Este documento fornece informações sobre um curso de física, incluindo como obter ajuda e contato com os professores, além de detalhar a primeira aula sobre trabalho e energia. A aula introduz o conceito de trabalho realizado por forças constantes e variáveis, estabelecendo a equivalência entre trabalho e variação de energia cinética.

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2. Aula 1 - Trabalho e Energia
Vamos começar com o caso simples de um bloco em repouso sobre uma
mesa bem lisa. Suponha que uma força de módulo constante seja aplicada
sobre o corpo, como mostrada na Figura 5.1 abaixo.
Figura 5.1: Bloco sendo puxado por uma força constante, o que acarreta um
deslocamento d.
Assumindo que o corpo tenha percorrido uma distância d ao longo da mesa,
dizemos que a força F realizou trabalho sobre o bloco, que é dado pela
expressão
W = F cos!( )d. (5.1.1)
Note que o trabalho realizado pela força sobre o bloco é tanto maior quanto
maior for o deslocamento ou a força sob a ação da qual ele se realiza.
Além disso, é bastante intuitivo perceber que apenas a projeção da força F
na direção do deslocamento é eficaz para movimentar o bloco. Aliás, como
você sabe, essa projeção é dada por
F cos!, (5.1.2)
onde ! é mostrado na figura como o ângulo entre a força e a direção do
deslocamento. Assim, a julgar pela Equação (5.1.1), o trabalho realizado
sobre o bloco deve ser a projeção da força na direção do deslocamento
multiplicada pela distância percorrida; ou seja, o trabalho realizado por F
sobre o bloco deve ser
W = F cos! d.

3. Na verdade, existe uma maneira mais compacta de escrever essa expressão,
W =
!
F •
!
d, (5.1.3)
onde o vetor deslocamento
!
d é definido como o vetor que vai do ponto de
onde o corpo sai do repouso, até o ponto em que a distância foi medida,
como mostrado na Figura 5.1. Essa é a expressão para o trabalho realizado
por uma força constante.
__Após esse resultado, responda qual deve ser, então, o trabalho realizado
pela força peso para o mesmo deslocamento
!
d ao longo da mesa?
_Se você respondeu que o peso não realizou trabalho sobre o bloco, acertou!
A projeção da força peso sobre o deslocamento é nula, visto que o peso está
na vertical e o deslocamento na horizontal. Como
cos
!
2
"
#$
%
&' = 0,
temos que o trabalho realizado é nulo, pela Equação (5.1.3).
Mas suponha agora que existam duas forças
!
F1
e
!
F2
atuando sobre o corpo,
como mostrado na Figura 5.2 abaixo. Pela definição acima, o trabalho
realizado por
!
F1
é F1
cos!1
d e o trabalho realizado por
!
F2
é F2
cos!2
d ,
onde !1
e !2
são mostrados na figura. Olhe com atenção para a Figura 5.2, o
trabalho realizado por
!
F1
é positivo, porque cos!1
> 0 ; mas o trabalho
realizado por
!
F2
é negativo, porque cos!2
< 0. Assim, percebemos que o
trabalho realizado por uma força sobre um corpo pode ser positivo, negativo
ou nulo.
F1
F2
!1
!2
Figura 5.2: Duas forças distintas atuando sobre o bloco.
Entretanto, até agora só vimos como calcular o trabalho realizado por uma
força constante, mas ainda não discutimos o seu significado físico, que é o
que faremos agora...

4. Vamos voltar à situação descrita pela Figura 5.1. Quando a força
!
F é
aplicado sobre o bloco, ela o retira do repouso tornando-o animado, ou em
movimento. Esse corpo ganha velocidade em função da força aplicada e
dizemos que esse corpo em movimento tem uma energia associada à sua
velocidade, que chamamos de energia de movimento, ou energia cinética.
Por definição, a energia cinética de uma partícula m que se move com
velocidade
!
v é dada por
K =
1
2
mv2
. (5.1.4)
Portanto, ao realizar trabalho sobre o bloco, a força
!
F fornece energia
cinética ao bloco.
Definimos energia como a capacidade de produzir trabalho.
_Mas você poderia perguntar: “Não foi o trabalho realizado pela força que
forneceu energia ao bloco? Como assim a energia é a capacidade de
produzir trabalho?” Bom, é essa a pergunta que vamos tentar responder
nesta aula...
Vamos começar tentando calcular o trabalho realizado pela resultante de
todas as forças que atuam sobre um corpo arbitrário. Assim, imagine um
corpo em que atuam n forças constantes sobre ele, cada força associada à
um índice i, i = 1,!,n . Como calcular o trabalho realizado pela resultante?
__Bom, o trabalho realizado pela resultante deve ser a soma dos trabalhos
realizados por cada uma das forças que atuam sobre o corpo. Isso você pode
provar matematicamente: é só usar o fato de que a resultante é a soma
vetorial de todas as forças que atuam sobre o bloco, isto é,
!
R =
!
Fi
i=1
n
! , (5.1.5)
e substituir a expressão acima na Equação (5.1.3). Usando as propriedades
do produto vetorial, você deve ser capaz de mostrar que
W =
!
Ri
!
d =
!
Fi
i=1
n
!
"
#$
%
&'i
!
d =
!
Fi
i
!
d( )i=1
n
! ( Wi
i=1
n
! , (5.1.6)
onde Wi é o trabalho realizado pela força
!
Fi
sobre o corpo.
Mas, pela 2ª Lei de Newton, a resultante é

5. !
R = m
!
a. (5.1.7)
Além disso, como vimos quando estudamos a Cinemática do movimento
unidimensional, também sabemos que, para um corpo que percorre uma
distância d ao longo de uma reta com aceleração a constante, existe a
expressão:
vf
2
= vi
2
+ 2ad,
onde vf
e vi
denotam a velocidade final e inicial respectivamente.
Podemos combinar os três ingredientes apresentados: a equação acima, a 2ª
Lei de Newton e o cálculo do trabalho realizado pela resultante das forças
que atuam sobre um corpo da seguinte forma:
W =
!
R •
!
d = m
!
a •
!
d = m ad = m
vf
2
2
!
vi
2
2
"
#
$
%
&
'
=
1
2
mvf
2
!
1
2
mvi
2
,
(5.1.8)
onde, obviamente, usamos o fato de que a resultante está na direção do
deslocamento. (Você saberia dizer o porquê?)
_Observe agora o último termo da equação acima, o que ele significa?
_Bem, usando a definição de energia cinética acima, o último termo da
Equação (5.1.8) é a variação da Energia Cinética, !K . Portanto, quando a
resultante das forças que atuam sobre um corpo é constante, o trabalho
realizado pela resultante equivale à variação da energia cinética.
Podemos interpretar esse resultado dizendo que o trabalho realizado por uma
força pode acrescentar ou retirar a energia de um corpo e podemos
imediatamente concluir que a energia e o trabalho têm as mesmas unidades.
A Equação (5.1.3) indica que o trabalho (ou a energia) é expresso(a) em
unidades de força “vezes” deslocamento. __Por outro lado, a Equação (5.1.4)
indica que a força pode deve ser escrita em unidades de massa “vezes” o
quadrado da velocidade. __Como exercício, mostre que essas unidades são
equivalentes.
No sistema MKS (metro-kilograma-segundo), o trabalho é expresso por
1 N !1 m = 1 J, (5.1.9)

6. onde N denota newtons, que é uma unidade de força, m denota metros, que
é uma unidade de comprimento, e J denota joules, que é uma unidade para
energia. No sistema CGS (centímetro-grama-segundo), seria
1 dina !1 cm = 1 erg. Logo, 1 J = 107
ergs (visto que 1 N = 105
dinas).
Curiosidade:
A unidade joule (J) foi assim denominada em homenagem ao ilustre físico
inglês James Joule (1818-1889).
Hiperlink:
Conheça mais sobre James Joule através do link:
http://pt.wikipedia.org/wiki/James_Prescott_Joule

7. Trabalho de Uma Força Variável
Na seção anterior, vimos como calcular o trabalho realizado por uma força
constante sobre um corpo. Entretanto, o que acontece quando a força
aplicada muda de magnitude a medida que o corpo muda de posição? __Em
outras palavras, como calcular o trabalho de uma força que varia com a
posição da partícula?
De fato, essa situação é bastante comum na Natureza. Por exemplo, você
deve se lembrar do sistema massa-mola; nesse caso, a força que a mola
exerce sobre a massa varia a medida que comprimimos ou esticamos a mola,
de acordo com a Lei de Hooke. Mesmo a força gravitacional, que geralmente
consideramos constante para pequenas alturas, varia em função da distância
a medida que nos afastamos do centro da Terra, de acordo com a Lei da
Gravitação de Newton. Portanto, o cálculo do trabalho para uma força
variável é bastante útil.
Para simplificar os cálculos, vamos continuar assumindo que o deslocamento
se dê ao longo de uma reta; mas ao contrário do que acontecia na seção
anterior, vamos assumir que o módulo da força possa variar ao longo do
deslocamento e vamos representar o módulo dessa força na direção do
deslocamento por F(x).
Antes de calcular o trabalho exatamente, vamos obter um resultado
aproximado dividindo a distância percorrida em pequenos intervalos, como
mostra a Figura 5.3 abaixo.
Figura 5.3: Gráfico de Fx em função de x.

8. Para cada intervalinho, vamos definir Fx como sendo a força no ponto médio
deste intervalo. A reta horizontal que passa por Fx tem um valor próximo ao
valor de F(x) em cada ponto desse intervalo, veja a figura acima. Se o
deslocamento neste intervalo for !x, o trabalho realizado pela força Fx , que
é constante, deve ser igual a esta força multiplicada pela distância percorrida,
ou seja,
Fx !x,
o que equivale à área do retângulo colorido na Figura 5.3. Assim, o trabalho
total aproximado deve ser a soma da área de todos os retângulos da figura
acima.
_Mas essa é só uma aproximação, certo?_Você pode se perguntar então:
“Quando é que o resultado se torna exato, afinal?”
_Ora, o resultado se torna exato quando dividimos a distância em intervalos
tão pequenos, mas tão pequenos, que F(x) e Fx coincidem para qualquer
ponto de um desses intervalos infinitesimais. Mas para que F(x) e Fx sejam
idênticos, é necessário que estejamos no limite em que !x " 0. Assim, o
trabalho realizado pela força F(x) é
W = lim
!x"0
Fx
!x = F(x)dx;
xi
x f
#xi
x f
$ (5.2.1)
ou seja, o trabalho realizado por F(x) sobre um corpo para ir do ponto xi ao
ponto xf é uma integral, que equivale à área sob a curva de F(x) no intervalo
entre as posições xi e xf.
O cálculo de derivadas e integrais está fora do objetivo deste curso e não
será cobrado nas avaliações, embora seja bastante usado em toda a
discussão desta seção.
Curiosidade:
Note que a definição de trabalho para uma força variável dada pela Equação
(5.2.1) é válida apenas para um deslocamento unidimensional. Para o
movimento tridimensional, por exemplo, o trabalho realizado por uma força
!
F
é dado pela expressão
W =
!
F !d
!
l ,
C
" (5.2.2)

9. onde a integral acima representa a integral de linha ao longo da trajetória
C descrita pela partícula para ir da posição inicial à posição final.
Obviamente, o cálculo de uma integral de linha também está fora do objetivo
deste curso e não será cobrado nas avaliações.
Como aplicação, considere uma massa atada a uma mola comprimida de
uma distância d, medida a partir da sua posição de equilíbrio. Pela Lei de
Hooke, a força que a mola exerce sobre a massa, quando deslocada de uma
distância x da sua posição de equilíbrio, deve ser
F = !kx, (5.2.3)
onde a constante elástica k, que mede a rigidez da mola, é constante.
Para calcular o trabalho realizado por essa força, usamos a conhecida
relação para a integral da função f (x) = xn
entre limites de integração
arbitrários a e b,
xn
dx =
xn+1
n +1a
b
!
a
b
=
bn+1
n +1
"
an+1
n +1
. (5.2.4)
Portanto, o trabalho realizado será
W = !kx( )dx
d
0
" = ! !
1
2
kd2#
$%
&
'(
=
1
2
kd2
.
(5.2.5)
Veja que o trabalho é positivo, pois a força estava na direção do
deslocamento.
Por outro lado, podemos calcular também o trabalho que a mola realiza sobre
a massa quando a mola sai da posição de equilíbrio e se dilata de uma
distância d, medida a partir da posição de equilíbrio,
W = !kx( )dx
0
d
"
= !
1
2
kd2
,
(5.2.6)

10. onde o trabalho é negativo, já que a força que a mola aplica sobre o bloco
está na direção contrária ao deslocamento.
Agora suponha que o sistema massa-mola saia de seu ponto de equilíbrio, se
dilate de uma distância d e volte até a sua posição original. __Como vamos
calcular o trabalho?
__É fácil, da mesma maneira que calculamos o trabalho até agora:
simplesmente usando a Equação (5.2.1). Só que, nesse caso, temos que
xi = xf . E para calcular essa integral, usamos uma propriedade muito
manjada das integrais, em que separamos a integral numa soma de duas
integrais: uma que descreve a dilatação da mola e outra que descreve seu
retorno até a posição de equilíbrio. A dilatação, como vimos, é dada pela
Equação (5.2.6) e o retorno ao ponto de equilíbrio é dado pela Equação
(5.2.5). Assim, o trabalho de todo o processo fica
W = !kx( )dx
0
d
" + !kx( )dx
d
0
"
= !
1
2
kd2
+
1
2
kd2
= 0.
(5.2.7)
__O trabalho total é zero!
Isso acontece porque a força que a mola exerce sobre a massa é uma força
conservativa. O trabalho realizado por uma força conservativa só depende da
posição final e inicial no movimento unidimensional. Como a mola volta à sua
posição inicial, o trabalho realizado é nulo. Na próxima seção vamos
entender melhor o que é uma força conservativa.
Finalmente, vamos considerar o caso em que a força resultante sobre a
partícula só dependa da posição da partícula. __Ela não depende, por
exemplo, da velocidade da própria partícula, nem do instante considerado, e
nem da posição de outras partículas na vizinhança da partícula que estamos
analisando. __Será que, nesse caso, temos um resultado análogo ao
fornecido pela Equação (5.1.8)?
Para saber a resposta, precisamos usar a 2ª Lei de Newton para escrever o
módulo da força resultante como
F = ma = m
dv
dt
, (5.2.8)
onde ae v são a aceleração e a velocidade instantânea da partícula
respectivamente. Por sua vez, a velocidade escalar pode ser representada
por v = dx / dt . Assim, podemos fazer uma mudança de variável na integral
da Equação (5.2.1), para escrever

11. W = R(x)dx
xi
x f
! = m
dv
dt
"
#$
%
&'
ti
t f
! vdt( )= mv
dv
dtti
t f
! dt, (5.2.9)
onde xi
! x(ti
) e xf
! x(tf
) , ou seja, os instantes ti
e tf
correspondem
aos instantes inicial e final do deslocamento respectivamente. Podemos
imediatamente calcular a Equação (5.2.9) acima, fazendo outra mudança de
variável, que consiste em integrar sobre a velocidade, e não sobre o tempo.
Como dv ! dv / dt( )dt , temos que
W = mvdv
vi
v f
! , (5.2.10)
onde vi
! v(ti
) e vf
! v(tf
) . Usando a nossa conhecida Equação (5.2.4), a
integral na Equação (5.2.10) nos dá
W = mvdv
vi
v f
! =
1
2
mvf
2
"
1
2
mvi
2
# $K, (5.2.11)
ou seja, o trabalho realizado por uma força resultante, que só dependa da
posição da partícula, é igual à variação da energia cinética entre as posições
inicial e final. Isto generaliza a Equação (5.1.8) para o caso de uma força
variável.
Curiosidade:
Embora o resultado fornecido pela Equação (5.2.11) tenha sido deduzido
para uma força resultante que só dependa da posição da partícula, esse
resultado é válido para uma força qualquer. Logo, o trabalho realizado pela
força resultante é sempre igual à variação da energia cinética entre as
posições inicial e final.
Nesse caso, o trabalho realizado pela força resultante é dado pela Equação
(5.2.2). A demonstração desse resultado foge ao objetivo deste curso.

12. Créditos:
Texto de Lizardo H. C. M. Nunes
Logotipo da Extensão em Física criado por André Nogueira