Este documento apresenta os passos para determinar as direções principais de tensão em um corpo sob tensões. Primeiro, define-se as projeções do vetor tensão sobre os eixos coordenados. Em seguida, resolve-se o sistema de equações resultante da multiplicação da matriz de tensões pelos cossenos diretores de cada plano principal, encontrando as três direções principais de tensão no corpo.

4. a, b e c são os cossenos diretores do vetor e
representam as projeções do vetor sobre os
eixos coordenados
a = d.cos(αx)
b = d.cos(αy)
c = d.cos(αz)

7. Vamos a um exemplo:
Seja a direção D = [ 4 5 6 ]
O vetor tem módulo │D│ = 77
O Plano será:
1 1 1
15 12 10

4 5 6 
60
(15 12 60)

8. Traçando a direção [4 5 6]

11. 8 0 0 
 0 5 2,6


 0 2,6 2 
I1 = 15
I2 = 59,24
I3 = 25,92
3 - 152 + 59,24 - 25,92 = 0
1
8
1
-15
8
-7
59,24
-56
3,24
2 - 7 + 3,24 = 0
 = 8 --  = 6,5 --  = 0,5
-25,92
25,92
0

12. Como determinar a direção principal
Quando se multiplica o tensor por um vetor de direção, obtém-se as
componentes da tensão naquele plano definido por aquela direção.
 σx τxy τxz
 τxy σy τyz
 τxz τyz σz 
 anx 
 any
 anz 
 anx σnx 
=  any τny
 anz τnz 
Veja o nosso exemplo:
Tensões no plano y?

13. O Plano y é dado pelo cossenos diretores (0 1 0)

14. Vamos determinar o plano onde atua a tensão principal 1
No plano principal não existem tensões cisalhantes
 8 0 0   a1x   a1x σ1 
 0 5 2,6  a1y =  a1y σ1 σ1 = 8
 0 2,6 2   a1z  a1z σ1
8 a1x = 8 a1x
indefinido
5 a1y + 2,6 a1z = 8 a1y
2,6 a1y + 5 a1z = 8 a1z





a1x2 + a1y2 + a1z2 = 1
a1x2 + 02 + 02 = 1  a1x = 1
Portanto, temos Plano 1 (1 0 0) - Direção 1 [1 0 0]

16.  8 0 0   a2x 
 0 5 2,6  a2y
 0 2,6 2   a2z
 a2x σ2 
=  a2y σ2 σ2 = 6,5
 a2z σ2
8 a2x = 6,5 a2x ⇒ a2x = 0
DIREÇÃO 2
5 a2y + 2,6 a2z = 6,5 a2y ⇒ 1,5 a2y = 2,6 a2z
1,5 a2y = 2,6 a2z ⇒ a2y = 1,733 a2z
a2x2 + a2y2 + a2z2 = 1
02 + (1,733 a2z)2 + a2z2 = 1  a2z = 0,5
1,5 a2y = 2,6 a2z ⇒ a2y = 0,867
Portanto, temos Plano 2 (0 0,867 0,5) - Direção 2 [0 0,867 0,5]

18.  8 0 0   a3x   a3x σ3 
 0 5 2,6  a3y =  a3y σ3 σ3 = 0,5
 0 2,6 2   a3z  a3z σ3
8 a3x = 0,5 a3x ⇒ a3x = 0
DIREÇÃO 3
5 a3y + 2,6 a3z = 0,5 a3y ⇒ -4,5 a3y = 2,6 a3z
-4,5 a3y = 2,6 a3z ⇒ a3y = -0,577 a3z
a3x3 + a3y2 + a3z2 = 1
02 + (-0,577 a3z)2 + a3z2 = 1 ⇒ a3z = 0,867
-4,5 a3y = 2,6 a3z ⇒ a3y = -0,5
Portanto, temos Plano 3 (0 -0,5 0,867) - Direção 2 [0 -0,5 0,867]