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MATEMÁTICA
Téc em Administração – 2º Semestre
Aplicações da Matemática
Financeira: capital, montante, juros
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Em uma sociedade capitalista, é de fundamental importância o
conhecimento, por parte de todos os indivíduos dessa sociedade, das
ideias e conceitos relativos à Matemática Financeira, tais como:
Porcentagem, Capital, Juros e Montante.
As páginas seguintes têm o objetivo de ajudar na compreensão dos
conceitos citados e, consequentemente, na resolução de problemas
envolvendo os mesmos.
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Fundamentalmente, a Matemática Financeira estuda os procedimentos
utilizados em pagamentos de empréstimos, bem como os métodos de
análise de investimentos em geral.
Isso não impede, porém, que alguns conceitos da Matemática
Financeira, como o de porcentagem, por exemplo, possam ser utilizados
em problemas que não envolvem dinheiro.
Exemplo: Podemos calcular o percentual de aumento na altura de uma
planta em determinado intervalo de tempo.
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante um
certo tempo, essa quantia é chamada de capital (ou principal) e é indicada
por C.
O valor que o emprestador cobra pelo uso do dinheiro, ou o valor pago
pelo tomador do empréstimo é chamado de juros e indicado por J.
Matemática, 1º Ano, Aplicações da Matemática
Financeira: capital, montante, juros
A taxa de juros, indicada por i (do inglês interest, que significa juros), é
expressa como porcentagem do capital. Ela representa os juros numa certa
unidade de tempo, normalmente indicada da seguinte forma: ao dia (a.d.),
ao mês (a.m.), ao ano (a.a.), etc.
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
De modo geral, os juros no período são iguais ao produto do capital pela
taxa, isto é:
J = C ∙ i (juros no período da taxa)
Se o pagamento do empréstimo for feito numa única parcela, ao final do
prazo do empréstimo, o tomador pagará a soma do capital emprestado
com o juro, que chamaremos de montante e indicaremos por M.
M = C + J
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Juros Simples
Nesta modalidade, os juros são sempre calculados sobre um valor fixo (o
capital). Assim, considerando um capital C aplicado a uma taxa i por
período e durante t períodos de tempo, os juros simples da aplicação
serão iguais à soma de t parcelas iguais a C ∙ i, ou seja:
J = C ∙ i + C ∙ i + C ∙ i + ... + C ∙ i
Portanto:
J = C ∙ i ∙ t
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Juros Compostos
Nesta modalidade os juros são calculados de acordo com o montante
acumulado até o período anterior, ou seja, o montante após uma
quantidade t de períodos de tempo é:
Mt = Mt  1 + Mt  1 ∙ i
Em resumo:
Mt = C ∙ (1 + i)t
A fórmula acima é indicada habitualmente sem o índice, escrevendo-se
simplesmente:
M = C ∙ (1 + i)t
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Bina deseja comprar um automóvel que custa, atualmente, R$ 48
000,00. Ela fez uma pesquisa e constatou que esse modelo vem
aumentando seu valor a uma taxa de 1% ao mês. Bina aplicou seus R$
36 000,00 em um fundo que rende 4% ao mês. Em quanto tempo Bina
terá o dinheiro suficiente para comprar o seu carro, considerando que
essas condições se mantenham por todo o período?
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Para respondermos à pergunta do problema de Bina, devemos saber ainda
se os reajustes e os rendimentos do fundo são em juros simples ou
compostos.
Vejamos, então, os seguintes casos:
•Os reajustes e os rendimentos são em juros simples;
•Os reajustes e os rendimentos são em juros compostos;
•Os reajustes são em juros simples e os rendimentos em juros compostos;
•Os reajustes são em juros compostos e os rendimentos em juros simples.
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Os reajustes e os rendimentos são em juros simples
Neste caso, temos que:
J = C ∙ i ∙ t
E o montante do valor do automóvel será igual ao montante do
investimento:
Ma = Mi
Logo:
Ca + Ca ∙ ia ∙ t = Ci + Ci ∙ ii ∙ t
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Assim:
48 000 + 48 000 ∙ 0,01 ∙ t = 36 000 + 36 000 ∙ 0,04 ∙ t
48 000 + 480t = 36 000 + 1 440t
1 440t  480t = 48 000  36 000
960t = 12 000
t = 12 000 : 960
t = 12,5 meses
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Os reajustes e os rendimentos são em juros
compostos
Neste caso:
Ca ∙ (1 + ia)t = Ci ∙ (1 + ii)t
48 000 ∙ (1 + 0,01)t = 36 000 ∙ (1 + 0,04)t
Aplicando logaritmo aos dois membros:
log [48 000(1,01)t] = log [36 000(1,04)t]
log 48 000 + t ∙ log 1,01 = log 36 000 + t ∙ log 1,04
4,68124 + 0,00432 ∙ t = 4,5563 + 0,01703 ∙ t
Portanto:
t  9,83 meses
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Os reajustes são em juros simples e os rendimentos
em juros compostos
Agora, temos:
48 000 + 48 000 ∙ 0,01 ∙ t = 36 000 ∙ (1 + 0,04)t
480(100 + t) = 36 000(1,04)t
Aplicando logaritmo, teremos:
log [480(100 + t)] = log [36 000(1,04)t]
log 480 + log (100 + t) = log 36 000 + log (1,04)t
log (100 + t)  log (1,04)t = log 36 000  log 480
Daí resulta:
log [(100 + t)/(1,04)t] = log (36 000/480)
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Portanto:
(100 + t)/(1,04)t = 75
100 + t = 75 ∙ (1,04)t
Fazendo os gráficos das funções y = 100 + t e y = 75 ∙ (1,04)t, temos:
Assim, a abscissa positiva do ponto de intersecção nos dará a resposta:
t  9,7 meses
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Os reajustes são em juros compostos e os rendimentos
em juros simples
De forma idêntica ao caso anterior, teremos:
48 000 ∙ (1 + 0,01)t = 36 000 + 36 000 ∙ 0,04 ∙ t
Seguindo-se os passos anteriores chegamos, finalmente, a:
75 + 3t = 100 ∙ (1,01)t
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Fazendo-se, então, os gráficos das funções y = 75 + 3t e y = 100(1,01)t,
teremos:
A abscissa positiva do ponto de intersecção é:
t  12,9 meses
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Atividades Resolvidas
1) Qual o montante de uma aplicação de R$ 12 000,00 a juros simples,
à taxa de 18% a.a. durante 5 anos?
C = R$ 12 000,00
i = 18% a.a. = 0,18 a.a.
t = 5 anos
M = C + J  M = C + C ∙ i ∙ t  M = C ∙ (1 + i ∙ t)
Portanto:
M = 12 000 ∙ (1 + 0,18 ∙ 5)
M = 12 000 ∙ 1,90
M = 22 800 reais
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
2) Um capital de R$ 20 000,00 é aplicado a juros simples, durante 2 anos, à
taxa de 2% a.m. Qual o montante obtido?
C = R$ 20 000,00
t = 2 anos = 24 meses
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
M = C ∙ (1 + i ∙ t)
M = 20 000 ∙ (1 + 0,02 ∙ 24)
M = 20 000 ∙ 1,48
M = 29 600 reais
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
3) Determine o capital que, aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% a.m.,
durante 2 anos, resulta em um montante de R$ 16 000,00.
i =2,5% a.m. = 0,025 a.m.
t = 2 anos = 24 meses
M = R$ 16 000,00
M = C ∙ (1 + i ∙ t)
16 000 = C ∙ (1 + 0,025 ∙ 24)
16 000 = 1,6 ∙ C
C = 16 000
1,6
C = 10 000 reais
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
4) Calcule o capital que, aplicado a juros simples, durante 11 meses, e à
taxa de 1,5% a.m., proporciona juros de R$ 825,00.
t = 11 meses
i = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.
J = R$ 825,00
J = C ∙ i ∙ t
825 = C ∙ 0,015 ∙ 11
825 = 0,165 ∙ C
C = 825 .
0,165
C = 5 000 reais
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
5) Qual o montante de uma aplicação de R$ 3 000,00 a juros
compostos, durante 10 meses, à taxa de 1,4% a.m.?
C = R$ 3 000,00
t = 10 meses
i = 1,4% a.m. = 0,014 a.m.
M = C ∙ (1 + i)t
M = 3 000 ∙ (1 + 0,014)10
M = 3 000 ∙ (1,014)10
M  3 000 ∙ 1,15
M  3 450 reais
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
6) Uma empresa tomou um empréstimo bancário de R$ 80 000,00 pelo
prazo de 1 ano. Calcule o montante pago sabendo que o banco cobrou
juros compostos à taxa de 5% a.t.
C = R$ 80 000,00
t = 1 ano = 4 trimestres
i = 5% a.t. = 0,05 a.t.
M = C ∙ (1 + i)t
M = 80 000 ∙ (1 + 0,05)4
M  80 000 ∙ 1,2155
M  97 240,00
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
Atividades Propostas
1) Um capital foi aplicado em regime de juros simples à taxa de 1,5% a.m.,
por 3 meses. Ao final desse período, apresentou um rendimento de R$
135,00. Qual o capital aplicado?
2) Qual é a taxa mensal de juros simples que faz um capital de R$ 9 500,00
produzir um montante de R$ 11 900,00 ao fim de 1 ano?
3) O preço à vista de um eletrodoméstico é R$ 350,00. Dando-se uma entrada
de R$ 80,00, financia-se o restante em 12 meses com juros simples de 4% ao
mês. Qual será o valor de cada prestação?
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
4) Andrea deseja aplicar R$ 18 000,00 a juros compostos de 0,5% ao mês. Que
montante ela terá após 1 ano de aplicação?
5) Um capital foi aplicado em regime de juros compostos, por 24 meses, a uma
taxa de 7% ao mês. Sabendo que o montante da aplicação foi de R$ 12 825,00,
qual o valor aplicado?
6) Ana quer aplicar R$ 6 000,00 com o objetivo de, após 1 ano e 3 meses, ter
guardado R$ 9 348,00. Que taxa mensal sua aplicação deverá ter para que ela
consiga o valor desejado?
Aplicações da Matemática Financeira: capital,
montante, juros
LINKS
http://www.uff.br/cdme/poupanca/poupanca-
html/poupanca_home-br.html
http://www.proativams.com.br/files_aberto/Livro%20de
%20MForiginal.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=y8Q6ZHuq8nc

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  • 1. MATEMÁTICA Téc em Administração – 2º Semestre Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros
  • 2. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Em uma sociedade capitalista, é de fundamental importância o conhecimento, por parte de todos os indivíduos dessa sociedade, das ideias e conceitos relativos à Matemática Financeira, tais como: Porcentagem, Capital, Juros e Montante. As páginas seguintes têm o objetivo de ajudar na compreensão dos conceitos citados e, consequentemente, na resolução de problemas envolvendo os mesmos.
  • 3. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Fundamentalmente, a Matemática Financeira estuda os procedimentos utilizados em pagamentos de empréstimos, bem como os métodos de análise de investimentos em geral. Isso não impede, porém, que alguns conceitos da Matemática Financeira, como o de porcentagem, por exemplo, possam ser utilizados em problemas que não envolvem dinheiro. Exemplo: Podemos calcular o percentual de aumento na altura de uma planta em determinado intervalo de tempo.
  • 4. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante um certo tempo, essa quantia é chamada de capital (ou principal) e é indicada por C. O valor que o emprestador cobra pelo uso do dinheiro, ou o valor pago pelo tomador do empréstimo é chamado de juros e indicado por J.
  • 5. Matemática, 1º Ano, Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros A taxa de juros, indicada por i (do inglês interest, que significa juros), é expressa como porcentagem do capital. Ela representa os juros numa certa unidade de tempo, normalmente indicada da seguinte forma: ao dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao ano (a.a.), etc.
  • 6. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros De modo geral, os juros no período são iguais ao produto do capital pela taxa, isto é: J = C ∙ i (juros no período da taxa) Se o pagamento do empréstimo for feito numa única parcela, ao final do prazo do empréstimo, o tomador pagará a soma do capital emprestado com o juro, que chamaremos de montante e indicaremos por M. M = C + J
  • 7. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Juros Simples Nesta modalidade, os juros são sempre calculados sobre um valor fixo (o capital). Assim, considerando um capital C aplicado a uma taxa i por período e durante t períodos de tempo, os juros simples da aplicação serão iguais à soma de t parcelas iguais a C ∙ i, ou seja: J = C ∙ i + C ∙ i + C ∙ i + ... + C ∙ i Portanto: J = C ∙ i ∙ t
  • 8. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Juros Compostos Nesta modalidade os juros são calculados de acordo com o montante acumulado até o período anterior, ou seja, o montante após uma quantidade t de períodos de tempo é: Mt = Mt  1 + Mt  1 ∙ i Em resumo: Mt = C ∙ (1 + i)t A fórmula acima é indicada habitualmente sem o índice, escrevendo-se simplesmente: M = C ∙ (1 + i)t
  • 9. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Bina deseja comprar um automóvel que custa, atualmente, R$ 48 000,00. Ela fez uma pesquisa e constatou que esse modelo vem aumentando seu valor a uma taxa de 1% ao mês. Bina aplicou seus R$ 36 000,00 em um fundo que rende 4% ao mês. Em quanto tempo Bina terá o dinheiro suficiente para comprar o seu carro, considerando que essas condições se mantenham por todo o período?
  • 10. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Para respondermos à pergunta do problema de Bina, devemos saber ainda se os reajustes e os rendimentos do fundo são em juros simples ou compostos. Vejamos, então, os seguintes casos: •Os reajustes e os rendimentos são em juros simples; •Os reajustes e os rendimentos são em juros compostos; •Os reajustes são em juros simples e os rendimentos em juros compostos; •Os reajustes são em juros compostos e os rendimentos em juros simples.
  • 11. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Os reajustes e os rendimentos são em juros simples Neste caso, temos que: J = C ∙ i ∙ t E o montante do valor do automóvel será igual ao montante do investimento: Ma = Mi Logo: Ca + Ca ∙ ia ∙ t = Ci + Ci ∙ ii ∙ t
  • 12. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Assim: 48 000 + 48 000 ∙ 0,01 ∙ t = 36 000 + 36 000 ∙ 0,04 ∙ t 48 000 + 480t = 36 000 + 1 440t 1 440t  480t = 48 000  36 000 960t = 12 000 t = 12 000 : 960 t = 12,5 meses
  • 13. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Os reajustes e os rendimentos são em juros compostos Neste caso: Ca ∙ (1 + ia)t = Ci ∙ (1 + ii)t 48 000 ∙ (1 + 0,01)t = 36 000 ∙ (1 + 0,04)t Aplicando logaritmo aos dois membros: log [48 000(1,01)t] = log [36 000(1,04)t] log 48 000 + t ∙ log 1,01 = log 36 000 + t ∙ log 1,04 4,68124 + 0,00432 ∙ t = 4,5563 + 0,01703 ∙ t Portanto: t  9,83 meses
  • 14. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Os reajustes são em juros simples e os rendimentos em juros compostos Agora, temos: 48 000 + 48 000 ∙ 0,01 ∙ t = 36 000 ∙ (1 + 0,04)t 480(100 + t) = 36 000(1,04)t Aplicando logaritmo, teremos: log [480(100 + t)] = log [36 000(1,04)t] log 480 + log (100 + t) = log 36 000 + log (1,04)t log (100 + t)  log (1,04)t = log 36 000  log 480 Daí resulta: log [(100 + t)/(1,04)t] = log (36 000/480)
  • 15. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Portanto: (100 + t)/(1,04)t = 75 100 + t = 75 ∙ (1,04)t Fazendo os gráficos das funções y = 100 + t e y = 75 ∙ (1,04)t, temos: Assim, a abscissa positiva do ponto de intersecção nos dará a resposta: t  9,7 meses
  • 16. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Os reajustes são em juros compostos e os rendimentos em juros simples De forma idêntica ao caso anterior, teremos: 48 000 ∙ (1 + 0,01)t = 36 000 + 36 000 ∙ 0,04 ∙ t Seguindo-se os passos anteriores chegamos, finalmente, a: 75 + 3t = 100 ∙ (1,01)t
  • 17. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Fazendo-se, então, os gráficos das funções y = 75 + 3t e y = 100(1,01)t, teremos: A abscissa positiva do ponto de intersecção é: t  12,9 meses
  • 18. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Atividades Resolvidas 1) Qual o montante de uma aplicação de R$ 12 000,00 a juros simples, à taxa de 18% a.a. durante 5 anos? C = R$ 12 000,00 i = 18% a.a. = 0,18 a.a. t = 5 anos M = C + J  M = C + C ∙ i ∙ t  M = C ∙ (1 + i ∙ t) Portanto: M = 12 000 ∙ (1 + 0,18 ∙ 5) M = 12 000 ∙ 1,90 M = 22 800 reais
  • 19. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros 2) Um capital de R$ 20 000,00 é aplicado a juros simples, durante 2 anos, à taxa de 2% a.m. Qual o montante obtido? C = R$ 20 000,00 t = 2 anos = 24 meses i = 2% a.m. = 0,02 a.m. M = C ∙ (1 + i ∙ t) M = 20 000 ∙ (1 + 0,02 ∙ 24) M = 20 000 ∙ 1,48 M = 29 600 reais
  • 20. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros 3) Determine o capital que, aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% a.m., durante 2 anos, resulta em um montante de R$ 16 000,00. i =2,5% a.m. = 0,025 a.m. t = 2 anos = 24 meses M = R$ 16 000,00 M = C ∙ (1 + i ∙ t) 16 000 = C ∙ (1 + 0,025 ∙ 24) 16 000 = 1,6 ∙ C C = 16 000 1,6 C = 10 000 reais
  • 21. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros 4) Calcule o capital que, aplicado a juros simples, durante 11 meses, e à taxa de 1,5% a.m., proporciona juros de R$ 825,00. t = 11 meses i = 1,5% a.m. = 0,015 a.m. J = R$ 825,00 J = C ∙ i ∙ t 825 = C ∙ 0,015 ∙ 11 825 = 0,165 ∙ C C = 825 . 0,165 C = 5 000 reais
  • 22. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros 5) Qual o montante de uma aplicação de R$ 3 000,00 a juros compostos, durante 10 meses, à taxa de 1,4% a.m.? C = R$ 3 000,00 t = 10 meses i = 1,4% a.m. = 0,014 a.m. M = C ∙ (1 + i)t M = 3 000 ∙ (1 + 0,014)10 M = 3 000 ∙ (1,014)10 M  3 000 ∙ 1,15 M  3 450 reais
  • 23. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros 6) Uma empresa tomou um empréstimo bancário de R$ 80 000,00 pelo prazo de 1 ano. Calcule o montante pago sabendo que o banco cobrou juros compostos à taxa de 5% a.t. C = R$ 80 000,00 t = 1 ano = 4 trimestres i = 5% a.t. = 0,05 a.t. M = C ∙ (1 + i)t M = 80 000 ∙ (1 + 0,05)4 M  80 000 ∙ 1,2155 M  97 240,00
  • 24. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros Atividades Propostas 1) Um capital foi aplicado em regime de juros simples à taxa de 1,5% a.m., por 3 meses. Ao final desse período, apresentou um rendimento de R$ 135,00. Qual o capital aplicado? 2) Qual é a taxa mensal de juros simples que faz um capital de R$ 9 500,00 produzir um montante de R$ 11 900,00 ao fim de 1 ano? 3) O preço à vista de um eletrodoméstico é R$ 350,00. Dando-se uma entrada de R$ 80,00, financia-se o restante em 12 meses com juros simples de 4% ao mês. Qual será o valor de cada prestação?
  • 25. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros 4) Andrea deseja aplicar R$ 18 000,00 a juros compostos de 0,5% ao mês. Que montante ela terá após 1 ano de aplicação? 5) Um capital foi aplicado em regime de juros compostos, por 24 meses, a uma taxa de 7% ao mês. Sabendo que o montante da aplicação foi de R$ 12 825,00, qual o valor aplicado? 6) Ana quer aplicar R$ 6 000,00 com o objetivo de, após 1 ano e 3 meses, ter guardado R$ 9 348,00. Que taxa mensal sua aplicação deverá ter para que ela consiga o valor desejado?
  • 26. Aplicações da Matemática Financeira: capital, montante, juros LINKS http://www.uff.br/cdme/poupanca/poupanca- html/poupanca_home-br.html http://www.proativams.com.br/files_aberto/Livro%20de %20MForiginal.pdf https://www.youtube.com/watch?v=y8Q6ZHuq8nc