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- 2. Conjunto dos númerosreais Alguns números que já conheces são representados através de dízimas infinitas onde não há repetição de uma sequência de algarismos. Dízimas infinitas não periódicas EXEMPLOS 𝜋=3,141592653589793 238462643383… √2=1,414213562373095048 801688724 … Este tipo de dízimas, conhecidas por dízimas infinitas não periódicas, não podem ser representadas como o quociente entre dois números inteiros. Podemos, então, concluir que existem números que não são racionais. Um número diz-se racional se puder ser escrito na forma , onde e são números inteiros e . NOTA:
- 3. Conjunto dos númerosreais Números irracionais EXEMPLOS Um número diz-se irracional se puder ser representado por uma dízima infinita não periódica. , e são números irracionais, pois podem ser representados por dízimas infinitas não periódicas. , e são números racionais, pois podem ser representados por números inteiros. √64= 8− 15 3 =− 5 3 √ 8=2 , e são números racionais, pois podem ser representados por dízimas finitas. 2 𝜋=6,283185307 …√10=3,162277660…3 √7=1,912931182772… √0,36=0,6− 12 5 =− 2,4 3 √ 1 64 = 1 4 ¿0,25
- 4. Conjunto dos númerosreais Números irracionais EXEMPLOS (continuação) Um número diz-se irracional se puder ser representado por uma dízima infinita não periódica. , e são números racionais, pois podem ser representados por dízimas infinitas periódicas. 3 √8 27 = 2 3 ¿0,666 666…¿ 0 ,(6) − √25 121 =− 5 11 ¿− 0,454545…¿ − 0 , (45 ) 12 7 ¿1,714 285714 285714285…¿ 1 , (714285)
- 5. Conjunto dos númerosreais Resumindo: Números reais Números Racionais Irracionais Números inteiros Dízimas infinitas periódicas Dízimas infinitas não periódicas Dízimas finitas Ao conjunto que contém os números racionais e os números irracionais dá-se o nome de conjunto dos números reais e representa-se por .
- 6. Assim, . Repara queo conjunto dos números naturais, , está contido no conjunto dos números inteiros, , que, por sua vez, está contido no conjunto dos números racionais, . Esta relação pode ser escrita recorrendo ao símbolo “contido”, . Conjunto dos números reais Relacionando todos os conjuntos que conheces, temos: Números reais Números racionais () Números inteiros () Números naturais () Números irracionais Números reais () 0 7 √25 3 √8 18 3 −2 −35 −√9 − 3 √64 − 22 2 −103 4,2 −3,4 − 0,(3) 2,(81) 1 7 − 2 5 √1,44 1 2 3 𝜋 𝜋 +4 √15 −2√5 3 √2 √7 5 −3 𝜋 𝜋 3 Como o conjunto dos números reais, , contém o conjunto dos números racionais, vem que .
- 7. Conjunto dos númerosreais Completa corretamente os espaços em branco, utilizando os símbolos ou . EXERCÍCIO 1 a) b) c) d) e) f) g) h) Sugestão de resolução: Utiliza-se o símbolo para representar os números reais negativos e o símbolo para representar os números reais positivos. representa os números reais não positivos e representa os números reais não negativos. NOTA: a) é um número inteiro, logo podemos afirmar que é um número real, pois . ∈ ∈ ∉ ∉ b) é um número real, mas não é um número real positivo. c) e é um número inteiro. d) e é um número inteiro que não é natural.
- 8. Conjunto dos númerosreais Completa corretamente os espaços em branco, utilizando os símbolos ou . EXERCÍCIO 1 a) b) c) d) e) f) g) h) Sugestão de resolução (continuação): Utiliza-se o símbolo para representar os números reais negativos e o símbolo para representar os números reais positivos. representa os números reais não positivos e representa os números reais não negativos. NOTA: e) é uma dízima infinita periódica, logo é um número racional. ∈ ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∈ ∉ f) é um número racional. g) é um número real negativo. h) é um número natural que não pertence a nem a .
- 9. Conjunto dos númerosreais Assinala a opção que apresenta um número que pode ser representado por uma dízima infinita periódica. EXERCÍCIO 2 é um número racional, pois é o quociente de números inteiros, isto é, pode ser representado por uma dízima finita ou por uma dízima infinita periódica. , e são números irracionais, ou seja, podem ser representados por dízimas infinitas não periódicas. Assim, o quociente entre qualquer um destes valores e um qualquer número inteiro também é um número irracional, o que corresponde a uma dízima infinita não periódica. Opção C (A) (B) (C) (D) Prova Final .º Ciclo – , 1.ª fase Sugestão de resolução:
- 10. Conjunto dos númerosreais Apenas um dos quatro números que se seguem é um número irracional. Qual? EXERCÍCIO 3 , pois . , porque . . (A) (B) (C) (D) Teste Intermédio .º ano – Sugestão de resolução: Assim, o único número irracional entre os quatro números tem de ser o número . Opção D
- 11. Conjunto dos númerosreais Quais são os números naturais, maiores do que e menores do que , cuja raiz quadrada é um número racional? EXERCÍCIO 4 As raízes quadradas de números naturais são números racionais se forem também números naturais. Os números que verificam a condição imposta são os quadrados perfeitos maiores do que e menores do que . Recorrendo à calculadora, tem-se que e … Os quadrados perfeitos maiores do que e menores do que são , , e . Assim, os números , , e , são os números naturais maiores do que e menores do que , cuja raiz quadrada é um número racional. Prova de Aferição .º ano – Sugestão de resolução: