Resolução da lista de exercícios sobre operações com polinômios

1. Operações com Polinômios – 8º ano
1) Efetue as operações indicadas:
a) (2x3
– 3x2
+ x – 1) + (5x3
+ 6x2
– 7x + 3)
3 2 3 2
3 3 2 2
3 2
2 3 1 5 6 7 3
2 5 3 6 7 1 3
7 3 6 2
x x x x x x
x x x x x x
x x x
      
      
  
b) (– 8y2
– 12y + 5) + (7y2
– 8) gabarito incorreto
2 2
2 2
2
8 12 5 7 8
8 7 12 5 8
8 12 3
y y y
y y y
y y
    
    
  
c) (2ax3
– 5a2
x – 4by) + (5ax3
+ 7a2
x + 6by)
3 2 3 2
3 3 2 2
3 2
2 5 4 5 7 6
2 5 5 7 4 6
7 2 2
ax a x by ax a x by
ax ax a x a x by by
ax a x by
    
    
 
d) (a2
– b2
) + (a2
– 3b2
– c) + (5c – 2b2
– a2
)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
3 5 2
3 2 5
6 4
a b a b c c b a
a a a b b b c c
a b c
      
      
 
e) (3y2
– 2y – 6) – (7y2
+ 8y + 5)
2 2
2 2
2
3 – 2 – 6 7 8 5
3 7 – 2 8 – 6 5
4 10 11
y y y y
y y y y
y y
  
  
  
f) (8x3
– 4x2
+ 3x – 5) – (6x3
– 7x2
+ 5x – 9)
3 2 3 2
3 3 2 2
3 2
8 4 3 5 6 7 5 9
8 6 4 7 3 5 5 9
2 3 2 4
x x x x x x
x x x x x x
x x x
      
      
  
g) (2x3
– 3x + 1) – (– 4x2
+ 3)
3 2
3 2
2 3 1 4 3
2 4 3 2
x x x
x x x
   
  
h) (2x3
– 5x2
+ 8x – 1) – (– 3x3
+ 5x2
– 5x + 6)
3 2 3 2
3 3 2 2
3 2
2 5 8 1 3 5 5 6
2 3 5 5 8 5 1 6
5 10 13 7
x x x x x x
x x x x x x
x x x
      
      
  
i) (x2
– 5xy + y2
) + (3x2
– 7xy + 3y2
) – (4y2
– x2
)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
5 3 7 3 4
3 5 7 3 4
5 12
x xy y x xy y y x
x x x xy xy y y y
x xy
      
      

j)    2 2 2 2 21
4 5 3 5
2
ab a ab ab a
 
      
 
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1
4 5 3 5
2
2 2 3
9 2 9 2
2 2
ab ab ab a a
ab ab ab ab
a a
     
 
    
k) 











 1
3
2
2
1
1
2
1
3
2 22
mmmm
2 2
2 2
2 2 2
2 1 1 2
1 1
3 2 2 3
2 1 1 2
1 1
3 2 2 3
4 3 3 4
6 6
m m m m
m m m m
m m m m m m
    
    
   

l) 












2
12
3
1
2
1 m
mnmnm
1 1
2 1
2 3 2
1 1
2 1
2 2 3
3 2
3 3
3 3
m
m mn mn
m
m mn mn
mn mn mn
    
    
 
  
m) 











 baabbaab 2222
4
3
3
1
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 3
2
3 4
3 1
2
4 3
8 3 3 5 2
4 3 4 3
ab a b ab a b
ab ab a b a b
ab ab a b a b ab a b
  
  
 
  

2. 2) Efetue as multiplicações:
a) y(4x2
– 2x3
– 7)
2 3
4 2 7x y x y y 
b) (x4
– 3x2
– 5x + 1)(– 4x)
5 3 2
4 12 20 4x x x x   
c) 2x(y2
+ xy + 1)
2 2
2 2 2xy x y x 
d) 4ab(a2
+ b2
– ab)
3 3 2 2
4 4 4a b ab a b 
e) 4xy2
(4x + y + 1)
2 2 3 2
16 4 4x y xy xy 
f)  3 2 1
2 1
2
x x x x
 
      
 
4 3 21 1 1
2 2 2
x x x x  
g)  2 5
3 6 5
3
ab ab a
 
    
 
2 2 2 25
5 10
3
a b a b a  
h) (2x + 3)(5x – 1)
2
2
10 2 15 3
10 13 3
x x x
x x
  
 
i) (4x3
+ 2x – 3)(5x2
+ x – 1)
5 4 3 3 2 2
5 4 3 2
20 4 4 10 2 2 15 3 3
20 4 6 13 5 3
x x x x x x x x
x x x x x
       
    
j) (x2
– 2x + 5)(x3
– 3x2
+ 6)
5 4 2 4 3 3 2
5 4 3 2
3 6 2 6 12 5 15 30
5 9 30
x x x x x x x x
x x x x
       
   
3) Calcule os seguintes quocientes:
a) (6ax – 9bx – 15x) : 3x
6 9 15
2 3 5
3 3 3
ax bx x
a b
x x x
    
b) (8a2
– 4ac + 12a) : 4a
2
8 4 12
2 3
4 4 4
a ac a
a c
a a a
    
c) (27ab – 36bx – 36by) : (– 9b)
27 36 36
3 4 4
9 9 9
ab bx by
a x y
b b b
     
  
d) (49an – 21n2
– 91np) : 7n
2
49 21 91
7 3 13
7 7 7
an n np
a n p
n n n
    
e) (27a2
bc – 18acx2
– 15ab2
c) : (– 3ac)
2 2 2
2 227 18 15
9 6 5
3 3 3
a bc acx ab c
ab x b
ac ac ac
     
  
f) (8x5
y + 4x3
y2
– 6x2
y): (4x2
y)
5 3 2 2
3
2 2 2
8 4 6 3
2
4 4 4 2
x y x y x y
x xy
x y x y x y
    
g)   






3
4
:20812 2 a
axyabxxa
2
2
12 3 8 3 20 3
1 4 1 4 1 4
36 24 60
9 6 15
4 4 4
a x abx axy
a a a
a x abx axy
ax bx xy
a a a
    
    
h)
6
:
4
1
3
1
2
1 ab
abcabyabx 






6 6 6
2 3 4
6 6 6 2 3
2
2 3 4 3 2
abx aby abc
ab ab ab
abx aby abc x c
y
ab ab ab
    
    

3. 4) Determine o quociente e o resto das
seguintes divisões:
a) (4a2
– 7a + 3) : (4a – 3)
2
2
4 7 3 4 3
4 3 1
4 3
4 3
0
a a a
a a a
a
a
  
  
 

b) (11x2
– 2 – x + 10x3
) : (5x – 2)
3 2
3 2 2
2
2
10 11 2 5 2
10 4 2 3 1
15
15 6
5 2
5 2
0
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
   
   

 

 
c) (7x – 2x4
+ 3x5
– 2 – 6x2
) : (3x – 2)
5 4 2
5 4 4
2
2
3 2 6 7 2 3 2
3 2 2 1
6 7
6 4
3 2
3 2
x x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
    
   
 


 
0
d) (x3
– 2x2
– 6x – 27) : (x2
– 5x + 9)
3 2 2
3 2
2
2
2 6 27 5 9
5 9 3
3 15 27
3 15 27
54
x x x x x
x x x x
x x
x x
    
   
 
  

e) (x2
+ 5x + 10) : (x + 2)
2
2
5 10 2
2 3
3 10
3 6
4
x x x
x x x
x
x
  
  

 
f) (10x – 9x2
+ 2x3
– 2) : (x2
+ 1 – 3x)
3 2 2
3 2
2
2
2 9 10 2 3 1
2 6 2 2 3
3 8 2
3 9 3
1
x x x x x
x x x x
x x
x x
x
    
   
  
  
 
g) (6x3
– 16x2
+ 5x – 5) : (2x2
+ 1 – 4x)
3 2 2
3 2
2
2
6 16 5 5 2 4 1
6 12 3 3 2
4 2 5
4 8 2
6 3
x x x x x
x x x x
x x
x x
x
    
   
  
 
 
h) (x6
+ 4x3
+ 2x – 8) : (x4
+ 2x2
+ 4)
6 3 4 2
6 4 2 2
4 3 2
4 2
3
4 2 8 2 4
2 4 2
2 + 4 4 2 8
2 4 8
4 2
x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
    
   
   
  


4. 03/08/2016 23:24:05-D:EscolaMarista20168º ano - MatemáticaII TrimestreAV1Operações com Polinômios - Resolução.docx
4
2
2
) 3 2 4 5 3 2 5
3 9 2
a x x x x
x x
     
 
       
 
2
3 2 2 2
3 2 2 2
3 2 2 2
3 2
) 3 2 4 5 3 5 3 2 5
15 9 10 6 20 12 10 25 6 15
15 9 10 6 20 12 10 25 6 15
15 9 10 10 6 20 25 6 12 15
15 9 45 27
b x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x
       
        
        
        
  
5) Qual o polinômio que, ao ser
dividido por x – 6, tem quociente 2x
– 5 e resto – 12?
   
2
2
6 2 5 12
2 5 12 30 12
2 17 18
x x
x x x
x x
   
   
 
6) Determine o polinômio que, dividido
por x – 1, tem quociente x – 1 e resto
2.
   
2 2
1 1 2
2 1 2 2 3
x x
x x x x
   
     
7) O quociente da divisão de um
polinômio A por x2
– 2x + 1 é x2
+ 4x
+ 3. O resto dessa divisão é 12x + 3.
Qual é o polinômio A?
   2 2
4 3 2 3 2 2
4 3 3 2 2 2
4 3 2
2 1 4 3 12 3
4 3 2 8 6 4 3 12 3
4 2 3 8 6 4 12 3 3
2 4 10 6
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
      
         
         
   
8) A divisão de dois polinômios é
exata. O quociente dessa divisão é
x2
– 7x + 12 e o polinômio divisor é
x2
– 5. Qual é o polinômio
dividendo?
   2 2
4 2 3 2
4 3 2 2
4 3 2
7 12 5
5 7 35 12 60
7 5 12 35 60
7 7 35 60
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
   
    
    
   
9) Dados os polinômios A = 3x2
+ 2x – 4, B = 5x – 3 e C = 2x + 5, calcule:
a) A + B + C
b) AB – BC
c) A2
– 2B
     2 2
4 3 2 3 2 2
4 3 3 2 2 2
4 3 2
) 3 2 4 3 2 4 2 5 3
9 6 12 6 4 8 12 8 16 10 6
9 6 6 12 4 12 8 8 10 16 6
9 12 20 26 22
c x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
      
         
         
   
RESPOSTAS:
1)
a) 7x3
+3x2
-6x+2
b) -y2
-12y-3
c) 7ax3
+2a2
+2by
d) a2
-6b2
+4c
e) -4y2
-10y-11
f) 2x3
+3x2
-2x+4
g) 2x3
+4x2
-3x-2
h) 5x3
-10x2
+13x-7
i) 5x2
-12xy
j)3ab2
/2+9a2
-2
k) m2
/6+m/6
l) 2mn/3+3
m)5ab2
/4+2a2
b/3
2)
a) -6x3
y+12x2
y-21y
b) -4x5
+12x3
+20x2
-4x
c) 2xy2
+2x2
y+2x
d) 4a3
b+4ab3
-4a2
b2
e) 16x2
y2
+4xy+4xy2
f) x4
/2+x3
/2-x2
-x/2
g) -5a2
b+10a2
b2
-25/3a
h) 10x2
+13x-3
i) 20x5
+4x4
+6x3
-13x2
-5x+3
j) x5
-5x4
+11x3
-9x2
-12x+30
3)
a) 2a-3b-5
b) 2a-c+3
c)-3a+4x+4y
d) 7a-3n-13p
e)-9ab+6x2
+5b2
f) 2x3
+xy-3/2
g) 9ax-6bx+15xy
h) 3x-2y+3/2 c
4)
a) Q=a-1 e R=0
b) Q=2x2
+3x+1 e R=0
c) Q=x4
-2x+1 e R=0
d) Q=x+3 e R=-54
e) Q=x+3 e R=4
f) Q=2x-3 e R=-x+1
g) Q=3x-2 e R=-6x-3
h) Q=x2
-2 e R=4x3
+2x
5) 2x2
-17x+18
6) x2
-2x+3
7) x4
+2x3
-4x2
+10x+6
8) x4
-7x3
+7x2
+35x-60
9)
a) 3x2
+9x-2
b) 15x3
-9x2
-45x+27
c)9x4
+12x3
-20x2
-26x+22