O documento discute conceitos fundamentais de resistência dos materiais e mecânica, incluindo trigonometria, grandezas escalares e vetoriais, forças, equilíbrio de pontos materiais e soma vetorial. Exemplos ilustram como calcular valores desconhecidos em figuras geométricas usando trigonometria e determinar se um sistema de forças está em equilíbrio.

1. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Prof. Igor fernandes

2. Trigonometria.
Para o estudo da Mecânica necessitam-se dos conceitos fundamentais
da trigonometria. A palavra trigonometria significa medida dos três
ângulos de um triângulo e determina um ramo da matemática que estuda
as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo.

3. Trigonometria.
Triângulo Retângulo.
No triângulo retângulo, os catetos são os lados que formam o ângulo
de 90º. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90º e é determinada
pela relação: a²+b²=c²
Relações trigonométricas:

4. Trigonometria.
Relação fundamental da trigonometria : sen²x + cos²x = 1
Razões trigonométricas especiais .

5. Trigonometria
Triângulo Qualquer:

6. Trigonometria
Exercícios:
1) Calcule o valor de c na figura:
2) Calcule o valor de b na figura:
3) Calcule o valor de a da figura:
4) Calcule o valor de α da figura:
α

7. Trigonometria
Exercícios:
1) Calcule o valor de c na figura:
2) Calcule o valor de b na figura:
3) Calcule o valor de a da figura:
4) Calcule o valor de α da figura:
α
C= 17,32 m
b = 10 m
α = 36,87°
H = 5 m

8. Grandezas Escalares
Uma grandeza escalar é caracterizada por um número real. Como
exemplo de escalares podemos citar: o tempo, a massa, o volume, o
comprimento, etc.

9. Grandezas Vetoriais
Uma grandeza vetorial é caracterizada pela dependência de três
elementos fundamentais, ou seja, representa um ente matemático que
possui intensidade, direção e sentido. Em problemas de estática é muito
comum a utilização de grandezas vetoriais como posição, força e
momento.
 A posição de um ponto no espaço em relação a outro ponto caracteriza
uma grandeza vetorial. Para descrever a posição de uma cidade A em
relação à outra cidade B, é insuficiente dizer que ambas estão separadas
por uma distância de 100 km, para se caracterizar um vetor, deve-se dizer
por exemplo, que a cidade B se encontra 100 km a oeste da cidade A.
 A força também é caracterizada como uma grandeza vetorial, pois
quando se empurra uma peça de móvel através do chão aplica-se na
mesma uma força com intensidade suficiente para mover o móvel e com a
direção desejada para o movimento.

10. Grandezas Vetoriais- Representação
Uma grandeza vetorial pode ser representada
graficamente por uma seta, que é utilizada para
definir seu módulo, sua direção e seu sentido.
Graficamente o módulo de um vetor é representado
pelo comprimento da seta, a direção é definida
através do ângulo formado entre um eixo de
referência e a linha de ação da seta e o sentido é
indicado pela extremidade da seta.
A figura mostra a representação gráfica
de dois vetores força atuando ao longo
dos cabos de fixação de um poste, o
ponto O é chamado de origem do vetor e
o ponto P representa sua extremidade
ou ponta.

11. Grandezas Vetoriais - Solução Escalar
Praticamente todos os problemas envolvendo os conceitos de soma e
subtração vetorial, bem como a determinação das componentes de um
vetor podem ser resolvidos a partir das leis dos senos e dos cossenos,
que representam propriedades fundamentais da trigonometria e são
descritas a seguir a partir da figura a seguir e das respectivas equações.
Dado um triângulo ABC e seus ângulos internos α, β e γ, a lei dos senos é
definida da seguinte forma: “Em todo triângulo, as medidas dos seus lados
são proporcionais aos senos dos lados opostos”.

12. Grandezas Vetoriais - Solução Escalar
A partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internos α, β e γ, a lei dos
cossenos é definida do seguinte modo: “Num triângulo, o quadrado da
medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros
dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo
cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado”.

13. Soma Vetorial – Regra do Paralelogramo
O Cálculo da força resultante pode ser obtido através da soma vetorial com
a aplicação da regra do paralelogramo.

14. Soma Vetorial – Regra do Paralelogramo

15. Soma Vetorial – Regra do Paralelogramo
Solução
1. Construir um esquema aplicando a regra do paralelogramo de
forma a identificar quais são as incógnitas do problema.

16. Soma Vetorial – Regra do Paralelogramo
Solução
2. A partir do paralelogramo obtido na figura, pode-se construir o
triângulo de vetores.

17. Soma Vetorial – Regra do Paralelogramo
Solução
3. Aplicando-se a lei dos cossenos, determina-se o módulo da
força resultamte FR

18. Soma Vetorial – Regra do Paralelogramo
Solução
4. O ângulo é determinado a partir da lei dos senos, utilizando-se o
valor calculado para FR

19. Forças no Plano
A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada
pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido.
A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema
Internacional de Unidades (SI).
A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a
reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que
forma com algum eixo fixo, como indicado na Figura abaixo.
O sentido da força é indicado por uma seta (vetor).
Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um
único ponto de um corpo.

20. Forças no Plano
Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em
pontos diversos de um mesmo corpo.
Duas ou mais forças constituem um sistema de forças, sendo que cada
uma delas é chamada de componente. Todo sistema de forças pode ser
substituído por uma única força chamada resultante, que produz o
mesmo efeito das componentes.

21. Forças no Plano
Sendo dada uma força F num plano “xy”, é possível decompô-la em duas
outras forças Fx e Fy , como no exemplo abaixo:
Da Trigonometria sabemos que:
Então, para o exemplo ao lado,temos:
LOGO:

22. Forças no Plano

23. Equilíbrio de um ponto material
Ponto material é uma pequena porção de matéria que pode ser
considerada como se ocupasse um ponto no espaço.
Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto
material é nula, este ponto está em equilíbrio. Este princípio é
consequência da primeira lei de Newton: “se a força resultante que atua
sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em repouso (se
estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta com
velocidade constante (se originalmente estava em movimento)”.
Para exprimir algebricamente as condições de equilíbrio de um ponto
material, escreve-se:
ΣF = R = 0
onde:
F = força
R = resultante das forças.

24. Equilíbrio de um ponto material
A representação gráfica de todas as forças que atuam em um ponto
material pode ser representada por um diagrama de corpo livre, como
indica a figura abaixo.

25. Equilíbrio de um ponto material
Exemplo: Verificar se o sistema de forças indicado está em equilíbrio
As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio são:
ΣFx = 0
ΣFy = 0

26. Equilíbrio de um ponto material
ΣFx= 0
ΣFx = 1500 −1000sen30º−2000sen30º = 0
Σ Fx= 1500 − 500 −1000 = 0 ok
Σ = Fy =0
Σ F y = 2000cos30º−1000cos30º−866 = 0
Σ F y = 1732 − 866 − 866 = 0 ok
Resposta: O sistema de forças está em equilíbrio