Este documento discute números complexos. Ele prova que se |z1 + z2| = |z1| + |z2|, então existe um α tal que z1 = αz2. Isto é feito equacionando (|z1 + z2|)2 com (|z1| + |z2|)2 e isolando z1 e z2 para mostrar que z1 = αz2.

1. N umeros Complejos
´
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Sean z1 y z2 complejos no nulos tales que
|z1 + z2 | = |z1 | + |z2 |
Probar que ∃α ∈ tal que z1 = αz2
Soluci´n
o
1. Por dato z1 , z2 = 0 y |z1 + z2 | = |z1 | + |z2 | ⇒ (|z1 + z2 |)2 = (|z1 | + |z2 |)2
(z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1 |2 + |z1 ||z2 | + |z2 |2
z1 z2 + z2 z1
⇒ = |z1 z2 |
2
Re(z1 z2 ) = |z1 z2 | = |z1 z2 | ⇒ Re(z1 z2 ) = |z1 z2 | ⇒ ∃α1 ∈ z1 z2 = α1
⇒ z1 z2 z2 = α1 z2 ⇒ z1 |z2 |2 = α1 z2 (|z2 |2 = 0)
α1
⇒ z1 = z2
|z2 |2
α1
Basta hacer α = ∈
|z2 |2
⇒ z1 = αz2
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