O documento descreve a história do cálculo do número π ao longo dos séculos. Começando pelos egípcios que chegaram a um valor aproximado de 3,16 há 3500 anos, passando pelos gregos como Arquimedes que estabeleceram os primeiros limites precisos, até matemáticos modernos que calcularam bilhões de dígitos de π usando computadores. O documento também explica porque π é uma constante matemática importante e como ela é usada em diversas fórmulas.

1. π
Aluno: Rafael Cavalcante

2. Definição

 O π (pi) é a razão entre o comprimento de uma
circunferência e seu diâmetro, na Geometria
euclidiana.
 É um número irracional e é uma das constantes
matemáticas mais importante.
 É empregado frequentemente na matemática, física e
engenharia.
 O valor numérico de π, truncado em suas primeiras
cifras, é o seguinte:
π ≈ 3,14159265358979323846....

3. 
A descoberta deste número magnífico não foi um
processo fácil e linear. Muitos foram os matemáticos
que dedicaram parte de suas vidas ao seu cálculo. Cada
avanço tinha muitas falhas, muitos retrocessos, muitos
esforços. O cálculo de pi foi levado a cabo durante
muitos séculos por inúmeras razões, quer práticas quer
teóricas.

4. 
 O valor de pi, com 10 casas decimais, é suficiente
para a maioria das "aplicações" práticas.
Ocasionalmente, existe a necessidade de aumentar a
precisão dos resultados obtidos, contudo não se
conhece um único caso, de uma situação prática que
requeira o uso de π com mais do que 100 casas
decimais. Então, por quê calcular o pi com bilhões de
casas decimais?

5. História do cálculo do
valor de π

 Antigo Egito
Matemáticos antigos perceberam que havia uma
certa proporção entre a circunferência e o
diâmetro de um círculo. Eles partiram de um
quadrado inscrito em uma circunferência, cujo
lado media nove unidades, então dobraram os
lados do quadrado para obter um polígono de
oito lados e calcularam a razão entre os
perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e
o diâmetro da circunferência. O egípcio Ahmes
no ano de 1800 a.C., descrito no papiro Rhind,
Detalhe do papiro Rhind. chegou ao valor aproximado de 3,16 há 3500 anos.

6. Mesopotamia

Alguns matemáticos mesopotâmicos empregavam, no
cálculo de segmentos, valores de π igual a 3,
alcançando, em alguns casos, valores mais
aproximados, como o de 3 + 1/8 (3,125).

7. Antiguidade Clássica

O matemático grego Arquimedes (século III a.C.)
foi capaz de determinar o valor de π, entre o
intervalo compreendido por 3 + 10/71 (~3,1408)
como valor mínimo e 3 + 1/7 (~3,1428) como
valor máximo. Com esta aproximação de
Arquimedes se obtém um valor para π com um
erro que oscila entre 0,024% e 0,040% sobre o
valor real. O método usado por Arquimedes era
muito simples e consistia em circunscrever e
inscrever polígonos regulares de n-lados em
circunferências e calcular o perímetro de ditos
polígonos. Arquimedes iniciou com hexágonos
circunscritos e inscritos, e foi dobrando o número
de lados até chegar a polígonos de 96 lados.
Arquimedes (287 a 212 a.C.)

8. Antiguidade Clássica

Método de Arquimedes para
encontrar dois valores que se
aproximem ao número π, por
excesso e falta.

9. Antiguidade Clássica

 Em torno do ano 20 d.C., o arquiteto e engenheiro
romano Vitrúvio calculou π como sendo o valor
fracionário 25/8 .
 No século II, Claudio Ptolomeu proporciona um
valor fracionário por aproximações:
377/120=3,141666...

10. Matemática Chinesa
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

11. Matemática Chinesa
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Método de aproximação de Liu Hui.

12. Matemática Chinesa

 No final do século V, o matemático e
astrônomo chinês Zu Chongzhi
calculou o valor de π em 3,1415926
ao qual chamou, valor por falta, e
3,1415927, valor por excesso, e deu
duas proximações racionais de π:
22/7 e 355/113 , ambas muito
conhecidas, sendo a última
Zu Chongzhi (429-500)
aproximação tão boa e precisa que
não foi igualada por mais de nove
séculos.

13. Matemática Indiana

Aryabhata (476-550)
 No final do século V, o matemático
indiano Aryabhata estimou o valor
em 3,1416 usando um polígono
regular inscrito de 384 lados.
Brahmagupta (598-660)

14. Matemática Islâmica

No século IX Al-Jwarizmi em sua
"Álgebra" (Hisab al yabr ua al muqabala) faz
notar que o homem prático usa 22/7 como
valor de π, o geômetra usa 3, e o
astrônomo 3,1416. No século XV, o
matemático persa Ghiyath al-Kashi foi
capaz de calcular o valor aproximado de π
Ghiyath al-Kashi
com nove dígitos, empregando uma base
(1350-1439) numérica sexagesimal, o que equivale a
uma aproximação de 16 dígitos decimais:
2π = 6,2831853071795865.

15. Renascimento Europeu
Fibonacci
  A partir do século XII, com o uso de cifras
(1175- 1250) arábicas nos cálculos, facilitou muito a
possibilidade de obter melhores cálculos para
π. O matemático Fibonacci, em sua “Practica
Geometriae”, amplificou o método de
Arquimedes, proporcionando um intervalo
mais estreito.

16. Renascimento Europeu
 François Viète
Alguns matemáticos do século XVII, como (1540-1603)
Viète, usaram polígonos de até 393.216 lados
para se aproximar com boa precisão a
3,141592653.
Em 1593 o flamengo Adriaan van Roomen
(Adrianus Romanus) obtém uma precisão de 16
dígitos decimais usando o método de
Adrianus Romanus Arquimedes.
(1561-1615)

17. Época Pré-Moderna

 Em 1610 o matemático Ludolph van
Ceulen calculou os 35 primeiros decimais
de π. Diz-se que estava tão orgulhoso
desta façanha que o mandou gravar em
sua lápide. Os livros de matemática
alemães, durante muitos anos,
denominaram a π como número ludolfiano.
Ludolph van Ceulen
(1540-1610)

18. Época Pré-Moderna

 Em 1665 Isaac Newton desemvolve a série:
 O matemático inglês John Wallis desenvolveu, em
1655, a conhecida série Produto de Wallis:

19. Época Pré-Moderna



20. Época Pré-Moderna

 Em 1720 o francês Thomas Fantet de Lagny utilizou
o mesmo método para obter uma aproximação de
127 dígitos (só os primeiros 112 eram corretos).
Abraham Sharp Thomas Fantet de Lagny
(1651-1742) (1660-1734)

21. Época Pré-Moderna



22. Época Moderna
(Era Computacional)
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23. 

24. 

Shigeru Kondo

25. Fórmulas que contém π

 Em geometria
• Comprimento da circunferência de raio r: C = 2 π r

26. Fórmulas que contém π

 Áreas de seções cônicas:
• Área do círculo de raio r: A = π r²
• Área da elipse com semi-eixos “a” e “b”: A = π ab

27. Fórmulas que contém π

 Áreas de corpos de revolução:
• Área do cilindro: 2 π r (r+h)
• Área do cone: π r² + π r g
• Área da esfera: 4 π r²

28. Fórmulas que contém π

 Volumes de corpos de revolução:
• Volume da esfera de raio r: V = (4/3) π r³
• Vol. de um cilindro reto de raio r e altura h: V = π r² h
• Vol. de um cone reto de raio r e altura h: V = π r² h / 3

29. Fórmulas que contém π

 Equações expresas em radianos:
• Ângulos: 180 grãos são equivalentes a π radianos.
 Em probabilidade
• A probabilidade de que dois números inteiros positivos
escolhidos
ao azar sejam primos entre si é: 6/π²
• Se for escolhido ao azar dois números positivos menores que 1, a
probabilidade de que junto com o número 1 possam ser os lados de
um triângulo obtusângulo é: (π-2)/4
• O número médio de formas de escrever um número inteiro
positivo como soma de dois quadrados perfeitos é π/4 (a ordem é
relevante).

30. Fórmulas que contém π

 Em análise matemática
• Fórmula de Lei bniz: • Euler:
• Produto de Wallis:

31. Curiosidades

 1. O cálculo do Pi com milhões de casas decimais é usado para testes em
computadores e programas (Hardware e software). Uma diferença em um dos
algarismos, indica falha nas arquiteturas.
 2. Apenas quarenta e sete casas decimais do pi seriam suficientemente precisas para
inscrever um círculo em torno do universo visível. Resultado este cujo erro,
relativamente à circularidade perfeita, não é maior do que um simples próton.
 3. Um dos livros mais aborrecidos, alguma vez escrito, foi: "pi com um milhão de
casas decimais".
 4. A pior aproximação de sempre do pi, surgiu em 1897 quando a "House of
Representatives" , no estado de Indiana, apresentou uma proposta de lei que
decretou que o valor de pi era 4.
 5. Na Grécia antiga o símbolo p era usado para denotar o número 80.
 6. A fracção 22/7 é usada frequentemente como apróximação para o p. A fracção que
melhor se apróxima de p, embora mais difícil de decorar é 104348/33215.
 7. Pi é irracional, ou seja, PI não pode ser expresso através de uma fração.

32. Referências
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