O documento discute conceitos geométricos como distância entre pontos no espaço, produto escalar e vetorial de vetores, projeção ortogonal de vetores, e equações que representam planos e retas no espaço tridimensional.

1. GAAL - Vetores, retas e planos no espaco
Dist^ancia entre dois pontos no espaco: A = (x1; y1; z1) e B = (x2; y2; z2)
d(A;B) =
p
(x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2
Produto escalar de vetores n~ao-nulos:
!V
= (x1; y1; z1) e
!
W = (x2; y2; z2)
!V
;
(a) h
!
Wi = jj
!V
jj jj
!
Wjj cos ; onde e ^angulo entre
!V
e
!
W:
!V
;
(b) h
!
Wi = x1x2 + y1y2 + z1z2:
Projec~ao ortogonal de
!V
sobre
!
W: O vetor projWV e paralelo a W e e tal que
V projW V e ortogonal a W. Ele e o vetor:
projWV =
hV;Wi
jjWjj2
W
Produto vetorial de
!V
e
!
W:
E
!V
o vetor V W que tem norma jjV Wjj = jj
!
Wjj sin ; ^angulo entre
jj jj
!V
e
!
W
(ou seja, sua norma e igual a area do paralelogramo de

2. nido por V e W).
Ele e ortogonal a
!V
= (x1; y1; z1) e a
!
W = (x2; y2; z2) e tem sentido dado pela regra da
m~ao direita:
V W =
det
y1 z1
y2 z2
;det
x1 z1
x2 z2
; det
x1 y1
x2 y2
:
ou,
V W = det
2
4
!i
!j
!k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
3
5
onde
!i
= (1; 0; 0),
!j
= (0; 1; 0) e
!k
= (0; 0; 1).
Produto misto: corresponde ao volume do paraleleppedo formado por
!V
= (x1; y1; z1),
!
W = (x2; y2; z2) e
!U
= (x3; y3; z3) e e dado por:
h V W; U i = det
2
4
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
3
5
Equac~ao de um plano: Vetor normal
!N
= (a; b; c) e passa pelo ponto P = (x0; y0; z0)
ax + by + cz + d = 0; onde d = (ax0 + by0 + cz0)
Equac~oes de uma reta: Vetor diretor
!V
= (a; b; c) e passa pelo ponto P = (x0; y0; z0)
Equac~oes parametricas: r :
8
:
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
; para todo t 2 R:
Equac~ao vetorial: (x0 + at; y0 + bt; z0 + ct):
x x0
Equac~oes simetricas (para a; b; c6= 0) :
a
=
y y0
b
=
z z0
c