1) O documento discute o conceito de flambagem em colunas sob carga compressiva. 2) A carga crítica é calculada usando a equação de Euler e depende do módulo de elasticidade, comprimento e momento de inércia da seção transversal da coluna. 3) Um exemplo calcula a carga máxima que uma peça cilíndrica pode suportar antes de flambar com apoios de pino nas extremidades.

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Sumário
1. Flambagem......................................................................................................................2
1.1.Introdução..................................................................................................................2
1.2.Definição....................................................................................................................2
1.3. Cálculo da carga Crítica (Pcr).......................................................................................2
1.4. Comportamento da Coluna Ideal:................................................................................4
1.5. Equação diferencial para flambagem de coluna: ..........................................................4
1.6. Exemplo:...................................................................................................................5
1.7. Conclusão..................................................................................................................6
1.8. Referências Bibliográficas...........................................................................................6

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1. Flambagem
1.1.Introdução
Em todas as construções as peças componentes da estrutura devem ter geometria
adequada e definida para resistirem às AÇÕES (forças existentes e peso próprio ou prováveis =
ação do vento) impostas sobre elas. Desta maneira, as paredes de um reservatório de pressão
têm resistência apropriada para suportar à pressão interna; um pilar de um edifício tem
resistência para suportar as cargas das vigas; uma asa de avião deve suportar com segurança as
cargas aerodinâmicas que aparecem durante o vôo ou a decolagem. Se o material não resistir às
AÇÕES, atingirá um Estado Limite Último por Ruptura. Da mesma forma, um piso de edifício
deve ser rígido para evitar uma flecha excessiva, o que em alguns casos pode provocar fissuras
no teto, tornando-se inadequado em seu aspecto funcional (Estado Limite de Utilização).
Finalmente, uma peça pode ser tão delgada que submetida a uma AÇÃO compressiva atingirá o
colapso por perda de estabilidade (FLAMBAGEM), isto é, um Estado Limite Último.
Sabemos que a seleção dos elementos estruturais se baseia em três características básicas:
•Resistência;
•Rigidez;
•Estabilidade.
1.2.Definição.
Elementos compridos e esbeltos sujeitos a uma força axial de compressão são chamados
de colunas e a de flexão lateral que sofrem é chamada de flambagem. Em geral a flambagem
leva a uma falha repentina e dramática da estrutura.
1.3. Cálculo da carga Crítica (Pcr)
É a carga axial máxima que uma coluna pode suportar antes de ocorrer a flambagem.
Qualquer carga adicional provocará flambagem na coluna. Para compreender melhor esse tipo
de instabilidade, considere um mecanismo formado por duas barras sem peso, rígidas e
acopladas por pinos nas duas extremidades.

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Tipos de equilíbrio
• P<
𝐾𝑙
4
: Equilíbrio estável;
• P>
𝐾𝑙
4
: Equilíbrio instável; (1)
• P=
𝐾𝑙
4
: Equilíbrio neutro (Carga Crítica)
Os estados de equilíbrio apresentados na expressão (1) estão mostrados na Figura 02.
Colunas com apoios simples (pinos)
A coluna da Figura 03 é carregada por uma força vertical P que é aplicada através do
centroide da seção transversal da extremidade. A coluna é perfeitamente reta e é feita de um
material elástico linear que segue a lei de Hooke. Uma vez que se considera que a coluna não
tem imperfeições, ela é chamada de coluna ideal.

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1.4. Comportamento da Coluna Ideal:
Se P < Pcr , a coluna está em equilíbrio estável na posição reta.
Se P = Pcr , a coluna está em equilíbrio neutro tanto na posição reta quanto na posição
levemente flexionada.
Se P > Pcr , a coluna está em equilíbrio instável na posição retilínea e irá flambar sobre
a menor.
1.5. Equação diferencial para flambagem de coluna:
Para determinar os carregamentos críticos correspondentes às formas defletidas para
uma coluna real apoiada por pinos, usamos as equações diferenciais da curva de deflexão de
uma viga. Essas equações são aplicáveis a uma coluna flambada porque a coluna flete como se
fosse uma viga. Tem-se a seguinte equação:
Elv = M (2)
Onde,
M = -Pv (3)
Se a coluna flambar para a direita a curva da equação diferencial se torna:
Elv = - Pv (4)
A eq. (4) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes
constantes.
Solução da equação diferencial;
K²=
𝑃
𝐸𝑙
(5)
A solução geral da equação (4) é;
V=C1 seno kx + C2 cosseno kx (6)
As duas condições de contorno são determinadas pelas condições de contorno nas extremidades
da coluna. Como V = 0 em x = 0. E como V = 0 em x = L, então:
C1 seno kL = 0 (7)
A equação (7) é satisfeita se:
√ 𝑘𝐿=nπ (8)
Ou:
P=
𝑛²𝜋²𝐸𝑙
𝐿²
, n= 1,2,3... (9)

5. 5
O menor valor de P é obtido quando n=1, e a carga crítica para a coluna, é portanto:
Pcr=
𝜋²𝐸𝑙
𝐿²
(10)
P → Carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente antes da flambagem, essa
carga não deve permitir que a tensão na coluna exceda o limite de proporcionalidade.
E →módulo de elasticidade do material
I →O menor momento de inércia da área da seção transversal.
L→ Comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são apoiadas por pinos.
P cr →Denomina-se também de carga de Euler em homenagem ao matemático suíço Leonhard
Euler, que solucionou o problema em 1757.
Em projeto se utiliza a eq. (10) em função do raio de giração, onde o momento de inércia é:
I=Ar² (11)
Onde A e a área da seção transversal e r o raio de giração da área da seção transversal. Dessa
forma tem-se:
Pcr=
𝜋²𝐸(𝐴𝑟2)
𝐿²
𝑃𝑐𝑟
𝐴
=
𝜋²𝐸
(
𝐿
𝑟
)²
(12)
Dessa forma, a tensão critica e dada pela seguinte expressão:
σcr=
𝜋²𝐸
(
𝐿
𝑟
)²
(13)
Onde
σcr - Tensão critica que é a tensão media na coluna imediatamente antes de a coluna flambar,
essa tensão é uma tensão elástica e, portanto, σcr ≤σE .
E - módulo de elasticidade do material
L - comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são presas por pinos.
R - o menor raio de giração da coluna, determinado por r=√(𝐼/𝐴) , onde I e o menor momento
de inércia da área da seção transversal A da coluna.
1.6. Exemplo:
O elo de aço ferramenta L-2 usado em uma máquina de forja é acoplado aos garfos por
pinos nas extremidades. Determinar a carga máxima P que ele pode suportar sem sofrer
flambagem. Usar um fator de segurança para flambagem de F.S. = 1,75. Observar, na figura da
esquerda, que as extremidades estão presas por pino para flambagem e, na da direita, que as
extremidades estão engastadas.

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Solução:
A carga máxima que o elo pode sofrer sem flambagem é de P = 17,7 kip.
1.7. Conclusão.
Concluiu-se que para determinar se uma peça irá sofrer flambagem ou compressão, tem–se que
calcular o seu índice de esbeltez e compará-lo ao índice de esbeltez crítico.
1.8. Referências Bibliográficas

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BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JR., E. Russell. Resistência dos materiais. 3. ed São Paulo:
Makron Books, 1995. 652 p.
PRAVIA, Zacarias Martin Chamberlain. Modelos Reduzidos para o Ensino de Estruturas. In:
XXIII CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 1995, Recife, UFPE,
1995.
PRAVIA, Z.M.C., BORDIGNON, R. Modelos intuitivos para ensino de estabilidade de
estruturas. In: XXVIII CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 2000,
Ouro Preto, UFOP, 2000.
PRAVIA, Z.M.C., ORLANDO, D. Modelos qualitativos de treliças planas: construção e
aplicação no ensino de análise e comportamento estrutural. In: XXIX CONGRESSO
BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 2001, Porto Alegre, PUC-RS, 2001.
PRAVIA, Z.M.C., ORLANDO, D. Avaliação da influencia dos contraventos em estruturas de
coberturas constituídas por sistemas de treliças planas. In XXX Jornadas Sul-Americanas de
Engenharia Estrutural, 2002, Brasília, UNB, 2002.
PRAVIA, Z.M.C. A construção permanente do Laboratório de Ensaios em Sistemas Estruturais
(LESE) da Universidade de Passo Fundo. In: XXX CONGRESSO BRASILEIRO
DE ENSINO DE ENGENHARIA, 2003, Rio de Janeiro, IME, 2003.
SANTOS, J.A. Sobre a concepção o projeto, a execução e a utilização de modelos físicos
qualitativos na engenharia de estruturas. 1983. Dissertação (Mestrado em Estruturas) –
Escola Politécnica, Universidade de São Paulo, São Paulo.