Mecânica Clássica X Mecânica Quântica

Mecânica Clássica X Mecânica Quântica
Maria Teresa Thomaz (IF/UFF)
mariateresa.thomaz@gmail.com

Apresentação

1. Mecânica Clássica X Mecânica Quântica
2. Dinâmicas: clássica X quântica
3. Equação de Schrödinger e suas consequências
3.1. Autoestados de energia
3.2. Tunelamento

1

Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...

1. Mecânica Clássica X Mecânica Clássica
. Mecânica Clássica
O que significa na Mecânica Clássica descrever o estado de
um objeto?

Dada a posição inicial : r(0) e a velocidade inicial: v(0),
somos capazes de saber qual é a posição do objeto em
qualquer outro instante t : r(t).

O que significa velocidade? 2


Relembrando o significado geométrico: limite e derivada.

. Limite :
O limite de uma função f(x) é o valor para o qual ela se
aproxima à medida que a variável x se aproxima de um valor
estipulado, sem jamais ser igual a ele .

{

Ex. 1. f(x) = 2x2

lim
x 2
f (x )  8
3


Ex. 2. g(x) = { 2x 2 , x  2
10, x  2

lim
x 2
g (x )  8
4


Relembrando algumas relações do triângulo
retângulo :
C
a catetos: b, c
c hipotenusa : a
θ
a 2
b 2
c 2
A
B b
b sen ( ) 
c
cos( ) 
a a

sen ( ) c
tg ( )  tg ( ) 
cos( ) b
5


. Derivada :
Consideramos um exemplo particular para entender o
significado geométrico da derivada de uma função f(x)
em relação a ponto pré-definido x.

Continuamos com : f(x) = 2x2 . A derivada de f(x) no
ponto x=2 é definida como:
df (x ) f (x )  f (2 )
| x  2  lim
dx x 2 x 2
f (3)  f (2 )
tg (1 ) 
32
f (x )  f (2 )
x f(x) x 2

3 18 10
 10
1

2,1 8.82 0.82
 8.2
0.1

2.000001 8.000008 0.000008
 8.000002
0.00001

Coeficiente angular da reta f (x )  f (2 ) df (x )
tg ( )   | 6
tangente a curva f(x) em x=2 : x 2 x 2 dx x 2


Outra maneira de escrever a derivada de uma função f(x)
no ponto x=2:
df (x ) f (x )  f (2 ) f (2  x )  f (2 )
dx
| x  2  lim
x 2
 x lim
x 2 x
.
x 2 x  0

Para f(x) = 2x2 :

df (x ) 2  (2  x )2  2  2 2 2  [ 4  4x  ( x )2 ]  2  4
|  
dx x  2 x  0 x x
8  x 2  ( x )2 df (x )
   8  2  x  8  | x 2
x  0 x x x  0 x  0
dx

A derivada de uma função
g(x) calculada num ponto x:
dg (x ) g(x  x )  g(x )
 lim .
dx x  0 x
 tg () , coeficiente angular da 7
reta tangente .

Algumas propriedades das derivadas:
d (a )
1.  0,
dx

d (a  f (x )) df (x )
2. a  ,
dx dx
d ( f (x )  g(x )) df (x ) dg (x )
3.   ,
dx dx dx

sendo que a é qualquer valor constante e f(x) e g(x) são
quaisquer funções .

Exercício: utilize a definição de derivada de uma função
g(x) para mostrar as propriedades acima.

8

Para simplificar a apresentação, vamos discutir o
movimento em 1 dimensão, por ex. ao longo da direção
x.

A relação entre o momento linear p(t) de uma
partícula de massa m e a sua velocidade v(t) é:
p(t) = m . v(t) .

A velocidade v(t) é uma medida de quanto a posição do
objeto durante um intervalo muito curto de tempo ∆t.

Para um intervalo de tempo ∆t → 0,
p (t ) x ( t  t )  x ( t )
v (t )   .
m t  0 t

Veja como é importante o conceito de limite no estudo do
movimento.
9


Em resumo:
O movimento de qualquer objeto está completamente
determinado se damos sua trajetória : r(t) e v(t) em
cada instante t. Note que r(t) e v(t) são funções do
tempo t .

. Cinemática da Mecânica Clássica :
r(t) e v(t) trajetória

10


. Mecânica Quântica
Vamos tratar sistemas quânticos em 1-dimensão, por exemplo
ao longo da direção x .

Princípio da Incerteza de Heisenberg :

x .p 
2

∆ x : incerteza na posição da partícula

∆ p : incerteza no momento linear da partícula

OBS:
h : constante de Planck, mas
energia: [mv2] → J
h
  1, 05 x 10 34 J .s momento: [mvr] → J. s
2 angular 11


Consequência do Princípio da Incerteza de Heisenberg:

para ∆t → 0 temos
p (t ) x (t  t )  x (t )
 .
m t  0 t

e pelo princípio da incerteza de Heisenberg,

 x ( t  t )  x ( t )
p  p ~ .
2.x ∆x→0
t
ħ = 1,05 x 10-34 Js

Conclusão: não podemos conhecer simultaneamente a
posição x(t) e o momento linear p(t) de qualquer objeto
quântico objetos quânticos não seguem trajetórias.

Precisamos de uma nova cinemática para
os sistemas quânticos. 12


Relembrando o valor da cte de Planck: ħ = 1,05 x 10-34 Js
O valor de ħ nos informa quando a natureza quântica
é importante.
Ex. : chute em uma bola de futebol
(momento angular de um sistema macroscópico (dia-a-dia))
O momento angular da bola em
relação ao ponto O (o pé do goleiro):
    
L  r  p  r m v

os vetores r e p formam um ângulo de 90º,
L  r .mv
m = 0,5kg, v = 20 m/s (~80km/h) e r = 2m
L  0.5  20  2 Js  1.09  10 33  ! ! ! dia-a-dia: L >>> ħ.
Qdo olhamos a areia da praia ela parece contínua, mas
quando cai um grãozinho no olho da gente ... Onde está o
grãozinho do mundo quântico? 13


O princípio da Incerteza de Heisenberg tem alguma influência
no movimento de um lápis apoiado sobre a sua ponta fina ?

x .p 
2
O princípio da incerteza de Heisenberg aplicado
ao centro de massa (CM) do lápis:
m lápis = 5g ∆xCM = 0,1mm

Para simplificar as contas: p ~
x
O lápis roda em torno da sua ponta qdo a linha
vertical que passa pelo CM não passa por nenhuma
parte deste ponto de apoio :

p ~ ~ mv ∆v ~2 x 10-26 cm/s = vCM
x
x
Distância percorrida pelo CM antes de tombar: x ~  v CM t CM
2
tCM ~10+25s ; tUniver ~1.5x 10+17s tCM ~108x tUniv !! 14


2. Dinâmicas: clássica X quântica
O que a Física deseja em cada fenômeno ?
Conhecido o estado inicial do objeto sob estudo, ser
capaz de determinar o seu estado após ter decorrido um
intervalo de tempo qualquer t.

Vamos estudar a evolução no tempo (dinâmica) de
sistemas conservativos (a energia total se conserva). Em
sistemas conservativos não temos forças tipo força de atrito
em que temos perda de energia do sistema. Sobre esses
sistemas estudados agem apenas as forças conservativas.

Exemplo de forças conservativas :

força da gravidade força elástica/mola 15


. Dinâmica Clássica

i) condições iniciais : x(0) e v(0)

ii) 2ª lei de Newton : m
d 2x
dt 2
 F (t )  ma (t ) } }
x(t), v(t)

Ex. 1. Força de Hooke (força elástica da mola)

F (x) = - kx

x (t) = A sen (ωt + φ0) ,
onde

x(0) = A sen (φ0) , v(0) = ωA cos(φ0)

e k
 
m 16


Ex. 2. Força da gravidade

F  mgz
ˆ
sendo g a aceleração da gravidade .

A 2ª lei de Newton, para a força da gravi-
dade, nos dá para qualquer instante
posterior t :
1
z (t )   gt 2
 v 0t  z ( 0 )
2
onde v0 é a velocidade com que o objeto passa na posição z(0).

Resumo : conhecida a força F(t) que age sobre o objeto e
a sua posição inicial x(0) e a sua velocidade inicial v(0),
a 2ª lei de Newton nos determina exatamente a sua
posição e velocidade em qualquer outro instante t
a dinâmica clássica é determinista. 17


. Dinâmica Quântica
i) x(t) e p(t) não são as quantidades para descrever um
sistema quântico : princípio da incerteza de Heisenberg.

ii) a lei de conservação de energia continua válida no
mundo quântico.
A lei de conservação da energia total para uma
partícula de massa m que possui momento linear p
sob a ação de uma força conservativa é:
p2
E   V (x ),
2m
lembrando que p2/2m é a energia cinética (movimento) e
V(x) é a energia potencial (que pode se transformar em
movimento). Qual a relação entre força conservativa e V(x)?
[ V (x  x )  V (x )] dV (x )
F (x )     .
x  0 x dx
18


Exemplos de forças conservativas/energias potenciais :

Ex. 1. Força de gravidade:
dV (z )
F (z )  
dz

F(z) = -mg

Ex. 2. Força da mola/elástica
1
V (x )  kx 2
2
dV (x )
F (x )  
dx

F(x) = - kx. 19


Cinemática da Mecânica Quântica:
Postulamos que as grandezas cinemáticas posição, momento
e energia deixam de ser funções para serem operadores :
 
= x , =- i e = i
x t

A lei de conservação de energia clássica,
p2
E   V (x ),
2m
passa a ser no nível quântico escrita em termos dos
operadores anteriores:

 2  2 (x , t )  (x , t )
  V (x ) (x , t )  i
2m x 2
t
Equação de Schrödinger
20

A equação de Schrödinger:
 2  2  (x , t )  (x , t )
  V (x ) (x , t )  i
2m x 2
t
é uma equação de ondas .

Ψ(x,t) : função de onda. Toda a informação que podemos ter
sobre a partícula.
As funções de onda não são quantidades que podemos
medir experimentalmente. Em geral são funções complexas.

Como relacionar o que calculamos na Mecânica Quântica,
ψ(x,t), e o que medimos nos laboratórios?

A Mecânica Quântica descreve um sistema probabilístico:
|ψ(x,t)|2 : probabilidade da partícula ser encontrada na
posição x no instante t.

21

O que é uma probabilidade ?
Da Estatística temos:
Suponhamos que fazemos uma medida de uma certa quan -
tidade cujo o resultado nem sempre é o mesmo .

Para fixarmos um exemplo podemos pensar num dado que
jogamos sobre uma mesa. O lado do dado que fica para
cima pode ser: {1,2,...,6} . Temos 6 saídas possíveis em cada
jogada .

Seja um conjunto cujos resultados tem várias saídas
possíveis: { A, B, C,...} .
P(A) : probabilidade de sair o resultado A dentre
todas as saídas possíveis.
Para um número MUITO GRANDE de tentativas :
n º com resultado A
P( A) 
n º total tentativas
22

O que caracteriza uma equação de onda ?
O princípio da superposição . O que é esse princípio?

Suponhamos que ψ1(x,t) é solução da eq. de Schrödinger :
 2  1 (x , t ) 1 (x , t )
2

  V (x )1 (x , t )  i
2m x 2 t
e ψ2(x,t) também é solução desta equação :

 2   2 (x , t )  2 (x , t )
2

  V (x ) 2 (x , t )  i
2m x 2 t

ψ(x,t) = a1 ψ1(x,t) + a2 ψ2(x,t)

também é solução da equação de Schrödinger.

Em que tipo de fenômeno temos o princípio de superposição?

23

Qual a diferença entre Mecânica Clássica e Mecânica Quântica?

Mecânica Clássica : jogamos pedras através de dois buracos.

P12  P1  P2

P1: probabilidade da pedra passar pelo buraco 1 com o
buraco 2 fechado.
P2: probabilidade da pedra passar pelo buraco 2 com o
buraco 1 fechado.
P12: probabilidade da pedra passar pelo buraco 1 ou
pelo buraco 2. Os 2 buracos estão abertos . 24


Mecânica Quântica: : um feixe de elétrons incidindo sobre
uma parede com dois furos.

A função de onda para pontos após passar pelo anteparo é
a soma coerente de funções de onda que atravessam os furos
1 e 2:
 (x , t )  a 11 (x , t )  a 22 (x , t )
A probabilidade de encontrar um elétron na posição x
e no instante t é:
|  (x , t ) |2 | a 1 |2 | 1 (x , t ) |2  | a 2 |2 | 2 (x , t ) |2
 2 Re[a 1 a 21 (x , t ) 2 (x , t )]
* *
termo de 25
interferência

Temos algum efeito análogo a este na Física ?
Eletromagnetismo : interferência de feixes de luz coerente. .

     
E P (x , t )  E 1 (x , t )  E 2 (x , t )
 
E 1 (x , t ) : campo elétrico em P
devido ao furo 1.
 
E 2 (x , t ) : campo elétrico em P
devido ao furo 2.

O que medimos ? A intensidade da luz em cada ponto P:
      
IP (x , t ) ~| E P (x , t ) | | E 1 (x , t )  E 2 (x , t ) |2
2

    
IP (x , t ) ~| E 1 (x , t ) |  | E 2 (x , t ) |2
2

  
 2 | E 1 (x , t ) || E 2 (x , t ) | cos( )
26
termo de
P Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
interferência

Qual a consequência do termo de interferência na intensidade
da luz que vemos sobre uma superfície?

Relembrando:
    
IP (x , t ) ~| E 1 (x , t ) |2  | E 2 (x , t ) |2
  
 2 | E 1 (x , t ) || E 2 (x , t ) | cos( ) termo de
interferência 27


3. Equação de Schrödinger e suas consequências
Relembrando a eq. de Schrödinger :
 2  2 (x , t )  (x , t )
  V (x ) (x , t )  i
2m x 2
t
Como tiramos informações desta equação ?

3.1. Autoestados de energia
Funções de onda com energia total definida :
iEt 
 (x , t )   (x ) e i  (x , t )  E  (x , t )
t


A eq. de Schrödinger para estados com energia definida :

 2  2 (x , t )
  V (x ) (x , t )  E  (x , t ) .
2m x 2 28


A eq. de Schrödinger para estados com energia definida :

 2  2 (x , t )
  V (x ) (x , t )  E  (x , t )
2m x 2

Para cada sistema quântico calculamos os valores possíveis
da energia E . Para estados ligados do sistema os valores
possíveis de energia E são discretos : 1ª Quantização .

Vejamos alguns sistemas quânticos simples (mola,
átomo de hidrogênio) e seus respectivos espectros de
energia.

29


Exemplos de sistemas quânticos com estados ligados :
1. Oscilador harmônico (mola/elástico)

Clássico Quântico

1
E n  (n  )  , n= 0, 1, 2, ...
2
p2 1 k
E   kx 2
 
2m 2
m
p   2m (E  V (x )) Energia de ponto zero:
 principio da
x< -A e x>A : região clássica E0 
proibida 2 incerteza de 30
Heisenberg

Temos regiões proibidas em sistemas quânticos ?

x 2
( )
Na região classicamente proibida :  (x ) ~ ...  e a 31


2. Átomo de hidrogênio

Energia potencial sentida
pelo elétron pela presença
do próton.: 2
e
V (r )  
r
|e| : módulo da carga elétrica do elétron.
r : distância do elétron ao próton

. Átomo de hidrogênio clássico
Suponha que o elétron possua momento angular l, ele vai
sentir a energia potencial efetiva :
e2 l2
Vef (r )   
r 2mr 2
Estado ligado: rm  r  rM
E m  E  0 , a energia varia continuamente .
32


. Átomo de hidrogênio quântico
e2
V (r )   .
r
Para estados ligados, E<0, os níveis
de energia permitidos :
13.6eV
En   , n  1, 2, 3, ...
n 2

Estado fundamental : E0 = -13.6 eV
(1eV = 1.6 x 10-19 J)
A comparação das escalas da energia atômica e das energias
envolvidas no que ocorre no nosso dia-a-dia :
m = 1g, v= 2m/s 1
E c  mv 2  2  10 7 J
2
Logo :
| E0 | 1.6x 10  19 J Ec
 ~ 10  12 | E 0 |~ . 33
Ec 2x 10 J
7 1.000.000.000.000

Os orbitais do átomo de
hidrogênio nos dão a
densidade de probabilidade
de localizar o elétron dentro do
átomo de hidrogênio :
| nlm (r , ,  ) |2 .

34


Mostramos que as energias atômicas são da ordem de um
trilhonésimo das energias do nosso dia-a-dia.

Será que temos como verificar experimentalmente se a Mecânica
Quântica descreve o mundo dentro do átomo? A Mecânica
Clássica ou a Mecânica Quântica descreve corretamente o átomo
de hidrogênio ?

Espectros do átomo de hidrogênio obtidos experimentalmente:

As frequências emitidas e
absorvidas pelo hidrogênio

Pela Física Clássica a frequência de emissão
/radiação do átomo de hidrogênio deveria
variar continuamente : ERRADA !!!
35


Como calcular a partir da Mecânica Quântica a frequência
da luz absorvida/emitida por átomos de hidrogênio ?

Energia do fóton/luz : E   ,
  2 . f , f é a frequência da luz.
Conservação da energia do sistema
“átomo + fóton” :

E iel  E f  E 
el

níveis eletrônicos do hidrogênio
13 .6 eV 13 .6 eV
   
n i
2
n 2
f
Finalmente : 13 .6 eV 1 1
 (  2) .
 n f2 n i
O espectro de emissão/absorção de cada elemento é a sua
“impressão digital”. 36


3.2. Tunelamento

barreira de potencial :
E>0 .

i) partícula clássica :
p2
Conservação de energia total : E   V (x )
2m
p 2
 E  V (x )  0
2m
Movimento clássico

OU
x  a x a 37


ii) partícula quântica :
Conservação de energia do sistema quântico:
 2  2 (x , t )
  V (x ) (x , t )  E  (x , t )
2m x 2

O movimento de uma partícula quântica sob a ação de uma
energia potencial tipo barreira :

efeito de tunelamento
38

É possível medir experimentalmente o “efeito de
tunelamento” ?

Emissão de partícula α (núcleo do átomo de Hélio 4H2)
por núcleos atômicos:

39

Temos em alguma outra área da Física um fenômeno
análogo ao tunelamento na Mecânica Quântica?

No Eletromagnetismo: ondas evanescentes .

Temos reflexão total quando
ninc > nrefr
para ângulos de incidência θ
maiores que o ângulo crítico θcr ,
n refr
θ> θcr , sendo sen (cr )  .
n inc

ondas evanescente : aparecem
quando tratamos a luz como
uma onda eletromagnética . 40


Agradecimento

Prof. Dr. Paulo Acioly M. dos Santos

41

Obrigada pela
sua atenção !!!

42

As transparências deste seminário estão no blog:

http://mttdivulgacao.blogspot.com
na secção

“Atividades já realizadas junto a professores”

43

Mecânica Clássica X Mecânica Quântica

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