10-Matlab.pdf

CÁLCULO NUMÉRICO
Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br

Aula 10
Matlab – Métodos para zeros reais de funções
04/2014

Aula 10 – MATLAB - Zeros de funções
Cálculo Numérico 3/47
Algoritmo do Método da Bissecção
¨ Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais
opostos:
ENTRADA: função f, extremidades a, b; precisão ‘erro’, número
máximo de iterações ‘max’.
SAÍDA: solução aproximada ou mensagem de erro.
Passo 1: Faça i = 1;
Passo 2: Enquanto i < max, execute os passos 3 a 6.
Passo 3: Faça p = (a + b) / 2; ( )
x

Passo 4: Se f (p) = 0 ou |b – a| < erro, então:
SAÍDA (x); ( ).
PARE.
Passo 5: Faça i = i + 1.
Passo 6: Se f (a) * f (p) > 0, então faça a = p; ( ).
senão faça b = p.
SAÍDA (‘ ’, max);
( ).
PARE.

INTRODUÇÃO

LAYOUT DO MATLAB
Command
History
Window
Workspace
Window
Command Window
Current
Folder
Window
Local onde as
operações podem ser
diretamente feitas
Espaço destinado às
variáveis que estão salvas
na memória, onde é
possível visualizar o nome,
valor e classe da mesma
Lista de comandos
realizados, organizados
por data de execução,
permitindo o comando ser
realizado novamente com
duplo clique

Editor – Script File
¨ M-file
¨ File > New > M-file

COMANDOS
BÁSICOS

COMENTÁRIO
¨ Para incluir uma linha com comentários:
% no MATLAB
// no SCILAB.
¨ Assim, a linha não será executada.

LIMPAR MEMÓRIA E COMANDOS
¨ Comando clc:
¤ Limpa os últimos resultados exibidos na janela de comandos.
¨ Comando clear:
¤ Limpa a memória.

Símbolos Aritméticos
Operação Símbolo Exemplo
Adição + 5 + 3
Subtração – 5 – 3
Multiplicação * 5 * 3
Divisão / 5 / 3
Exponenciação ^ 5 ^ 3 (significa 53 = 125)

Símbolos Lógicos
Operação Símbolo
Igualdade ==
Desigualdade ~=
Maior ou igual >=
Menor ou igual <=

¨ Ordem em que o MATLAB faz as operações:
Ordem Operação Matemática
Primeiro Parênteses. Para vários parênteses, o que estiver
por dentro é executado primeiro
Segundo Exponenciação
Terceiro Multiplicação, divisão (mesma ordem)
Quarto Adição e subtração

Funções matemáticas elementares
¨ sqrt(x) – raiz quadrada
¨ nthroot(x,n) – n-ésima raiz real
¨ exp(x) – ex
¨ abs(x) – valor absoluto
¨ log(x) – logaritmo natural (base e)
¨ log10(x) – logaritmo na base 10
¨ factorial(x) – x!

Funções Trigonométricas
¨ sin(x) – seno (x em radianos)
¨ sind(x) – sine (x em graus)
¨ cos(x) – cosine (x em radianos)
¨ cosd(x) – cosine (x em graus)
¨ tan(x) – tangent (x em radianos)
¨ tand(x) – tangent (x em graus)
¨ cot(x) – cotangent (x em radianos)
¨ cotd(x)- cotangent (x em graus)

Variável Simbólica
¨ Em alguns casos precisamos utilizar uma variável simbólica,
chamemos, para definir como sendo qualquer variável do
domínio, isto é, uma variável contínua. Para isso temos o
comando syms.
>> syms x
>> syms a, b, c

Derivada
¨ Para calcularmos derivadas utiliza-se o comando:
>> diff(f(x),x,n)
>> Derivative(f(x),x,n) SCILAB
¨ onde n indica a ordem da derivação.

Plotar gráficos

Plotar gráficos
¨ Podemos utilizar alguns comandos para melhorar a aparência
de nosso gráfico:
¨ title (‘título’);
¨ xlabel (‘x’);
¨ ylabel (‘y’).

Plotar gráficos
¨ É possível desenhar mais que uma função no mesmo gráfico.
¨ Existem dois modos:
¤ um através do comando plot;
¤ outro através do comando hold.

¨ Além do comando plot podemos graficar uma função
através do comando fplot.
¨ Basicamente, você deve fornecer como primeiro argumento
a função que pretende usar entre apostrofes e como segundo,
o intervalo sobre o qual a função será graficada.

Exemplo 1
¨
¨ Uso do comando plot para construir o gráfico de uma
função.
¨ Função: x3 - 9 x + 3
>> x = -5:0.5:5;
>> y = x.^3 – 9 * x + 3;
>> plot(x,y);

Exemplo 2
Construção do gráfico de duas funções (log x e 1/x)
x=0.5:0.1:6
y1=log10(x)
y2=1./x
hold on
plot(x,y1)
plot(x,y2)
hold off
OU plot(x,y1,x,y2)
title('gráfico da função x^3-9x+3')
title('gráfico das funções log(x) e 1/x')
xlabel('x')
ylabel('y')

Exemplo 3
¨ Construção do gráfico de uma e duas funções usando o
comando fplot
>> fplot (‘x^3-9*x+3’, [-5,5])
>> hold on
>> fplot(‘log10(x)’, [0.1,6]
>> fplot(‘1/x’, [0.1,6])
>> hold off

break Interrompe a execução de laços for e while
clc Limpa a tela (command window)
disp Exibe o conteúdo de uma variável, sem mostrar o seu nome
input Permite ao usuário inserir variáveis, textos, valores, etc
sign Função sinal: retorna o sinal de um argumento
if Condiciona execução de comandos
else Usado com o comando if
elseif Usado com o comando if
end Usado para terminar a execução dos comandos if,for,while
while Repete comandos enquanto condição especificada for verdadeira
fprintf Grava dados em arquivo formatado

Comando disp e input
¨ Para os métodos que iremos implementar, é necessário que o
programa conheça a função. Mas, para cada função
diferente teremos que mudar o código-fonte do programa?
¨ Não, esse problema é resolvido pelo comando input.
¨ A cada vez que o programa for rodado ele mesmo pedirá as
variáveis, logo não será necessário mudar o código
original do programa e haverá uma maior interação entre o
programa e o usuário (não necessariamente um
programador).

Comando disp e input
¨ Vamos utilizar o comando disp junto com o comando
input.
¨ Exemplo:
¨ disp('Insira a função');
¨ f = input('','s');

Comando fprintf
¨ O comando fprintf é um dos métodos mais simples de
saída de dados.
>> fprintf('A raiz é: %f', p);
o que está entre aspas aparecerá para o usuário, os itens onde
aparece %f serão substituídos pelas variáveis, respeitando-se a
ordem em que aparecem.

Comandos Lógicos
¨ Muitas vezes é necessário colocar mais de um comando ao
mesmo parâmetro (principalmente no laço if), para isso
existem os comando lógicos dados na seguinte tabela:
¨ Exemplo:
>>if(abs(f(p))<erro || abs(b – a)<erro)
& E lógico
|| OU lógico
~ NÃO lógico

Estrutura condicional if-end
¨ Se o resultado da expressão lógica <condição> for
verdadeiro, então a lista de <comandos> será executada.
Se o resultado for falso, os <comandos> não serão
executados.
>> if <condição>
>> <comandos>
>> end

O Laço while
¨ O laço while, repete um grupo de comandos um número
indefinido de vezes, até obtermos uma resposta satisfatória
ou até que o usuário mande interromper o programa.
¨ Enquanto a expressão lógica <condição> for verdadeira a
lista <comandos> será repetida.
>> while <condição>
>> <comandos>
>> end

Comando break
¨ A estrutura while permite que um grupo de comandos seja
repetido um número indeterminado de vezes. No entanto, a
condição de interrupção é testada no início da estrutura.
¨ Em várias situações em programação se faz necessário
interromper a execução da repetição verificando a condição
no interior da estrutura e não no seu início.

Comando break
¨ A estrutura while é executada indefinidamente a
princípio, pois a condição do while é sempre verdadeira.
Contudo, quando a <condição> do if for satisfeita o
comando break será executado causando a interrupção da
repetição while.
>> while 1
>> <comandos 1>
>> if <condição>
>> break
>> end
>> <comandos 2>
>>end

Comando inline
¨ Uma forma de definir uma função é usando o comando
inline.
¨ Exemplo:
>> cf = input ('Entre com a função: ');
>> f = inline(cf);
Para usar a função inline, é necessário declarar a variável x
como variável simbólica (syms x) e não será necessário usar
o comando subs.

Comando subs
¨ O comando subs serve para substituir valores numéricos
em expressões simbólicas.
¨ Exemplo:
>> disp('Insira a função');
>> f = input('','s');
>> p = (a+b)/2;
>> if (subs(f,p))*(subs(f,a)) > 0

Método da Bissecção
¨
¨ Função: f
¨ Extremos dos intervalos: [a, b]
¨ Precisão: erro
¨ Número máximo de iterações: max
¨ A cada iteração: p

¨ Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais
opostos:
ENTRADA: função f, extremidades a, b; precisão ‘erro’, número
máximo de iterações ‘max’.
Passo 2: Enquanto i < max, execute os passos 3 a 6.
Passo 3: Faça p = (a + b) / 2; ( )
x

Passo 4: Se f (p) = 0 ou |b – a| < erro, então:
SAÍDA (p); ( ).
PARE.
Passo 6: Se f (a) * f (p) > 0, então faça a = p; ( ).
senão faça b = p.
SAÍDA (‘ ’, max);
( ).
PARE.

Implementação
clear, clc
disp('Insira a função');
f = input('','s');
disp('Insira o valor do extremo esquerdo do
intervalo');
a = input('');
disp('Insira o valor do extremo direito do
intervalo');
b = input('');
disp('Insira o valor do erro');
erro = input('');

Implementação
disp('Insira o número máx de operações');
max = input('');
i = 1;
while (i < max)
p = (a+b)/2;
if ( subs(f,p) == 0 || abs(b – a) < erro )
fprintf('A raiz é: %dn', p);
fprintf(‘O número de iterações foi:
%i', i);
break
end
abs(subs(f,p))< erro || abs(b – a) < erro)

Implementação
i = i + 1;
if (subs(f,p))*(subs(f,a)) > 0
a = p;
else
b = p;
end
end
(subs(f,p))*(subs(f,b)) < 0

Algoritmo do Método de Newton
ENTRADA: aproximação inicial x0; precisão ε, número máximo
de iterações N0.
Passo 2: Enquanto i ≤ N0 , execute os passos 3 a 6.
Passo 3: Faça x = x0 – f (x0) / f’(x0); (Calcula xi)
Passo 4: Se (x – x0) < ε, então:
SAÍDA (x); (Procedimento concluído com sucesso).
PARE.
x

Algoritmo Método de Newton
Passo 6: Faça x0 = x; (Atualiza x0)
Passo 7: SAÍDA (‘O método falhou após N0 iterações, N0 = ’, N0);
(O procedimento não foi bem-sucedido). PARE.

Implementação
clear, clc
syms x
cf = input('Entre com a função: ');
f = inline(cf);
derivada = diff(cf, x);
df = inline(derivada);
tol = input('Entre com a tolerância: ');
error = 0;
max=input('Entre com o número máximo de iterações: ');
x = input('Entre com um valor inicial: ');
i = 0;
disp(' i xi error’)

Implementação
while (i <= max)
fprintf('t%it%3.8ft%fn', i, x, error);
p = x;
x = x - f(x)/df(x);
error = abs(x - p);
if error < tol
i = i + 1;
fprintf('t%it%3.8ft%fn', i, x, error);
break
end
i = i + 1;
end

REFERÊNCIA
¨ Becker, A. J.; Silva, D. M. I.; Dias, F.H.S.; Pinheiro L. K.
Noções Básicas de Programação em MATLAB.
Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, Outubro
de 2010.

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