Apostila cecilia

Projeto TEIA DO SABER 2006 UNESP – Campus de Guaratinguetá
Secretaria de Estado da Educação, SP. Departamento de Matemática
Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá Coordenador Prof. Dr. José Ricardo Zeni
Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e
suas Tecnologias do Ensino Médio: Matemática I (Curso Inicial)
! "

TEIA DO SABER 2006 − Metodologias de Ensino da Matemática
2
1. PALESTRA DE MOTIVAÇÃO:
MOVIMENTO DOS PLANETAS DO SISTEMA SOLAR E SATÉLITES ARTIFICIAIS
A mecânica celeste é a parte da astronomia que estuda o movimento dos corpos
celestes. A análise do movimento orbital de corpos celestes é uma das ciências mais antigas
e foi a motivação inicial para a maioria dos trabalhos de Isaac Newton.
A primeira grande obra da astronomia foi escrita por Ptolomeu por volta de 127 e
141 d.C. Chamada pelos astrônomos árabes de Almagest, “O Grandioso”, se tornou o texto
principal da astronomia até meados do século XVI. Pouco se sabe da vida de Ptolomeu,
apenas que viveu na Alexandria (na época uma província romana).
Baseou-se nas idéias de Aristóteles e Hiparco para criar uma descrição completa de
movimento de todos os corpos celeste conhecidos, que estivessem de acordo com as
observações.
Hiparco, considerado o maior astrônomo da antiguidade, nasceu em Nicomédia
(atual Izmit, na Turquia). Produziu sua obra entre 150 e 125 a.C, sendo o primeiro a aplicar
a idéia de epiciclos à descrição do movimento dos corpos celeste em torno da Terra.
No sistema de descrito por Hiparco, posteriormente renovado por Ptolomeu. O Sol e
a Lua orbitavam a Terra, que se encontrava fixa no centro do universo. Os demais planetas
conhecidos descreviam órbitas epicíclicas, também em torno da Terra.
No ano de 1473, nasce na Polônia Nicolau Copérnico, astrônomo que formulou a
teoria heliocêntrica, na qual o Sol ocupava o centro do universo e os planetas orbitavam ao
redor dele, contrariando tudo que fora imposto até então. Sua teoria só foi aceita após as
observações de Tycho Brahe e as descobertas de Galileu Galilei.
Tycho Brahe (1546-1601)., “o príncipe astrônomo”, nasceu na Dinamarca em 1546.
Foi um verdadeiro astrônomo observacional, considerado o maior astrônomo da época.
Colecionando importantes informações do movimento dos corpos celestes. Posteriormente
estes dados foram usados sabiamente por seu sucessor, Johannes Kepler, (1571-1630),
astrônomo alemão, que mudou a história da astronomia ao estabelecer as leis que regem o
movimento planetário. Em 1621, completou sua grande obra, A Epítome da Astronomia
Copernicana, a exposição astronômica mais detalhada após Almagest de Ptolomeu.
Johannes Kepler publicou sua primeira obra, “Mysterium cosmograficum”, em
1596, onde se manifesta pela primeira vez a favor da teoria heliocêntrica de Copérnico.
Durante 17 anos analisou e pesquisou os dados astronômicos deixado pelo grande
astrônomo dinamarquês Tycho Brache Elaborando então, as três Leis do Movimento
Planetário, que deram origem a Mecânica Celeste. São elas:
- 1º Lei de Kepler: Cada planeta descreve em torno do Sol uma órbita elíptica, com o
Sol ocupando um dos focos da elipse.
- 2ºLei de Kepler: A linha que une o Sol ao planeta em estudo, varre áreas iguais em
intervalos de tempo iguais.
- 3ºLei de Kepler: Os quadrados dos períodos orbitais dos planetas são proporcionais
aos cubos dos semi-eixos maiores das órbitas:

3
32
aT κ= ,
sendo: T : Período; a : semi-eixo maior; k : constante.
As Leis de Kepler não se aplicam apenas aos planetas que se encontram na órbita
solar, mas a todos os casos em que um corpo celeste entra na órbita de um outro corpo sob
a influência da gravitação, como: satélites artificiais da Terra, satélites naturais de planetas
e sistemas binários de estrelas.
Galileu Galilei nasceu em 1564, foi o criador do telescópio e o autor de grandes
descobertas, as quais se destacam: os satélites de Júpiter, as fases de Vênus, os anéis de
Saturno e as crateras e montanhas da Lua. Descobertas que mostravam que a melhor forma
de se explicar o Sistema Solar era com a utilização da teoria de CopérnicoGalileu foi o
personagem principal, do maior conflito entre a ciência e a religião, motivo que levou a
Igreja a proibir a publicação de suas obras.
Chegamos então a Isaac Newton, gênio que revolucionou a história da ciência. Seu
trabalho representa o ápice da Revolução Científica, uma solução magnífica do problema
do movimento dos corpos celestes que desafiava filósofos desde os tempos pré-socráticos.
Ao apresentar sua solução, Newton criou uma estrutura conceitual que iria dominar a física,
mudando a visão coletiva do mundo até o inicio do século XX. Impacto causado graças a
sua enorme eficiência de aplicar a matemática à física. Mostrando que todos os movimentos
observados na natureza podem ser compreendidos por simples leis de movimento expressas
matematicamente. Após o estudo realizado por Kepler, Newton procurou determinar que
tipo de forças produziriam trajetórias que satisfizessem tais leis.
A lei da Gravitação Universal, também conhecida como lei de Newton, foi enunciada
no ano de 1687 por Sir Isaac Newton (1642-1727) em sua obra Philosophie Naturalis
Principia Mathematica, “Princípios Matemáticos da Filosofia Natural”, onde criou uma
nova mecânica baseada na ação de forças em corpos materiais. Como também demonstrou
que as mesmas leis físicas são aplicáveis ao estudo de objetos na Terra e nos céus.
A Lei de Gravitação Universal estabelece que:
“Duas partículas A e B de massas m1 e m2 atraem-se mutuamente seguindo o
seguimento AB , com força diretamente proporcional ao produto de suas massas e
inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa”.
Figura 1 – Vetor posição entre as partículas A e B: r AB=
A força que o corpo A exerce sobre B é:
r
r
r
Gmm
F ba
g 2
−
= ,
sendo G a constante de gravitação universal e o módulo de gF dado pela equação abaixo:

4
2
||
r
mm
GF ba
g = ,
Esta lei é válida para partículas pontuais ou para corpos rígidos com simetria
esférica como, se suas massa estivessem concentradas em seus respectivos centros.
No caso de corpos com distribuição de massa não esférica sua atração mútua pode
se aproximar de gF , quando as dimensões dos corpos, possam ser consideradas pequenas
em relação às distâncias que os separam.
No Sistema Solar todos os corpos, quando comparadas com o Sol, podem ser
assumidas como pontuais. Considerando-se o sistema Terra-Lua ou o caso de satélites
naturais em relação a seus planetas, a não esfericidade do corpo deve ser levada em
consideração.
O movimento translacional de um veículo espacial ao redor da Terra é
essencialmente o mesmo que o de um pequeno corpo celeste ao redor do Sol, tal que a
teoria básica se aplica tanto ao movimento de corpos celestes naturais como para satélites
artificiais.
REFERÊNCIAS:
Astronomia e Astrofísica – Prof. Dr. Kepler de Souza Oliveira Filho e Profa Maria
de Fátima Oliveira Saraiva.: html//astro.ufrgs.br/index.htm
Apostilas da Escola de Verão de Dinâmica Orbital e Planetologia – FEG/UNESP –
Grupo de Dinâmica Orbital - 1996 – 2006.
http://www.solarviews.com/portug/solarsys.htm
.

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2. GEOMETRIA ANALÍTICA - CÔNICAS
REFERÊNCIAS:
Geometria Analítica - Um tratamento vetorial
Paulo Boulos e Ivan de Camargo
Editora MaGraw-Hill Ltda - 1987
Jacir J. Venturi
Cônicas e Quádricas
www.geometriaanalitica.com.br
2.1. INTRODUÇÃO
No prefácio do livro Cônicas e Quádricas, de Jacir Venturi, é apresentada a
seguinte fábula:
Conta uma fábula grega que os deuses do Olimpo estavam preocupados com a
evolução do homem. Este estava se desenvolvendo tanto pelo uso de sua inteligência que
em breve alcançaria os imortais deuses. Era preciso reagir. O todo poderoso Zeus, senhor
dos deuses e do mundo, vociferou: “Vamos esconder do hmem o seu talento, e ele jamais
nos alcançará”.
Mas onde esconder o talento do homem? Posseidon, deus dos mares, sugeriu as
profundezas dos oceanos. Apolo, deus da luz, no topo da montanha. Deméter, deusa da
terra, em vales recônditos. Hefesto, deus do fogo, em magmas vulcânicas. Ares, deus da
guerra, nas geleiras eternas.
Impávido, Zeus declara: "Nada disso, o melhor esconderijo do homem é o interior
do próprio homem. Ele jamais há de procurar o que está dentro de si.”
Esta fábula não só enaltece a busca do autoconhecimento e do desenvolvimento das
próprias potencialidades, mas também retrata a saga intelectual do povo grego e sua
contribuição para a evolução da Matemática.
A participação de vocês neste curso reflete a luta de cada um para o
desenvolvimento de suas potencialidades e do amadurecimento de metodologias, e tenho
certeza que serão capazes de transmiti-las à seus alunos.
O tópico em estudo hoje são as CÔNICAS, em especial, a circunferência, elipse,
parábola e hipérbole, as quais são curvas obtidas pela intersecção de um plano com um
cone circular de 2 folhas, e por isso chamadas de seções cônicas ou simplesmente cônicas.
Em nosso estudo será inicialmente introduzida a equação quadrática que define as
cônicas, seguindo de um estudo particular de elipse, circunferência, parábola e hipérbole,
apresentando sua definição, equação reduzida em coordenadas cartesianas, representação
gráfica e elementos característicos, finalizando com a resolução de alguns exercícios e
aplicações.

6
2.2. CÔNICAS - CASO GERAL
Dado um sistema de coordenadas cartesianas Oxy, chama-se CÔNICA o conjunto
de todos os pontos P , com coordenadas (x,y), que satisfazem a equação quadrática:
A x2
+ 2 B x y + C y2
+ 2 D x + 2 E y + F = 0 (1)
sendo que os coeficientes A , B, C , D, E, F são reais e A, B, C não podem ser
simultaneamente nulos.
Os 9 casos a seguir englobam todas as possibilidades que satisfazem a equação
quadrática (1):
a) Um conjunto vazio.
Exemplo: x2
+ y2
+ 1 = 0 , para o qual não existe x e y reais, tais que x2
+ y2
= -1
Os coeficientes são A=1, B= D = E = 0, C = 1, F = 1.
b) A origem O = (0,0), correspondendo à x2
+ y2
= 0, com A=1, C = 1,
B=D=E=F=0.
c) Uma reta: a x + b y + c =0 .
Por exemplo: x + y = 0 , que pode ser colocada na forma
(x+y) 2
= x2
+ 2x y + y2
= 0
De modo que A= B = C = 1 e D=E=F=0
d) União de duas retas paralelas : a x +by + c = 0 e a x + b y + d = 0, que podem
ser colocadas na forma:
( a x +by + c ) ( a x + b y + d ) = 0.
Por exemplo: ( x + y ) ( x + y + 1 ) = x2
+ 2 x y + y2
+ x + y = 0
de modo que A = B = C = 1, D = E = ½ e F =0.
e) União de duas retas concorrentes a x +by + c = 0 e a' x + b' y + c' = 0, que
podem ser colocadas na forma:
( a x +by + c ) ( a' x + b' y + c' ) = 0.
Por exemplo: ( x + y ) ( x - y ) = x2
- y2
= 0,
de modo que = A = 1, C = -1, B= D = E = F = 0.
6) Circunferência. Exemplo: x2
+ y2
- 1 = 0, com A=C = 1, B=D=E = 0, F = -1.
7) Elipse. Exemplo : x2
+ 2 y2
- 1 = 0, com A = 1, C = 2, B = D = E = 0, F = -1.
8) Parábola. Exemplo : x - y2
= 0, com, C = -1, D =1/2, A = B = E = F = 0.
9) Hipérbole. x2
- y2
- 1 = 0, com A = 1, C = -1, B = D = E = 0, F = -1.
Os casos de 1 à 5 representam cônicas degeneradas e a circunferência, elipse,
parábola e hipérbole serão aqui discutidas.
A palavra CÔNICA procede do fato que tal curva é obtida por meio do corte de
um plano sobre o cone circular, como mostra a Figura 3. Deste modo, quando o plano não
passar pelo vértice do cone tem-se:

7
1) Circunferência : quando o plano for perpendicular ao eixo do cone;
2) Parábola: quando o plano for paralelo a uma geratriz do cone, sendo a geratriz a
reta que passa pelo vértice do cone;
3) Elipse: quando o plano for obliquo ao eixo e não paralelo a uma geratriz, de
modo que o plano corta apenas uma das folhas do cone;
4) Hipérbole: quando o plano for paralelo ao eixo do cone;
As Cônicas degeneradas são obtidas quando o plano passa pelo vértice do cone.
Figura 2 - Secionando o Cone.
A partir da identificação dos coeficientes da equação (1), as cônicas podem ser
identificadas através de:
I) B2
- 4 A C < 0 - a cônica só pode ser um conjunto vazio, um ponto, uma
circunferência ou elipse;
II) B2
- 4 A C = 0, a cônica só pode ser uma reta, união de retas paralela, ou um
conjunto vazio ou uma parábola;
III) B2
- 4 A C > 0 , a cônica trata-se necessariamente de reunião de dua retas
concorrentes ou de hipérbole.
Por este motivo, dizemos que a equação (1) é:
I) do tipo elíptico quando B2
-4AC<0,
II) do tipo parabólico quando B2
- 4 A C = 0 e
III) do tipo hiperbólico quando B2
- 4 A C > 0.

8
A equação da cônica, válida para elipse, circunferência, parábola e hipérbole, muitas
vezes aparece em termos de coordenadas polares (r,θ), é chamada de equação polar da
cônica e dada por:
θε+
=
cos1
p
r
sendo r a distância do ponto P da cônica à um ponto F, chamado foco, p é o parâmetro da
cônica, e a excentricidade da cônica e θ o ângulo que a reta FP forma com o ponto da
cônica mais próximo do foco F, como mostra a Figura 3. Se :
ε = 0 , temos uma circunferência,
0 < ε < 1 , temos uma elipse,
ε = 1 , temos uma parábola,
ε >1, temos uma hipérbole.
Figura 3 - Coordenadas polares (r,θ) e cônica, representada aqui pela elipse.
θ
P
F

9
2.3. ELIPSE.
A. DEFINIÇÃO
Sejam dois pontos F1 e F2 do espaço de dimensão 2, de modo que a distância entre
F1 e F2 seja constante e igual a 2c, com c> 0 , ou seja:
d(F1, F2) = 2 c. (2)
Seja a > c. Chama-se elipse o conjunto de todos os pontos P que satisfazem:
d(P,F1) + d(P , F2) = 2a. (3)
B. EQUAÇÃO NA FORMA REDUZIDA
Considerando o sistema de coordenadas cartesianas Oxy, no qual:
P = (x,y), F1 = (-c,0) e F2 = (c,0),
de modo que os focos F1 e F2 se alinham no eixo Ox, temos:
2 2
1 1d(P,F ) FP (x c) y= = + + , (4)
2 2
2 2d(P,F ) F P (x c) y= = − + . (5)
Substituindo (4) e (5) em (3):
2 2 2 2
(x c) y (x c) y 2a+ + + − + = ,
2 2 2 2
(x c) y 2a (x c) y+ + = − − + ,
elevando a última expressão ao quadrado e simplificando:
2 2 2
a cx a (x c) y− = − + ,
elevando novamente ao quadrado e simplificando:
2 2 2 2 2 2 2 2
(a c )x a y a (a c )− + = − ,
como a>c, então a2
– c2
>0 e dividindo por a2
e (a2
– c2
), temos:
1
ca
y
a
x
22
2
2
2
=
−
+ . (6)

10
Representando:
22
cab −= , (7)
então: 222
cba += (8)
e 0 < b < a . (9)
Logo a equação (7) pode ser escrita como:
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ 10)
A equação (10) representa a forma reduzida da elipse, que possui os focos alinhados ao
longo do eixo Ox.
NOTA: Se os focos F1 e F2 estivessem alinhados no eixo Oy, ou seja se
F1 = (0,-c) e F2 = (0,c),
a forma reduzida da equação da elipse seria dada por:
1
a
y
b
x
2
2
2
2
=+ (11)
C. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Como a equação (10) só apresenta as coordenadas x e y com expoentes pares, a
curva é simétrica em relação aos eixos coordenados, isto é se (p,q) satisfaz a equação (10)
então (-p,q), (p,-q), (-p.-q) também satisfazem a equação.
Pela equação (10) também temos que para todo ponto P = (x,y) da elipse é válido:
2 2 2 2
2 2 2 2
x y y x
1 1 a x a e 1 1 b y b
a b b a
= − ≤ − ≤ ≤ = − ≤ − ≤ ≤
,
ou seja a elipse está contida em um retângulo de lados a e b.
A elipse intercepta os eixos coordenados:
Ox ax1
a
x
0y
2
2
±=== , e os pontos de intercessão são
A1 =(-a,0) e A2 = (a,0),
Oy by1
b
y
0x
2
2
±=== , e os pontos de interessa são
B1 =(0,-b) e B2 = (0,b).

11
Devido a simetria da elipse, podemos nos restringir ao primeiro quadrante do plano
Oxy e pela equação (10) temos que:
22
xa
a
b
y −= (12)
Atribuindo valores para x no intervalo de ax0 ≤≤ e calculando y através de (12), a curva
da elipse, cuja equação reduzida é dada por (10) está apresentada na Figura 4.
Figura 4 - Elipse, com centro em C=(0,0) e focos no eixo Ox.
D. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS
Na Figura 5 estão apresentados os elementos característicos da elipse, sendo:
F1 e F2 - os focos,
2c - distância entre os focos F1 F2, denominada distância focal,
O - centro da elipse, que é o ponto médio entre os focos F1 e F2,
A1,A2, B1 e B2 são os vértices da elipse,
2a - o eixo maior da elipse, dado pelos segmento A1A2,
2b - eixo menor da elipse, dado pelo segmento B1B2.
Figura 5 - Elementos característicos da elipse.

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Do triângulo B2OF2 na Figura 5, verifica-se a propriedade 222
cba += , já
salientada da equação (7) .
Uma importante característica da elipse é a sua excentricidade, que é definida pela
relação:
a
c
=ε (13)
Como a e c são positivos e c < a então 0 < ε < 1. Quando mais próximo de zero for
o valor de ε, mais a elipse se aproxima de uma circunferência. Por outro lado, quanto mais
achatada for a elipse, mais o valor de ε se aproxima de 1.
Uma vez fixo o valor do semi-eixo maior a, há uma correspondência entre o valor
de ε e a distância focal 2c: quanto mais a elipse se aproxima de uma circunferência, menor
a distância entre os focos; e quanto mais achatada for a elipse, maior a distância entre os
focos.
OBSERVAÇÕES:
A - Quando os focos coincidem com o eixo Oy e a forma reduzida da equação da
elipse é dada por (11), a representação gráfica da elipse está apresentada na Figura 6, sendo
que o eixo maior coincide com o eixo Oy e o eixo menor da elipse com o eixo Ox.
Figura 6 - Elipse com centro C=(0,0) e focos coincidentes com o eixo Oy.
B. CIRCUNFERÊNCIA
A circunferência é definida como um caso particular da elipse, na qual os focos F1 e
F2 coincidem, ou seja:
c = 0, ε = 0, a = b.

13
A equação da circunferência é dada por:
x2
+ y2
= r2
, (14)
sendo r o raio da circunferência, com r > 0.
Quando o centro da circunferência se encontra no ponto C = (x0, y0), a equação da
circunferência é dada por:
22
0
2
0 r)yy()xx( =−+− (15)
E. ALGUMAS APLICAÇÕES DAS ELIPSES
1. As trajetórias dos planetas ao redor do Sol não são circunferências, mas elipses, com
o Sol ocupando o foco principal. No caso da Terra os semi-eixos são
a =153.493.000 km e b = 153.454.000,
correspondendo a uma excentricidade de ε = 0,0167. O maior eixo apresenta dois pontos
característicos: o perihélio ( janeiro) e o afhélio ( julho), que correspondem às distâncias
mínimas e máximas da Terra ao Sol, respectivamente.
2. No globo terrestre ( geóide) o equador tem aproximadamente a forma de
circunferência ( raio equatorial ~6378 km) e o meridiano de uma elipse ( semi-eixo menor
~ 6356 km ).
3. Arcos em forma de semi-elipses são muito empregados na construção de pontes de
concreto e de pedras, desde os antigos romanos.
4. Em engenharia mecânica são usadas engrenagens elípticas.
F. EXERCÍCIOS
1) Qual a equação da circunferência de raio 2 e centro no ponto C=(3,3). Represente
graficamente esta circunferência.
2) Dada a equação da elipse 16 x2
+ 9 y2
= 144, pede-se:
a) a forma reduzida da equação;
b) a excentricidade da elipse;
c) a representação gráfica e as coordenadas dos focos e dos vértices.
3) Obter a equação da elipse com centro na origem do sistema cartesiano, com o s focos
coincidentes com o eixo x, que passa pelo ponto P=(1,1) e cuja excentricidade é igual a
2
2
.

14
2.4. HIPÉRBOLE
A. DEFINIÇÃO
Sejam os pontos F1 e F2 do espaço de dimensão 2, de modo que a distância entre F1 e F2
seja constante e igual a 2c, com c> 0 , ou seja:
d(F1, F2) = 2 c. (16)
Seja 0 < a < c. Chama-se HIPÉRBOLE ao conjunto de todos os pontos que
satisfazem:
1 2d(P,F ) d(P,F ) 2a− = . (17)
B. EQUAÇÃO NA FORMA REDUZIDA
Considerando um sistema de coordenadas cartesiano Oxy, no qual:
P = (x,y), F1 = (-c,0) e F2 = (c,0),
do mesmo modo que para a elipse pode-se obter:
2 2
2 2 2 2
x y
1
a (c a )
− =
−
. (18)
Definindo : 2 2
b c a= − , (19)
então: c2
= a2
+ b2
e 0 < b < c. (20)
Obtém-se:
2 2
2 2
x y
1
a b
− = , (21)
que é a equação da hipérbole na forma reduzida com os focos alinhados com o eixo Ox..
NOTA: Se os focos F1 e F2 estivessem alinhados no eixo Oy, ou seja se
F1 = (0,-c) e F2 = (0,c),
a forma reduzida da equação da hipérbole seria dada por:
2 2
2 2
x y
1
b a
− + = (22)

15
:
C. REPRESENTAÇÃO DA GRÁFICA
Do mesmo modo que para a elipse, a equação (21) só apresenta expoentes pares e a
curva da hipérbole é simétrica com relação aos eixos coordenados Ox e Oy, sendo
representada na Figura 7, onde se observa que os dois ramos da hipérbole abrem na direção
do eixo x.
Figura 7 - Hipérbole com centro da origem e focos F1 e F2 alinhados no eixo Ox.
No caso dos focos estarem alinhados com o eixo Oy, com a equação reduzida dada
por (22), a representação gráfica da hipérbole está apresentada na Figura 8, onde se
observa que os dois ramos da hipérbole abrem na direção do eixo y.
Figura 8 - Hipérbole com centro na origem e focos F1 e F2 alinhados no eixo Oy.

16
D. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS.
Na Figura 9 estão apresentados os elementos característicos da hipérbole, sendo:
F1 e F2 - os focos,
2c - distância entre os focos F1 F2, denominada distância focal,
O - centro da hipérbole, que é o ponto médio entre os focos F1 e F2,
A1,A2, - os vértices da hibérbole,
1 2A A = 2a - o eixo transverso da hipérbole,
1 2B B = 2b - eixo conjugado da hipérbole..
Figura 9 - Elementos característicos da Hipérbole
O triângulo retângulo B2OA2 da Figura 9, verifica-se que c2
= a2
+ b2
, já salientada na
equação (20).
A excentricidade da hipérbole é também dada por
a
c
=ε ,
e como c> a , então > 1.
E. ALGUMAS APLICAÇÕES DA HIPÉRBOLE
1.As trajetórias de alguns cometas podem ser hipérboles, dependendo de aus
velocidade.

17
2. Para algumas sondas espaciais a trajetória hiperbólica pode ser útil para a sonda
escapar da atração gravitacional da Terra.
3. Alguns sistemas de controle de navegação aérea utilizam hipérboles ( sistema
LORAN – longe range navigation), do mesmo modo que sistema de navegação marítima
(RADUX – de baixa freqüência e sistema LORAC – de grande precisão).
F. EXERCICIO
Dada a hipérbole de equação 16 x2
– 25y2
= 400, pede-se:
a) a equação na forma reduzida;
b) a excentricidade;
c) a representação gráfica, com as coordenadas dos focos e dos vértices.

18
2.5. PARÁBOLA
A. DEFINIÇÃO
Sejam o ponto F e uma reta d do espaço de dimensão 2, sendo que F não pertence a
reta d. Chama-se PARÁBOLA o conjunto de todos os pontos P que satisfazem:
d(P,F) = d(P,d). (23)
C. EQUAÇÃO NA FORMA REDUZIDA
Considerando um sistema de coordenadas cartesiano Oxy, no qual:
P = (x,y)
F = (0,p/2)
Reta r : y = -p/2
Neste caso, a distância do ponto P à reta d é dada por:
d(P,d) = p2 2
20 (y )+ + , (24)
e a distância do ponto P ao ponto F é:
d(P,F) = p2 2
2x (y )+ − . (25)
Substituindo (24) e (25) em (23) tem-se que:
p2 2
2x (y )+ − = p2 2
20 (y )+ + ,
que elevando-se ao quadrado e simplificando:
x2
= 2 p y. (26)
A equação (26) representa da forma reduzida da equação da parábola, com eixo ao longo do
eixo x.
NOTA: Quando o ponto F se alinha no eixo x, ou seja, se F = (p/2,0), então a equação da
parábola com eixo ao longo de y é dada por:
y2
= 2 p x. (27)

19
D. REPRESENTAÇÃO DA GRÁFICA
I. Como x tem expoente par na equação (26), a parábola é simétrica em relação ao
eixo Oy, sendo que neste caso o ponto V = (0,0) pertence a parábola e é chamado de
vértice. Quando y = p/2 então x = p± , ou seja os pontos A1 = (p,p/2) e A2 = (-p,p/2)
pertencem à parábola. Assim assumindo valores para y, pode-se determinar valores para x,
de modo que se p>0 , a parábola é representada na Figura 10, com concavidade voltada
para cima; e se p<0 , a parábola é representada na Figura 11, com concavidade voltada para
baixo.
.
Figura 10. Parábola dada por x2
= 2 p y e p>0. Concavidade para cima.
Figura 11. Parábola dada por x2
= 2 p y e p< 0. Concavidade para baixo.

20
Para o caso da parábola com eixo ao longo de y e equação dada por (27) a representação
gráfica está indicada nas Figuras 12 e 13.
Figura 12. Parábola dada por y2
= 2 p x e p > 0. Concavidade para direita.
Figura 13. Parábola dada por y2
= 2 p x e p< 0. Concavidade para esquerda.

21
D. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS.
Os elementos característicos da parábola são:
F - foco,
d – a reta diretriz,
V – o vértice, é o ponto médio entre a reta diretriz e o foco F,
p - o parâmetro a parábola,
O eixo da parábola é determinado pela reta perpendicular à reta diretriz d.
A excentricidade da parábola é considerada igual à 1.
E. ALGUMAS APLICAÇÕES DA PARÁBOLA
1. A secção de um farol de automóvel tem formato de uma parábola ( a superfície
espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios
luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma direção
segundo retas paralelas ao eixo da parábola.
2. Se um espelho parabólico é apontado para o Sol, os raio s de luz ( paralelos ao eixo da
parábola) serão refletidos para o mesmo ponto ( foco). Pela grande quantidade de calor
produzido nesta fonte, procede o nome FOCO, que em latim focus significa FOGO).
Aplica-se este mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de
radar e antenas parabólicas ( as ondas paralelas ao eixo da parábola, se refletem na antena e
confluam para retransmissor).
3. O cabo principal de uma ponte pênsil assumiria a forma de parábola, se o cabo fosse
perfeitamente flexível, se a massa fosse negligenciada e se o peso da ponte estivesse
uniformemente distribuídos ao longo de seu comprimento. Na prática estas condições não
se verificam e os cabos assumem a forma de uma curva muito próxima de uma parábola.
4. Em balística, quando se lança um projétil sobre o qual atua somente a força da
gravidade, a trajetória do projétil é uma parábola.
5. Em trajetórias de satélites artificias, quando somente a força de atração da Terra
esférica é considerada, a parábola é assumida como a trajetória de escape de menor energia
e conseqüente menor velocidade de escape.
F. EXERCÍCIOS
1) Dada a parábola de equação y2
= -8x, pedem-se:
a) as coordenadas do foco;
b) a representação gráfica.
2) Determine a equação da parábola de concavidade voltada para cima, que passa pelo
ponto A =(1,2) e cujo vértice é V= (0,0).

22
RESOLUÇÃO DOS EXERCICIOS
ELIPSE - PÁG. 13
1) A equação da circunferência de raio 2 e centro em C=(3,3)é dada por::
(x-3)2
+ (y-3)2
= 4
Da qual : 2
)3x(43y −−+= .
Atribuindo valores para x obtem-se y. Na construção do gráfico pode-se colocar
inicialmente o centro da circunferência e a partir dele os demais pontos. Com o auxili de
um compasso fica fácil traçar a circunferência de raio 2.
2) Equação geral da elipse fornecida foi: 16 x2
+9 y2
= 144
a) Dividindo cada termo da equação por 144, a equação reduzida é dada por:
144
144
144
y9
144
x16 22
=+ ou 1
16
y
9
x 22
=+
b)Pela equação do item a, o semi-eixo maior coincide com eixo y, sendo
a2
= 16 e b2
= 9 a = 4 e b = 3.
Mas c2
= a2
- b2
= 7 c = 7 .
A excentricidade
4
7
a
c
==ε .
c) Gráfico: Os vértices são: A1 = (0,4), A2 = (0-4), B1 = (-3,0), B2 =(3,0)
Os focos: F1 =(0, 7 ) e F2=(0,- 7 )

23
3)
2
2
a
c
==ε
2
a2
c=
b2
= a2
- c2
= a2
-
2
a
2
a2 22
= a2
= 2b2
A equação da elipse com eixo maior coincidente com x é:
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
Como a2
= 2b2
e P=(1,1) pertence à elipse:
3a
2
3
b1
b
1
b2
1 22
22
===+
A equação da elipse é então dada por:
1
y
3
x
2
3
22
=+
HIPÉRBOLE - pág. 17
a) 16 x2
- 25 y2
= 400
Dividindo por 16 e 25 tem-se: 1
16
y
25
x 22
=−
Pela equação: a= 5, b = 4
b) Pela propriedade c2
= a2
+ b2
c = 4,641 ≈
A excentricidade 28.1
5
4.6
5
41
a
c
====ε .
c) Os vértices da hipérbole são: A1 = (-5,0) e A2 = (5,0)
Os focos estão em: F1 = (-6.4 , 0) e F2 = ( 6.4,0)
A partir da equação do item a:

24
2
y16
4
5
x +=
Atribuindo valores para y obtem-se x, podendo construir o gráfico.
PARÁBOLA - pág.21
y2
= -8x
O eixo de simetria é x.
1) a) A equação dada é do tipo y2
= 2 p x, com p <0, ou seja p = -4 e eixo da parábola
coincidente com o eixo x, com concavidade para esquerda.
Assim as coordenadas do foco serão F = ( -2,0).
b) atribuindo valores para x determina-se y, construindo-se o gráfico.
2) Como a concavidade da parábola é voltada para cima e o vértice é V= (0,0), a equação
da parábla é do tipo x2
= 2py.
Oponto A=(1,2) pertence a parábola x2
= 2py. Então: (1)2
= 2 p (2) p =
1
4
.
Portanto a equação da parábola é dada por: 2 1
x 2 y
4
= .

25
CONSTRUÇÃO DE ELIPSES
Com o auxílio de uma prancha de isopor, um folha de papel milimetrado, 2 alfinetes, 1
barbante ( de 18 cm de comprimento para folha de tamanho A4) e uma caneta de ponta
fina, vamos traçar algumas elipses e uma circunferência. O papel milimetrado deve ser
fixado sobre a prancha de isopor. As extremidades do barbante devem ser unidas com um
nó bem forte.
Trace os eixos x e y em seu papel milimetrado.
I - Traçado da circunferência
Para traçar a circunferência coloque um alfinete no centro da folha milimetrada e encaixe o
barbante neste alfinete. Encaixe a caneta na outra extremidade do barbante e deslize sobre o
papel.
Anote o valor do raio da circunferência: r = a =
Qual o valor da excentricidade?
II - Traçados das Elipses
Vamos agora necessitar de dois alfinetes para traçar as 4 curvas de elipse.
Curva 1 - Coloque os alfinetes afastados de 2 cm, a partir do centro de seu sistema de
coordendas xy. Enlace o barbante nos alfinetes, encaixe a caneta no barbante e deslize
sobre o papel para traçar a elipse.
Curva 2 - Repita o processo anterior com os alfinetes afastados de 4 cm.
Curva 3. - Repita o processo anterior com os alfinetes afastados de 6 cm.
Curva 4 - Repita o processo anterior com os alfinetes afastados de 8 cm.
Observe que as posições dos alfinetes correspondem as posições dos focos de cada elipse,
de modo que a distância entre eles corresponde a distância c entre os focos.
Para cada curva vamos anotar o valor de p, do semi-eixo maior (a) e do semi-eixo menor
(c) e completar a tabela abaixo.
Curva a b c a2
b2
a2
=c2
+b2
εεεε=c/a
circunferência
1
2
3
4
O que você pode concluir da tabela acima e dos traçados das elipses?

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