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2
Atividade 1
Classifique as afirmações seguintes em verdadeiras (V) ou falsas
(F):
a) Todo número primo é ímpar.
b) Se dois números inteiros têm o mesmo módulo, então eles
são iguais.
c) O quadrado de um número natural não nulo é sempre maior
do que o próprio número.
d) O cubo de um número inteiro não nulo é sempre maior que o
quadrado desse número.
e) Se a  Z e b  Z e a > b, então a2 > b2.
3
Conjuntos numéricos
▪ Conjunto dos Números Racionais
4
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Racionais
O conjunto Z é fechado em relação às operações de
adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não
acontece em relação à divisão.
Note que, embora (- 12) : (+ 4) = - 3  Z, não existe
número inteiro x para o qual se tenha x = (+ 4) : (- 12).
Por esse motivo, fez-se necessária uma ampliação do
conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números
racionais Q.
5
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais, identificado por
Q, é inicialmente descrito como o conjunto dos
quocientes entre dois números inteiros, em que o
divisor é diferente de zero.
Por exemplo, são números racionais:
6
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Racionais
Podemos escrever, de modo mais simplificado:
Dessa forma, podemos definir o conjunto Q como o
conjunto das frações
𝒑
𝒒
; assim, um número é racional
quando pode ser escrito como uma fração
𝑝
𝑞
, com p e q
inteiros e q  0.
7
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Racionais
Se q = 1, temos
𝑝
𝑞
=
𝑝
1
= p  Z, o que mostra que Z é
subconjunto de Q. Assim, podemos construir o diagrama:
8
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Racionais
No conjunto Q destacamos os seguintes
subconjuntos:
▪ Q*: conjunto dos números racionais não nulos;
▪ Q+: conjunto dos números racionais não negativos;
▪ Q*+ : conjunto dos números racionais positivos;
▪ Q–: conjunto dos números racionais não positivos;
▪ Q*– : conjunto dos números racionais negativos.
9
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Racionais
O conjunto Q é fechado para as operações de
adição, multiplicação e subtração. Como não se define
“divisão por zero”, o conjunto Q não é fechado em
relação à divisão.
No entanto, o conjunto Q* é fechado em relação à
divisão.
10
Conjuntos Numéricos
Representação decimal das frações
Tomemos um número racional p/q, tal que p não seja
múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a
divisão do numerador pelo denominador.
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
▪ 1° Caso) O quociente obtido tem, após a vírgula, uma
quantidade finita de algarismos e o resto da divisão é zero.
11
Conjuntos Numéricos
Representação decimal das frações
▪ Quando isso ocorrer, os decimais obtidos são chamados
decimais exatos.
▪ Observe que acrescentar uma quantidade finita ou infinita
de algarismos iguais a zero, à direita do último algarismo
diferente de zero, não altera o quociente obtido. Veja, no
exemplo, algumas representações possíveis para o número
racional 2/5:
12
Conjuntos Numéricos
Representação decimal das frações
▪ Inversamente, a partir do decimal exato 0,4, podemos
identificá-lo com a fração
4
10
, que, simplificada, se reduz a
2
5
13
Conjuntos Numéricos
Representação decimal das frações
▪ 2° Caso) O quociente obtido tem, após a vírgula, uma
infinidade de algarismos, nem todos iguais a zero, e não é
possível obter resto igual a zero na divisão.
14
Conjuntos Numéricos
Representação decimal das frações
▪ Observe que, nesses casos, ocorre uma
repetição de alguns algarismos.
▪ Os números decimais obtidos são chamados
decimais periódicos ou dízimas periódicas; em
cada um deles, os algarismos que se repetem
formam a parte periódica, ou período da
dízima.
▪ Para não escrever repetidamente os algarismos
de uma dízima, colocamos um traço horizontal
sobre seu primeiro período.
15
Conjuntos Numéricos
Representação decimal das frações
▪ Se uma fração é equivalente a uma dízima
periódica, ela é chamada geratriz dessa dízima.
Nos exemplos anteriores, 2/3 é a fração
geratriz da dízima 0,66..., assim como 11/9 é a
fração geratriz da dízima 1,222..., etc.
▪ Para uma fração (irredutível) gerar uma dízima,
é necessário que, na decomposição do
denominador em fatores primos, haja algum
fator diferente de 2 e de 5.
16
Conjuntos Numéricos
Representação fracionária das dízimas periódicas
▪ Vamos apresentar alguns exemplos de transformação de dízimas periódicas em
frações.
EXEMPLO 1
17
Conjuntos Numéricos
Representação fracionária das dízimas periódicas
EXEMPLO 2
18
Conjuntos Numéricos
Representação fracionária das dízimas periódicas
EXEMPLO 3
19
Conjuntos Numéricos
Representação geométrica do conjunto dos números racionais
Daremos exemplos de números racionais e os localizaremos
na reta numerada, que já contém alguns números inteiros
assinalados:
Podemos notar que entre dois números inteiros consecutivos
existem infinitos números racionais e, também, que entre dois
números racionais quaisquer há infinitos números racionais.
20
Conjuntos Numéricos
Representação geométrica do conjunto dos números racionais
21
Conjuntos Numéricos
Oposto, módulo e inverso de um número racional
Os conceitos de oposto e módulo, já estudados para os
números inteiros, também são válidos para um número racional
qualquer.
22
Conjuntos Numéricos
Oposto, módulo e inverso de um número racional
▪ Dois números racionais são ditos inversos um do outro se o
produto deles é igual a 1.
▪ 5/6 e 6/5 são inversos um do outro;
▪ 2 é o inverso de 1/2
▪ 5/3 é o inverso de 3/5.
▪ Observe que dois números inversos entre si têm
necessariamente mesmo sinal.
23
Atividade 1
24
A1
A2
25
Conjuntos Numéricos
▪ Conjunto dos Números Irracionais
▪ Conjunto dos Números Reais
26
Grande abraço
Prof. Abraão

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  • 2. 2 Atividade 1 Classifique as afirmações seguintes em verdadeiras (V) ou falsas (F): a) Todo número primo é ímpar. b) Se dois números inteiros têm o mesmo módulo, então eles são iguais. c) O quadrado de um número natural não nulo é sempre maior do que o próprio número. d) O cubo de um número inteiro não nulo é sempre maior que o quadrado desse número. e) Se a  Z e b  Z e a > b, então a2 > b2.
  • 3. 3 Conjuntos numéricos ▪ Conjunto dos Números Racionais
  • 4. 4 Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Racionais O conjunto Z é fechado em relação às operações de adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não acontece em relação à divisão. Note que, embora (- 12) : (+ 4) = - 3  Z, não existe número inteiro x para o qual se tenha x = (+ 4) : (- 12). Por esse motivo, fez-se necessária uma ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números racionais Q.
  • 5. 5 Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Racionais O conjunto dos números racionais, identificado por Q, é inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre dois números inteiros, em que o divisor é diferente de zero. Por exemplo, são números racionais:
  • 6. 6 Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Racionais Podemos escrever, de modo mais simplificado: Dessa forma, podemos definir o conjunto Q como o conjunto das frações 𝒑 𝒒 ; assim, um número é racional quando pode ser escrito como uma fração 𝑝 𝑞 , com p e q inteiros e q  0.
  • 7. 7 Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Racionais Se q = 1, temos 𝑝 𝑞 = 𝑝 1 = p  Z, o que mostra que Z é subconjunto de Q. Assim, podemos construir o diagrama:
  • 8. 8 Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Racionais No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: ▪ Q*: conjunto dos números racionais não nulos; ▪ Q+: conjunto dos números racionais não negativos; ▪ Q*+ : conjunto dos números racionais positivos; ▪ Q–: conjunto dos números racionais não positivos; ▪ Q*– : conjunto dos números racionais negativos.
  • 9. 9 Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Racionais O conjunto Q é fechado para as operações de adição, multiplicação e subtração. Como não se define “divisão por zero”, o conjunto Q não é fechado em relação à divisão. No entanto, o conjunto Q* é fechado em relação à divisão.
  • 10. 10 Conjuntos Numéricos Representação decimal das frações Tomemos um número racional p/q, tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: ▪ 1° Caso) O quociente obtido tem, após a vírgula, uma quantidade finita de algarismos e o resto da divisão é zero.
  • 11. 11 Conjuntos Numéricos Representação decimal das frações ▪ Quando isso ocorrer, os decimais obtidos são chamados decimais exatos. ▪ Observe que acrescentar uma quantidade finita ou infinita de algarismos iguais a zero, à direita do último algarismo diferente de zero, não altera o quociente obtido. Veja, no exemplo, algumas representações possíveis para o número racional 2/5:
  • 12. 12 Conjuntos Numéricos Representação decimal das frações ▪ Inversamente, a partir do decimal exato 0,4, podemos identificá-lo com a fração 4 10 , que, simplificada, se reduz a 2 5
  • 13. 13 Conjuntos Numéricos Representação decimal das frações ▪ 2° Caso) O quociente obtido tem, após a vírgula, uma infinidade de algarismos, nem todos iguais a zero, e não é possível obter resto igual a zero na divisão.
  • 14. 14 Conjuntos Numéricos Representação decimal das frações ▪ Observe que, nesses casos, ocorre uma repetição de alguns algarismos. ▪ Os números decimais obtidos são chamados decimais periódicos ou dízimas periódicas; em cada um deles, os algarismos que se repetem formam a parte periódica, ou período da dízima. ▪ Para não escrever repetidamente os algarismos de uma dízima, colocamos um traço horizontal sobre seu primeiro período.
  • 15. 15 Conjuntos Numéricos Representação decimal das frações ▪ Se uma fração é equivalente a uma dízima periódica, ela é chamada geratriz dessa dízima. Nos exemplos anteriores, 2/3 é a fração geratriz da dízima 0,66..., assim como 11/9 é a fração geratriz da dízima 1,222..., etc. ▪ Para uma fração (irredutível) gerar uma dízima, é necessário que, na decomposição do denominador em fatores primos, haja algum fator diferente de 2 e de 5.
  • 16. 16 Conjuntos Numéricos Representação fracionária das dízimas periódicas ▪ Vamos apresentar alguns exemplos de transformação de dízimas periódicas em frações. EXEMPLO 1
  • 17. 17 Conjuntos Numéricos Representação fracionária das dízimas periódicas EXEMPLO 2
  • 18. 18 Conjuntos Numéricos Representação fracionária das dízimas periódicas EXEMPLO 3
  • 19. 19 Conjuntos Numéricos Representação geométrica do conjunto dos números racionais Daremos exemplos de números racionais e os localizaremos na reta numerada, que já contém alguns números inteiros assinalados: Podemos notar que entre dois números inteiros consecutivos existem infinitos números racionais e, também, que entre dois números racionais quaisquer há infinitos números racionais.
  • 20. 20 Conjuntos Numéricos Representação geométrica do conjunto dos números racionais
  • 21. 21 Conjuntos Numéricos Oposto, módulo e inverso de um número racional Os conceitos de oposto e módulo, já estudados para os números inteiros, também são válidos para um número racional qualquer.
  • 22. 22 Conjuntos Numéricos Oposto, módulo e inverso de um número racional ▪ Dois números racionais são ditos inversos um do outro se o produto deles é igual a 1. ▪ 5/6 e 6/5 são inversos um do outro; ▪ 2 é o inverso de 1/2 ▪ 5/3 é o inverso de 3/5. ▪ Observe que dois números inversos entre si têm necessariamente mesmo sinal.
  • 25. 25 Conjuntos Numéricos ▪ Conjunto dos Números Irracionais ▪ Conjunto dos Números Reais