O documento fornece um breve resumo histórico do desenvolvimento da matemática atuarial, começando com os trabalhos pioneiros de Halley, De Moivre e Euler no século XVII e prosseguindo até as contribuições de Laplace e Poisson no século XIX. Destaca os principais conceitos atuariais como probabilidade, esperança matemática e tábuas de mortalidade.

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Breve História da Matemática Atuarial
às 13.11.09
ATUÁRIA >> Artigos Técnicos em Atuária >> Breve História da Matemática Atuarial
Erick Crisafuli - Disponível em: http://www.arscientia.com.br/materia/ver_materia.php?
id_materia=188
A terminologia e as regras de cálculos da teoria dos jogos de azar (ou teoria das
probabilidades), introduzidas com a intenção exclusiva de erigir uma teoria matemática
para os jogos do acaso, poderiam aplicar-se com bons resultados também a vários
problemas de tipos inteiramente diferentes, alguns dos quais escapam ao âmbito da
aplicação clássica da teoria em questão. Tal era o caso por exemplo, das estatísticas das
populações humanas e da teoria matemática dos seguros de vida; dois campos afins,
ambos em estado de vigoroso desenvolvimento a partir do Séc.XVII.
Em 1694, o astrônomo Edmond Halley (1656-1742) propôs um processo de cálculo de
tábuas de mortalidade. Tais cálculos foram baseados nos boletins de nascimentos e
mortes que circulavam em Breslaw no ano de 1691.
"Com os trabalhos de Halley percebeu-se a importância da análise quantitativa nos
eventos vitais. Com o advento das tábuas de mortalidade a partir do Séc.XIX, quando a
responsabilidade do registro dos eventos vitais transfere-se da Igreja para o Estado e
estabelece-se de forma legal, a sua obrigatoriedade em vários países, são impulsionados
os estudos em demografia."
A teoria das probabilidades avançou rapidamente, especialmente devido à elaboração
posterior das idéias de Pierre de Fermat (1601-1665), Blaise Pascal (1623-1662) e
Christian Huygens (1629-1695); o Doctrine of chances de 1716 do Huguenote Abrahan De
Moivre (1667-1754), continha ricos elementos da teoria dos jogos de azar, e sua obra
Annunuites upon lives de 1718, foi de grande importância para a ciência atuarial, pois De
Moivre deu um tratamento mais amplo às anuidades. Na matemática atuarial, um tipo de
anuidade muito usada, é a chamada "anuidade de vida inteira", ou seja, uma anuidade
vitalícia cujos pagamentos devem continuar enquanto o titular da anuidade estiver vivo.
As freqüentes loterias e companhias de seguros que se organizavam, interessaram a
diversos matemáticos, incluindo Leonard Euler (1707-1783) pela teoria dos jogos de azar.
O gradual interesse em problemas relacionados com probabilidades foi devido
primeiramente ao desenvolvimento dos seguros, mas as questões específicas que
estimularam grandes matemáticos a pensarem nesse assunto vieram dos pedidos de
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20/7/2010http://anapordeus.blogspot.com/2009/11/breve-historia-da-matematica-atuarial.html

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nobres que se entregavam a jogos de acaso, tal como cartas e dados. Nas palavras de
Siméon - Denis Poisson (1781-1840): " Um problema relativo aos jogos de azar, proposto
a um jansenista austero por um mundano, esteve na origem do cálculo de
probabilidades." Este "homem do mundo" era o Chevalier de Mére, que propôs a Pascal
uma questão relacionada com o chamado probléme des points.
Um outro capítulo muito interessante da história da matemática dos seguros, foi o
desenvolvimento do conceito de esperança matemática. O "problema da esperança" foi
proposto por Nicolaus Bernoulli (1695-1726) e posteriormente tornou-se conhecido como
o "Paradoxo de São Petesburgo". Na matemática dos seguros de vida, é importante saber
se, numa certa aposta, uma pessoa faz um bom negócio ou não. Isto é dado pela
esperança matemática, que é definida como o produto da probabilidade de ocorrência de
um acontecimento pelo valor do prêmio que a pessoa recebe se ganhar.
Exemplo: Numa rifa de cem números está em oferta um prêmio no valor de
2000 reais. Cada bilhete custa 40 reais. O comprador está fazendo um bom
negócio?
Solução: Probabilidade de sucesso= 1/100; Valor do prêmio= 2000; Preço do bilhete =40.
E(M)= 1/100 x 2000 = 20. Conclusão: O preço justo a ser pago pelo bilhete seria de 20
reais.
Também com construção de tábuas de nascimentos e mortes se ocupou o francês Pierre-
Simon Laplace (1749-1827). Isso fica em evidência em sua obra Essai philosophique des
probabilités de 1814. Mostraremos de forma resumida o processo usado por laplace. O
mesmo usa o seguinte raciocínio:
Ao = Número de pessoas que não completaram 1 anos;
A1= Número de pessoas que completaram 1 ano , mas não completaram 2 anos;
A2= Número de pessoas que completaram 2 anos, mas não completaram 3 anos;
.
.
.
.
A n = Número de pessoas que completaram "N"anos, mas não completaram n+1 anos.
Exemplo de aplicação: Qual a probabilidade de que uma pessoa de 30 anos viva
pelo menos mais 5 anos?
Solução: Basta olhar na respectiva tábua os valores que correspondem ao A30 e ao A35,
pois no nosso problema a pessoa viverá mais cinco anos. Sendo K o número de pessoas
com 30 anos e Y o número de pessoas com 35 anos, basta usar a definição de
probabilidades que é o número de casos possíveis dividido pelo número de casos
favoráveis; assim teremos:
P= A35/ A30 = Y/K. Desta divisão, encontraremos um número H que será a respectiva
probabilidade.
Depois de Laplace, a estatística e a matemática dos seguros de vida evoluíram de forma
consistente. A demografia ganhou corpo com os trabalhos de Adolph Quetelet (1796-
1874) sobre Antropometria; a Escola Biometricista nas figuras de Francis Galton (1822-
1911) e Karl Pearson (1857-1936) contribuiu de forma decisiva para os métodos de
mensuração em biologia; e os trabalhos de Antoine Augustin Cournot (1801-1887) e
Francis Ysidro Edgeworth (1845-1926) apontaram para a importância das probabilidades
no tratamento matemático dos fenômenos econômicos. A ciência atuarial acompanhou de
perto esta evolução, fornecendo bases estatísticas para a formação de uma ciência
"forte", capaz de assegurar a estabilidade financeira das pessoas que participam dos
chamados "planos de previdência". O atuário é o profissional, que entre outras atividades,
tem a prerrogativa para desenvolver planos de seguros, calculando probabilidades de
eventos, avaliando riscos, fixando prêmios e indenizações e buscando os benefícios para
uma política de investimento e amortização.
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3. permission.
BIBLIOGRAFIA
AYRES,JR.,F. Matemática financeira. Trad: Gastão Quartin de Moura. São Paulo, Macgraw
Hill, 1973.
BELL,E.T. Men of Mathematics. New York, Simmon and Schuster, 1937.
BERNOULLI, N. Correspondence of Nicolas Bernoulli Concerning the St.Petesburg game.
Trad: J.Pulksamp. Disponível em: www.economics.soton.ac.uk/staff. Acesso: 02/09/2005.
BOYER,C.B. História da matemática. Trad: Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard/Blucher,
1996.
CRAMER,H. Elementos de probabilidades e suas aplicações. Trad: Luis Caruso. São Paulo,
Mestre Jou,1995.
CRISAFULI,E.P. A contribuição de Frederico Pimentel Gomes para o desenvolvimento da
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Universidade Católica de São Paulo, 2006.
LAPLACE,P.S. Ensayo filosófico sobre las probabilidades. Trad: José Banfi e Alfredo Bésio.
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SZWARCWALD, C.L. e E.A. CASTILHO. "Os caminhos da estatística e suas incursões pela
epidemiologia." Caderno de saúde pública. Rio de Janeiro, 8(1992),pp:5-21.
STRUIK,D.J. História concisa das matemáticas. Trad: João Cosme Guerreiro. Lisboa,
Gradiva, 1987.
* Nascido em Barbacena/MG - Especialista em matemática e estatística pela Universidade Federal de
Lavras/MG. Mestre em História da Ciência Pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo com pesquisa
em História da Estatística e da Matemática Atuarial, sendo orientado pelo Prof.Dr.Ubiratan D'Ambrosio.
Faz parte do grupo de História da educação matemática e de Etnomatemática da Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, tendo como responsável o Prof.Dr.Ubiratan D'Ambrósio.
e-mail: ecrisafuli@yahoo.com.br - Barbacena -MG
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Ana Pordeus wrote...
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Marcelo Muniz wrote...
Equipe 6: Marcelo Muniz, Marcos
Luanne Ícaro.
Atuária! wrote...
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