O documento descreve a história do cálculo do número pi. Explica que desde a Antiguidade os matemáticos tentavam calcular o valor exato da relação entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, representada pelo número pi. Apresenta algumas das primeiras aproximações feitas, como 22/7 por Arquimedes, e como só no século XVII se descobriu que pi é um número irracional.

1. ESCOLA NOVA – MONTE SANTO DE MINAS – MG
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
8º Ano – 2016 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
10 DE MARÇO DE 2016
Nome: ________________________________________
Faça em aula e termine em casa
Estude 20 minutos por dia todo dia
Pi, o número mais famoso do mundo
Afinal de contas o que é o pi?
Se pegarmos em um círculo, a medida de sua circunferência e dividirmos pelo seu diâmetro
sempre vamos encontrar um número constante. E este número é o pi, representado pela letra grega p (de
nome pi).
Mas de onde surgiu a idéia de calcular o pi?
Desde a Antigüidade, o homem percebeu que esta divisão (circunferência: diâmetro) era um número
fixo. E o homem queria saber exatamente quanto era este valor. Muita discussãoe anos e anos de pesquisa
e muita coisa aconteceu.
Até na Bíblia existe uma referência sobre esta relação entre a circunferência e o diâmetro. Numa
passagem, conta-se que o rei Salomão mandou que um artesão de nome Hirão, especialista em trabalhos
em bronze, fizesse um trabalho num templo em Jerusalém, construído entre 1014 e 1007 a.C. No versículo
23, consta a descrição de um tipo de reservatório de forma circular: “E ele passou a fazer o mar de fundição
de dez côvados de uma borda à sua outra borda, circular em toda a volta, e sua altura era e cinco côvados
e requeria um cordel de trinta côvados para circundá-lo em toda a volta”. O côvado era uma unidade de
comprimento adotada na época.
Interpretando o texto:
“... dez côvados de borda a borda ...” – diâmetro=10
“...requeria um cordel de trinta côvados para circundá-lo em toda a volta.” – circunferência=30
De acordo com a Bíblia o perímetro da circunferência é igual a 3 vezes a medida do diâmetro.
C=3d, ou: a razão entre o perímetro C e o diâmetro d é: C/d=3.
Portanto, é de supor que se soubesse, já há alguns milênios, que a razão entre o perímetro e o
diâmetro de uma circunferência é um número constante, ou seja: que tem sempre o mesmo valor.
Mas qual era o problema?
O problema que se colocou naquela época até nossos dias foi o de determinar um valor mais preciso
desse número constante.
Aproximações de Pi.
A descoberta de que p é um número irracional (infinitas casas decimais, não pode ser colocado na
forma de fração, PI NÃO ACABA!) só aconteceu no século XVII (isto quer dizer, que durante mais de 2.000
anos, muitos matemáticos tentavam achar o valor exato de pi, o que é impossível).
Uma vez que p é um número irracional, seu uso prático só é possível através de valores
aproximados.

2. Num papiro egípcio, atribuído ao escriba Ahmes, o valor da área do círculo é calculada a partir da
fração 256/81, que é aproximadamente 3,16 (era a sua aproximação para o pi).
Os povos da Mesopotâmia Antiga usaram p=25/8.
Arquimedes usou a fração 22/7 como valor para a constante pi. (Veja bem: todos estes valores são
aproximados, o pi não pode ser escrito na forma de fração, mas isto não era sabido). Mas, Arquimedes foi
mais longe, e descobriu que o valor de pi é um número que está entre as frações 223/71 e 220/7 (os antigos
não conheciam números decimais, só frações). Para chegar a esse grau de precisão, Arquimedes construiu
um polígono regular de 96 lados. Tal polígono estava muito próximo de uma circunferência; ele então
calculou a razão do perímetro do polígono de 96 lados pelo diâmetro. Note que:Quanto maior o número e
lados, mais o perímetro do polígono se aproxima do perímetro da circunferência.
Geômetras chineses encontraram uma fração que dava um valor mais preciso para p: 355/113.
Foi somente em 1761 que o francês Lambert provou que p é um número irracional, ou seja, tem uma
expansão decimal infinita e não periódica.
Uma aproximação do Pi com 100 casas decimais:
3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628
0348253421170679...
Modernamente:
Em outubro de 1995, os japoneses Yasumasa Kanata e Yoshiaki Tamura, da Universidade de
Tóquio, calcularam o número pi com 6.442.450.938 de casas decimais, auxiliados por um potente
computador. Estes dois matemáticos desde 1981 se empenham em calcular casas decimais do número pi,
começaram calculando “apenas” 2 milhões de casas decimais.
De 20 de junho de até 26 de setembro de 1999, Kanada e Daisuke Takahashi, calcularam o pi com
206.168.430.000 casas decimais, usando um computador Hitachi SR 8000.
Importante:
Uma vez que pi é um número irracional e só é possível trabalhar com aproximações, não é
necessário memorizar mais do que 2 ou 4 casas decimais, pois para a maioria das atividades escolares o
valorp=3,14 satisfaz às exigências impostas pelas condições dos problemas.
Para problemas que exigem maior precisão, pode-se utilizar p com no máximo 7 casas decimais,
que é o que comporta o visor de uma calcular comum.
Uma vez que o p já está dominado, vamos utilizá-lo!
Curiosidades:
*** No famoso Guiness Book – o livro dos Recordes, existe uma seção para “Valor mais preciso de pi”, e
todos os anos, aparece um novo valor, calculado por Kanada e Tamura. Apesar destes matemáticos (só
eles) se empenharem em bater recordes das casas decimais de pi, hoje não há mais utilidade em calcular
tantas casas, já que é sabido que existem infinitas e existem métodos para calcular estas casas decimais.
Calcular pi com muitas casas hoje é brincadeira.
*** Em 1615, o matemático Ludolph Van Ceulen calculou o p com 35 casas decimais precisas usando um
polígono de 15 quadrilhões de lados. O trabalho foi tanto que ele mandou gravar as 35 casas decimais do
pi em seu túmulo.
*** O matemático Leonardo Euler disse que os números mais famosos do número eram o p, o e (outro
número irracional), o i (número complexo, aprendido no 3o
colegial), o 0 e o 1 eram os números mais
importantes e elaborou a expressão eip
+1=0. E dizia que com esta expressão Deus criou o mundo.
Regras para decorar o pi:
Retirando de alguns livros e revistas podemos encontrar algumas frases para decorar casas decimais de pi,
que representam o número de letras de cada palavra:
VAI A AULA O ALUNO APREENDER UM NÚMERO USADO NAS ARTES
SOU O MEDO E TEMOR CONSTANTE DO MENINO VADIO BEM VADIO
SOU O MEDO E PAVOR CONSTANTE DO MENINO VADIO QUE DORME
NÓS E TODO O MUNDO GUARDAMOS PI USANDO LETRA POR NÚMERO (Aproximação por excesso
– arredondamento)
NÃO É SOPA, Ó AMIGO, ENCONTRAR UM NÚMERO CERTO QUE SIRVA
AMA A DEUS E SEGUE FIELMENTE AS LIÇÕES DADAS POR JESUS NAZAENO
COM O ZERO O LENTE REPROVARÁ OS ALUNOS, VISTO QUE ERRAM BASTANTE
VAI À AULA O ALUNO ESTUDIOSO NA FRENTE DESTE QUE VADIA
Em outros idiomas:

3. YES, I HAVE A NUMBER (Sim, eu tenho um número - inglês)
SEE, I HAVE A RHYME ASSISTING MY FEEBLE BRAIN ITS TASKS SOMETIME RESISTING (Veja, eu
tenho uma rima ajudando meu fraco cérebro às vezes resistindo às suas tarefas – inglês)
QUE J’AIME A FAIRE APPRENDRE UN NOMBRE UTILE AUX SAGES (Que eu gostaria de ensinar um
número útil aos sábios – francês)
Esta frase acima é a primeira frase de um soneto de um autor do século 19, o soneto dá cerca de 100 casas
decimais do pi, segue-se à frase acima os seguintes versos: “...IMMORTEL ARCHIMEDE, ARTISTE,
INGENIEUR,
QUI, DE TON JUGEMENT PEUT PRISER LA VALEUR?
POUR MOI, TON PROBLEME EUT DE PAREILS AVANTAGES.”
*** Com número um modo de decorar o pi é assim Escreva 113355 e depois 355/113=3,1415929...
*** O escritor Malba Tahan, em seu livro Maravilhas da Matemática, escreve assim: SIM, É ÚTIL E FÁCIL
MEMORIZAR UM NÚMERO GRATO AOS SÁBIOS.
Para decorar:
Apesar de tudo isto, é útil apenas decorar que p=3,14. Decorar 3,141592 ou 3,1416, que são aproximações
úteis do pi, também valeria a pena. Algumas vezes, podemos usar 22/7; 3,1; 3; Ö10 ou em casos mais
precisos 355/113, como aproximações do pi.
Algumas utilidades do pi:
· Se tivermos a medida do raio R de um círculo, seu perímetro C mede C=2.p.R.
· No mesmo caso, a área A do círculo mede A=pR2
.
· O volume de um cilindro de altura h e raio da base R é V=p.R.h
· O volume de um cone de altura h e raio da base R é V=1/3.p.R.h
· O volume de uma esfera de raio R é A=4/3.p.R3
· O pi é usado em muitos outros lugares, e aparece, inusitadamente, em alguns casos!
Pi, o número mais famoso do mundo!

4. EXERCÍCIOS:
1) A medidadacircunferência,dadoodiâmetroé feitaassim:
CIRCUNFERÊNCIA = DIÂMETRO X PI
Usando umaaproximaçãode PI = 3,14, determine ovalordacircunferênciade:
a) diâmetro10 cm b) diâmetro50 m c) diâmetro10 m
d) raio 10 m e) raio 15 m f) raio 20 km
2) Ache o valor APROXIMADOdoraio e dodiametro,se a circunferênciativer1256 m:
DIÂMETRO=____________ RAIO= _____________
3) Escreva uma fórmulaparacalcular o RAIOdada a medidadaCircunferência.Mostre passoapassocomo você fez
os cálculos:
4) Usando uma calculadora,verifique ovalorde:
a) 22/7 b) √10
5) O que significadizerque pi é irracional?
6) Localize 0, 5, -3, ¼ e pi no diagramaa seguir:

5. 7) Vejacomo demonstramosafórmuladaárea docírculo:
Agora calcule aárea dos seguintescírculos:
8) Ache a áreada CoroaCirular:
9) Ache a áreado SetorCircular

7. REVISÃO
1) (Material doPositivo –6º ano) Em cada sequênciaabaixo,passamosde umnúmeroparao seguinte somandoou
subtraindosempre amesmaquantidade.Descubraqual é a quantidade,copie cadasequênciae complete-a
corretamente.
a) 0,6 0,55 ___ ___ ___
b) ___ ___ ___ 1,17 1,21
c) 0,087 0,095 ___ ___ ___
d) 4,25 ___ 3,25 ___ ___
2) (Material doPositivo –6º ano) O quadradoao ladoé mágico.Somandotrêsnúmerosde cada linha,colunaou
diagonal,oresultadodásempre 6. Descubraos númerosque faltamnoquadrado.
3) (Material doPositivo –6º ano) Descubraa regra de formaçãodas sequênciase escrevaosdoispróximostermos
de cada uma:
a) 0,7 1,2 1,7 ____ ____
b) 13,5 12,7 11,9 ____ ____
c) 0,03 0,3 3 ____ ____
d) 120 12 1,2 ____ ____
e) 0,2 0,4 0,8 ____ ____
f) 0,06 0,3 1,5 ____ ____
4) (Imenes & Lélis,2012) Emjaneiro deste ano, uma fortechuva causou umdeslizamento de
terra que bloqueou uma estrada. A polícia rodoviária registrou um congestionamento de 12
km. Se cada carro ocupa, em média, o comprimento de 5 m e havia duas faixas de estradas
congestionadas, quantos carros aproximadamenteestavamno congestionamento.

8. 5) (Imenes & Lélis, 2012) Observeos pacotes e o que está escrito na balança
Agora escreva na balança o que está escrito nesses casos:
6) Se a= 2,3 x 3,8 e b= 5,6 – 3,4, calcule o valor de a-b
7) (Imenes & Léllis, 2012) O preço do litro de gasolina é um número comtrês casas
decimais. Quando compramos certo número de litros, calculamos o total e desprezamos a
casa dos milésimos. Com basenesses dados, quanto devemos pagar por 25 L de gasolina a
R$ 2,897 o litro?