Função Exponencial no GeoGebra-Sandro

1. Informatica Educativa I: Tarefa da Semana 4 (B): Projeto Final -
Func~ao Exponencial no GeoGebra
Sandro Alves de Azevedo
22 de setembro de 2014
Introduc~ao
Uma estrategia que permite agilizar a construc~ao do conhecimento relacionado ao tema
func~oes e o uso de softwares educativos que oferecem ambientes de geometria din^amica para
visualizac~ao gra

2. ca. O GeoGebra e um destes softwares que permite uma abordagem para
o ensino de func~oes propiciando a transic~ao entre as linguagens gra

3. ca e simbolico-algebrica,
contribuindo para uma compreens~ao mais signi

4. cativa destes conceitos por parte dos estudantes.
De

5. nic~ao do Projeto
Func~ao Exponencial no GeoGebra 4.4.45.0 utilizando um roteiro com questionario a partir
de observac~oes dessa geometria din^amica para a apropriac~ao da aprendizagem dessa func~ao.
Ele e encontrado para baixar em http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
Objetivos e Metas do Projeto
Trabalhar a func~ao exponencial de uma forma interativa que ajude o aluno a compreender
o comportamento desta func~ao, relacionando o comportamento da mesma com a variac~ao de
seus par^ametros.
Publico Alvo
Alunos do 1o ano do Ensino Medio Regular, sendo a maioria com faixa etaria de 15 anos.
Quando Utilizar
Ja tendo passado pelas func~oes a

6. m, linear, constante, quadratica e modular, onde o software
GeoGebra n~ao e mais estranho aos alunos, tendo sido trabalhado com atividades de analise
dos par^ametros da func~ao generalizada por meio da manipulac~ao de seus respectivos gra

7. cos,
sera iniciado imediatamente ao fechamento dos estudos sobre func~ao modular, provocando no
assunto de func~oes exponenciais conjecturas a partir de analises preliminares dos alunos para
depois teorizarmos o objeto de estudo.
Local a Usar
Faremos uso preferencialmente no laboratorio de informatica da escola, prevendo que este
precisara agrupar os alunos em duplas, devido ao numero de computadores insu

8. cientes para
uma possvel turma de 35 a 40 alunos que e a realidade no Brasil.
Custo do Projeto
Com a gratuidade da acessibilidade ao software, sugerido para baixar em http://www.baixaki
.com.br/download/geogebra.htm, e n~ao precisar estar online para o seu uso, podemos utilizar
os computadores do laboratorio informatizado da escola ou o laptop de cada aluno.
1

9. 2
Conteudo, orientac~oes e questionario.
Metodologia
As func~oes exponenciais s~ao usadas para descrever a variac~ao de duas grandezas em que o
crescimento (ou decrescimento) da variavel independente e muito rapido ou muito lento. Seu es-tudo
torna-se mais envolvente na medida em que se busca uma abordagem conceitual e gra

10. ca
dentro de varias aplicac~oes no campo da ci^encia. A estrategia para a implementac~ao dessa
abordagem esta no uso de atividades investigativas. Assim, a fase de discuss~ao e fundamental
para que os alunos ganhem entendimento, desenvolvam a capacidade de comunicar matema-ticamente
e re
itam sobre seu trabalho, aumentando seu poder de argumentac~ao. Faremos
utilizac~ao de recursos computacionais com o auxlio do programa GeoGebra, constando de ro-teiro
com questionario a partir de observac~oes. O tempo estimado e de duas aulas (100 minutos).
De

11. nic~ao
A func~ao exponencial de base a, e uma func~ao real de

12. nida por f(x) = ax (com a 0 e
a6= 1), onde x pertence ao conjunto dos numeros reais. A func~ao exponencial e crescente se
a 1 e decrescente se 0 a 1.
A func~ao exponencial e usada para descrever a variac~ao de duas grandezas em que o cresci-mento
(ou decrescimento) da variavel independente e muito rapido ou muito lento. Seu estudo
torna-se mais envolvente na medida em que se busca uma abordagem conceitual e gra

13. ca dentro
de varias aplicac~oes no campo da ci^encia. A estrategia para a implementac~ao dessa abordagem
esta no uso de atividades investigativas. Assim, a fase de discuss~ao e fundamental para que
os alunos ganhem entendimento, desenvolvam a capacidade de comunicar matematicamente e
re
itam sobre seu trabalho, aumentando seu poder de argumentac~ao.
Motivac~ao
Exemplo: Uma piscina tem capacidade para 100 m3 de agua. Quando a piscina esta com-pletamente
cheia, e colocado 1 kg de cloro na agua. A agua pura (sem cloro) continua a ser
colocada na piscina a uma vaz~ao constante, sendo o excesso de agua eliminado por meio de
um ladr~ao. Depois de 1 hora, um teste revela que ainda restam 900 g de cloro na piscina.Que
quantidade de cloro restara na piscina 10 horas apos sua colocac~ao? E apos meia hora da
aplicac~ao? E apos t horas?
O exerccio acima e um tpico exemplo de aplicac~ao da func~ao exponencial. Comumente
a resposta dada a primeira pergunta do problema e que, apos 10 horas, n~ao ha mais cloro
na piscina. Esta resposta resulta da aplicac~ao do modelo mais simples de variac~ao de uma
grandeza, expresso por uma func~ao a

14. m. Segundo este, a variac~ao sofrida em cada intervalo
de 1 hora e sempre a mesma. Assim, se na primeira hora foram eliminados 100g de cloro, o
mesmo deveria ocorrer em cada uma das 9 horas seguintes, fazendo com que todo o cloro seja
eliminado nestas 10 horas. No entanto, essa soluc~ao n~ao esta correta. N~ao e razoavel admitir
que a eliminac~ao de cloro dar-se-a uma taxa constante. De fato, e mais razoavel que esta taxa
dependa da quantidade de cloro presente na piscina; quanto maior a quantidade de cloro, mais
cloro e eliminado por unidade de tempo. Na verdade, parece intuitivo que a quantidade elimi-nada
por unidade de tempo seja proporcional a quantidade existente de cloro. Assim, a perda
de cloro, nos perodos consecutivos de 1 hora, n~ao e a mesma. O que e constante, em cada um
destes perodos, e a variac~ao relativa, resultando numa reduc~ao exponencial de cloro.

15. 3
Vamos explorar o caso mais completo em que a func~ao e dada por y = b a
x
c + d,
sendo a, b, c e d numeros reais com a 0, a6= 1 e c6= 0.
Vamos construir um arquivo GeoGebra que sera utilizado para analise desta func~ao. Para
construir este arquivo, basta seguir os passos:
1. Abra o programa GeoGebra e escolha a opc~ao algebra e Gra

16. cos.
2. Em Entradadigite a = ControleDeslizante[5; 5; 0:1; 1; 100; false; true; false; false];
d Enter; clique com o bot~ao direito do mouse sobre o objeto; em Propriedades - Basico
- Legendadigite Numero a, ainda em Propriedades, clique em Avancado, na janela
que abrira digite no campo Vermelhoa 0; no campo Verdea = 0 e no campo
Azuldigite a 0. Coloque o valor de a = 2.
3. Em Entradadigite b = ControleDeslizante[10; 10; 0:1; 1; 100; false; true; false; false];
d Enter; clique com o bot~ao direito do mouse sobre o objeto; em Propriedades - Basico -
Legendadigite Numero b, ainda em Propriedades, clique em Avancado, na janela que
abrira digite no campo Vermelhob 0; no campo Verdeb = 0 e no campo Azuldigite
b 0. Coloque o valor de b = 1.
4. Em Entradadigite c = ControleDeslizante[10; 10; 0:1; 1; 100; false; true; false; false];
d Enter; clique com o bot~ao direito do mouse sobre o objeto; em Propriedades - Basico -
Legendadigite Numero c, ainda em Propriedades, clique em Avancado, na janela que
abrira digite no campo Vermelhoc 0; no campo Verdec = 0 e no campo Azuldigite
c 0. Coloque o valor de c = 1.
5. Em Entradadigite d = ControleDeslizante[10; 10; 0:1; 1; 100; false; true; false; false];
d Enter; clique com o bot~ao direito do mouse sobre o objeto; em Propriedades - Basico -
Legendadigite Numero d, ainda em Propriedades, clique em Avancado, na janela que
abrira digite no campo Vermelhod 0; no campo Verded = 0 e no campo Azuldigite
d 0. Coloque o valor de d = 0.
6. Em Entradadigite f(x) = ba^(x=c)+d; d Enter; clique com o bot~ao direito do mouse
sobre a func~ao criada; va em Propriedadese formate a func~ao aumentado espessura da
linha e escolhendo uma cor.
7. Clicando na func~ao f(x) que aparece na Janela Algebrica, arraste-a para a Janela de
Visualizac~ao.
8. Em Entradadigite : y = d; e d Enter; clique com o bot~ao direito do mouse sobre a
func~ao criada; formate-a aumentando a espessura e escolhendo Estilo-Pontilhado; em
Basico-Exibirescolha Valor, em Legendadigite Assntota.
Manipulando a Func~ao Exponencial no GeoGebra e respondendo um questionario

17. 4
Figura 1: Exemplo de Func~ao Exponencial no GeoGebra
Apos a construc~ao do arquivo pelos alunos, tera um roteiro em que o aluno devera mani-pular
os valores de a, b, c e d, analisando o comportamento da func~ao e registrando as suas
conclus~oes. Teremos como objetivo levar o aluno aos resultados esperados.
E
conveniente iniciar com o par^ametro d e relaciona-lo com a assntota.
O que ocorre com o gra

18. co da func~ao ao alterar o valor do par^ametro d?
Qual a relac~ao entre o par^ametro d e a assntota?
Ao analisar o comportamento do gra

19. co da func~ao com a alterac~ao do par^ametro d, o aluno
percebera a consequente translac~ao vertical e que a assntota tem equac~ao y = d.
Para analise do par^ametro b, algumas perguntas s~ao convenientes.
Fazendo e alterando o valor de b, o que pode ser observado?
Qual a relac~ao entre o valor de b e o ponto de intersec~ao entre a func~ao e o eixo das
ordenadas?
Qual seria a resposta da pergunta anterior se d tambem fosse alterado?
O aluno devera observar que a func~ao intersectara o eixo vertical no ponto (0; b + d).
O termo a
1
c trata-se da base da func~ao exponencial f(x) = b a
x
c +d. Convem, numa analise
preliminar, atribuir c = 1.
Fazendo c = 1 e alterando o valor de a, o que pode ser observado?
O esperado e que o aluno distinga quando a func~ao e crescente ou decrescente. E
importante
tambem questionar.
O que ocorre com a alterac~ao do par^ametro c?
Para a = 0.5, o que representa c?

20. 5
A intenc~ao e que o aluno relacione com a velocidade de crescimento/decrescimento da func~ao.
O segundo item e uma oportunidade de esclarecer o signi

21. cado de meia-vida. Sabemos que
a meia-vida e a quantidade de tempo caracterstica de um decaimento exponencial. Por exem-plo,
quando uma pessoa ingere um medicamento, seu organismo tende a elimina-lo. O tempo
necessario para que metade desta subst^ancia seja eliminada e denominado meia-vida.
Na de

22. nic~ao da func~ao exponencial, e exigido que a 0 e a6= 1. Podemos tambem instigar
os alunos a conclurem sobre qual e motivo de tal exig^encia.
O que ocorre com a alterac~ao do par^ametro a para a = 1?
O que ocorre com a alterac~ao do par^ametro a para a = 0?
O que ocorre com a alterac~ao do par^ametro a para a 0?
A intenc~ao e que os alunos observem que se a = 1 teremos uma func~ao constante f(x) = b+d,
se a = 0, a func~ao n~ao

23. ca de

24. nida para valores de x 0 e para x 0 ela sera uma func~ao
constante, portanto a func~ao n~ao sera exponencial. Se a 0, o gra

25. co da func~ao desaparece,
indicando que n~ao e possvel o valor de a ser negativo. E
importante que o professor(a) solicite
aos alunos que de^em exemplos para justi

26. car a n~ao exist^encia da func~ao exponencial se a base
for negativa, e caso n~ao consigam, apresente a eles alguns exemplos.
Finalizando podemos discutir sobre: Qual e o papel do software para o desenvolvimento
das atividades? O que o uso do software pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos
enfocados, em relac~ao a abordagem convencional, isto e, sem o computador?
Refer^encia Bibliogra

27. ca para o Projeto
GIRALDO, Victor et al. Recursos Computacionais no Ensino de Matematica, SBM. Rio de
Janeiro, 2012.