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Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim
2 
APRESENTAÇÃO 
Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você 
encontrará o conteúdo da programação da 1ª série do Ensino Médio (2º Grau). 
Não se aprende Matemática lendo, é preciso usar lápis e papel para 
resolver os exercícios. 
As dúvidas que surgirem, deverão ser esclarecidas com o Orientador de 
Aprendizagem na Sala de Matemática. 
Os exercícios que farão parte desta Apostila são de sua responsabilidade. 
Se necessário, tire suas dúvidas com o Professor. 
Com certeza, as dificuldades surgirão e para tentar resolvê-las 
procuramos elaborar esta apostila de maneira mais simples e objetiva com 
uma metodologia auto-instrucional, atendendo as necessidades de que o aluno 
é levado a construir seu conhecimento gradativamente. 
No final do curso você verá que adquiriu uma série de conhecimentos 
que lhe serão ferramentas para compreender melhor o mundo que o cerca, 
tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. 
Não escreva na apostila, use seu caderno! 
META DOS ORIENTADORES DE APRENDIZAGEM 
“Formar indivíduos competitivos, com responsabilidade social, 
adequando seus valores e conhecimentos, a fim de se tornarem agentes 
transformadores dentro de uma visão de mundo, acreditando no valor daquilo 
que vêem e pensam”. 
OBJETIVOS (Módulo 1 e 2 ) 
Nesta U.E. você será capaz de; 
- Fazer uso das operações básicas da matemática (adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação no conjunto dos 
números racionais); 
- Aplicar as técnicas de resoluções da equação do 1º grau em soluções de 
problemas; 
- Reconhecer figuras geométricas e aplicar suas respectivas fórmulas no 
cálculo das áreas; 
- Aplicar o conceito do Teorema de Tales na resolução de problemas que 
envolvam triângulos semelhantes; 
- Aplicar o Teorema de Pitágoras para resolver situações –problemas que 
envolvam medidas dos lados do triângulo retângulo.
3 
MÓDULO 1 
RECORDANDO AS QUATRO OPERAÇÕES 
FUNDAMENTAIS 
Todos os dias, você usa dos recursos da Matemática para resolver 
pequenos e grandes problemas que aparecem na sua vida. 
Nesse módulo você vai estudar alguns desses recursos, para que seus 
cálculos estejam sempre corretos. 
Você iniciará esse Curso de Matemática do Ensino Médio recordando 
as quatro operações. 
Lembre-se: muito mais importante que fazer contas com rapidez é 
descobrir quais as operações que devemos usar para resolver um problema. 
Portanto, em Matemática, o mais importante é o raciocínio. 
Lendo os quatro problemas abaixo você vai usar as operações 
matemáticas que fazem parte do seu dia-a-dia. 
Um motorista de táxi andou 120 Km num dia e 162 Km no dia seguinte. No 
total quanto ele andou nesses dois dias? 
Um tênis que custa R$ 37,00 foi pago com uma nota de R$ 50,00. De quanto 
foi o troco? 
Uma caixa de leite tipo “longa vida” possui 12 litros de leite. Quantos litros 
existem em 12 caixas? 
Devo repartir 24 balas igualmente entre meus 3 filhos. Quantas balas deve 
receber cada um? 
Quais são as operações que você usa para resolver estas questões? 
RESPOSTAS: 
1- Soma 2- Subtração 3- Multiplicação 4 - Divisão 
Muitas vezes, na nossa vida, nos deparamos com operações em que 
necessitamos de números que representam dívidas, valores menores que zero 
etc, (esses números são escritos acompanhados do sinal negativo). Eles estão 
no Conjunto Z = ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... que se chama Conjunto dos 
Números Inteiros. 
As quatro operações fundamentais:
1. ADIÇÃO: é usada para agrupar ou juntar quantidades de duas ou 
4 
mais grandezas que identificam a mesma coisa. 
Exemplo1: 
Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 10 alunos, outra 
com 17 alunos e outra com 18. Quantos alunos existem ao todo nesta escola? 
Para reunir os alunos das 3 turmas devemos somar a quantidade de 
alunos de cada turma. Assim: 
10 + 17 + 18 = 45 
parcelas soma ou total 
Existem, portanto, 45 alunos nesta escola. 
Obs: Cada um dos números que está sendo adicionado chama-se 
parcela e o resultado é a soma ou total 
Exemplo 2: 
Devo R$ 12,00 na padaria e devo R$ 17,00 no açougue. Qual é o total 
da minha dívida? 
–12 – 17= –29 
Devemos usar o sinal negativo ( -) quando 
queremos representar uma dívida e o sinal 
positivo ( + ) quando queremos representar o 
dinheiro para pagar essa dívida. 
Observe que, se eu devo 12 reais e faço outra dívida de 17 reais, então é 
necessário que eu some essas dívidas para descobrir o quanto estou devendo. 
2. SUBTRAÇÃO: É usada sempre que quisermos saber a “sobra” ou 
a diferença entre a quantidade de uma grandeza positiva e de outra negativa. E 
a sobra será representada pela quantidade maior. 
Exemplo 1: 
Continuando com o exemplo anterior. 
Se eu descobri que estou devendo 29 reais, e tenho uma nota de R$ 
50,00 para pagar essa dívida, devo representar assim:
5 
- 29 + 50 = + 21 
Ou seja, se eu estou devendo 29 reais, uso o sinal negativo (-) para 
representar a dívida e se tenho 50 reais para pagar essa dívida, uso o sinal 
positivo (+) para representar o dinheiro. 
Assim, como o dinheiro que tenho é maior do que a quantidade que devo, 
pago a dívida e ainda me sobram 21 reais. Por isso que o resultado é + 21. 
Exemplo 2: 
Uma secretária recebeu a tarefa de pagar uma dívida de R$60,00 
levando consigo R$100,00. Como podemos representar essa situação? 
– 60 +100 = +40, ou seja, ela deve 60 reais (-) e tem 100 reais (+) para 
pagar essa dívida. Então ela paga a dívida e ainda lhe restam 40 reais (+). 
OBSERVAÇÃO: 
Todo número positivo pode ser escrito sem o sinal de +. Porém todo 
número negativo deve sempre vir acompanhado do sinal de - . 
No exemplo anterior se quiséssemos escrever apenas 40 ao invés de +40 
poderíamos. 
CONCLUSÃO: 
Quando temos números com sinais iguais devemos: somar os 
números e manter o mesmo sinal 
Quando temos números com sinais diferentes devemos: subtrair os 
números e manter o sinal do número maior. 
Observe agora outros exemplos: 
Exemplo 3: 
João abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta 
apresentou o seguinte movimento:
6 
Dia Saldo 
inicial 
Depósito Retirada 
10 00,00 
10 60,00 
12 25,00 
15 65,00 
18 20,00 
21 12,00 
Descubra o saldo bancário de João. 
Se você encontrou saldo positivo de R$ 68, 00, parabéns! 
Veja abaixo como se faz: 
60 –25 + 65 – 20 – 12 = 
60 + 65 – 25 – 20 – 12 = 
125 – 57 = 
68 
Nesse caso a melhor forma de fazer o cálculo é 
“juntar”, somando os números positivos 
(depósitos) e “juntar”, somando, os números 
negativos (retiradas). Depois efetuar a 
subtração entre os dois e verificar se “sobrou” 
positivo ou negativo. 
Exemplo 4: 
Se você tem R$1200,00 no banco, e compra uma geladeira de R$ 
1100,00 e um televisor de R$900,00 e paga com cheque como fica seu saldo 
bancário se você fez um deposito de R$300,00? 
+1200 – 1100 – 900 +300 = +1500 – 2000 = – 500 
Exercícios: 
1. Copie e resolva as seguintes operações no seu caderno: 
a) 37 + 43 = d) – 8 + 4 –12 +7= 
b) 37 – 47 = e) – 30 + 45 = 
c) –9 – 6 = f) + 24 –72 + 11 = 
3. MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO:
7 
Lembrando que a multiplicação nada mais é do que a soma de números 
iguais e a divisão como a operação que nos ajuda a repartir certas quantidades 
em partes iguais, observe: 
4 X 5 quer dizer quatro vezes o número cinco, ou seja, 5 + 5 + 5 +5 que 
é igual a vinte. 
Exemplo 1: 
Se eu devo 3 reais para 2 pessoas posso representar assim: 
(- 3). 2 = -6, ou seja, (-2) + (-2) + (-2) = -6. 
Exemplo 2: 
Desejo colocar 20 lápis em 4 caixas, de maneira que todas as caixas 
tenham o mesmo nº de lápis. Quantos lápis devo colocar em cada caixa? 
20 4 ou 20 : 4 = 5 ou 20 = 5 
0 5 4 
Devo colocar 5 lápis em cada caixa. 
E se eu quisesse colocar 20 lápis em 3 caixas? 
20 3 
2 6 
Recordando a multiplicação e divisão de nºs inteiros 
(positivos e negativos) 
(–5) • (– 4) = +20 (sinais iguais na multiplicação resultado positivo) 
(–8) • (+3) = – 24 (sinais diferentes na multiplicação resultado negativo) 
(+36): (+4) = +9 (sinais iguais na divisão resultado positivo) 
(+81): (– 3) = –27 (sinais diferentes na divisão resultado negativo) 
(–5) • (– 4) • (–7) = –140 
Conclusão: 
Colocaria 6 lápis em cada caixa e sobrariam 2. 
O resto é sempre positivo e menor que o divisor. 
divisor 
dividendo 
quociente 
resto 
+ 
(Como os dois primeiros sinais são iguais o 
resultado é positivo, como o outro sinal é 
diferente,o resultado fica negativo)
As regras dos sinais na multiplicação e divisão podem ser resumidas 
5² = 5. 5 = 25 
Mostra quantas vezes se 
repete à multiplicação do 
número que está na base. 53 = 125 
8 
em: 
Multiplicação ou Divisão de sinais iguais temos resultado positivo. 
Multiplicação ou Divisão de sinais diferentes o resultado é negativo. 
Resolva os exercícios abaixo em seu caderno e confira as respostas no 
GABARITO 
2) Efetue as operações indicadas: 
a) (-20): (+ 4) = e) (+ 40) • (-3)= 
b) (+10): (-5) = f) (- 100): (-20) = 
c) (–3) • (+ 2) = g) (+ 80) • (- 4) = 
d) (–4) • (–3) = h) (5 – 8) • (+ 2)= 
Obs: lembre-se que no último exercício o parêntese deve ser resolvido em 
primeiro lugar. 
4: POTENCIAÇÃO: 
Muitas vezes, você vai ter que multiplicar um mesmo número muitas 
vezes. Para facilitar você deve usar a potenciação. 
POTENCIAÇÃO é uma multiplicação de fatores iguais, isto é, uma 
multiplicação com o mesmo número. 
Veja como se pode abreviar uma multiplicação de fatores iguais: 
5.5 = 52 (lê-se: cinco elevado a segunda potência ou cinco elevado ao 
quadrado) 
5.5.5 = 53 (cinco elevado a terceira potência ou cinco elevado ao cubo) 
53 = 5. 5. 5 = 125 
Veja os nomes: 
expoente 
potência 
base 
Assim, 42 (quatro elevado à segunda potência) é 16 pois, 4 • 4 = 16 
Lembre-se: As potenciações de expoente 2 e 3 têm nomes especiais:
Expoentes pares = a resposta é sempre + (positivo) 
Ex.: ( – 3) 2 = –3 • –3 = +9 (sinais iguais da multiplicação). 
Expoentes Ímpares = a resposta tem sempre o mesmo sinal da base 
Ex.: ( – 5)3 = –5 • –5• –5 = –125 
9 
42 : quatro ao quadrado; 
43 : quatro ao cubo ; 
A potência também tem regras de sinais quando estamos operando 
(fazendo conta) com números positivos e negativos. 
Regras de sinais da potenciação 
Casos especiais de potenciação: 
Expoente zero= resultado 1, veja: ( -3) 0 = 1 
Expoente 1= resultado o próprio nº da base = (–9)1 = –9 
Base 0 = resultado zero 05 = 0 pois, 0 • 0 • 0 • 0 • 0 = 0 
Base 10 = resultado é o nº 1 seguido da quantidade de zeros que o 
expoente indica. 
101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10000 
Potência de expoente negativo (quando o nº é decimal ou fracionário 
de 10 e vice-versa) 
10-1 = 
1 = 0,1 10-2 = 
10 
1 = 0,01 10-3 = 
100 
1 = 0,001 
1000 
Veja alguns exemplos: 
(– 2) 4 = (–2) • (–2) • (–2) • (–2) = +16 
(+1)5 = +1 • +1 • +1 • +1 • +1 = 1 
(– 3) 3 = (-3) • (-3) • (-3) = – 27 
(+ 3) 3 = (+3) • (+3) •(+3) = 27 
Casos especiais: 
(-5)1 = -5 (-8)0 = 1 
(9)1= 9 
(2)-1 = 1 
2 
(1000)0 = 1 
(- 25)0 = 1 
3) Determine o resultado das potenciações observando a regra de sinais. 
a) (+9)3 = c) (-8)2 = e) (+5)o = 
b) (- 25)2 = d) (-4)3 = f) (- 10)1 =
Fração quer dizer pedaços do mesmo tamanho. 
Você tem um chocolate dividido em 5 partes iguais. Dessas 5 partes 
10 
FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS 
Representação: 2 numerador 
2 
= 
3 
4 
6 
você comeu 2. 
A fração que representa essa situação é 2 onde o nº 5 
5 
(denominador) mostra em quantas partes foi dividido o inteiro (chocolate) e o 
nº 2 (numerador) quantas partes foi considerado (comido) 
O chocolate inteiro é representado por 5 (nº do numerador igual ao nº 
do denominador) 5 
Partes comidas (duas) 
Total de partes divididas (cinco) 
TODA FRAÇÃO É UMA DIVISÃO. 
O traço de fração indica que você pode fazer a divisão do 
numerador pelo denominador.Veja o exemplo abaixo: 
Imagine que você precisa dividir R$ 25,00 igualmente entre 4 pessoas. 
Quanto cada uma receberá? 
Você pode representar essa situação em forma de fração como 
25 
4 
25 4 
10 6,25 
20 
Resposta: Cada pessoa receberá R$ 6,25 (seis reais e vinte e cinco 
centavos) 
FRAÇÕES IGUAIS OU EQUIVALENTES 
São frações que têm números diferentes mas, representam o mesmo 
tamanho de pedaços do inteiro.Veja o desenho abaixo 
2 = 4 = 12 
Utilizando uma fração para 
indicar a divisão, podemos 
representar: 25 = 6,25 
4 
5 denominador
11 
3 6 18 
“Uma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos o 
numerador e o denominador pelo mesmo número”. 
Ex: 20: 2= 10 ou 1. 3 = 3 
6: 2 3 3 . 3 9 
simplificação 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES: 
1. SOMA E SUBTRAÇÃO: 
Quando vamos efetuar uma soma ou uma subtração de frações devemos 
considerar dois casos: 
1º caso – As frações têm o mesmo número em baixo, ou seja, mesmo 
denominadores: 
Exemplo: 
Uma pizza foi dividida em 3 pedaços iguais. João comeu dois pedaços. 
Quanto sobrou? 
3 - 2 = 1 
3 3 3 
Logo, sobrou 1 da pizza. 
3 
PIZZA INTEIRA = 3 
3 
Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador devemos 
somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, os numeradores e 
manter o mesmo denominador. 
2º caso – As frações têm denominadores diferentes: 
Exemplo: 
Para fazer um trabalho escolar você usou dois terços de uma cartolina e 
sua irmã usou três quartos. Que fração de cartolina vocês dois usaram juntos? 
2 + 3 = 
3 4 
divid 
e 
multipli 
ca 
Você deve encontrar o m.m.c. 
dos denominadores 3 e 4 
3,4 2 
3,2 2 
3,1 3 2 •2 •3 =• m.m.c. = 12
12 
Resp: Usaram juntos 17 da cartolina ou 17 : 12 = 1,4 cartolinas. 
12 
Conclusão: Quando as frações têm denominadores diferentes, 
devemos primeiro reduzir as frações ao mesmo denominador para depois 
efetuar a soma ou subtração. 
2. MULTIPLICAÇÃO: 
Para multiplicarmos duas ou mais frações devemos, multiplicar os 
numeradores e os denominadores entre si. 
Exemplos: 
a) 3 • 1 = 3 b) – 2 • + 5 = –10 
4 5 20 3 3 9 
c) 1 • 9 = 9 d) - 6 • -3 • 1 = 18 
5 5 7 5 35 
OBSERVAÇÃO: Quando aparecem números que não apresentam 
denominadores, devemos considerar esse denominador valendo 1, veja: 
5 = 5 10 = 10 3 = 3 
1 1 1 
3. DIVISÃO: 
Para dividirmos duas frações devemos, copiar a primeira fração e 
multiplicá-la pelo inverso da segunda fração. 
Exemplos: 
a) 4 : 3 = 4 • 2 = 8 b) 5 : 2 = 5 • 8 = 40
13 
7 2 7 3 21 3 8 3 2 6 
4. Resolva as operações conforme as explicações acima: 
a) 8 : 6 = b) 6 – 7 = 
2 5 4 3 
c) 4 + 3 = d) 3 • 5 = 
9 4 2 6 
5. Resolva os problemas de acordo com o exemplo: 
Exemplo: 
Você vai fazer uma viagem de 1000 km. No primeiro dia anda 
3 dos 1000 km e no 2º dia, anda 1 dos 1000 km . Quantos km faltam? 
5 5 
OBSERVAÇÃO: Para calcular o valor ou a quantidade de uma fração 
em relação ao inteiro basta efetuar a multiplicação dos numeradores e em 
seguida efetuar a divisão. 
3 • 1000 = 3000 = 600 Km 
5 5 
1 • 1000 = 1000 = 200 Km 
5 5 
Agora resolva estes: 
a) Seu irmão tem R$ 224,00. 
Você tem 5 do que ele tem. Quanto em dinheiro você tem? 
7 
b) Você foi às compras levando R$ 12,00. 
Gastou 1 na padaria e 1 no açougue. Quanto lhe restou? 
5 4 
Você encontra cálculos de porcentagem em toda parte, no seu dia-a-dia. 
Mas o que significa e como calcular a porcentagem? 
PORCENTAGEM 
A porcentagem (%), compreende todos os problemas que se referem a 
tantos por cento, como as comissões, a corretagem, o desconto, etc.
Observe que uma porcentagem é uma fração de denominador 100, ou 
14 
seja, é “dividir por 100 e multiplicar pelo valor”. 
Por exemplo: 32% = 32 
100 
Quando queremos calcular uma porcentagem de algum número 
transformamos a porcentagem em fração e multiplicamos a fração por esse 
número: 
Exemplo 1: 12% de 50 = 12 • 50 = 600 = 6 
100 100 
Exemplo 2: 
150 kg de semente de algodão dão 32% de seu peso de azeite. Quantos 
quilos de azeite podemos obter? 
Resolução: 
32% de 150 = 32 • 150 = 4800 = 48 
100 100 
Resposta: Podemos obter 48 Kg de azeite. 
O que fazer para transformar uma fração em uma porcentagem? 
O mais prático é usar a calculadora para dividir o numerador pelo 
denominador e depois multiplicar o resultado por 100. 
1 = 100% = um inteiro 
1 = 0,5 = 50% 
1 = 0,25 = 25% 
4 2 
Exemplos: a) 8 = 8 :25 = 0,32 • 100 = 32 % 
25 
b) 4 = 4 : 7 = 0,5714 • 100 = 57,14% (com aproximação)
15 
7 
6. Resolva o problema: 
Você recebeu um aumento de 20% no seu salário que é de R$ 190,00. 
a) Qual o valor do aumento? 
b) Quanto ficará o novo salário? 
7) Copie e complete a tabela (use a calculadora). 
Porcentagem 50% 6% 25% 150% 
Forma fração 1/2 6/100 
Forma Decimal 0,5 0,75 
Você pode resolver porcentagens, regras de três e vários outros 
problemas através de proporções. 
PROPORÇÕES 
Exemplo: 
Vamos comparar o número de pára-choques, e o número de pneus de 
carros de passeio: 
um automóvel: 
2 pára-choques = 2 = 1 
4 pneus 4 2 
dois automóveis: 
4 pára-choques = 4 = 1 
8 pneus 8 2 
As razões: 1, 2, 4 , 6 são equivalentes, pois simplificando são iguais 
2 4 8 12 
1 = 2 1 = 6 2 = 6 4 = 6 
2 4 2 12 4 12 8 12 
Cada uma dessas igualdades chama-se proporção. 
simplificando
Diretamente proporcional, 
quando as duas grandezas 
aumentam ou as duas 
diminuem . 
16 
Proporção é a igualdade de duas razões. 
Ex: 20 = 8 Extremos = 20 . 2 = 40 
5 2 Meios = 5 . 8 = 40 
NUMA PROPORÇÃO O PRODUTO DOS EXTREMOS É 
IGUAL AO PRODUTO DOS MEIOS. 
Exemplo 1 : 
Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo 
condições equivalentes, quanto consumirá esse mesmo carro para percorrer 
840 Km? 
Monte a proporção separando as grandezas em colunas. 
Litros Km 
50 = 600 600 x = 50 . 840 
x 840 x = 42000 
600 
x =70 litros 
Resposta :O carro consumirá 70 litros. 
Exemplo 2: 
Para construir uma casa em 24 dias preciso de 10 pedreiros. Quantos 
dias são necessários para construir a mesma casa com 15 pedreiros ? 
Dias pedreiros 
24 10 x = 10 
x 15 24 15 
Inversamente 
proporcional 
quando uma 
grandeza 
aumenta e 
outra diminui. 
15x = 24 . 10 
x = 240 
15 
x = 16 dias 
aumenta 
aumenta 
diminui 
aumenta
17 
Neste caso devemos inverter a grandeza onde está a letra x. 
Resposta : São necessários 16 dias. 
8 - Resolva em seu caderno: 
a) No curso de Medicina, para cada 2 moças, estudam 5 rapazes. 
Sabendo-se que há 100 moças, quantos rapazes estudam medicina? 
b) Em uma fábrica de calçados, para cada 5 homens empregados são 
também admitidas 3 mulheres. Sabendo-se que há 600 mulheres empregadas, 
qual o nº total de empregados que a fábrica possui? 
c) Numa velocidade média de 80 Km/h, fiz uma viagem em 14 horas. 
Se a velocidade fosse de 70 Km/h, em quanto tempo eu faria essa viagem? 
Toda mercadoria que você compra a prazo, tem juros embutidos no 
preço total. Veja como calcular esses juros. 
JUROS SIMPLES: 
Tente resolver: 
Que juros você paga em 5 meses por uma TV de R$ 600,00 à uma taxa 
de 10% ao mês? 
Juros Simples (J)= Depositando-se dinheiro num banco, ou 
emprestando-se a uma pessoa, recebe-se um prêmio chamado juro. 
Capital (C) = é o dinheiro, ou seja, a quantidade depositada ou 
emprestada. 
Taxa (i) = em geral é dada sob a forma de porcentagem durante um 
tempo determinado. Assim 10% (dez por cento), ao mês significa que R$ 
100,00 rendem R$ 10,00 em um mês. 
Resolvendo o problema acima: 
t = (tempo) = 5 meses 
i = ( taxa ) = 10% 10 
100
18 
C = (Capital) = (preço da TV) = R$ 600,00 
600. 10 = 6000 = 60 então: R$ 60,00 em 1 mês. 
100 100 
Como são 5 meses temos que: 
60 • 5= 300 
Resposta: Juros de R$ 300,00 
Também você pode resolver este problema através de uma fórmula 
resolutiva, veja: 
J = c • i • t onde: J = juros 
100 c = capital 
i = taxa 
t = tempo 
J = 600 •10 • 5 
100 
J = 300,00 
Agora é com você ! Resolva. 
9- Qual o juro produzido por um capital de R$ 800,00 a uma taxa de 5% 
em 3 meses? 
GABARITO MÓDULO 1 
1 ) a ) 80 b ) -10 c ) - 15 
d ) -9 e ) 15 f ) - 37 
2 ) a ) -5 b ) –2 c ) -6 
d ) 12 e ) –120 f ) 5 
g ) -320 h ) - 6 
3 ) a ) 729 b ) 625 c ) 64 
d ) –64 e ) 1 f ) –10
19 
4 ) a ) 40 b ) – 10 c ) 43 d) 15 
12 12 36 12 
5 ) a ) R$ 160,00 b ) Restaram R$ 6,60 
6 ) a ) R$ 38,00 b ) R$ 228,00 
7 ) 
Porcentagem 50% 6% 25% 150% 75% 
Forma fração 1/2 6/100 25/100 150/100 75/100 
Forma Decimal 0,5 0,06 0,25 1,5 0,75 
8 ) a ) 250 rapazes b ) 1600 funcionários 
c ) 16 horas 
9 ) R$ 120,00 
MÓDULO 2 
E Q U A Ç Ã O 
É uma sentença matemática que tem sentido completo, portanto, é uma 
igualdade (=) que envolve uma incógnita ou variável (letra) que está 
representando um número ou valor. 
VEJA: 
O dobro de um número ............. 2.X ........ sentido incompleto 
O dobro de um número é vinte...........2.X = 20 sentido completo 
As equações são classificadas de acordo com o maior expoente da 
incógnita ou letra em:
20 
1º GRAU ( o expoente da letra é 1) ex.: 3X +4 = 10 
2º GRAU ( o expoente da letra é 2) ex.: X² +4X – 3 = 0 
3º GRAU ( o expoente da letra é 3) ex.: X³ -5X² +X = 0 e assim por 
diante 
RESOLVER uma equação é achar o valor da letra que torna a equação 
verdadeira. Esse valor é denominado raiz da equação. 
OBSERVE E TRADUZA PARA A LINGUAGEM DA 
MATEMÁTICA: 
Em Português: O dobro de um número é igual a vinte. 
Em Matemática: 2.X = 20 
Qual é o valor de X que torna a igualdade verdadeira? 
X = 10 veja 2 . 10 = 20 
20 = 20 verdadeiro 
Para resolver equações mais complexas (difíceis) é necessário separar os 
termos que são semelhantes. Quem separa é o sinal de igual (=). 
Devemos seguir os seguintes passos: 
- Isolar ou separar os termos que têm letras de um lado da 
igualdade e os números do outro lado, 
- Ao passar os termos de um lado para outro deve-se aplicar a 
operação inversa (troca de conta ou sinal): 
de + para - ou de - para + 
de • para : ou de : para • 
Observe o esquema abaixo para entender melhor: 
INVERTE O SINAL 
LETRA / LETRA = NÚMERO / NÚMERO 
INVERTE O SINAL
21 
Exemplo 1: Exemplo 2 : 
Exemplo 3 : 
Resolva a equação 3 ( X – 2) = x – 8 
3 . (x - 2) = x - 8 
3x - 6 = x - 8 
3x - x = - 8 + 6 
2x = -2 
x = - 2 
2 
Multiplica, aplicando a propriedade 
distributiva (multiplica o nº de fora do 
parênteses pelos 2 termos de dentro do 
parênteses 
Aplica a operação inversa ( invertendo 
o sinal) 
Está resolvida, assim, a nossa equação. Se quiser conferir se a solução é 
realmente a que encontramos, devemos substituir x por -1 na equação 
dada. Veja: 
3 ( X – 2) = x – 8 
3 . ( -1 –2 ) = -1 -8 
3 • (– 3) = -1 –8 
-9 = -9 
Está certo. A raiz da equação dada é realmente 
x = -1 . 
Exemplo 4 : 
Como resolver a equação fracionária abaixo? 
X + 3x = 4x + 7 
2 1 5 1 
X = -1 
Passa dividindo 
3x – 5 = x – 2 
3x – x = - 2 + 5 
2x = 3 
x = 3 
2 
Coloque 1 onde não 
tem denominador 
Encontre o m.m.c. 
dos denominadores 
m.m.c 2, 5 2 
1, 5 5 
1, 1 10 
Divide o m.m.c pelo 
X + 3 = 8 
X = 8 –3 
X = 5 
troca o 
sinal
22 
5 • x + 10 . 3x = 2 . 4x + 10. 7 
10 
5x +30x = 8x + 70 
5x + 30x - 8x = 70 
27x = 70 
x = 70 
27 
EXERCÍCIOS: 
1) Resolva as equações abaixo: 
a) 3x + 4 = 25 e ) 5x + 2 = -x + 20 
b) 5(x – 1) – 19 = 3(x – 2) f) x + 9 = 15 
c ) 3 (x + 2) = 5x – 8 g) 5 ( x –5) = x + 3 
d ) 7x – 1 = 13 h) 3x + 1 = x + 4 
LEMBRE-SE: nº antes de parênteses está multiplicando os de dentro do 
parênteses. 
EQUACIONANDO UM PROBLEMA 
Rigorosamente falando, equacionar um problema envolve escrever a 
equação (ou as equações) de modo que ela expresse em linguagem matemática 
o que foi dado no problema em linguagem comum. 
Veja, então, como fazer isso com problemas algébricos, ou melhor, com 
problemas que admitem solução por meio de uma equação. 
EXEMPLO1: 
Qual é o número cujo dobro, mais 5, é igual a 17? 
Equacione o problema, chamando o número desconhecido de x. Saiba 
que não importa a letra que você usa para designar a incógnita, isto é, o 
número procurado, mas é universal o uso do x. O fato importante é que: 
Dobro do nº
23 
2 X + 5 = 17 
Para determinar o valor de x, é só resolver a equação lembrando que você 
deve aplicar a operação inversa . 
Verifique: 
2 . x + 5 = 17 
2 . x = 17 - 5 
2 • X = 12 
x = 12 
2 
x = 6 
Está multiplicando, 
passa do outro lado 
dividindo 
Vamos ver outro exemplo de equacionamento de problemas. É 
interessante que você experimente responder a estas duas perguntas antes de 
continuar a leitura: 
a) O que é x, neste caso? (Qual é a incógnita?) 
b) O que sabemos sobre x? (Qual é a equação?) 
EXEMPLO 2: 
Qual o número cuja metade é a sexta parte de 42? 
Equacionamos assim: 
X = número 
O que sabemos: X = 42 
2 6 
Aplicando a regra da proporção fica: 
6 . x = 42 . 2 
6 . x = 84 
x = 84 
6 
x = 14 
Está resolvido e a resposta é 14. 
multiplicando
24 
EXERCÍCIOS: 
2) Equacione e resolva os seguintes problemas algébricos: 
a) Qual é o número cujo triplo, mais 7, é igual a 23? 
b) Qual é número cujo dobro menos 10, é igual ao seu triplo mais 8? 
c) Qual é o número cuja metade é a sexta parte de 21? 
Agora você vai resolver alguns problemas com o auxílio da álgebra. Em cada 
um deles tente, a partir do enunciado obter uma equação e, em seguida, 
resolvê-la 
EXEMPLO 3: 
Uma caixa com 30 lápis custa R$ 4,80. Quanto deverá custar uma outra com 
40 lápis? 
Este é um problema de regra de três (módulo 1 ). Problemas como esse 
são freqüentes em nossa vida. 
Lápis R$ 
30 4,80 
40 x 
30. x = 40 . 4,80 equação 
x = 192 
30 
x = 6,40 
Diretamente 
proporcional 
Logo, a caixa maior deverá custar R$ 6,40 
EXERCÍCIOS: 
Resolva os problemas: 
3) A soma de um número com seu consecutivo é 69. Qual é esse número? 
Atenção: consecutivo é x + 1 
4) Em certo mercado, uma caixa com uma dúzia de ovos custa R$ 2,80 e 
uma outra com 18 ovos custa R$ 4,00. Qual das duas embalagens é mais 
econômica?
25 
VALOR NUMÉRICO 
Valor numérico é o valor que a expressão algébrica assume quando 
você substitui a letra X por determinados números. 
1º EXEMPLO: 
Determine o valor numérico de : 
x² - 3 . x , para x = 4 
1º passo: substituímos a letra x pelo número 4. 
x² - 3 . x = 
4² - 3 . 4 = 
2º: passo: efetuamos as operações indicadas. 
= 16 – 12 = = 4 
Portanto o valor numérico de x² - 3 é 4. 
2º EXEMPLO: 
Calcule o valor numérico de : 
3x + 4y , para x = 2 e y = -3 
3 . 2 + 4 . (-3) 
6 - 12 
-6 , logo, o valor numérico é -6 
O raciocínio algébrico é mesmo muito útil, poderoso e até mesmo 
muito atual em termos de pensamento matemático. Use-o nos próximos 
exercícios, não esquecendo de que o importante é a compreensão do que 
estamos estudando. 
EXERCÍCIOS: 
5) Determine o valor numérico das seguintes expressões: 
a) x³ + 2. x para x = 2 
b) 18 + 5 para x = 3 
x 
c ) x + 2. x – 9 para x = -1 
d ) b² - 4 .a. c para a = 2, b = -6 e c = 1
6) Você certamente reparou que os calçados são medidos por números: 35, 
36, 37,... para as mulheres e 39, 40, 41,... para a maioria dos homens. Mas, 
existem, pés maiores. 
O número do sapato depende do comprimento do pé, e a fórmula para 
calcular o número do calçado é a seguinte: 
26 
N = 5 . c + 28 
N é o número do sapato 
C é o comprimento do pé, em centímetros 
a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 24 cm? 
GABARITO MÒDULO 2 
1 ) a ) 7 b) 9 c) 7 d ) 2 
e ) 3 f ) 6 g ) 7 h) 3 
2 
2 ) a ) 
16 b ) – 18 c ) 7 
3 
3 ) 34 e 35 
4 ) a segunda embalagem é mais econômica 
5 ) a ) 12 b ) 11 c ) –12 d ) 28 
6 ) a ) 37 
4 Lembre-se do cálculo do 
valor numérico, é do 
mesmo jeito que se
Bibliografia: 
Desenhos ilustrativos tirados dos livros: 
BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, 
José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série 
São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995. 
IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série 
São Paulo. Editora Scipione. 1999. 
SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E 
HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 
1997. 
27 
ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: 
- Elisa Rocha Pinto de Castro 
- Francisco Carlos Vieira dos Santos 
- Josué Elias Latance 
- Rosy Ana Vectirans 
COLABORAÇÃO: 
- Adriana Moreira Molinar 
- Esmeralda Cristina T. Ramon 
- Rosimeire Maschetto Nieri 
- Sara M. Santos 
DIREÇÃO: 
- Elisabete Marinoni Gomes 
- Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper 
COORDENAÇÃO: 
- Neiva Aparecida Ferraz Nunes 
APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim
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Matematica1em

  • 1. Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim
  • 2. 2 APRESENTAÇÃO Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você encontrará o conteúdo da programação da 1ª série do Ensino Médio (2º Grau). Não se aprende Matemática lendo, é preciso usar lápis e papel para resolver os exercícios. As dúvidas que surgirem, deverão ser esclarecidas com o Orientador de Aprendizagem na Sala de Matemática. Os exercícios que farão parte desta Apostila são de sua responsabilidade. Se necessário, tire suas dúvidas com o Professor. Com certeza, as dificuldades surgirão e para tentar resolvê-las procuramos elaborar esta apostila de maneira mais simples e objetiva com uma metodologia auto-instrucional, atendendo as necessidades de que o aluno é levado a construir seu conhecimento gradativamente. No final do curso você verá que adquiriu uma série de conhecimentos que lhe serão ferramentas para compreender melhor o mundo que o cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Não escreva na apostila, use seu caderno! META DOS ORIENTADORES DE APRENDIZAGEM “Formar indivíduos competitivos, com responsabilidade social, adequando seus valores e conhecimentos, a fim de se tornarem agentes transformadores dentro de uma visão de mundo, acreditando no valor daquilo que vêem e pensam”. OBJETIVOS (Módulo 1 e 2 ) Nesta U.E. você será capaz de; - Fazer uso das operações básicas da matemática (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação no conjunto dos números racionais); - Aplicar as técnicas de resoluções da equação do 1º grau em soluções de problemas; - Reconhecer figuras geométricas e aplicar suas respectivas fórmulas no cálculo das áreas; - Aplicar o conceito do Teorema de Tales na resolução de problemas que envolvam triângulos semelhantes; - Aplicar o Teorema de Pitágoras para resolver situações –problemas que envolvam medidas dos lados do triângulo retângulo.
  • 3. 3 MÓDULO 1 RECORDANDO AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS Todos os dias, você usa dos recursos da Matemática para resolver pequenos e grandes problemas que aparecem na sua vida. Nesse módulo você vai estudar alguns desses recursos, para que seus cálculos estejam sempre corretos. Você iniciará esse Curso de Matemática do Ensino Médio recordando as quatro operações. Lembre-se: muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quais as operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em Matemática, o mais importante é o raciocínio. Lendo os quatro problemas abaixo você vai usar as operações matemáticas que fazem parte do seu dia-a-dia. Um motorista de táxi andou 120 Km num dia e 162 Km no dia seguinte. No total quanto ele andou nesses dois dias? Um tênis que custa R$ 37,00 foi pago com uma nota de R$ 50,00. De quanto foi o troco? Uma caixa de leite tipo “longa vida” possui 12 litros de leite. Quantos litros existem em 12 caixas? Devo repartir 24 balas igualmente entre meus 3 filhos. Quantas balas deve receber cada um? Quais são as operações que você usa para resolver estas questões? RESPOSTAS: 1- Soma 2- Subtração 3- Multiplicação 4 - Divisão Muitas vezes, na nossa vida, nos deparamos com operações em que necessitamos de números que representam dívidas, valores menores que zero etc, (esses números são escritos acompanhados do sinal negativo). Eles estão no Conjunto Z = ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... que se chama Conjunto dos Números Inteiros. As quatro operações fundamentais:
  • 4. 1. ADIÇÃO: é usada para agrupar ou juntar quantidades de duas ou 4 mais grandezas que identificam a mesma coisa. Exemplo1: Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 10 alunos, outra com 17 alunos e outra com 18. Quantos alunos existem ao todo nesta escola? Para reunir os alunos das 3 turmas devemos somar a quantidade de alunos de cada turma. Assim: 10 + 17 + 18 = 45 parcelas soma ou total Existem, portanto, 45 alunos nesta escola. Obs: Cada um dos números que está sendo adicionado chama-se parcela e o resultado é a soma ou total Exemplo 2: Devo R$ 12,00 na padaria e devo R$ 17,00 no açougue. Qual é o total da minha dívida? –12 – 17= –29 Devemos usar o sinal negativo ( -) quando queremos representar uma dívida e o sinal positivo ( + ) quando queremos representar o dinheiro para pagar essa dívida. Observe que, se eu devo 12 reais e faço outra dívida de 17 reais, então é necessário que eu some essas dívidas para descobrir o quanto estou devendo. 2. SUBTRAÇÃO: É usada sempre que quisermos saber a “sobra” ou a diferença entre a quantidade de uma grandeza positiva e de outra negativa. E a sobra será representada pela quantidade maior. Exemplo 1: Continuando com o exemplo anterior. Se eu descobri que estou devendo 29 reais, e tenho uma nota de R$ 50,00 para pagar essa dívida, devo representar assim:
  • 5. 5 - 29 + 50 = + 21 Ou seja, se eu estou devendo 29 reais, uso o sinal negativo (-) para representar a dívida e se tenho 50 reais para pagar essa dívida, uso o sinal positivo (+) para representar o dinheiro. Assim, como o dinheiro que tenho é maior do que a quantidade que devo, pago a dívida e ainda me sobram 21 reais. Por isso que o resultado é + 21. Exemplo 2: Uma secretária recebeu a tarefa de pagar uma dívida de R$60,00 levando consigo R$100,00. Como podemos representar essa situação? – 60 +100 = +40, ou seja, ela deve 60 reais (-) e tem 100 reais (+) para pagar essa dívida. Então ela paga a dívida e ainda lhe restam 40 reais (+). OBSERVAÇÃO: Todo número positivo pode ser escrito sem o sinal de +. Porém todo número negativo deve sempre vir acompanhado do sinal de - . No exemplo anterior se quiséssemos escrever apenas 40 ao invés de +40 poderíamos. CONCLUSÃO: Quando temos números com sinais iguais devemos: somar os números e manter o mesmo sinal Quando temos números com sinais diferentes devemos: subtrair os números e manter o sinal do número maior. Observe agora outros exemplos: Exemplo 3: João abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta apresentou o seguinte movimento:
  • 6. 6 Dia Saldo inicial Depósito Retirada 10 00,00 10 60,00 12 25,00 15 65,00 18 20,00 21 12,00 Descubra o saldo bancário de João. Se você encontrou saldo positivo de R$ 68, 00, parabéns! Veja abaixo como se faz: 60 –25 + 65 – 20 – 12 = 60 + 65 – 25 – 20 – 12 = 125 – 57 = 68 Nesse caso a melhor forma de fazer o cálculo é “juntar”, somando os números positivos (depósitos) e “juntar”, somando, os números negativos (retiradas). Depois efetuar a subtração entre os dois e verificar se “sobrou” positivo ou negativo. Exemplo 4: Se você tem R$1200,00 no banco, e compra uma geladeira de R$ 1100,00 e um televisor de R$900,00 e paga com cheque como fica seu saldo bancário se você fez um deposito de R$300,00? +1200 – 1100 – 900 +300 = +1500 – 2000 = – 500 Exercícios: 1. Copie e resolva as seguintes operações no seu caderno: a) 37 + 43 = d) – 8 + 4 –12 +7= b) 37 – 47 = e) – 30 + 45 = c) –9 – 6 = f) + 24 –72 + 11 = 3. MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO:
  • 7. 7 Lembrando que a multiplicação nada mais é do que a soma de números iguais e a divisão como a operação que nos ajuda a repartir certas quantidades em partes iguais, observe: 4 X 5 quer dizer quatro vezes o número cinco, ou seja, 5 + 5 + 5 +5 que é igual a vinte. Exemplo 1: Se eu devo 3 reais para 2 pessoas posso representar assim: (- 3). 2 = -6, ou seja, (-2) + (-2) + (-2) = -6. Exemplo 2: Desejo colocar 20 lápis em 4 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo nº de lápis. Quantos lápis devo colocar em cada caixa? 20 4 ou 20 : 4 = 5 ou 20 = 5 0 5 4 Devo colocar 5 lápis em cada caixa. E se eu quisesse colocar 20 lápis em 3 caixas? 20 3 2 6 Recordando a multiplicação e divisão de nºs inteiros (positivos e negativos) (–5) • (– 4) = +20 (sinais iguais na multiplicação resultado positivo) (–8) • (+3) = – 24 (sinais diferentes na multiplicação resultado negativo) (+36): (+4) = +9 (sinais iguais na divisão resultado positivo) (+81): (– 3) = –27 (sinais diferentes na divisão resultado negativo) (–5) • (– 4) • (–7) = –140 Conclusão: Colocaria 6 lápis em cada caixa e sobrariam 2. O resto é sempre positivo e menor que o divisor. divisor dividendo quociente resto + (Como os dois primeiros sinais são iguais o resultado é positivo, como o outro sinal é diferente,o resultado fica negativo)
  • 8. As regras dos sinais na multiplicação e divisão podem ser resumidas 5² = 5. 5 = 25 Mostra quantas vezes se repete à multiplicação do número que está na base. 53 = 125 8 em: Multiplicação ou Divisão de sinais iguais temos resultado positivo. Multiplicação ou Divisão de sinais diferentes o resultado é negativo. Resolva os exercícios abaixo em seu caderno e confira as respostas no GABARITO 2) Efetue as operações indicadas: a) (-20): (+ 4) = e) (+ 40) • (-3)= b) (+10): (-5) = f) (- 100): (-20) = c) (–3) • (+ 2) = g) (+ 80) • (- 4) = d) (–4) • (–3) = h) (5 – 8) • (+ 2)= Obs: lembre-se que no último exercício o parêntese deve ser resolvido em primeiro lugar. 4: POTENCIAÇÃO: Muitas vezes, você vai ter que multiplicar um mesmo número muitas vezes. Para facilitar você deve usar a potenciação. POTENCIAÇÃO é uma multiplicação de fatores iguais, isto é, uma multiplicação com o mesmo número. Veja como se pode abreviar uma multiplicação de fatores iguais: 5.5 = 52 (lê-se: cinco elevado a segunda potência ou cinco elevado ao quadrado) 5.5.5 = 53 (cinco elevado a terceira potência ou cinco elevado ao cubo) 53 = 5. 5. 5 = 125 Veja os nomes: expoente potência base Assim, 42 (quatro elevado à segunda potência) é 16 pois, 4 • 4 = 16 Lembre-se: As potenciações de expoente 2 e 3 têm nomes especiais:
  • 9. Expoentes pares = a resposta é sempre + (positivo) Ex.: ( – 3) 2 = –3 • –3 = +9 (sinais iguais da multiplicação). Expoentes Ímpares = a resposta tem sempre o mesmo sinal da base Ex.: ( – 5)3 = –5 • –5• –5 = –125 9 42 : quatro ao quadrado; 43 : quatro ao cubo ; A potência também tem regras de sinais quando estamos operando (fazendo conta) com números positivos e negativos. Regras de sinais da potenciação Casos especiais de potenciação: Expoente zero= resultado 1, veja: ( -3) 0 = 1 Expoente 1= resultado o próprio nº da base = (–9)1 = –9 Base 0 = resultado zero 05 = 0 pois, 0 • 0 • 0 • 0 • 0 = 0 Base 10 = resultado é o nº 1 seguido da quantidade de zeros que o expoente indica. 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10000 Potência de expoente negativo (quando o nº é decimal ou fracionário de 10 e vice-versa) 10-1 = 1 = 0,1 10-2 = 10 1 = 0,01 10-3 = 100 1 = 0,001 1000 Veja alguns exemplos: (– 2) 4 = (–2) • (–2) • (–2) • (–2) = +16 (+1)5 = +1 • +1 • +1 • +1 • +1 = 1 (– 3) 3 = (-3) • (-3) • (-3) = – 27 (+ 3) 3 = (+3) • (+3) •(+3) = 27 Casos especiais: (-5)1 = -5 (-8)0 = 1 (9)1= 9 (2)-1 = 1 2 (1000)0 = 1 (- 25)0 = 1 3) Determine o resultado das potenciações observando a regra de sinais. a) (+9)3 = c) (-8)2 = e) (+5)o = b) (- 25)2 = d) (-4)3 = f) (- 10)1 =
  • 10. Fração quer dizer pedaços do mesmo tamanho. Você tem um chocolate dividido em 5 partes iguais. Dessas 5 partes 10 FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS Representação: 2 numerador 2 = 3 4 6 você comeu 2. A fração que representa essa situação é 2 onde o nº 5 5 (denominador) mostra em quantas partes foi dividido o inteiro (chocolate) e o nº 2 (numerador) quantas partes foi considerado (comido) O chocolate inteiro é representado por 5 (nº do numerador igual ao nº do denominador) 5 Partes comidas (duas) Total de partes divididas (cinco) TODA FRAÇÃO É UMA DIVISÃO. O traço de fração indica que você pode fazer a divisão do numerador pelo denominador.Veja o exemplo abaixo: Imagine que você precisa dividir R$ 25,00 igualmente entre 4 pessoas. Quanto cada uma receberá? Você pode representar essa situação em forma de fração como 25 4 25 4 10 6,25 20 Resposta: Cada pessoa receberá R$ 6,25 (seis reais e vinte e cinco centavos) FRAÇÕES IGUAIS OU EQUIVALENTES São frações que têm números diferentes mas, representam o mesmo tamanho de pedaços do inteiro.Veja o desenho abaixo 2 = 4 = 12 Utilizando uma fração para indicar a divisão, podemos representar: 25 = 6,25 4 5 denominador
  • 11. 11 3 6 18 “Uma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número”. Ex: 20: 2= 10 ou 1. 3 = 3 6: 2 3 3 . 3 9 simplificação OPERAÇÕES COM FRAÇÕES: 1. SOMA E SUBTRAÇÃO: Quando vamos efetuar uma soma ou uma subtração de frações devemos considerar dois casos: 1º caso – As frações têm o mesmo número em baixo, ou seja, mesmo denominadores: Exemplo: Uma pizza foi dividida em 3 pedaços iguais. João comeu dois pedaços. Quanto sobrou? 3 - 2 = 1 3 3 3 Logo, sobrou 1 da pizza. 3 PIZZA INTEIRA = 3 3 Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador devemos somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, os numeradores e manter o mesmo denominador. 2º caso – As frações têm denominadores diferentes: Exemplo: Para fazer um trabalho escolar você usou dois terços de uma cartolina e sua irmã usou três quartos. Que fração de cartolina vocês dois usaram juntos? 2 + 3 = 3 4 divid e multipli ca Você deve encontrar o m.m.c. dos denominadores 3 e 4 3,4 2 3,2 2 3,1 3 2 •2 •3 =• m.m.c. = 12
  • 12. 12 Resp: Usaram juntos 17 da cartolina ou 17 : 12 = 1,4 cartolinas. 12 Conclusão: Quando as frações têm denominadores diferentes, devemos primeiro reduzir as frações ao mesmo denominador para depois efetuar a soma ou subtração. 2. MULTIPLICAÇÃO: Para multiplicarmos duas ou mais frações devemos, multiplicar os numeradores e os denominadores entre si. Exemplos: a) 3 • 1 = 3 b) – 2 • + 5 = –10 4 5 20 3 3 9 c) 1 • 9 = 9 d) - 6 • -3 • 1 = 18 5 5 7 5 35 OBSERVAÇÃO: Quando aparecem números que não apresentam denominadores, devemos considerar esse denominador valendo 1, veja: 5 = 5 10 = 10 3 = 3 1 1 1 3. DIVISÃO: Para dividirmos duas frações devemos, copiar a primeira fração e multiplicá-la pelo inverso da segunda fração. Exemplos: a) 4 : 3 = 4 • 2 = 8 b) 5 : 2 = 5 • 8 = 40
  • 13. 13 7 2 7 3 21 3 8 3 2 6 4. Resolva as operações conforme as explicações acima: a) 8 : 6 = b) 6 – 7 = 2 5 4 3 c) 4 + 3 = d) 3 • 5 = 9 4 2 6 5. Resolva os problemas de acordo com o exemplo: Exemplo: Você vai fazer uma viagem de 1000 km. No primeiro dia anda 3 dos 1000 km e no 2º dia, anda 1 dos 1000 km . Quantos km faltam? 5 5 OBSERVAÇÃO: Para calcular o valor ou a quantidade de uma fração em relação ao inteiro basta efetuar a multiplicação dos numeradores e em seguida efetuar a divisão. 3 • 1000 = 3000 = 600 Km 5 5 1 • 1000 = 1000 = 200 Km 5 5 Agora resolva estes: a) Seu irmão tem R$ 224,00. Você tem 5 do que ele tem. Quanto em dinheiro você tem? 7 b) Você foi às compras levando R$ 12,00. Gastou 1 na padaria e 1 no açougue. Quanto lhe restou? 5 4 Você encontra cálculos de porcentagem em toda parte, no seu dia-a-dia. Mas o que significa e como calcular a porcentagem? PORCENTAGEM A porcentagem (%), compreende todos os problemas que se referem a tantos por cento, como as comissões, a corretagem, o desconto, etc.
  • 14. Observe que uma porcentagem é uma fração de denominador 100, ou 14 seja, é “dividir por 100 e multiplicar pelo valor”. Por exemplo: 32% = 32 100 Quando queremos calcular uma porcentagem de algum número transformamos a porcentagem em fração e multiplicamos a fração por esse número: Exemplo 1: 12% de 50 = 12 • 50 = 600 = 6 100 100 Exemplo 2: 150 kg de semente de algodão dão 32% de seu peso de azeite. Quantos quilos de azeite podemos obter? Resolução: 32% de 150 = 32 • 150 = 4800 = 48 100 100 Resposta: Podemos obter 48 Kg de azeite. O que fazer para transformar uma fração em uma porcentagem? O mais prático é usar a calculadora para dividir o numerador pelo denominador e depois multiplicar o resultado por 100. 1 = 100% = um inteiro 1 = 0,5 = 50% 1 = 0,25 = 25% 4 2 Exemplos: a) 8 = 8 :25 = 0,32 • 100 = 32 % 25 b) 4 = 4 : 7 = 0,5714 • 100 = 57,14% (com aproximação)
  • 15. 15 7 6. Resolva o problema: Você recebeu um aumento de 20% no seu salário que é de R$ 190,00. a) Qual o valor do aumento? b) Quanto ficará o novo salário? 7) Copie e complete a tabela (use a calculadora). Porcentagem 50% 6% 25% 150% Forma fração 1/2 6/100 Forma Decimal 0,5 0,75 Você pode resolver porcentagens, regras de três e vários outros problemas através de proporções. PROPORÇÕES Exemplo: Vamos comparar o número de pára-choques, e o número de pneus de carros de passeio: um automóvel: 2 pára-choques = 2 = 1 4 pneus 4 2 dois automóveis: 4 pára-choques = 4 = 1 8 pneus 8 2 As razões: 1, 2, 4 , 6 são equivalentes, pois simplificando são iguais 2 4 8 12 1 = 2 1 = 6 2 = 6 4 = 6 2 4 2 12 4 12 8 12 Cada uma dessas igualdades chama-se proporção. simplificando
  • 16. Diretamente proporcional, quando as duas grandezas aumentam ou as duas diminuem . 16 Proporção é a igualdade de duas razões. Ex: 20 = 8 Extremos = 20 . 2 = 40 5 2 Meios = 5 . 8 = 40 NUMA PROPORÇÃO O PRODUTO DOS EXTREMOS É IGUAL AO PRODUTO DOS MEIOS. Exemplo 1 : Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, quanto consumirá esse mesmo carro para percorrer 840 Km? Monte a proporção separando as grandezas em colunas. Litros Km 50 = 600 600 x = 50 . 840 x 840 x = 42000 600 x =70 litros Resposta :O carro consumirá 70 litros. Exemplo 2: Para construir uma casa em 24 dias preciso de 10 pedreiros. Quantos dias são necessários para construir a mesma casa com 15 pedreiros ? Dias pedreiros 24 10 x = 10 x 15 24 15 Inversamente proporcional quando uma grandeza aumenta e outra diminui. 15x = 24 . 10 x = 240 15 x = 16 dias aumenta aumenta diminui aumenta
  • 17. 17 Neste caso devemos inverter a grandeza onde está a letra x. Resposta : São necessários 16 dias. 8 - Resolva em seu caderno: a) No curso de Medicina, para cada 2 moças, estudam 5 rapazes. Sabendo-se que há 100 moças, quantos rapazes estudam medicina? b) Em uma fábrica de calçados, para cada 5 homens empregados são também admitidas 3 mulheres. Sabendo-se que há 600 mulheres empregadas, qual o nº total de empregados que a fábrica possui? c) Numa velocidade média de 80 Km/h, fiz uma viagem em 14 horas. Se a velocidade fosse de 70 Km/h, em quanto tempo eu faria essa viagem? Toda mercadoria que você compra a prazo, tem juros embutidos no preço total. Veja como calcular esses juros. JUROS SIMPLES: Tente resolver: Que juros você paga em 5 meses por uma TV de R$ 600,00 à uma taxa de 10% ao mês? Juros Simples (J)= Depositando-se dinheiro num banco, ou emprestando-se a uma pessoa, recebe-se um prêmio chamado juro. Capital (C) = é o dinheiro, ou seja, a quantidade depositada ou emprestada. Taxa (i) = em geral é dada sob a forma de porcentagem durante um tempo determinado. Assim 10% (dez por cento), ao mês significa que R$ 100,00 rendem R$ 10,00 em um mês. Resolvendo o problema acima: t = (tempo) = 5 meses i = ( taxa ) = 10% 10 100
  • 18. 18 C = (Capital) = (preço da TV) = R$ 600,00 600. 10 = 6000 = 60 então: R$ 60,00 em 1 mês. 100 100 Como são 5 meses temos que: 60 • 5= 300 Resposta: Juros de R$ 300,00 Também você pode resolver este problema através de uma fórmula resolutiva, veja: J = c • i • t onde: J = juros 100 c = capital i = taxa t = tempo J = 600 •10 • 5 100 J = 300,00 Agora é com você ! Resolva. 9- Qual o juro produzido por um capital de R$ 800,00 a uma taxa de 5% em 3 meses? GABARITO MÓDULO 1 1 ) a ) 80 b ) -10 c ) - 15 d ) -9 e ) 15 f ) - 37 2 ) a ) -5 b ) –2 c ) -6 d ) 12 e ) –120 f ) 5 g ) -320 h ) - 6 3 ) a ) 729 b ) 625 c ) 64 d ) –64 e ) 1 f ) –10
  • 19. 19 4 ) a ) 40 b ) – 10 c ) 43 d) 15 12 12 36 12 5 ) a ) R$ 160,00 b ) Restaram R$ 6,60 6 ) a ) R$ 38,00 b ) R$ 228,00 7 ) Porcentagem 50% 6% 25% 150% 75% Forma fração 1/2 6/100 25/100 150/100 75/100 Forma Decimal 0,5 0,06 0,25 1,5 0,75 8 ) a ) 250 rapazes b ) 1600 funcionários c ) 16 horas 9 ) R$ 120,00 MÓDULO 2 E Q U A Ç Ã O É uma sentença matemática que tem sentido completo, portanto, é uma igualdade (=) que envolve uma incógnita ou variável (letra) que está representando um número ou valor. VEJA: O dobro de um número ............. 2.X ........ sentido incompleto O dobro de um número é vinte...........2.X = 20 sentido completo As equações são classificadas de acordo com o maior expoente da incógnita ou letra em:
  • 20. 20 1º GRAU ( o expoente da letra é 1) ex.: 3X +4 = 10 2º GRAU ( o expoente da letra é 2) ex.: X² +4X – 3 = 0 3º GRAU ( o expoente da letra é 3) ex.: X³ -5X² +X = 0 e assim por diante RESOLVER uma equação é achar o valor da letra que torna a equação verdadeira. Esse valor é denominado raiz da equação. OBSERVE E TRADUZA PARA A LINGUAGEM DA MATEMÁTICA: Em Português: O dobro de um número é igual a vinte. Em Matemática: 2.X = 20 Qual é o valor de X que torna a igualdade verdadeira? X = 10 veja 2 . 10 = 20 20 = 20 verdadeiro Para resolver equações mais complexas (difíceis) é necessário separar os termos que são semelhantes. Quem separa é o sinal de igual (=). Devemos seguir os seguintes passos: - Isolar ou separar os termos que têm letras de um lado da igualdade e os números do outro lado, - Ao passar os termos de um lado para outro deve-se aplicar a operação inversa (troca de conta ou sinal): de + para - ou de - para + de • para : ou de : para • Observe o esquema abaixo para entender melhor: INVERTE O SINAL LETRA / LETRA = NÚMERO / NÚMERO INVERTE O SINAL
  • 21. 21 Exemplo 1: Exemplo 2 : Exemplo 3 : Resolva a equação 3 ( X – 2) = x – 8 3 . (x - 2) = x - 8 3x - 6 = x - 8 3x - x = - 8 + 6 2x = -2 x = - 2 2 Multiplica, aplicando a propriedade distributiva (multiplica o nº de fora do parênteses pelos 2 termos de dentro do parênteses Aplica a operação inversa ( invertendo o sinal) Está resolvida, assim, a nossa equação. Se quiser conferir se a solução é realmente a que encontramos, devemos substituir x por -1 na equação dada. Veja: 3 ( X – 2) = x – 8 3 . ( -1 –2 ) = -1 -8 3 • (– 3) = -1 –8 -9 = -9 Está certo. A raiz da equação dada é realmente x = -1 . Exemplo 4 : Como resolver a equação fracionária abaixo? X + 3x = 4x + 7 2 1 5 1 X = -1 Passa dividindo 3x – 5 = x – 2 3x – x = - 2 + 5 2x = 3 x = 3 2 Coloque 1 onde não tem denominador Encontre o m.m.c. dos denominadores m.m.c 2, 5 2 1, 5 5 1, 1 10 Divide o m.m.c pelo X + 3 = 8 X = 8 –3 X = 5 troca o sinal
  • 22. 22 5 • x + 10 . 3x = 2 . 4x + 10. 7 10 5x +30x = 8x + 70 5x + 30x - 8x = 70 27x = 70 x = 70 27 EXERCÍCIOS: 1) Resolva as equações abaixo: a) 3x + 4 = 25 e ) 5x + 2 = -x + 20 b) 5(x – 1) – 19 = 3(x – 2) f) x + 9 = 15 c ) 3 (x + 2) = 5x – 8 g) 5 ( x –5) = x + 3 d ) 7x – 1 = 13 h) 3x + 1 = x + 4 LEMBRE-SE: nº antes de parênteses está multiplicando os de dentro do parênteses. EQUACIONANDO UM PROBLEMA Rigorosamente falando, equacionar um problema envolve escrever a equação (ou as equações) de modo que ela expresse em linguagem matemática o que foi dado no problema em linguagem comum. Veja, então, como fazer isso com problemas algébricos, ou melhor, com problemas que admitem solução por meio de uma equação. EXEMPLO1: Qual é o número cujo dobro, mais 5, é igual a 17? Equacione o problema, chamando o número desconhecido de x. Saiba que não importa a letra que você usa para designar a incógnita, isto é, o número procurado, mas é universal o uso do x. O fato importante é que: Dobro do nº
  • 23. 23 2 X + 5 = 17 Para determinar o valor de x, é só resolver a equação lembrando que você deve aplicar a operação inversa . Verifique: 2 . x + 5 = 17 2 . x = 17 - 5 2 • X = 12 x = 12 2 x = 6 Está multiplicando, passa do outro lado dividindo Vamos ver outro exemplo de equacionamento de problemas. É interessante que você experimente responder a estas duas perguntas antes de continuar a leitura: a) O que é x, neste caso? (Qual é a incógnita?) b) O que sabemos sobre x? (Qual é a equação?) EXEMPLO 2: Qual o número cuja metade é a sexta parte de 42? Equacionamos assim: X = número O que sabemos: X = 42 2 6 Aplicando a regra da proporção fica: 6 . x = 42 . 2 6 . x = 84 x = 84 6 x = 14 Está resolvido e a resposta é 14. multiplicando
  • 24. 24 EXERCÍCIOS: 2) Equacione e resolva os seguintes problemas algébricos: a) Qual é o número cujo triplo, mais 7, é igual a 23? b) Qual é número cujo dobro menos 10, é igual ao seu triplo mais 8? c) Qual é o número cuja metade é a sexta parte de 21? Agora você vai resolver alguns problemas com o auxílio da álgebra. Em cada um deles tente, a partir do enunciado obter uma equação e, em seguida, resolvê-la EXEMPLO 3: Uma caixa com 30 lápis custa R$ 4,80. Quanto deverá custar uma outra com 40 lápis? Este é um problema de regra de três (módulo 1 ). Problemas como esse são freqüentes em nossa vida. Lápis R$ 30 4,80 40 x 30. x = 40 . 4,80 equação x = 192 30 x = 6,40 Diretamente proporcional Logo, a caixa maior deverá custar R$ 6,40 EXERCÍCIOS: Resolva os problemas: 3) A soma de um número com seu consecutivo é 69. Qual é esse número? Atenção: consecutivo é x + 1 4) Em certo mercado, uma caixa com uma dúzia de ovos custa R$ 2,80 e uma outra com 18 ovos custa R$ 4,00. Qual das duas embalagens é mais econômica?
  • 25. 25 VALOR NUMÉRICO Valor numérico é o valor que a expressão algébrica assume quando você substitui a letra X por determinados números. 1º EXEMPLO: Determine o valor numérico de : x² - 3 . x , para x = 4 1º passo: substituímos a letra x pelo número 4. x² - 3 . x = 4² - 3 . 4 = 2º: passo: efetuamos as operações indicadas. = 16 – 12 = = 4 Portanto o valor numérico de x² - 3 é 4. 2º EXEMPLO: Calcule o valor numérico de : 3x + 4y , para x = 2 e y = -3 3 . 2 + 4 . (-3) 6 - 12 -6 , logo, o valor numérico é -6 O raciocínio algébrico é mesmo muito útil, poderoso e até mesmo muito atual em termos de pensamento matemático. Use-o nos próximos exercícios, não esquecendo de que o importante é a compreensão do que estamos estudando. EXERCÍCIOS: 5) Determine o valor numérico das seguintes expressões: a) x³ + 2. x para x = 2 b) 18 + 5 para x = 3 x c ) x + 2. x – 9 para x = -1 d ) b² - 4 .a. c para a = 2, b = -6 e c = 1
  • 26. 6) Você certamente reparou que os calçados são medidos por números: 35, 36, 37,... para as mulheres e 39, 40, 41,... para a maioria dos homens. Mas, existem, pés maiores. O número do sapato depende do comprimento do pé, e a fórmula para calcular o número do calçado é a seguinte: 26 N = 5 . c + 28 N é o número do sapato C é o comprimento do pé, em centímetros a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 24 cm? GABARITO MÒDULO 2 1 ) a ) 7 b) 9 c) 7 d ) 2 e ) 3 f ) 6 g ) 7 h) 3 2 2 ) a ) 16 b ) – 18 c ) 7 3 3 ) 34 e 35 4 ) a segunda embalagem é mais econômica 5 ) a ) 12 b ) 11 c ) –12 d ) 28 6 ) a ) 37 4 Lembre-se do cálculo do valor numérico, é do mesmo jeito que se
  • 27. Bibliografia: Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995. IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999. SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997. 27 ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans COLABORAÇÃO: - Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim
  • 28. This document was created with Win2PDF available at http://www.win2pdf.com. The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only. This page will not be added after purchasing Win2PDF.