Opp online módulo i 1-apostila de matemática

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OPP
OPERADOR DE PRODUÇÃO DE PETRÓLEO
MÓDULO I-1
MATEMÁTICA
“O curso destina-se a pessoal de nível médio egresso ou não de
cursos técnicos ou que necessitem de uma qualificação
profissional, bem como a profissionais de diversas áreas técnicas
que necessitem de uma requalificação ou de uma adaptação de
sua formação às novas exigências do mercado de trabalho”
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Excelência em Treinamento
Energia & Petróleo & Gás
SET/2009
Esta apostila do módulo I, destina-se à preparação básica e de
nivelamento para que você possa ter um bom desempenho nos módulos
seguintes, os chamados módulos das disciplinas profissionais, cujos
requisitos, é o conhecimento básico de matemática e de física
elementar.Estude com bastante calma este módulo, para que nenhuma
dificuldade você encontre nos módulos seguintes. Após o estudo deste
módulo, faça os testes de avaliação quantas vezes forem necessárias para
você alcançar a nota mínima de sete(7) e tenha uma BOA SORTE.

2
OOPPPP -- CCUURRSSOO DDEE QQUUAALLIIFFIICCAAÇÇÃÃOO EEMM OOPPEERRAAÇÇÃÃOO
DDEE PPRROODDUUÇÇÃÃOO DDEE PPEETTRRÓÓLLEEOO
MMÓÓDDUULLOO II--11 MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
1. Os Números Naturais..................................................................................3
2. Adição com números Naturais.....................................................................4
3. Subtração com números naturais................................................................7
4. Divisão de Números Naturais.....................................................................10
5. Divisores e Múltiplos de Números Naturais................................................11
6. Expressão Numérica com Números Naturais.....................................13
7. Expressão Numérica com parêntese e colchetes.......................................16
8. Fatores ou Divisores de um número natural...............................................17
9. Multiplicação com Números Naturais..........................................................19
10. Múltiplos de um número natural...................................................................21
11. O sucessor e o antecessor de um número natural......................................23
12. Propriedades da Multiplicação.....................................................................24
13. Sistema de numeração decimal...................................................................25
14. Sistema de Numeração Romana.................................................................26
15. Geometria.....................................................................................................28
16. Resolução de Problemas.............................................................................30
17. Porcentagem................................................................................................32
18. Potenciação de Números Naturais...............................................................34
19. Operações com Frações...............................................................................37
20. Trabalhando com Frações............................................................................39
21. Raiz Quadrada exata de um número natural................................................40
22. Conceito de Cilindro......................................................................................45
23. Conceito de Esfera........................................................................................50
24. Trigonometria no Triângulo Retângulo..........................................................56

3
1. Os Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são
construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Observe que a sucessão dos números naturais começa pelo zero e cada número seguinte é
obtido acrescentando-se uma unidade ao anterior.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos
de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as
mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos
hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo
nulo.
Considerando-se a sucessão:
O menor número natural é o zero (0).
Não existe o maior número natural, ou seja, ela é infinita.
Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados
números consecutivos.
Exemplos:
(a) 1 e 2 são números consecutivos.
(b) 5 e 6 são números consecutivos.
(c) 50 e 51 são números consecutivos.
Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é
sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e
assim sucessivamente.
Exemplos:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.

4
(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma
seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes
utilizaremos a denominação seqüência dos números naturais pares para representar o
conjunto dos números naturais pares:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,...)
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes
também chamado, a seqüência dos números ímpares.
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...}
2. Adição com números Naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número,
todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as
adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por
meio de ábacos.
Propriedades da Adição com números naturais
Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois
números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em
N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no
conjunto N.
Por exemplo:
Resolva estas adições:
15 + 17 =

5
27 + 15 =
8 + 13 =
35 + 87 =
45 + 50 =
63 + 84 =
Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três
ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer
modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao
resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do
primeiro com a soma do segundo e o terceiro.
Alice tem 8 pares de meia rosa, 12 pares de meia azul e 15 pares de meia amarela. Quantos
pares de meia têm Alice?
Vejamos como podemos resolver este exercício:
Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero,
pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o
resultado será o próprio número natural.
Por exemplo:
Em um jogo de Basquete, um time fez 27 pontos no primeiro tempo. No segundo tempo o
time não fez nenhum ponto. Quantos pontos o time de basquete fez ao todo no jogo?
27 + 0 = 27

6
O time de basquete fez 27 pontos ao todo.
Resolva este problema:
Elisa estava recolhendo flores, no jardim da sua avó para levar par sua tia á noite, pela manhã
recolheu 14 rosas. Á tarde, Elisa não conseguiu recolher nenhuma, pois chovia muito. Então
quantas flores Elisa levou para sua tia?
Elisa levou flores para sua tia.
Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das
parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela,
teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.
Por exemplo:
Resolva estas duas continhas:
26 + 31 =
31 + 26 =
Repare que a ordem das parcelas é diferente, mas o resultado das duas contas é o mesmo.

7
3. Subtração com números naturais
Um estádio de futebol colocou à venda 3.950 ingressos de um clássico. Até agora já forma
vendidos 700 ingresso. Quantos ingressos ainda têm à venda?
Para resolvermos este problema, vamos usar a idéia de completar, então temos que calcular a
diferença de ingressos à venda e a quantidade de ingressos que já foram vendidos:
Propriedades da Subtração com Números Naturais
Observe estas subtrações e tente resolve-las em uma folha:
80 – 95 38 – 45 97 – 110 29 – 56 87 – 92
Você percebeu que não é possível resolver, pois o primeiro número é menor que o segundo.
No conjunto dos números naturais, a diferença só existe quando o primeiro número
(minuendo) for maior ou igual ao segundo número (subtraendo).
Fechamento: A subtração não possui a propriedade de fechamento, pois, por exemplo, o
número 3 – 5 = -2 não pertence ao conjunto dos naturais.
Associatividade: A subtração não possui a propriedade de associatividade pois, por exemplo,
(3-5) - 2 não é igual (5-2)-3
Existência de Elemento Neutro: Não existe elemento neutro na subtração pois, por exemplo,
0 - 3= -3 não pertence aos naturais.

8
Comutatividade: Não existe comutatividade na subtração, pois,
por exemplo, 5 – 3 = 2 não é igual a 3 – 5 = -2.
Calculando com os números naturais
Vamos recordar as quatro operações matemáticas, que você já aprendeu.
+ Adição
- Subtração
X Multiplicação
: Divisão
A adição é uma operação ligada a situações que envolvem as ações de juntar quantidades ou
de acrescentar uma quantidade a outra.
A subtração é uma operação que está ligada a três idéias diferentes: tirar uma quantidade de
outra, completar quantidades (quanto falta) e comparar (quanto a mais).
Idéia de retirar
De 8, tiro 6, restam ...
Idéia de comparar Quanto 8 é maior que 6? ou Quanto 6 é menor que 8?
Idéia de completar
Tenho 6 para completar 8, faltam...
A multiplicação é uma operação que pode estar ligada a idéia de juntar quantidades iguais, a
uma idéia combinatória, à idéia de organização retangular ou à idéia de comparação (dobro,
triplo etc.).
A divisão é uma operação que está ligada à idéia de repartir uma quantidade em partes iguais
ou à idéia de verificar quantas vezes uma quantidade cabe em outra.
Agora resolva estes exercícios, e escreva ao lado qual operação você utilizou para resolver o
exercício:

9
1) Em um ônibus cabem 35 pessoas sentadas e 20 pessoas em pé. Quantas pessoas cabem
dentro deste ônibus?
Dentro deste ônibus cabem pessoas.
Operação utilizada:
2) Maisa tem 15 balas e quer dividir igualmente essas balas em 3 pessoas.Quantas balas cada
pessoa irá ficar?
Cada pessoa irá ficar com balas.
3) Um prédio tem 5 andares, cada andar tem 4 apartamentos. Quantos apartamentos têm
neste prédio?
Neste prédio tem apartamentos.
4) Gabriel comprou um saco com 20 balas. Ele deu 14 balas pra sua prima. Com quantas balas
Gabriel ficou?
Gabriel ficou com balas.
5) Luiza tem 40 papéis de carta e Marina tem 60. Quantos papéis de carta Marina têm a mais
que Luiza?
Marina tem papéis de carta a mais que Marina.
6) Mirella tem 12 bombons e ganhou mais 13 bombons da sua tia. Com quantos bombons
Mirella ficou?
Mirella ficou com bombons.
7) Carolina tem 12 anos, e sua irmã Camila tem o dobro da sua idade. Quantos anos Camila
têm?

10
Camila tem anos.
4. Divisão de Números Naturais
O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é
o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo
quociente obteremos o dividendo.
Relações essenciais numa divisão de números naturais
Numa divisão de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.
35 : 7 = 5
Numa divisão de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.
35 = 5 x 7
Então para ter certeza de que um resultado de uma conta está correto, é só multiplicar o
quociente pelo divisor, se o resultado desta conta for igual ao dividendo da conta de divisão
confirma que ela está correta, este processo pode ser aplicado em todas as operações.
Propriedades da Divisão com números naturais
Fechamento: Esta propriedade não é satisfeita pela divisão, pois, por exemplo, 1 dividido por
2 não pertence aos conjunto dos números naturais.

11
Associatividade: Esta propriedade não é satisfeita, pois (15 : 5) : 3 é diferente de (3 : 5) :15,
por exemplo.
Existência de Elemento Neutro: Esta propriedade não é satisfeita, pois, por exemplo, 2
dividido por 1 é 2, mas 1 dividido por 2 não pertence aos naturais.
Comutatividade: Esta propriedade não é satisfeita, pois, por exemplo, 2 dividido por 1 é
diferente de 1 dividido por 2, o qual nem pertence aos naturais.
Vamos resolver estes probleminhas:
Marli tem 48 balas e quer dividir igualmente entre os seus 8 sobrinhos. Com quantas balas
cada sobrinho de Marli vai ficar?
Cada sobrinho irá ficar com balas.
Joana comprou 15 copos, e ela quer dividi-los igualmente para guardar em seu armário que
tem 3 prateleiras. Então, quantos copos Joana vai colocar em cada prateleira?
Joana vai colocar copos em cada prateleira.
Um professor de educação Física vai promover um campeonato de futebol na sua escola, e 72
alunos vão participar deste campeonato. Em cada time é preciso ter 8 jogadores, então
quantos times vai ter ao todo neste campeonato?
Neste campeonato vão ter times.
5. Divisores e Múltiplos de Números Naturais
A Divisibilidade
Um número é divisível por outro quando, ao ser dividido, o resultado é sempre exato, ou seja,
o resto é sempre igual a 0.
A verificação da divisibilidade de um número natural por outro número natural feita pela

12
divisão é trabalhosa e demorada, neste caso podemos fazer de um jeitinho mais simples
utilizando algumas regrinhas, na qual chamamos de critérios de divisibilidade.
Critérios de Divisibilidade
Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja,
quando ele é par.
Exemplos:
5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
237 não é divisível por 2, pois não é um número par.
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for
divisível por 3.
Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível
por 3, então 234 é divisível por 3.
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois
últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

13
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
6. Expressão Numérica com Números Naturais
Uma expressão numérica é como se alguém tivesse anotado, em uma única linha, de uma
folha de caderno, alguns cálculos a serem efetuados.
Exemplo: 2 + 3 x 4 - 1 + 8
Fazer estes cálculos todo mundo sabe. Entretanto, o que muitas vezes nos faz errar estes
cálculos, é a ordem em que se deve efetuar cada uma das contas da expressão numérica.
Portanto precisamos seguir a ordem certa, para o resultado ser correto.
Veja:
* Nas expressões numéricas que apresentam somente adições e subtrações, as operações são
feitas na mesma ordem em que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita.
Por exemplo:
15 + 7 + 12 -13 =
22 + 12 - 13 =
34 - 13 = 21
* Nas expressões numéricas efetuamos as multiplicações antes das adições.
Por exemplo:
28 + 7 + 15 x 3
= 28 + 7 +45
= 35 + 45
= 80
* Nas expressões numéricas efetuamos a divisão antes da subtração.
Por exemplo:
87 - 36 : 3 - 8
= 87 - 12 - 8
=75 - 8 = 67

14
* Nas expressões numéricas efetuamos a multiplicação e a divisão antes da adição e da
subtração.
Agora vamos calcular a expressão citada no inicio deste capitulo:
2 + 3 x 4 - 1 + 8 x 2
= 2 + 12 – 1 + 4
=14 – 1 + 4
= 13 + 4 = 17
Para determinarmos uma expressão numérica que apareça potenciação, efetua-se
primeiramente a potenciação, logo efetua-se as divisões e multiplicações, e por fim a
subtração e adição.
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
* 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
* 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
* 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
* 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos
três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:
* 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
* 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
* 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
* 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for

15
divisível por 9.
Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é
divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
Um número natural é divisível por 100, quando ele é terminado em 00.
Exemplos:
* 10 não é divisível por 100, pois termina em 0.
Um número natural é divisível por 1000, quando ele é terminado em 000.
Exemplos:
* 1300 não é divisível por 1000, pois termina em 00.

16
ATIVIDADES
Qual destes números são divisíveis por 5?
38
42
95
Qual destes números não é divisível por 2?
27
32
66
Qual destes números é divisível por 1000?
100
106
17000
Qual destes números é divisível por 3?
7
66
97
7. Expressão Numérica com parêntese e colchetes
Em uma expressão numérica a posição dos parênteses e dos colchetes alteram o resultado da
expressão.
Veja:
a) 52
+ 82
- 18 - 7 x 2
25 + 64 - 18- 7 x 2
25 + 64 - 18 - 14
89 - 18 - 14
71 - 14 = 57

17
b) (52
+ 82
- 18 - 7) x 2
(25 + 64 - 18 - 7) x 2
(89 - 18 - 7) x 2
(71 - 7) x 2
64 x 2 = 128
Na expressão abaixo temos parênteses e colchetes. Para ficar mais fácil começamos pelas
expressões que estão dentro destes sinais, a partir do mais interno, no caso de estar um
dentro do outro.32
+ 8 + [72
+ (62
: 2) - 3]
9 + 8 + [49 + (36 : 2) - 3]
9 + 8 + [49 + 18 - 3]
9 + 8 + [67 - 3]
9 + 8 + 64
17 + 64 = 81
8. Fatores ou Divisores de um número natural
Para descobrir os fatores de um número natural, vamos considerar o número 40.
40 x 1 = 40
4 x 10 = 40
5 x 8 = 40
20 x 2 = 40
Sendo assim, os números 1, 2 , 4, 5, 8, 10, 20 e 40 são fatores do número natural 40.
Agora vamos descobrir todos os números naturais que se dividem exatamente (sem resto) o
número 30:
40 : 1 = 40
40 : 40 = 1
40 : 2 = 20
40 : 20 = 2
40 : 4 = 10
40 : 10 = 4
40 : 5 = 8
40 : 8 = 5
Então, os divisores de 40 são: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
Observe que os fatores e os divisores do número natural 40 são os mesmos. As idéias de
fatores e divisores de um mesmo número natural, estão ligadas.

18
Isso quer dizer que podemos encontrar os divisores de um número natural, descobrindo os
seus fatores.
Observe:
30 = 1 x 30
30 = 2 x 15
30 = 3 x 10
30 = 5 x 6
Os divisores do número 30 são: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
ATIVIDADES
1) Quais destes números são divisores de 15?
a) 1, 3, 5, 15.
b) 2, 4, 6, 15.
c) 1, 3, 4, 15.
* 1, 6, 7, 8, 10, 15.
* 1, 2, 4, 6, 8, 10, 20.
* 1, 2, 4, 5, 10, 20.
* 1, 23
* 2, 23
* 8, 23

19
9. Multiplicação com Números Naturais
José foi ao supermercado e comprou 10 pacotes de arroz para levar para seu restaurante,
cada pacote pesava 5 kilos. Quantos kilos de arroz José levou para o restaurante?
Para resolver este problema você também pode fazer assim:
5 x 10 = 50
A multiplicação é uma adição de parcelas iguais.
Sendo a, b e c números naturais quaisquer, a sentença matemática que traduz esta operação
é: a x b = c
Os fatores a e b também recebem as denominações multiplicador e multiplicando. O
multiplicador indica o número de vezes que o multiplicando será adicionado. Assim, no
produto 3 x 7, temos:
A técnica operatória, ou algoritmo da multiplicação, sugere que se escrevam os fatores um
acima do outro e que se inicie a multiplicação pelas unidades do segundo fator.
Podemos também representar uma multiplicação desta forma:
São 10 linhas e 5 quadrados cada uma:

20
Veja, agora o algoritimo da multiplicação. Algoritimo como você sabe, é a conta!!!!
10x 5
____
50
Heloisa quer colocar mesas novas nas salas de aula de sua escola. Nesta escola, tem 15 salas
de aula, e em cada uma é preciso ter 42 mesas. Quantas mesas Heloisa têm que comprar?
Para resolvermos este problema, podemos fazer o seguinte:
42 + 42 + 42 + 42 + 42 + 42 + 42 + 42 + 42 + 42 + 42 +42 + 42 + 42 + 42 = 630.
È só somar o número 42, 15 vezes, ou seja, 15 x 42.
42
x 15
____
630
Agora acompanhe o desenvolvimento desta multiplicação:
Vamos por partes:
42
x 15
____
Multiplicamos primeiro a 5 unidade pelos multiplicadores:
1
42
X5
____
210
Depois multiplicamos, a 1 dezena pelos multiplicadores:
42
X 10
____
420

21
Mas podemos fazer de um jeito mais simples:
42
X 15
____
210
+420
____
630
Resposta: Heloisa tem que comprar mesas.
10. Múltiplos de um número natural
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o
número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão
dos números naturais:
15 x 0 = 0
15 x 1 = 15
15 x 2 = 30
15 x 3 = 45
15 x 4 = 60
15 x 5 = 75
15 x 6 = 90
E assim por diante.
Sendo assim, os múltiplos de 15 são: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90,...
Uma outra forma de saber se um número é múltiplo de outro é fazer a divisão entre eles. Se o
resto for zero, então é múltiplo. Assim:
a) 4 é múltiplo de 2 porque 4 ÷ 2 = 2 e o resto = 0.
b) 72 é múltiplo de 3 porque 72 ÷ 3 = 24 e o resto = 0.

22
c) 200 é múltiplo de 4 porque 200 ÷ 4 = 50 e o resto = 0.
d) 125 é múltiplo de 5 porque 125 ÷ 5 = 25 e o resto = 0.
Note que múltiplo de é o mesmo que ser divisível por.
ATIVIDADES
1) Coloque C se for correto e E se estiver errado.
958 é múltiplo de 3
2) Escreva no quadro, colocando vírgula:
* Os 5 primeiros múltiplos de 10.

23
11. O sucessor e o antecessor de um número natural
Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado),
considerando também o zero.
Por exemplo: o sucessor de 0 é 0 + 1 = 1
o sucessor de 5 é 5 + 1 = 6
o sucessor de 57 é 57 + 1 = 58
o sucessor de 113 é 113 + 1 = 114
Todo número natural dado, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do
número dado).
Por exemplo:
o antecessor de 1 é 1 – 1 = 0
ATIVIDADES
* Qual o sucessor de 99 -
* Qual o antecessor de 104 -
*Qual o sucessor de 2005 -

24
12. Propriedades da Multiplicação
Fechamento: A propriedade de fechamento é satisfeita, pois o produto de dois números
naturais ainda é um número natural.
Associatividade: Na multiplicação de três ou mais números naturais quaisquer, podemos
associar os fatores de diferentes modos que o produto é sempre o mesmo. A propriedade de
associatividade é satisfeita na multiplicação, pois:
por exemplo:
3.5.2 =15.2 =30
3.(5.2) =3.10 =30
Observe que os resultados obtidos são iguais. Os parênteses indicam a multiplicação que deve
ser feita primeiro.
Existência de Elemento Neutro: O elemento neutro na multiplicação é o número 1, pois
qualquer número natural multiplicado por 1 é esse próprio número natural.
Por exemplo: 8 x 1 = 8 e 1 x 8 = 8
Comutatividade: A propriedade comutativa também é satisfeita pela multiplicação, pois a
ordem dos fatores não altera o produto.
Observe:
7 x 5 = 35 5 x 7 = 35
4 x 5 = 20 5 x 4 = 20
Distributividade: Um jeito simples de explicar a propriedade distributiva é com o seguinte
exemplo, tenho 3 laranjas e ganho mais 5 laranjas então na verdade eu fiquei com (3 + 5)
laranjas agora substituímos as laranjas por um número, por exemplo, o número 6.
Assim temos, 3.6 + 5.6 = (3 + 5) . 6.

25
13. Sistema de numeração decimal
O sistema de numeração que usamos é um sistema decimal, pois contamos em grupos de 10.
A palavra decimal tem origem na palavra latina decem, que significa 10. Ele foi inventado
pelos hindus, aperfeiçoado e levado para a Europa pelos árabes. Daí o nome indo-arábico.
Esse sistema de numeração apresenta algumas características:
Utiliza apenas os algarismos indo-arábicos 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9 para representar qualquer
quantidade.
Cada 10 unidades de uma ordem formam uma unidade da ordem seguinte. Observe.
10 unidades = 1 dezena = 10
10 dezenas = 1 centena = 100
10 centenas = 1 unidade de milhar = 1000
Outra característica é que ele segue o principio do valor posicional do algarismo, isto é, cada
algarismo tem um valor de acordo com a posição que ele ocupa na representação do
numeral.
Temos, então, o seguinte quadro posicional (ou de ordens):
4º ordem 3º ordem 2º ordem 1º ordem
unidade de milhar centena de unidades dezena de unidades unidades
Observe:
Neste número: 632
o algarismo 2 representa 2 unidades e vale 2 (1º ordem) ;
o algarismo 3 representa 3 dezenas, ou seja, 3 grupos de 10 unidades e vale 30 (2º ordem);
o algarismo 6 representa 6 centenas, ou seja, 6 grupos de 100 unidades e vale 600 (3º ordem).
Ou seja, 600 + 30 + 2 é igual a 632, que lemos seiscentos e trinta e dois.

26
Neste número: 7.156 o algarismo 6 representa 6 unidades e vale 6 (1º ordem).
o algarismo 5 representa 5 dezenas e vale 50 (2º ordem).
o algarismo 1 representa 1 centena e vale 100 (3º ordem).
o algarismo 7 representa 7 unidades de milhar e vale 7000 (4º ordem).
ATIVIDADES:
1) Leia as charadas, e descubra qual é o número.
a) Este número tem 4 centena, 7 dezenas e 6 unidades. Qual é este número?
b) Este número tem 9 unidades de milhar, 1 centena, 3 dezenas e 8 unidades. Qual número é
este?
c) Este número tem 3 unidades de milhar, 6 centenas, 9 dezenas e 4 unidades. Qual número é
este?
d) Este número tem 1 dezena, e 3 unidades. Qual número é este?
e) Este número tem 4 centenas, 3 dezenas, e 7 unidades. Qual número é este?
14. Sistema de Numeração Romana
Os romanos usavam um sistema interessante para representar os números.
Eles usavam sete letras do alfabeto e a cada uma delas atribuíam valores:
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1.000

27
Os numerais I, X, C, M só podem ser repetidos até três vezes.
I =1 II = 2 III =3
X =10 XX = 20 XXX = 30
C = 100 CC = 200 CCC = 300
M= 1.000 MM=2.000 MMM=3.000
Vamos aprender alguns numerais romanos.
I = 1 XX = 20 CCC = 300
II = 2 XXX = 30 CD = 400
III = 3 XL = 40 D = 500
IV = 4 L = 50 DC = 600
V = 5 LX = 60 DCC = 700
VI = 6 LXX = 70 DCCC = 800
VII = 7 LXXX = 80 CM = 900
VIII = 8 XC = 90 M = 1.000
IX = 9 C = 100 MM = 2.000
X = 10 CC = 200 MMM = 3.000
ATENÇÃO! Os numerais I, X e C, escritos à direita de numerais maiores, somam-se seus
valores aos desses numerais.
Exemplos:
VII = 7 ( 5 + 2) LX = 60 ( 50 + 10 ) LXXIII = 73 (50+20+3)
CX = 110 (100+10) CXXX = 130 (100+30) MCC = 1.200 (1.000+200)
Os numerais I, X e C, escritos à esquerda de numerais maiores, subtraem-se seus valores aos
desses numerais.
Exemplos:
IV = 4 (5-1) IX = 9 (10-1) XL = 40 (50-10)
XC = 90 (100-10) CD = 400 (500-100) CM = 900 (1.000-100)

28
15. Geometria
A geometria estuda as formas e as dimensões das figuras geométricas.
Em geometria o ponto não possui dimensões, para representá-lo basta fazer uma marca no
papel.
A reta é imaginada sem espessura, sem começo, nem fim e é ilimitada nos dois sentidos,
como é possível representá-la no papel, geralmente representamos “parte” da reta.
O plano é imaginado sem fronteiras e, assim como a reta, não é possível representá-lo no
papel, por isso representamos “parte” do plano.
Imaginemos um campo de futebol:
O piso do campo representa o plano: a.
A linha que divide cada metade do campo representa a reta: r.
O centro do campo represente o ponto: P.
Segmento da reta

29
Se considerarmos uma reta r e sobre ela marcarmos dois pontos, A e B, distintos, o conjunto
de pontos formado pelo ponto A, e pelo ponto B, e por todos os pontos da reta que estão
entre A e B é chamado segmento de reta AB.
• Os pontos A e B são as extremidades de segmento.
• A reta r é chamada reta suporte do segmento.
Para nomear o segmento, colocamos as letras das extremidades com um traço acima:
__
AB: segmento de reta cujas extremidades são os pontos A e B.
ATIVIDADES
1) Quantos segmentos de reta você encontra nas figuras a seguir:
a) 5
b) 7
c) 4
a) 5
b) 1
c) 3

30
16. Resolução de Problemas
Em quase todo momento da nossa vida usamos números naturais para
adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir. E em várias situações vamos nos
deparar com problemas matemáticos.
Você já sabe fazer corretamente as contas, mas só isso não é o suficiente.
Antes de resolvermos situações-problema precisamos saber quais operações
vamos usar.
Quando temos um problema ele deve ser lido com muita atenção e analisado,
para podermos identificar o que é dado e o que é pedido.
Sugestão de planejamento para resolução de um problema.
1º Ler atentamente o enunciado identificado: * os dados fornecidos
* o que é solicitado
2º Planejar o trabalho, observando: * os cálculos necessários para se chegar à
resposta
* se necessário traçar algum esquema ou figura auxiliar
3º Executar cuidadosamente o planejamento estabelecido, sem esquecer
nenhum detalhe.
4º Pensar se o caminho utilizado neste problema pode ser empregado em
algum outro.
Acompanhe este problema:
1) Uma loja de roupa feminina colocou as blusas em promoção. Marcela vai
aproveitar e comprar blusas para dar de presente para suas primas, tias, e
irmãs e mãe. Ao todo Marcela vai ter que comprar 12 blusas, e cada blusa da
promoção está custando R$ 25,00. Sendo assim, calcule quanto Marcela
gastará comprando as blusas, e quantas notas de 50 ela usou para pagar esta
compra.

31
Neste caso você terá que fazer duas contas, primeiro você precisa saber o valor
da compra.
1
25
x12
____
1
50
25+
____
300
Marcela gastou R$ reais para fazer esta compra.
Agora que você já sabe o valor da compra você precisa saber, quantas notas de
50 Marcela gastou, então divida o valor da compra por 50.
Marcela usou notas de R$ 50,00 reais para fazer esta compra.
Agora faça você este problema:
1) Uma escola tem 330 alunos. Foi feita uma pesquisa com esses alunos, em relação à
brincadeira que eles mais gostam, e foram adquiridos os seguintes dados:
* 110 gostam de brincar de esconde-esconde;
* 90 preferem brincar de pega-pega;
* O restante gosta de pular corda.

32
Sendo assim, calcule quantas crianças gostam de brincar de pular corda?
* Para resolver este problema você precisa primeiramente somar a quantidade de crianças
que gostam de esconde-esconde com a quantidade que gosta de pega-pega.
110 + 90 =
* Depois você subtrai o total de alunos com o resultado da primeira conta.
330 - =
* O resultado será a quantidade de alunos que gostam de pular corda.
Resposta: crianças gostam de pular corda.
17. Porcentagem
Definição
Porcentagem pode ser definida como a centésima parte de uma grandeza, ou o cálculo
baseado em 100 unidades.
É visto com freqüência as pessoas ou o próprio mercado usar expressões de acréscimo ou
redução nos preços de produtos ou serviços.
Alguns exemplos:
- O Leite teve um aumento de 25% Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo de R$
25,00
- O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeans Quer dizer que em cada R$
100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00
Significa que de cada 100 funcionários, 75 são dedicados ao trabalho ou a empresa- Dos
funcionários que trabalham na empresa, 75% são dedicados.

33
Calculando Porcentagens
Para calcular a porcentagem primeiramente se calcula a porcentagem por 100.
Feito isso é só multiplicar o resultado pelo valor do qual se quer saber a porcentagem:
Acompanhe este cáuculo:
25% de 200
25 : 100 = 0,25
0,25 x 200 = 50
ATIVIDADES
1) Calcule e clique na alternativa correta:
a) 15% de 120
• 19
• 18
• 25
b) 20% de 150
• 40
• 50
• 30
c) 35% de 100
• 25
• 15
• 35

34
d) 40% de 240
• 86
• 96
• 48
e) 30% 250
• 75
• 87
• 96
18. Potenciação de Números Naturais
Dados dois números naturais x e y, a expressão Xy
, representa um produto de y fatores iguais
ao número x:
Xy
= x . x . x . x ... x . x . x
y vezes
O número que se repete como fator denomina-se base que neste caso é X. O número de
vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é y. O resultado
denomina-se potência. Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais.
Exemplo:
Esta operação abaixo é chamada de potenciação: 23
= 2 . 2 . 2 = 8
Neste caso o número 2 é a base, e o número 3 é o expoente, e o número 8 é a potência O
expoente é o número de vezes que a base irá se repetir, a potência é o resultado.
Observe estas potências:
52
= 5 . 5 = 25 → Cinco elevado à segunda potência.
43
= 4 . 4 . 4 = 64 → Quatro elevado a terceira potência.

35
Propriedades da Potenciação
* Toda potência de base 1 e expoente natural é igual a 1, ou seja sempre que a base for 1 a
potência será igual a 1.
Exemplos:
16
= 1 . 1. 1 . 1 . 1 . 1 = 1
14
= 1 . 1 . 1 . 1 = 1
* Todo número natural não-nulo elevado à zero é igual a 1.
Exemplo:
30
= 1
90
= 1
* Todo numero natural elevado a 1 é igual a ele mesmo.
Exemplo:
41
= 4 . 1 = 4
61
= 6 . 1 = 6
81
= 8 . 1 = 8
* Toda potência de base 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos
zeros quantos forem as unidades do expoente.
Exemplo:
103
= 10 . 10 . 10 = 1000
105
= 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 100.000
ATIVIDADES
1) Agora vamos calcular:
52
= 5 .5 =
26
= 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 =
43
= 4 . 4 . 4 =
92
= 9 . 9 =

36
2) Assinale a alternativa correta:
50 . 50
* 502
* 503
* 500
5 . 5 . 5 . 5 . 5
* 51
* 510
* 55
17 . 17 . 17 . 1 7
* 174
* 175
* 170
9 . 9 . 9
* 93
* 91
* 97

37
19. Operações com Frações
Adição e Subtração de Frações
Para adicionar ou subtrair frações de mesmo denominador, somam-se os numeradores e
repete-se o denominador.
Temos que analisar dois casos:
1º) denominadores iguais
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o
denominador.
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o
denominador.
Observe os exemplos:
2º) denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações
equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações.
Exemplo: somar as frações
Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc (5,2) = 10.
(10:5). 4 = 8 (10:2).5 = 25

38
Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos
normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.
Multiplicação e divisão de números fracionários
Nas multiplicações de frações multiplica-se o numerador com numerador e denominador
com denominador. Se necessário, simplifique o produto.
Veja os exemplos:
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da
segunda. Se necessário simplifique.
Veja o exemplo abaixo:

39
20. Trabalhando com Frações
Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os
números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados
por uma linha horizontal ou traço de fração onde Numerador indica quantas partes são
tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e
Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro
deve necessariamente ser diferente de zero.
Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:
Em linguagem matemática, as frações podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou
mesmo como 1/4, considerada mais comum.
Observe esta figura
Esta figura foi dividida em quatro partes, portanto, a parte mais clara representa um quarto
da figura.
Leitura das frações
Uma fração com o denominador menor que 10, podemos escrever assim:
1/2 um meio ou metade
1/3 um terço ou a terça parte
1/4 um quarto ou a quarta parte
1/5 um quinto ou a quinta parte
1/6 um sexto ou a sexta parte
1/7 um sétimo ou a sétima parte
1/8 um oitavo ou a oitava parte
1/9 um nono ou a nona parte
Uma fração com denominador maior que 10 e menor que 100, 1000, 10000..., acrescentamos

40
a palavra avos após a escrita do denominador:
1/17 um dezessete avos
1/23 um vinte e três avos
1/67 um sessenta e sete avos
1/98 um noventa e oito avos
Uma fração com denominador de potencia de 10 ( 10, 100, 1000...) tem nomes especiais:
1/10 um décimo ou a décima parte
1/100 um centésimo
1/1000 um milésimo.
1/10000 um décimo do milésimo
Uma fração com o numerador maior que 1.
5/4 cinco quartos
6/7 seis sétimos
17/60 dezesste sessenta avos
8/13 oito treze avos
Observe este exemplo:
Temos grupos com lápis.
Nesta figura temos ao todo lápis.
Uma fração que pode representar cada grupo formado é .
Agora descubra, quantos lápis tem em 3/6?

41
Em 3/6 têm lápis.
Observe este bolo:
Ele foi cortado e dividido em 12 pedaços.
Qual fração que pode representar a frase acima:
Escreva por extenso esta fração
Considerando os 12 pedaços, responda os exercícios abaixo:
1) Carol comeu 3/12 (três doze avos) do bolo. Quantos pedaços de bolo Mariana comeu?
Carol comeu pedaços.

42
2) Rafael comeu 4/12 do bolo. Quantos pedaços Rafael comeu?
Rafael comeu pedaços do bolo.
3) Sabendo que Carol comeu 3 pedaços e Rafael comeu 4, que fração representa o numero de
pedaços que sobraram do bolo?
Sobraram
ATIVIDADES
1) Em qual das figuras abaixo representa a fração 1/2?
2) Escreva por extenso as frações abaixo: (Não esquecer de acentuar)
a) 1/18
b) 3/14
c) 5/12

43
d) 1/100
e) 5/50
f) 4/1000
g) 2/10000
3) Observe estes grupos de carrinhos:
Responda:
a) Quantos carrinhos há em cada grupo?
b) Qual fração que representa cada grupo formado?
c) Quantos carrinhos têm em 1/4?
d) Quantos carrinhos têm em 2/4?
e) Quantos carrinhos têm em 3/4?
f) Quantos carrinhos têm em 4/4?
g) Qual fração representa cada carrinho de cada grupo?

44
21. Raiz Quadrada exata de um número natural
Existem números naturais que representam os quadrados de outros números naturais. Esses
números são chamados de quadrados perfeitos.
No quadro abaixo, estão alguns números e seus quadrados perfeitos.
Sendo assim: “5 elevado ao quadrado é 25, estamos nos referindo a raiz quadrada exata do
número quadrado perfeito 25.
Observe: 52
= 5 . 5 = 25, então
Obs: Nem todos os números são quadrados perfeitos, o número 45, por exemplo,
não possui raiz quadrada exata, por que ele não é um número quadrado perfeito. Portanto
somente os números quadrados perfeitos possuem um número natural como raiz quadrada
exata.
ATIVIDADES
1) Indique qual a raiz quadrada exata dos números quadrados perfeitos abaixo:

45
22. Conceito de Cilindro
Cilindro
Conceito:
Consideremos um círculo de centro O e raio r num plano , e um segmento de reta , cuja reta
suporte intercepta em Q. Temos segmentos de reta paralelos e congruentes a , cada um deles
com uma das extremidades num ponto do círculo e a outra extremidade num mesmo semi-
espaço dos determinados por ele. A reunião de todos esses segmentos é um sólido chamado
cilindro.
Elementos
Considerando o cilindro representado abaixo, temos:
a) os círculos de centros O e O’ e o raio r situados em planos paralelos são as bases do
cilindro;

46
b) os segmentos paralelos a OO com as extremidades em pontos das circunferências das
bases são as geratrizes (g);
c) a reta OO «é o eixo do cilindro;
d) a distância entre os planos das bases é a altura (h) do cilindro.
Classificação
Um cilindro pode ser classificado conforme a inclinação da geratriz em relação aos planos das
bases:
a) o cilindro circular é oblíquo quando a geratriz é oblíqua às bases;
b) o cilindro circular é reto quando a geratriz é perpendicular às bases.
As duas figuras anteriores são cilindros oblíquos, enquanto a figura ao lado representa um
cilindro reto.
O cilindro circular reto é também chamado cilindro de revolução; ele é gerado pela rotação de
um retângulo em torno de um de seus lados.
Áreas e Volumes
Área da Base: Ab
A área da base de um cilindro é a área de um círculo de raio r.
Ab = r2
Seção Meridiana e Cilindro Eqüilátero
Seção Meridiana e Cilindro Eqüilátero
Seção meridiana de um cilindro circular reto é a interseção deste com um plano que contém o
eixo.
A seção meridiana de um cilindro reto é um retângulo.

47

48
Aplicação
Um cilindro tem área total de 16 m2
. Se o raio mede um terço da altura, a área lateral do
cilindro é:
Solução:
Áreas e Volumes
Área Lateral : Al
A superfície lateral de um cilindro é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é
chamada área lateral do cilindro e é indicada por Al.
A superfície lateral de um cilindro circular reto, de altura h, e cujos círculos das bases têm raio
r, planificada, é um retângulo de dimensões 2r (comprimento da circunferência da base) e h
(altura do cilindro).

49
Área Total: At
A superfície total de um cilindro é a reunião da superfície lateral com os círculos das bases. A
área dessa superfície é a área total do cilindro e é indicada por At.
At = Al + 2Ab
Substituindo-se Al = 2rh e Ab = r2 , vem:
At = 2r(h + r)
Aplicação
Seja V = 20 cm3
o volume de um cilindro reto cujo raio mede 40 % da medida da altura.
Vamos determinar o valor de sua área total.
Solução:
Sendo r o raio da base do cilindro de altura h, temos:
r = 40 % ; h = 2h/5

50
23. Conceito de Esfera
Conceito
Consideramos um ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de centro O e raio r
o conjunto dos pontos P do espaço , tais que a distância OP seja menor ou igual a r.
A esfera é o sólido de revolução gerado pela rotação completa de um semicírculo em torno de
um eixo que contém um diâmetro.

51
Superfície esférica
Superfície esférica de centro O e raio r é o conjunto dos pontos P do espaço que distam r do
ponto o.
A superfície gerada pela rotação de uma semicircunferência em torno de um eixo que contém
o diâmetro é uma superfície esférica.
Elementos da esfera
Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos:
a) Pólos são as interseções da superfície com o eixo;
b) Equador é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície;
c) Paralelo é qualquer seção (circunferência) perpendicular ao eixo;
d) Meridiano é qualquer seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.

52
Cunha Esférica
Aplicação
Área do fuso
Note que, quanto maior for o ângulo, maior será o fuso correspondente; a área do fuso é
diretamente proporcional a .
Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:

53
Volume da cunha
Note que quanto maior for o ângulo, maior será o volume da cunha correspondente; o
volume da cunha é diretamente proporcional a .
Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:
Seção, Área e Volume da Esfera
Seção da Esfera
Toda seção plana de uma esfera é um círculo.
Sendo r o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e s o raio da seção, vale a
relação
Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como seção um círculo máximo da
esfera.

54
Área da esfera
A área de uma superfície esférica de raio r é igual a 4 r2
.
A = 4 r2
Volume da esfera
Aplicação
Uma esfera é secionada por um plano a 8cm do centro; a seção obtida tem área 36cm2.
Determinar a área da superfície da esfera e seu volume.
Solução:
Inicialmente, devemos considerar a área da seção:
36 = . s2
→s = 6cm
s2
= r2
- d2→
62
= r2
- 82
r = 10cm
A = 4 r2
= 4 . 102
→A = 400 cm2

55
Volume da esfera

56
24. Trigonometria no Triângulo Retângulo
Em princípio, Trigonometria é o estudo da relações entre as medidas de ângulos e lados nos
triângulos retângulos (trigono = triângulo e metria = medida).
1. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
O triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto, ou seja, mede 90°.
Observe-se o triângulo ABC da figura com Â = 90° (reto), e seus ângulos agudos e .
É importante saber que:
a) Em relação ao ângulo , temos:
c é o cateto oposto;
b é o cateto adjacente.
b) Em relação ao ângulo , temos:
b é o cateto oposto;
c é o cateto adjacente.
Seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo
Seja a medida de um ângulo agudo do triângulo acima, temos:
a) Seno do ângulo (sen ):
É a razão entre a medida do cateto oposto a e a medida da hipotenusa, ou seja:
b) Co-seno do ângulo (cos ):
É a razão entre a medida do cateto adjacente a e a medida da hipotenusa, isto é:

57
Aplicação
Calcular x, dados:
sen = 0,8; cos = 0,6; tg = 0,75
Solução:
Primeiro é preciso decidir qual das três razões trigonométricas dadas convém ao problema.
Observe que a hipotenusa é conhecida e que x é a medida do cateto adjacente a . Como
hipotenusa e cateto adjacente são relacionados pelo co-seno, temos:

58
2. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS DE 30º, 45º E 60º
Podemos resumir os valores para o seno, co-seno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º
em uma única tabela. Tais valores serão usados freqüentemente daqui em diante.
Aplicação
Um foguete é lançado a 200m/s, segundo um ângulo de inclinação de 60º (ver figura).
Determinar a altura do foguete após 4s, supondo a trajetória retilínea e a velocidade
constante.
3. ARCOS
Considere um arco orientado contido numa circunferência orientada. A medida algébrica
desse arco é a sua medida comum, afetada dos sinais + ou –, conforme o sentido do arco seja
respectivamente, concordante ou discordante com o sentido positivo da circunferência. A
medida algébrica de um arco orientado de origem A e extremidade P é denotada pelo símbolo
.

59

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