O documento apresenta os conceitos de resposta em frequência de sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI). Discute-se a resposta em magnitude, fase, atraso de grupo e atraso de fase. Exemplos ilustram como esses conceitos afetam a saída de sistemas LTI quando submetidos a entradas moduladas.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO (UFERSA)
CENTRO MULTIDISCIPLINAR DE PAU DOS FERROS (CMPF)
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E TECNOLOGIA (DETEC)
PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
Aula 10
Resposta em Frequência
Prof.: Pedro Thiago Valério de Souza
UFERSA – Campus Pau dos Ferros
pedro.souza@ufersa.edu.br

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Objetivos
• Analisar a resposta em frequência de sistemas LTI;
• Apresentar os conceitos de atraso de grupo e atraso de fase e a importância desses conceitos
para definição de sistemas sem distorção;
• Definir o efeito os polos e zeros na resposta em magnitude, resposta em fase e o atraso de
grupo de sistemas LTI;
• Explicar como a resposta em magnitude de um sistema LTI pode ser obtida através do seu
diagrama de polos e zeros;
• Analisar a Resposta em Frequência de alguns sistemas LTI.
2

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Introdução
• Representação de sistemas LTI:
3
( )
h n
( )
x n ( )
y n
• Convolução: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
y n h n x n h k x n k


   

• Função de sistema:      
Y z X z H z
    
( )
Y z y n
 Z
   
( )
X z x n
 Z
   
( )
H z h n
 Z
• Resposta em Frequência:      
j j j
Y e X e H e
  
    
( )
j
Y n
e y

 F
   
( )
j
X n
e x

 F
   
( )
j
H n
e h

 F

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Resposta em Frequência de Sistemas LTI
• Sistema LTI estável:
4
     
j
j H e
j j
H e H e e

 
  
j
H e 
é a reposta em magnitude.
 
j
H e 
é a reposta em fase.
• Sendo:      
j
j X e
j j
X e X e e

 

     
j
j Y e
j j
Y e Y e e

 

então:
     
j j j
Y e X e H e
  
    
   
j j
j X e j H e
j j
X e e H e e
 
 
        
 
j j
j X e H e
j j
X e H e e
 
  

ou seja:
     
 
j
j Y e
j j
Y e Y e e

 
        
 
j j
j X e H e
j j
X e H e e
 
  

     
j j j
Y e X e H e
  

     
j j j
Y e X e H e
  
 
Conclusões:
• A resposta em magnitude informa como a
magnitude da entrada é modificada (ganho);
• A resposta em fase indica o deslocamento dado à
fase da entrada.

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Resposta em Frequência de Sistemas LTI
• Atraso de Grupo: É uma medida de linearidade da fase do sistema:
5
   
j
g
d
H e
d

 

 
• Se a fase é linear  Atraso de grupo constante;
• Atraso de Fase:
 
 
j
p
H e 
 

 
• Um sistema sem distorção é aquele que:    
g p
   


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Resposta em Frequência de Sistemas LTI
6
Exemplo: Sistema de atraso ideal.    
y n x n k
 
Resposta ao impulso:    
h n n k

 
Resposta em Frequência:    
 
j
H e h n

 F
Resposta em Magnitude:   1
j
H e 

Resposta em Fase:  
j
H e k


 
Atraso de Grupo:
 
  j k
n k e 
 
  
F
   
j
g
d
H e
d

 

   
d
k
d


   k

O atraso de grupo indica quantas
amostras um sinal é atrasado.
Atraso de Fase:  
 
j
p
H e 
 

 
k



  k

O sistema em questão não
apresenta distorção, pois o atraso
de grupo é igual ao atraso de fase.

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Resposta em Frequência de Sistemas LTI
• De forma geral, para um sinal modulado de banda estreita (largura de banda muito pequena):
7
     
0
cos
x n w n n


a saída de um sistema SLIT pode ser determinada como sendo:
     
   
 
0
0 0 0
cos
j
g p
y n H e w n n

    
 
  
 
A envoltória do sinal (envelope) sofre um atraso dado pelo atraso de grupo em ω0 e a portadora
(sinal cossenoide) sofre um atraso dado pelo atraso de fase em ω0.

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Resposta em Frequência de Sistemas LTI
8
Exemplo: Sistema com atraso de grupo não constante.
     
1 cos 0,2
x n w n n


     
2 cos 0,4 2
x n w n n
 
 
     
3 cos 0,8 5
x n w n n
 
 
 
 
0,54 0,46cos 2 60 0 60
0 c.c.
n n
w n

   
 

       
3 1 2
61 122
x n x n x n x n
    
Sinal de 0,8π
rad/amostra
Sinal de 0,2π
rad/amostra
Sinal de 0,4π
rad/amostra

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Resposta em Frequência de Sistemas LTI
9
Exemplo: Sistema com atraso de grupo não constante.
Transformada de Fourier de x(n):
Sistema de tempo discreto:
 
  
  
  
  
0,8 1 0,8 1 * 1 1
4
0,4 1 0,4 1 1 * 1
1
1 0,98 1 0,98
1 0,8 1 0,8 1 1
j j
k k
j j
k k k
e z e z c z c z
H z
e z e z c z c z
 
 
    
    

   
   
   
 
   
   
   


10. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Resposta em Frequência de Sistemas LTI
10
Exemplo: Sistema com atraso de grupo não constante.
Resposta em Frequência do sistema: Características Marcantes:
• Alto ganho em 0,4π rad;
• Grande atenuação em 0,8π rad;
• Ganho próximo a unidade em 0,2π rad;
• Variação rápida de fase em torno de
0,2π rad (negativa);
• Variação lenta da fase em torno de
0,4π rad;
• Leve variação de fase em torno de 0,8π
rad (positiva);

11. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Resposta em Frequência de Sistemas LTI
11
Exemplo: Sistema com atraso de grupo não constante.
Atraso de grupo: Atrasos de Grupo (Aproximado):
• 0,2π rad  150 amostras;
• 0,4π rad  10 amostras;
• 0,8π rad  -50 amostras;
Como o atraso de grupo não é
constante, o sistema sofre com
distorção.

12. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Resposta em Frequência de Sistemas LTI
12
Exemplo: Sistema com atraso de grupo não constante.
Sinal Resultante após aplicação de x(n) no sistema:
Sinal original:
• O pulso de 0,8π rad foi zerado, o pulso de 0,4π rad foi amplificado e o pulso 0,2π rad foi
levemente amplificado;
• O pulso de 0,4π rad e de 0,2π rad “trocaram” de ordem (o atraso de grupo de 0,2π rad é
superior ao de 0,4π rad).

13. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Resposta em Frequência de Sistemas Racionais
• Equação Diferença:
13
   
0 0
N M
k k
k k
a y n k b x n k
 
  
 
• Aplicando a transformada Z:
   
0 0
N M
k k
k k
a y n k b x n k
 
   
  
   
   
 
Z Z
   
0 0
N M
k k
k k
k k
a z Y z b z X z
 
 

 
• Função de Sistema:
 
 
 
0
0
M
k
k
k
N
k
k
k
b z
Y z
H z
X z
a z




 



14. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Resposta em Frequência de Sistemas Racionais
• Fatorando em termos dos polos e zeros:
14
 
 
 
1
0 1
1
0
1
1
1
M
k
k
N
k
k
c z
b
H z
a
d z





 
  
  


k
c são os zeros.
k
d são os polos.
• Se o sistema for estável, a resposta em frequência pode ser obtida como:
    j
j
z e
H e H z 



 
 
0 1
0
1
1
1
M
j
k
k
N
j
k
k
c e
b
a
d e







 
  
  



15. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Resposta em Frequência de Sistemas Racionais
• Resposta em magnitude:
15
  0 1
0
1
1
1
M
j
k
j k
N
j
k
k
c e
b
H e
a
d e












• Resposta em magnitude (em dB):
   
 
10
dB
20log
j j
H e H e
 
 0 1
10
0
1
1
20log
1
M
j
k
k
N
j
k
k
c e
b
a
d e






 

 
 

 

 
 


0
10 10 10
1 1
0
20log 20log 1 20log 1
M N
j j
k k
k k
b
c e d e
a
 
 
 
    
 

16. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Resposta em Frequência de Sistemas Racionais
• Influência na magnitude para um zero (polo) simples: Sendo z = rejθ um zero (ou um polo), ele
contribui com o fator 1-(rejθ)e-jω na magnitude.
16
  
*
2
1 1 1
j j j j j j
re e re e re e
     
  
   
  
1 1
j j j j
re e re e
   
 
  
2
1 j j j j
re e re e r
   
 
   
 
( ) ( ) 2
1 j j
r e e r
   
  
   
  2
1 2 cos
r r
 
   
• Em dB temos:
   
2
10 10
20log 1 10log 1
j j j j
re e re e
   
 
  
 
 
2
10
10log 1 2 cos
r r
 
   

17. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Resposta em Frequência de Sistemas Racionais
• Análise gráfica:
17
• Para ω = θ temos uma fenda no valor do termo
;
• Da expressão da resposta em magnitude em
dB:
 
10
20log 1 j j
re e
 


  0
10 10
dB
1
0
10
1
20log 20log 1
20log 1
M
j j
k
k
N
j
k
k
b
H e c e
a
d e
 





  
 


• Zero  Contribui para diminuição da resposta
em magnitude em ω = θ;
• Polo  Contribui para o aumento da resposta
em magnitude em ω = θ;

18. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Resposta em Frequência de Sistemas Racionais
Exemplo:
18
Im
Re
 dB
j
H e 


Im
Re
0
 dB
j
H e 


0

19. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Resposta em Frequência de Sistemas Racionais
• Resposta em Fase:
19
     
0
1 1
0
1 1
M N
j j j
k k
k k
b
H e c e d e
a
  
 
 
 
    
 
 
 
• Influência na fase para um zero (polo) simples z = rejθ
 
1 j j
re e
 


 
 
1
j
re
 

     
 
1 cos sin
r jr
   
    
   
 
1 cos sin
r jr
   
    
 
 
sin
arctan
1 cos
r
r
 
 
 

  
 
 

20. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Resposta em Frequência de Sistemas Racionais
20
• Análise gráfica: • Para ω = θ ocorre uma variação rápida na fase
do termo ;
• Da expressão da resposta fase:
• Zero  Variação de fase rápida (positiva) em ω
= θ;
• Polo  Variação de fase rápida (negativa) em
ω = θ;
 
1 j j
re e
 


   
 
0
1
0
1
1
1
M
j j
k
k
N
j
k
k
b
H e c e
a
d e
 





 
  
 
 
 



21. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Resposta em Frequência de Sistemas Racionais
21
• Atraso de Grupo:
   
j
g
d
H e
d

 

     
1 1
1 1
M N
j j
k k
k k
d d
c e d e
d d
 
 
 
 
    
 
• Influência no atraso grupo para um zero (polo) simples z = rejθ
 
1 j j
d
re e
d
 


 
 
 
sin
arctan
1 cos
r
d
d r
 
  
 

 
 
 
 
2
2
cos
1 j j
r r
re e
 
 

 



22. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Resposta em Frequência de Sistemas Racionais
22
• Análise gráfica: • Para ω = θ , há um grande aumento (negativo)
do atraso de grupo do fator de um zero.
• Da expressão da resposta fase:
• Zero  Aumentam o atraso de grupo em ω = θ;
• Polo  Diminuem o atraso de grupo em ω = θ;
   
 
1
1
1
1
M
j
g k
k
N
j
k
k
d
c e
d
d
d e
d


 






  
 



23. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Resposta em Frequência de Sistemas Racionais
• Em resumo:
• Um polo em z = rejθ:
• Aumenta a resposta de magnitude em ω = θ;
• Variação rápida de fase em torno de ω = θ (negativa);
• Aumenta o atraso de grupo em ω = θ;
• Um zero em z = rejθ:
• Diminui a resposta de magnitude em ω = θ;
• Variação rápida de fase em torno de ω = θ (positiva);
• Diminui o atraso de grupo em ω = θ;
23
 dB
j
H e 
 
j
H e 
 
g
 
 dB
j
H e 
 
j
H e 
 
g
 

24. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Interpretação Gráfica do Diagrama de Polos e Zeros
• Análise da Resposta em Frequência:
24
 
 
 
0 1
0
1
1
1
M
j
k
j k
N
j
k
k
c e
b
H e
a
d e








 
  
  


j
j
e
e



 
 
0 1
0
1
M
j
k
k
N
j
k
k
e c
b
a
e d





 
  
  


• Magnitude da Resposta em Frequência:
  0 1
0
1
M
j
k
j k
N
j
k
k
e c
b
H e
a
e d






 



j
k
e c

 é a magnitude do vetor que vai do zero ck
até o ponto com ângulo ω sobre a
circunferência de raio unitário
j
k
e d

 é a magnitude do vetor que vai do polo dk
até o ponto com ângulo ω sobre a
circunferência de raio unitário

25. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Interpretação Gráfica do Diagrama de Polos e Zeros
Exemplo:
25
Im
Re
ω
1
v
2
v
  0 1
0
1
M
j
k
j k
M
j
k
k
e c
b
H e
a
e d






 



1
2
v
v

2
1
v

2
v
2
v
2
v
 dB
j
H e 


0

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Interpretação Gráfica do Diagrama de Polos e Zeros
Exemplo:
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Im
Re
ω
1
v
2
v
3
v
  1
2 3
j
v
H e
v v


2 3
1
v v

 dB
j
H e 


0

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Próxima Aula
• Sistemas de Fase Mínima.
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Referências
• Alan V. Oppenheim e Ronald W. Schafer - Processamento em Tempo Discreto de Sinais. 3º
Edição, Pearson, 2013 (pg. 166 – 172; 176 - 181);
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Exercícios
• Capítulo 4 (Alan V. Oppenheim e Ronald W. Schafer - Processamento em Tempo Discreto de
Sinais. 3º Edição, Pearson, 2013): 5.1, 5.21, 5.63
Prazo de entrega: 1 semana.
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