1) A álgebra relacional é uma linguagem formal procedimental composta por seis operadores básicos como seleção, projeção e união. 2) As operações permitem consultar, manipular e compor relações em uma base de dados. 3) Expressões complexas podem ser construídas através da composição de múltiplas operações como seleção após produto cartesiano.

1. Base de Dados
Álgebra Relacional
2018/2019

2. Sumário
• Álgebra Relacional
• Operações Adicionais de Álgebra Relacional
• Extensão às Operações da Álgebra Relacional
• Exercícios

3. Linguagens de Consulta
• Linguagem com que um utilizador pede informação a um BD
• Categorias de linguagens
• Procedimental
• Não-procedimental (ou declarativa)
• Linguagens formais:
• Álgebra relacional
• Cálculo relacional de tuplos
• Cálculo relacional de domínios
• Linguagens formais são a base teórica das linguagens de consulta

4. Álgebra Relacional
• Linguagem procedimental
• Seis operadores básicos:
• Seleção: 𝜎
• Projeção: 𝜋
• União: ∪
• Diferença entre conjuntos: −
• Produto cartesiano: ×
• Renomeação: 𝜌
• Os operadores aceitam uma ou duas relações como entradas e produzem
uma nova relação como resultado

5. Operação de Seleção
• Utilizada para selecionar um conjunto de tuplos de uma relação
• Notação: 𝜎𝑝 𝑟
• P é designado predicado de seleção
• Definido como: 𝜎p(r) = {t|t ∈ r and p(t)}
• Onde p é uma fórmula de cálculo proposicional composta por termos
ligados por ⋀ (e), ⋁ (ou) e (não)
• Cada termo é uma expressão que pode conter:
• Atributos da relação
• Constantes
• Operadores relacionais ≠, =, >, ≥, <, ≤
• Exemplo: 𝜎𝑎𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎_𝑛𝑜𝑚𝑒="Campolide" (𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎)

6. Operação de Seleção - Exemplo
• Relação r
• 𝜎𝐴=𝐵∧𝐷>5 𝑟 =?
A B C D
a a 1 7
a b 5 7
b b 12 3
b b 23 10

7. Operação de Seleção - Exemplo
• Relação r
• 𝜎𝐴=𝐵∧𝐷>5 𝑟 =?
A B C D
a a 1 7
a b 5 7
b b 12 3
b b 23 10
A B C D
a a 1 7
b b 23 10

8. Operação de Projeção
• Notação: 𝜋𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑘
(𝑟)
• Onde A1, A2 são nomes de atributos e r é o nome da relação
• O resultado é definido como a relação de k colunas obtidas
suprimindo as colunas que não estão listadas
• Linhas duplicadas são removidas do resultado (uma vez que as
relações são conjuntos)
• Exemplo: 𝜋𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜_𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎,𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎)

9. Operação de Projeção - Exemplo
• Relação r
• 𝜋𝐴,𝐶 𝑟 =?
A B C
a 10 1
a 20 1
b 30 1
b 40 2

10. Operação de Projeção - Exemplo
• Relação r
• 𝜋𝐴,𝐶 𝑟 =?
A B C
a 10 1
a 20 1
b 30 1
b 40 2
A C
a 1
a 1
b 1
b 2

11. Operação de Projeção - Exemplo
• Relação r
• 𝜋𝐴,𝐶 𝑟 =?
A B C
a 10 1
a 20 1
b 30 1
b 40 2
A C
a 1
a 1
b 1
b 2
A C
a 1
b 1
b 2
=

12. Operação de União
• Notação: 𝑟 ∪ 𝑠
• Definido como: 𝑟 ∪ 𝑠 = {t|t ∈ r or t ∈ s}
• Para que 𝑟 ∪ 𝑠 seja válido:
1. r e s devem ter mesma aridade (igual número de atributos);
2. Os atributos têm de ser compatíveis (valores de tipos compatíveis);
• Exemplo: obter lista de todos os clientes que sejam titulares de uma
conta ou de um empréstimo
𝜎𝑛𝑜𝑚𝑒_𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒(𝑡𝑖𝑡𝑢𝑙𝑎𝑟) ∪ 𝜎𝑛𝑜𝑚𝑒_𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒(𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟)

13. Operação de União - Exemplo
• Relações r e s
• 𝑟 ∪ 𝑠 =?
A B
a 1
a 2
b 1
A B
a 2
b 3
r =
s =

14. Operação de União - Exemplo
• Relações r e s
• 𝑟 ∪ 𝑠 =?
A B
a 1
a 2
b 1
A B
a 1
a 2
b 1
b 3
A B
a 2
b 3
r =
s =

15. Operação de Diferença
• Notação: 𝑟 − 𝑠
• Definido como: 𝑟 − 𝑠 = {t|t ∈ r and t ∉ s}
• Para que 𝑟 − 𝑠 seja válido:
1. r e s devem ter mesma aridade (igual número de atributos);
2. Os atributos têm de ser compatíveis (valores de tipos compatíveis);
• Exemplo: obter lista de todos os clientes que sejam titulares de uma
conta mas não de um empréstimo
𝜎𝑛𝑜𝑚𝑒_𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑖𝑡𝑢𝑙𝑎𝑟 − 𝜎𝑛𝑜𝑚𝑒_𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒(𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟)

16. Operação de Diferença - Exemplo
• Relações r e s
• 𝑟 − 𝑠 =?
A B
a 1
a 2
b 1
A B
a 2
b 3
r =
s =

17. Operação de Diferença - Exemplo
• Relações r e s
• 𝑟 − 𝑠 =?
A B
a 1
a 2
b 1
A B
a 1
b 1
A B
a 2
b 3
r =
s =

18. Operação de Produto Cartesiano
• Notação: 𝑟 × 𝑠
• Definido como: 𝑟 × 𝑠 = {tq|t ∈ r and q ∈ s}
• Para que 𝑟 × 𝑠 seja válido:
1. r e s devem ser disjuntos
• Se os artibutos s(R) e s(S) não forem disjuntos então é necessária a
aplicação de renomeação

19. Operação de Produto Cartesiano - Exemplo
• Relações r e s
• 𝑟 × 𝑠 =?
A B
a 1
b 2
C D E
a 10 x
b 10 x
b 20 y
c 10 y
r =
s =

20. Operação de Produto Cartesiano - Exemplo
• Relações r e s
• 𝑟 × 𝑠 =?
A B
a 1
b 2
A B C D E
a 1 a 10 x
a 1 b 10 x
a 1 b 20 y
a 1 c 10 y
b 2 a 10 x
b 2 b 10 x
b 2 b 20 y
b 2 c 10 y
C D E
a 10 x
b 10 x
b 20 y
c 10 y
r =
s =

21. Operação de Renomeação
• Permite nomear, e fazer referência a, resultados de expressões de álgebra
relacional
• Permite fazer referência a uma relação utilizando vários nomes
• Exemplo: ρ𝑋 𝐸 retorna a expressão E com o nome X
• Se uma expressão de álgebra relacional tem aridade n, então
ρ𝑋(𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛) 𝐸
• Retorna o valor da expressão E sob o nome X, e com os atributos
renomeados para A1, A2, …, An
• ρ𝑡𝑖𝑡 𝑡𝑖𝑡𝑢𝑙𝑎𝑟 ⟶ 𝑡𝑖𝑡(𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒_𝑛𝑜𝑚𝑒, 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎_𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜)
• ρ𝑡𝑖𝑡(𝑐𝑙𝑛,𝑐𝑜𝑛) 𝑡𝑖𝑡𝑢𝑙𝑎𝑟 ⟶ 𝑡𝑖𝑡(𝑐𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑛)

22. Composição de Operações
• Pode-se construir expressões compostas por múltiplas operações
• Exemplo: 𝜎𝐴=𝐶(𝑟 × 𝑠)

23. Composição de Operações
• Pode-se construir expressões compostas por múltiplas operações
• Exemplo: 𝜎𝐴=𝐶(𝑟 × 𝑠)
A B C D E
a 1 a 10 x
a 1 b 10 x
a 1 b 20 y
a 1 c 10 y
b 2 a 10 x
b 2 b 10 x
b 2 b 20 y
b 2 c 10 y
1) 𝑟 × 𝑠

24. Composição de Operações
• Pode-se construir expressões compostas por múltiplas operações
• Exemplo: 𝜎𝐴=𝐶(𝑟 × 𝑠)
A B C D E
a 1 a 10 x
a 1 b 10 x
a 1 b 20 y
a 1 c 10 y
b 2 a 10 x
b 2 b 10 x
b 2 b 20 y
b 2 c 10 y
1) 𝑟 × 𝑠
2)𝜎𝐴=𝐶

25. Composição de Operações
• Pode-se construir expressões compostas por múltiplas operações
• Exemplo:𝜎𝐴=𝐶(𝑟 × 𝑠)
A B C D E
a 1 a 10 x
a 1 b 10 x
a 1 b 20 y
a 1 c 10 y
b 2 a 10 x
b 2 b 10 x
b 2 b 20 y
b 2 c 10 y
1) 𝑟 × 𝑠
2)𝜎𝐴=𝐶
3)𝜎𝐴=𝐶(𝑟 × 𝑠)
A B C D E
a 1 a 10 x
b 2 b 10 x
b 2 b 20 y

26. Operações Adicionais
• São operações que não aumentam o poder expressivo da álgebra
relacional mas que simplificam consultas habituais
• Intersecção de conjuntos: ∩
• Junção natural: ⋈
• Divisão: ÷
• Atribuição: ⟵

27. Operação de Intersecção de Conjuntos
• Notação: 𝑟 ∩ 𝑠
• Definido como: 𝑟 ∩ 𝑠 = {t|t ∈ r and t ∈ s}
• Nota: 𝑟 ∩ 𝑠 = 𝑟 − (𝑟 − 𝑠)
• Para que 𝑟 ∩ 𝑠 seja válido:
1. r e s devem ter mesma aridade (igual número de atributos);
2. Os atributos têm de ser compatíveis (valores de tipos compatíveis);
• Exemplo: obter lista de todos os clientes que sejam simultaneamente
titulares de uma conta e de um empréstimo
𝜎𝑛𝑜𝑚𝑒_𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑖𝑡𝑢𝑙𝑎𝑟 ∩ 𝜎𝑛𝑜𝑚𝑒_𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒(𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟)

28. Operação de Intersecção - Exemplo
• Relações r e s
• 𝑟 ∩ 𝑠 =?
A B
a 1
a 2
b 1
A B
a 2
b 3
r =
s =

29. Operação de Intersecção - Exemplo
• Relações r e s
• 𝑟 ∩ 𝑠 =?
A B
a 1
a 2
b 1
A B
a 2
A B
a 2
b 3
r =
s =

30. Operação de Junção Natural
• Notação: 𝑟 ⋈ 𝑠
• Sejam r e s relações nos esquemas R e S respetivamente. Então 𝑟 ⋈ 𝑠 é
uma relação no esquema 𝑅 ∪ 𝑆 obtida:
• Considerando cada par de tuplos tr de r e ts de s
• Se tr e ts têm o mesmo valor em cada um dos atributos em 𝑅 ∪ 𝑆, adicionar o tuplo t
ao resultado tal que:
• t tem o mesmo valor que tr em r;
• t tem o mesmo valor que ts em s.
• Exemplo:
• 𝑅 = 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 , 𝑆 = 𝐸, 𝐵, 𝐷
• Esquema resultante = (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸)
• 𝑟 ⋈ 𝑠 = 𝜋𝑟.𝐴,𝑟.𝐵,𝑟.𝐶,𝑟.𝐷,𝑠.𝐸(𝜎𝑟.𝐵=𝑠.𝐵∧𝑟.𝐷=𝑠.𝐷(𝑟 × 𝑠))

31. Operação de Junção Natural - Exemplo
• Relações r e s
• 𝑟 ⋈ 𝑠 =?
A B C D
a 1 a x
b 2 c x
c 4 b y
a 1 c x
d 2 b y
B D E
1 x a
3 x b
1 x c
2 y d
3 y e
r = s =

32. Operação de Junção Natural - Exemplo
• Relações r e s
• 𝑟 ⋈ 𝑠 =?
A B C D
a 1 a x
b 2 c x
c 4 b y
a 1 c x
d 2 b y
A B C D E
a 1 a x a
a 1 a x c
a 1 c x a
a 1 c x c
d 2 b y d
B D E
1 x a
3 x b
1 x c
2 y d
3 y e
r = s =

33. Operação de Divisão
• Notação: 𝑟 ÷ 𝑠
• Sejam r e s relações nos esquemas R e S respetivamente onde:
• 𝑅 = (𝐴1, … , 𝐴𝑚, 𝐵1, … , 𝐵𝑛)
• 𝑆 = (𝐵1, … , 𝐵𝑛)
Então, 𝑟 ÷ 𝑠 é uma relação no esquema 𝑅 − 𝑆, tal que:
𝑟 ÷ 𝑠 = 𝑡 𝑡 ∈ 𝜋𝑅−𝑆 𝑡 ∧ ∀𝑢∈𝑠 𝑡𝑢 ∈ 𝑟
Onde 𝑡𝑢 representa a concatenação dos tuplos 𝑡 e 𝑢 resultando num único
tuplo

34. Operação de Divisão - Exemplo
• Relações r e s
• 𝑟 ÷ 𝑠 =?
A B
a 1
a 2
a 3
b 1
c 1
d 1
d 3
d 4
e 6
e 1
b 2
B
1
2
r = s =

35. Operação de Divisão - Exemplo
• Relações r e s
• 𝑟 ÷ 𝑠 =?
A B
a 1
a 2
a 3
b 1
c 1
d 1
d 3
d 4
e 6
e 1
b 2
A
a
b
B
1
2
r = s =

36. Operação de Divisão – Exemplo2
• Relações r e s
• 𝑟 ⋈ 𝑠 =?
A B C D E
a x a x 1
a x c x 1
a x c y 1
b x c x 1
b x c y 3
c x c x 1
c x c y 1
c x b y 1
D E
x 1
y 1
r = s =

37. Operação de Divisão – Exemplo2
• Relações r e s
• 𝑟 ⋈ 𝑠 =?
A B C D E
a x a x 1
a x c x 1
a x c y 1
b x c x 1
b x c y 3
c x c x 1
c x c y 1
c x b y 1
A B C
a x c
c x c
D E
x 1
y 1
r = s =

38. Operação de Atribuição
• A operação de atribuição (⟵) oferece uma forma conveniente de
expressar queries complexas.
• Escreve-se uma query como um programa sequencial composto por
• Um conjunto de atribuições
• Seguidos uma expressão cujo valor é o resultado da query
• A atribuição é sempre feita para uma variável de relação temporária
• Exemplo: podemos escrever 𝑟 ÷ 𝑠 como:
• 𝑡𝑒𝑚𝑝1 ⟵ 𝜋𝑅−𝑆 𝑟
• 𝑡𝑒𝑚𝑝2 ⟵ 𝜋𝑅−𝑆 𝑡𝑒𝑚𝑝1 × 𝑆 − 𝜋𝑅−𝑆,𝑆 𝑟
• 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝1 − 𝑡𝑒𝑚𝑝2
• O resultado à direita de ⟵ é atribuído à variável de relação à esquerda de
⟵

39. Operações Estendidas
• Definimos operações adicionais que acrescentam poder expressivo à
algebra relacional e permitem definir operações como:
• Projeção generalizada
• Funções de agregação

40. Projeção Generalizada
• Estende a operação de projeção permitindo a utilização de
expressões aritméticas na lista de projeções
𝜋𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑛
𝐸
• 𝐸é qualquer expreção de álgebra relacional
• Cada 𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑛são expressões aritméticas envolvendo constantes e
atributos do esquema 𝐸
• Exemplo: Dada a relação
Credito_info(nome_cliente, limite, saldo_credito)
Descubra quanto pode ainda gastar cada pessoa.
𝜋𝑛𝑜𝑚𝑒_𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒,𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒−𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜_𝑐𝑟𝑒𝑑𝑖𝑡𝑜(𝑐𝑟𝑒𝑑𝑖𝑡𝑜_𝑖𝑛𝑓𝑜)

41. Projeção Generalizada - Exemplo
• Relação r
• 𝜋𝐴,𝐶∗10 𝑟 =?
A B C
a 10 1
a 20 1
b 30 1
b 40 2

42. Projeção Generalizada - Exemplo
• Relação r
• 𝜋𝐴,𝐶∗10 𝑟 =?
A B C
a 10 1
a 20 1
b 30 1
b 40 2
A C*10
a 10
b 10
b 20

43. Funções de Agregação
• Funções de agregação aplicam-se a uma coleção de valores e
devolvem um único valor como resultado:
• avg: média dos valores
• min: mínimo dos valores
• max: máximo dos valores
• sum: soma dos valores
• count: número de valores

44. Operação de Agregação
• Operação de agregação em álgebra relacional
𝐺1,𝐺2,…,𝐺𝑛
𝒢𝐹1 𝐴1
,𝐹2 𝐴2
,…,𝐹𝑛 𝐴𝑛
𝐸
• 𝐸 é qualquer expressão de álgebra relacional
• 𝐺1, 𝐺2, … , 𝐺𝑛 é uma lista de atributos nas quais se quer agrupar (pode ser
vazio)
• Cada 𝐹𝑖 representa uma função de agregação
• Cada 𝐴𝑖 representa um nome de atributo

45. Operação de Agregação - Exemplo
• Relação r
• 𝒢𝑠𝑢𝑚 𝐶 𝑟 =?
A B C
a a 7
a b 7
b b 3
b b 10

46. Operação de Agregação - Exemplo
• Relação r
• 𝒢𝑠𝑢𝑚 𝐶 𝑟 =?
A B C
a a 7
a b 7
b b 3
b b 10
sum(C)
27

47. Operação de Agregação – Exemplo2
• Relação conta agrupado por agencia_nome
• 𝑎𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎_𝑛𝑜𝑚𝑒𝒢𝑠𝑢𝑚(𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜) 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎
agencia_nome conta_numero saldo
Lumiar A-102 400
Lumiar A-201 900
Amoreiras A-217 750
Amoreiras A-215 750
Campolide A-222 700

48. Operação de Agregação – Exemplo2
• Relação conta agrupado por agencia_nome
• 𝑎𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎_𝑛𝑜𝑚𝑒𝒢𝑠𝑢𝑚(𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜) 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎
agencia_nome conta_numero saldo
Lumiar A-102 400
Lumiar A-201 900
Amoreiras A-217 750
Amoreiras A-215 750
Campolide A-222 700
agencia_nome sum(saldo)
Lumiar 1300
Amoreiras 1500
Campolide 700

49. Operação de Agregação (cont.)
• O resultado da agregação não tem nome
• Pode-se utilizar a operação de renomeação para atribuir um nome
• Por conveniência, é permitida a renomeação como parte da operação de
agregação
𝑎𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎_𝑛𝑜𝑚𝑒𝒢𝑠𝑢𝑚 𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑚𝑎_𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎
agencia_nome soma_saldo
Lumiar 1300
Amoreiras 1500
Campolide 700