA = - 400 KN HB = 400 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NBA = 0 HB+NBD = 0
400+NBD = 0
NBD = -400 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA-NAB-NAD.sen36,87° = 0 -
HA+NAC+NAD.cos36,87° = 0
225-0-NAD.sen36,87° = 0 -
400+NAC+375.cos36,87 = 0
NAB
NA
HA HANA
VA
NA
NA
NAB
NBA
HB HBNBD
NBA
NBD
VA
NA

23
NAD = 225÷sen36,87° NAC = 100 KN
NAC = 375 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NDA.sen36,87°+NDC = 0 -NDA.cos36,87°-NDB+NDE = 0
375.sen36,87°+NDC = 0 -375.cos36,87°-(-400)+NDE = 0
NDC = -225 KN -300+400+NDE = 0
NDE = -100 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-150-NCD-NCE.sen36,87°=0 -NCA+NCE.cos36,87°=0
-150-(-225)-NCE.sen36,87°=0 -100+125.cos36,87° = 0
-150+225-NCE.sen36,87° = 0 -
100+100 = 0
NCE = 75÷sen36,87° 0 = 0
NCE = 125 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
ND
NDENDB
ND
NDB
ND
NDE
ND ND
NCE
NC
15 15
NC NCE
NC
NC
NCE
NED
NEC
75 75
NEC
NEC
NED

24
-75+NEC.sen36,87° = 0 -NEC.cos36,87°-NED = 0
-75+125.sen36,87° = 0 -125.cos36,87°-(-100) = 0
-75+75 = 0 -100+100 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA
FORÇAS NORMAIS
AXIAIS (KN)
ESFORÇO
NBA 0 -
NBD -400 COMPRESSÃO
NAD 375 TRAÇÃO
NAC 100 TRAÇÃO
NDC -225 COMPRESSÃO
NDE -100 COMPRESSÃO
NCE 125 TRAÇÃO

25
2.n = b+ν
2.8 = 13+3
16 = 16 OK
fletor)
HE = 0 VA+VE = 8 VA.4a-4.3a-4.1a = 0
4+VE = 8 VA.4a-12a-4a = 0
VE = 8-4 VA = 16a÷4a
VE = 4 KN VA = 4 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA+NAB.sen30° = 0 NAB.cos30°+NAF
= 0
4+NAB.sen30° = 0 +(-8)cos30°+NAF
= 0
NAB = -4÷sen30° NAF = 6,9 KN
NAB = -8 KN
VA
NAB
NAF
NAB
NAB
NAF
VA

26
Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFB-4 = 0 -NFA+NFG = 0
NFB = 4 KN -6,9+NFG = 0
NFG = 6,9 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NBC.sen30°-NBA.sen30°-NBF-NBG.sen30° = 0 -
NBA.cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0
NBC.sen30°-(-8).sen30°-4-NBG.sen30° = 0 -(-
8).cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0
NBC.sen30°-NBG.sen30°+4-4 = 0
6,9+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0
NBC.sen30°-NBG.sen30° = 0
NBC.cos30°+NBG.cos30° = -6,9
(NBC-NBG).sen30° = 0
(NBC+NBG).cos30° = -6,9
NBC-NBG = 0÷sen30° NBC+NBG = -
6,9÷cos30°
NBC-NBG = 0 ”1” NBC+NBG = -8
”2”
“1” ou “2”
4
NFA NFANFG
NFB
NFG
4
NFB
NBF
NB
NB
NBA
NBC
NBA
NBC
NBC
NBA NBF NB

27
“1” NBC-NBG = 0 NBC-NBG = 0
“2” NBC+NBG= -8 -4 - NBG = 0
2NBC = -8 NBG = -4 KN
NBC = -8÷2
NBC = -4 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-NCB.sen30°-NCD.sen30°-NCG = 0 -
NCB.cos30°+NCD.cos30° = 0
-(-4).sen30°-(-4).sen30°-NCG = 0 -(-4).cos30°+NCD.cos30° =
0
2 + 2- NCG = 0 3,5+NCD.cos30°
= 0
NCG = 4 KN NCD = -
3,5÷cos30°
NCD = -4 KN
Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NGB.sen30°+NGC+NGD.sen30° = 0 -NGB.cos30°+NGD.cos30°-
NGF+NGH = 0
-4.sen30°+4+NGD.sen30° = 0 -(-4).cos30°+(-4).cos30°-
6,9+NGH = 0
NGD = -2÷sen30 +3,5-3,5-
6,9+NGH = 0
NGD = -4 KN NGH = 6,9
KN
+
NC
NCNCB
NCB NC
NCB NC NC
NG
NGNGF
NG
NG
NG NG NG
NGF
NG
NG
NG

28
ângulos), as barras dos nós H, D e E não precisam ser calculadas.
BARRA
FORÇAS NORMAIS
AXIAIS (KN)
ESFORÇO
NAB = NED -8 COMPRESSÃO
NAF = NEH 6,9 TRAÇÃO
NFG = NHG 6,9 TRAÇÃO
NFB = NHD 4 TRAÇÃO
NBC = NDC -4 COMPRESSÃO
NBG = NDG -4 COMPRESSÃO
NCG 4 TRAÇÃO

29
2.n = b+ν
2.10 = 17+3
20 = 20 OK
fletor)
HJ = 0 VF+VJ = 2000 VF.4a-400.4a-400.3a-
400.2a-400.1a = 0

30
1000+VJ = 2000 VF = 4000a÷4a
VJ = 2000-1000 VF = 1000 N
VJ = 1000 N
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-400-NAF = 0 NAB = 0
NAF = -400 N
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFB.sen45°+NFA+VF = 0 NFB.cos45° +
NFG = 0
NFB.sen45°+(-400)+1000 = 0 -
848,5.cos45°+NFG = 0
NFB = -600÷sen45° NFG = 600 N
NFB = -848,5 N
Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NGB = 0 -NGF+NGH = 0
-600+NGH = 0
NAF
40
NAB
40
NAB
NAF
NFA
NFB
NFG
NFA NFB
NFB
NFG
VF
VF
NGNGF
NG NG
NGF NG

31
NGH = 600 N
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-400-NBF.sen45°-NBG-NBH.sen45°=0 -NBA+NBC-NBF.cos45°+NBH.cos45°
= 0
-400-(-848,5).sen45°-0-NBH.sen45°=0 -0+NBC-(-
848,5).cos45°+282,8.cos45°=0
-400+600-NBH.sen45°=0 NBC+600+200 =
0
NBH = 200÷sen45° NBC = -800 N
NBH = 282,8 N
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-400-NCH=0 -NCB+NCD = 0
NCH = -400 N -(-800)+NCD=0
NCD = -800 N
ângulos), as barras dos nós H, D, I, E e J não precisam ser calculadas.
BARRA
FORÇAS NORMAIS
AXIAIS (N)
ESFORÇO
NAB = NED 0 -
NBA
NBH
NBF
NBC
NBFNBC
40
NB
NBH
NBF NB NBH
NBA
40
NCB
NCNCB
NC
40
NC
NB
40

32
NAF = NEJ -400 COMPRESSÃO
NFB = NJD -848,5 COMPRESSÃO
NFG = NJI 600 TRAÇÃO
NGB = NID 0 -
NGH = NIH 600 TRAÇÃO
NBH = NDH 282,8 TRAÇÃO
NBC = NDC -800 COMPRESSÃO
NCH -400 COMPRESSÃO

33
2.n = b+ν
2.6 = 8+4
12 = 12 OK
fletor)
HE = 18 KN VE+VF = 0 VE.3,6-9.5,4-9.2,7 =
0
HF = 0 VE = -VF VE.3,6-48,6-24,3 = 0
VF = -20,25 KN VE = 72,9÷3,6
VE = 20,25 KN
Por se tratarem de forças de reação horizontal e estarem na mesma linha de
ação, bem como as forças externas de 9 KN serem aplicadas no segmento
AE, a reação horizontal HE sofre sozinha a ação dos 18 KN enquanto a HF não
é solicitada.
Os cálculos mostrarão essa teoria.

34
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NAC = 0 -9+NAB = 0
NAB = 9 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-NBD-NBC.sen36,87°=0 -NBA-NBC = 0
-NBD-(-11,25).sen36,87°=0 -NBA-NBC.cos36,87°=0
-NBD+6,75=0 -9-NBC.cos36,87°
= 0
NBD = 6,75 KN NBC = -9÷cos36,87°
NBC = -11,25 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NCA-NCE+NCB.sen36,87° = 0 -
9+NCB.cos36,87°+NCD = 0
0-NCE+(-11,25).sen36,87° = 0 -9+(-
11,25).cos36,87°+NCD = 0
NCE = -6,75 KN -9-9+NCD =
0
NCD = 18 KN
NA
9 NAB NAB
NA
9
NBA
NBC
NBC
NBD NBC NBD
NBA
NC
NCB
NC
NC NCB
NCB
NC
NCE NCE
9 9

35
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NDB-NDE.sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-NDC = 0
6,75-(-22,5).sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-18 =0
6,75+13,5-NDF=0 NDE = -18÷cos36,87°
NDF = 20,25 KN NDE = -22,5 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VE+NEC+NED.sen36,87° = 0 HE+NED.cos36,87° = 0
20,25+(-6,75)+(-22,5).sen36,87° = 0 HE+(-
22,5).cos36,87° = 0
20,25-6,75-13,5 = 0 HE = 18 KN Ok
0 = 0
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFD-VF = 0 -HF = 0
20,25-20,25 = 0 HF = 0 Ok
ND
NDE
NDE
NDB
NDF
NDE NDF
ND
NDB
NEC
NED
NEC NED
NED
VE
VE
HE H
HE confirmada
NFD NFD
HF
VF
VF
HF

36
0 = 0
BARRA
FORÇAS NORMAIS
AXIAIS (KN)
ESFORÇO
NAB 9 TRAÇÃO
NAC 0 -
NCE -6,75 COMPRESSÃO
NCD 18 TRAÇÃO
NBD 6,75 TRAÇÃO
NBC -11,25 COMPRESSÃO
NDF 20,25 TRAÇÃO
NDE -22,5 COMPRESSÃO
HF confirmada

37
2.n = b+ν
2.6 = 9+3
12 = 12 OK
fletor)
HC+HF = 0 VC = 100 KN HF.4,5-100.7,2 =
0
HF = -HC HF = 720÷4,5
HC = -160 KN HF = 160 KN
NDA
NDE
NDA

38
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NDA-100 = 0 NDE = 0
NDA = 100 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NAB.sen22,62°-NAD-NAE.sen22,62° = 0
NAB.cos22,62°+NAE.cos22,62° = 0
NAB.sen22,62°-100-NAE.sen22,62° = 0 (NAB+NAE).cos22,62°
= 0
(NAB-NAE).sen22,62° = 100 NAB+NAE =
0÷cos22,62°
NAB-NAE = 100÷sen22,62°
NAB-NAE = 260 ”1” NAB+NAE = 0
”2”
“1” ou “2”
“1” NAB-NAE = 260 NAB+NAE = 0
“2” NAB+NAE= 0 130+NAE = 0
2NAB = 260 NAE = -130 KN
NAB = 260÷2
NAB = 130 KN
10
NDE
10
NAB
NAE
NAB
NAB
NAE
NA NA NAE
+
NEB
NEA
NEA NEB
NEF
NEA

39
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NEB+NEA.sen22,62° = 0 NEF-NED-
NEA.cos22,62° = 0
NEB+(-130).sen22,62° = 0 NEF-0-(-
130).cos22,62° = 0
NEB = 50 KN NEF = -120
KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFC+NFB.sen39,81° = 0 -NFE-HF-
NFB.cos39,81° = 0
NFC+(-52).sen39,81° = 0 -(-120)-160-
NFB.cos39,81° = 0
NFC = 33,3 KN NFB = -40÷cos39,81°
NFB = -52 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
+NBC.sen22,62°-NBA.sen22,62°-NBE-NBF.sen39,81°=0 -
NBA.cos22,62°+NBC.cos22,62°+NBF.cos39,81° = 0
NEFNED
NED
NFC
NFB
HF
NFB NFC
HFNFE
NFB
NFE
NBF
NBA
NBC
NBC
NBC
NBE
NBF
NBA NBE NBF
NBA

40
173.sen22,62°-130.sen22,62°-50-(-52).sen39,81°=0 -130.cos22,62°+NBC.cos22,62°+(-
52).cos39,81°=0
66,5-50-50+33,5=0 NBC.cos22,62°-120-40
= 0
0=0 NBC = 160÷cos22,62°
NBC = 173 KN
ΣFV= 0 ΣFH = 0
VC-NCF-NCB.sen22,62°=0 -NCB.cos22,62°+HC = 0
100-(+33,3)-(+173).sen22,62°=0 -(+173).c os22,62°+160 = 0
100-33,3-66,7=0 -160+160 = 0
0=0 0 = 0
BARRA
FORÇAS NORMAIS
AXIAIS (KN)
ESFORÇO
NDA 100 TRAÇÃO
NDE 0 -
NAE -130 COMPRESSÃO
NAB 130 TRAÇÃO
NEB 50 TRAÇÃO
NEF -120 COMPRESSÃO
NFC 33,3 TRAÇÃO
NFB -52 COMPRESSÃO
NBC 173 TRAÇÃO
NCB
HCHC
VC
NCF NCB NCF
NCB
VC

41

42
2.n = b+ν
2.10 = 17+3
20 = 20 OK
fletor)
HA = 0 VA+VB = 30 KN -VB.10+15.6+15.3 = 0
VA+13,5 = 30 VB = 135÷10
VA = 30-13,5 VB = 13,5 KN
VA = 16,5 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA+N12.sen45° = 0
HA+N13+N12.cos45° = 0
16,5+N12.sen45° = 0 0+N13+(-
23).cos45° = 0
N12 = -16,5÷sen45° N13 = 16,3 kN
N12 = -23 KN
N12
N13
N12
N12
N13
VA
VA
HA HA

43
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N32 = 0 -
N31+N32.cos71,57°+N34 = 0
-16,3+0.cos.71,57°+N34
= 0
N34 = 16,3 kN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N42 = 0 -
N43+N42.cos71,57°+N45 = 0
-16,3+0.cos.71,57°+N45
= 0
N45 = 16,3 kN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-15-N21.sen45°-N23.sen71,57°-N24.sen71,57°-N25.sen45°=0 -N21.cos45°-
N23.cos71,57°+N26+N25.cos45°+N24.cos71,57° = 0
-15-(-23).sen45°-0-0-N25.sen45°=0 -(-23).cos45°-
0+N26+2,29.cos45°+0=0
N25 = 1,62÷sen45° N26+16,26+1,62 = 0
N25 = 2,29 KN N26 = -17,88 KN
N32
N34
N32
N32
N34
N31
N31
N42
N45
N42
N32
N34N43
N31
N25
N21
N26
N26
15
N23
N25
N21 N23 N24
N21
15
N24
N25
N24
N23

44
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-15-N65 = 0 -N62+N67 = 0
N65 = -15 KN -(-17,88)+N67 = 0
N67 = -17,88 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N52.sen45°+N56+N57.sen45° = 0 -N52.cos45°-
N54+N57.cos45°+N58 = 0
2,29.sen45°+(-15)+N57.sen45° = 0 -2,29.cos45°-
16,3+18,9.cos45°+N58 = 0
N57.sen45°+1,62-15 = 0 N58-1,62-16,3+13,36
= 0
N57 = 13,38÷sen45° N58 = 4,5 KN
N57 = 18,9 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N87 = 0 -
N85+N87.cos71,57°+N89 = 0
15
N67
15
N67
N65 N65
N62
N62
N57
N58N54
N56
N52
N52 N56 N57
N54
N52
N58
N57
N87
N89
N87
N87
N89
N85
N85

45
-4,5+0.cos.71,57°+N89 =
0
N89 = 4,5 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N97.sen71,57°+VB = 0 -N97.cos71,57°-N98+N910
= 0
N97.sen71,57°+13,5 = 0 -(-14,23).cos71,57°-
4,5+N910 = 0
N97 = -13,5÷sen71,57° N910 = 0
N97 = -14,23 KN
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N107 = 0 -N107-N109 = 0
-0-N109 = 0
N109 = 0
N97
N910
N97
N910
N98
N97
VB
VB
N98
N10
N10
N10
N10
N10
N71
N76
N71
N75
N76

46
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-N75.sen45°-N78.sen71,57°-N79.sen71,57°-N710.sen45° = 0 -N76-N75.cos45°-
N78.cos71,57°+N79.cos71,57°+N710.cos45° = 0
-18,9.sen45°-0-(-14,23).sen71,57°-0=0 -(-17,88)-(+18,9).cos45°-0+(-
14,23).cos71,57°+0=0
-13,5+13,5 = 0 17,88-13,36-4,5 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA
FORÇAS NORMAIS
AXIAIS (KN)
ESFORÇO
N12 -23 COMPRESSÃO
N13 16,3 TRAÇÃO
N34 16,3 TRAÇÃO
N42 0 -
N32 0 -
N45 16,3 TRAÇÃO
N52 2,29 TRAÇÃO
N65 -15 COMPRESSÃO
N58 4,5 TRAÇÃO
N57 18,9 TRAÇÃO
N87 0 -
N89 4,5 TRAÇÃO
N910 0 -
N107 0 -
N78 N75 N78 N79
N75
N79 N71
N79N78

47
Bibliografia
INTRODUÇÃO À ISOSTÁTICA, autor Eloy Ferraz Machado Junior, 2007
Apostila “MECÂNICA DOS MATERIAIS”, autor Ricardo Gaspar, 2005

Treliças: Método dos Nós

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