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![14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO
Exemplo 6. “Descobrindo” a solução do movimento uniformemente variado
• Considere um sistema unidimensional que se move sob a ação de uma força constante f 0
1
L ( x (t) , x (t) , t) = m [ x (t)]2 + f 0 x (t)
˙ ˙
2
Vamos supor que a solução do problema seja da forma genérica
x (t) = αt + βtγ
Fixamos os pontos iniciais e finais do movimento: x (0) = 0 e x (τ ) = . Desta última condição:
− βτ γ
x (τ ) = ατ + βτ γ = ⇒ α=
τ
e portanto
− βτ γ
x (t) = t + βtγ .
τ
Variando β e γ temos uma família de funções que passam pelos pontos inicias e finais fixados.
τ = 1s, = 1m, β ∈ [0, 1] , γ ∈ [0.5, 5]
• Conhecendo x (t), substituímos em L ( x (t) , x (t) , t)
˙
1 − βτ γ 2
L ( x (t) , x (t) , t) = m βγtγ−1 +
˙
2 τ
t ( − βτ γ )
+ k βtγ +
τ
e calculamos a integral em questão, obtendo uma expressão que vamos entender como uma função de β
e γ:
ˆ τ
f ( β, γ) = L ( x (t) , x (t) , t)
˙
0
k β ( γ − 1) τ γ m 2 β2 (γ − 1)2 τ 2γ
= τ − + +
2 γ+1 2τ 2γ − 1
• Escolhendo k, m e τ com valores unitários, podemos fazer um gráfico de f ( β, γ):](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-14-320.jpg)
![1.2. FORMULAÇÃO LAGRANGIANA 15
• Não é elementar encontrar o ponto de mínimo deste gráfico. Para os valores citados acima, podemos
procurar numericamente os valores de β e γ onde se localiza o mínimo, usando para tal qualquer pacote
de cálculo numérico disponível. Os valores encontrados, neste caso, são: β = 0.5 e γ = 2.0.
• Ou seja, “descobrimos” pelo princípio de Hamilton que a solução para um problema de força constante
é da forma
− βτ γ 1
x (t) = t + t2 ,
τ 2
1 f0 2
que é justamente o que esperaríamos da conhecida expressão x (t) = x0 + v0 t + 2 mt .
Exemplo 7. Oscilador Harmônico em 1D: variáveis não-usuais
• Considere a Lagrangiana para um oscilador harmônico unidimensional,
1 1
L ( x (t) , x (t)) = m [ x (t)]2 − k [ x (t)]2
˙ ˙
2 2
¨
Equação de Euler-Lagrange: m x (t) + kx (t) = 0. A solução pode ser facilmente encontrada:
k
x (t) = A cos t+B
m
• Suponha que, por alguma razão, queiramos descrever o problema usando uma coordenada q definida
como:
q = x2
Então:
√ 1
x= q ; ˙
x= √ q˙
2 q
O Lagrangiano escrito nas coordenadas q:
1 q2 1
˙
L (q, q) = m − kq
˙
8 q 2](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-15-320.jpg)
![1.2. FORMULAÇÃO LAGRANGIANA 17
que podemos representar como uma matriz coluna de 3N − p componentes:
q1
q2
q (t) =
.
.
.
q3N − p
Por princípio, deve ser possível inverter estas relações, escrevendo cada posição ri em termos das coor-
denadas generalizadas,
r1 = r1 q1 , q2 , . . . , q3N − p , t
.
.
.
r N = r N q1 , q2 , . . . , q3N − p , t
Desta forma, podemos re-escrever o Lagrangiano do sistema em coordenadas generalizadas,
L (qi , qi ) = K (q) − U (q, t)
˙ ˙
• A vantagem fundamental do princípio dinâmico da Mecânica Lagrangiana – o Princípio de Hamilton
– é que ele pode ser diretamente “traduzido” para coordenadas generalizadas, diferentemente do que
acontece com as leis de Newton, por exemplo.
Definindo a ação associada a um dado caminho q (t) que vai de uma configuração inicial q0 até uma
configuração final q f pela integral
ˆ tf
S [q (t)] = L (q, q, t) dt ,
˙
t0
o Princípio de Hamilton pode ser enunciado da seguinte forma:
Princípio de Hamilton
(em coordenadas generalizadas)
Dada uma configuração inicial q (t0 ) = q0 e uma configuração final q t f = q f , com
i = 1, . . . , 3N − p, de um sistema mecânico de N partículas, de todas as trajetórias q (t)
tais que q (t0 ) = q0 e q t f = q f , a trajetória efetivamente seguida pelo sistema é aquela
em que o valor da ação S [q (t)] é mínimo.
Do Princípio de Hamilton, obtêm-se as equações de Euler-Lagrange em coordenadas
generalizadas:
∂L d ∂L
− =0
∂qi ˙
dt ∂qi
para i = 1, . . . , 3N − p.
Exemplo 08 - O Pêndulo Simples
Da geometria do pêndulo simples (veja exemplo 4), é claro que podemos adotar como coordenada genera-
lizada o ângulo θ (t).](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-17-320.jpg)
![1.3. ALGUNS CONCEITOS E MÉTODOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 19
Exemplo 8. O Espaço de Configuração do Pêndulo
• Para o pêndulo simples, o espaço de configuração é o segmento [−π, π ] da reta real. O espaço de confi-
guração é 1D, apesar do movimento real ser em duas dimensões, devido à existência de um vínculo.
• Para o pêndulo duplo, o espaço de configuração é um subconjunto do plano:
{q1 , q2 ; q1 ∈ [−π, π ] , q2 ∈ [−π, π ]}
Na verdade, como fisicamente a configuração especificada por qi = π e qi = −π são idênticas, temos
que identificar os lados opostos da figura acima, à direita. Isto significa que, para o pêndulo duplo, o
espaço de configuração na verdade é um toro bidimensional.
1.3 Alguns conceitos e métodos de Equações Diferenciais Ordinárias
Faremos agora um interlúdio para discutir alguns detalhes de uma ferramenta matemática essencial para a
discussão da Mecânica Clássica: a resolução de equações diferenciais ordinárias.](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-19-320.jpg)
![20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO
Sistemas de Equações Diferenciais de 1ª Ordem
• Para fixar ideias, vamos considerar um sistema de duas equações diferenciais ordinárias, mas os resulta-
dos aqui enunciados são de validade geral.
• Um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem no tempo é da forma geral:
˙
x (t) = F ( x (t) , y (t) , t)
˙
y (t) = G ( x (t) , y (t) , t)
Se as funções F e G não dependem explicitamente do tempo, o sistema é dito autônomo.
• Um problema de valor inicial consiste num sistema de equações diferenciais ordinárias, mais uma condição
inicial x (t0 ) = x0 , y (t0 ) = y0 . A solução de um problema de valor inicial é garantida por um teorema
de existência e unicidade:
Teorema de Existência e Unicidade
Dado o sistema de equações diferenciais ordinárias
˙
x (t) = F ( x (t) , y (t) , t)
˙
y (t) = G ( x (t) , y (t) , t)
se F e G são contínuas e possuem derivadas parciais contínuas numa dada região A =
[t1 , t2 ] × [ x1 , x2 ] × [y1 , y2 ], então dada uma condição inicial x (t0 ) = x0 , y (t0 ) = y0 com
{t0 , x0 , y0 } ∈ A, existe δ > 0 tal que existe e é única a solução da EDO com a condição
inicial dada, para t no intervalo (t0 − δ, t0 + δ).
Em particular, se as funções F e G são lineares em x e y,
˙
x (t) = a11 (t) x (t) + a12 (t) y (t) + f (t)
˙
y (t) = a21 (t) x (t) + a22 (t) y (t) + g (t)
a solução existe e é única por toda a região em que os coeficientes aij (t) , f (t) , g (t) são contínuos.
• O sistema de EDOs considerado tem a importante interpretação gráfica de representar um campo de
direções no plano { x, y}. Soluções particulares desta EDO são curvas que são tangentes ao campo de
direções em cada ponto. O teorema de existência e unicidade garante essencialmente que, satisfeitas
condições de regularidade do campo de direções considerados, fixado qualquer ponto do plano, existe
uma e somente uma curva que passa por este ponto e é sempre tangente ao campo de direções.](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-20-320.jpg)
![Cap´tulo
ı 3
Princípios Variacionais no Espaço de Fase
3.1 A ação como funcional e como função no espaço de fase
• Na formulação Lagrangiana da Mecânica, o princípio dinâmico fundamental é de natureza variacional,
e é dado pelo Princípio de Hamilton, já citado na página 17. A partir deste princípio físico fundamental,
descobre-se as equações de movimento comparando o valor de S entre duas trajetórias muito próximas:
e exigindo que em primeira ordem S seja o mesmo para os dois caminhos, i.e.,
ˆ tf ˆ tf
δS = L (q + δq, q + δq, t) dt −
˙ ˙ L (q, q, t) dt = 0 ,
˙
t0 t0
o que resulta nas equações de Euler-Lagrange,
∂L d ∂L
− =0
∂qi ˙
dt ∂qi
• A notação S [q (t)] significa que S é um funcional, ou seja, uma operação que associa a um conjunto de
funções qi (t) um número, que no caso é dado pela integral da definição acima. Compare com a notação
para uma função:
função f : número x → número f ( x )
ˆ
funcional S : função q (t) → número Ldt
51](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-51-320.jpg)
![52 CAPÍTULO 3. PRINCÍPIOS VARIACIONAIS NO ESPAÇO DE FASE
Entendendo geometricamente: S [q (t)] associa a um dado caminho no espaço de configuração um nú-
mero.
• Nada nos impede de adotar outro ponto de vista: mantemos fixo o instante inicial t0 e o ponto inicial q0 ,
e fixamos também uma solução q (t) que satisfaz esta solução inicial. Variando o instante final t f , varia
´
o ponto final q t f , e também o valor da integral Ldt. Desta forma, podemos entender S como uma
função do instante e configuração finais da trajetória considerada: S q f , t f .
Note que é necessário explicitamente selecionar uma particular solução das equações de movimento, já
que existem em princípio infinitas soluções q (t) tais que q (t0 ) = q0 .
• No espaço de fase, que é o cenário adequado para o estudo do sistema na formulação Hamiltoniana,
podemos também entender a ação como uma funcional para caminhos que ligam um ponto inicial até
um ponto final. Usando o resultado anterior, e lembrando que H = ∑i pi qi − L, então obviamente
˙
podemos escrever
ˆ tf
S [q (t)] =
t0
∑ pi (q, q, t) qi − H (q, p (q, q, t) , t)
˙ ˙ ˙ dt
i
∂L
onde substituímos p por sua expressão em termos de q, q: pi = ∂qi (q, q, t). Contudo, não chegamos
˙ ˙ ˙
assim a um funcional legitimamente de q e p, que é o que deveríamos ter no espaço de fase, pois nesta
construção o papel de q (t) e p (t) são obviamente diferenciados.
• No espaço de fase, fixado um ponto inicial (q0 , p0 ) num instante inicial t0 , há somente uma solução
(q (t) , p (t)) das equações dinâmicas satisfazendo tal condição inicial. Desta forma, bastando fixar a
condição inicial, podemos calcular S integrando a expressão p q − H do ponto inicial fixado até um
˙
ponto final variável e, desta forma, podemos entender S como uma função do ponto final da trajetória:
S = S (q, p, t) .](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-52-320.jpg)
![3.2. O PRINCÍPIO DE HAMILTON NO ESPAÇO DE FASE 55
Segue-se que, integrando-se ao longo da solução (q (t) , p (t)) considerada, temos
ˆ ˆ
S= dS = ∑ pi dqi − Hdt
γ i
onde agora entende-se que a integral é sobre a curva γ da figura da direita, que é o segmento da solução
que une o ponto inicial ao ponto final considerado, no espaço de fase. Esta é portanto a definição que
queríamos da ação como um funcional no espaço de fase.
• Geometricamente, entendemos que S associa a cada caminho γ no espaço de fase, um número dado pelo
´
resultado da integral γ ( pdq − H dt).
A notação empregada não deve confundir o leitor: a expressão acima significa que, uma vez dadas as
funções qi (t) e pi (t) que parametrizam a curva γ considerada, basta substituir q e p por estas funções
˙
na integral, lembrando que dqi = qi (t) dt,
ˆ tf
S [q (t) , p (t)] =
t0
∑ pi (t) qi (t) − H (q (t) , p (t))
˙ dt
i
3.2 O Princípio de Hamilton no Espaço de Fase
• O resumo de toda a discussão precedente é que podemos considerar a ação naturalmente como uma
funcional no espaço de fase,
ˆ tf
S [q (t) , p (t)] =
t0
∑ pi (t) qi (t) − H (q (t) , p (t))
˙ dt
i
• Se o espaço de fase é o cenário adequado para se tratar da dinâmica Hamiltoniana, deve ser possí-
vel encontrar as equações canônicas de movimento a partir de um princípio variacional no espaço de
fase. Realmente isto acontece. Considere um dado caminho q (t) , p (t) no espaço de fase e uma va-
riação infinitesimal δq (t) , δp (t), ou seja, funções δqi (t) e δpi (t) que são bem comportadas, tais que
|δqi (t)| , |δpi (t)| são pequenos para t ∈ t0 , t f , e
δqi = δpi = 0 para t = t0 e t = t f
Vamos então comparar o valor da ação entre os dois caminhos “próximos” no espaço de fase, como na
figura.](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-55-320.jpg)
![56 CAPÍTULO 3. PRINCÍPIOS VARIACIONAIS NO ESPAÇO DE FASE
Temos:
δS [q (t) , p (t)] =S [q (t) + δq (t) , p (t) + δp (t)]
− S [q (t) , p (t)]
ˆ
∂H ∂H
= ∑ δpi qi + pi δqi −
˙ ˙ δqi − δpi dt
i
∂qi ∂pi
˙
integrando por partes o termo pi δqi ,
ˆ
∂H ∂H
δS [q (t) , p (t)] = ∑ δpi qi − pi δqi −
˙ ˙
∂qi
δqi −
∂pi
δpi dt
i
t
− pi δqi |t0f
O último termo anula-se pois δqi se anula nos pontos inicias e finais, portanto:
ˆ
∂H ∂H
δS [q (t) , p (t)] = ∑ qi −
˙
∂pi
δpi − ˙
pi +
∂qi
δqi dt
i
Exigindo que δS [q (t) , p (t)] = 0 para qualquer variação δq (t) , δp (t), devemos impor que os coeficientes
entre parêntesis acima sejam identicamente nulos, o que fornece
∂H ∂H
˙
qi = ; pi = −
˙
∂pi ∂qi
Acabamos de mostrar, portanto, que a dinâmica no espaço de fase é dada pelo seguinte princípio varia-
cional,](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-56-320.jpg)
![60 CAPÍTULO 3. PRINCÍPIOS VARIACIONAIS NO ESPAÇO DE FASE
o que imediatamente fixa p como função de x e E,
p= 2m [ E − V ( x )]
Neste caso, a ação reduzida escreve-se
ˆ xf
2m [ E − V ( x )]dx
x0
e neste caso não há variação admissível, já que só existe uma curva p ( x ) que é condizente com a conser-
vação de energia.
• Num caso geral de três dimensões, contudo, da conservação de energia temos (em coordenadas cartesi-
anas)
∑ i p2
i
+ V ( x1 , x2 , x3 ) = E
2m
que é uma relação que já não fixa univocamente p1 , p2 e p3 como funções de coordenadas. O que fazemos
é reescrever esta condições em termos das velocidades
2
1
2
m ∑ xi
˙ + V ( x1 , x2 , x3 ) = E
i
Esta equação fornece uma relação entre as variações dxi e dt, que já não são independentes:
2 [ E − V ( x1 , x2 , x3 )]
∑ (dxi )2 = m
dt
i
Esta relação deve ser levada em conta na definição de pi em termos de posições e velocidades:
∂L dx
pi = =m i
˙
∂ xi dt
e portanto
dxi
∑ pi dxi = ∑ m dt dxi
i i
2
∑ (dxi )
=m i
dt
= 2m [ E − V ( x1 , x2 , x3 )] ∑ (dxi )2
i
2
Mas ∑i (dxi ) não é mais que o elemento infinitesimal de comprimento da trajetória,
ˆ
S0 = 2m [ E − V ( x1 , x2 , x3 )]d ,
onde a integral é feita por qualquer caminho que leva do ponto inicial ao ponto final no plano x1 x2 (a
conservação de energia já foi levada em conta ao se obter esta forma para S0 ).](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-60-320.jpg)
![3.3. O PRINCÍPIO DE MAUPERTIUS 61
• No caso particular de uma partícula livre, V = 0 e o princípio de Maupertius diz que
√ ˆ √
S0 = 2mE d = 2mEL
é mínimo, onde L é o comprimento da trajetória. Como massa e energia são constantes, o princípio de
mínima ação reduzida reduz-se a um princípio de mínimo caminho: a distância percorrida do ponto inicial
ao final deve ser mínimo. Como, no espaço Euclidiano, a menor distância entre dois pontos é por uma
linha reta, segue que a trajetória de uma partícula livre é uma linha reta – resultado já bem conhecido.
• É imediata a similaridade deste princípio com o princípio de Fermat da óptica geométrica: um raio de
luz percorre sempre o menor caminho óptico entre os dois pontos considerados. A analogia se estende,
obviamente, para o caso mais geral
ˆ ˆ
S0 = 2m [ E − V ( x1 , x2 , x3 )]d = F ( x1 , x2 , x3 ) d
que corresponderia, por analogia, a um raio de luz propagando-se por um meio com coeficiente de
refração variável.
Estas similaridades entre óptica geométrica e mecânica clássica só podem ser percebidas no formalismo
Hamiltoniano, e podem ser aprofundadas no estudo das transformações canônicas, que veremos mais adi-
ante. Mais que uma curiosidade formal, é mais um exemplo do poder do formalismo Hamiltoniano em
conectar diferentes áreas da física por um mesmo formalismo matemático. Desta forma, métodos de so-
luções desenvolvidas para uma área podem ser aplicadas em outras áreas aparentemente não-correlatas,
por exemplo.](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-61-320.jpg)
![66 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS
ˆ
exigir que as soluções Q (t) , P (t) sejam mínimo de uma funcional ação S da forma
ˆ
ˆ
S= ∑ Pi dQi − K (Q, P) dt ,
i
pois já mostramos que tal princípio variacional conduz à forma Hamiltoniana das equações de movi-
mento:
˙ ∂K
Q=
∂P
˙ ∂K
P=− .
∂Q
Resta agora garantir que tais soluções Q (t) , P (t) correspondam às mesmas soluções q (t) , p (t) do pro-
ˆ
blema original. Para tanto, podemos exigir que S seja mínimo sempre que
ˆ
S= ∑ pi dqi − H (q, p) dt
i
for mínimo. Em outras palavras, podemos exigir que
ˆ ˆ
δS = δS ⇒ δ S − S = 0
onde δ é uma variação sobre qualquer caminho no espaço de fase. Escrevendo explicitamente, a condição
que queremos impor é
ˆ
δ ∑ pi dqi − ∑ Pi dQi + [K (Q, P) − H (q, p)] dt =0
γ i i
onde γ é uma curva qualquer no espaço de fase (q, p), e está subentendido na expressão acima que
estamos considerando Q e P como funções de q e p.
• Agora, notemos o seguinte: pode ser possível “inverter” a relação Qi = Qi (q, p, t) obtendo os velhos
momentos como função de q e Q,
pi = pi (q, Q, t)
e, neste caso, podemos alternativamente considerar q e Q como coordenadas independentes, e p e P
como funções de q e Q. Neste caso, a condição para a transformação de coordenadas ser canônicas é
ˆ
δ
Γ
∑ pi dqi − ∑ Pi dQi + [K − H] dt =0
i i
onde agora Γ é uma curva no plano (q, Q).
Uma maneira de garantir a igualdade acima é se existir uma função F1 (q, Q, t) tal que
dF1 = ∑ pi dqi − ∑ Pi dQi + [K − H] dt
i i
pois então teríamos ˆ
δ dF1 (q, Q, t) = 0
Γ
já que a integral seria igual à variação de F1 (q, Q, t) nos extremos do caminho Γ, e sempre exigimos
δq = δp = 0 e δt = 0 (e, portanto, δQ = δP = 0) nos extremos do caminho.](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-66-320.jpg)
![4.3. TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS 67
Em resumo, se existe uma função F1 (q, Q, t) tal que
dF1 = ∑ pi dqi − ∑ Pi dQi + [K − H] dt
i i
então a mudança de variáveis considerada é canônica. Desta expressão é
claro que
∂F1 ∂F1
pi (q, Q, t) = ; Pi (q, Q, t) = −
∂qi ∂Qi
∂F1
K (q, Q, t) = H (q, Q, t) +
∂t
∂F1
• Escritas estas relações, por pressuposto podemos “inverter” as relações pi (q, Q, t) = ∂qi obtendo Qi
como função de (q, p, t), escrevendo assim a mudança de coordenadas desejada
Qi = Qi (q, p, t)
Pi = Pi (q, p, t)
obtida a partir da função F1 . A nova Hamiltoniana K, obtida desta forma, é tal que as equações de
movimento têm, por construção, a forma Hamiltoniana:
˙ ∂K
Qi =
∂Pi
˙ ∂K
Pi = −
∂Qi
• Revertendo o raciocínio: dada qualquer função F1 (q, Q, t), define-se pelas fórmulas acima uma mudança
de variáveis tal que as equações de movimento preservam a forma Hamiltoniana. Temos assim um
procedimento que permite gerar muitas transformações canônicas; uma questão mais delicada, é claro,
é encontrar as transformações canônicas que são úteis, que ajudem de alguma forma na resolução de
problemas.
Exemplo 20. A partícula livre
• Seja a Hamiltoniana de uma partícula livre de massa m,
p2
H=
2m
• Considere a seguinte função
m ( q − Q )2
F1 (q, Q, t) =
2t
que, como discutido, fornece uma transformação canônica de variáveis, desde que
∂F1 m (q − Q)
p= =
∂q t
p
⇒ Q = q− t
m](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-67-320.jpg)
![4.3. TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS 69
• Observe o que foi conseguido neste exemplo: através de uma mudança de variáveis adequada, trans-
formamos o problema que queremos resolver num problema de solução trivial. Encontrada a solução
nas coordenadas transformadas, basta voltar para as variáveis antigas para se encontrar a solução do
problema original.
• There is no free lunch: obviamente, geralmente encontrar transformação canônica tão proveitosa como
esta, num problema mais complicado, não é simples. A dificuldade de resolver o problema inicial
transfere-se para a dificuldade de se obter a transformação canônica adequada. Em muitos casos, con-
tudo, pode-se desenvolver uma teoria geral que permite procurar tais transformações resolvendo-se
certa equação diferencial parcial, como veremos mais adiante.
Outros tipos de transformações canônicas
• Nosso desenvolvimento demandou que q e Q pudessem ser tratadas como coordenadas independentes;
nem sempre isso é possível, por exemplo, a transformação identidade Q = q e P = p não satisfaz tal
condição. Claramente, devem haver outros tipos de transformações canônicas. De fato, para perceber
isso, basta considerar
dF1 = ∑ pi dqi − ∑ Pi dQi + [K − H] dt
i i
e integrar por partes o termo Pi dQi ,
d ( F1 + PQ) = ∑ pi dqi + ∑ Qi dPi + [K − H] dt
i i
• Desta expressão, vemos que F1 + PQ é na verdade uma função de q e P; chamando de F2 (q, P, t) tal fun-
ção, temos outro conjunto de relações que define uma transformação canônica a partir de tal F2 (q, P, t):
∂F2 ∂F2
pi (q, P, t) = ; Qi (q, P, t) =
∂qi ∂Pi
∂F2
K (q, P, t) = H (q, P, t) +
∂t
∂F2
e, por suposto, podemos “inverter” a primeira relação, pi (q, P, t) = ∂qi , obtendo P como função de q e
p.
Exemplo 21. A transformação identidade
• Seja F2 (q, P, t) da forma
F2 (q, P, t) = ∑ qi Pi
i
• Então:
∂F2
pi (q, P, t) = = Pi
∂qi
∂F2
Qi (q, P, t) = = qi
∂Pi
e
∂F2
K = H+ =H
∂t
ou seja, tal F2 gera a transformação identidade.](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-69-320.jpg)
![104 CAPÍTULO 6. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI
• Portanto:
1 ω
β= arcsin √ q −t
ω 2E
ω
⇒ arcsin√ q = ω (t + β)
2E
√
2E
⇒ q (t) = sin [ω (t + β)]
ω
que é a conhecida solução do oscilador harmônico.
6.2 A Equação de Hamilton-Jacobi e a Óptica Geométrica
• Hamilton descobriu uma similaridade surpreendente entre a dinâmica de um sistema mecânico e a óp-
tica geométrica. Para encontrar esta conexão, vamos considerar o movimento de uma partícula sob ação
de um dado potencial, descrito em coordenadas cartesianas x, onde x = ( x1 , x2 , x3 ). Neste caso, a Ha-
miltoniana será da forma
1
2m ∑ i
H ( x, p) = p2 + V ( x )
i
e podemos encontrar uma integral completa da forma
S ( x, t) = W ( x ) − Et
onde a função W satisfaz
2
1 ∂W
2m ∑ ∂xi
+ V (x) = E
i
Em termos do gradiente W, temos
( W )2 = 2m ( E − V ( x ))
• Dada uma função S ( x, t), fixamos o tempo t e consideramos a equação
S ( x, t) = C
onde C é uma constante. Supondo S uma função suficientemente bem comportada, tal equação define
uma superfície no espaço. Para um valor de t diferente, temos em geral uma superfície diferente, como
na figura.](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-104-320.jpg)
![110 CAPÍTULO 6. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI
os campos elétrico e magnético que oscilam no tempo, Schrödinger supôs que associada ao movimento
de uma partícula havia uma quantidade Ψ que oscilava no tempo, com uma fase proporcional à função
S (r, t) da teoria de Hamilton-Jacobi:
i i
Ψ (r, t) = exp S (r, t) = exp (W (r ) − Et) ,
h
¯ h
¯
onde h = h/2π. Lembre-se que uma exponencial de um número complexo é escrita em termos de
¯
funções senos e cossenos; a parte Real de Ψ por exemplo seria
1 E
cos W (r ) − t
h
¯ h
¯
e lembrando que, por exemplo, uma onda plana é da forma
cos [kx − ωt]
por comparação teremos
E
= ω ⇒ E = hω = hν
¯
h
¯
Com esta expressão para Ψ (r, t), Schrödinger conseguia assim reproduzir a relação E = hν da Mecânica
Quântica.
• Schrödinger supôs que Ψ satisfizesse uma equação de onda usual,
1 ∂2 Ψ
2
Ψ− =0
u2 ∂t2
e lembrou-se da velocidade das frentes de onda da Teoria de Hamilton-Jacobi
E
u=
2m ( E − V )
obtendo assim
2m ( E − V ) ∂2 Ψ
2
Ψ− =0
E2 ∂t2
por outro lado:
∂2 Ψ 1
2
= − 2 E2 Ψ
∂t h
¯
obtem-se assim
h2 2
¯
− Ψ + VΨ = EΨ
2m
que é equação de Schrödinger independente do tempo. Novamente lembrando-se da forma de Ψ, pode-se
escrever também
h2 2
¯ ∂Ψ
− Ψ + VΨ = i¯
h
2m ∂t
que é a forma dependente do tempo da Equação de Schrödinger.
• Podemos agora postular que Ψ obedece a esta equação de onda, e fazer a substituição
i
Ψ (r, t) = exp (W (r ) − Et)
h
¯](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-110-320.jpg)
![112 CAPÍTULO 6. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI
e onde está definida uma função Hamiltoniana H (q, p), responsável por gerar a evolução temporal de
qualquer grandeza física pela equação
dF ∂F
= {F , H} + .
dt ∂t
• Este foi o ponto de partida para Werner Heisenberg encontrar sua formulação da Mecânica Quântica. A
chave para esta conexão é a observação de que as grandezas que representam, na Mecânica Quântica,
determinadas grandezas físicas não comutam entre si. Conforme Heisenberg mostrou, posição e momento
de uma partícula obedecem uma relação de incerteza fundamental
∆x∆p ≥ h
¯
e esta relação está ligada ao fato de que posição e momento são representados por certas matrizes q e p
que obedecem a uma relação de comutação não trivial:
q · p − p · q = i¯
h
Definindo o comutador de duas matrizes
[A, B] = A · B − B · A
temos
[q, p] = i¯
h
• Ora, o comutador entre matrizes tem propriedades idênticas às dos Parêntesis de Poisson:
– Antisimetria:
[A, B] = − [B, A]
– Linearidade:
[A, αB + C] = α [A, B] + [A, C]
– Uma propriedade similar à “regra de Leibnitz”:
[A, B · C] = [A, B] · C + B · [A, C]
– Identidade de Jacobi:
∑ [A, [B, C]] = 0
cíclica
• Daí, é possível um mapeamento formal entre uma teoria mecânica no formalismo Hamiltoniano e uma
teoria de matrizes, como se segue: a cada coordenada ηi do espaço de fase temos que encontrar uma
ˆ
matriz η tal que os comutadores entre estas matrizes são dados pela Regra de Correspondência de Heisenberg
i¯ ηi , η j → ηi , η j
h ˆ ˆ
ˆ
Encontramos também uma matriz Hamiltoniana H, obtida de H (ηi ) substituindo-se ηi pela matriz ηi .
ˆ
• Em particular, fazemos corresponder aos Parêntesis de Poisson Fundamentais
qi , q j = pi , p j = 0 ; qi , p j = δij ,
os comutadores
ˆ ˆ ˆ ˆ
qi , q j = pi , p j = 0 ; ˆ ˆ
qi , p j = i¯ δij
h](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-112-320.jpg)
![6.4. PARÊNTESIS DE POISSON E MECÂNICA QUÂNTICA 113
ˆ
• Então, dada qualquer grandeza F função das matrizes η, a evolução temporal é dada pela Equação de
ˆ
Heisenberg
dFˆ ∂F ˆ
h ˆ ˆ
= i¯ F , H +
dt ∂t
Exemplo 30. O Oscilador Harmônico
Consideremos
p2 ω2 2
H= + q ,
2 2
suponha que você consiga construir matrizes q e p que satisfazem
[q, q] = [p, p] = 0 ; [q, p] = i¯
h
(é possível encontrar tais matrizes, mas não vamos mostrar aqui explicitamente como). Então você pode
definir uma matriz Hamiltoniana substituindo-se q por p e p por p em H:
ˆ p2 ω2 2
H= + q
2 2
As equações de movimento para q e p, por exemplo, são obtidas de
ˆ 1
q = q, H =
˙ q, p2 = p
2
ˆ ω2
p = p, H =
˙ p, q2 = −ω 2 q
2
que são formalmente idênticas às equações canônicas clássicas. Não surpreendentemente, as soluções também
são formalmente idênticas:
p0
q (t) = sin ωt + q0 cos ωt
ω
p (t) = p0 cos ωt − ωq0 sin ωt
onde q0 e p0 são os operadores posição e momento no instante inicial t = 0.
• A similaridade formal entre a Mecânica Quântica e a formulação Hamiltoniana da Mecânica Clássica,
portanto, é grande. A interpretação física dada às grandezas, contudo, é bastante diferente. Na Mecânica
Clássica, o conhecimento das coordenadas ηi em cada instante fornece a posição e o momento exato de
cada partícula que compõe o sistema naquele instante. Conhecer as funções ηi (t) significa conhecer a
trajetória de cada partícula do sistema.
Na Mecânica Quântica, este conhecimento não é possível por princípio. As matrizes que representam
posições e momentos não tem significado físico direto, mas carregam as todas as informações físicas que
podem ser obtidas sobre o sistema, a saber: as probabilidades de encontrar cada partícula com determinada
posição e momento em cada instante. Estas informações são obtidas das matrizes por métodos da álgebra
linear, análise de autovalores e autovetores, etc...
• A similaridade formal destacada aqui justifica o nome de Quantização Canônica ao processo de encontrar
uma teoria quântica a partir de uma correspondente teoria clássica, conforme aqui descrito. Apenas na
década de 60 Richard Feynman propôs um método de quantização diferente, inspirado na formulação
Lagrangiana, conhecido como quantização funcional. Até hoje, contudo, a quantização canônica é aquela
considerada matematicamente mais bem estabelecida.](https://image.slidesharecdn.com/allison-analitica-121105203349-phpapp02/85/Allison-analitica-113-320.jpg)
Carregado porSandro Fonseca
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1. Este documento apresenta um resumo das aulas da disciplina Mecânica Analítica II sobre Mecânica Hamiltoniana e sistemas dinâmicos. 2. A mecânica Hamiltoniana é apresentada como uma formulação alternativa à formulação Newtoniana e Lagrangiana da mecânica clássica. 3. Conceitos como a função Hamiltoniana, equações canônicas, princípios variacionais no espaço de fase, transformações canônicas e teoria de Hamilton-Jacobi são abordados como parte da mecânica Hamiltoniana.
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- 1. Mecânica Analítica II MecânicaHamiltoniana e uma introdução a sistemas dinâmicos Prof. Alysson F. Ferrari sites.google.com/site/alyssonferrari 20 de janeiro de 2011
- 2.
- 3. Estas notas sãoessencialmente um resumo das aulas da disciplina e não cons- tituem uma fonte de referência completa sobre os temas abordados, não subs- tituindo assim a leitura da bibliografia recomendada. Em particular, pouca atenção é dada para o rigor matemático da apresentação. Exemplos repre- sentativos são muitas vezes usados para motivar conclusões gerais, sem uma argumentação completa. Referências específicas à bibliografia da disciplina são eventualmente feitos, mas na maioria dos casos, subentende-se que o es- tudante complemente os comentários e exemplos aqui expostos com uma lei- tura da fonte que lhe parecer mais conveniente. Esta é uma versão ainda preliminar destas notas, portanto não divulgue este material sem comunicar ao autor. Bibliografia Básica: • S. Thornton, J.B. Marion, Classical Dynamics of Particle and Systems. • N.A. Lemos, Mecânica Analítica. • L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Mecânica. • H. Goldstein, C. Pole, J. Safko, Classical Mechanic. Bibliografia Adicional: • A. O. Lopes, Introdução à Mecânica Clássica. • R.K. Symon, Mecânica. • H.C. Corben, P. Stehle, Classical Mechanics. • D.Kleppner e R. Kolenkow, An Introduction to Mechanics • J.R. Taylor, Classical Mechanics Alysson Fábio Ferrari sites.google.com/site/alyssonferrari
- 4.
- 5. Sumário 1 Introdução / Motivação 7 1.1 Formulação Newtoniana da Mecânica Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Formulação Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Alguns conceitos e métodos de Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Mecânica Hamiltoniana: Equações Canônicas 27 2.1 A função Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 A Dinâmica em termos da Função Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Princípios Variacionais no Espaço de Fase 51 3.1 A ação como funcional e como função no espaço de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 O Princípio de Hamilton no Espaço de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 O Princípio de Maupertius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4 Transformações Canônicas 63 4.1 Transformações de Coordenadas em Mecânica Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2 Transformações de Coordenadas em Mecânica Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3 Transformações Canônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5 Parêntesis de Poisson Teorema de Liouville e de Poincaré 75 5.1 Parêntesis de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 A Mecânica Hamiltoniana em Termos dos Parêntesis de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3 Parêntesis de Poisson e Transformações Canônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.4 A Evolução Temporal como Transformação Canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.5 Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6 Teoria de Hamilton-Jacobi 97 6.1 Teoria de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.2 A Equação de Hamilton-Jacobi e a Óptica Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.3 A Teoria de Hamilton-Jacobi e a Mecânica Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.4 Parêntesis de Poisson e Mecânica Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.5 Invariantes Adiabáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5
- 6. 6 SUMÁRIO
- 7. Cap´tulo ı 1 Introdução / Motivação 1.1 Formulação Newtoniana da Mecânica Clássica É suposto que o estudante já tenha familiaridade com as Formulações Newtoniana e Lagrangiana da Mecânica Clássica. Iremos revisar alguns de seus princípios básicos e, neste processo, vamos introduzir e revisar alguma linguagem matemática e alguns métodos de resolução de equações diferenciais que talvez o estudante já tenha aprendido em outras disciplinas. A Formulação Newtoniana da Mecânica Clássica é baseada em três leis fundamentais descobertas por Isaac Newton no século XVII. • 1ª Lei: Na ausência de forças externas, um corpo permanece em repouso ou em movimento com velocidade constante. ⇒ essencialmente, incorpora o chamado princípio de inércia, já anteriormente descoberto por Galileu Galilei • 2ª Lei: A aceleração de uma partícula é diretamente proporcional à força total exercida sobre ela, e inversamente proporcional a sua massa. – Por inércia, um corpo tem seu estado de movimento inalterado (aceleração nula) a menos que haja interação com algum outro corpo. O conceito de força representa matematicamente esta interação. – Para fixar ideias, consideremos uma partícula com massa constante, em 1D. Sua posição é dada por uma função x (t). ˙ A força em geral é função da posição x (t), da velocidade x (t) e do tempo t: ˙ F = F ( x (t) , x (t) , t) A 2ª Lei de Newton escreve-se, matematicamente ¨ ˙ m x (t) = F ( x (t) , x (t) , t) Trata-se de uma equação diferencial ordinária (EDO) de 2ª ordem no tempo. – A 2º Lei de Newton nos informa portanto que a dinâmica de partículas clássicas é dada por EDOs de 2ª ordem no tempo. – Por simplicidade, de ora em diante vamos supor que as forças não dependem de velocidade. • 3ª Lei: Se um corpo A exerce sobre o corpo B uma certa força F, então no mesmo instante de tempo o corpo B exerce sobre A uma força contrária igual a − F ⇒ essencialmente, leva à conservação de momento linear e angular para um sistema de partículas 7
- 8. 8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO Exemplo 1. Massa presa a uma mola • A equação de movimento para uma massa presa a uma mola escreve-se 1 1 k ¨ x (t) = F ( x (t)) = (−kx (t)) ⇒ x (t) + x (t) = 0 ¨ m m m • Trata-se de uma equação diferencial ordinária linear e de 2ª ordem. Isso significa que existe uma solução geral que depende de duas (por ser de 2ª ordem) constantes arbitrárias, A e B: k k x (t) = A sin t + B cos t . m m Qualquer solução da EDO tem necessariamente a forma acima, o que muda são apenas os valores de A e B (é isto que significa o nome solução geral). • Para determinar completamente a solução, temos que fixar A e B. Para tanto, necessitamos de duas ˙ condições iniciais: usualmente, x (t0 ) = x0 e x (t0 ) = v (t0 ) = v0 . • Supondo t0 = 0: x (0) = B = x0 k k k k ˙ x (t) = A cos t −B sin t m m m m k ⇒ x (0) = A ˙ = v0 m m ⇒A= v0 k logo: m k k x (t) = v0 sin t + x0 cos t k m m • Consideremos um sistema de N partículas. Cada uma é localizada pelo vetor posição ri ( t ) = xi ( t ) x + yi ( t ) y + zi ( t ) z . ˆ ˆ ˆ Para cada partícula vale a 2ª Lei de Newton: ¨ 1 r1 ( t ) = F1 (r1 (t) , r2 (t) , . . . , r N (t) , t) m1 ¨ 1 r2 ( t ) = F2 (r1 (t) , r2 (t) , . . . , r N (t) , t) m1 . . . ¨ 1 r N (t) = FN (r1 (t) , r2 (t) , . . . , r N (t) , t) m1
- 9. 1.1. FORMULAÇÃO NEWTONIANADA MECÂNICA CLÁSSICA 9 São N equações vetoriais. Cada uma implica em três equações escalares: 1 1 ¨ xi (t) = mi Fix ( xi (t) , yi (t) , zi (t) , t) ¨ ri = Fi → ¨ 1 yi (t) = mi Fiy ( xi (t) , yi (t) , zi (t) , t) mi z (t) = 1 F ( x (t) , y (t) , z (t) , t) ¨i mi iz i i i São portanto um total de 3N equações. Concluímos: 2ª Lei de Newton ⇒ um sistema físico de N partículas é descrito por 3N equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem no tempo • Estas 3N equações determinam completamente a dinâmica do sistema conforme o tempo passa. • Como as EDOs são de 2ª ordem no tempo, é preciso conhecer 2 × 3N = 6N condições iniciais para encon- trar uma solução única. Tipicamente: 3N posições iniciais e 3N velocidades iniciais. Sistemas mecânicos com vínculos A formulação Newtoniana geralmente não é a mais adequada quando existem vínculos. Vejamos alguns exem- plos: Exemplo 2. N partículas sobre um plano Sejam N partículas cujo movimento está restrito a um determinado plano. Escolhemos o referencial de tal forma que este plano coincida com o eixo xy do referencial. Todas as N equações de movimento para os zi são resolvidas trivialmente por zi (t) = 0; desta forma, restam apenas 3N − N = 2N equações envolvendo os xi e yi a resolver. Neste caso, os vínculos zi = 0 reduzem o número de variáveis independentes, e houve uma redução do problema tridimensional para um problema bidimensional. Exemplo 3. Pêndulo duplo num plano vertical fixo Inicialmente, temos 6 variáveis: x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 . Temos quatro vínculos independentes: y1 = 0 ; y2 = 0 x1 + z2 = 2 1 2 1 ; ( x1 − x2 )2 + ( z1 − z2 )2 = 2 2 Dois vínculos eliminam as variáveis y1 e y2 trivialmente. Pode- mos, em princípio, usar as outras duas equações para, por exemplo, eliminar z1 e z2 em termos de x1 e x2 , ficando estas duas como úni- cas variáveis independentes. Ou seja, vale novamente a contagem: 6 variáveis − 4 vínculos = 2 variáveis independentes Isso significa que é possível descrever toda a evolução do sis- tema com apenas duas variáveis, que podem ser x1 e x2 , por exemplo. Contudo, outra descrição possível, e geometricamente mais natural, é adotar os dois ângulos θ1 e θ2 como variáveis independentes. Em termos destas variáveis, não se precisa sequer falar em vínculos, pois estes estão
- 10. 10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO automaticamente levados em conta na própria interpretação de θ1 e θ2 como os ângulos representados. θ1 e θ2 especificam completamente o estado do sistema e podem variar independentemente, sem restrição. Contudo, como não são variáveis cartesianas, não sabemos de antemão quais são as equações de movimento, pois as equações de Newton são dadas em coordenadas cartesianas. Exemplo 4. Pêndulo simples Vamos mostrar como se resolve um problema mecânico com vínculos usando o formalismo de Newton. Vamos considerar o pêndulo simples. Pela contagem de variáveis, temos: 3 variáveis inicialmente (x, y, z), sujeitas a dois vínculos, y=0 ; x 2 + z2 = 2 logo esperamos que o sistema seja descrito por uma única variável inde- pendente. A equação de Newton escreve-se ¨ mr ( t ) = m g + T onde aparece uma força de vínculo T. Esta força não é conhecida de antemão, o que é um obstáculo na resolução da equação acima. Para evitar o problema, deve-se projetar a equação de Newton na direção tangencial ao vínculo, onde não aparece a força T. Este é um problema geométrico, que neste caso em particular, pode ser facilmente resolvido. Daí, a projeção da equação de Newton na direção tangencial escreve-se ¨ ¨ g m θ (t) = −mg sin θ (t) ⇒ θ (t) + sin θ (t) = 0 que é uma EDO de 2ª ordem envolvendo unicamente a função θ (t). ˙ Esta equação pode ser resolvida em princípio, conhecendo-se as condições iniciais θ (t0 ) e θ (t0 ). Obtemos assim a função θ (t). A partir dela, podemos determinar as posições, x (t) = sin θ (t) z (t) = cos θ (t) bem como a força de vínculo, r T (t) = mg cos θ (t) . r
- 11. 1.1. FORMULAÇÃO NEWTONIANADA MECÂNICA CLÁSSICA 11 Ou seja, a força de vínculo é obtida após a solução do problema. Neste caso, a geometria era simples o suficiente para que esta dificuldade fosse facilmente sobrepujada. Vejamos no próximo exemplo que nem sempre é assim. Exemplo 5. Uma conta deslizando, sem atrito, sobre um fio de metal Um problema que parece muito simples à primeira vista mas que na prática é terrivelmente difícil de tratar usando a mecânica de Newton: considere uma conta deslizando, sem atrito, sobre um fio de metal curvo. Neste caso, as forças de vínculo variam de direção ponto a ponto (são sempre perpendiculares ao fio), e escrever as condições de vínculo torna- se bastante difícil. A condição pode ser verbalmente dita da seguinte ma- neira: o comprimento do menor segmento de linha perpendicular ao fio e passando pela conta é nulo. Não é simples escrever um conjunto de equações que re- presente esta condição. Claramente, contudo, o movimento pode ser descrito por uma única variável: s (t), a distância, ao longo da linha, desde um ponto inicial arbitrário. Isso significa que existem duas equações de vínculo no problema, que reduzem o movimento tridimensional da conta a um movimento descrito por uma única variável independente. Seguindo o espírito da 2ª Lei de Newton, o movimento da conta deve ser regido por uma equação diferencial de 2ª ordem envolvendo s (t). Obter esta equação, contudo, não é simples dada a geometria complicada do problema. • Dos exemplos vistos, sugerem-se algumas conclusões, que são discutidas em mais detalhes na bibliogra- fia do curso (ver em particular a seção 1.2 de LEMOS, N.A.). • Para vínculos que envolvem apenas as coordenadas do problema e do tempo, i.e., expressões da forma, f (ri , t ) = 0 valem as seguintes conclusões gerais: • A presença de vínculos implica na redução no número de variáveis necessárias para descre- ver um sistema. – Para um sistema com N partículas, inicialmente descrito por 3N variáveis, a presença de p vínculos relacionando estas variáveis reduz o número de variá- veis independentes para 3N − p. – Neste caso, portanto, após projetar as forças e acelerações sobre os vínculos, encontraremos 3N − p equações de movimento. • Pode-se encontrar, em geral, um conjunto de variáveis que descrevem completamente o sistema, e que podem variar independentemente, sem estarem sujeitas a qualquer vínculo. Tais variáveis, contudo, em geral não são cartesianas. • A mecânica clássica Newtoniana está naturalmente definida em coordenadas cartesianas. Para lidar com problemas que envolvem vínculos, é desejável uma formulação em que se tenha a liberdade de adotar coordenadas não-cartesianas para descrever o sistema, de tal forma que seja possível encontrar facilmente as equações de movimento para tais coordenadas.
- 12. 12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO • Outros tipos de vínculo, que também envolvem velocidades, da forma geral ˙ f ri , ri , t = 0 também podem ser considerados com as ferramentas adequadas, mas não é nosso interesse tratar disso aqui. Sempre que nos referimos a vínculos nesta aula, estamos nos referindo a vínculos que não dependem de velocidades. 1.2 Formulação Lagrangiana • A mecânica de Newton está baseada em vetores. A formulação Lagrangiana da mecânica baseia-se numa função escalar, a Lagrangiana. • Dada a Energia Cinética N 1 2 ˙ K ri = ∑ 2 mi ˙ ri i =1 e a Energia Potencial U (ri , t), define-se a Função Lagrangiana como ˙ ˙ L ri , ri , t = K ri − U (ri , t ) . • O princípio que vai fornecer as equações da dinâmica é o Princípio de Hamilton, que é um princípio variacional. Princípio de Hamilton Dada uma configuração inicial r1 (t0 ) = r1i , r2 (t0 ) = r2i ,..., e uma configuração final r1 t f = r1 f , r2 t f = r2 f ,..., de um sistema mecânico de N partículas, de todas as possí- veis trajetórias r1 (t), r2 (t),..., tais que r (t0 ) = r i e r t f = r f , a trajetória efetivamente seguida pelo sistema é aquela em que o valor da integral ˆ tf ˆ tf ˙ L r , r , t dt = ˙ K r − U (r , t) dt t0 t0 é mínimo. ´ • Uma condição necessária, mas não suficiente, para que o valor da integral Ldt seja mínimo para uma ´ dada trajetória, é que Ldt seja extremal para esta trajetória. Esta condição implica que as funções r1 (t), r2 (t),..., solução para o problema mecânico segundo o princípio de Hamilton, obedecem a um conjunto de equações chamadas de Equações de Euler-Lagrange, que em nossa notação atual se escreveriam: d ∂L ∂L dt ∂ xi − ∂xi = 0 ˙ d ∂L ∂L ˙ − ∂yi = 0 dt ∂yi d ∂L − ∂L = 0 ˙ dt ∂yi ∂yi
- 13. 1.2. FORMULAÇÃO LAGRANGIANA 13 Trata-se de um conjunto de 3N equações diferenciais de 2ª ordem no tempo. Pode-se mostrar que tais equações são sempre equivalentes às equações de Newton. Interlúdio: Noções de cálculo variacional O que significa que uma dada trajetória “extremiza” a integral? Consideremos, por simplicidade, um problema unidimensional, que é descrito por uma única variável – uma função x (t). Fixamos x0 = x (t0 ) e x f = x t f . Seja uma caminho x (t) tal que x0 = x (t0 ) e x f = x t f . Queremos comparar a diferença entre o valor ´ da integral Ldt para o ´ caminho x (t) e um caminho “muito próximo” a x (t), como na figura. Se a diferença entre o valor da integral Ldt entre os dois caminhos for nulo, em primeira aproximação, diz-se que a integral é extremal para a função x (t), ou que a função x (t) extremiza a integral. Para isso, vamos comparar x (t) com x (t) + η (t), onde η (t) é uma função “bem comportada” tal que |η (t)| e |η (t)| são “muito pequenos” para t ∈ t0 , t f . Como os pontos extremos estão fixados, impomos que ˙ η (t0 ) = η t f = 0. Veja a figura abaixo: Queremos calcular ˆ tf δ L ( x (t) , x (t) , t) dt ˙ t0 ˆ tf ˆ tf ≡ L ( x (t) + η (t) , x (t) + η (t) , t) dt − ˙ ˙ L ( x (t) , x (t) , t) dt ˙ t0 t0 ˆ tf ∂L ∂L = η+ ˙ η dt t0 ∂x ˙ ∂x ˆ tf tf ∂L d ∂L ∂L = − ηdt + η t0 ∂x ˙ dt ∂ x ˙ ∂x t0 O último termo se anula pois η (t0 ) = η t f = 0. Como η é uma função arbitrária (salvo as condições já impostas de “suavidade”), a única forma de anular a integral da última linha é se o integrando é identicamente nulo, ou seja: ˆ tf ∂L d ∂L δ L ( x (t) , x (t) , t) dt = 0 ⇔ ˙ − =0 t0 ∂x ˙ dt ∂ x ´ Daí vem a equação de Euler-Lagrange, satisfeita pela função x (t) que extremiza a integral Ldt. ´ O Princípio de Hamilton diz que a variação δ Ldt é nula quando x (t) é a solução do problema mecânico considerado.
- 14. 14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO Exemplo 6. “Descobrindo” a solução do movimento uniformemente variado • Considere um sistema unidimensional que se move sob a ação de uma força constante f 0 1 L ( x (t) , x (t) , t) = m [ x (t)]2 + f 0 x (t) ˙ ˙ 2 Vamos supor que a solução do problema seja da forma genérica x (t) = αt + βtγ Fixamos os pontos iniciais e finais do movimento: x (0) = 0 e x (τ ) = . Desta última condição: − βτ γ x (τ ) = ατ + βτ γ = ⇒ α= τ e portanto − βτ γ x (t) = t + βtγ . τ Variando β e γ temos uma família de funções que passam pelos pontos inicias e finais fixados. τ = 1s, = 1m, β ∈ [0, 1] , γ ∈ [0.5, 5] • Conhecendo x (t), substituímos em L ( x (t) , x (t) , t) ˙ 1 − βτ γ 2 L ( x (t) , x (t) , t) = m βγtγ−1 + ˙ 2 τ t ( − βτ γ ) + k βtγ + τ e calculamos a integral em questão, obtendo uma expressão que vamos entender como uma função de β e γ: ˆ τ f ( β, γ) = L ( x (t) , x (t) , t) ˙ 0 k β ( γ − 1) τ γ m 2 β2 (γ − 1)2 τ 2γ = τ − + + 2 γ+1 2τ 2γ − 1 • Escolhendo k, m e τ com valores unitários, podemos fazer um gráfico de f ( β, γ):
- 15. 1.2. FORMULAÇÃO LAGRANGIANA 15 • Não é elementar encontrar o ponto de mínimo deste gráfico. Para os valores citados acima, podemos procurar numericamente os valores de β e γ onde se localiza o mínimo, usando para tal qualquer pacote de cálculo numérico disponível. Os valores encontrados, neste caso, são: β = 0.5 e γ = 2.0. • Ou seja, “descobrimos” pelo princípio de Hamilton que a solução para um problema de força constante é da forma − βτ γ 1 x (t) = t + t2 , τ 2 1 f0 2 que é justamente o que esperaríamos da conhecida expressão x (t) = x0 + v0 t + 2 mt . Exemplo 7. Oscilador Harmônico em 1D: variáveis não-usuais • Considere a Lagrangiana para um oscilador harmônico unidimensional, 1 1 L ( x (t) , x (t)) = m [ x (t)]2 − k [ x (t)]2 ˙ ˙ 2 2 ¨ Equação de Euler-Lagrange: m x (t) + kx (t) = 0. A solução pode ser facilmente encontrada: k x (t) = A cos t+B m • Suponha que, por alguma razão, queiramos descrever o problema usando uma coordenada q definida como: q = x2 Então: √ 1 x= q ; ˙ x= √ q˙ 2 q O Lagrangiano escrito nas coordenadas q: 1 q2 1 ˙ L (q, q) = m − kq ˙ 8 q 2
- 16. 16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO Equações de Euler-Lagrange nas coordenadas q: ∂L 1 q2 1 ˙ d ∂L d 1 q ˙ 1 q 1 q2 ¨ ˙ =− m 2− k ; = m = m − m 2 ∂q 8 q 2 ˙ dt ∂q dt 4 q 4 q 4 q 1 q2 ˙ k ⇒ q− ¨ +2 q = 0 2 q m • Claramente, esta transformação de variáveis complica substancialmente a equação de movimento. Con- tudo, para fins puramente didáticos, podemos verificar que k q (t) = x2 (t) = C cos2 t+D m é uma solução da equação acima. Ou seja, as soluções encontradas nas variáveis Q correspondem às mesmas soluções encontradas na variável q, apenas sendo mapeadas pela mudança de coordenadas que adotamos. É neste sentido que dizemos que a mecânica Lagrangiana é invariante sob transformações de coordenadas. Coordenadas Generalizadas • A liberdade de se mudar variáveis em mecânica Lagrangiana sugere a definição de coordenadas generali- zadas. • Seja um sistema de N partículas sujeitas a p vínculos que só dependem de posição e do tempo, f 1 (r1 , r2 , . . . , r N , t ) = 0 . . . f p (r1 , r2 , . . . , r N , t ) = 0 então os p vínculos podem ser usados para eliminar p das 3N variáveis cartesianas originais que descre- vem o sistema, restando 3N − p variáveis independentes necessárias para descrever a configuração do sistema. Lembramos que não vamos considerar aqui vínculos que dependem de velocidades: estes podem ser tratados no formalismo Lagrangiano usando multiplicadores de Lagrange, tema que não nos interessa abordar nesta disciplina. • Como vimos nos exemplos, muitas vezes queremos usar 3N − p variáveis para descrever o sistema que não são um subconjunto das 3N variáveis cartesianas originais, podendo ser em geral variáveis não- cartesianas, como ângulos por exemplo. Na formulação Lagrangiana, podemos escolher qualquer conjunto de 3N − p coordenadas generalizadas, com a condição que a especificação destas 3N − p coordenadas especifica univocamente a posição de cada partícula do sistema, e que elas possam variar independentemente, sem nenhum vínculo adicio- nal. • Sejam assim as 3N − p coordenadas generalizadas, q1 = q1 (r1 , r2 , . . . , r N , t ) . . . q3N − p = q3N − p (r1 , r2 , . . . , r N , t)
- 17. 1.2. FORMULAÇÃO LAGRANGIANA 17 que podemos representar como uma matriz coluna de 3N − p componentes: q1 q2 q (t) = . . . q3N − p Por princípio, deve ser possível inverter estas relações, escrevendo cada posição ri em termos das coor- denadas generalizadas, r1 = r1 q1 , q2 , . . . , q3N − p , t . . . r N = r N q1 , q2 , . . . , q3N − p , t Desta forma, podemos re-escrever o Lagrangiano do sistema em coordenadas generalizadas, L (qi , qi ) = K (q) − U (q, t) ˙ ˙ • A vantagem fundamental do princípio dinâmico da Mecânica Lagrangiana – o Princípio de Hamilton – é que ele pode ser diretamente “traduzido” para coordenadas generalizadas, diferentemente do que acontece com as leis de Newton, por exemplo. Definindo a ação associada a um dado caminho q (t) que vai de uma configuração inicial q0 até uma configuração final q f pela integral ˆ tf S [q (t)] = L (q, q, t) dt , ˙ t0 o Princípio de Hamilton pode ser enunciado da seguinte forma: Princípio de Hamilton (em coordenadas generalizadas) Dada uma configuração inicial q (t0 ) = q0 e uma configuração final q t f = q f , com i = 1, . . . , 3N − p, de um sistema mecânico de N partículas, de todas as trajetórias q (t) tais que q (t0 ) = q0 e q t f = q f , a trajetória efetivamente seguida pelo sistema é aquela em que o valor da ação S [q (t)] é mínimo. Do Princípio de Hamilton, obtêm-se as equações de Euler-Lagrange em coordenadas generalizadas: ∂L d ∂L − =0 ∂qi ˙ dt ∂qi para i = 1, . . . , 3N − p. Exemplo 08 - O Pêndulo Simples Da geometria do pêndulo simples (veja exemplo 4), é claro que podemos adotar como coordenada genera- lizada o ângulo θ (t).
- 18. 18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO ˙ A velocidade é sempre perpendicular à direção da haste, e tem módulo θ (t). Daí, a Lagrangiana pode ser ˙ ( t ), facilmente reescrita em termos de θ (t) e θ ˙ 1 ˙ L r, r, t = mr2 − mgz (t) 2 1 2 ˙2 = m θ − mg cos θ 2 A equação de Euler-Lagrange fornece imediatamente: ∂L d ∂L ¨ = mg sin θ ; = m 2θ ∂θ ˙ dt ∂q ¨ ⇒ m 2 θ − mg sin θ = 0 ¨ g ⇒θ− sin θ = 0 No formalismo Lagrangiano, obtemos imediatamente as equações de movimento, o que, no formalismo Newtoniano, exige uma projeção de forças e acelerações nas direções dos vínculos. Espaço de Configuração • Adotamos como coordenadas generalizadas qi (t) um conjunto mínimo de variáveis que especifica a po- sição de cada partícula do sistema considerado num dado instante do tempo. O espaço das coordenadas {qi (t)} é chamado de espaço de configuração. Sutilezas matemáticas à parte, é um espaço onde atribuí- mos um eixo coordenado a cada coordenada generalizada qi . Desta forma, em determinado instante do tempo, a posição de cada componente do sistema mecânico está completamente determinada por um ponto no espaço de configuração. • Conforme o tempo passa, este ponto vai se mover, desenhando uma trajetória. Esta trajetória é a repre- sentação matemática, no espaço de configuração, da evolução temporal do sistema. • Uma particularidade do espaço de configuração, cujas implicações ficarão mais claras na próxima seção (e muito mais claras no capítulo ??), é que as equações dinâmicas são de 2ª ordem no tempo. Por isso, de um mesmo ponto do espaço de configuração, podem partir diferentes trajetórias, correspondendo a ˙ condições iniciais com configuração idêntica (mesmo qi ), mas diferentes velocidades iniciais (diferentes qi ).
- 19. 1.3. ALGUNS CONCEITOSE MÉTODOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 19 Exemplo 8. O Espaço de Configuração do Pêndulo • Para o pêndulo simples, o espaço de configuração é o segmento [−π, π ] da reta real. O espaço de confi- guração é 1D, apesar do movimento real ser em duas dimensões, devido à existência de um vínculo. • Para o pêndulo duplo, o espaço de configuração é um subconjunto do plano: {q1 , q2 ; q1 ∈ [−π, π ] , q2 ∈ [−π, π ]} Na verdade, como fisicamente a configuração especificada por qi = π e qi = −π são idênticas, temos que identificar os lados opostos da figura acima, à direita. Isto significa que, para o pêndulo duplo, o espaço de configuração na verdade é um toro bidimensional. 1.3 Alguns conceitos e métodos de Equações Diferenciais Ordinárias Faremos agora um interlúdio para discutir alguns detalhes de uma ferramenta matemática essencial para a discussão da Mecânica Clássica: a resolução de equações diferenciais ordinárias.
- 20. 20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO Sistemas de Equações Diferenciais de 1ª Ordem • Para fixar ideias, vamos considerar um sistema de duas equações diferenciais ordinárias, mas os resulta- dos aqui enunciados são de validade geral. • Um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem no tempo é da forma geral: ˙ x (t) = F ( x (t) , y (t) , t) ˙ y (t) = G ( x (t) , y (t) , t) Se as funções F e G não dependem explicitamente do tempo, o sistema é dito autônomo. • Um problema de valor inicial consiste num sistema de equações diferenciais ordinárias, mais uma condição inicial x (t0 ) = x0 , y (t0 ) = y0 . A solução de um problema de valor inicial é garantida por um teorema de existência e unicidade: Teorema de Existência e Unicidade Dado o sistema de equações diferenciais ordinárias ˙ x (t) = F ( x (t) , y (t) , t) ˙ y (t) = G ( x (t) , y (t) , t) se F e G são contínuas e possuem derivadas parciais contínuas numa dada região A = [t1 , t2 ] × [ x1 , x2 ] × [y1 , y2 ], então dada uma condição inicial x (t0 ) = x0 , y (t0 ) = y0 com {t0 , x0 , y0 } ∈ A, existe δ > 0 tal que existe e é única a solução da EDO com a condição inicial dada, para t no intervalo (t0 − δ, t0 + δ). Em particular, se as funções F e G são lineares em x e y, ˙ x (t) = a11 (t) x (t) + a12 (t) y (t) + f (t) ˙ y (t) = a21 (t) x (t) + a22 (t) y (t) + g (t) a solução existe e é única por toda a região em que os coeficientes aij (t) , f (t) , g (t) são contínuos. • O sistema de EDOs considerado tem a importante interpretação gráfica de representar um campo de direções no plano { x, y}. Soluções particulares desta EDO são curvas que são tangentes ao campo de direções em cada ponto. O teorema de existência e unicidade garante essencialmente que, satisfeitas condições de regularidade do campo de direções considerados, fixado qualquer ponto do plano, existe uma e somente uma curva que passa por este ponto e é sempre tangente ao campo de direções.
- 21. 1.3. ALGUNS CONCEITOSE MÉTODOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 21 Redução de Equações de 2ª Ordem para Equações de 1ª Ordem • Considere uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem no tempo, ¨ ˙ x + a (t) x + b (t) x = f (t) definindo ˙ y=x podemos reescrever a equação inicial como ˙ y + a (t) y + b (t) x = f (t) A equação diferencial de 2ª ordem ¨ ˙ x + a (t) x + b (t) x = f (t) é equivalente ao sistema de equações diferenciais de 1ª ordem no tempo, ˙ x=y y = − a (t) y − b (t) x + f (t) ˙ Ou seja: podemos baixar a ordem de uma equação diferencial, com o preço de aumentar a dimensiona- lidade do espaço que estamos considerando. • Em geral: um sistema mecânico de N partículas que seja descrito por M coordenadas generalizadas (M pode ser menor que 3N, pois supomos que quaisquer vínculos presentes já foram levados em conta
- 22. 22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO na prescrição das coordenadas generalizadas) tem como equações dinâmicas M equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem, q (t) = f (q (t) , q (t) , t) . ¨ ˙ Definindo v (t) = q (t) ˙ temos, equivalentemente, o sistema de 2M equações de 1ª ordem q (t) = v (t) ˙ v (t) = f (q (t) , v (t) , t) ˙ • A vantagem em se fazer tal redução é que a análise de equações de 1ª ordem no tempo pode ser feita por métodos geométricos e qualitativos muito poderosos, que nos fornecem as características gerais das soluções, mesmo sem resolver explicitamente as equações. Exemplo 9. Movimento com aceleração constante Considere o problema de uma partícula movendo-se em uma dimensão com aceleração constante. A solução geral do movimento é da forma 1 x (t) = x0 + v0 t + at2 . 2 No gráfico, vemos três soluções do problema, com diferentes condições iniciais (escolhemos a = 2 m/s2 ). Repare que soluções com condições iniciais diferentes partem de pontos coincidentes (soluções azul e verde); além disso, soluções podem se cruzar com o passar do tempo.
- 23. 1.3. ALGUNS CONCEITOSE MÉTODOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 23 Reduzindo o sistema para equações de 1ª ordem, obtemos: ˙ x (t) = y (t) ˙ y (t) = a A solução pode também ser encontrada por integração direta: 1 x (t) = x0 + v0 t + at2 2 y (t) = v0 + at Podemos fazer os gráficos das mesmas soluções que consi- deramos antes, agora no espaço bidimensional { x, y} (na mai- oria dos sistemas computacionais disponíveis atualmente, tais gráficos são chamados de gráficos paramétricos). Note que condi- ções iniciais diferentes são representadas por pontos diferentes. Além disso, não existe cruzamento de soluções. Como veremos no capítulo ??, estas propriedades fazem com que, consideradas em conjunto, as soluções das equações de movimento, no plano { x, y}, tem uma geometria muito mais simples e que pode ser, em grande parte, compreendida sem a necessidade de se resolver efetivamente estas equações. Equações Autônomas • No caso particular de equações autônomas, i.e., quando não há dependência explícita no tempo ˙ x (t) = F ( x (t) , y (t)) ˙ y (t) = G ( x (t) , y (t)) vale ainda o importante resultado: as soluções jamais se cruzam no plano { x, y}. • O raciocínio é simples: suponha que duas soluções se cruzam em algum ponto ( x0 , y0 ). Note que o cruzamento não precisa acontecer no mesmo instante de tempo, pois as soluções podem levar tempos diferentes para chegar ao ponto de cruzamento. Considere agora o seguinte problema de valor inicial: seja o sistema de equações diferenciais ˙ x (t) = F ( x (t) , y (t)) ˙ y (t) = G ( x (t) , y (t)) com a condição inicial x (t0 ) = x0 , y (t0 ) = y0 , onde t0 é arbitrário. As duas soluções que supomos existirem acima resolvem o problema de valor inicial enunciado acima – contrariando o teorema de existência e unicidade. • Note que, se o sistema não é autônomo, tais cruzamentos podem ocorrer desde que as soluções passem pelo ponto de cruzamento em instantes diferentes. Como as equações diferenciais dependem explicita- mente do tempo, problemas de valor inicial em tempos diferentes são efetivamente diferentes, então podem resultar em soluções diferentes. Equações Autônomas, Lineares, Homogêneas, de Coeficientes Constantes • Consideremos a equação ˙ x (t) = a11 x (t) + a12 y (t) ˙ y (t) = a21 x (t) + a22 y (t)
- 24. 24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO reescrita de forma matricial, ˙ x (t) a11 a12 x (t) x (t) = =A . ˙ y (t) a21 a22 y (t) y (t) • Este é um similar matricial da equação x = ax, cuja solução sabemos ser x = ce at . Tentamos uma solução ˙ da mesma forma, x (t) ξ1 = Xert = ert y (t) ξ2 Substituindo na equação: ˙ x (t) x (t) =A ⇒ rXert = A · Xert ˙ y (t) y (t) ⇒ (A − r ) · Xert = 0 • Lembre-se: para um sistema b11 b12 ξ1 =0 b21 b22 ξ2 ter solução com ξ i = 0, o determinante da matriz 2 × 2 deve ser nulo. • Então, voltando ao nosso ansatz, para termos uma solução não trivial de (A − r ) · Xert = 0 deve valer que det (A − r ) = 0 Esta é a equação secular. Como estamos lidando com matrizes 2 × 2, trata-se de uma equação de 2º grau que tem duas soluções em geral complexas r1 e r2 , chamadas de autovalores do sistema. • Resolvendo-se a equação secular, encontramos duas possíveis soluções, x1 ( t ) x2 ( t ) = X 1 e r1 t ; = X 2 e r2 t y1 ( t ) y2 ( t ) Como as EDOs são lineares, qualquer combinação linear destas soluções é solução, x (t) = c 1 X 1 e r1 t + c 2 X 2 e r2 t y (t) Pode-se mostrar que esta última expressão é a solução geral do problema proposto. Exemplo 10. Uma EDO linear, homogênea, de coeficientes constantes • Considere a equação ˙ x (t) 1 1 x (t) = ˙ (t) y 4 1 y (t) • Equação secular: 1 1 1 0 1−r 1 det −r = det =0 4 1 0 1 4 1−r r1 = 3 ⇒ (1 − r )2 − 4 = 0 ⇒ duas soluções: r2 = −1
- 25. 1.3. ALGUNS CONCEITOSE MÉTODOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 25 • r1 = 3: (1) −2 1 ξ1 (A − r1 ) · Xer1 t = 0 ⇒ (1) e3t = 0 4 −2 ξ2 (1) (1) ⇒ 2ξ 1 − ξ 2 = 0 Como todo sistema homogêneo, ele só tem solução se é indeterminado, e as duas equações resultam (1) (1) proporcionais. Podemos portanto escolher ξ 1 = 1, obtendo ξ 2 = 2. Ou seja, uma solução é da forma 1 e3t 2 • r2 = −1: (1) 2 1 ξ1 (A − r2 ) · Xer2 t = 0 ⇒ (1) e−t = 0 4 2 ξ2 (1) (1) ⇒ 2ξ 1 + ξ 2 = 0 (1) (1) Escolhendo ξ 1 = 1 obtemos ξ 2 = −2. Ou seja, uma solução é da forma 1 e−t −2 • Solução geral: x (t) 1 1 = c1 e3t + c2 e−t y (t) 2 −2 1 1 Os vetores e definem duas direções em que as soluções se afastam/aproximam linear- 2 −2 mente da origem. As outras soluções não podem cruzar estas separatrizes e, além do mais, não podem se cruzar. Todas as soluções, na proximidade da origem, tem portanto um comportamento como o da figura:
- 26. 26 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO • O comportamento das soluções das equações depende basicamente dos autovalores da equação secular det (A − r ) = 0. Pode-se fazer um catálogo bastante completo com o comportamento geral das soluções dependendo destes autovalores. Maiores detalhes o leitor pode encontrar em qualquer bom livro de Equações Diferenciais Ordinárias. • De forma geral: para autovalores da forma r = a + ib, teremos ert = e(a+ib)t = e at (cos bt + i sin bt) O sinal positivo/negativo de a está associado ao afastamento/aproximação da solução em relação à origem. Por outro lado, a parte imaginária b provoca uma rotação das soluções em torno da origem. • Por exemplo: – r1 e r2 reais e negativos: não há rotação, e as soluções tendem a se aproximar da origem. – r1 e r2 complexos, com parte real negativa: as soluções se aproximam da origem, mas há rotação das soluções devido à presença da parte imaginária dos autovalores.
- 27. Cap´tulo ı 2 Mecânica Hamiltoniana: Equações Canônicas 2.1 A função Hamiltoniana • Seja um sistema físico descrito por M coordenadas generalizadas qi , i = 1, . . . , M. De ora em diante, vamos sempre supor que os índices i, j variam de 1 a M. Usaremos também a notação q para representar coletivamente o conjunto de variáveis qi e similarmente para as velocidades q e outras grandezas que ˙ definiremos abaixo. • O espaço cartesiano com coordenadas q (t) é chamado espaço de configuração do sistema considerado. Um ponto no espaço de configuração está em correspondência biunívoca com uma configuração do sistema, entendendo-se aí a posição de cada partícula que constitui tal sistema. Conforme o tempo passa, o ponto que representa o sistema no espaço de configuração move-se, descre- vendo uma trajetória no espaço de configuração. Toda a informação sobre a posição do sistema em cada instante do tempo está contida nesta trajetória. 27
- 28. 28 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS ˙ • A função Lagrangiana deste sistema físico é uma função de qi , qi , t: L = L (q, q, t) ˙ Sendo que a derivada total de L com respeito ao tempo é dada por: d ∂L dqi ∂ L d qi ˙ ∂L dt L (q, q, t) = ˙ ∑ ∂qi dt +∑ ˙ ∂qi dt + ∂t i i ∂L ∂L ∂L =∑ qi + ∑ ˙ ¨ q + i ∂qi i ˙ i ∂ qi ∂t Entendendo L como uma função num espaço com coordenadas (qi , qi ), que também pode adicional- ˙ mente variar com o tempo, interpretamos a expressão acima da seguinte forma: a variação de L no tempo vem de duas partes: – conforme o tempo passa, o ponto representativo do sistema se move no espaço (qi , qi ), e a função L ˙ ∂L ∂L assume em princípio valores distintos ao longo da trajetória deste ponto; os termos ∑i ˙ ∂qi qi + ˙ ¨ ∂ qi q i dão conta da variação do valor de L ao longo da linha da trajetória ∂L – além disso, L como função no espaço (qi , qi ) pode mudar conforme o tempo passa; o termo ˙ ∂t dá conta desta possibilidade • Efetuando-se uma integração por partes: dL ∂L ∂L ∂L dt = ∑ ∂qi qi + ˙ ∑ ∂ qi qi ˙ ¨ + ∂t i i d ∂L d ∂L ∑i dt ˙ ˙ ∂ qi qi − dt ˙ ˙ ∂ qi qi d ∂L ∂L d ∂L ∂L ⇒ L−∑ ˙ q =∑ − ˙ q + dt i ˙ i ∂ qi i ∂qi ˙ i dt ∂qi ∂t =0 Ou seja, se qi (t) corresponde a uma solução das equações de movimento do sistema, vale que
- 29. 2.1. A FUNÇÃOHAMILTONIANA 29 d ∂L ∂L dt ∑ ∂ qi qi − L ˙ ˙ =− ∂t i • Uma definição: Para cada variável qi definimos o seu momento canonicamente conjugado ∂L pi (q, q, t) = ˙ (q, q, t) ˙ ˙ ∂ qi Note que qi é uma função unicamente de t; contudo, seu momento canonicamente conjugado, por hora, ˙ é em princípio uma função de qi , qi , t, pois é obtido por derivação da Lagrangiana, que por sua vez depende destas variáveis. • Reescrevemos nosso resultado, agora com todas as dependências explícitas d dt ∑ pi ( q ( t ) , q ( t ) , t ) qi ( t ) − L ( q ( t ) , q ( t ) , t ) ˙ ˙ ˙ i ∂L =− (q (t) , q (t) , t) ˙ ∂t Em suma, podemos definir uma função h da forma h (q, p, q, t) = ˙ ∑ pi qi − L (q, q, t) ˙ ˙ i ˙ que, escrita assim, parece depender de qi , pi , qi , t. Provamos que esta função tem a propriedade de que d ∂L h (q, p, q, t) = − ˙ (q, q, t) ˙ dt ∂t onde q (t) é uma solução das equações de Euler-Lagrange do sistema, e q (t) e p (t) são por sua vez ˙ obtidas a partir desta q (t). Como anteriormente, a variação total no tempo da função h (q, p, q, t) teria em princípio duas partes: ˙ ˙ – a variação de h devido à variação das coordenadas qi , pi , qi – a variação devida à dependência explícita de h no tempo ˙ O resultado diz que esta primeira parte é inexistente, ou seja, h é uma função constante conforme qi , qi , pi variam no tempo; h só pode variar no tempo se conter explicitamente uma dependência em t. ˙ ˙ • Embora escrevemos h como função de qi , pi , qi , t, na verdade é de se lembrar que qi , pi , qi não são real- mente independentes, pois obedecem à relação de definição de pi , i.e., ∂L pi = (q, q, t) . ˙ ˙ ∂ qi
- 30. 30 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS Para ver as consequências disso, consideramos a variação de h em relação a todas as variáveis que apa- recem em sua expressão dh = d ∑ pi qi − L ˙ i ∂L ∂L ∂L = ∑ dpi qi + ∑ pi dqi − ∑ ˙ ˙ dqi − ∑ d qi − ˙ dt i i i ∂qi i ˙ ∂ qi ∂t ∂L ∂L ∂L =∑ pi − dqi + ∑ dpi qi − ∑ ˙ ˙ dqi − dt i ˙ ∂ qi i i ∂qi ∂t =0 ∂L ∂L dh = ∑ qi dpi − ∑ ∂qi dqi − ˙ ∂t dt i i Em suma, uma variação h é totalmente definida pelas variações de pi , qi e t. Isso torna possível considerar h uma função unicamente de pi , qi , t, eliminando a dependência em qi . ˙ • Para tanto, voltamos à definição do momento, que pode ser escrita como ∂L f i (q, p, q, t) = pi − ˙ (q, q, t) = 0 . ˙ ˙ ∂ qi ˙ que é uma equação envolvendo pi , qi , qi e t. Apenas para simplificar o raciocínio, consideremos qi e t ˙ como constantes. A pergunta é: em que condições conseguimos usar esta equação para escrever qi como função de pi ? A resposta é dada pelos matemáticos na forma do Teorema da Função Implícita. Ele garante basicamente o seguinte: ∂f Se temos uma relação f ( x, y) = 0 e ∂y = 0, então podemos usar f ( x, y) = 0 para encontrar y em função de x, ou seja, encontrar y = y ( x ). Generalizando este resultado para uma função de várias variáveis como é o caso de f i (q, p, q, t),temos o ˙ seguinte: as derivadas parciais segundas de L definem o que se chama de matriz Hessiana: ∂2 L Wij (q, q, t) = ˙ (q, q, t) ˙ ˙ ˙ ∂ qi ∂ q j Então prova-se: Se ∂2 L det Wij = det =0 ˙ ˙ ∂ qi ∂ q j então a equação que define o momento canonicamente conjugado pode ser “invertida”, fornecendo as velocidades como funções dos momentos, ˙ ˙ qi = qi (q, p, t)
- 31. 2.1. A FUNÇÃOHAMILTONIANA 31 ˙ ˙ • Tendo em mãos a relação qi = qi (q, p, t), podemos substituir na função h (q, p, q, t), que passará expli- ˙ citamente a depender apenas de qi , pi e t. Desta forma, estaremos definindo a função Hamiltoniana do sistema, H (q, p, t) = ∑ pi qi (q, p, t) − L (q, p, t) ˙ i Note um pequeno abuso de notação aqui: L (q, p, t) é entendido como a expressão que se obtém ao substituir qi em ˙ L (q, q, t) pela sua expressão em termos de qi , pi , t. ˙ Exemplo 11. Partícula movendo-se em 1D sob ação de força constante • Lagrangiana que define o sistema 1 L ( x, x ) = m x2 + f 0 x ˙ ˙ 2 e sua correspondente equação de movimento: ∂L d ∂L − = f0 − mx = 0 ¨ ∂x ˙ dt ∂ x • Momento canonicamente conjugado ∂L p= ˙ = mx ˙ ∂x • Função h = p x − L: ˙ 1 h ( x, x, p) = p x − m x2 − f 0 x ˙ ˙ ˙ 2 ˙ Embora formalmente h dependa de x, x, p, note que dh = pd x + xdp − m xd x − f 0 dx ˙ ˙ ˙ ˙ = ( p − m x ) d x + xdp − f 0 dx ˙ ˙ ˙ ˙ e, como p = m x por definição, dh = xdp − f 0 dx , ˙ ou seja, h na verdade depende unicamente de x e p. • Matriz Hessiana: neste caso, ∂2 L =m=0 ∂ x2 ˙ e, de fato, como m = 0, podemos escrever p ˙ x= m ˙ • Reescrevendo x em termos de p, definimos a função Hamiltoniana como: H ( x, p) = p x − L ( x, p) ˙ p 1 p 2 =p − m − f0 x m 2 m p2 = − f0 x 2m que é explicitamente uma função apenas de x e p.
- 32. 32 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS Exemplo 12. O pêndulo simples • Lagrangiana que define o modelo: ˙ 1 ˙ L θ, θ = m 2 θ 2 + mg cos θ 2 • Momento canonicamente conjugado: ∂L ˙ pθ = = m 2θ ˙ ∂θ • Como ∂2 L 2 =m =0 ˙ ∂θ 2 ˙ podemos encontrar θ em termos de p: ˙ pθ θ= m 2 • Função Hamiltoniana: ˙ ˙ H θ, θ = pθ θ − L pθ 1 pθ 2 2 = pθ − m − mg cos θ m 2 2 m 2 ( p )2 = θ 2 − mg cos θ 2m Observação: Se o potencial não depende de velocidades e se xi é uma coordenada cartesiana, seu momento canonicamente conjugado será a i-ésima coordenada do vetor momento linear. De fato, se xi é cartesiana, sua contribuição à energia cinética é da forma 2 m ( xi )2 , e daí 1 ˙ ∂L pi = ˙ = m xi . ˙ ∂ xi Por exemplo, num sistema de coordenadas cilíndricas, x = ρ cos φ y = ρ sin φ z=z
- 33. 2.1. A FUNÇÃOHAMILTONIANA 33 Pode-se mostrar que (exercício), 1 K= m ρ2 + ρ2 φ2 + z2 ˙ ˙ ˙ 2 Portanto, ∂L pz = ˙ = mz ˙ ∂z Por outro lado, ∂L pρ = ˙ = mρ ˙ ∂ρ ∂L pφ = = mρ2 φ ˙ ˙ ∂φ O momento canonicamente conjugado a φ é justamente a componente do momento angular na direção z. Já o momento canonicamente conjugado a ρ tem dimensão de momento linear, e na verdade corresponde à projeção do momento linear na direção radial, embora neste caso ρ não seja uma coordenada cartesiana. Num caso mais geral, em que a coordenada generalizada qi é qualquer grandeza perti- nente à descrição da configuração do sistema, podemos não ter uma interpretação física imediata para seu momento canonicamente conjugado pi . Interlúdio: Transformação de Legendre • O processo de se obter a função Hamiltoniana a partir da Lagrangiana não é nada mais do que um caso particular de uma transformação de Legendre, que é um método geral para substituir uma função que depende de um conjunto de coordenadas independentes por um outro conjunto de coordenadas independentes. • De fato, considere uma função qualquer dependendo de duas coordenadas f ( x, y). Se x, y são indepen- dentes, uma variação geral de f é dada por ∂f ∂f df = ( x, y) dx + ( x, y) dy ∂x ∂y Vamos definir agora uma nova variável, ∂f u= ( x, y) . ∂x A primeira leitura desta equação é que u é uma variável dependente de x e y. Contudo, satisfeitas certas condições, podemos também entender que u e y são independentes, e x é dependente das demais: x = x (u, y). • De fato, é possível obter a partir de f ( x, y) uma função que depende de y e u da seguinte forma: escre- vendo ∂f d f = udx + ( x, y) dy ∂y por integração por partes: ∂f d f = d (ux ) − xdu + ( x, y) dy ∂y ∂f ⇒d ( f + ux ) = − xdu + ( x, y) dy ∂y
- 34. 34 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS Ou seja, a função g = f + ux na verdade depende apenas de u e y. Supondo que a relação ∂f u= ( x, y) ∂x define implicitamente x como função de u e y, x = x (u, y) conseguimos obter a partir de f ( x, y) uma função g (u, y) = f ( x (u, y) , y) + u x (u, y) ∂f que depende só de y e u = ∂x . • Esta tecnologia é amplamente usada na termodinâmica. Conhecemos por exemplo a variação de energia interna U de um dado sistema, dU = dQ − dW . Por outro lado, a transferência de calor está associada a uma variação de entropia: dQ = TdS enquanto que o trabalho mecânico, a uma variação de volume, dW = − PdV , de forma que dU = TdS − PdV . Daqui fica claro que a energia interna é função da entropia e do volume, U = U (S, V ) e que ∂U ∂U T= (S, V ) ; P=− (S, V ) . ∂S ∂V • Em muitas ocasiões, contudo, trabalhamos com sistemas que estão a pressão constante e não a volume constante, como por exemplo numa reação química em contato com a atmosfera terrestre. Seria preferível, neste caso, trabalhar com uma grandeza termodinâmica que dependesse de P e não de V. Tal grandeza pode ser obtida por uma transformação de Legendre: dU = TdS − PdV = TdS − d ( PV ) + VdP ⇒d (U + PV ) = TdS + VdP Define-se assim a entalpia do sistema considerado, como função de S e P: H (S, P) = U (S, V (S, P)) + PV (S, P) , onde V (S, P) é definido implicitamente por ∂U P=− (S, V ) . ∂V • Transformações de Legendre permitem grande liberdade na escolha de variáveis termodinâmicas, e co- nectam todos os diferentes potenciais termodinâmicos: energia interna, entalpia, potencial de Gibbs e a energia livre de Helmholtz.
- 35. 2.2. A DINÂMICAEM TERMOS DA FUNÇÃO HAMILTONIANA 35 2.2 A Dinâmica em termos da Função Hamiltoniana • Vamos entender a função Hamiltoniana como uma função definida num espaço de coordenadas (q, p), e que pode eventualmente depender explicitamente do tempo t. • Dada uma solução q (t) em particular, podemos calcular q (t) e daí obter p (t) a partir da relação de ˙ definição ∂L pi = (q, q, t) . ˙ ˙ ∂ qi Podemos então imaginar um espaço com coordenadas qi e pi de tal forma que, conforme o tempo passa, tanto qi quanto pi variam continuamente com o tempo, descrevendo um trajetória neste espaço. Sob este ponto de vista, contudo, p e q não são coordenadas independentes, pois p é obtido a partir de q. • O objetivo fundamental de uma formulação da mecânica clássica é ter uma teoria que nos preveja a dinâmica do sistema conforme o tempo passa. Na prática, ela deve fornecer um sistema de equações diferenciais que, resolvidas para uma certa condição inicial (posição e velocidades iniciais) forneçam a posição de cada partícula do sistema em cada instante futuro do tempo. • Podemos, em princípio, adotar a seguinte filosofia: vamos entender o estado do sistema num determi- nado instante como descrito tanto pelas coordenadas generalizadas q quanto pelos momentos canoni- camente conjugados p, que passaremos a considerar como variáveis independentes entre si, e que dependem do tempo. Num instante t0 , conhecemos seus valores iniciais, q0 = q (t0 ) e p0 = p (t0 ), e gostaríamos de determinar as funções q (t) e p (t) para t > t0 , conhecendo assim o estado do sistema em instantes futuros. Obviamente, as funções q (t) e p (t) deverão ser soluções de alguma equação diferencial. Se as q (t) assim obtidas coincidirem com as soluções das equações de Euler-Lagrange do sistema, e se as p (t) assim obtidas satisfizerem a relação p (t) = ∂L (q (t) , q (t) , t) /∂q, então diremos que estas novas ˙ ˙ equações diferenciais definem uma dinâmica que é equivalente às da Mecânica Lagrangiana. • As equações diferenciais que permitirão encontrar q (t) e p (t) são obtidas da seguinte maneira: já vimos que a variação de H como resultado de uma variação de qi , pi , t é dada por ∂L ∂L dH (q, p, t) = ∑ qi dpi − ∑ ∂qi dqi − ˙ ∂t dt i i
- 36. 36 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS Note, contudo, que se as funções qi (t) são soluções das equações de movimento, elas devem necessaria- mente satisfazer as equações de Euler-Lagrange, ∂L d ∂L ∂L − = − pi = 0 , ˙ ∂qi ˙ dt ∂qi ∂qi portanto, ∂L dH (q, p, t) = − ∑ pi dqi + ∑ qi dpi − ˙ ˙ dt . i i ∂t Por outro lado, ∂H ∂H ∂H dH (q, p, t) = ∑ ∂qi dqi + ∑ ∂pi dpi + ∂t dt i i Comparando as duas equações: ∂H ∂H ˙ qi = (q, p, t) ; pi = − ˙ (q, p, t) ∂pi ∂qi ∂H ∂L =− ∂t ∂t • Dada então a função Hamiltoniana H (q, p, t) encontrada conforme descrito anteriormente, as duas equações da primeira linha do quadro acima definem um conjunto de 2M equações diferenciais ordiná- rias de 1ª ordem no tempo. Sua resolução portanto fornece justamente o que pretendíamos: encontramos q (t) e p (t) uma vez conhecendo as 2M condições iniciais q0 = q (t0 ) e p0 = p (t0 ). • Pela simetria destas equações, em que q e p aparecem praticamente em pé de igualdade, estas são cha- madas as equações canônicas do movimento. H • A relação ∂∂t = − ∂L diz que a Hamiltoniana só depende explicitamente do tempo se a Lagrangiana ∂t também depende, e vice-versa. Discutiremos esta conexão mais adiante. Exemplo 13. Partícula movendo-se em 1D sob ação de força constante (revisitada) • Lagrangiana que define o sistema 1 L ( x, x ) = m x2 + f 0 x ˙ ˙ 2 e sua correspondente equação de movimento: ∂L d ∂L − = f0 − mx = 0 , ¨ ∂x ˙ dt ∂ x cujas soluções são trivialmente encontradas por integração: f0 2 x ( t ) = x0 + v0 t − t 2m • Podemos fazer gráficos de diferentes soluções x (t) para diferentes condições iniciais. No gráfico, vemos três soluções do problema, com diferentes condições iniciais (escolhemos a = 2 m/s2 ):
- 37. 2.2. A DINÂMICAEM TERMOS DA FUNÇÃO HAMILTONIANA 37 • Mostramos que a função Hamiltoniana correspondente escreve-se: p2 H ( x, p) = − f0 x 2m • Equações de movimento canônicas: ∂H p ˙ x= = ∂p m ∂H p=− ˙ = f0 ∂x • Neste caso, é fácil ver a equivalência entre as equações canônicas e a equação de Euler-Lagrange. A primeira equação acima apenas reproduz a relação entre momento e velocidade; substituindo-se esta equação na segunda, d ˙ p= (m x ) = f 0 ⇒ m x = f 0 ˙ ¨ dt que é a equação de 2ª ordem da formulação Lagrangiana. • As equações canônicas formam um sistema de duas equações diferenciais de primeira ordem lineares e não-homogêneas: ˙ 1 x (t) 0 m x (t) 0 = + ˙ p (t) 0 0 p (t) f0 • A solução geral é a soma da solução geral da equação homogênea mais uma solução particular da não- homogênea x (t) x (t) x (t) = + p (t) p (t) homogênea p (t) particular • A solução homogênea resolve-se: ˙ 1 x (t) m p (t) = ˙ p (t) 0 p = 0 ⇒ p ( t ) = p0 ˙
- 38. 38 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS 1 p0 p0 ˙ x= p (t) = ⇒ x ( t ) = x0 + t m m m A solução depende de duas constantes arbitrárias, x0 e p0 . Logo 0 p x (t) x0 + m t = p (t) homogênea p0 ˙ • Uma solução particular pode ser encontrada da seguinte forma: claramente se p = f 0 t teremos p = f 0 , satisfazendo uma das equações; neste caso, a outra equação lê-se: p f0 f0 2 ˙ x= = t ⇒ x (t) = t m m 2m (escolhemos x (0) = 0 pois qualquer solução particular serve) e portanto f0 2 x (t) 2m t = p (t) particular f0 t • Solução geral: p f x (t) x0 + m t + 2m t2 0 0 = p (t) p0 + f 0 t • Podemos agora desenhar as trajetórias correspondentes no espaço de fase, para as mesmas escolhas de p0 e x0 do gráfico anterior: Exemplo 14. O pêndulo simples (revisitado) • Lagrangiana que define o modelo ˙ 1 ˙ L θ, θ = m 2 θ 2 + mg cos θ 2 Equação de Euler-Lagrange: ∂L d ∂L ¨ − = −mg sin θ − m 2 θ = 0 ∂θ ˙ dt ∂θ ¨ g ⇒ θ = − sin θ
- 39. 2.2. A DINÂMICAEM TERMOS DA FUNÇÃO HAMILTONIANA 39 • A Função Hamiltoniana correspondente escreve-se: 2 ˙ (p ) H θ, θ = θ 2 − mg cos θ 2m • Equações Canônicas: ˙ ∂H p θ= = θ2 ∂pθ m ∂H pθ = − ˙ = −mg sin θ ∂θ • Novamente, inserindo-se a primeira equação na segunda, obtemos d ˙ ¨ g m 2 θ = −mg sin θ ⇒ θ = − sin θ dt que é a mesma equação obtida na formulação Lagrangiana. Exemplo 15. Uma Lagrangiana que depende linearmente da velocidade • Suponha que existe algum sistema físico que é descrito pela Lagrangiana L ( x, x ) = αx x + βx2 , ˙ ˙ onde α e β são constantes. • Momento canonicamente conjugado: ∂L p= = αx ˙ ∂x ˙ ˙ • Note que p não depende de x, e portanto esta equação não pode ser usada para escrever x em termos de q e p. De fato, ∂ ∂L ∂2 L p− = 2 =0 ∂x˙ ∂x˙ ∂x˙ ˙ • A função h ( x, x, p) escreve-se h = p x − αx x − βx2 ˙ ˙ • Se ingenuamente substituímos a relação que encontramos, p = αx na definição de h, encontramos a “Hamiltoniana” ˜ H = − βx2 Da qual obteríamos as equações canônicas: ˜ ∂H ˙ x= = 0 ⇒ x = x0 (= constante) ∂p ˜ ∂H p=− ˙ = −2βx = −2βx0 (= constante) ∂x
- 40. 40 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS logo p = −2βx0 t + p0 que não é constante no tempo (a menos que x0 ou β sejam nulos), o que não é consistente com a relação p = αx . Obviamente, não conseguimos assim definir uma formulação Hamiltoniana que represente a mesma dinâmica da formulação Lagrangiana com a qual iniciamos. Exemplo 16. Um sistema com vínculos • Considere agora a Lagrangiana de um sistema físico com espaço de configuração bidimensional: α β L ( x, y, x, y) = ˙ ˙ ( x − y )2 + ( x − y )2 , ˙ ˙ 2 2 onde novamente α e β são constantes. • Matriz Hessiana: ∂2 L Wij (q, q, t) = ˙ (q, q, t) ˙ ˙ ˙ ∂ qi ∂ q j Neste caso: ∂2 L ∂2 L ˙ ˙ ∂ x∂ x ˙ ˙ ∂ x∂y 1 −1 Wij = ∂2 L ∂2 L =α ˙ ˙ ∂y∂ x ˙ ˙ ∂y∂y −1 1 e portanto det Wij = 0 ˙ ˙ Isso significa novamente que não é possível reescrever x e y em termos das posições e momentos. • De fato, calculando os momentos canonicamente conjugados a x e y: ∂L px = = x−y ˙ ˙ ˙ ∂x ∂L py = = − ( x − y) ˙ ˙ ˙ ∂y ˙ ˙ Estas duas equações não são independentes, justamente por isso não podemos eliminar x e y em termos de x, p x , y, py . Pelo contrário, podemos observar que p x + py = 0 que é um vínculo sobre p x e py . Portanto, os momentos neste caso não podem ser considerados como variáveis independentes. • O resumo da ópera: caso a matriz Hessiana tenha determinante nulo, não é possível encontrar as veloci- dades como funções das posições e momentos, então nossa “receita” para obter a função Hamiltoniana a partir da Lagrangiana não funciona. No caso aqui exemplificado, o que acontece é que nem todas as variáveis canônicas q e p são independentes entre si. • Tais sistemas são denominados sistemas vinculados, e existe um procedimento que permite obter uma for- mulação Hamiltoniana consistente (veja por exemplo o belo e mui resumido livro Lectures on Quantum Mechanics, de Dirac). Por limitação de tempo, não vamos discutir aqui tal procedimento. É interessante perceber, contudo, que muitas das mais importantes teorias fundamentais da física são justamente des- critas por Lagrangianas que possuem Hessiano nulo. As chamadas teorias de calibre, base para a descrição unificada das interações fundamentais conhecidas, são todas teorias vinculadas.
- 41. 2.2. A DINÂMICAEM TERMOS DA FUNÇÃO HAMILTONIANA 41 A Formulação Hamiltoniana e o Espaço de Fase • O espaço com coordenadas (qi , pi ) é conhecido como espaço de fase do sistema físico em questão. Diz-se que a especificação de um ponto no espaço de fase especifica de forma biunívoca o estado do sistema físico. • Como as equações diferenciais que descrevem a dinâmica do sistema do espaço de fase são de 1ª ordem no tempo, a especificação de um ponto neste espaço também especifica completamente uma condição inicial deste sistema de equações, sendo única a solução do sistema de equações dada esta condição inicial. Note que o mesmo não vale no espaço de configuração: a especificação de um ponto no espaço de configuração define apenas as posições das partículas que compõem o sistema naquele instante, e não suas velocidades. Lembre-se que as equações de movimento no espaço de configuração são equações de 2ª ordem no tempo. É perfeitamente possível, como já observamos, que do mesmo ponto inicial no espaço de configuração, emanem duas soluções fisicamente válidas das equações de movimento. • Para um sistema com M graus de liberdade, o espaço de fase tem dimensão 2M. A formulação Hamilto- niana pode ser entendida como uma forma particular de se fazer a redução de um sistema de equações de 2ª ordem no tempo (eqs. de Euler-Lagrange) para um sistema de equações de 1ª ordem no tempo (eqs. de Hamilton). A particularidade da formulação Hamiltoniana é a simetria: o formalismo é construído de tal forma que as coordenadas qi e pi aparecem de forma simétrica.
- 42. 42 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS Conservação de Energia • Já provamos anteriormente que a função h satisfaz d ∂L h=− . dt ∂t Transcrevendo em termos da função Hamiltoniana, obtemos d ∂L H (q, p, t) = − (q, p, t) dt ∂t • Note, por outro lado, se q (t) e p (t) satisfazem as equações canônicas de movimento, d ∂H ∂H ∂H dt H (q, p, t) = ∑ ∂qi qi + ∑ ∂pi pi + ˙ ˙ ∂t i i ∂H ∂H ∂H ∂H ∂H =∑ +∑ − + i ∂qi ∂pi i ∂pi ∂qi ∂t ∂H = ∂t Comparando estas duas equações, ∂L ∂H =− ∂t ∂t Ou seja, a Lagrangiana só depende explicitamente do tempo se a Hamiltoniana também depender, e vice-versa. Note que já havíamos obtido este resultado anteriormente. • Destas considerações podemos escrever que d ∂H H (q, p, t) = (q, p, t) dt ∂t Em particular ∂H d =0 ⇒ H (q, p, t) = 0 ∂t dt resultado que vamos frasear desta forma: se a Hamiltoniana não depende explicitamente do tempo t, então H (q, p, t) é constante ao longo da trajetória do ponto representativo do sistema no espaço de fase. Ou seja, H (q, p) é uma constante de movimento. • Considere o caso particular em que a energia cinética do sistema é uma função quadrática nas velocida- des, K = ∑ Kij (q, t) qi q j ˙ ˙ i,j onde obviamente Kij = K ji . Além disso, suponha que a energia potencial não dependa de velocidades, ou seja, V = V (q, t). Desta forma, a Lagrangiana que descreve tal sistema é da forma L (q, q,t) = K − V = ∑ Kij (q, t) qi q j − V (q, t) ˙ ˙ ˙ i,j
- 43. 2.2. A DINÂMICAEM TERMOS DA FUNÇÃO HAMILTONIANA 43 Neste caso, o momento canonicamente conjugado a q é dado por: ∂L ∂ p = ˙ ∂q = ∂q˙ ∑ Kij (q, t) qi q j ˙ ˙ i,j = 2 ∑ K j (q, t) q j ˙ j e portanto, ∑p q ˙ = 2 ∑ K j (q, t) q j q = 2K ˙ ˙ j, A função Hamiltoniana, neste caso, escreve-se: H = ∑p q −L ˙ = 2K − (K − V ) = K + V Se a energia cinética é uma função quadrática das velocidades generalizadas ˙ qi e se a energia potencial não depende das velocidades, então a função Ha- miltoniana corresponde à energia mecânica total do sistema considerado, H (q, p, t) = K + V d ∂H • Da relação dt H ( q, p, t ) = ∂t (q, p, t) já discutida, podemos acrescentar que Nas condições expressas acima, se além disso a função Hamiltoniana não depende explicitamente do tempo, então a Energia Mecânica é uma constante de movimento. Exemplo 17. Um sistema com dependência explícita no tempo • Considere um sistema constituído por uma massa presa a uma mola, que por sua vez está presa a um carrinho que move-se com velocidade constante v0 ao longo de uma linha, como na figura abaixo.
- 44. 44 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS • Usando como coordenadas para a massa a distância x, medida no referencial em repouso, a força da mola é dada por − k ( x − v0 t ) e portanto a energia potencial correspondente é 1 + k ( x − v0 t )2 2 A Lagrangiana que define o sistema é dada por m 2 k L= x − ˙ ( x − v0 t )2 2 2 m k 2 kv 2 = x2 − ˙ x + kv0 xt − 0 t2 2 2 2 Como L é quadrática em x, e o potencial não depende de x, então neste caso sabemos que a Hamiltoniana ˙ ˙ é a energia mecânica total do sistema, p2 k kv 2 H= + x2 − kv0 xt + 0 t2 2m 2 2 H Note, contudo, que ∂∂t = 0, o que significa que a energia mecânica não é conservada. Isto não surpre- ende, já que trabalho tem que ser feito continuamente sobre o carrinho para mantê-lo com velocidade constante v0 , apesar do ir-e-vir da massa presa na mola. • Por outro lado, poderíamos tratar o problema nas coordenadas x ; neste caso, a velocidade da partícula é v0 + dx e portanto a Lagrangiana é dada por dt 2 m dx k 2 L= v0 + − x 2 dt 2 2 m 2 dx m dx k 2 = v + mv0 + − x 2 0 dt 2 dt 2 m 2 O termo constante 2 v0 pode ser desprezado, pois ele não contribui nas equações de movimento do sistema. dx Neste caso, a energia cinética não é função quadrática nas velocidades (existe um termo linear em dt ). Por- tanto, neste caso a Hamiltoniana não vai corresponder à energia mecânica total. De fato: ∂L dx p= = mv0 + m ∂ dx dt dt logo dx p = − v0 dt m e dx H=p −L dt p p m p 2 k 2 =p − v0 − mv0 − v0 − − v0 + x m m 2 m 2 p 2 m k 2 = − pv0 − v02 + x 2m 2 2
- 45. 2.2. A DINÂMICAEM TERMOS DA FUNÇÃO HAMILTONIANA 45 Neste caso, a Hamiltoniana é uma constante de movimento, mas já não corresponde à energia total do sis- tema. De qualquer forma, quaisquer das duas Hamiltonianas vai fornecer equações de movimento que descrevem corretamente a dinâmica do movimento com o passar do tempo. A escolha das coordenadas usadas para descrever o problema é puramente questão conveniência. Exemplo 18. O Oscilador Harmônico • Lagrangiana: 1 1 L ( x, x ) = m x2 − kx2 ˙ ˙ 2 2 Momento canonicamente conjugado: ∂L p p= = mx ⇒ x = ˙ ˙ ˙ ∂x m Função Hamiltoniana: H ( x, p) = p x − L ˙ p 1 p 2 1 =p − m + kx2 m 2 m 2 p2 k 2 = + x 2m 2 Claramente, neste exemplo, a Hamiltoniana corresponde à energia mecânica total do sistema, que é conservada. Equações Canônicas: ∂H p ˙ x= = ∂p m ∂H p=− ˙ = −kx ∂x • Uma forma de resolver o problema é eliminar p entre as duas equações, obtendo assim a equação de 2ª ordem k x=− x ¨ m que pode ser resolvida: k k x (t) = A sin t + B cos t , m m esta solução, por sua vez, inserida em p = −kx forneceria ˙ k k p = −kA sin ˙ t − kB cos t m m que pode ser trivialmente resolvida para p por integração direta √ k √ k p (t) = mkA cos t − mkB sin t . m m
- 46. 46 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS Das condições iniciais: x (0) = B = x0 √ p (0) = mkA = p0 portanto p0 k k x (t) = √ sin t + x0 cos t mk m m k √ k p (t) = p0 cos t − x0 mk sin t m m Desta forma, resolvemos um sistema de duas equações diferenciais de 1ª ordem escrevendo-o como uma equação de 2ª ordem. É uma solução válida, contudo foge um pouco à filosofia de tratar a mecânica Hamiltoniana como uma formulação de 1ª ordem da mecânica clássica. • Podemos também resolver diretamente o sistema de equações diferenciais de 1ª ordem no tempo, ˙ 1 x (t) 0 m x (t) = , ˙ p (t) −k 0 p (t) com condição inicial x (0) x0 = . p (0) p0 Introduzindo-se a notação matricial: x (t) x (t) = p (t) 1 0 m A= −k 0 a equação a ser resolvida escreve-se d x (t) = A · x (t) ; x (0) = x0 dt dx Tal equação é similar à equação dt = ax, que tem como solução x = x0 e at . Da forma forma, pode-se mostrar que a solução geral de d x (t) = A · x (t) ; x (0) = x0 dt é escrita como x (t) = eAt x0 Observação 1. Aparece aqui a exponencial de uma matriz eAt
- 47. 2.2. A DINÂMICAEM TERMOS DA FUNÇÃO HAMILTONIANA 47 que é definida através de uma série formalmente idêntica à que define a função exponencial 1 n n eAt = ∑ A t n≥0 n! onde A0 = e An = A · A · (· · · ) · A n vezes ou seja, escrevendo-se explicitamente, 1 1 eAt = +At+ A · A t2 + A · A · A t2 + · · · 2! 3! Não vamos aqui considerar sob que condições esta série converge; vamos simplesmente supor que isso acon- tece. Ademais, vamos supor que a série pode ser derivada ou integrada termo a termo. Satisfeitas estas condições, vemos que d At d 1 1 e = + A t + A · A t2 + A · A · A t3 + · · · dt dt 2 3! 1 = A + A · A t + A · A · A t2 + · · · 2! 1 = A· + At + A · A t2 + · · · 2! = A · eAt e portanto, d d At d At x (t) = e x0 = e x0 dt dt dt = A · eAt · x0 = A · x (t) além disso, x (0) = · x0 de forma que realmente a solução proposta resolve a equação diferencial e a condição inicial do problema. • Voltando ao caso particular do oscilador harmônico: a matriz A a considerar é dada por 1 0 m A= −k 0 Sendo portanto necessário calcular 1 0 m t 1 n −k 0 1 0 e = ∑ n! −k m 0 tn n ≥0 Calculando explicitamente: 1 1 1 0 m 0 m = −k 0 −k 0
- 48. 48 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS 1 2 k 0 m −m 0 = k −k 0 0 −m 1 3 k 0 m 0 − m2 = k2 −k 0 m 0 2 4 k 0 1 m 0 m = 2 −k 0 k 0 m 1 5 k2 0 m 0 − m3 = k3 −k 0 0 m2 e assim por diante. Por indução finita pode-se mostrar a validade das seguintes expressões: kn 2n+1 0 (−1)n t (At)2n+1 = k n +1 m n +1 − (−1)n t2n+1 0 mn √ 2n+1 0 1/ km k = √ (−1)n t − km 0 m n (−1)n k m t2n 0 (At)2n = n n k 0 (−1) m t2n 2n 1 0 n k = (−1) t 0 1 m e portanto, dividindo a série da exponencial numa série contendo os termos de ordem par e os de ordem ímpar: 1 n n eAt = ∑ A t n≥0 n! 1 1 = ∑ (2n)! (At)2n + ∑ (2n + 1)! (At)2n+1 n ≥0 n ≥0 2n 1 1 0 (−1)n k ∑ (2n)! (At)2n = 0 1 ∑ m t n ≥0 n≥0 (2n ) ! 1 0 k = cos t 0 1 m √ 1 0 1/ km ∑ (2n + 1)! (At)2n+1 = √ − km 0 n ≥0 2n+1 (−1)n k ×∑ t n≥0 (2n + 1) ! m √ 0 1/ km k = √ sin t − km 0 m
- 49. 2.2. A DINÂMICAEM TERMOS DA FUNÇÃO HAMILTONIANA 49 ou seja, √ 1 0 m t k k cos mt 1/ km sin mt −k 0 e = √ k k − km sin mt cos mt • Desta forma, a solução da equação ˙ 1 x (t) 0 m x (t) = , ˙ p (t) −k 0 p (t) com condição inicial x (0) x0 = , p (0) p0 é dada por √ k k x (t) cos mt 1/ km sin mt x0 = √ p (t) k k p0 − km sin mt cos mt ou seja p0 k k x (t) = √ sin t + x0 cos t km m m √ k k p (t) = − x0 km sin t + p0 cos t m m Reobtemos assim a solução que já havíamos encontrado, agora resolvendo genuinamente um sistema de 1ª ordem no tempo.
- 50. 50 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS
- 51. Cap´tulo ı 3 Princípios Variacionais no Espaço de Fase 3.1 A ação como funcional e como função no espaço de fase • Na formulação Lagrangiana da Mecânica, o princípio dinâmico fundamental é de natureza variacional, e é dado pelo Princípio de Hamilton, já citado na página 17. A partir deste princípio físico fundamental, descobre-se as equações de movimento comparando o valor de S entre duas trajetórias muito próximas: e exigindo que em primeira ordem S seja o mesmo para os dois caminhos, i.e., ˆ tf ˆ tf δS = L (q + δq, q + δq, t) dt − ˙ ˙ L (q, q, t) dt = 0 , ˙ t0 t0 o que resulta nas equações de Euler-Lagrange, ∂L d ∂L − =0 ∂qi ˙ dt ∂qi • A notação S [q (t)] significa que S é um funcional, ou seja, uma operação que associa a um conjunto de funções qi (t) um número, que no caso é dado pela integral da definição acima. Compare com a notação para uma função: função f : número x → número f ( x ) ˆ funcional S : função q (t) → número Ldt 51
- 52. 52 CAPÍTULO 3. PRINCÍPIOS VARIACIONAIS NO ESPAÇO DE FASE Entendendo geometricamente: S [q (t)] associa a um dado caminho no espaço de configuração um nú- mero. • Nada nos impede de adotar outro ponto de vista: mantemos fixo o instante inicial t0 e o ponto inicial q0 , e fixamos também uma solução q (t) que satisfaz esta solução inicial. Variando o instante final t f , varia ´ o ponto final q t f , e também o valor da integral Ldt. Desta forma, podemos entender S como uma função do instante e configuração finais da trajetória considerada: S q f , t f . Note que é necessário explicitamente selecionar uma particular solução das equações de movimento, já que existem em princípio infinitas soluções q (t) tais que q (t0 ) = q0 . • No espaço de fase, que é o cenário adequado para o estudo do sistema na formulação Hamiltoniana, podemos também entender a ação como uma funcional para caminhos que ligam um ponto inicial até um ponto final. Usando o resultado anterior, e lembrando que H = ∑i pi qi − L, então obviamente ˙ podemos escrever ˆ tf S [q (t)] = t0 ∑ pi (q, q, t) qi − H (q, p (q, q, t) , t) ˙ ˙ ˙ dt i ∂L onde substituímos p por sua expressão em termos de q, q: pi = ∂qi (q, q, t). Contudo, não chegamos ˙ ˙ ˙ assim a um funcional legitimamente de q e p, que é o que deveríamos ter no espaço de fase, pois nesta construção o papel de q (t) e p (t) são obviamente diferenciados. • No espaço de fase, fixado um ponto inicial (q0 , p0 ) num instante inicial t0 , há somente uma solução (q (t) , p (t)) das equações dinâmicas satisfazendo tal condição inicial. Desta forma, bastando fixar a condição inicial, podemos calcular S integrando a expressão p q − H do ponto inicial fixado até um ˙ ponto final variável e, desta forma, podemos entender S como uma função do ponto final da trajetória: S = S (q, p, t) .
- 53. 3.1. A AÇÃOCOMO FUNCIONAL E COMO FUNÇÃO NO ESPAÇO DE FASE 53 Vamos agora comparar a ação calculada sobre dois caminhos no espaço de fase: a solução fixada con- forme acima, e um outro caminho próximo (que em geral não é solução das equações de movimento), tais que os pontos iniciais coincidem num dado instante inicial t1 , enquanto que os pontos finais diferem entre si num dado instante final t2 Pela definição de S: ˆ t2 ˆ t2 δS = L (q + δq, q + δq, t) dt − ˙ ˙ L (q, q, t) dt ˙ t1 t1 ˆ t2 ∂L ∂L = t1 ∑ ∂qi δqi + ∑ ∂qi δqi ˙ ˙ dt i i ˆ t2 ∂L d ∂L d ∂L = t1 ∑ ∂qi δqi + dt ∑ ∂qi δqi ˙ −∑ ˙ i dt ∂qi δq dt i i i ˆ t2 t2 ∂L d ∂L ∂L = t1 ∑ ∂qi − ˙ dt ∂qi δqi dt + ∑ ˙ i ∂ qi δq i i t1 Como o caminho original é uma solução das equações de movimento, o termo com a integral anula-se; como no instante inicial, δqi = 0, sobra ∂L δS = ∑ ∆qi i ˙ ∂ qi ∂L Mas, pela definição do momento canonicamente conjugado, pi = ∂ qi , ˙ logo δS = ∑ pi ∆qi i
- 54. 54 CAPÍTULO 3. PRINCÍPIOS VARIACIONAIS NO ESPAÇO DE FASE Note que não existe variação associada à ∆p. Isso significa que, na verdade, a função S (q, p, t) não depende dos momentos finais, ou seja, na realidade S = S (q, t) e o que acabamos de descobrir foi que ∂S = pi ∂qi • Da definição ˆ t S= Ldt t0 segue imediatamente pelo teorema fundamental do cálculo, dS =L dt Por outro lado, como S = S (q, t), dS ∂S ∂S dt = ∑ ∂qi qi + ˙ ∂t i comparando-se as duas últimas expressões: ∂S dS ∂S = −∑ qi = L − ∑ pi qi ˙ ˙ ∂t dt i ∂qi i percebemos que ∂S = −H ∂t • Em suma, mostramos que a função S = S (q, t) satisfaz ∂S ∂S dS = ∑ ∂qi dqi + ∂t dt i = ∑ pi dqi − H dt i sendo esta a diferença dS entre o valor da ação em dois pontos muito próximos, como na figura abaixo, à esquerda.
- 55. 3.2. O PRINCÍPIODE HAMILTON NO ESPAÇO DE FASE 55 Segue-se que, integrando-se ao longo da solução (q (t) , p (t)) considerada, temos ˆ ˆ S= dS = ∑ pi dqi − Hdt γ i onde agora entende-se que a integral é sobre a curva γ da figura da direita, que é o segmento da solução que une o ponto inicial ao ponto final considerado, no espaço de fase. Esta é portanto a definição que queríamos da ação como um funcional no espaço de fase. • Geometricamente, entendemos que S associa a cada caminho γ no espaço de fase, um número dado pelo ´ resultado da integral γ ( pdq − H dt). A notação empregada não deve confundir o leitor: a expressão acima significa que, uma vez dadas as funções qi (t) e pi (t) que parametrizam a curva γ considerada, basta substituir q e p por estas funções ˙ na integral, lembrando que dqi = qi (t) dt, ˆ tf S [q (t) , p (t)] = t0 ∑ pi (t) qi (t) − H (q (t) , p (t)) ˙ dt i 3.2 O Princípio de Hamilton no Espaço de Fase • O resumo de toda a discussão precedente é que podemos considerar a ação naturalmente como uma funcional no espaço de fase, ˆ tf S [q (t) , p (t)] = t0 ∑ pi (t) qi (t) − H (q (t) , p (t)) ˙ dt i • Se o espaço de fase é o cenário adequado para se tratar da dinâmica Hamiltoniana, deve ser possí- vel encontrar as equações canônicas de movimento a partir de um princípio variacional no espaço de fase. Realmente isto acontece. Considere um dado caminho q (t) , p (t) no espaço de fase e uma va- riação infinitesimal δq (t) , δp (t), ou seja, funções δqi (t) e δpi (t) que são bem comportadas, tais que |δqi (t)| , |δpi (t)| são pequenos para t ∈ t0 , t f , e δqi = δpi = 0 para t = t0 e t = t f Vamos então comparar o valor da ação entre os dois caminhos “próximos” no espaço de fase, como na figura.
- 56. 56 CAPÍTULO 3. PRINCÍPIOS VARIACIONAIS NO ESPAÇO DE FASE Temos: δS [q (t) , p (t)] =S [q (t) + δq (t) , p (t) + δp (t)] − S [q (t) , p (t)] ˆ ∂H ∂H = ∑ δpi qi + pi δqi − ˙ ˙ δqi − δpi dt i ∂qi ∂pi ˙ integrando por partes o termo pi δqi , ˆ ∂H ∂H δS [q (t) , p (t)] = ∑ δpi qi − pi δqi − ˙ ˙ ∂qi δqi − ∂pi δpi dt i t − pi δqi |t0f O último termo anula-se pois δqi se anula nos pontos inicias e finais, portanto: ˆ ∂H ∂H δS [q (t) , p (t)] = ∑ qi − ˙ ∂pi δpi − ˙ pi + ∂qi δqi dt i Exigindo que δS [q (t) , p (t)] = 0 para qualquer variação δq (t) , δp (t), devemos impor que os coeficientes entre parêntesis acima sejam identicamente nulos, o que fornece ∂H ∂H ˙ qi = ; pi = − ˙ ∂pi ∂qi Acabamos de mostrar, portanto, que a dinâmica no espaço de fase é dada pelo seguinte princípio varia- cional,
- 57. 3.3. O PRINCÍPIODE MAUPERTIUS 57 Princípio de Hamilton no Espaço de Fase Dado um estado inicial q (t0 ) = q0 , p (t0 ) = p0 e um estado final q t f = q f , p t f = p f de um dado sistema mecânico, de todas as curvas no espaço de fase que passam pelos estados iniciais e finais fixados, o caminho efetivamente seguido pelo sistema é aquele em que o valor da ação ˆ S= ∑ pi dqi − Hdt γ i é mínimo. • Note que, a rigor, na demonstração não precisamos usar que δpi = 0 nos extremos das trajetórias para chegar às equações de movimento. Desta forma, o princípio variacional poderia ser enunciado de forma mais geral, exigindo apenas as posições iniciais e finais fixadas, os diferentes caminhos podendo diferir nos valores dos momentos canonicamente conjugados nos instantes iniciais e finais. Não usufruímos desta liberdade pois ela não traz nenhum benefício ao formalismo, pelo contrário, ela conspira contra a simetria entre q e p que é a base da Mecânica Hamiltoniana. Ao se considerar o tópico das transformações canônicas, veremos que admitir este tipo de assimetria, ou seja, δqi = 0 mas δpi = 0 nos extremos, limitaria o leque de transformações de coordenadas disponíveis no formalismo Hamiltoniano, e impediria uma série de desenvolvimentos formais. 3.3 O Princípio de Maupertius • Historicamente, os princípios variacionais foram introduzidos na mecânica por Maupertius, que buscava dar um embasamento “teológico” para a mecânica: o universo buscaria sempre o “caminho ótimo”, que minimiza uma certa grandeza. O princípio variacional de Maupertius difere um pouco do Princípio de Hamilton, pois só é aplicável quando a função Hamiltoniana é igual à energia mecânica total e é uma constante de movimento, ou seja, se H (q, p) = E = constante • Considere dois caminhos no espaço de fase, tais que os pontos iniciais e finais coincidem. Não vamos exigir, contudo, que eles sejam percorridos no mesmo intervalo de tempo. Desta forma, é um tipo de variação diferente daquela considerada no Princípio de Hamilton.
- 58. 58 CAPÍTULO 3. PRINCÍPIOS VARIACIONAIS NO ESPAÇO DE FASE Lembrando da expressão que já encontramos para a variação dS devido a uma variação δt do instante final da trajetória, e de uma variação δqi da posição final, δS = ∑ pi δqi − Hδt i Neste caso, contudo, os pontos finais estão fixados, logo δqi = 0, e portanto, a diferença entre o valor de S para os dois caminhos considerados é δS = −H δt Lembrando agora que H = E, δS = − Eδt Por outro lado, ˆ ˆ δS = ∑ pi dqi − Hdt − ∑ pi dqi − Hdt γ1 i γ2 i ˆ =δ ∑ pi dqi − Eδt i comparando as duas expressões, vemos que ˆ δ ∑ pi dqi =0 i ´ • Embora a grandeza ∑i pi dqi tenha sido originalmente chamada de ação por Maupertius, vamos chamá- la de ação reduzida S0 para não confundir com a grandeza que aparece no princípio variacional de Hamil- ton. Desta forma, enunciamos o seu princípio variacional da seguinte maneira:
- 59. 3.3. O PRINCÍPIODE MAUPERTIUS 59 Princípio de Maupertius Dado um estado inicial q0 , p0 e um estado final q f , p f de um dado sistema mecânico, de todas as trajetórias no espaço de fase que passam pelos estados iniciais e finais fixados e que obedecem à lei de conservação da energia, H (q, p) = E = constante, o caminho efetivamente seguido pelo sistema é aquele em que o valor da ação reduzida ˆ S0 = ∑ pi dqi i é mínimo. Note que nenhuma referência é feita ao tempo neste princípio: as duas trajetórias não precisam passar pelos pontos iniciais e finais nos mesmos instantes. O Princípio de Maupertius pode ser útil quando queremos descobrir a forma das trajetórias no espaço de fase, sem necessariamente conhecer sua depen- dência explícita no tempo. • Note que a ação reduzida ˆ ∑ pi dqi i tem uma interpretação gráfica elementar: cada termo da soma é a área compreendida entre a curva do momento pi e o eixo das coordenadas no plano qi , pi , entre as posições iniciais e finais do movimento, como na figura abaixo. Princípio de Maupertius para uma partícula • Num caso de movimento unidimensional, a condição de conservação de energia fornece p2 + V (x) = E 2m
- 60. 60 CAPÍTULO 3. PRINCÍPIOS VARIACIONAIS NO ESPAÇO DE FASE o que imediatamente fixa p como função de x e E, p= 2m [ E − V ( x )] Neste caso, a ação reduzida escreve-se ˆ xf 2m [ E − V ( x )]dx x0 e neste caso não há variação admissível, já que só existe uma curva p ( x ) que é condizente com a conser- vação de energia. • Num caso geral de três dimensões, contudo, da conservação de energia temos (em coordenadas cartesi- anas) ∑ i p2 i + V ( x1 , x2 , x3 ) = E 2m que é uma relação que já não fixa univocamente p1 , p2 e p3 como funções de coordenadas. O que fazemos é reescrever esta condições em termos das velocidades 2 1 2 m ∑ xi ˙ + V ( x1 , x2 , x3 ) = E i Esta equação fornece uma relação entre as variações dxi e dt, que já não são independentes: 2 [ E − V ( x1 , x2 , x3 )] ∑ (dxi )2 = m dt i Esta relação deve ser levada em conta na definição de pi em termos de posições e velocidades: ∂L dx pi = =m i ˙ ∂ xi dt e portanto dxi ∑ pi dxi = ∑ m dt dxi i i 2 ∑ (dxi ) =m i dt = 2m [ E − V ( x1 , x2 , x3 )] ∑ (dxi )2 i 2 Mas ∑i (dxi ) não é mais que o elemento infinitesimal de comprimento da trajetória, ˆ S0 = 2m [ E − V ( x1 , x2 , x3 )]d , onde a integral é feita por qualquer caminho que leva do ponto inicial ao ponto final no plano x1 x2 (a conservação de energia já foi levada em conta ao se obter esta forma para S0 ).
- 61. 3.3. O PRINCÍPIODE MAUPERTIUS 61 • No caso particular de uma partícula livre, V = 0 e o princípio de Maupertius diz que √ ˆ √ S0 = 2mE d = 2mEL é mínimo, onde L é o comprimento da trajetória. Como massa e energia são constantes, o princípio de mínima ação reduzida reduz-se a um princípio de mínimo caminho: a distância percorrida do ponto inicial ao final deve ser mínimo. Como, no espaço Euclidiano, a menor distância entre dois pontos é por uma linha reta, segue que a trajetória de uma partícula livre é uma linha reta – resultado já bem conhecido. • É imediata a similaridade deste princípio com o princípio de Fermat da óptica geométrica: um raio de luz percorre sempre o menor caminho óptico entre os dois pontos considerados. A analogia se estende, obviamente, para o caso mais geral ˆ ˆ S0 = 2m [ E − V ( x1 , x2 , x3 )]d = F ( x1 , x2 , x3 ) d que corresponderia, por analogia, a um raio de luz propagando-se por um meio com coeficiente de refração variável. Estas similaridades entre óptica geométrica e mecânica clássica só podem ser percebidas no formalismo Hamiltoniano, e podem ser aprofundadas no estudo das transformações canônicas, que veremos mais adi- ante. Mais que uma curiosidade formal, é mais um exemplo do poder do formalismo Hamiltoniano em conectar diferentes áreas da física por um mesmo formalismo matemático. Desta forma, métodos de so- luções desenvolvidas para uma área podem ser aplicadas em outras áreas aparentemente não-correlatas, por exemplo.
- 62. 62 CAPÍTULO 3. PRINCÍPIOS VARIACIONAIS NO ESPAÇO DE FASE
- 63. Cap´tulo ı 4 Transformações Canônicas 4.1 Transformações de Coordenadas em Mecânica Lagrangiana • Uma das principais vantagens da formulação Lagrangiana da mecânica clássica é a liberdade de mudar coordenadas. Dada uma Lagrangiana L (q, q, t), sabemos que a dinâmica clássica é determinada pelo ˙ princípio de Hamilton, ˆ δ L (q, q, t) dt = 0 . ˙ Uma mudança de coordenadas é especificada por uma relação Qi = Qi (q, t) entre as velhas coordenadas q e as novas Q. Para estar bem definida, esta relação tem que ser invertível, ou seja, é possível escrever também qi = qi (Q, t) . Inserindo esta última relação em L (q, q, t), obtemos a nova Lagrangiana nas novas coordenadas, ou seja, ˙ ˆ ˙ ˙ ˙ L Q, Q, t = L q Q, Q, t , q Q, Q, t , t . ˙ ˙ A dinâmica descrita pela nova Lagrangiana L Q, Q, t é idêntica à do sistema original, já que o valor da ´ integral L (q, q, t) dt não é alterado por uma simples mudança de variáveis: ˙ ˆ ˆ L (q, q, t) dt = ˙ ˆ ˙ L Q (q, t) , Q (q, t) , t dt ou seja, as equações de Euler-Lagrange nas novas variáveis, ∂Lˆ d ∂L ˆ − =0 ∂Qi ˙ dt ∂ Qi descrevem as mesmas soluções que as equações de Euler-Lagrange das variáveis originais q. Para um caso concreto, reveja o exemplo 7 na página 15. 63
- 64. 64 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS 4.2 Transformações de Coordenadas em Mecânica Hamiltoniana • Na Mecânica Hamiltoniana, o número de coordenadas usadas para descrever o sistema é ampliado, in- cluindo coordenadas q e momentos p. Desta forma, temos em princípio mais liberdade para fazer mudan- ças de coordenadas, podendo trabalhar com novas coordenadas Q e novos momentos P. Em princípio, podemos adotar novas coordenadas que “misturam” as velhas coordenadas e momentos q e p: Qi = Qi (q, p, t) Pi = Pi (q, p, t) Veremos logo mais que qualquer mudança de coordenadas que pode ser feita no formalismo Lagran- giano, Qi = Qi (q, t), pode também ser feita no formalismo Hamiltoniano; por outro lado, como visto acima, existem possíveis transformações de coordenadas no formalismo Hamiltoniano que não são pos- síveis no formalismo Lagrangiano. Portanto, a passagem do espaço de configuração para o espaço de fase efetivamente aumenta a liberdade de se escolher coordenadas. Contudo, nem toda mudança de coordenadas no espaço de fase é adequada, pois algumas não preservam a estrutura Hamiltoniana da teoria. Veremos o que isso quer dizer por meio de um exemplo. Exemplo 19. Uma transformação “infeliz” • A Hamiltoniana do oscilador harmônico é dada por p2 ω2 2 H= + q 2 2 e as equações de movimento escrevem-se ∂H ˙ q= =p ∂p ∂H p=− ˙ = −ω 2 q ∂q • Considere a seguinte mudança de coordenadas: Q = q2 P = p3 Em termos das novas variáveis, o Hamiltoniano escreve-se ˆ 1 ω2 H = P2/3 + Q. 2 2 As equações de movimento podem ser reescritas em termos das novas variáveis: Q˙ ˙ Q = q2 ⇒ Q = 2qq ⇒ q = √ ˙ ˙ 2 Q ˙ P ˙ P = p3 ⇒ P = 3p2 p ⇒ p = ˙ ˙ 3P 2/3
- 65. 4.3. TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS 65 logo: √ ˙ q=p ˙ Q = 2 QP1/3 ⇒ √ . p = −ω 2 q ˙ ˙ P = −3ω 2 QP2/3 Estas são das equações diferenciais que descrevem as soluções do problema físico nas novas coordena- das. O problema é que estas equações não possuem a forma Hamiltoniana, já que ˆ ∂H 1 ˙ Q= = P ∂P 3 ∂Hˆ ω2 ˙ P=− =− ∂Q 2 o que não coincide com as equações encontradas nas novas variáveis. Em outras palavras: as equações de ˆ Hamilton para a Hamiltoniana H não descrevem a mesma dinâmica da Hamiltoniana original. • Dizemos que a mudança de variáveis de (q, p) para (Q, P) não preservou a estrutura Hamiltoniana do sistema. Embora nada nos impeça, na prática, de usar transformações de variáveis destes tipos para re- solver problemas particulares, elas não são adequadas do ponto de vista formal, para o desenvolvimento de métodos gerais para o estudo de sistemas Hamiltonianos. • Estamos interessados em transformações que preservam a estrutura Hamiltoniana do sistema; estas se- rão chamadas de transformações canônicas, e são definidas como segue: Transformações Canônicas Seja uma transformação de coordenadas no espaço de fase, Qi = Qi (q, p, t) Pi = Pi (q, p, t) A transformação é dita canônica se existir uma função Hamiltoniana K (Q, P, t), tal que as equações de movimento do sistema nas novas coordenadas possuem a forma Hamilto- niana, ˙ ∂K Q= ∂P ˙ ∂K P=− ∂Q 4.3 Transformações Canônicas • Queremos achar transformações de coordenadas Qi = Qi (q, p, t) Pi = Pi (q, p, t) e uma nova função Hamiltoniana K (Q, P, t), tal que as equações de movimento nas novas coordenadas tenham a forma Hamiltoniana. Para garantir a forma Hamiltoniana das equações de movimento, basta
- 66. 66 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS ˆ exigir que as soluções Q (t) , P (t) sejam mínimo de uma funcional ação S da forma ˆ ˆ S= ∑ Pi dQi − K (Q, P) dt , i pois já mostramos que tal princípio variacional conduz à forma Hamiltoniana das equações de movi- mento: ˙ ∂K Q= ∂P ˙ ∂K P=− . ∂Q Resta agora garantir que tais soluções Q (t) , P (t) correspondam às mesmas soluções q (t) , p (t) do pro- ˆ blema original. Para tanto, podemos exigir que S seja mínimo sempre que ˆ S= ∑ pi dqi − H (q, p) dt i for mínimo. Em outras palavras, podemos exigir que ˆ ˆ δS = δS ⇒ δ S − S = 0 onde δ é uma variação sobre qualquer caminho no espaço de fase. Escrevendo explicitamente, a condição que queremos impor é ˆ δ ∑ pi dqi − ∑ Pi dQi + [K (Q, P) − H (q, p)] dt =0 γ i i onde γ é uma curva qualquer no espaço de fase (q, p), e está subentendido na expressão acima que estamos considerando Q e P como funções de q e p. • Agora, notemos o seguinte: pode ser possível “inverter” a relação Qi = Qi (q, p, t) obtendo os velhos momentos como função de q e Q, pi = pi (q, Q, t) e, neste caso, podemos alternativamente considerar q e Q como coordenadas independentes, e p e P como funções de q e Q. Neste caso, a condição para a transformação de coordenadas ser canônicas é ˆ δ Γ ∑ pi dqi − ∑ Pi dQi + [K − H] dt =0 i i onde agora Γ é uma curva no plano (q, Q). Uma maneira de garantir a igualdade acima é se existir uma função F1 (q, Q, t) tal que dF1 = ∑ pi dqi − ∑ Pi dQi + [K − H] dt i i pois então teríamos ˆ δ dF1 (q, Q, t) = 0 Γ já que a integral seria igual à variação de F1 (q, Q, t) nos extremos do caminho Γ, e sempre exigimos δq = δp = 0 e δt = 0 (e, portanto, δQ = δP = 0) nos extremos do caminho.
- 67. 4.3. TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS 67 Em resumo, se existe uma função F1 (q, Q, t) tal que dF1 = ∑ pi dqi − ∑ Pi dQi + [K − H] dt i i então a mudança de variáveis considerada é canônica. Desta expressão é claro que ∂F1 ∂F1 pi (q, Q, t) = ; Pi (q, Q, t) = − ∂qi ∂Qi ∂F1 K (q, Q, t) = H (q, Q, t) + ∂t ∂F1 • Escritas estas relações, por pressuposto podemos “inverter” as relações pi (q, Q, t) = ∂qi obtendo Qi como função de (q, p, t), escrevendo assim a mudança de coordenadas desejada Qi = Qi (q, p, t) Pi = Pi (q, p, t) obtida a partir da função F1 . A nova Hamiltoniana K, obtida desta forma, é tal que as equações de movimento têm, por construção, a forma Hamiltoniana: ˙ ∂K Qi = ∂Pi ˙ ∂K Pi = − ∂Qi • Revertendo o raciocínio: dada qualquer função F1 (q, Q, t), define-se pelas fórmulas acima uma mudança de variáveis tal que as equações de movimento preservam a forma Hamiltoniana. Temos assim um procedimento que permite gerar muitas transformações canônicas; uma questão mais delicada, é claro, é encontrar as transformações canônicas que são úteis, que ajudem de alguma forma na resolução de problemas. Exemplo 20. A partícula livre • Seja a Hamiltoniana de uma partícula livre de massa m, p2 H= 2m • Considere a seguinte função m ( q − Q )2 F1 (q, Q, t) = 2t que, como discutido, fornece uma transformação canônica de variáveis, desde que ∂F1 m (q − Q) p= = ∂q t p ⇒ Q = q− t m
- 68. 68 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS e ∂F1 m (q − Q) P=− = ∂Q t mq mQ = − t t Usando a relação obtida anteriormente: mq m p P= − q− t = p t t m Em resumo, as novas variáveis com que estamos tratando são: p Q = q − mt P=p • A Hamiltoniana nas novas coordenadas é dada por ∂F1 K = H+ ∂t p2 m ( q − Q )2 = − 2m 2t2 p2 1 m2 ( q − Q )2 = − 2m 2m t2 p2 ou seja K=0 • Nas novas variáveis, a Hamiltoniana é constante igual a zero, o que significa que a dinâmica nas variáveis Q e P é trivial: ˙ ∂K Q= =0 ∂P ˙ ∂K P=− =0 ∂Q logo Q=α P=β onde α e β são constantes. • Voltando para as variáveis antigas: p=P=β e p β q = Q+ t = α+ t m m que é justamente a solução da partícula livre.
- 69. 4.3. TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS 69 • Observe o que foi conseguido neste exemplo: através de uma mudança de variáveis adequada, trans- formamos o problema que queremos resolver num problema de solução trivial. Encontrada a solução nas coordenadas transformadas, basta voltar para as variáveis antigas para se encontrar a solução do problema original. • There is no free lunch: obviamente, geralmente encontrar transformação canônica tão proveitosa como esta, num problema mais complicado, não é simples. A dificuldade de resolver o problema inicial transfere-se para a dificuldade de se obter a transformação canônica adequada. Em muitos casos, con- tudo, pode-se desenvolver uma teoria geral que permite procurar tais transformações resolvendo-se certa equação diferencial parcial, como veremos mais adiante. Outros tipos de transformações canônicas • Nosso desenvolvimento demandou que q e Q pudessem ser tratadas como coordenadas independentes; nem sempre isso é possível, por exemplo, a transformação identidade Q = q e P = p não satisfaz tal condição. Claramente, devem haver outros tipos de transformações canônicas. De fato, para perceber isso, basta considerar dF1 = ∑ pi dqi − ∑ Pi dQi + [K − H] dt i i e integrar por partes o termo Pi dQi , d ( F1 + PQ) = ∑ pi dqi + ∑ Qi dPi + [K − H] dt i i • Desta expressão, vemos que F1 + PQ é na verdade uma função de q e P; chamando de F2 (q, P, t) tal fun- ção, temos outro conjunto de relações que define uma transformação canônica a partir de tal F2 (q, P, t): ∂F2 ∂F2 pi (q, P, t) = ; Qi (q, P, t) = ∂qi ∂Pi ∂F2 K (q, P, t) = H (q, P, t) + ∂t ∂F2 e, por suposto, podemos “inverter” a primeira relação, pi (q, P, t) = ∂qi , obtendo P como função de q e p. Exemplo 21. A transformação identidade • Seja F2 (q, P, t) da forma F2 (q, P, t) = ∑ qi Pi i • Então: ∂F2 pi (q, P, t) = = Pi ∂qi ∂F2 Qi (q, P, t) = = qi ∂Pi e ∂F2 K = H+ =H ∂t ou seja, tal F2 gera a transformação identidade.
- 70. 70 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS Exemplo 22. Transformações de ponto • Chamam-se transformações de ponto aquelas em que definimos novas coordenadas em termos de velhas coordenadas e tempo, Qi = f i (q, t) Claramente, as funções f i devem ser tais que seja possível inverter a transformação, obtendo as velhas coordenadas em termos das novas, qi = gi (Q, t) São estas as mudanças de coordenadas permitidas dentro do formalismo Lagrangiano. Vamos mostrar que para toda transformação de ponto existe uma correspondente transformação canônica no espaço de fase, pro- vando que efetivamente o universo das mudanças de variáveis permitidas no formalismo Hamiltoniano é maior do que no formalismo Lagrangiano. • De fato, podemos encontrar uma F2 (q, P, t) que gera tal transformação: queremos que ∂F2 Qi = f i (q, t) = ∂Pi basta tomar: F2 (q, P, t) = ∑ fi (q, t) Pi i A partir de tal F2 (q, P, t), temos: ∂F2 ∂ fj pi = ∂qi = ∑ ∂qi Pj j Definindo a matriz: ∂F ∂ fj = ∂q ij ∂qi ou seja, ∂ f1 ∂ f2 ∂ fM ∂q1 ∂q1 ··· ∂q1 ∂ f1 ∂ f2 ∂F ∂q2 ∂q2 = ∂q . . .. . . ∂ f1 ∂ fM ∂q M ∂q M temos a relação matricial ∂F p= P ∂q ∂F Fica clara aqui a condição para que seja possível encontrar P em termos de q e p: a matriz ∂q deve ser inversível, de forma que ∂F −1 P= p ∂q Como a F2 considerada não depende do tempo, a Hamiltoniana K tem o mesmo valor da Hamiltoniana H, bastando fazer a substituição das coordenadas antigas pelas novas: ∂F2 K (Q, P, t) = H + ∂t = H (q (Q, P, t) , p (Q, P, t))
- 71. 4.3. TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS 71 • Note que tal transformação não é única: de fato, para satisfazer ∂F2 Qi = f i (q, t) = ∂Pi poderíamos também ter tomado F2 (q, P, t) = ∑ fi (q, t) Pi + F (q, t) i onde F (q, t) é uma função arbitrária. Neste caso, a definição dos novos momentos seria modificada já que ∂F2 ∂ fj ∂F pi = =∑ Pj + (q, t) ∂qi j ∂qi ∂qi e também a nova Hamiltoniana ∂F2 K (Q, P, t) = H + ∂t ∂F = H (q (Q, P, t) , p (Q, P, t)) + (q (Q, P, t) , t) ∂t Exemplo 23. A transformação “infeliz” da página 64 corrigida • Consideremos novamente a Hamiltoniana do oscilador harmônico, p2 ω2 2 H= + q 2 2 cujas equações de movimento escrevem-se ∂H ˙ q= =p ∂p ∂H p=− ˙ = −ω 2 q ∂q • Queremos considerar uma mudança de variável tal que as novas coordenadas sejam dadas por Q = q2 ou seja, ∂F2 Q= = q2 ⇒ F2 (q, P) = q2 P ∂P Note que poderíamos adicionar qualquer função F (q, t) a tal F2 , mas por simplicidade vamos considerar que F = 0. • Temos que ∂F2 p= = 2qP = 2 QP ∂q de forma que a transformação de coordenadas que estamos considerando agora é p Q = q2 ; P= 2q
- 72. 72 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS com inversa q= Q ; p=2 QP Destas últimas relações, obtemos: Q˙ q= √ ˙ 2 Q QP˙ p = √ + 2 QP ˙ ˙ Q e daí podemos diretamente reescrever as equações de movimento nas novas coordenadas: ˙ q = p ⇒ Q = 4QP ˙ ˙ ω2 p = −ω 2 q ⇒ P = −2P2 − ˙ 2 • Por outro lado, a Hamiltoniana nas novas coordenadas é dada por ω2 K = H = 2QP2 + Q 2 e por isso, as equações canônicas escrevem-se ˙ ∂H Q= = 4QP ∂P ˙ ∂H ω2 P=− =− − 2P2 ∂Q 2 mostrando que, efetivamente, a estrutura Hamiltoniana da teoria foi preservada pela transformação de coordenadas considerada. • Note que mesmo usando a mais geral F2 possível, F2 (q, P) = q2 P + F (q, t) jamais conseguiríamos obter a transformação “infeliz” que havíamos considerado, Q = q2 ; P = p3 já que ∂F2 ∂F p= = 2qP + (q, t) ∂q ∂q √ 3 e não há como obter p = P por qualquer escolha de F (q, t). Funções Geradoras • O resumo da história é que, para qualquer função da forma F1 (q, Q, t), ou F2 (q, P, t), está definida uma transformação canônica através das fórmulas dos quadros abaixo. Função F1 (q, Q, t) ∂F1 ∂F1 ∂F1 pi = ; Pi = − ; K = H+ ∂qi ∂Qi ∂t
- 73. 4.3. TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS 73 Função F2 (q, P, t) ∂F2 ∂F2 ∂F2 pi = ; Qi = ; K = H+ ∂qi ∂Pi ∂t Pode-se também encontrar fórmulas correspondentes para funções do tipo F3 (p, P, t) e F4 (p, Q, t). Como não iremos utilizá-las nos exemplos aqui discutidos, encontrá-las fica a cargo do estudante. • As funções Fi são chamadas de funções geradoras (“generating functions”, em inglês), já que o conheci- mento da forma funcional da Fi define univocamente uma transformação canônica. Temos assim uma versátil “fábrica” de transformações canônicas, bastando escolher diferentes formas para as funções Fi . • Este procedimento é uma receita que permite encontrar transformações canônicas, mas não garante que tais transformações sejam úteis para efetivamente resolver o problema físico considerado. Encontrar transformações úteis pode exigir bastante talento e experiência, e não é uma tarefa simples por princípio. Discutiremos mais adiante, contudo, a teoria de Hamilton-Jacobi, que fornece um método geral para construir transformações canônicas que são úteis para resolver problemas, desde que se consiga resolver uma certa equação diferencial parcial – o que por si não é tarefa fácil, mas que pode ser executada em determinadas situações. Exemplo 24. Uma transformação canônica instrutiva • Considere a seguinte função geradora F1 (q, Q, t): F1 (q, Q, t) = ∑ qi Qi i • A transformação canônica associada é obtida de: ∂F1 pi = = Qi ∂qi e ∂F1 Pi = − = − qi ∂Qi além disso, K=H pois F1 é independente do tempo. • Ora, a transformação canônica obtida Qi = pi ; Pi = −qi consiste basicamente em trocar coordenadas por momentos, deixando claro assim a simetria que existe, na Mecânica Hamiltoniana, entre coordenadas e momentos canonicamente conjugados. “Coordenadas” e “Momentos” são apenas nomes arbitrários atribuídos a pares de coordenadas que estão de alguma forma associadas (o tipo de associação ficará mais claro quando discutirmos os Parêntesis de Poisson) dentro do formalismo Hamiltoniano. Fica claro, também, porque sempre consideramos δq = δp = 0 nos extremos das trajetórias, ao con- siderar o princípio variacional no espaço de fase. Somente assim garantimos que todo o poder das transformações canônicas esteja disponível na teoria.
- 74. 74 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS
- 75. Cap´tulo ı 5 Parêntesis de Poisson Teorema de Liouville e de Poincaré A formulação da Mecânica Hamiltoniana vista até aqui é bastante geométrica, baseada em caminhos per- corridos pelo ponto representativo do sistema no espaço de fase conforme o tempo passa, e um princípio variacional que compara os valores de uma funcional chamada ação para diferentes caminhos, identificando aquele que corresponde à trajetória física do sistema. A Mecânica Hamiltoniana, contudo, também pode ser totalmente descrita em termos de uma estrutura algébrica que discutiremos brevemente neste capítulo: os parêntesis de Poisson. Esta formulação alternativa é muito importante principalmente para o estudo da mecânica quântica, como veremos, além de nos permitir obter alguns resultados particularmente interessantes: o Teorema de Liouville de Poincaré. 5.1 Parêntesis de Poisson • Considere uma função qualquer definida no espaço de fase, i.e., uma função F qualquer que pode de- pender de q, p e de t: F = F (q, p, t) A derivada total de F com respeito ao tempo, como já discutimos, tem duas partes: uma devida à dependência implícita em q (t) e p (t), outra devido à dependência explícita em t: ∂F ∂F ∂F F =∑ ˙ qi + ∑ ˙ ˙ pi + ; i ∂qi i ∂pi ∂t lembrando a forma das equações canônicas: ∂H ∂H ˙ qi = ; pi = − ˙ ∂pi ∂qi podemos escrever dF ∂F ∂H ∂F ∂H ∂F dt = ∑ ∂qi ∂pi − ∑ ∂pi ∂qi + ∂t i i 75
- 76. 76 CAPÍTULO 5. PARÊNTESIS DE POISSON TEOREMA DE LIOUVILLE E DE POINCARÉ Definição Dadas duas funções arbitrárias definidas no espaço de fase, e que podem também de- pender explicitamente do tempo, F = F (q, p, t) ; G = G (q, p, t) definimos o Parêntesis de Poisson entre F e G como ∂F ∂G ∂F ∂G {F , G} = ∑ − i ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi • Em termos do Parêntesis de Poisson, o resultado que obtivemos foi dF ∂F = {F , H} + dt ∂t ∂F em particular, se ∂t = 0, dF = {F , H} dt que entendemos como: a Hamiltoniana gera, via Parêntesis de Poisson, a mudança no tempo de uma função F do espaço de fase. • Um caso particular: se F = q ou F = p : q = {q , H} ˙ ∂q ∂H ∂q ∂H =∑ −∑ i ∂qi ∂pi i ∂pi ∂qi δ i 0 ∂H = ∂p p = { p , H} ˙ ∂p ∂H ∂p ∂H =∑ −∑ i ∂qi ∂pi i ∂pi ∂qi 0 δ i ∂H =− ∂q ou seja, reobtemos as equações canônicas de movimento a partir do Parêntesis de Poisson. • Outro caso particular: seja F uma função definida no espaço de fase que não depende explicitamente do F tempo ( ∂∂t = 0), então se {F , H} = 0 significa que F é uma constante de movimento, ou seja, dF = 0 ⇒ F é constante dt ao longo das soluções q (t) , p (t) do sistema físico considerado.
- 77. 5.1. PARÊNTESIS DEPOISSON 77 • Por fim, podemos calcular o Parêntesis de Poisson entre as próprias coordenadas do espaço de fase: ∂qi ∂q j ∂q ∂q j qi , q j = ∑ ∂q ∂p −∑ i ∂p ∂q =0 0 0 ∂pi ∂p j ∂p ∂p j pi , p j = ∑ ∂q ∂p −∑ i ∂p ∂q =0 0 0 ∂qi ∂p j ∂q ∂p j qi , p j = ∑ ∂q ∂p −∑ i ∂p ∂q = δij δi δj 0 Estes são os chamados Parêntesis de Poisson fundamentais. Propriedades dos Parêntesis de Poisson • Sejam F , G , O funções arbitrárias no espaço de fase, i.e., funções de q e p. Então podemos listar as seguintes propriedades do Parêntesis de Poisson Propriedades do Parêntesis de Poisson • Antisimetria: {F , G} = − {G , F } • Linearidade: {F , αG + O} = α {F , G} + {F , O} onde α é independente de q e p • Uma propriedade similar à “regra de Leibnitz”: {F , G O} = {F , G} O + {F , O} G • Identidade de Jacobi: {F , {G , O}} + {G , {O , F }} + {O , {F , G}} = 0 que podemos escrever sinteticamente como ∑ {F , {G , O}} = 0 cíclica • Todas estas propriedades, exceto à última, são demonstradas com facilidade pela definição do Parêntesis
- 78. 78 CAPÍTULO 5. PARÊNTESIS DE POISSON TEOREMA DE LIOUVILLE E DE POINCARÉ de Poisson. Por exemplo: ∂F ∂ ∂F ∂ {F , G O} = ∑ (G O) − ∑ (G O) i ∂qi ∂pi i ∂pi ∂qi ∂F ∂G ∂O ∂F ∂G ∂O =∑ O+G −∑ O−G i ∂qi ∂pi ∂pi i ∂pi ∂qi ∂qi ∂F ∂G ∂F ∂G ∂F ∂O ∂F ∂O = ∑ ∂qi ∂pi − ∑ ∂pi ∂qi O+ ∑ ∂qi ∂pi − ∑ ∂pi ∂qi G i i i i = {F , G} O + {F , O} G A prova da Identidade de Jacobi pode ser feita por via direta como acima, mas é bastante longa e tra- balhosa. Existem algumas demonstrações alternativas, mais sintéticas, na literatura, mas não vamos discuti-las. • As propriedades acima, notadamente a identidade de Jacobi, significam que os Parêntesis de Poisson satisfazem o que se chama de uma Álgebra de Lie. Talvez você já tenha visto, em cursos matemáticos, que álgebras de Lie estão naturalmente associados a grupos de simetria, e existe uma rica teoria matemática que explora suas propriedades: a Teoria de Grupos de Lie. O estudo de grupos e álgebras de Lie é funda- mental para uma compreensão profunda da noção de simetria na física, contudo está além do escopo da presente disciplina. 5.2 A Mecânica Hamiltoniana em Termos dos Parêntesis de Poisson • As propriedades algébricas dos Parêntesis de Poisson nos permitem uma formulação da Mecânica Ha- miltoniana que não faz referência a caminhos no espaço de fase ou princípios variacionais. Suponha que existe um espaço de fase, com coordenadas qi e pi satisfazendo os Colchetes de Poisson Fundamentais, qi , q j = pi , p j = 0 qi , p j = δij então a dinâmica da Mecânica Clássica é totalmente controlada por uma função Hamiltoniana H (q, p, t), da seguinte forma: para qualquer variável no espaço de fase F (q, p, t), a evolução no tempo de F é regida pela equação dF ∂F = {F , H} + ; dt ∂t em particular, para as próprias coordenadas da trajetória do sistema no espaço de fase, q = {q , H} ˙ ; p = { p , H} ˙ Exemplo 25. O Oscilador Harmônico isotrópico em 3D Suponha que exista um espaço de fase de seis dimensões, com coordenadas qi , pi , i = 1, 2, 3, tais que qi , q j = pi , p j = 0 qi , p j = δij
- 79. 5.2. A MECÂNICAHAMILTONIANA EM TERMOS DOS PARÊNTESIS DE POISSON 79 e que a Hamiltoniana que controla a dinâmica do sistema é p2 ω2 H=∑ i + ∑ q2 . i i 2 2 i Então as equações de movimento são: p2 ω2 q = {q , H} = ˙ q ,∑ i + ∑ q2 i i 2 2 i 1 ω2 =∑ q , p2 + ∑ i q , q2 i i 2 i 2 ω2 = ∑ { q , pi } pi + ∑ { q , qi } qi i i 2 δ i 0 =p p2 ω2 p = { p , H} = ˙ p ,∑ i + ∑ q2 i i 2 2 i 1 ω2 =∑ p , p2 + ∑ p , q2 i 2 i 2 0 1 =∑ p , p2 + ∑ ω 2 { p , q i } q i i 2 i 0 −δ i 2 = −ω q que são justamente as equações de movimento do oscilador harmônico. Note que não precisamos considerar explicitamente a forma do Parêntesis de Poisson em termos das deri- vadas parciais, mas apenas suas propriedades algébricas, para obter as equações de movimento. • De forma bastante geral, a existência de uma dinâmica Hamiltoniana é garantida: 1. pela existência de um espaço de fase com coordenadas qi , pi , onde pode-se definir um Parêntesis de Poisson que satisfaça as propriedades listadas anteriormente, bem como os parêntesis de Poisson fundamentais entre os qi e pi , qi , q j = pi , p j = 0 ; qi , p j = δij 2. e pela existência de uma função Hamiltoniana H (q, p, t) que controla a evolução temporal de qual- quer grandeza física. • Um espaço onde são satisfeitas as propriedades enumeradas acima são chamadas pelos matemáticos de variedades simpléticas. O que mostramos, assim, é que qualquer sistema físico terá sua dinâmica clássica controlada por uma função Hamiltoniana definida uma variedade simplética. Isto motiva os matemáti- cos a estudarem com profundidade as propriedades de tais espaços em geral, o que também está fora do escopo desta nossa disciplina.
- 80. 80 CAPÍTULO 5. PARÊNTESIS DE POISSON TEOREMA DE LIOUVILLE E DE POINCARÉ Notação Simplética • Já muitas vezes apontamos para o fato de que, em Mecânica Hamiltoniana, coordenadas qi e momentos pi são tratados em pé de igualdade, de forma que os nomes diferentes “coordenadas” para qi e “momentos” para pi apenas obscurecem esta igualdade. • O espaço de fase que descreve um determinado sistema físico tem dimensão necessariamente par, e a forma dos Parêntesis de Poisson fundamentais, qi , q j = pi , p j = 0 qi , p j = δij mostra que existem pares de coordenadas que são relacionadas por terem Parêntesis de Poisson não- nulo: {q1 , p1 } = 1 ; {q2 , p2 } = 1 ; etc Tais pares são chamados de “coordenadas canonicamente conjugadas”. Afora esta particularidade, gos- taríamos de considerar o conjunto das qi e pi e tratá-las como “coordenadas do espaço de fase”, sem fazer a distinção entre coordenadas e momentos. • Para tanto, vamos introduzir a seguinte notação: se a dimensão do espaço de fase é 2M, iremos usar coordenadas ηi , i = 1, . . . , 2M onde ηi = qi , i = 1, . . . , M e η M+i = pi , i = 1, . . . , M ou, na forma matricial: η1 q1 . . . . . . ηM qM η= η M +1 = p1 ∼ . . . . .. η2M pM • As equações canônicas de Hamilton podem ser convenientemente escritas de forma matricial, se intro- ∂H duzimos a seguinte notação para a matriz ∂ηi : ∂H ∂H ∂η1 ∂q1 . . . . . . ∂H ∂H ∂H ∂η M ∂q M = = ∂H ∂H ∂η ∂η M+1 ∂p1 ∼ . . . . . . ∂H ∂H ∂η2M ∂p M
- 81. 5.2. A MECÂNICAHAMILTONIANA EM TERMOS DOS PARÊNTESIS DE POISSON 81 então, claramente: 0 ··· 0 1 0··· 0 ˙ q1 ∂H ∂q1 . . . .. .. . . . . . . 0 0 0 . . ˙ qM . . ··· ∂H 0 ··· 0 . 1 = ∂q M ∂H ˙ p1 −1 0 ··· 0 0 0 ∂p1 . . .. . .. . . . . . . . . . 0 0 . . ∂H ˙ pM 0 ··· −1 0 · · · 0 ∂p M ou seja 0 ∂H ˙ η= · , ∼ − 0 ∂η ∼ onde O e são, respectivamente, a matriz nula e a matriz identidade M × M. • Definindo a matriz J, chamada de matriz simplética: 0 J= − 0 escrevemos as equações de Hamilton da forma compacta: Equações Canônicas de Movimento em Notação Simplética ∂H η = J· ˙ ∼ ∂η ∼ • A matriz simplética satisfaz algumas propriedades que podem ser facilmente verificadas: Dada a Matriz Simplética: 0 J= − 0 então valem as propriedades: 1. J2 = − 2. J T · J = J · J T = , ou seja, J T = J−1 = −J 3. det J = 1 • A notação simplética, mais que compactar a notação e tratar coordenadas e momentos em pé de igual- dade, também permite demonstrar de forma muito mais clara e simples vários resultados do formalismo. Podemos por exemplo reconhecer facilmente quando uma transformação de coordenadas é canônica ou
- 82. 82 CAPÍTULO 5. PARÊNTESIS DE POISSON TEOREMA DE LIOUVILLE E DE POINCARÉ não. Por simplicidade, vamos nos ater a transformações canônicas independentes do tempo. Como já vimos que ∂F K = H+ ∂t ∂F se a transformação canônica não depende explicitamente do tempo, ∂t = 0, o que significa que a função Hamiltoniana não é modificada pela transformação, ou seja K=H Suponha então uma transformação de coordenadas da forma Qi = Qi (q, p) Pi = Pi (q, p) que, escrita no formalismo simplético, corresponde simplesmente a trocar as coordenadas ηi por novas coordenadas ξ i η j , ou seja, ξ 1 ( ηi ) . . . ξ M ( ηi ) ξ =ξ η = ∼ ∼ ∼ ξ M + 1 ( ηi ) . . . ξ 2M (ηi ) Por definição, a transformação de coordenadas η → ξ é canônica se ela preserva a forma Hamiltoniana das equações de movimento, ou seja, se a derivada no tempo de ξ satisfizer: ∼ ˙ ∂H ξ = J· ∼ ∂ lembrando que a Hamiltoniana nas novas coordenadas é igual à Hamiltoniana de partida, i.e., K = H, neste caso. • Calculando explicitamente a derivada no tempo de ξ : ∼ ∂ξ i ˙ ξi = ∑ ∂ηj ηj ˙ i ou, em notação matricial, ˙ ξ = M·η ˙ ∼ ∼ onde introduzimos a matriz Jacobiana da transformação η → ξ , ∼ ∼ ∂ξ 1 ∂ξ 1 ∂ξ 1 ∂η1 ∂η2 ··· ∂η2M ∂ξ 1 .. . . ∂ξ i . . M= = ∂η2 ∂η j . . .. . . . . . ∂ξ 1 ∂ξ 2M ∂η2M ··· ∂η2M
- 83. 5.2. A MECÂNICAHAMILTONIANA EM TERMOS DOS PARÊNTESIS DE POISSON 83 ∂H Por outro lado, nas coordenadas de partida η sabemos a validade das Equações de Hamilton, η = J · ˙ ∂η , ∼ ∼ ∼ portanto, ˙ ∂H ξ = M·J· ∼ ∂η ∼ ∂H Agora, aplicando regra da cadeia nas derivadas ∂η : ∼ ∂H ∂H ∂ξ j ∂ηi = ∑ ∂ξ j ∂ηi j mas note que ∂ξ j = MT ∂ηi ij onde M T é a transposta da matriz Jacobiana, e portanto ∂H ∂H ∂H ∂η = ∑ MT ij ∂ξ j = MT · ∂ξ j ∼ ∼ • Em resumo, por cálculo direto encontramos que ˙ ∂H ξ = M · J · MT · ∼ ∂ξ ∼ logo, se queremos que nas novas coordenadas seja válida a forma Hamiltoniana das equações de movi- mento, devemos ter M · J · MT = J Com um pouco de trabalho algébrico, pode-se mostrar que esta condição é equivalente a MT · J · M = J Para tanto, lembramos que J T = J−1 = −J. Multiplicando a equação acima por M−1 e por J−1 , pela direita, obtemos M T · J = J · M −1 ⇒ M T = J · M −1 · J −1 Usando este resultado: M T · J · M = J · M −1 · J −1 · J · M = J · M −1 · M =J • Provamos assim o seguinte:
- 84. 84 CAPÍTULO 5. PARÊNTESIS DE POISSON TEOREMA DE LIOUVILLE E DE POINCARÉ Uma transformação de coordenadas η → ξ é canônica se e somente se a matriz Jacobiana ∼ ∼ da transformação, ∂ξ i Mij = ∂η j satisfizer M · J · MT = J ou, equivalentemente, MT · J · M = J • Um corolário imediato deste teorema, de que precisaremos logo mais, é o seguinte: Se a transformação η → ξ é canônica, então ∼ ∼ |det M| = 1 onde M é a matriz Jacobiana da transformação. A prova é imediata, usando as propriedades fundamentais do terminante: det M · J · M T = det J = 1 ⇒ det M det J det M T = 1 1 =det M ⇒ (det M)2 = 1 ⇒ |det M| = 1 • Notamos que o Parêntesis de Poisson pode também ser facilmente escrito em termos da notação simplé- tica. Começamos com, ∂F ∂G ∂F ∂G {F , G} = ∑ −∑ i ∂qi ∂pi i ∂pi ∂qi ∂F ∂G ∂F ∂G =∑ −∑ i ∂ηi ∂η M+i i ∂η M+i ∂ηi Com um pouco de prática, pode-se perceber que esta expressão pode ser escrita de forma matricial como: ∂F T 0 · · · 0 1 0 · · · 0 ∂G ∂ηi ∂ηi . .. .. . . . . 0 . . . 0 0 . . . ∂F . ∂G ∂η M 0 · · · 0 . · · · 1 ∂η M . ∂F ∂G M +1 − 1 0 · · · 0 0 0 ∂η M+1 ∂η . . . . .. . . .. . . . . 0 . 0 . . . ∂F ∂G ∂η2M 0 · · · −1 0 · · · 0 ∂η2M ou seja T ∂F ∂G {F , G} = ·J· ∂η ∂η ∼ ∼
- 85. 5.3. PARÊNTESIS DEPOISSON E TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS 85 • Um caso particular importante é quando F = η . Neste caso: ∂η =δ i ∂ηi e portanto, ∂G ∂G {η , G} = ∑ δ i J · = J · i ∂η ∂η ∼ i ∼ ou seja ∂G η, G = J· ∼ ∂η ∼ • Desta relação, podemos reescrever as Equações Canônicas de Movimento, ∂H η = J· ˙ ∼ ∂η ∼ em termos dos Parêntesis de Poisson: Equações Canônicas de Movimento em Notação Simplética ˙ η= η, G ∼ ∼ • Por fim, mostramos como a relação dF ∂F = {F , H} + dt ∂t obtida no começo da aula pode ser derivada de forma mais elegante usando a notação simplética: T dF ∂F ∂F = ˙ η+ dt ∂η ∼ ∂t ∼ T ∂F ∂H ∂F = ·J· + ∂η ∂η ∂t ∼ ∼ ∂F = {F , H} + ∂t 5.3 Parêntesis de Poisson e Transformações Canônicas • Usando a notação simplética, fica fácil provar um teorema muito importante, e que seria muito difícil de provar usando a notação tradicional: uma transformação canônica preserva a forma dos Parêntesis de Poisson.
- 86. 86 CAPÍTULO 5. PARÊNTESIS DE POISSON TEOREMA DE LIOUVILLE E DE POINCARÉ • Considere o Parêntesis de Poisson entre duas grandezas F = F (ηi ) e G = G (ηi ), T ∂F ∂G {F , G}η = ·J· ∂η ∂η ∼ ∼ onde deixamos explícito que estamos calculando as derivadas em termos das variáveis ηi : Considere agora uma transformação canônica de coordenadas, η → ξ . Sabemos que a matriz Jacobiana, ∼ ∼ ∂ξ i Mij = ∂η j satisfaz M · J · MT = J Substituindo η em termos de ξ (o que podemos fazer “invertendo” a relação ξ i = ξ i η j ), podemos ∼ ∼ escrever F e G como funções de ξ , ∼ F ξ =F η ξ ∼ ∼ ∼ e o mesmo para G . Podemos assim calcular o Parêntesis de Poisson entre F e G , agora nas novas coordenadas ξ , ∼ T ∂F ∂G {F , G}ξ = ·J· ∂ξ ∂ξ ∼ ∼ Lembre-se que já mostramos que ∂H ∂H = MT · ∂η ∂ξ ∼ ∼ e este resultado obviamente também vale para as funções F e G . Usando isso na definição de {F , G}η : T ∂F ∂G {F , G}η = ·J· ∂η ∂η ∼ ∼ T ∂F ∂G = MT · · J · MT · ∂ξ ∂ξ ∼ ∼ T ∂F ∂G = · M · J · MT · ∂ξ ∂ξ ∼ ∼ T ∂F ∂G = ·J· ∂ξ ∂ξ ∼ ∼ = {F , G}ξ
- 87. 5.3. PARÊNTESIS DEPOISSON E TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS 87 Parêntesis de Poisson são invariantes sob uma transformação canônica η → ξ , i.e., para ∼ ∼ quaisquer funções do espaço de fase F e G , vale que {F , G}η = {F , G}ξ • Este resultado nos permite uma nova caracterização útil para uma Transformação Canônica. Considere- mos uma transformação canônica Qi = Qi (q, p) Pi = Pi (q, p) Por definição, os Parêntesis de Poisson fundamentais nas novas coordenadas são dados por Qi , Q j ( Q,P) = Pi , Pj ( Q,P) =0 Qi , Pj ( Q,P) = δij onde ∂F ∂G ∂F ∂G {F , G}(Q,P) = ∑ ∂Qi ∂Pi ∑ ∂Pi ∂Qi − i i Agora, pelo recém provado teorema da invariância dos Parêntesis de Poisson, deve valer {F , G}(Q,P) = {F , G}(q,q) , onde {F , G}(q,q) é calculado como ∂F ∂G ∂F ∂G {F , G}(q,p) = ∑ −∑ i ∂qi ∂pi i ∂pi ∂qi escrevendo-se F e G como funções de (q, p) pela inversa da transformação canônica. Provamos assim o seguinte resultado: Uma transformação de coordenadas Qi = Qi (q, p) Pi = Pi (q, p) é canônica se e somente se Qi , Q j (q,p) = Pi , Pj (q,p) =0 Qi , Pj (q,p) = δij Exemplo 26. A transformação “infeliz” corrigida na página 71
- 88. 88 CAPÍTULO 5. PARÊNTESIS DE POISSON TEOREMA DE LIOUVILLE E DE POINCARÉ Considere a transformação canônica p Q = q2 ; P= . 2q Calculando os Parêntesis de Poisson com respeito às variáveis q, p, ∂Q ∂Q ∂Q ∂Q { Q, Q}(q,p) = − = 0, ∂q ∂p ∂p ∂q 0 0 igualmente para { P, P}(q,p) = 0. Já para { Q, P}(q,p) : ∂Q ∂P ∂Q ∂P { Q, P}(q,p) = − ∂q ∂p ∂p ∂q Mas: ∂Q ∂Q ∂P p ∂P 1 = 2q ; =0; =− 2 ; = ∂q ∂p ∂q 2q ∂p 2q e portanto 1 { Q, P}(q,p) = 2q × =1 2q como deveria ser, para uma transformação canônica. Transformações Canônicas Infinitesimais • Já mostramos, ao discutir funções geradoras, que a função F2 (q, P, t) = ∑ qi Pi i gera a transformação identidade. Somando a tal F2 uma função qualquer G (q, P, t) multiplicada por um parâmetro infinitesimal ε, portanto, devemos gerar uma transformação canônica próxima à identidade. De fato, considere F2 (q, P, t) = ∑ qi Pi + εG (q, P, t) i temos que ∂F2 ∂G pi = = Pi + ε (q, P, t) ∂qi ∂qi ou seja ∂G Pi = pi − ε (q, P, t) ∂qi e ∂F2 ∂G Qi = = qi + ε (q, P, t) ∂Pi ∂Pi ∂G ∂G Note, contudo, que P difere de p por um termo de ordem ε, e tanto ∂qi quanto ∂Pi aparecem já multipli- cados por ε nas expressões acima; isto significa que, em primeira ordem em ε, podemos substituir P por p, e escrever a transformação canônica infinitesimal como: ∂G Qi = qi + ε (q, p, t) ∂pi ∂G Pi = pi − ε (q, p, t) ∂qi
- 89. 5.3. PARÊNTESIS DEPOISSON E TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS 89 • Em notação simplética, escrevemos: ξ = η + δη ∼ ∼ ∼ com ∂G δη = εJ · ∼ ∂η ∼ Comparando com a expressão que já obtivemos para o Parêntesis de Poisson em coordenadas simpléti- cas, podemos escrever: Qualquer função G (q, p, t) gera uma transformação canônica infinitesimal ξ = η + δη com ∼ ∼ ∼ ∂G δη = ε J · = η , εG ; ∼ ∂η ∼ ∼ G é dita a função geradora da transformação infinitesimal. • Dado que a função G (q, p, t) é arbitrária, nada nos impede de tomar G como sendo a função Hamiltoni- ana H (q, p, t), e tomar ε como um intervalo de tempo infinitesimal, dt. Neste caso, obtemos δη = η , H dt = ε η dt ˙ ∼ ∼ ∼ ou seja, a transformação canônica considerada é qi (t) → qi (t) + δqi (t) = qi (t) + qi (t) dt ˙ e igualmente para pi (t); em resumo, temos: qi (t) → qi (t + dt) pi (t) → pi (t + dt) • Esta “transformação” não é mais do que a evolução temporal infinitesimal que leva as coordenadas do sistema no espaço de fase num instante determinado, até as coordenadas num instante imediatamente posterior. Antes de interpretar este resultado, vamos fazer um breve interlúdio... Interlúdio: visão ativa e passiva de uma transformação de coordenadas • Ao discutir a evolução temporal como uma Transformação Canônica, vale a pena relembrar a distin- ção entre a visão ativa e a visão passiva de uma transformação. São duas interpretações possíveis para uma mesma mudança de variáveis η → ξ . Matematicamente são equivalentes, mas em determinadas ∼ ∼ situações é mais natural considerar uma interpretação ou outra. • Em ambos os casos, imaginamos que temos um espaço no qual é possível adotar um determinado sis- tema de coordenadas. Por simplicidade, vamos considerar um sistema de coordenadas cartesiano global. Visão Passiva da Transformação
- 90. 90 CAPÍTULO 5. PARÊNTESIS DE POISSON TEOREMA DE LIOUVILLE E DE POINCARÉ • A visão passiva de uma transformação consiste no seguinte: temos um único ponto do espaço, que num sistema de coordenadas inicial tem coordenadas η . A mudança consiste em se adotar um novo sistema de ∼ coordenadas ξ , tal que o mesmo ponto passa a ser especificado por coordenadas diferentes em termos ∼ deste novo referencial. A figura anterior mostra como funciona esta transformação: o referencial ηi é transformado num novo referencial ξ i e, como consequência, as coordenadas que descrevem o mesmo ponto mudam. À direita, mostramos a situação como vista no novo referencial ξ i , onde fica claro que as coordenadas do ponto mudaram. Visão Ativa da Transformação • A visão ativa de uma transformação consiste em considerar o referencial fixo, e dizer que a posição do ponto é modificada. A mesma transformação da figura anterior seria entendida como na figura acima: os eixos coordenados novos e velhos são identificados, e a posição de cada ponto é modificada. Note que a posição final do ponto é a mesma que se vê no novo referencial, na figura anterior à direita; as duas transformações são portanto equivalentes, mas interpretadas de forma diferente.
- 91. 5.4. A EVOLUÇÃOTEMPORAL COMO TRANSFORMAÇÃO CANÔNICA 91 5.4 A Evolução Temporal como Transformação Canônica • Mostramos há pouco que a função Hamiltoniana gera a seguinte transformação canônica δη = η , H dt = ε η dt ˙ ∼ ∼ ∼ que implica em qi (t) → qi (t + dt) pi (t) → pi (t + dt) • Uma sucessão de transformações canônicas infinitesimais ainda é uma transformação canônica. Por- tanto, a evolução do sistema desde um instante t até qualquer instante posterior t + ∆t pode ser enten- dida como uma sucessão de transformações canônicas infinitesimais, e portanto é também uma transfor- mação canônica, ou seja, a transformação qi (t) → qi (t + ∆t) pi (t) → pi (t + ∆t) onde ∆t é um intervalo finito de tempo é uma transformação canônica. • Interpretando agora a transformação canônica como uma transformação ativa, o que estamos fazendo é levar as coordenadas η (t) de um ponto no espaço de fase até a nova coordenada η (t + ∆t), que corres- ∼ ∼ ponde justamente ao estado do sistema físico num instante posterior. Ou seja: a função Hamiltoniana gera uma transformação canônica que corresponde à evolução temporal do sistema físico considerado. Podemos reafirmar, portanto, literalmente, que a função Hamiltoniana é responsável por gerar a evolução temporal do sistema no espaço de fase. 5.5 Teorema de Liouville • O teorema de Liouville é outra importante propriedade de sistemas mecânicos que pode ser “descoberta” naturalmente na formulação Hamiltoniana. É um resultado particularmente importante na formulação da Mecânica Estatística, uma teoria que procura fundamentar a Termodinâmica a partir do comporta- mento médio dos numerosos componentes microscópicos que constituem qualquer sistema macroscó- pico.
- 92. 92 CAPÍTULO 5. PARÊNTESIS DE POISSON TEOREMA DE LIOUVILLE E DE POINCARÉ • Até agora, sempre consideramos o seguinte problema: dado um sistema físico, que num instante inicial tem seu estado representado por um determinado ponto η (t0 ) do espaço de fase, queremos encontrar o ∼ estado do sistema η (t) em qualquer instante t posterior. ∼ • Queremos trabalhar contudo numa situação em que não temos conhecimento perfeito sobre o estado do sistema. Considere por exemplo 1 mol (1023 ) moléculas de um certo gás contidas num recipiente de volume fixo, mantendo fixas temperatura e pressão. Em princípio, em dado instante de tempo t, pode- ríamos descrever o estado do sistema por um conjunto de 6 × 1023 coordenadas ηi . Em termos práticos, contudo, seria impossível obter as posições e velocidades iniciais das 6 × 1023 moléculas contidas no re- cipiente. E mesmo que as obtivéssemos, e tivéssemos computadores potentes o suficiente para resolver as 6 × 1023 equações de movimento resultantes, teríamos como resultado 6 × 1023 soluções ηi (t), e seria muito difícil tirar daí qualquer resultado útil sobre o comportamento do gás. O que realmente caracteriza o gás, num determinado instante do tempo, é um conjunto muito pequeno de grandezas, a saber: volume, temperatura e pressão, que são médias de determinadas grandezas micros- cópicas: por exemplo, a temperatura está associada à energia cinética média das moléculas, a pressão, à força média exercida sobre as paredes, etc... Fixadas V, T e P, existem muitos estados microscópicos η (t0 ) que diferem nas posições e velocidades de ∼ várias moléculas, e contudo fornecem os mesmos valores de V, T e P para o gás como um todo. Quando fixamos um estado macroscópico do gás (ou seja, fixamos V, T e P), estamos na verdade considerando um grande número de estados microscópicos que não podemos (e não queremos) distinguir entre si. • Somos levados naturalmente a considerar, assim, o que acontece com a evolução temporal de regiões do espaço de fase, ou seja, coleções de muitos pontos representando, por exemplo, os estados microscópios que correspondem a um mesmo estado macroscópico. Em particular, consideramos uma região A, como na figura. Podemos considerar cada ponto a (t0 ) em ∼ A como condição inicial para a dinâmica do sistema físico considerado, de forma que a Hamiltoniana do sistema H gera a evolução de a para a (t), onde t é um instante posterior fixado. Repetindo isso para ∼ ∼ cada ponto em A, obtemos uma nova região do espaço de fase, que chamamos A . Conforme vai passando o tempo, a região A vai evoluindo. Desta forma, quando pensamos em conjuntos de soluções ao invés de apenas uma solução, a evolução Hamiltoniana é representada por esta evolução da região A conforme o tempo vai passando. Pictoricamente, podemos entender esta evolução da seguinte forma: imagine que temos um fluxo de algum líquido incolor, e num dado instante do tempo “marcamos” uma região despejando tinta sobre ela. Conforme o tempo passa, a tinta vai sendo carregada pelo fluído, e a região “pintada” vai assim sendo
- 93. 5.5. TEOREMA DELIOUVILLE 93 arrastada e deformada pelo fluxo do fluído. Temos assim a representação da evolução Hamiltoniana como o fluxo de um fluído, onde cada partícula do fluído corresponderia à uma particular solução das equações canônicas de Hamilton. • O Teorema de Liouville, que vamos enunciar primeiro e depois provar, afirma que esta evolução Ha- miltoniana obedece às condições do fluxo de um fluído incompressível, i.e., o volume da região A não se modifica conforme o tempo passa. Teorema de Liouville Seja A uma dada região do espaço de fase, e seja A a região obtida de A pela evolução Hamiltoniana em um determinado intervalo de tempo ∆t. Então, o volume de A e de A são iguais, ou seja, a evolução Hamiltoniana preserva volume. Demonstração. Para provar o resultado, note que o volume de A é obtido pela integral ˆ Vol ( A) = dη1 · · · dη2M A A cada ponto (ηi ) de A, sejam ξ i (ηi , t) as coordenadas do ponto ao qual (ηi ) é levado pela evolução Hamilto- niana no instante final t considerado. Pensando no ponto de vista ativo, podemos pensar numa mudança de coordenadas ηi → ξ i ( ηi , t ) e um dos resultados fundamentais que encontramos é que tal transformação é canônica. O volume de A pode ser escrito, portanto, ˆ Vol A = dξ 1 · · · dξ 2M A O teorema de mudança de variáveis de uma integral múltipla, contudo, afirma que ˆ ˆ ∂ξ dξ 1 · · · dξ 2M = det dη1 · · · dη2M A A ∂η onde ∂ξ ∂ξ i = ∂η ij ∂η j é a matriz Jacobiana da transformação η → ξ . Como já mostramos, toda transformação canônica tem matriz ∼ ∼ Jacobiana com determinante de módulo 1, i.e., ∂ξ det =1 ∂η logo segue que ˆ ˆ dξ 1 · · · dξ 2M = dη1 · · · dη2M A A ou seja Vol ( A) = Vol A que é o Teorema de Liouville. • Analisando conjuntos de soluções no espaço de fase podemos chegar a outro resultado surpreendente, uma consequência imediata do Teorema de Liouville: o chamado Teorema de Recorrência de Poincaré.
- 94. 94 CAPÍTULO 5. PARÊNTESIS DE POISSON TEOREMA DE LIOUVILLE E DE POINCARÉ • Considere um sistema mecânico tal que o espaço de fase disponível para as soluções seja finito. Isto é tipicamente o caso para um sistema com o valor de energia mecânica fixada (finita). Por exemplo, para um oscilador harmônico 1 2 ω2 2 H= p + q 2 2 claramente a imposição H = E ≤ ∞ significa que q e p não podem tomar valores arbitrariamente grandes. Nenhuma solução do sistema pode, portanto, visitar regiões do espaço de fase que estejam fora de algum domínio D . Neste caso, temos o seguinte Teorema: Teorema de Recorrência de Poincaré Seja um sistema mecânico cujos estados ocupam uma região finita do espaço de fase. Então, dado qualquer estado inicial do sistema, existem estados próximos que voltarão a estar próximos do estado inicial num tempo finito. Demonstração. Vamos provar o teorema por absurdo, supondo que ele não é verdadeiro, ou seja: existe algum estado inicial e uma vizinhança U ⊂ D deste estado, tal que nenhum ponto de U retorna a U após um tempo finito. • Fixe um intervalo de tempo ∆t qualquer, e seja g a função que leva U até o resultado da evolução Ha- miltoniana de U pelo intervalo ∆t: ou seja, g (U ) é a região que contêm, no instante t + ∆t, todos os pontos que no instante t estavam em U . Aplicando sucessivas vezes a função g, estamos “tirando retra- tos” da evolução da região U em intervalos regulares de tempo ∆t. Se o teorema não é válido, significa simplesmente que todas as regiões gn (U ) são disjuntas, ou seja, não possuem pontos em comum. • Como o fluxo Hamiltoniano preserva volume, isto significa que a soma dos volumes das regiões U , g (U ) , g2 (U ) , · · · vai crescendo continuamente já que as regiões não se sobrepõem. Mas como o volume total de D é finito, o volume de U g (U ) g2 (U ) ··· ultrapassaria o volume de D após um número finito de aplicações de g, ou seja, após um tempo finito: isto é o absurdo, o que prova o Teorema de Recorrência. • Graficamente, temos a situação como na figura: como o volume disponível no espaço de fase é finito, a região U forçosamente volta a ter uma interseção não-nula consigo mesmo após um intervalo de tempo finito.
- 95. 5.5. TEOREMA DELIOUVILLE 95 • O Teorema de Recorrência de Poincaré, quando aplicado em considerações de Mecânica Estatística, pa- rece levar a absurdos: suponha um recipiente dividido por uma parede em dois sub-recipientes: um contendo gás ideal e outro vazio. Após retirar a parede interna, sabemos que o gás ocupa todo o volume disponível, e nunca mais volta a ocupar apenas a metade original do recipiente. Contudo, o teorema re- cém demonstrado implica que que o sistema deveria voltar a estados próximos do seu estado inicial após um tempo finito, ou seja, o gás deveria voltar a ocupar aproximadamente apenas a metade do recipiente. • Este tipo de consideração foi usado para criticar a formulação da Mecânica Estatística, que tomava por base a mecânica clássica para descrever a evolução das partículas que compõem o gás (a mecânica quân- tica ainda não havia sido descoberta). O Teorema de Recorrência de Poincaré parecia descrever um comportamento quase cíclico do sistema microscópico, que obviamente não estava de acordo com as observações experimentais. • A solução deste dilema está na real dimensão do tempo finito do teorema: Boltzmann calculou o tempo de 18 recorrência para um gás de 1018 partículas, ocupando um volume de 1cm3 como sendo de 1010 segun- dos, o que é inconcebivelmente maior que a idade do universo conhecido, da ordem de 1017 segundos. Este tipo de intervalo de tempo pode ser completamente descartado nas considerações da Mecânica Es- tatística. Nos intervalos de tempo que nos são acessíveis, nunca observamos a Recorrência de Poincaré.
- 96. 96 CAPÍTULO 5. PARÊNTESIS DE POISSON TEOREMA DE LIOUVILLE E DE POINCARÉ
- 97. Cap´tulo ı 6 Teoria de Hamilton-Jacobi 6.1 Teoria de Hamilton-Jacobi • Já mostramos que a partir de uma função geradora da forma F2 (q, P, t), função das velhas coordenadas e dos novos momentos, encontramos uma transformação canônica de coordenadas por meio das fórmulas ∂F2 (q, P, t) ∂F2 (q, P, t) ∂F2 pi = ; Qi = ; K = H+ ∂qi ∂Pi ∂t onde devemos “inverter” a primeira equação para obter uma expressão para os novos momentos P em termos das velhas coordenadas q e velhos momentos p. • Vamos discutir agora um método sistemático para encontrarmos uma função geradora adequada, ou seja, que simplifique a resolução do problema. Vamos usar uma função geradora do tipo F2 , mas para concordar com a notação usual da Teoria de Hamilton-Jacobi, vamos chamar esta função de S (q, P, t)1 . • Suponha que encontremos uma função S (q, P, t) tal que, nas novas variáveis, a Hamiltoniana do pro- blema é identicamente nula, K=0 então as equações de movimento nas novas variáveis são triviais, ˙ Qi = 0 ⇒ Qi = β i ˙ Pi = 0 ⇒ Pi = αi onde αi e β i são constantes que devem ser encontradas das condições iniciais do problema. Como Pi resulta ser constante, na verdade a função S depende apenas das velhas coordenadas e do tempo: S = S (qi , t; αi ) • A passagem da solução nas variáveis Qi , Pi para as variáveis qi , pi dá-se da seguinte maneira: temos que ∂S ∂S pi = ; Qi = ∂qi ∂Pi Como as novas coordenadas são constantes, a segunda equação implica ∂S βi = (qi , t; αi ) ∂αi 1 Note que a letra S é justamente usada para denotar a ação; esta repetição não é acidental, mas não iremos discutir este ponto em maiores detalhes nestas aulas. O leitor interessado pode consultar qualquer livro da bibliografia do curso a este respeito. 97
- 98. 98 CAPÍTULO 6. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI de onde encontramos qi = qi ( αi , β i , t ) uma vez fixadas αi e β i pelas condições iniciais, encontramos assim qi como função de t. Inserindo qi (t) na 1ª equação, por sua vez, encontramos pi = pi ( αi , β i , t ) de forma que obtemos a solução completa do problema, desde que, é claro, efetivamente consigamos encontrar tal função S que faça K = 0, ou seja, ∂S K = H (q, p, t) + =0 ∂t ∂S Como pi = ∂qi , podemos escrever ∂S ∂S H qi , ,t + =0 ∂qi ∂t lembrando que S = S (q, t). Esta é chamada de Equação de Hamilton-Jacobi. Trata-se de uma equação diferencial parcial para a função S, que se resolvida nos fornecerá a solução do problema seguindo o procedimento delineado acima. Exemplo 27. A Partícula Livre Unidimensional • A Hamiltoniana original do problema é p2 H (q, p) = 2m • A equação de Hamilton-Jacobi escreve-se: ∂S ∂S H qi , ,t + = ∂qi ∂t 2 1 ∂S ∂S = + =0 2m ∂q ∂t • Uma solução desta equação pode ser encontrada por separação de variáveis, ou seja, tentamos o ansatz: S (q, t) = W (q) + T (t) que, introduzido na equação de Hamilton-Jacobi, fornece 2 1 dW dT =− 2m dq dt O lado esquerdo desta equação é função somente de q, enquanto que o lado direito é função somente de t; a única forma da igualdade ser mantida é se ambos forem iguais a uma constante, 2 1 dW dT =− =α 2m dq dt Portanto: dT − = α ⇒ T = −αt + s1 dt
- 99. 6.1. TEORIA DEHAMILTON-JACOBI 99 e 1 dW 2 dW √ √ =α⇒ = 2mα ⇒ W = 2mαq + s2 2m dq dq onde α, s1 e s2 são constantes. Note, contudo, que uma constante aditiva em S é irrelevante, já que S sempre aparece com derivadas nas equações que definem as coordenadas como funções do tempo. Temos então: √ S (q, t) = 2mαq − αt • Uma vez encontrada S, usamos que ∂S m β= (q, α, t) ⇒ β = q−t ∂α 2α ou seja 2α q= ( β + t) m Por outro lado, ∂S √ p= ⇒ p = 2mα ∂q Concluímos: 2α q= ( β + t) m √ p = 2mα • Considerando agora as condições iniciais: √ p2 0 p ( t0 ) = p0 ⇒ p0 = 2mα ⇒ α = 2m 2α p0 ⇒ q= ( β + t) = ( β + t) m m e p0 q0 q ( t0 ) = q0 ⇒ q0 = ( β + t ) ⇒ β = m − t0 m p0 daí, encontrados α e β em termos das condições iniciais q0 , p0 , ficamos com p0 q = q0 + ( t − t0 ) m p = p0 que é justamente a solução da partícula livre.
- 100. 100 CAPÍTULO 6. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI Integral completa da Equação de Hamilton-Jacobi • A solução de equações diferenciais parciais é em princípio bastante mais complexa do de equações di- ferenciais ordinárias, mesmo assim, existem várias técnicas matemáticas que permitem resolver muitos casos importantes. Nesta seção, vamos discutir um método em particular que é suficiente para tratar a Equação de Hamilton-Jacobi, o chamado método da integral completa. • Se o espaço de fase tem dimensão 2M, então S (q, t) é função de M + 1 variáveis, os qi e t. A equação de Hamilton-Jacobi, ∂S ∂S H qi , ,t + =0 ∂qi ∂t é uma equação de 1ª ordem envolvendo derivadas com respeito a estas M + 1 variáveis. Por similaridade ao que acontece com equações diferenciais ordinárias, seríamos tentados a dizer que deve haver uma solução geral desta equação, envolvendo M + 1 constantes indeterminadas. A questão é mais delicada, contudo, ao percebermos que a equação de Hamilton-Jacobi é tipicamente não-linear. Ademais, mesmo se encontrarmos uma solução S envolvendo M + 1 constantes a determinar, esta não será uma solução geral: podem haver outras soluções que não se podem obter desta por escolhas adequadas das constantes M + 1. Isto devido ao fato de estarmos lidando com uma equação diferencial parcial, ao invés de uma EDO. • Embora uma “solução geral” para S envolvendo M + 1 constantes não é “geral” no sentido exato, ainda assim vamos mostrar que encontrar tal solução é suficiente para resolver o problema mecânico que es- tamos considerando. Na verdade, como S sempre aparece na equação com derivadas, uma das M + 1 constantes será sempre aditiva: ou seja, se S é solução, S + α também será solução, se α for constante. Esta constante aditiva é irrelevante para o problema, e portanto pode ser descartada: ficamos assim como uma solução S = S ( qi , αi , t ) dependendo de M constantes arbitrárias αi . Tal solução é chamada de integral completa se satisfaz a seguinte condição: Definição Uma solução S (qi , αi , t) envolvendo M constantes arbitrárias não-aditivas é chamada de integral completa da Equação de Hamilton-Jacobi se ∂2 S det =0 ∂qi ∂α j • O Teorema de Jacobi garante que, uma vez encontrada uma integral completa da Equação de Hamilton- Jacobi, encontramos a solução do problema mecânico considerado. Teorema de Jacobi Dada uma integral completa S (qi , αi , t) da Equação de Hamilton-Jacobi, então as equa- ções ∂S ∂S βi = ( qi , αi , t ) ; pi = ( qi , αi , t ) ∂αi ∂qi definem implicitamente uma solução qi = qi ( αi , β i , t ) ; pi = pi ( αi , β i , t ) das equações canônicas de movimento.
- 101. 6.1. TEORIA DEHAMILTON-JACOBI 101 ∂S Demonstração. Para provar o teorema, derivamos β i = ∂αi com respeito ao tempo, lembrando que β i é cons- tante ∂2 S ∂2 S βi = ∑ ˙ ˙ qj + =0 j ∂αi ∂q j ∂αi ∂t ∂2 S ∂2 S ⇒ = −∑ ˙ qj ∂αi ∂t j ∂αi ∂q j ∂S Por outro lado, como pi = ∂qi (qi , αi , t), podemos escrever a Equação de Hamilton-Jacobi como ∂S H ( qi , pi ( qi , αi , t ) , t ) + =0 ∂t Derivando parcialmente com respeito a αi : ∂H ∂p j ∂2 S ∑ ∂p j ∂αi + ∂t∂αi =0 j 2 2 ∂2 S Lembrando que derivadas parciais comutam, i.e., ∂t∂αi = ∂αiS , podemos substituir ∂ S ∂ ∂t ∂t∂αi pelo que encontramos anteriormente, e como ∂p j ∂2 S = ∂αi ∂αi ∂q j obtemos ∂2 S ∂H ∑ ∂αi ∂q j ∂p j − qj ˙ =0 j 2 ∂ S Como det ∂αi ∂q j = 0, a única solução possível desta equação é ∂H ˙ qj = ∂p j ∂S Por outro lado, derivando pi = ∂qi com respeito ao tempo: ∂2 S ∂2 S ˙ pi = ∑ ∂qi ∂q j q j + ∂qi ∂t ˙ j e derivando a Equação de Hamilton-Jacobi com respeito a qi : ∂H ∂H ∂p j ∂2 S +∑ + =0 ∂qi j ∂p j ∂qi ∂t∂qi ∂2 S ∂H ∂ H ∂2 S ⇒ =− −∑ ∂t∂qi ∂qi j ∂p j ∂qi ∂q j logo ∂2 S ∂H ∂H ˙ pi = ∑ ∂qi ∂q j qj − ˙ ∂p j − ∂qi j =0 Concluímos, assim, que qi e pi satisfazem ∂H ∂H ˙ qj = ; pi = − ˙ ∂p j ∂qi que são justamente as equações canônicas de movimento. Está provado assim o Teorema de Jacobi.
- 102. 102 CAPÍTULO 6. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI • A importância do Teorema de Jacobi está em mostrar que basta encontrar uma solução particular envol- vendo M constantes arbitrárias não-aditivas, para encontrar a solução do problema considerado. Não precisamos abordar o problema de encontrar todas as soluções da Equação de Hamilton-Jacobi, o que em princípio é uma questão bem mais complexa. Sistemas Conservativos • Se H não depende explicitamente do tempo, a Hamiltoniana é uma grandeza conservada. Nestes casos, a equação de Hamilton-Jacobi escreve-se ∂S ∂S H qi , + =0 ∂qi ∂t • Então uma possível integral completa para S terá a forma S ( q i , α i , t ) = W ( q i , α 1 , . . . , α M −1 ) − α M t onde α M é uma das M constantes arbitrárias da integral primeira, ou seja, W depende de M − 1 constan- tes arbitrárias. • De fato, substituindo esta expressão na equação de Hamilton-Jacobi, como ∂S ∂W = ∂qi ∂qi encontramos uma equação que só envolve W: ∂W H qi , = αM ∂qi chamada de equação de Hamilton-Jacobi independente do tempo. • Em muitos casos de interesse físico, vimos que a Hamiltoniana corresponde à Energia Mecânica total do sistema, ou seja, H = E. Nestes casos, a constante α M pode ser identificada com a Energia Mecânica Total. Em resumo: Quando a Hamiltoniana não depende explicitamente do tempo e é igual à Energia Mecânica Total E, uma integral completa da equação de Hamilton-Jacobi pode ser encontrada da forma S (qi , t) = W (qi ) − Et onde W (qi ) é uma função que depende de M − 1 constantes arbitrárias não-aditivas, e satisfaz a equação ∂W H qi , =E ∂qi Exemplo 28. O Oscilador Harmônico • A Hamiltoniana do problema é p2 ω2 2 H= + q 2 2
- 103. 6.1. TEORIA DEHAMILTON-JACOBI 103 • Claramente, estamos numa situação em que podemos usar a equação de Hamilton-Jacobi independente do tempo. Ou seja, para encontrar a integral primeira S (q, α, t) que depende de uma constante arbitrária, vamos supor que S (q, t) = W (q) − Et onde a constante arbitrária foi identificada com a energia E, e W satisfaz ∂W H q, =E ∂q 2 1 ∂W ω2 2 ⇒ + q =E 2 ∂q 2 onde W não depende de nenhuma constante arbitrária. • Desta última equação encontramos, imediatamente, ∂W = 2E − ω 2 q2 ∂q logo ˆ W= 2E − ω 2 q2 dq Note que teríamos uma constante arbitrária aditiva aqui, que podemos descartar como já foi observado anteriormente. • Optando por não efetuar a integral em q por enquanto, podemos escrever ˆ S (q, t) = 2E − ω 2 q2 dq − Et que é a integral completa do problema. Encontramos q (t) através de ∂S β= ∂E ˆ ∂ ⇒β= 2E − ω 2 q2 dq − t ∂E ˆ dq = −t 2E − ω 2 q2 ˆ 1 dq = √ −t 2E 2 1 − ω q2 2E • Consultando uma tabela de integrais: ˆ √ dq 2E ω = arcsin √ q 1− ω2 2 ω 2E 2E q
- 104. 104 CAPÍTULO 6. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI • Portanto: 1 ω β= arcsin √ q −t ω 2E ω ⇒ arcsin√ q = ω (t + β) 2E √ 2E ⇒ q (t) = sin [ω (t + β)] ω que é a conhecida solução do oscilador harmônico. 6.2 A Equação de Hamilton-Jacobi e a Óptica Geométrica • Hamilton descobriu uma similaridade surpreendente entre a dinâmica de um sistema mecânico e a óp- tica geométrica. Para encontrar esta conexão, vamos considerar o movimento de uma partícula sob ação de um dado potencial, descrito em coordenadas cartesianas x, onde x = ( x1 , x2 , x3 ). Neste caso, a Ha- miltoniana será da forma 1 2m ∑ i H ( x, p) = p2 + V ( x ) i e podemos encontrar uma integral completa da forma S ( x, t) = W ( x ) − Et onde a função W satisfaz 2 1 ∂W 2m ∑ ∂xi + V (x) = E i Em termos do gradiente W, temos ( W )2 = 2m ( E − V ( x )) • Dada uma função S ( x, t), fixamos o tempo t e consideramos a equação S ( x, t) = C onde C é uma constante. Supondo S uma função suficientemente bem comportada, tal equação define uma superfície no espaço. Para um valor de t diferente, temos em geral uma superfície diferente, como na figura.
- 105. 6.2. A EQUAÇÃODE HAMILTON-JACOBI E A ÓPTICA GEOMÉTRICA 105 Assim, a equação S ( x, t) = C define uma família de superfícies no espaço tridimensional, parametrizada pelo tempo t. • Pode-se ver facilmente que o gradiente W é perpendicular às superfícies de S ( x, t) constante: De fato, por definição, a diferença entre o valor de W em dois pontos próximos, separados pelo vetor infinitesimal dr = (dx1 , dx2 , dx3 ) é dS = ( S) · dr = ( W ) · dr contudo, se dr é tangente à superfície de S ( x, t) constante, como na figura, temos que dS = 0 o que significa que ( W ) · dr = 0 sempre que dr for tangente à superfície – logo, W é um vetor perpendicular à superfície de S ( x, t) constante. • Em cada instante de tempo, o momento linear é um vetor com componentes ∂S ∂W pi = = ∂xi ∂xi ou seja p= W E acabamos de descobrir que W é sempre perpendicular às superfícies de S constante. Isto significa que se pensamos na família de superfícies definida por S ( x, t) = C conforme t vai variando, a partícula move-se de forma a estar sempre perpendicular a tais superfícies, como nas linhas tracejadas da figura:
- 106. 106 CAPÍTULO 6. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI Exemplo 29. Um caso trivial Suponha, por exemplo, que a função S (r, t) seja dada por S (r, t) = r2 − ct então a equação S (r, t) = C define uma esfera centrada na origem, com raio C + ct. As trajetórias das partículas correspondentes seriam as curvas que são sempre perpendiculares a tais superfícies – ou seja, linhas radiais partindo da origem. • Esta construção lembra a noção de raios de luz, que são também perpendiculares às frentes de onda que emanam de qualquer fonte luminosa. Na óptica, as frentes de onda são superfícies de fase constante que evoluem no tempo. Ao passar de um meio para outro, as frentes de ondas são deformadas, e consequen- temente o raio de luz muda de direção. Abaixo, a construção de Huygens para a explicação da refração da luz a partir das frentes de onda.
- 107. 6.2. A EQUAÇÃODE HAMILTON-JACOBI E A ÓPTICA GEOMÉTRICA 107 • Poderíamos imaginar, desta analogia, que a trajetória da partícula estaria associada a algum processo ondulatório fictício, cuja fase é dada pelo valor de S. Se tal fosse verdade, poderíamos calcular a velocidade desta “onda fictícia” que está associada ao movimento da partícula, como se segue: considere a superfície S ( x, t) = C em dois instantes próximos de tempo, como na figura: • Sendo dS a diferença entre o valor de S entre os pontos P e P , temos dS = 0 por definição. Por outro lado, como S = W − Et, dW − Edt = 0 e, como já vimos que ( W )2 = 2m ( E − V ( x )) podemos escrever dW = ( W ) · ds = | W | ds = 2m ( E − V ( x ))ds e dW 2m ( E − V ( x )) dt = = ds E E
- 108. 108 CAPÍTULO 6. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI Daí, a velocidade da frente de onda é ds E u= = dt 2m ( E − V ( x )) • Ora, tomando por exemplo o caso de uma partícula livre v2 E=m ; V=0 2 temos 2 mv 1 u= √ 2 = v m2 v2 2 ou seja, as frentes de onda não se movem com a mesma velocidade da partícula. Em princípio parece difícil dizer que efetivamente existe algum processo ondulatório real que está associado ao movimento da partícula. Esta dificuldade em particular pode ser resolvida usando-se o conceito de pacotes de onda (este é um conceito geralmente discutido em cursos elementares de Mecânica Quântica, e foge do escopo de nossa discussão). • Outra dificuldade é a seguinte: na propagação de ondas, existem fenômenos como interferência e difração, que são típicos fenômenos ondulatórios. Por exemplo, uma onda encontrando um anteparo onde existem dois furos (S2) vai gerar uma figura de interferência num 2º anteparo (F), uma figura de máximos e mínimos. A distância entre máximos e mínimos é da ordem de λ/d, onde d é a distância entre os dois furos. Contudo, no movimento de partículas, tal figura de interferência não se forma: num experimento similar, envolvendo balas de um rifle, cada bala passa ou por furo ou pelo outro, e mesmo considerando a distribuição estatística de várias balas não encontramos nenhuma figura de interferência.
- 109. 6.3. A TEORIADE HAMILTON-JACOBI E A MECÂNICA QUÂNTICA 109 Para resolver esta dificuldade, podemos pensar no limite da óptica geométrica: quando o comprimento de onda λ tende a zero, os efeitos de interferência e difração são suprimidos, e vale a óptica geométrica de Newton. Poderíamos assim “salvar” esta noção ondulatória subjacente à Mecânica Hamiltoniana, entendendo-a como o limite de comprimento de onda muito curto de alguma teoria ondulatória. • Na época de Hamilton, contudo, não havia qualquer indicação experimental que favorecesse a busca por uma teoria ondulatória do movimento. Por isto, esta analogia ficou quase que como uma curiosidade teórica. Como você deve saber, esta situação mudou no começo do século XX, quando efetivamente começou a se descobrir certos comportamentos ondulatórios associados a elétrons, por exemplo. 6.3 A Teoria de Hamilton-Jacobi e a Mecânica Quântica • No começo do século XX, Einstein mostrou que a emissão/absorção da luz se comportava de forma quantizada. Mais concretamente, a luz de frequência ν se comportaria em algumas situações como com- posta por partículas de energia E = hν onde h é a constante de Planck. Por outro lado, Louis de Broglie conjecturou que partículas como o elétron também deveriam ter uma natureza ondulatória, associando a uma partícula de momento p um comprimento de onda da ordem h λ= p • No começo de 1926, Erwin Schrödinger apresentou um seminário em Zurique, sobre a proposta de de Broglie; após o seminário, um estudante da plateia comentou que, se havia uma onda associada ao elé- tron, esta deveria obedecer uma Equação de Onda. Nas semanas seguintes a este seminário, Schrödinger encontrou a Equação de Onda, conhecida hoje como equação de Schrödinger. Sua principal inspiração foi justamente a teoria de Hamilton-Jacobi e sua conexão com a óptica geométrica. • O que Schrödinger conjecturou é que efetivamente existe uma fenômeno ondulatório associado ao mo- vimento de uma partícula. Assim como a luz é entendida como um fenômeno ondulatório, onde são
- 110. 110 CAPÍTULO 6. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI os campos elétrico e magnético que oscilam no tempo, Schrödinger supôs que associada ao movimento de uma partícula havia uma quantidade Ψ que oscilava no tempo, com uma fase proporcional à função S (r, t) da teoria de Hamilton-Jacobi: i i Ψ (r, t) = exp S (r, t) = exp (W (r ) − Et) , h ¯ h ¯ onde h = h/2π. Lembre-se que uma exponencial de um número complexo é escrita em termos de ¯ funções senos e cossenos; a parte Real de Ψ por exemplo seria 1 E cos W (r ) − t h ¯ h ¯ e lembrando que, por exemplo, uma onda plana é da forma cos [kx − ωt] por comparação teremos E = ω ⇒ E = hω = hν ¯ h ¯ Com esta expressão para Ψ (r, t), Schrödinger conseguia assim reproduzir a relação E = hν da Mecânica Quântica. • Schrödinger supôs que Ψ satisfizesse uma equação de onda usual, 1 ∂2 Ψ 2 Ψ− =0 u2 ∂t2 e lembrou-se da velocidade das frentes de onda da Teoria de Hamilton-Jacobi E u= 2m ( E − V ) obtendo assim 2m ( E − V ) ∂2 Ψ 2 Ψ− =0 E2 ∂t2 por outro lado: ∂2 Ψ 1 2 = − 2 E2 Ψ ∂t h ¯ obtem-se assim h2 2 ¯ − Ψ + VΨ = EΨ 2m que é equação de Schrödinger independente do tempo. Novamente lembrando-se da forma de Ψ, pode-se escrever também h2 2 ¯ ∂Ψ − Ψ + VΨ = i¯ h 2m ∂t que é a forma dependente do tempo da Equação de Schrödinger. • Podemos agora postular que Ψ obedece a esta equação de onda, e fazer a substituição i Ψ (r, t) = exp (W (r ) − Et) h ¯
- 111. 6.4. PARÊNTESIS DEPOISSON E MECÂNICA QUÂNTICA 111 para encontrar uma equação para W. Encontramos: 2 i ∂ i 2 exp h ¯ W (r ) = ∑ ∂xi exp h ¯ W (r ) i ∂ i ∂W i =∑ exp W (r ) i ∂xi h ∂xi ¯ h ¯ 2 i ∂2 W 1 ∂W i =∑ 2 − 2 exp W (r ) i h ∂xi ¯ h ¯ ∂xi h ¯ ∂ ∂ ou seja (lembrando que ∂x W = ∂x S), h2 ¯ i¯ h 1 − 2 Ψ=− 2 S Ψ+ ( S )2 Ψ 2m 2m 2m por outro lado, ∂Ψ i¯ h = EΨ ∂t e desta forma, da equação de onda h2 ¯ ∂Ψ − 2 Ψ + VΨ = i¯ h 2m ∂t obtemos a seguinte equação para S 1 ∂S i¯ h ( S )2 + V + − 2 S=0 2m ∂t 2m Esta é justamente a equação de Hamilton-Jacobi, com um termo de correção imaginário dependendo de h. Desta forma, Schrödinger constatou que no limite h → 0 sua teoria recaía no limite clássico da ¯ ¯ Equação de Hamilton-Jacobi, ao menos formalmente. • Todo este desenvolvimento, contudo, não explica o significado físico da função Ψ. De fato, uma interpre- tação adequada para Ψ não foi dada por Schrödinger, mas por Max Born, alguns anos depois. Uma dificuldade inicial para interpretar fisicamente a função Ψ é que ela é em geral complexa, como se vê pelo aparecimento de um termo imaginário na equação anterior. E embora tenhamos visto que, for- malmente, a Mecânica Quântica parece ser uma continuação quase natural do formalismo da Mecânica Hamiltoniana, na verdade a interpretação física dos dois formalismos é radicalmente diferente: na Mecâ- nica Clássica, S fornece diretamente as coordenadas e momentos q (t) e p (t) como função do tempo, na Mecânica Quântica, Ψ fornece a amplitude de probabilidade para encontrar a partícula num determinado ponto do espaço. 6.4 Parêntesis de Poisson e Mecânica Quântica • Também é possível fazer uma conexão entre o formalismo da Mecânica Quântica e da Mecânica Ha- miltoniana pensando-se em termos de parêntesis de Poisson. Na verdade, esta conexão é o caminho geralmente empregado para se definir uma teoria quântica a partir de uma teoria clássica, no procedi- mento chamado de quantização canônica. • Vimos que a formulação Hamiltoniana da Mecânica Clássica pode resumir-se na existência de um espaço de fase, com coordenadas qi , pi , onde existe um Parêntesis de Poisson satisfazendo qi , q j = pi , p j = 0 ; qi , p j = δij ,
- 112. 112 CAPÍTULO 6. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI e onde está definida uma função Hamiltoniana H (q, p), responsável por gerar a evolução temporal de qualquer grandeza física pela equação dF ∂F = {F , H} + . dt ∂t • Este foi o ponto de partida para Werner Heisenberg encontrar sua formulação da Mecânica Quântica. A chave para esta conexão é a observação de que as grandezas que representam, na Mecânica Quântica, determinadas grandezas físicas não comutam entre si. Conforme Heisenberg mostrou, posição e momento de uma partícula obedecem uma relação de incerteza fundamental ∆x∆p ≥ h ¯ e esta relação está ligada ao fato de que posição e momento são representados por certas matrizes q e p que obedecem a uma relação de comutação não trivial: q · p − p · q = i¯ h Definindo o comutador de duas matrizes [A, B] = A · B − B · A temos [q, p] = i¯ h • Ora, o comutador entre matrizes tem propriedades idênticas às dos Parêntesis de Poisson: – Antisimetria: [A, B] = − [B, A] – Linearidade: [A, αB + C] = α [A, B] + [A, C] – Uma propriedade similar à “regra de Leibnitz”: [A, B · C] = [A, B] · C + B · [A, C] – Identidade de Jacobi: ∑ [A, [B, C]] = 0 cíclica • Daí, é possível um mapeamento formal entre uma teoria mecânica no formalismo Hamiltoniano e uma teoria de matrizes, como se segue: a cada coordenada ηi do espaço de fase temos que encontrar uma ˆ matriz η tal que os comutadores entre estas matrizes são dados pela Regra de Correspondência de Heisenberg i¯ ηi , η j → ηi , η j h ˆ ˆ ˆ Encontramos também uma matriz Hamiltoniana H, obtida de H (ηi ) substituindo-se ηi pela matriz ηi . ˆ • Em particular, fazemos corresponder aos Parêntesis de Poisson Fundamentais qi , q j = pi , p j = 0 ; qi , p j = δij , os comutadores ˆ ˆ ˆ ˆ qi , q j = pi , p j = 0 ; ˆ ˆ qi , p j = i¯ δij h
- 113. 6.4. PARÊNTESIS DEPOISSON E MECÂNICA QUÂNTICA 113 ˆ • Então, dada qualquer grandeza F função das matrizes η, a evolução temporal é dada pela Equação de ˆ Heisenberg dFˆ ∂F ˆ h ˆ ˆ = i¯ F , H + dt ∂t Exemplo 30. O Oscilador Harmônico Consideremos p2 ω2 2 H= + q , 2 2 suponha que você consiga construir matrizes q e p que satisfazem [q, q] = [p, p] = 0 ; [q, p] = i¯ h (é possível encontrar tais matrizes, mas não vamos mostrar aqui explicitamente como). Então você pode definir uma matriz Hamiltoniana substituindo-se q por p e p por p em H: ˆ p2 ω2 2 H= + q 2 2 As equações de movimento para q e p, por exemplo, são obtidas de ˆ 1 q = q, H = ˙ q, p2 = p 2 ˆ ω2 p = p, H = ˙ p, q2 = −ω 2 q 2 que são formalmente idênticas às equações canônicas clássicas. Não surpreendentemente, as soluções também são formalmente idênticas: p0 q (t) = sin ωt + q0 cos ωt ω p (t) = p0 cos ωt − ωq0 sin ωt onde q0 e p0 são os operadores posição e momento no instante inicial t = 0. • A similaridade formal entre a Mecânica Quântica e a formulação Hamiltoniana da Mecânica Clássica, portanto, é grande. A interpretação física dada às grandezas, contudo, é bastante diferente. Na Mecânica Clássica, o conhecimento das coordenadas ηi em cada instante fornece a posição e o momento exato de cada partícula que compõe o sistema naquele instante. Conhecer as funções ηi (t) significa conhecer a trajetória de cada partícula do sistema. Na Mecânica Quântica, este conhecimento não é possível por princípio. As matrizes que representam posições e momentos não tem significado físico direto, mas carregam as todas as informações físicas que podem ser obtidas sobre o sistema, a saber: as probabilidades de encontrar cada partícula com determinada posição e momento em cada instante. Estas informações são obtidas das matrizes por métodos da álgebra linear, análise de autovalores e autovetores, etc... • A similaridade formal destacada aqui justifica o nome de Quantização Canônica ao processo de encontrar uma teoria quântica a partir de uma correspondente teoria clássica, conforme aqui descrito. Apenas na década de 60 Richard Feynman propôs um método de quantização diferente, inspirado na formulação Lagrangiana, conhecido como quantização funcional. Até hoje, contudo, a quantização canônica é aquela considerada matematicamente mais bem estabelecida.
- 114. 114 CAPÍTULO 6. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI 6.5 Invariantes Adiabáticos • Na conferência de Solvay de 1911, que reuniu os maiores físicos da época para discutir questões sobre a incipiente Mecânica Quântica, Lorentz apontou o que seria um problema: imaginemos um pêndulo de comprimento , que oscila numa determinada frequência ω com energia E; se encurtarmos lentamente o fio, passando para um comprimento = − d , temos que fazer trabalho sobre o sistema, e por isso modificamos sua energia para E = E + dE, ao mesmo tempo, a frequência também varia ω = ω + dω. Fazendo d tão pequeno quanto se queira, podemos assim fazer E e ω variar continuamente. • Pensando num oscilador quântico, contudo, os níveis de energia devem ser quantizados E = hωn ¯ e a passagem de um nível de energia a outro só é possível pela absorção de uma quantidade de energia finita ∆E = hω. Ora, ω está associado aos parâmetros do oscilador, que em princípio poderíamos variar ¯ muito lentamente (“encurtando lentamente o fio”, por exemplo), o que deveria ocasionar uma variação contínua de E; por exemplo, uma variação ∆ω pequena estaria associada a uma variação de energia h∆ω, que é muito menor que ∆E = hω e portanto não é suficiente para ocasionar uma transição de nível ¯ ¯ quântico. • Por um lado, a energia precisa mudar porque ω muda; por outro, ela não pode mudar porque a variação h∆ω não é suficiente para gerar uma transição de nível – este era o aparente paradoxo apontado por ¯ Lorentz. • Einstein resolveu o problema mostrando que, diante de uma mudança dos parâmetros do oscilador, tanto E quanto ω mudavam de forma que sua razão fosse constante, ou seja E = constante ω constante que é igualada ao produto da constante de Planck com o nível de energia n, E = hn ¯ ω diante de uma pequena mudança de parâmetros, portanto, tanto a energia quanto a frequência mudavam de forma a manter constante o nível de energia do oscilador, de forma que nenhuma transição de nível estava em jogo.
- 115. 6.5. INVARIANTES ADIABÁTICOS 115 • Uma variação muito lenta dos parâmetros de um sistema é chamada de adiabática (nome inspirado na termodinâmica, onde transformações de estado termodinâmico devem ser infinitamente lentas para que o sistema possa ser sempre tratado como se estivesse num estado de equilíbrio termodinâmico). O que Einstein mostrou é que a razão energia/frequência é uma grandeza que permanece constante quando os parâmetros do sistema variam adiabaticamente, ou seja, é o que se chama de um Invariante Adiabático. Demonstração. Para demonstrar o resultado de Einstein, consideremos um oscilador harmônico unidimensio- nal, com energia m mω 2 2 E = x2 + ˙ x 2 2 cuja solução, sabemos, é da forma x = x0 cos (ωt + δ0 ). Calculemos a derivada temporal de E, dE dω = m x x + mω 2 x x + mωx2 ˙¨ ˙ dt dt onde admitimos que ω varia no tempo muito lentamente, ou seja, na equação acima, ω pode ser considerado aproximadamente constante durante um período de oscilação dos x. A variação de E no tempo tem duas partes: dE/dt tem uma contribuição que vem da oscilação (rápida) dos x, e uma que vem da variação (lenta) de ω. Estamos interessados apenas nesta última, por isso, calculamos a média temporal desta equação durante um período de oscilação do x, dE dω = m x x + mω 2 x x + mω x2 ˙¨ ˙ dt dt onde ˆ T 1 F = Fdt T 0 sendo 2π T= ω o período de oscilação do x. Note que tanto ω quanto dω/dt são considerados constantes durante uma oscila- ção do x. ˙¨ ˙ Não é difícil ver que x x = x x = 0, já que os dois termos serão proporcionais a ˆ T sin (ωt + δ0 ) cos (ωt + δ0 ) dt = 0 0 por outro lado, ˆ 2π/ω 2 ω 2 mω x = mω × x cos2 (ωt + δ0 ) 2π 0 0 π/ω mω 2 E = x = 2 0 ω ou seja, dE E dω dE dω = ⇒ = dt ω dt E ω dx como x = d ln x, E d (ln E − ln ω ) = 0 ⇒ d ln =0 ω
- 116. 116 CAPÍTULO 6. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI chegamos assim ao resultado de Einstein, E = constante ω o que nos diz que a razão energia/frequência é realmente um invariante adiabático. • Vamos agora fazer uma discussão mais geral sobre invariantes adiabáticos de um sistema físico qualquer, descrito pela Hamiltoniana H (q, p, λ (t)) que depende um certo parâmetro λ (t), que varia muito lentamente no tempo. Para precisar este requeri- mento, suponhamos que quando λ é constante, o sistema executa um movimento periódico, de período T (figura abaixo, à esquerda). Então, exigimos que, quando λ varia, é de forma que sua variação ∆λ durante um período dλ ∆λ = ×T dt seja muito menor do que λ, ou seja, dλ T λ dt • Quando λ varia, o movimento já não é mais exatamente periódico e a energia E já não é mais constante (figura, direita); contudo, se a variação de λ é suficientemente lenta, o sistema oscila numa escala de tempo aproximadamente igual a T, de forma que vamos aproximar o movimento do sistema como se ele ainda fosse dado pela trajetória periódica de período T que vale para λ constante. • A variação de E no tempo teria em princípio duas partes: aquela devida à oscilação de q (t) , p (t) e aquela devida à variação de λ. Contudo, já provamos que, em geral, dH ∂H = , dt ∂t ou seja, não há variação temporal de H devido à variação de q (t) , p (t), toda variação tem que vir da variação de λ, dE ∂H dλ = . dt ∂λ dt • As coordenadas q (t) , p (t) oscilam rapidamente, numa escala de tempo T, enquanto que λ oscila muito lentamente. Como não estamos interessados no efeito desta oscilação rápida do sistema, calculamos uma média temporal da equação acima, ou seja, dE ∂H dλ = dt ∂λ dt ˆ T dλ 1 ∂H = dt dt T 0 ∂λ
- 117. 6.5. INVARIANTES ADIABÁTICOS 117 dλ onde de novo lembramos que dt é aproximadamente constante durante um ciclo. • Note que, dq ∂H dq = ⇒ dt = dt ∂p ∂H /∂p e com isso trocamos a integral em t por uma integral em q ao longo de um ciclo fechado do movimento, ˛ dE dλ 1 ∂H /∂λ = dq dt dt T ∂H /∂p O período pode também ser escrito como ˛ dq T= ∂H /∂p e portanto ¸ ∂H/∂λ dE dλ ∂H/∂p dq = ¸ dq dt dt ∂H /∂p • Lembre-se que as integrais são calculadas sobre as trajetórias periódicas do sistema com λ constante; estas satisfazem a conservação de energia, H (q, p, λ) = E que nos permite encontrar p como função de q, λ e E, p = p (q, λ, E) Diferenciando a 1ª equação com respeito a λ, ∂H ∂H ∂p ∂H /∂λ dp + =0⇒ =− ∂λ ∂p ∂λ ∂H /∂p dλ dE substituindo na expressão para dt , ¸ dp dE dλ dλ dq =− ¸ dq dt dt ∂H /∂p ou seja ˛ dE 1 dλ dp + dq = 0 dt ∂H /∂p dt dλ • Como p = p (q, λ, E), temos ∂H 1 = ∂p ∂p/∂E e daí ˛ dp dE dλ dp + dq = 0 dE dt dt dλ
- 118. 118 CAPÍTULO 6. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI Note que dE é a variação de E ao longo do tempo, devido à variação de λ (a oscilação das coordenadas dt tendo sido integrada); entendendo a derivada temporal neste sentido, podemos reescrever esta equação como ˛ d p (q, λ, E) dq = 0 dt que nos diz que a quantidade ˛ p (q, λ, E) dq é um invariante adiabático, ou seja, sua derivada temporal é nula, quando se considera apenas as variações muito lentas em t, desconsiderando as oscilações rápidas de período T. • Num sistema com várias coordenadas qi e pi , encontramos assim uma coleção de invariantes adiabáticos, ˛ pi dqi • Vimos da discussão inicial que uma grandeza clássica dificilmente poderá ser quantizada, na Mecânica Quântica, a menos que seja um invariante adiabático: isto porque, em princípio, variações muito lentas nos parâmetros λ do sistema deveriam significar variações lentas (contínuas) nestas grandezas, o que não é consistente com uma grandeza quantizada, que só pode variar em “saltos” discretos. • A chamada Regra de Quantização de Bohr-Sommerfeld, que foi usada com muito sucesso na descrição do átomo de hidrogênio, postula que todo invariante adiabático da teoria clássica é quantizado, ou seja, vale que ˛ pi dqi = hni ¯ onde os ni são os números quânticos. Por exemplo, no caso de uma partícula num potencial central V (r ) que é o caso do átomo de Hidrogênio, os três invariantes adiabáticos ˛ ˛ ˛ pr dr ; pθ dθ ; p ϕ dϕ estão associados aos três números quânticos: n, , m, ˛ pr dqr = hn ¯ ˛ pθ dqθ = h ¯ ˛ p ϕ dq ϕ = hm ¯ Estas regras de quantização foram usadas para calcular, em detalhe, o espectro do átomo de Hidrogênio, antes mesmo da descoberta de uma formulação completa da Mecânica Quântica. ¸ • Graficamente, o valor de pdq corresponde a área, no espaço de fase, contido pela órbita fechada do sistema:
- 119. 6.5. INVARIANTES ADIABÁTICOS 119 De fato, ˛ ˆ qmax ˆ qmin pdq = p+ (q) dq + p− (q) dq qmin qmax ˆ qmax ˆ qmax = p+ (q) dq + (− p− (q)) dq qmin qmin área sobre o eixo dos x área sob o eixo dos x • Assim, costuma-se dizer que a regra de quantização de Bohr-Sommerfeld é equivalente à quantização da área do espaço de fase do sistema clássico.