logica

1. Escola Superior de Tecnologia e Gestão
Curso de Engenharia Informática
Matemática Discreta
Ficha Prática n.º 1: Introdução à Lógica Matemática
1. Simplifique, utilizando as propriedades das operações lógicas, as expressões:
a) a Ù (a ÙØb)
b) (Øa Ùb) Úa
c) Ø[(a Ù b) Ù Ø(a Ú b)]
d) (a Ùb) Ú(a ÙØb)
e) (Øa Ùb) ÚØb
f) Ø(Øa Ùb)
g) Øa Ù(a Ùb)
h) Ø[(Øa Ùb) ÚØb]
i) (a «b) ®a
j) Ø[( p ® q) Ù Øq] Ù Ø p
k) Ø[a Ù (a ® b)] ® (a Ù b)
l) Ø[a Ù (Øb Ú c) Ù Ø(a Ù c)] Ù Øb
2. Construa as tabelas de verdade das expressões:
a) a Ù (a ÙØb)
b) Ø[(a Ù b) Ù Ø(a Ú b)]
c) Ø[a Ù (Øb Ú c) Ù Ø(a Ù c)] Ù Øb
d) Ø[a Ù (a ® b)] ® (a Ù b)
e) q «(Øp ÚØq)
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2. 3. Sendo p, q e r as proposições elementares:
: 3 é um número par;
2 é um número real;
: 1
p
r p
: é um número irracional;
q
diga qual é o valor lógico das proposições:
a) p Ù Øq b) p Ù q Ù r c) Ø( p Ùq) Ùr d) ( p ÚØq) Ùr
e) Øp ®(q ÙØr) f) Ø( p Ù q) «q Ú r g)Ø[Ø( p « q) Ù r] h)
Ø( p ÙØq Ù r) ®Øq
4. Prove, não utilizando tabelas de verdade, que:
a) ( p Ùq) Ú( p ÙØq) Ú(Øp Ùq) = p Ú q
b) ( p Ùq) Ú(Øp Ùq) Ú(Øp ÙØq) = Øp Ú q
c) ( p Ù q) Ú(Øp ÙØq) = p«q
d) ( p ÙØq) Ú(Øp Ùq) = p Ú q
5. Mostre que são logicamente equivalentes as expressões:
p ® q , Ø p Ú q e Øq ® Ø p
6. Obtenha Ø( p ®q) na forma conjuntiva.
7. Supondo verdadeira a implicação Ø(Ø(a ®b) Ù b)®c diga qual é o valor lógico
de c.
8. Considere as proposições: P : Porto ganha o campeonato
B: Benfica ganha o campeonato
S: Sporting ganha o campeonato
Supondo Ø[ØP Ú (ØB ®S] verdadeira, diga qual das equipas ganha o campeonato.
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3. 9. Considere as proposições:
p: as rectas a e b são perpendiculares
q: as rectas a e b formam entre si quatro ângulos iguais
9.1. Escreva em linguagem corrente:
a) p ® q
b) Ø p Ú q
c) Øq ® Ø p
9.2. Admitindo p ® q verdadeira indique o valor lógico da
proposição:
As rectas a e b são perpendiculares e as rectas a e b não formam entre si quatro
ângulos iguais.
10. Através da sua tabela de verdade, averigue se p ®( p Ú q) é uma tautologia. E
uma contradição?
11. Mostre que (Ø p Ú q) Ù [ p Ù ( p Ù q)] é logicamente equivalente a
p Ù q .
12. Construa a tabela de verdade de (( p ® q) Ù (q ® p)) « ( p « q) e averigúe se se
trata de uma tautologia ou de uma contradição.
13. Supondo que p e r são proposições falsas e que q e s são proposições
verdadeiras, determine os valores lógicos de:
a) ( p ® q) ® r
b) (s ® ( p Ù Ø r)) Ù (( p ® (r Ú q)) Ù s)
14. Determine os valores lógicos das proposições p, q, r, s e t para os quais a
proposição Ø[( p Ù q Ù r) ® (s Ú t)] é verdadeira.
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4. 15. Mostre que:
a) ( p ®q) ®(Øp Ú q) é uma tautologia.
b) ( p Ùq) ÙØ( p Ú q) é uma contradição.
16. Considere no universo T da turma do 1º ano do curso de Engenharia Informática na
ESTIG as condições:
F(X): X é do sexo feminino
M(X): X é do sexo masculino
E(X): X é aluno de Engenharia Informática
C(X): X é caloiro
16.1. Classifique, em TA, as condições:
a) M(X) Ù C(X)
b) F(X) Ù M(X)
c) E(X)
d) M(X)® C(X)
16.2. Indique o valor lógico das proposições e escreva a negação das
falsas sem começar por Ø :
a) C(João)
b) "XÎT: F(X)
c) "XÎT: Ø C(X)
d) $ XÎT: Ø E(X)
e) $ XÎT: Ø C(X)
17. Utilizando quantificadores, traduza cada uma das seguintes expressões:
a) Há um número racional maior que 3;
b) Todos os números naturais são não negativos.
18. Negue cada uma das proposições seguintes usando as 2ªs leis de De Morgan:
a) "xÎIN, x >3Ù x <2
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5. b) $y Î Z : y 2 + 3 = 0 Ú y2 – 1 = 0
c) " x ÎIR $ y Î IR+ , y = x 2
d) $ x , y ÎIR : x > 2 ® y + x £ 2
19. Considere a condição em IN , x + y = 5
19.1. Transforme-a numa proposição, utilizando dois quantificadores
a) universais
b) existenciais
c) o primeiro universal e o outro existencial
d) o primeiro existencial e o outro universal
19.2. Traduza as proposições obtidas em linguagem corrente e indique o seu valor
lógico
20. São dadas, em IR, as condições:
x + 1 + 2 > 0 ; x2 = 1 x ; x2 + 3 =
2
2
20.1. Classifique cada uma delas
20.2. Diga qual é o valor lógico de cada uma das seguintes proposições
a) "x Î IR , x + 1 + 2 > 0
b) " x Î IR , x 2 = 1
x
2
$ Î : 2 = 1
c) x IR x x
2
$1x Î IR : x2 = 1
d) x
2
e) $x Î IR : x2 + 3 = 2
21. Utilizando quantificadores traduza cada uma das expressões:
a) Todo o número racional é real
b) Todos os quadrados são losangos
c) Existe pelo menos um número real que não é racional
d) Há pelo menos um número inteiro cujo dobro é positivo
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6. 22. Traduza em linguagem corrente e indique o valor lógico de cada uma das
proposições seguintes:
a) "x Î IR $y Î IR : x + y = x
b) $x Î IR "yÎ IR : x + y = x
c) "x Î IR $y Î IR : x + y = 0
23. Negue cada uma das proposições seguintes (não utilize o símbolo Ø)
a) "xÎIR , x >2 Ú x =3
b) $x ÎIR : x > 5 Ù x > 7
c) "x Î IR , 1 < x £ 5
d) "x Î IR "y Î IR , x > 2 ® x > y
e) $x Î IR "y Î IR , x - y = 2
f) "x , y Î IR , x < y ®x £1
g) "xÎ IR , (x > 2 Ù x <5) Ú x >3
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7. 22. Traduza em linguagem corrente e indique o valor lógico de cada uma das
proposições seguintes:
a) "x Î IR $y Î IR : x + y = x
b) $x Î IR "yÎ IR : x + y = x
c) "x Î IR $y Î IR : x + y = 0
23. Negue cada uma das proposições seguintes (não utilize o símbolo Ø)
a) "xÎIR , x >2 Ú x =3
b) $x ÎIR : x > 5 Ù x > 7
c) "x Î IR , 1 < x £ 5
d) "x Î IR "y Î IR , x > 2 ® x > y
e) $x Î IR "y Î IR , x - y = 2
f) "x , y Î IR , x < y ®x £1
g) "xÎ IR , (x > 2 Ù x <5) Ú x >3
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