1) O documento discute equivalências lógicas proposicionais e exercícios sobre expressões booleanas. 2) São listadas doze equivalências lógicas como comutatividade, absorção, lei de Morgan e contraposição. 3) Os exercícios pedem para simplificar expressões booleanas usando essas equivalências e determinar saídas de expressões para valores de variáveis.

1. DDiisscciipplliinnaa :: MMaatteemmááttiiccaa 22
AAuullaa 0022 -- eeqquuiivvaallêênncciiaass llóóggiiccaass
Antonio Carlos Sobieranski
““SSee aa ccoommiiddaa éé bbooaa,, eennttããoo oo sseerrvviiççoo éé eexxcceelleennttee””
( A → B )

2. Lógica Proposicional
p Equivalências da lógica prrooppoossiicciioonnaall ((ttaauuttoollóóggiiccaass))
1. comutativa
2. associativa
3. idempotência
4. propriedades de V
5. propriedades de F
6. absorção
7. distributiva 1
8. lei de Morgan
9. negação
10. lei da implicação
11. distributiva 2
12. lei da bi-implicação
13. contraposição
aceitar a prova da equivalência...
...mais adiante veremos em forma de
proposição...

3. Lógica Proposicional
Equivalências Tautológicas –– aannaallooggiiaa cciirrccuuiittooss llóóggiiccooss

4. Lógica Proposicional
Provar por simplificação (ou ttaabbeellaa vveerrddaaddee –– ooppcciioonnaallmmeennttee))
1) selecione a expressão booleana que não é equivalente à (xᴧx)ⅴ(xᴧx')
a) x ᴧ ( x ⅴ x' ) b) ( x ⅴ x' ) ᴧ x c) x' d) x
2) selecione a expressão booleana que é equivalente à (xᴧy) ⅴ (xᴧyᴧz)
a) x ᴧ y b) x ᴧ z c) y ᴧ z d) x ᴧ y ᴧ z
3) selecione a expressão booleana que é equivalente à (xⅴy) ᴧ (xⅴy')
a) y b) y' c) x d) x'
4) selecione a expressão booleana que não é equivalente à xᴧ(x'ⅴy) ⅴ y
a) xᴧx' ⅴ y ᴧ (1 ⅴ x) b) 0 ⅴ xᴧy ⅴ y c) xᴧy d) y

5. Lógica Proposicional
EExxeerrccíícciiooss
5) Quais as saídas para as seguintes expressões booleanas ?
5.1) P = A' ᴧ B ᴧ C ᴧ (A ⅴ D)'
a) A=0, B=1, C=1, D=1
b) A=1, B=1, C=0, D=0
c) A=0, B=0, C=1, D=0
d) A=0, B=1, C=1, D=0
5.2) [ Dⅴ ((AⅴB) ᴧ C)' ] ᴧ E
a) A=0, B=0, C=1, D=1, E=1
b) A=1, B=0, C=1, D=1, E=0
c) A=1, B=1, C=0, D=1, E=0
d) A=1, B=0, C=0, D=1, E=1

6. Lógica Proposicional
EExxeerrccíícciiooss
6) Simplifique as expressões booleanas abaixo utilizando as equivalências
descritas anteriormente (demonstre a equivalência utilizada).
a) ( x ⅴ y ) ᴧ ( x ⅴ y' )
b) ( x' ᴧ y' )' ⅴ ( x' ⅴ z )
c) ( x ᴧ y' ) ⅴ z
d) (x' ᴧ y ᴧ z ) ᴧ (x ⅴ m)'
e) (AⅴBⅴC)ᴧ(DⅴE)' ⅴ (AⅴBⅴC)ᴧ(DⅴE)
f) (A ⅴ B)' ᴧ (C ⅴ D ⅴ E)' ⅴ (A ⅴ B)'
g) A' ⅴ 1
h) x ᴧ y ᴧ z ⅴ x ᴧ y' ᴧ z ⅴ x ᴧ y' ᴧ z' ⅴ x' ᴧ y' ᴧ z ⅴ x' ᴧ y' ᴧ z'

7. Lógica Proposicional
EExxeerrccíícciiooss
7) Simplifique as expressões booleanas abaixo utilizando as equivalências
descritas anteriormente (demonstre a equivalência utilizada).
a) ( A → B ) → B
b) ( B' → A') → B
c) ( A ↔ B )
d) ( A ⅴ B ) ↔ ( B ⅴ A)
e) ( A → B ) → ( B' → A' )
f) ( A → B ) ↔ ( A' ⅴ B )
g) P ᴧ P' → Q
h) ( A ᴧ B ) → ( A → B' )'