Prova da existência dos inteiros, aqui chamados de 'q' e 'r', do algoritmo da divisão.
A prova da unicidade está em outra apresentação.
Proof of the existence of the integers, here called 'q' and 'r', from division algorithm.
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Algoritmo da divisão inteira - prova da existência
1. Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisão
Por
Jedson Guedes
- Lugar de estudante -
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Prova da ExistênciaProva da Existência
4. Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisão
Parte IParte I, 0, 0 ≤≤ a-bqa-bq
Se a > 0,
Se a < 0,
escolha o q tal que q = 0.
escolha o q tal que q = a.
escolha o q tal que q = 0.Se a = 0,
a – bq = a – ba
= a (1 – b)
Portanto, .
Lugar de estudanteLugar de estudante
5. Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisão
Parte IIParte II, a-bq < b, a-bq < b
Como S não é vazio, sabemos que ele tem, pelo
Princípio da Boa Ordenação, um elemento mínimo.
Digamos
,
a-bq.Lugar de estudanteLugar de estudante
6. Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisão
Parte IIParte II, a-bq <, a-bq <
bb Menor elemento: a – bq.
Lema
Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1,
tal que a – bq' ≥ 0.
16 5
2
a b
(6)
← q
r →
16 5
3
(1)
← q'
r →
Lugar de estudanteLugar de estudante
7. Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisão
Parte IIParte II, a-bq <, a-bq <
bb Menor elemento: a – bq.
Lema
Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1,
tal que a – bq' ≥ 0.
a – bq' ≥ 0
a – b(q + 1) ≥ 0
a – bq – b ≥ 0
a – bq ≥ b
a – bq – b ≥ b -b
a – bq – b ≥ 0
a – bq < b
Lugar de estudanteLugar de estudante
8. Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisão
Parte IIParte II, a-bq <, a-bq <
bb Menor elemento: a – bq.
Lema
Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1,
tal que a – bq' ≥ 0.
a – bq' ≥ 0
a – b(q + 1) ≥ 0
a – bq – b ≥ 0
a – bq ≥ b
a – bq – b ≥ b -b
a – bq – b ≥ 0
a – bq < b
Lugar de estudanteLugar de estudante
9. Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisão
Parte IIParte II, a-bq <, a-bq <
bb Menor elemento: a – bq.
Lema
Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1,
tal que a – bq' ≥ 0.
a – b(q + 1)a – bq
Lugar de estudanteLugar de estudante
10. Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisão
Parte IIParte II, a-bq <, a-bq <
bb Menor elemento: a – bq.
Lema
Se a – bq ≥ b, então podemos substituir q por q' = q + 1,
tal que a – bq' ≥ 0.
a – b(q + 1)a – bq
q < q+1-bq > -b(q+1)a –bq > a – b(q+1)
ABSURDO!
Lugar de estudante
bq < b(q+1)
Lugar de estudanteLugar de estudante
11. Algoritmo da divisãoAlgoritmo da divisão
Parte IIParte II, a-bq <, a-bq <
bb
Portanto, é falsa a afirmação a – bq ≥ b.
Daí, a – bq < b.
q. e. d
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